Teoria Eletromagnética_Lei de Gauss Eletricidade_Forma Diferencial

Prévia do material em texto

PROFA. DRA MARIA ELENICE DOS SANTOS 
 
A TEORIA ELETROMAGNÉTICA: LEI DE GAUSS PARA A ELETRICIDADE 
( FORMA DIFERENCIAL) 
 
 Nesta aula iremos deduzir a forma diferencial para a Lei de Gauss da eletricidade. Na aula 
anterior [A Teoria Eletromagnética: Lei de Gauss para a Eletricidade (forma integral)] tratamos de 
explicar a Lei de Gauss para a eletricidade e enunciar a equação que rege tal lei. Aqui, vamos partir da 
Lei de Gauss já definida e chegar à sua forma diferencial. 
 Consideremos aqui a mesma situação já descrita anteriormente: linhas de campo elétrico 
distribuídas em certa região do espaço, conforme ilustra a Figura 01. 
 Figura 01: representação de linhas de campo elétrico em uma região do espaço e de uma superfície esférica fechada. 
 
 Considera-se ainda uma delimitação de volume esférico nesta mesma região do espaço (Figura 
01), cuja superfície é s e volume V. Vamos partir da equação da Lei de Gauss já formulada, dada pela 
Equação 01 que segue. 
)01(
0
 env
E
Q
sdE 


 
 Na Equação 01, o fluxo de campo elétrico é proporcional à carga encerrada na superfície s. 
Imaginemos agora uma distribuição de cargas, e, com base no exemplo aqui descrito, trata-se de uma 
distribuição volumétrica de cargas, com cargas distribuídas ao longo de todo o volume V. Nesse caso, 
tem sentido falar em uma densidade de cargas ρ (r). Tal grandeza descreve quanto de carga existe em 
cada elemento infinitesimal que compõe o volume da esfera na Figura 01. Para calcular a carga total 
encerrada no referido volume, deve-se utilizar a relação dada na Equação 02. 
 
)02().( dVrQENV  
 
Considerando-se agora este nova informação relativa à carga total encerrada no volume V, façamos a 
substituição da Equação 02 na Equação 01, que ficará: 
 
)03().(
1
0
 
V
S
dVrsdE 


 
 
 A Equação 03 nos dá informação de que existem diferentes formas integrais, sendo o primeiro 
termo (à esquerda da igualdade) uma integral dupla de superfície fechada e, do lado direito, uma 
integral tripla do volume. Ocorre que a solução da Equação 03 não é trivial, necessitando assim de 
modificações para que sua solução torne-se viável. Para este caso, o mais adequado e que tornaria a 
solução mais simples, seria a substituição de uma das integrais no sentido de poder igualar os termos 
ditos “integrando”, podendo a Equação 03 ser solucionada somente com base em integrais duplas 
fechadas ou integrais triplas. Para este caso deve-se utilizar do chamado “Teorema da Divergência”. 
 
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 
 
 O Teorema da Divergência é também enunciado como o “Teorema de Gauss”. Tal teorema 
relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície com o vetor campo atuando dentro 
da mesma superfície. Em outras palavras teremos que: oTeorema da Divergência afirma que o fluxo 
externo de um dado campo vetorial passando através de uma superfície fechada é igual à integral de 
volume da divergência sobre a região encerrada na superfície. 
 Em termos algébricos, define-se o Teorema da Divergência conforme descrito na Equação 04. 
 
)04().(  V dVEsdE

 
 
Onde: o termo à esquerda da igualdade constitui a integral fechada do produto escalar entre o vetor 
campo elétrico e o infinitesimal de superfície e o termo à direita da igualdade trata-se da integral de 
volume da divergência do vetor campo elétrico (uma função do ponto, isto é; em cada ponto existe 
uma divergência de E). 
 
 A fim de solucionar-se a Equação 03, vamos agora substituir a relação dada como o Teorema 
da Divergência na referida equação, que ficará: 
 
V
S
dVrsdE ).(
1
0



 
 
V
V
dVrdVE ).(
1
).(
0



 
Resolvendo-se para ambos os lados da equação, teremos que: 
 
)05(
0

E

 
 
 A Equação 05 é intitulada como a Lei de Gauss para a Eletricidade, na sua forma diferencial, 
também podendo ser chamada de “A Primeira Lei de Maxwell” . Em uma composição de quatro 
equações, a Lei de Gauss para a eletricidade é uma das leis que compõe a Teoria Eletromagnética.