Aplicação de Funções à Biologia

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CÁLCULO
APLICANDO FUNÇÕES À BIOLOGIA
Tamires Lopes Silva
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Olá!
Você está na unidade . Conheça aqui um pouco sobre a aplicabilidade das funções.Aplicando funções à biologia
Veremos as funções exponenciais como crescimento populacional e logarítmicas, por exemplo, a sismologia.
Além disso, vamos aprender a determinar equação de reta. Para isso, vamos entender a definição de reta. Vamos
também definir equação da reta e seus coeficientes. Feito isso, vamos aprender a interpretar a equação da reta.
Por fim, estudaremos como os gráficos de uma função podem ser aplicados à biologia, entendendo o uso de
alguns modelos determinados. Ainda veremos como interpretar o gráfico de uma regressão linear.
Bons estudos!
1 Uma breve introdução
A principal função da matemática aplicada à biologia é fazer uma exploração da relação natural existente entre a
biologia e a matemática. Desse modo, problemas complexos gerados pela biologia são resolvidos por meio de
caminhos criados pela matemática para interpretá-los. Por outro lado, matemáticos criam modelos que trazem
novas questões que somente podem ser solucionadas pelos sistemas biológicos reais. Assim, o biólogo depende
do matemático e vice-versa.
No nosso cotidiano, temos muitos problemas trazidos por biólogos como: por que ocorre o aumento abrupto do
HIV em inúmeras populações? E, ainda, como nosso organismo é afetado por substâncias tóxicas? Com isso, os
biólogos obterão ajuda de outros profissionais para solucionar essas questões. De forma simplista, o matemático
pode traduzir esses problemas de uma linguagem coloquial para a matemática.
Assim, nesta unidade, vamos entender como ocorre essa interação entre biologia e matemática com alguns
tópicos. Estudaremos a aplicação de exponenciais e logaritmos a problemas biológicos e determinação da
equação da reta e o gráfico de uma função e suas aplicações biológicas.
Assista aí
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2 Função exponencial e sua aplicação biológica
Para entender a aplicação da função exponencial, é necessário ter a noção de que a função exponencial pode
expressar um crescimento ou um decrescimento característico. Desse modo, alguns fenômenos naturais, como o
crescimento de determinados seres, decomposição ou desintegração de determinadas substâncias, bem como o
funcionamento dos juros compostos, são super-relevantes para a matemática financeira. Assim, vamos entender
como podemos aplicar a função exponencial a cada um desses temas. Para isso, vamos entender um pouco sobre
leis do crescimento e decaimento exponencial.
2.1 Leis do crescimento e decaimento exponencial
A lei do crescimento e decaimento exponencial é a representação de um modelo matemático, de modo que se
pode expressar uma grandeza, sua taxa de crescimento ou decaimento em relação proporcional com a
quantidade desta grandeza em relação ao tempo. Em outras palavras, como que a taxa do crescimento
bacteriano se relaciona com o tempo. Assim, tem-se a seguinte função
Em que é o valor final da grandeza medida (por exemplo, número de bactérias final), o valor de inicial da 
grandeza que se deseja medir (número de bactérias inicial), e a taxa decréscimo ou crescimento e é o tempo.
Deste modo se a função é crescente e a função é decrescente.
Agora vamos para a prática!
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2.2 Crescimento populacional
Empiricamente, temos noção de que o crescimento populacional é exponencial, ou seja, cresce rapidamente.
Assim, podemos utilizar de uma função exponencial para relatar o crescimento de uma população.
Como isso é possível?
Vamos começar, suponha que uma população cresça a uma taxa ao ano. Desse modo, sabemos que a
população cresce de uma população inicial . Assim, podemos ver o seu valor com o passar do tempo.
Reescrevendo na função da lei do crescimento e decrescimento temos que:
Sendo que esta população pode ser habitantes de um país ou de uma colônia de bactérias. De acordo com a
função, podemos dizer que a população varia de acordo com o tempo e que essa variação é proporcional à
sua própria população. Assim, podemos reescrever a expressão em forma neperiana, ou seja, em forma de uma
constante e, assim, obteremos que:
Assim, geramos o seguinte gráfico:
Figura 1 - Gráfico de uma função exponencial de um crescimento populacional
Fonte: Roballo, 2014.
#PraCegoVer: A imagem apresenta o gráfico de uma função exponencial de um crescimento populacional.
Desse modo, podemos formular a taxa de crescimento para qualquer população.
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2.3 Decaimento radioativo
Sabemos que toda substância possui a capacidade de se desintegrar com o passar do tempo, se transformando
em uma substância menos radioativa. Essa capacidade de desintegração pode ser determinada
experimentalmente e, assim, calculada a sua taxa de .
Deste modo, teremos que a sua desintegração acontece com o decorrer do tempo, em que a massa , em um
determinado instante , a partir de uma massa inicial que apresenta uma taxa de decaimento de acordo com a
lei de decaimento, gerando a seguinte equação:
Com essa equação, podemos calcular o tempo de meia vida. Para isso, basta considerarmos como . Com
isso teremos que:
Assim podemos cortar a 
Podemos tornar a função logarítmica em ambos os lados
Logo,
Assim, temos que o relacionado com a taxa de desintegração é a do elemento selecionado. Com isso,
teremos o seguinte gráfico para a função .
Figura 2 - Gráfico de uma função exponencial para decaimento de uma substância radioativa
Fonte: Roballo, 2014.
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#PraCegoVer:A imagem apresenta o gráfico de uma função exponencial para decaimento de uma substância
radioativa.
Para começarmos a entender a função exponencial da taxa de resfriamento de um corpo, teremos que entender a
lei de resfriamento de Newton. Esta lei diz que a taxa de resfriamento de um corpo está ligada à diferença entre 
, relacionada à temperatura do objeto com o ambiente.
A sua variação irá decair de acordo com essa diferença, levando a uma analogia com a lei de decaimento
exponencial. Desse modo, podemos expressar a seguinte relação.
De modo que a temperatura do ambiente é representada por , enquanto que é a temperatura do ambiente e,
dependendo do material, teremos que uma constante , para acontecer a troca de calor, e a é a temperatura
do objeto em um instante .
Sabemos que, com o passar do tempo, o objeto tende a ter sua temperatura igualada com o ambiente. Com isso,
podemos escrever a seguinte igualdade, por meio de limites:
Considerando que, por meio dessa equação, temos que , teremos que . Podemos concluir que:
Com isso, podemos elaborar o seguinte gráfico:
Figura 3 - Gráfico de uma função exponencial para taxa de resfriamento de um corpo
Fonte: Roballo, 2014.
#PraCegoVer: A imagem mostra o gráfico de uma função exponencial para taxa de resfriamento de um corpo. 
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2.4 Intensidade luminosa
Sabemos que muitas plantas são encontradas em até certa profundidade de um lago. Isso porque a intensidade
de luz diminui exponencialmente de acordo com a profundidade . Isso foi constatado por Bouger – Lambert,
que estabeleceu a seguinte lei: a determinada profundidade em outras palavras, é proporcional à sua
intensidade luminosa.
Desse modo, podemos obter a seguinte função exponencial para caracterizar o decrescimento exponencial da
intensidade de luz.
Em que a constante será definida pelo comprimento de onda da luz e pela densidade da água.
Assim, temos o seguinte gráfico que representa a equação:
Figura 4 - Gráfico de uma função exponencial para intensidade luminosa
Fonte: Roballo, 2014.
#PraCegoVer: A imagem apresenta o gráfico de uma função exponencial para intensidade luminosa.Com esses exemplos, podemos observar como a função exponencial faz parte do nosso cotidiano. Vale lembrar
que esta é apenas uma pontinha do iceberg das aplicações da função exponencial na biologia.
Fique de olho
Pelos exemplos apresentados aqui, podemos concluir se tem uma grandeza que cresce
exponencialmente, e podemos estabelecer uma correlação de uma constante com o tempo ou
outra grandeza, podemos utilizar a lei de decaimento ou crescimento exponencial, para
escrevermos uma relação e definirmos uma dinâmica de crescimento ou decaimento (
, e assim conseguiremos saber a qualquer tempo como estará determinada
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Assista aí
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, e assim conseguiremos saber a qualquer tempo como estará determinada
grandeza, como a população de uma cidade depois de um determinado evento qualquer.
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3 Função logarítmica e sua aplicação biológica
Para entender a aplicação da função logarítmica, é preciso ter em mente que essa função é a oposta da função
exponencial, logo também apresenta diversas aplicações na área biológica. Desse modo, a função logarítmica
ajudou bastante no desenvolvimento de grandezas que utilizam ondas. Assim, aqui descreveremos algumas das
aplicações biológicas dos logarítmicos.
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3.1 Intensidade sonora
Para começar, vamos falar sobre a medida de intensidade sonora, a qual é a altura do som, que pode ser ouvida
pelo ouvido humano. Como uma homenagem a Alexander Graham Bell, temos a escala de decibéis para medir a
intensidade do som. Esta escala é determinada por uma função logarítmica.
A explicação para que esta escala varie de forma logarítmica é que, enquanto um estímulo varia
exponencialmente, a sensibilidade do ouvido varia de forma linear. Desse modo, podemos definir a intensidade
sonora de como:
De modo que serão intensidades sonora medidas como as quais estamos comparando.
Normalmente, utilizamos como sendo pois esta é a menor intensidade sonora audível para uma
pessoa. Para um ouvido humano, temos que o som máximo que podemos ouvir é .
Assim, determinamos o seguinte gráfico:
Figura 5 - Gráfico de uma função logarítmica para intensidade de som
Fonte: Roballo, 2014.
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#PraCegoVer: A imagem apresenta o gráfico de uma função logarítmica para intensidade de som. 
Como uma utilidade da acústica para o som, temos que níveis sonoros acima de 80 (dB), causa lesões
irreparáveis para o ouvido humano. Com isso, a acústica do som não deve ultrapassar esse valor em decibel.
Assim, vimos como usamos logaritmo para prever a intensidade sonora.
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3.2 Sismologia
Para entendemos a aplicação da função logarítmica, primeiramente teremos que citar a escala Richter ou escala
de magnitude local. Essa escala é muito utilizada para medir abalos sísmicos. Assim, quando temos uma notícia 
sobre terremoto, ouvimos falar que teve um valor de 2 na escala Richter. Essa escala foi desenvolvida por dois
sismólogos, Charles Richter e Beno Gutemberg, no ano de 1935, visando mensurar o nível da energia liberada
por um sismo.
Os dois sismólogos resolveram utilizar a escala logarítmica devido à energia liberada por terremoto, que é
imensa. Assim, utilizando uma escala logarítmica de base 10, o terremoto será quantificado por número único,
denominado magnitude.
Desse modo, escrevemos a magnitude da escala Ritcher como:
Assim, temos que a energia liberada por pequeno terremoto é determinada como . Sendo gerado, o
seguinte gráfico.
Figura 6 - Gráfico de uma função logarítmica para intensidade de som
Fonte: Roballo, 2014.
#PraCegoVer:A imagem apresenta o gráfico de uma função logarítmica para intensidade de som.
Entretanto, atualmente, criou-se uma escala mais precisa do que a escala Richter, a qual também se utiliza de
uma função logarítmica de base 10. Esta escala é denominada Escala de Magnitude de Momento (MMS) Nesta. 
escala, não utilizamos a energia desprendida pelo abalo e, sim, a área de ruptura da falha geológica, onde
aconteceu o terremoto e ainda o deslocamento médio dessa área.
Para a formulação da equação, utilizamos escala de magnitude no presente momento, que é em que denota
o trabalho mecânico feito, podendo ser medido pela seguinte equação.
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De modo que é o momento sísmico, o que gera o seguinte gráfico.
Figura 7 - Gráfico de uma função logarítmica para intensidade de som
Fonte: Roballo, 2014.
#PraCegoVer:A imagem apresenta o gráfico de uma função logarítmica para intensidade de som.
Com isso, verificamos mais uma das aplicações apresentadas pela escala logarítmica.
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3.3 Medida do pH
Para começar, vamos falar um pouco sobre a escala de pH. A escala pH ou potencial hidrogeniônico tem por
finalidade medir a acidez, neutralidade ou basicidade de uma solução aquosa. Esta escala foi iniciada em 1909,
por um bioquímico chamado Peter Lauritz Sorensen (1868-1939). Ele tinha como objetivo fazer com que o
controle de qualidade de suas cervejas fosse melhorado.
Assim, Sorensen determinou a concentração de íons hidrogênio em uma solução medida em mols por litro.
Assim ficou definido que:
Desse modo, ficou definido que
A solução apresentará mais íons livres do que hidroxila 
A solução apresentará a mesma quantidade de íons livres em relação à hidroxila 
A solução apresentará menos íons livres do que hidroxila 
Assim, temos uma das principais escalas da química.
Ainda, podemos ressaltar que a função pH tem seu domínio pertencente ao domínio e a sua imagem definida
pelo intervalo , podendo ser construído o seguinte gráfico.
Figura 8 - Gráfico de uma função logarítmica para medida de pH
Fonte: Roballo, 2014.
#PraCegoVer: A imagem apresenta o gráfico de uma função logarítmica para medida de pH.
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Na área biológica, podemos utilizar essa medida para definir o pH intestinal, estomacal, bem como prever a
acidose metabólica, o que pode indicar uma intoxicação por agente químico.
Assim, como as funções exponenciais, a função logarítmica apresenta várias aplicações biológicas. Aqui, vimos
apenas algumas delas.
Fique de olho
Sabemos que, diferentemente da função exponencial que será utilizada em grandezas que
crescem rapidamente, a função logarítmica será aplicada quando desejamos ver uma grandeza
que cresce de forma reduzida, apesar de um grande estilo. O que é explicado por ambas serem
inversas.
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4 Determinação da equação da reta
Para determinar a equação da reta, primeiro vamos definir o que é uma reta.
Uma reta é definida como um conjunto infinito de pontos que podem também possuir tamanhos infinitos. Tais
retas devem obedecer às seguintes premissas:
Uma reta é uma linha infinita.
Uma reta é unidimensional, ou seja, apresenta apenas uma única dimensão.
Dentro de uma reta existe uma quantidade infinita de pontos.
As retas podem ser apresentadas de maneira vertical, horizontal e inclinada.
Desse modo, agora podemos definir a equação da reta visto que, em um sistema de coordenadas de um plano
cartesiano (x , y), tem a existência da equação do primeiro grau a qual está relacionada à reta, a qual
denominamos equação da reta.
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4.1 A equação da reta
Para começar, vamos chegar à definição de coeficiente angular da reta.
Iniciando a definição, temos que, de modo intuitivo, podemos chegar à conclusão de que dois pontos distintos
definem uma reta única. Quando falamos sobre geometria analítica, pode-se determinar que a equação da reta
passa por dois pontos que são distintos no plano cartesiano.
Desse modo, se considerarmos uma reta que está definida pelo ponto igual a e como sendo ,A B 
como demonstrado na figura abaixo:
Figura 9 - Gráfico de reta definida pelos pontos A e B
Fonte: PUC-MG, 2020.
#PraCegoVer:Aimagem apresenta o gráfico de reta definida pelos pontos A e B.
Agora, considerando que um ponto qualquer igual a estará presente nesta reta, considerando que e P A, B 
são colineares, ou seja, estão alinhados. Observe na figura abaixo:P 
Figura 10 - Gráfico de reta definida pelos pontos A e B com ponto P qualquer passando pela reta
Fonte: PUC-MG, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta gráfico de reta definida pelos pontos A e B aonde temos um ponto P
qualquer que passa pela reta.
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Observando a figura, podemos dizer que esta condição somente será satisfeita se o triângulo forABM 
semelhante ao triângulo na figura.APN 
Dessa maneira, podemos escrever que:
Simplificando a equação, obtemos uma razão constante
Esta constante será definida como coeficiente angular da reta e será denotada pela letra a.
Com isso, podemos concluir que o coeficiente angular da reta pode ser rapidamente encontrado ao se dividir a
variação de pelas ordenadas que representam a variação em .
Logo:
ou
Agora que sabemos como chegar rapidamente ao coeficiente angular da reta, podemos chegar à equação da reta.
Como isso será possível?
Para iniciar, termos que isolar a variável da equação:
Com isso, chegamos à seguinte equação da reta:
Além de chegar na equação da reta, determinamos uma nova constante que nomeamos coeficiente linear, que é a 
expressão determinada por:
Assim, se definimos o coeficiente linear da reta como , teremos a equação da reta na forma reduzida escritab
como:
Agora, para ficar mais claro como determinar a equação da reta, vamos para um exemplo prático:
Considerando a figura abaixo, vamos encontrar a equação da reta que passa por e por .
Figura 11 - Gráfico de reta definida passando pelos pontos (1,3) e (2,5)
Fonte: PUC-MG, 2020.
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Fonte: PUC-MG, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta um gráfico de reta definida passando pelos ponto (1,3) e (2,5).
Para começar, vamos calcular o coeficiente angular
Assim, temos o coeficiente angular igual a 2.
Assim, utilizando o ponto , podemos chegar à equação da reta com o método ponto-coeficiente:
Como equação da reta reduzida, obtemos que
Como coeficiente linear, obtivemos que .
Dessa maneira, conseguimos determinar rapidamente a equação da reta.
4.2 Como interpretamos a equação da reta?
Às vezes podemos nos perguntar, por que determinar a equação da reta?
Saber a equação da reta é muito importante para entender a geometria analítica, que é a ciência que estuda entes
geométricos como retas, circunferências, regiões, parábolas, dentre outros, por meio de representações
algébricas, dadas por equações e inequações. Assim, interpretar a equação da reta é importante, visto que, se
sabemos que o ponto da reta é dado por um par ordenado que satisfaça a equação, podemos dizer que esse
ponto faz parte da reta.
Como exemplo, temos uma equação anterior .
Podemos verificar que as coordenadas dadas pelos pontos (3; 7) são pontos pertencentes a esta equação,
considerando que as coordenadas (x; y) = (3; 7) tornam verdadeira a sua equação. Por outro lado, quando
analisamos a coordenada dada pelos pontos (3; 9), determinamos que estes pontos não são pertencentes à reta,
visto que as coordenadas (x; y) = (3; 9) não apresentam uma solução verdadeira para a equação. Veja a solução
abaixo:
E
Assim, na segunda resolução, temos que somente uma das coordenadas satisfaz à equação. Logo, isso prova que
a equação não é verdadeira para a coordenada (3; 9).
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4.3 O que dizer sobre o coeficiente angular e o coeficiente linear?
Entender o significado de coeficiente angular e coeficiente linear pode não ser uma tarefa fácil, entretanto,
vamos observar a figura abaixo para entender esses conceitos.
Figura 12 - Gráfico de coeficiente angular e coeficiente linear da reta
Fonte: PUC-MG, 2020.
#PraCegoVer:A imagem mostra ográfico de coeficiente angular e coeficiente linear da reta.
Novamente, ilustramos a reta pelos pontos igual a e como sendo . Podemos ver que o ângulo,A B 
o qual é formado com os eixos das abcissas no sentido positivo, formando uma inclinação da reta. O valor da
tangente desta inclinação é o coeficiente angular da reta. Neste caso, podemos perceber que o coeficiente angular
faz com que a declividade da reta se modifique.
Assim, no gráfico abaixo, podemos perceber essa declividade nas diferentes funções.
Figura 13 - Gráfico de variação do coeficiente angular da reta
Fonte: Vidigal, 2018.
#PraCegoVer: A imagem mostra o gráfico de variação do coeficiente angular da reta.
Com isso, podemos ver como uma reta está inclinada sobre o gráfico.
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Agora, no gráfico demonstrando os coeficientes da reta, observe o ângulo o qual é formado com o eixo daƟ, 
abcissa no ponto zero, no ponto b, formando a coordenada (0,b) formando uma inclinação da reta. Esta
inclinação demonstra o coeficiente angular da reta.
Perceba que, construindo um gráfico em que fazemos com que apenas o coeficiente angular mude, podemos ver
que ele modifica o ponto em que a reta toca o ponto zero na abscissa.
Figura 14 - Demonstração da variação do coeficiente linear da reta
Fonte: Vidigal, 2018.
#PraCegoVer: A imagem apresenta a variação do coeficiente linear da reta. 
Com isso, vimos como os coeficientes da reta podem ser interpretados.
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4.4 O que podemos entender sobre reta vertical e uma reta horizontal?
Quando temos uma equação da reta em que a inclinação é nula, teremos uma reta horizontal. Neste caso, o seu
coeficiente angular será 0, isso pois sua tangente será igual a zero. Deste modo, podemos ver que sua equação
será reduzida a . Portanto, a função será uma constante de eixo Veja o gráfico abaixo.
Figura 15 - Demonstração da reta horizontal a = 0
Fonte: PUC Minas, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta uma d emonstração da reta horizontal a = 0.
Quando temos uma equação da reta em que a inclinação é 90°, teremos uma reta vertical. Nesse caso, o seu
coeficiente angular não existirá, isso pois sua tangente será igual o que é inexistente. Desse modo, podemos
ver que sua equação será reduzida a . Portanto, a função será uma constante de eixo Veja o gráfico abaixo.
Figura 16 - Demonstração da reta horizontal
Fonte: PUC Minas, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta a demonstração de uma reta horizontal.
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4.5 A equação geral da reta
É toda equação do tipo em que:
A, B e C são constantes reais em que A e B não são simultaneamente nulas e representam uma reta. Afim de
verificar essa afirmação, veremos as seguintes possibilidades.
Caso tenhamos , teremos a possibilidade de conseguir isolar .
Assim, teremos uma equação de reta determinada por
Agora, quando temos , a equação anterior será diminuída a uma equação de reta horizontal.
Por fim, se temos , a equação será diminuída a uma equação de reta vertical.
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4.6 Retas paralelas e perpendiculares
Como definição, as retas são paralelas quando possuem o mesmo ângulo com o eixo das abscissas, deste modo,
seus coeficientes angulares serão iguais.
De modo que:
Figura 17 - Demonstração das retas horizontais
Fonte: PUC Minas, 2020.
 #PraCegoVer: A imagem apresenta a demonstração das retas horizontais.
Assim, nesse exemplo, teremos que 
Agora vamos mostrar retas perpendiculares. Para isso, observe a figura
Figura 18 - Demonstração das retas perpendiculares
Fonte: PUC Minas, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta uma gráfico demonstrando retas perpendiculares.
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Para entender, observe que os triângulos formados por PRQ e PRS são semelhantes, formando um ângulo reto,
com isso podemos escrever que
Desse modo, podemos reescrever que
Desse modo, concluímos que duas retas serão perpendiculares caso a multiplicação entre seus coeficientes
angulares seja igual a -1, ou seja, o coeficiente angular de uma será o oposto do inverso ao coeficiente angular da
segunda reta.
Saber as informações sobre as equações da reta é importante para que possamos criar os gráficos que
representam nossos dados.
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5 Gráfico de uma funçãoe suas aplicações biológicas
É notória a importância dos gráficos para que possamos ampliar a capacidade de passar informação bem como
ampliar como a humanidade trata as informações quantitativas e como estabelecem relações entre as mesmas.
Usamos representações gráficas frequentemente, de modo que as informações são dispostas em dois eixos
perpendiculares, denominados eixo das abscissas, ou mais conhecido como eixo x, o qual é representado
verticalmente; e eixo das ordenadas, mais comumente chamado de eixo y, sendo representado horizontalmente.
Com o uso de gráfico, podemos representar dados de qualquer natureza numérica, podendo ser resultados
absolutos como valores monetários, ou valores relativos, como é o caso de um gráfico de porcentagem.
De acordo com os dados apresentados, podemos definir um estilo de gráfico. Podendo ser um gráfico de barras,
em que se tem barras de largura semelhante, sem nenhuma relação com o dado e altura variável, que denota a
relação do dado. Temos o gráfico de setores, o qual é representado por um círculo dividido em setores.
Entretanto, o gráfico mais comumente usado é o de linhas, no qual temos pontos, os quais serão unidos por
segmentos de retas.
Assim, podemos fazer com que os nossos dados sejam apresentados da melhor maneira possível.
5.1 Aplicação biológica de um gráfico
Dentro da biologia, os gráficos são utilizados de várias maneiras. Pode ser para representar uma relação entre
um medicamento e a diminuição da pressão arterial. Agora, vamos discorrer como podemos utilizar a
representação gráfica da melhor maneira para estudos biológicos.
I. Relações biológicas
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Relação entre produtores e consumidores
Essa é uma relação dada pela seguinte equação:
Temos que P representa os produtores, R representa os redutores e C representa os consumidores. Assim,
podemos afirmar que nessa relação, quando maior for o número de produtores, maior será o índice. Entretanto,
quanto maior for o número dos consumidores de recurso, menor será o índice. Desse modo, poderemos ter um
gráfico curvilíneo dependendo do tempo da medição.
Figura 19 - Demonstração da equação da relação entre produtores e consumidores
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta uma demonstração da equação da relação entre produtores e consumidores. 
Assim, podemos ver como a relação aumenta e diminui com o tempo.
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II. Diversidade entre espécies
Esta relação demonstra a relação entre o número de espécies e a área estudada. Gleason viu que a diversidade de
espécie em um local se dava pela seguinte relação
Em que s determina o número de espécies e representa o número de indivíduos. Podemos notar que quanto
maio o número de indivíduos e de espécies, maior será a quantidade a diversidade. Observe o gráfico abaixo:
Figura 20 - Demonstração da equação que representa a diversidade entre espécies
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta uma equação que representa a diversidade entre espécies.
Entretanto, se aumenta o número de espécies , a diversidade aumenta, visto que se ambos aumentarems
conjuntamente, a relação entre as duas aumenta. Ainda, se aumentar o número de indivíduos e reduzir o número
de espécies, a diversidade irá diminuir, visto que são grandezas inversamente proporcionais na relação.
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III. Índice de diversidade de uma espécie
Este é um índice que leva em consideração a abundância entre espécies. Foi formulado por Wilhm como sendo a
seguinte equação.
Sendo que é o número de indivíduos totais de uma única espécie representada e o número total de
indivíduos do local. Nessa relação, caso obtemos 1, todos os indivíduos são pertencentes ao mesmo local. Desse
modo, quanto maior o índice da diversidade, maior o número de indivíduos. Ainda, podemos determinar que
quanto maior o índice, maior será a influência dessa espécie no ecossistema.
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IV. Regressão linear simples
Em diversas áreas da ciência, em vários momentos, desejamos fazer o estabelecimento de relações quantitativas
entre o que se é observado em um fenômeno e as variáveis independente as quais pensamos ser relevantes para
se explicar o fenômeno. Com isso, desejamos fazer a construção de um modelo em que podemos explicá-lo e,
ainda, possamos explicar os fenômenos observados e fazer previsões dentro e fora do que se foi investigado.
Como exemplo, temos a relação entre a estrutura química de um composto químico e sua atividade biológica, ou
ainda, podemos relacionar a medida de amplificação DNA para saber a quantidade exata de DNA amplificado.
Isso porque o modelo de regressão linear faz uma combinação de variáveis independentes, ou também
denominadas explicativas, que serão capazes de fazer uma reprodução da melhor maneira possível, dos valores
experimentais encontrados em um grupo variado de observações.
Assim, teremos um gráfico que mostra a dispersão de em função da regressão.x 
Figura 21 - Demonstração do gráfico de uma regressão linear
Fonte: Batista, 2004.
#PraCegoVer: A imagem apresenta o gráfico de uma regressão linear.
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Figura 22 - Demonstração do gráfico de uma regressão linear da relação entre Relação entre DAP (diâmetro à 
altura do peito) e altura total de árvores de Eucalyptus saligna
Fonte: Batista, 2004.
#PraCegoVer: A imagem apresenta a demonstração do gráfico de uma regressão linear da relação entre Relação
entre DAP (diâmetro à altura do peito) e altura total de árvores de Eucalyptus saligna.
Fique de olho
Cuidado ao extrapolar os modelos de regressão linear devido aos seguintes fatores:
I. A variação sistemática de Y em função de X em uma regressão linear não deverá ser,
necessariamente, numa relação de causa e efeito. Assim, que relação de causa temos entre a
altura e o diâmetro de uma árvore?
II. O modelo linear pode representar uma ótima aproximação da amplitude de interesse
mesmo que a relação teórica presente entre as variáveis seja não linear. Para isso, deve-se
escolher um modelo que dependa da amplitude dos dados e escolha da forma do modelo.
III. Um modelo de regressão linear é utilizado para interpolar, uma vez que as propriedades
estatísticas relacionadas com os valores que são ajustados pelo modelo levem em conta que o
modelo é utilizado dentro da amplitude original dos dados.
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V. Como interpretar um gráfico de regressão linear?
Para mostrar como interpretar o gráfico da regressão linear, vamos tomar como exemplo a seguinte relação
entre altura e peso.
Figura 23 - Demonstração do gráfico de uma regressão linear da relação entre altura e peso de uma construção
Fonte: Batista, 2004.
 #PraCegoVer: A imagem apresenta o gráfico de uma regressão linear da relação entre altura e peso de uma
construção.
Nesta relação, temos um coeficiente de altura que é 111,7 Kg. Assim, a cada metro que aumentamos, há um
aumento de peso de 111,7. Considerando a reta, se movimentarmos para a esquerda ou para direita um valor
que seja referente a um metro, o peso aumentará ou reduzirá em 111, 7.
Assim, podemos ver como é simples a interpretação de uma relação linear.
Agora, abaixo, vamos analisar um gráfico curvilíneo. Para isso, tomemos como exemplo o consumo de energia
em relação à programação da máquina. Veja o gráfico:
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Figura 24 - Demonstração do gráfico de uma regressão linear da relação entre configuração da máquina e 
consumo de energia
Fonte: Batista, 2004.
#PraCegoVer: A imagem apresenta o gráfico de uma regressão linear da relação entre configuração da máquina
e consumo de energia.
Nesta relação, podemos verificar que não obedece uma relação em que quando uma variável aumenta a outra
reduz ou vice-versa. Pelo gráfico, podemos visualizar que se começarmos a operar a máquina na posição mínima,
que é 12, e formos subindo aos poucos, observamos que ocorre uma redução no gasto energético. Entretanto, se
você começa no ponto 20, temos uma estabilidade no gasto de energia. Agora, se vamos iniciar no ponto 25 e
subirmos uma unidade, um aumentoenergético é encontrado. Isso é compatível com o fato de termos dois
coeficientes, sendo um representante de cada situação.
Diferentemente da interpretação de um gráfico linear, temos que tomar cuidado ao prever um efeito linear, antes
de observar a situação e entender o que está acontecendo.
Com isso, fechamos o tópico de regressão linear.
Espero que tenham compreendido como as funções e seus gráficos podem auxiliar nos processos biológicos
Assista aí
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/857f19fe456688c65176f0146524899e
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é isso Aí!
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• aprender algumas aplicações das funções exponenciais e logarítmicas;
• compreender como a aplicabilidade biológica da função exponencial se relaciona com função logarítmica;
• ver a definição de equação da reta;
• aprender a calcular uma equação da reta;
• entender sobre coeficiente angular e linear da reta;
• conhecer algumas aplicações de um gráfico aplicado à biologia;
• aprender a interpretar o gráfico de uma regressão linear.
Referências
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/2020 as 20:30hs
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	Olá!
	1 Uma breve introdução
	Assista aí
	2 Função exponencial e sua aplicação biológica
	2.1 Leis do crescimento e decaimento exponencial
	2.2 Crescimento populacional
	2.3 Decaimento radioativo
	2.4 Intensidade luminosa
	Assista aí
	3 Função logarítmica e sua aplicação biológica
	3.1 Intensidade sonora
	3.2 Sismologia
	3.3 Medida do pH
	4 Determinação da equação da reta
	4.1 A equação da reta
	4.2 Como interpretamos a equação da reta?
	4.3 O que dizer sobre o coeficiente angular e o coeficiente linear?
	4.4 O que podemos entender sobre reta vertical e uma reta horizontal?
	4.5 A equação geral da reta
	4.6 Retas paralelas e perpendiculares
	5 Gráfico de uma função e suas aplicações biológicas
	5.1 Aplicação biológica de um gráfico
	I. Relações biológicas
	Relação entre produtores e consumidores
	II. Diversidade entre espécies
	III. Índice de diversidade de uma espécie
	IV. Regressão linear simples
	V. Como interpretar um gráfico de regressão linear?
	Assista aí
	é isso Aí!
	Referências