CALCULO UNIDADE 03 GRAFICO DE UMA FUNÇÃO BIOLOGICA

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O gráfico de uma função e suas 
aplicações biológicas
APRESENTAÇÃO
Uma função pode ser representada de várias maneiras. Uma delas é a representação geométrica 
de uma função, uma maneira muito usual, também conhecida como a forma gráfica de uma 
função. 
Utilizando o plano cartesiano, a representação gráfica de uma função pode ser bastante útil na 
compreensão de um determinando problema, facilitando o seu entendimento. Dependendo do 
tipo de função, o comportamento gráfico será bem específico, com características particulares. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá sobre algumas funções conhecidas e a 
característica da representação gráfica referente a cada função.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar gráficos de funções a partir da expressão analítica de uma função.•
Obter a expressão analítica de uma função a partir da descrição de um problema aplicado.•
Resolver problemas aplicados envolvendo gráficos de funções.•
DESAFIO
A poluição sonora é uma grande preocupação das agências de saúde e se dá por meio de ruídos 
excessivos que afetam a saúde física e mental da população. 
Um recente documento divulgado pela Organização Mundial da Saúde (OMS) indicou níveis 
máximos de ruído em locais públicos, no intuito de reduzir doenças metabólicas e 
cardiovasculares, déficits cognitivos em crianças, zumbidos nos ouvidos, distúrbios do sono, 
danos ao aparelho auditivo e até mesmo a obesidade. 
O ouvido humano percebe sons que variam do limiar da audição, 10-12 W/m2 (Watts por 
metro quadrado) de intensidade, determinada como I0 , até o limiar da dor, 1 W/m2 de 
intensidade.
O nível sonoro de um ambiente (ß) é medido em decibéis (dß) e calculado por meio da equação:
Onde temos
I = intensidade qualquer (W/m2) 
I0= limiar da audição (10-12 W/m2)
Em um hospital, decidiu-se fazer um estudo dos níveis sonoros no horário de visita, quando o 
trânsito de pessoas nas enfermarias aumenta. Nesse estudo, foram medidas as intensidades em 
quatro momentos, obtendo quatro valores diferentes de intensidades. Os dados foram os 
seguintes: 
Intensidade Valor
I1 I0
I2 10 . I0
I3 102 . I0
I4 103 . I0
 
A partir dessas informações, você ficou responsável por calcular os decibéis (ß) para cada 
intensidade medida e representar as informações em um gráfico ß versus I.
INFOGRÁFICO
Na área da saúde são utilizados diversos elementos para detecção e controle de doenças. Cada 
elemento exige um tratamento adequado em relação às suas condições químicas e físicas. Um 
exemplo disso são os isótopos. 
Elementos radioativos são comumente utilizados na área da saúde para avaliação de diversas 
condições do corpo e são empregados para determinar a saúde dos pulmões, do coração, 
da glândula tireoide, dentre outras diversas aplicações. Os elementos radioativos apresentam 
uma característica de desintegração, por isso o tempo de vida de um isótopo é muito importante. 
Um conceito bastante utilizado é o tempo de meia-vida.
No Infográfico a seguir, você aprenderá sobre a meia-vida e como determinar a meia-vida de 
um isótopo a partir de dados gráficos.
CONTEÚDO DO LIVRO
Estabelecer uma função é descrever a relação entre duas variáveis. Uma função pode ser 
apresentada de algumas formas diferentes que se correlacionam e auxiliam no melhor 
entendimento sobre o que ela representa.
O conhecimento da expressão analítica de uma função permite a associação a um tipo de 
representação geométrica. O comportamento da função, seja polinomial, exponencial, 
logarítmica ou trigonométrica, será específico em cada uma, com características próprias.
Na obra Cálculo (aplicado à saúde), base teórica desta Unidade de Aprendizagem, leia o 
capítulo O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas, em que você irá conhecer os 
tipos de funções mais comuns e sua representação gráfica, bem como algumas aplicações na 
área biológica.
CÁLCULO 
APLICADO À 
SAÚDE
Claudia Abreu Paes
O gráfico de uma função e 
suas aplicações biológicas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar gráficos de funções a partir da expressão analítica de uma 
função.
 � Obter a expressão analítica de uma função a partir da descrição de 
um problema aplicado.
 � Resolver problemas aplicados envolvendo gráficos de funções.
Introdução
Uma função, estabelecida pela relação de dependência entre duas variá-
veis na qual uma depende da outra, pode ser representada por meio de 
uma tabela, um texto explicativo, um gráfico e, claro, por sua expressão 
analítica.
Em muitas situações, para entender melhor um problema, é necessário 
recorrer ou trabalhar com mais de uma forma de se expressar uma função. 
Qualquer uma dessas formas pode ser utilizada como referência para a 
elaboração de outra forma de se expressar uma função.
Neste capítulo, você vai conferir alguns exemplos de função já co-
nhecidos, bem como a forma de se trabalhar com gráficos e expressões 
analíticas. 
Gráficos de funções a partir da 
expressão analítica de uma função 
Uma função é uma expressão que descreve a relação entre duas variáveis, 
geralmente, denotadas por x e y, em que y é definido a partir do valor conhe-
cido de x. Dessa forma, y torna-se uma variável dependente, que depende da 
variável independente x.
Dados os conjuntos A e B, selecionando um valor no conjunto A, a função 
f pode ser compreendida como uma transformação que relaciona um valor de 
A com um único valor no conjunto B. Nessa situação, o conjunto A é chamado 
de conjunto do domínio da função, e o conjunto B, de contradomínio. Os 
valores que em B são relacionados com os elementos de A fazem parte do 
conjunto imagem.
As funções podem ser representadas de quatro maneiras (ANTON; BI-
VENS; DAVIS, 2014): 
 � por meio de dados descritos em uma tabela; 
 � algebricamente, com equações; 
 � geometricamente, com gráficos;
 � verbalmente. 
Para expressar uma função conhecida em sua forma de expressão analítica 
em uma representação gráfica, basta estabelecer valores para x — resultando 
em um valor de y —, utilizar o plano cartesiano para marcar o par ordenado 
(x,y) e traçar o gráfico.
Nesta seção, veremos alguns tipos de funções comumente utilizadas, bem 
como sua representação analítica e sua representação gráfica, destacando suas 
principais características.
Função afim
A função afim é uma função polinomial de grau 1, também conhecida como 
função de 1º grau. A expressão analítica para essa função é sua lei de formação, 
representada por:
y = f(x) = ax + b
O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas2
Onde:
a = coeficiente angular
b = coeficiente linear
x = variável independente (pertence ao conjunto domínio)
y = variável dependente (pertence ao conjunto imagem)
O domínio de uma função é representado pelos valores que x pode assumir. 
A imagem da função é o valor de y. A representação gráfica dessa função é 
uma reta, em que o coeficiente angular representa a inclinação da reta em 
relação ao eixo das abscissas (eixo dos x), e o coeficiente linear é o ponto 
onde a reta intersecta o eixo das ordenadas (eixo dos y). Na Figura 1, observe 
a representação gráfica de uma função afim.
Figura 1. Gráfico de uma função afim.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 8). 
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
x
–3 –2 –1
y
y = x + 2
Na função y = x + 2, representada graficamente, temos que a = 1 e b = 2. 
Observe que essas informações podem ser extraídas da equação da reta e tam-
bém do gráfico. Ambos representam a mesma função e carregam as mesmas 
características da função.
3O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas
O ponto onde a função intersecta o eixo das abscissas é chamado de zero da função 
ou raiz da função. O zero da função é todo número real x que zera a função, ou seja, 
que respeita a igualdade f(x) = 0.
Repare que, no gráfico anterior, para calcular o zero da função y =x + 2, 
basta fazer y = x + 2 = 0.
x + 2 = 0
x = –2
O ponto onde x = –2 é exatamente onde a reta intercepta o eixo y.
Função quadrática
A função quadrática é uma função polinomial de grau 2, também conhecida 
como função de 2° grau. A expressão analítica para essa função é:
y = f(x) = ax² + bx + c
Onde:
a, b e c são coeficientes
x = variável independente (pertence ao conjunto domínio)
y = variável dependente (pertence ao conjunto imagem)
O gráfico que corresponde a essa função apresenta uma curva denominada 
parábola. Veja o exemplo na Figura 2.
Na função quadrática, há duas raízes da função. Observe que, no gráfico 
anterior, a curva intercepta o eixo x em dois pontos. Nesse tipo de função, para 
o cálculo das raízes, utiliza-se a fórmula de Bhaskara (FUNÇÃO..., [2018?]).
O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas4
Figura 2. Gráfico de uma função quadrática.
Fonte: Adaptada de matma/Shutterstock.com.
Acessando o link a seguir, você pode aprender a calcular as raízes de um polinômio 
de grau 2 utilizando a fórmula de Bhaskara (MELO, 2015).
https://goo.gl/mwvMwD
Função exponencial
A função exponencial utiliza muito o conceito de potência, uma vez que a 
variável se encontra no expoente. A lei de formação exponencial é dada por:
f(x) = ax
Onde a é um número real, sendo a > 0 e a ≠ 1.
5O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas
O domínio dessa função compreende o conjunto dos números reais, e o 
conjunto imagem dessa função são os reais positivos. O gráfico apresentado 
na Figura 3 representa uma função exponencial.
Figura 3. Gráfico de uma função exponencial.
Fonte: charobnica/Shutterstock.com.
O gráfico da função exponencial f(x) = ax passa pelos pontos x = 0 e y = 1, 
pois todo número elevado a zero é igual a 1. No exemplo do gráfico anterior, 
a constante a é igual a e, que é um número chamado neperiano ou número de 
Euler. O número e tem valor de 2,72 aproximadamente.
Função logarítmica
Uma função logarítmica é definida como:
y = f(x) = logbx
O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas6
Onde:
b é a base
b > 0
b ≠ 1
Aqui, valem os conceitos de logaritmo (ADAMI; DORNELES FILHO; 
LORANDI, 2015). O domínio da função logarítmica compreende todos os 
números reais positivos, e o conjunto imagem equivale aos reais. A Figura 4 
traz um gráfico de uma função logarítmica. 
Figura 4. Gráfico de uma função logarítmica.
Fonte: Adaptada de charobnica/Shutterstock.com.
y
4
3
2
1
1 2 3 4
x
y = log (x)
0–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4
Função trigonométrica
Uma função trigonométrica, também conhecida como função circular, está 
correlacionada com o círculo trigonométrico. São três as principais funções 
trigonométricas, descritas a seguir.
7O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas
 � Função seno definida por f(x) = sen(x): a função tem domínio como 
o conjunto dos reais. O conjunto imagem da função seno compreende 
o intervalo de –1 a 1. O gráfico da função seno é conhecido como 
curva senoide.
 � Função cosseno definida por f(x) = cos(x): a função tem como domínio 
o conjunto dos reais. O conjunto imagem da função cosseno também 
compreende o intervalo de –1 a 1. O gráfico da função cosseno é co-
nhecido como curva cossenoide.
 � Função tangente definida por f(x) = tg(x) = sen(x)cos(x) : a função tangente 
não está definida quando o x assume valores que, como consequência, 
resultam em cos(x) = 0. O gráfico da função tangente é conhecido como 
curva tangentoide.
O gráfico característico das funções trigonométricas está representado 
na Figura 5.
Figura 5. Gráficos de funções trigonométricas.
Fonte: Adaptada de Julia Kopacheva/Shutterstock.com.
y = sen(x) y = cos(x) y = tg(x)
Expressão analítica de uma função a partir da 
descrição de um problema aplicado
A partir de uma explicação verbal, é possível descrever uma relação entre 
variáveis, estabelecendo uma função. Essa forma verbal de representar uma 
função também possibilita a formação de uma expressão analítica, ou seja, 
uma equação. 
Nesta seção, veremos alguns exemplos em que podemos formatar a equação 
a partir do texto da questão. 
O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas8
Em uma indústria farmacêutica, certo composto medicamentoso tem o valor fixo de 
R$ 4,50 em sua produção, mais um preço de R$ 7,50 por unidade. Sendo x o número 
de medicamentos produzidos, determine a lei de formação que representa o custo 
total de x medicamentos produzidos.
Solução:
O preço e a quantidade dos medicamentos caracterizam uma relação direta, poli-
nomial de grau 1. Sendo y = f(x) = ax + b, temos que x é o número de medicamentos 
produzidos, e y é o preço final. Precisamos determinar os coeficientes linear e angular. 
Na questão, temos duas informações importantes: o preço fixo por produção, ou seja, 
quando x = 0, informação característica do coeficiente linear, e o preço por unidade, 
quando x for diferente de 0.
Assim, podemos estabelecer a equação:
y = 7,50x + 4,50
Veja, o preço de uma unidade é de R$ 12,00:
y(1) = 7,50(1) + 4,50 = 12
Determinada população de bactérias decresceu ao longo dos anos. O decrescimento 
em percentual e a relação ao longo dos anos respeitam a função f(x) = a ∙ bx. O número 
inicial da população é de 960%. Ao longo de sete anos, o número era de 7,5%. Determine 
a lei de formação dessa questão encontrando os valores de a e b. 
Solução:
Sendo a função f(x) = a ∙ bx, uma função exponencial, o número inicial da população 
de 960, em x = 0. Podemos estabelecer a seguinte relação:
f(0) = a ∙ b0 = a = 960
Podemos escrever a equação parcial:
f(x) = 960 ∙ bx
Para determinar b, basta utilizar o ponto dado, quando x = 7, y = 7,5, assim, temos:
9O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas
Portanto, podemos estabelecer a seguinte função:
f(x) = 960 ∙ (0,5)x
Um grupo de animais está em extinção devido à prática da caça. O número em centena 
de indivíduos dessa população é dado pela função . Se x for o 
tempo em anos, o número de indivíduos em cinco anos será de quanto? 
Solução:
Nessa situação, temos que calcular:
O número de indivíduos corresponde a três centenas, ou seja, em cinco anos, o 
número de indivíduos será de 300.
Problemas aplicados envolvendo 
gráficos de funções 
A resolução de um problema pode se dar por qualquer meio de representação de 
uma função. Nesta seção, veremos um exemplo da resolução de um problema 
a partir da representação geométrica de uma função.
O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas10
Foi realizado um estudo sobre a taxa de incidência de determinado vírus na população 
de 15 anos ou mais a partir do ano de 1960. Foi possível gerar uma curva de equação 
y = 30kx + 10, na qual k > 0, e é uma constante, x indica quantos anos se passaram 
desde 1960, e y corresponde ao valor da taxa, em porcentagem, em certo ano. Essa 
curva é representada na Figura 6.
Taxa (%)
Tempo (anos)
20
0 10 20 30 40 50
Figura 6. Taxa de analfabetismo.
Fonte: Clubes de matemática da OBMEP ([2016]).
Primeiramente, vamos estabelecer a taxa no ano de 1960. Observando os dados, nota-se 
que, em 1960, foi o início da contagem dos anos, ou seja, contagem no marco 0. Então:
No ano de 1960, a taxa do vírus foi de 40%.
Agora, vamos determinar a constante k. Para isso, basta pegar um ponto conhecido 
no gráfico, passados 30 anos, a taxa era de 20%, ou seja, P = (30,20). Substituindo na 
equação:
Assim, conseguimos extrair informações por meio de um problema apresentado 
geometricamente. 
11O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas
ADAMI, A. M.; DORNELES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Book-
man, 2015.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. Curvas. [2016]. 1 gráfico. Disponível em: <http://
clubes.obmep.org.br/blog/wp-content/uploads/2016/12/curva.png>. Acesso em: 
28 nov. 2018.
FUNÇÃO quadrática. Matemática didática, [s. l.], [2018?]. Disponível em: <http://mate-
maticadidatica.com.br/FuncaoQuadratica.aspx>.Acesso em: 28 nov. 2018.
MELO, P. Fórmula de Bhaskara. Estudo prático, [s. l.], 07 mar. 2015. Disponível em: <https://
goo.gl/mwvMwD>. Acesso em: 28 nov. 2018.
Leitura recomendada
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
O gráfico de uma função e suas aplicações biológicas12
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
No tratamento de funções, dependendo do objetivo de estudo, será fundamental conhecer o seu 
comportamento gráfico. Em diversas situações, os dados de um estudo serão melhor 
representados em sua forma geométrica em vez de uma função analítica ou o anúncio da função. 
Por isso é importante saber correlacionar as formas de se apresentar uma função. 
Associar uma expressão analítica com uma tabela de dados, e ainda saber representar 
graficamente, é usual em trabalhos científicos para que, de uma forma rápida e objetiva, todos 
consigam ter uma noção, de forma visual, do comportamento dos dados.
Na Dica do Professor, você vai ver as formas de representar uma função, bem como 
correlacionar uma expressão analítica com uma tabela de dados e representar graficamente a 
função. 
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EXERCÍCIOS
1) Dada uma função y = 4x -2, indique a raiz dessa função.
A) A raiz é x = -2.
B) A raiz é y = 4.
C) A raiz é x = -1/2.
D) A raiz é x = 2.
E) A raiz é y = 1/2.
2) 
Dada a função 5x2 + 4x – 10, em qual ponto o gráfico intercepta o eixo y?
A) No ponto em que y = 5.
B) No ponto em que y = 4.
C) No ponto em que y = 2.
D) No ponto em que y = -10.
E) No ponto em que y = -4.
3) Observando o gráfico abaixo, identifique as raízes dessa função.
A) As raízes são x =1 e x = -4.
B) As raízes são x = - 1 e x = -4.
C) As raízes são x = 0 e x = -5.
D) As raízes são x = -1 e x = 1.
E) As raízes são x = 0 e x = -4.
4) Dado o gráfico abaixo, qual é a raiz dessa função e o coeficiente linear?
A) A raiz é y = 3 e o coeficiente linear é x = 0.
B) A raiz é y = 3 e o coeficiente linear é x = -2.
C) A raiz é x = 3 e o coeficiente linear é y = 0.
D) A raiz é x = 3 e o coeficiente linear é x = 0.
E) A raiz é x = -2 e o coeficiente linear é y = 3.
5) Um reservatório de água com capacidade de 11.000 L, inicialmente cheio, apresentou 
um vazamento na parte inferior. Sabe-se que a cada minuto há uma vazão de 200 
litros de água. Determine a lei de formação que expressa o volume de água V (em 
litros) em função do tempo t (em minutos).
A) V = 11000 - 200t
B) V = 11000 + 200t
C) V= 200 + 11000t
D) V = 200 – 11000t
E) V = 900t
NA PRÁTICA
Problemas cardiovasculares estão presentes na vida de muitos brasileiros, interferindo na 
qualidade de vida e no bem-estar. 
Um cardiopata, uma pessoa com alguma doença do coração, deve ter muita atenção na 
alimentação, nas atividades de rotina e nos tipos de exercícios físicos praticados. Para quem tem 
problemas cardíacos, é recomendado exercício de baixa intensidade, como, por exemplo, a 
caminhada. Uma simples caminhada traz diversos tipos de benefícios à saúde, melhorando 
significativamente a qualidade de vida. 
Com orientação médica, é possível que uma pessoa com a saúde do coração afetada consiga 
praticar um exercício de caminhada sem trazer danos. 
Na Prática a seguir, você vai ver como, a partir de uma determinação médica, uma atividade de 
caminhada pode ser equacionada para que o paciente tenha uma atividade física saudável. A 
representação geométrica também é representada.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Tendências atuais sobre o ensino de funções no Ensino Médio
No artigo a seguir, leia um estudo que traz resultados de pesquisas na área da educação 
matemática que tratam do aprendizado de variáveis e funções e que apontam as tendências 
recentes a respeito do ensino de funções no nível médio.
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Função
Entenda mais sobre o conceito de função e seus gráficos no texto a seguir.
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Plotador Matemático MAFA
Teste seu conhecimento em correlacionar uma função com o gráfico, esboçando o gráfico por 
meio de uma calculadora. Pratique.
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