SISTEMA_MASSA-MOLA_Oscilaes_Harmnicas_livres (1)

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TÍTULO: SISTEMA MASSA-MOLA (Movimento Harmônico Simples) 
OBJETIVO 
Determinação da constante elástica da mola 𝑘. 
INTRODUÇÃO 
Considerando um corpo de massa 𝑚 fixado na extremidade inferior de uma mola 
helicoidal vertical de comprimento 𝑙 conforme figura 01. A massa 𝑚 provoca na mola uma 
deformação de comprimento 𝑥. 
 
Figura 01: (a) mola helicoidal vertical de comprimento 𝑙, (b) mola com uma deformação de comprimento 𝑥 e 
equilíbrio decorrente da massa 𝑚 em sua extremidade e (c) o sistema massa-mola deslocada do seu ponto de 
equilíbrio. 
Duas forças atuam no ponto onde a massa está ligada à mola: a força peso 𝑃, devida a 
atração gravitacional, e é dada por 𝑃 = 𝑚. 𝑔, onde 𝑔 é aceleração da gravidade. Nota-se que a 
força é restauradora em referência a mola, dirigida para cima e indicada por𝐹𝑚. Admiti-se que a 
deformação 𝑥 é pequena, segue, da lei de Hooke, que a força restauradora da mola é 
proporcional a 𝑥 e assim podemos escrever 𝐹𝑚 = −𝑘. 𝑥. O sinal menos na ultima equação 
deve-se o fato de 𝑃 e 𝐹𝑚 serem forças de mesma direção, mas de sentidos opostos; a constante 
𝑘 é chamada de constate elástica da mola e é determinada com base nas propriedades da 
mola, como composição do material, espessura, diâmetro da mola, etc. 
Uma vez que o sistema massa-mola está em equilíbrio, as duas forças se anulam, e 
assim, 
𝑚. 𝑔 − 𝑘𝑥 = 0 (1) 
Em termos dinâmicos, estamos interessados neste experimento em estudar o 
movimento do corpo de massa 𝑚 sob a ação de uma força externa, como, por exemplo, ser 
deslocado para baixo à distância 𝐴 (amplitude) e depois largado. Assim, seja 𝑢(𝑡) o 
deslocamento (alongamento da mola) da massa em relação à posição de equilíbrio no instante 
𝑡; admitamos ainda, que 𝑢(𝑡) seja medido positivamente para baixo, ver a figura 01. Então, 
sendo 𝐹 a força resultante que atua sobre a massa 𝑚 e pela segunda lei de Newton, temos: 
𝐹(𝑡) = 𝑚. �̈� (2) 
Para se compreender melhor a dinâmica desse sistema, devemos considerar 
separadamente as quatro forças que compõe a resultante 𝐹(𝑡), a saber: 
(i) A força peso 𝑃 = 𝑚. 𝑔, que sempre atua para baixo; 
(ii) A força restauradora da mola 𝐹𝑚, que é proporcional ao alongamento total 𝑥 + 𝑢, 
atua sempre no sentido de re-estabelecer a posição original da mola. Assim a força 
restauradora é dada por: 
𝐹𝑚 = −𝑘. (𝑥 + 𝑢). (3) 
(iii) A força resistiva ou de amortecimento, 𝐹𝑎, que sempre atua na direção oposta à 
direção do movimento e é devida às propriedades do meio (atrito, resistência do ar, 
viscosidade) ou fruto da utilização de algum dispositivo absorvedor de choques, denominado 
amortecedor. Os resultados experimentais mostram que esta força é aproximadamente 
proporcional à velocidade escalar |�̇�|da massa. Então a 𝐹𝑎, é da forma, 
𝐹𝑎 = −𝑏. �̇�, (4) 
sendo 𝑏 uma constante que depende da natureza de interação que produz o atrito. O sinal 
negativo indica que a força de atrito se opõe à velocidade. 
(iv) Finalmente, existe ainda a possibilidade da atuação de uma força externa 𝐹𝑒𝑥𝑡 dirigida para 
cima ou para baixo, dependendo da 𝐹𝑒𝑥𝑡 ser positiva ou negativa. Esta é a força que dá origem 
ao fenômeno conhecido como oscilador harmônico forçado e na maioria das vezes tem caráter 
periódico. 
Portanto, considerando a atuação destas forças, podemos reescrever a equação (2) 
como, 
𝑚. �̈� = 𝐹(𝑡) = 𝑃 + 𝐹𝑚 + 𝐹𝑎 + 𝐹𝑒𝑥𝑡 
𝑚. �̈� = 𝑚. 𝑔 + [−𝑘(𝑥 + 𝑢)] + (−𝑏. �̇�) + 𝐹𝑒𝑥𝑡 
𝑚. �̈� = 𝑚. 𝑔 − 𝑘. 𝑥 − 𝑘. 𝑢 − 𝑏. �̇� + 𝐹𝑒𝑥𝑡 
𝑚. �̈� = −𝑘. 𝑢 − 𝑏. �̇� + 𝐹𝑒𝑥𝑡 
Ou seja, 
𝑚. �̈� + 𝑏�̇� + 𝑘. 𝑢 = 𝐹𝑒𝑥𝑡, (5) 
ou, na forma clássica: 
𝑚
𝑑2𝑢
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+ 𝑘. 𝑢 = 𝐹𝑒𝑥𝑡(𝑡). (6) 
A equação acima é uma equação diferencial linear de segunda ordem, onde 𝑚, 𝑏 e 𝑘 
são constantes com significados físicos bem definidos; 𝑢(𝑡) é a função incógnita que indica a 
posição da mola em cada instante; �̇� e �̈� são a velocidade e a aceleração respectivamente. 
Oscilações Harmônicas Livres ou Movimento Harmônico Simples (MHS) 
Na equação (5), suponhamos que não aja atuação de força externa nem a presença de 
força amortecedora, isto é, sendo 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 0 e 𝑏 = 0 temos, 
𝑚
𝑑2𝑢
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑢 = 0 (7) 
ou, 
𝑚�̈� + 𝑘𝑢 = 0 (8) 
Resolvendo a equação (8), através da equação característica, vem: 
𝑚. 𝑟2 + 𝑘 = 0 ⟹ 𝑟2 = −
𝑘
𝑚
⟹ 𝑟 = ±√−
𝑘
𝑚
. (9) 
Como 𝑘 e 𝑚 são constantes positivas segue que −
𝑘
𝑚
 é negativo e assim 𝑟 é complexo, isto é, 
𝑟 = 0 ± √
𝑘
𝑚
. 𝑖. (10) 
Onde 𝑖 = √−1, portanto a solução geral da equação (8) é dada por, 
𝑢(𝑡) = 𝐴. cos(𝜔0 − 𝜃). (11) 
Onde 𝐴 é a amplitude, tendo como o deslocamento máximo do corpo em relação à 
posição de equilíbrio; 𝜃 é a constante de fase e 𝜔0 é a freqüência angular ou o número de 
oscilações completas por unidade de tempo, expressa por radianos por segundo, é dado por: 
𝜔0 = √
𝑘
𝑚
 . (12) 
Também podemos definir por análise o seguinte conceito. O Período 𝑇, que é o tempo 
necessário para uma oscilação completa é dado por: 
𝑇 =
2𝜋
𝜔0
⟹ 𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 (13) 
MATERIAIS NECESSÁRIOS 
• 01 Tripé universal com haste; 
• 01 Mola helicoidal com suporte; 
• 01 Sensor fotoelétrico de barreira; 
• 01 Cronômetro digital multifuncional de mesa; 
• Massas aferidas; 
• Suporte para massas. 
PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS 
Faça a montagem do arranjo experimental conforme a figura 02. 
 
Figura 02: Arranjo experimental com a montagem mecânico e o esquema das conexões eletroeletrônicas. 
O experimento consiste em encontrar o valor do período 𝑇 em função da massa 
associada à mola helicoidal. 
Para este experimento tomam-se pelo menos cinco períodos diferentes levando em 
consideração cinco massas diferentes. 
A equação (13) não é de forma linear, e para análise experimental principalmente em 
laboratórios de ensino de Física será necessário linearizar esta equação. 
Então tomando o logaritmo natural da equação (13), temos, 
ln 𝑇 =
1
2
ln 𝑚 + ln
2𝜋
√𝑘
, (14) 
 
Verifica-se que a equação (13) pode ser escrita na forma 
𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏, (15) 
Onde: 
𝑌 = ln 𝑇 𝑒 𝑋 = ln 𝑚 (16) 
e as constantes são 
𝑎 =
1
2
 𝑒 𝑏 = 𝑙𝑛
2𝜋
√𝑘
. (17) 
Utilizando os dados obtidos experimentalmente preencha uma tabela (conforme o 
modelo - tabela 01). 
Tabela 01: Dados experimentais para encontrar constante elástica da mola 𝑘. 
𝑵 𝒎 (𝒌𝒈) 𝑻 (𝒔) 𝒍𝒏 𝒎 𝒍𝒏 𝑻 
1 
2 
3 
⋮ 
Partindo dos dados obtidos na tabela faça um gráfico de ln 𝑇 em função de ln 𝑚. 
Utilizando análise gráfica, tendo como base a regressão linear e utilizando a equação 
(17), obtenha constante elástica da mola 𝑘 e o coeficiente linear da reta, que neste caso deve 
se aproximar de 0,5. Encontre suas respectivas incertezas. (ver Apêndice).Nota: Sugerimos também que se faça a experiência, relacionando 𝑇 com 𝐿 com os 
seguintes modelos matemáticos: 𝑇2 em função do comprimento 𝑚 e 𝑇 em função da raiz 
quadrada do comprimento √𝑚. 
REFERÊNCIAS 
Bertuola, A. C.; Hussein, M. S. e Pato, M. P.: O oscilador harmônico amortecido forçado 
revisitado. Revista Brasileira de Ensino de Física, (2005) v. 27, n. 3, p. 327 – 332. Disponível em: 
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v27_327.pdf, acesso em 30/12/2012. 
Halliday, D.; Resnick R. e Merrill, J.: Fundamentos de Física 02 – Gravitação, ondas e 
termodinâmica, 3a Edição – 1994, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro – RJ. 
Symon, K. R.: Mecânica - 1996, Editora Campus. Rio de Janeiro – RJ. 
Sites consultados: 
http://www.ufjf.br/fisica/files/2010/03/Lab2aula6.pdf, acesso em 25/12/2012. 
http://www.ebah.com.br/content/ABAAABqD8AJ/trabalho-sistema-massa-mola-pdf, acesso 
em 25/12/2012. 
http://www13.fisica.ufmg.br/~wag/TRANSF/FMECDIST/U15_A44_Oscilacoes_Amortecimento.p
df, acesso em 25/12/2012. 
 
 
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v27_327.pdf
http://www.ufjf.br/fisica/files/2010/03/Lab2aula6.pdf
http://www.ebah.com.br/content/ABAAABqD8AJ/trabalho-sistema-massa-mola-pdf
http://www13.fisica.ufmg.br/~wag/TRANSF/FMECDIST/U15_A44_Oscilacoes_Amortecimento.pdf
http://www13.fisica.ufmg.br/~wag/TRANSF/FMECDIST/U15_A44_Oscilacoes_Amortecimento.pdf
Apêndice 
Equações estatísticas para encontrar o coeficiente angular 𝑎 e linear 𝑏 de uma reta se 
utilizando da regressão linear, bem como a incerteza associada ∆ a cada um dos coeficientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração da linearização da equação do período em função da massa, utilizando o 
recurso do logaritmo. 
( )
( )
( )( )





=
=
=
=
=
−
−−
=
−
−
=
−
−
=
=
=
−
N
i
ii
xy
N
i
i
y
N
i
i
x
N
i
i
N
i
i
N
yyxx
N
yy
N
xx
y
N
y
x
N
x
ASESTATÍSTICFORMULAS
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
:



( ) 
2
1
2
2
.
1
2
.
:
xab
N
a
N
baxy
r
xayb
a
baXY
LINEARAJUSTE
y
x
N
i
ii
y
yx
xy
x
xy
=
=
−
+−
=
=
−=
=
+=
−

=







bb
b
e
k
e
ke
aa
k
bb
aXbY
mT
k
mTm
k
T
k
m
T
molaMassaPeríodo
2
2
2
1
42
2
1
2
lnln
lnlnln
2
1
2
.
2
2
:













===
==






==
+=
+=
=
=
==
=
−






b
e
k
b
b
k
k
b
b
k
k
kINCERTEZA
b
=



=








=
−
2
2
2
2
8
).(
:
