Prof Frank Magalhães - Mercados Financeiros

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Mercados Financeiros
Prof. Frank Magalhães de Pinho, Ph.D.
Curso de Economia
Turma 1º / 2018
22
PARTE 01
33
Prof. Frank Magalhães de Pinho
Formação Acadêmica
Doutorado em Estatística (2012) – Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG
Mestre em Estatística (2003) – Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG
Especialista em Finanças Empresariais (2001) – Fundação Getúlio Vargas – FGV/RJ
Administrador de Empresas (1999) – Centro Universitário Izabela Hendrix – CUIH
Atividades Profissionais Anteriores
Pontifícia Universidade Católica – PUC
Professor da Pós Graduação
Centro Universitário UNA
Pró-Reitor Adjunto de Graduação 
Coordenador do MBA Mercado de Capitais
Coordenador do MBA Gestão Estratégica de Negócios
Coordenador do Curso de Administração de Empresas
Coordenador do Curso de Adm. da Produção e Logística
Professor da Pós Graduação e Graduação
Centro de Gestão Empreendedora – FEAD
Professor do Mestrado
Faculdade Minas Gerais – FAMIG
Coordenador do Curso de Administração de Empresas
Coordenador do Curso de Administração Pública
Faculdade de Santa Luzia – FACSAL
Professor da Pós Graduação 
Centro Universitário de Caratinga – UNEC
Professor da Pós Graduação
Atividades Profissionais Atuais
IBMEC
Coordenador dos Programas Executivos MBA
Professor da Pós Graduação
Professor da Graduação
Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG
Professor da Graduação
Magalhães Consultoria Ltda
Sócio - Diretor
Econlab Ltda
Sócio
44
Outline
 Objetivo
– Proporcionar conhecimentos de matemática financeira e suas aplicações no
mercado financeiro. Estudar, simultaneamente, os fundamentos teóricos da
matemática financeira com suas aplicações à análise de investimentos e o
funcionamento das instituições do mercado financeiro e de seus instrumentos.
Desenvolver as habilidades básicas na operação de calculadoras financeiras.
 Programa
– Regime de Juros Simples, Composto, Misto e Contínuo
– Taxa de Juros
– Operações de Curto Prazo
– Séries Periódicas Uniformes e Séries Variáveis
– Planos de Amortização de Empréstimos e Financiamentos
– Cálculo Financeiro em Contexto Inflacionário
– Métodos e Critérios de Avaliação de Investimentos de Capital
?
55
Referências Bibliográficas
 SAMANEZ, C. P. Matemática financeira – Aplicações à análise de investimentos. 5ª ed.
São Paulo: Prentice Hall, 2010.
 ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12ª edição, São Paulo: Atlas,
2012.
 SECURATO, J. R. Cálculo financeiro das tesourarias, 4ª edição, São Paulo: Saint Paul
Institute of Finance, 2008.
 CAMARGOS, M. A. Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise
de investimentos. São Paulo: Saraiva, 2013.
?
66
Padrão Monetário Nacional
1833 – Emissão das primeiras cédulas pelo Tesnouro Nacional
01/11/1942 – Institui-se o Cruzeiro (Cr$), substituindo os Réis (R$)
Conversão
Rs 1$000 = Cr$ 1,00
77
Padrão Monetário Nacional
01/12/1964 Elimina-se o centavo do cruzeiro
13/02/1967 Institui-se o Cruzeiro Novo (NCr$), substituindo o Cruzeiro
(Cr$)
Conversão
Cr$ 1,00 = Cr$ 1
Conversão
Cr$ 1000 = NCr$ 1,00
88
Padrão Monetário Nacional
15/05/1970 Institui-se o Cruzeiro (Cr$), substituindo os Cruzeiros Novos 
(NCr$) 
16/08/1984 São abolidos os centavos do cruzeiro
Conversão
NCr$ 1,00 = Cr$ 1,00
Conversão
Cr$ 1,00 = Cr$ 1
99
Padrão Monetário Nacional
28/02/1986 Institui-se o Cruzado (Cz$), substituindo os Cruzeiros (Cr$)
Conversão
Cr$ 1000 = Cz$ 1,00
1010
Padrão Monetário Nacional
16/01/1989 Institui-se o Cruzado Novo (NCz$), substituindo os
Cruzados (Cz$)
Conversão
Cz$ 1000,00 = NCz$ 1,00
1111
Padrão Monetário Nacional
16/03/1990 Institui-se o Cruzeiro (Cr$), substituindo os Cruzados Novos
(NCz$)
Conversão
NCz$ 1,00 = Cr$ 1,00
1212
Padrão Monetário Nacional
01/08/1993 Institui-se o Cruzeiro Real (CR$), substituindo os Cruzeiros
(Cr$)
Conversão
Cr$ 1000,00 = CR$ 1,00
1313
Padrão Monetário Nacional
01/07/1994 Institui-se o Real (R$), substituindo os Cruzeiros Reais (CR$)
2010 Institui-se a 2ª família de cédulas de Reais
Conversão
CR$ 2.750,00 = R$ 1,00
1414
Padrão Monetário Nacional
Valor de R$ 1,00
= 2.750 cruzeiros reais
= 2.750.000 cruzeiros
= 2.750.000 cruzados novos
= 2.750.000.000 cruzados
= 2.750.000.000.000 cruzeiros
= 2.750.000.000.000 cruzeiros novos
= 2.750.000.000.000.000 cruzeiros
= 2.750.000.000.000.000.000 réis
1515
PARTE 02
1616
 Estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo
 O objetivo básico é efetuar análises e
comparações dos fluxos de entrada e saída de
dinheiro observados/estimados ao longo do
tempo
 Ferramentas de suporte
- Calculadora HP 12C
- Planilha do Excel
Matemática Finaceira ?
1717
Calculadora HP 12C
Para ligar ou desligar a calculadora, basta pressionar a tecla ON.
Ao ser deixada ligada, a calculadora se desligará automaticamente dentro de alguns
minutos.
1818
Calculadora HP 12C
Para alterar o separador decimal da calculadora, de ponto para vírgula ou vice-versa,
adote os seguintes passos, com a calculadora desligada:
Fique pressionando a tecla do PONTO e dê um toque na tecla ON (pressione e solte).
Pronto!
1919
Calculadora HP 12C
Para alterar o número de casas após a vírgula, basta pressionar a tecla “f” e em
seguida o número de casas desejado.
Exemplo: Se quiser formatar o visor com 4 casas, pressione f 4.
2020
Calculadora HP 12C
 A bateria esta fraca se um * estiver piscando no visor
 Uma tecla da HP 12C pode apresentar até 3 funções
2121
Calculadora HP 12C
 Utilização das funções CLEAR
Apaga exclusivamente o que esta no visor
Apaga os registrados das funções estatísticas
Apaga a memória de programação
Apaga os registros todos os registros
Apaga os registrados das funções financeiras
2222
Calculadora HP 12C
RPN: Reverse Polish Notation. método desenvolvido pelo matemático polonês Jan
Lukasiewicz. O método dispensa a necessidade de parênteses.
Exemplo: Método algébrico: 𝟒 + 𝟓 × 𝟔 = 𝟑𝟒 ; Método RPN: 𝟒 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟓 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟔 × +
2323
Calculadora HP 12C
 Cálculo aritmético simples
1. 150 + 100 → 150 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 100 +
2. 150 − 100 → 150 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 100 −
3. 2000 × 5 → 2000 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 5 ×
4. 2000 ÷ 5 → 2000 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 5 ÷
5. 100 → 100 𝑔 𝑥
6. 100 + 200 × 0,10 → 100 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 200 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 0,10 × +
7. 1000 1 + 0,10 × 2 → 1000 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 1 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 0,10 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 2 × + ×
8.
1000
1+0,10×2
→ 1000 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 1 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 0,10 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 2 × + ÷
EXEMPLO
2424
Calculadora HP 12C
 Cálculos de porcentagens
1. 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 20% 𝑑𝑒 500 → 500 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 20 %
2. 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 % 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 500 𝑒 300 → 500 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 300 Δ%
3. 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎çã𝑜 % 𝑑𝑒 25, 15 𝑒 10 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 →
25 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 15 + 10 + 25 %𝑇 𝐶𝐿𝑋 15 %𝑇 𝐶𝐿𝑋 10 %𝑇
Cálculos de potência e inverso de um número
1. 103 → 10 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 3 𝑦𝑥
2.
1
30
→ 30 Τ1 𝑥
3. 1 + 0,02 5 → 1 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 0,02 + 5 𝑦𝑥
EXEMPLO
2525
Calculadora HP 12C
EXEMPLO
 Cálculos de número de dias e datas
1. 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 11 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑒 2001 𝑒
𝑒 03 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑖𝑙 𝑑𝑒 2012 → 𝑔 𝐷.𝑀𝑌 11.092001 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 03.042012 𝑔 Δ𝐷𝑌𝑆
2. 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑜 𝑎𝑡é 03 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑖𝑙 𝑑𝑒 2012 →
𝑔 𝐷.𝑀𝑌 01.012012 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 03.042012 𝑔 Δ𝐷𝑌𝑆
3. 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 60 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑡𝑟á𝑠 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 03 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑖𝑙 𝑑𝑒 2012 →
𝑔 𝐷.𝑀𝑌03.042012 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 60 𝐶𝐻𝑆 𝑔 𝐷𝐴𝑇𝐸
4. 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 100 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 03 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑖𝑙 𝑑𝑒 2012 →
𝑔 𝐷.𝑀𝑌03.042012 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 100 𝑔 𝐷𝐴𝑇𝐸
𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çã𝑜: 1 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎−𝑓𝑒𝑖𝑟𝑎, 2 𝑡𝑒𝑟ç𝑎−𝑓𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑒 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒.
2626
Calculadora HP 12C
EXERCÍCIO
 Faça o que se pede
1. 1 + 0,02 × 1002. 1 + 0,02 1 + 0,04
3. 10000 1 + 0,02 × 5
4.
10000
1+0,02×5
5. 10000 1 + 0,02 5
6.
10000
1+0,02 5
7. 1 + 0,05 Τ
1
30
8. 1 + 0,24 Τ
1
12
2727
Calculadora HP 12C
EXERCÍCIO
 Faça o que se pede
1. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 18% 𝑑𝑒 2500
2. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 % 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 6000 𝑒 5000
3. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎çã𝑜 % 𝑑𝑒 75, 125 𝑒 300 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
4. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠 03 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑖𝑙 𝑑𝑒 2012 𝑒 20 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 2012
𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑝çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑎 𝐵𝑀&𝐹𝐵𝑜𝑣𝑒𝑠𝑝𝑎
5. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟á 𝑒𝑚 200 𝑑𝑖𝑎𝑠
2828
PARTE 03
2929
Determinantes para o Valor do Dinheiro no Tempo
 Capital – Valor atual de uma aplicação financeira,
empréstimo ou financiamento
 Montante – Valor no futuro desta aplicação financeira,
empréstimo ou financiamento, com a inclusão da
remuneração do capital
 Juros – Remuneração (em moeda) do capital durante
um determinado período de tempo
3030
Determinantes para o Valor do Dinheiro no Tempo
 Taxa de Juros i – Rentabilidade (em %) do capital
durante um determinado período de tempo
 Prazo n – Período de uma operação financeira ou
número de recebimentos e/ou pagamentos
 Fluxo de Caixa – Entradas e saídas de capital no tempo
3131
Determinantes para o Valor do Dinheiro no Tempo
 A Taxa de Juros deve ser apresentada, necessariamente,
em valor percentual e associada a um período de tempo
Número Taxa de Juros Significado
0,001 0,10% 𝑎. 𝑑. 0,10 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎
0,001 0,10% 𝑎. 𝑑. 𝑢. 0,10 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎 ú𝑡𝑖𝑙
0,01 1,00% 𝑎.𝑚. 1,00 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠
0,01 1,00% 𝑎.𝑚. 𝑜. 1,00 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 𝑜𝑣𝑒𝑟
0,02 2,00% 𝑎. 𝑏. 2,00 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
0,03 3,00% 𝑎. 𝑡. 3,00 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
0,04 4,00% 𝑎. 𝑞. 4,00 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
0,06 6,00% 𝑎. 𝑠. 6,00 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
0,12 12,00% 𝑎. 𝑎. 12,00 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜
0,12 12,00% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 12,00 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑜𝑣𝑒𝑟
3232
Definições x Relações Matemáticas 
 Juros
𝑱 = 𝑴− 𝑪⟹𝑴 = 𝑪 + 𝑱
 Taxa de Juros i
𝒊 = ൗ
𝑱
𝑪 ⟹ 𝑱 = 𝑪 × 𝒊
 Montante
𝑴 = 𝑪 + 𝑱 ⟹ 𝑴 = 𝑪 + 𝑪 × 𝒊 ⟹ 𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊
3333
Definições x Relações Matemáticas 
 Dados de uma aplicação financeira em 1 ano
Depósito em Caderneta de Poupança: 𝑅$ 1.000,00
Resgate: 𝑅$ 1100,00
Período: 1 𝑎𝑛𝑜
𝐽 = 𝑀 − 𝐶 ⟹ 𝐽 = 1100 − 1000 ⟹ 𝐽 = 𝑅$ 100,00
𝑖 = ൗ
𝐽
𝐶 ⟹ 𝑖 = ൗ
100
1000 ⟹ 𝑖 = 10% 𝑎. 𝑎.
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 ⟹ 𝐽 = 1000 × 0,10 ⟹ 𝐽 = 𝑅$ 100,00
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 ⟹ 𝑀 = 1000 1 + 0,10 ⟹ 𝑀 = 𝑅$ 1.100,00
EXEMPLO
3434
Regime de Juros Simples
 A taxa de juros incide exclusivamente sobre o valor presente, ou
seja, não há juros sobre o saldo de juros acumulados.
Mês Juros por período Juros acumulados
1 𝐽 = 𝐶 × 𝑖 𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 1
2 𝐽 = 𝐶 × 𝑖 𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 2
3 𝐽 = 𝐶 × 𝑖 𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 3
4 𝐽 = 𝐶 × 𝑖 𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 4
⋮ ⋮ ⋮
𝑛 𝐽 = 𝐶 × 𝑖 𝑱 = 𝑪 × 𝒊 × 𝒏
3535
Regime de Juros Simples
 Juros
𝑱 = 𝑪 × 𝒊 × 𝒏
 Prazo n
𝒏 =
𝑱
𝑪 × 𝒊
 Montante
𝑴 = 𝑪 + 𝑱 ⟹ 𝑴 = 𝑪 + 𝑪 × 𝒊 × 𝒏 ⟹ 𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊𝒏
 Capital
𝑪 =
𝑴
𝟏 + 𝒊𝒏
3636
Regime de Juros Simples
EXEMPLO
 Um jovem empreendedor fará um empréstimo de 𝑅$ 10.000,00 com o 
pai e pagará uma taxa de juros simples de 1,0% 𝑎.𝑚. durante 1 ano. 
Determine o valor dos juros e o montante a ser pago.
Dados: 𝑪 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟏; 𝒏 = 𝟏𝟐; 𝑱 =? ; 𝑴 =?
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑛 ⟹ 𝐽 = 10000 × 0,01 × 12 ⟹ 𝐽 = 𝑅$ 1.200,00
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 ⟹𝑀 = 10000 + 1200 ⟹ 𝑀 = 𝑅$ 11.200,00
Outra maneira de se calcular:
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖𝑛 ⟹ 𝑀 = 10000 1 + 0,01 × 12 ⟹ 𝑀 = 𝑅$ 11.200,00
𝐽 = 𝑀 − 𝐶 ⟹ 𝐽 = 11200 − 10000 ⟹ 𝐽 = 𝑅$ 1.200,00
3737
Regime de Juros Simples
EXEMPLO
 Um título com valor nominal de R$7.200,00 vence em 120 dias. Para
uma taxa de juros simples de 2,60%𝑎.𝑚., pede-se calcular o valor
deste título: a) hoje; b) dois meses antes de seu vencimento; c) um
mês após o seu vencimento.
𝐶 =
𝑀
1 + 𝑖 × 𝑛
⟹ 𝐶 =
7200
1 + 0,026 × 4
⟹
7200
1,104
⟹ 𝐶 = 𝑅$ 6.521,74
𝐶 =
𝑀
1 + 𝑖 × 𝑛
⟹ 𝐶 =
7200
1 + 0,026 × 2
⟹
7200
1,052
⟹ 𝐶 = 𝑅$ 6.844,11
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 × 𝑛 ⟹ 𝑀 = 7200 1 + 0,026 × 1 ⟹ 7200 × 1,026
⟹ 𝐶 = 𝑅$ 7.387,20
3838
Regime de Juros Simples
EXERCÍCIO
 O mesmo jovem empreendedor já havia feito um empréstimo de
𝑅$ 25.000,00 com a mãe e pagou, após 24 meses 𝑅$ 29.500,00.
Determine os juros e a taxa de juros mensal.
3939
Regime de Juros Simples
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira 𝑅$18.000,00 resgatando 𝑅$21.456,00 quatro 4
meses depois. Calcule a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação. 𝟒, 𝟖%𝒂.𝒎.
2. Uma pessoa necessita de 𝑅$30.000,00 daqui a 4 anos, quanto ela deverá depositar hoje num fundo
que remunera a taxa simples de 21%𝑎. 𝑎.? 𝑹$𝟏𝟔𝟑𝟎𝟒, 𝟑𝟓
3. Qual o valor dos juros e do montante de uma aplicação de 𝑅$300.000,00 por 19 meses, à taxa
simples de 3,5%𝑎.𝑚.? 𝑹$𝟏𝟗𝟗. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎, 𝑹$𝟒𝟗𝟗. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎
4. Calcule o valor do juro referente a uma aplicação financeira de 𝑅$7.500,00, que rende 1,25%𝑎.𝑚.,
pelo período de 2 anos e 3 meses. 𝑹$𝟐𝟓𝟑𝟏, 𝟐𝟓
5. Uma pessoa aplicou 𝑅$12.000,00 numa Instituição Financeira resgatando, após 7 meses, o
montante de 𝑅$13.008,00 . Qual a taxa de juros simples mensal que o aplicador recebeu?
𝟏, 𝟐%𝒂.𝒎.
6. Uma nota promissória de valor nominal de 𝑅$140.000,00 é resgatada 2 meses antes de seu
vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9%𝑎.𝑚.?
𝑹$𝟏𝟑𝟒𝟖𝟕𝟒, 𝟕𝟔
4040
PARTE 04
4141
Equivalência de Capitais
 Define-se que dois ou mais capitais, com datas de vencimentos
determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data,
à mesma taxa de juros, apresentarem valores iguais.
 Se a data de comparação é no tempo 0, tem-se que:
𝐴1
1 + 𝑖 × 1
+
𝐴2
1 + 𝑖 × 2
=
𝐵1
1 + 𝑖 × 3
+
𝐵2
1 + 𝑖 × 4
+
𝐵3
1 + 𝑖 × 5
.
 Se a data de comparação é no tempo 6, tem-se que:
𝐴1 1 + 𝑖 × 5 + 𝐴2 1 + 𝑖 × 4 = 𝐵1 1 + 𝑖 × 3 + 𝐵2 1 + 𝑖 × 2 + 𝐵3 1 + 𝑖 × 1 .
4242
Equivalência de Capitais
 Uma pessoa deve dois títulos no valor de 𝑅$25.000,00 e 𝑅$56.000,00 cada.
O primeiro título vence de hoje a dois meses, e o segundo um mês após. O
devedor deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único
pagamento ao final do quinto mês. Considerando a taxa de juros de
3,0%𝑎.𝑚, determine o valor deste pagamento. (Data focal é 5 meses)
𝑀 = 𝐶1 1 + 𝑖 × 𝑛1 + 𝐶2 1 + 𝑖 × 𝑛2
⟹𝑀 = 25000 1 + 0,03 × 3 + 56000 1 + 0,03 × 2
⟹ 𝑀 = 27250 + 59360 = 𝑅$86.610,00
EXEMPLO
4343
Equivalência de Capitais
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Uma dívida no valor de 𝑅$48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatar a dívida
pagando 𝑅$4.800,00 hoje, 𝑅$14.000,00 de hoje a dois meses, e o restante um mês após a data de
vencimento. Determine o montante do pagamento à taxa linear de juros de 3%𝑎.𝑚., considerando
como data de comparação: a) a data zero; b) o mês de vencimento.
2. Uma pessoa deve pagar 𝑅$3.000,00 daqui a dois meses e 𝑅$6.000,00 daqui a 5 meses. A juros
simples de 1%𝑎.𝑚., determine o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a 3 meses que
liquide a dívida. Considere como data focal: a) a data zero; b) o 3𝑜 mês; c) o 5𝑜 mês.
3. Na compra de um calculadora 𝐻𝑃 − 12𝐶 cujo valor à vista é de 𝑅$140,00, deve-se pagar uma
entrada mais duas prestações de 𝑅$66,83 no fim dos próximos dois meses. Considerando uma taxa
de juros cobrada pela vendedora de 2,5%𝑎.𝑚., calcule o valor da entrada.
4. Uma 𝑇𝑉 em cores é vendida nas seguintes condições: à vista por 𝑅$1.800,00, ou com 20% de
entradae 𝑅$1.492, 57 em 30 dias. Determine a taxa de juros simples mensal cobrada na venda a
prazo.
4444
PARTE 05
4545
Regime de Juros Composto
 A taxa de juros incide sobre o montante calculado no período
anterior, ou seja, há juros sobre o saldo de juros acumulados.
Mês Juros por período Montante por período
1 𝐽1 = 𝐶 × 𝑖 𝑀1 = 𝐶 1 + 𝑖
2 𝐽2 = 𝑀1 × 𝑖 𝑀2 = 𝑀1 1 + 𝑖 ⟹ 𝑀2 = 𝐶 1 + 𝑖 1 + 𝑖 ⟹ 𝑀2 = 𝐶 1 + 𝑖
2
3 𝐽3 = 𝑀2 × 𝑖 𝑀3 = 𝑀2 1 + 𝑖 ⟹ 𝑀3 = 𝐶 1 + 𝑖
2 1 + 𝑖 ⟹ 𝑀3 = 𝐶 1 + 𝑖
3
4 𝐽4 = 𝑀3 × 𝑖 𝑀4 = 𝑀3 1 + 𝑖 ⟹ 𝑀4 = 𝐶 1 + 𝑖
3 1 + 𝑖 ⟹ 𝑀4 = 𝐶 1 + 𝑖
4
⋮ ⋮ ⋮
𝑛 𝐽𝑛 = 𝑀𝑛−1 × 𝑖 𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊
𝒏
4646
Regime de Juros Compostos
 Montante 𝑭𝑽 𝑑𝑎 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 𝒏
 Capital 𝑷𝑽 𝑑𝑎 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝑪 =
𝑴
𝟏 + 𝒊 𝒏
4747
Regime de Juros Compostos
 Taxa de Juros i 𝒊 𝑑𝑎 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒊 =
𝑴
𝑪
ൗ𝟏 𝒏
− 𝟏
 Prazo n 𝒏 𝑑𝑎 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒏 =
𝒍𝒏
𝑴
𝑪
𝒍𝒏 𝟏 + 𝒊
4848
Regime de Juros Compostos
EXEMPLO
 John Litner fez uma aplicação financeira em um Certificado de
Depósito Bancário – CDB o valor de 𝑅$ 5.000,00 e pretende restagar
sua aplicação em 20 meses. Qual a remuneração e o valor de
resgate, dado que a taxa de juros composta é de 1,00% 𝑎.𝑚..
Dados: 𝑪 = 𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟏; 𝒏 = 𝟐𝟎; 𝑱 =? ; 𝑴 =?
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛 ⟹𝑀 = 5000 1 + 0,01 20 ⟹𝑀 = 𝑅$ 6.100,95
𝐽 = 𝑀 − 𝐶 ⟹ 𝐽 = 6100,95 − 5000 ⟹ 𝐽 = 𝑅$ 1.100,95
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹
𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽 𝟓𝟎𝟎𝟎 −
20 𝒏 → 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟗𝟓
𝟏 𝒊
𝑭𝑽 → 𝟔𝟏𝟎𝟎, 𝟗𝟓
4949
Regime de Juros Compostos
EXERCÍCIO
 Willian Sharpe deseja aplicar em um Fundo de Investimento
Financeiro – FIF o valor de 𝑅$ 20.000,00 e restagar em 5 anos. A
aplicação tem uma taxa de juros pré-fixada em 1,20% 𝑎.𝑚.. Qual a
remuneração do capital e o valor de resgate percebidos pelo
investidor?
Dados:
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟒𝟎𝟗𝟏𝟐, 𝟗𝟓 → 𝟐𝟎𝟗𝟏𝟐, 𝟗𝟓
5050
Regime de Juros Compostos
EXEMPLO
 Fisher Black deverá substituir, daqui a 30 meses, um equipamento
no valor de 𝑅$ 80.000,00 (valor estimado). Qual o valor do
equipamento hoje, considerando uma taxa de juros composta de
0,70% 𝑎.𝑚..
Dados: 𝑴 = 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕; 𝒏 = 𝟑𝟎; 𝑪 =?
𝐶 =
𝑀
1 + 𝑖 𝑛
⟹ 𝐶 =
80000
1 + 0,007 30
⟹ 𝐶 = 𝑅$ 64.894,20
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵
𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑭𝑽
30 𝒏
𝟎, 𝟕𝟎 𝒊
𝑷𝑽 → 𝟔𝟒𝟖𝟗𝟒, 𝟐𝟎
5151
Regime de Juros Compostos
EXERCÍCIO
 Andrew Harvey resgatou 𝑅$ 15.500,00 de uma caderneta de
poupança após 90 dias. Qual a remuneração e o valor aplicado, dado
que a taxa de juros efetiva foi de 0,65% 𝑎.𝑚.?
Dados:
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟏𝟓𝟐𝟎𝟏, 𝟔𝟒 → 𝟐𝟗𝟖, 𝟑𝟔
5252
Regime de Juros Compostos
EXERCÍCIO
 Miron Scholes deseja adquirir em 2 anos um escritório de valor de
𝑅$ 250.000,00 (valor estimado). Qual é o valor que ele necessita
depositar em uma conta ter condições para adquirí-lo, sendo que a
taxa de juros exponencial é de 0,60% 𝑎.𝑚.?
Dados:
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟐𝟏𝟔𝟓𝟔𝟓, 𝟏𝟎
5353
Regime de Juros Compostos
EXEMPLO
 John Cox realizou uma aplicação financeira no valor de 𝑅$ 25.000,00.
Após 12 meses resgatou 𝑅$ 30.245,76 para investir em um novo
projeto. Qual foi a taxa de juros efetiva mensal e anual obtida nesta
operação financeira?
Dados: 𝑪 = 𝟐𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝑴 = 𝟑𝟎𝟐𝟒𝟓, 𝟕𝟔; 𝒏 = 𝟏𝟐; 𝒊 =?
𝑖 =
𝑀
𝐶
Τ1 𝑛
− 1⟹ 𝑖 =
30245,76
25000
Τ1 12
− 1⟹ 𝑖 = 0,01600 ⟹ 𝑖 = 1,60% 𝑎.𝑚.
𝑖 =
𝑀
𝐶
Τ1 𝑛
− 1 ⟹ 𝑖 =
30245,76
25000
Τ1 1
− 1
⟹ 𝑖 = 0,209830 ⟹ 𝑖 = 20,9830% 𝑎. 𝑎.
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝒇 𝑭𝑰𝑵
𝟑𝟎𝟐𝟒𝟓, 𝟕𝟔 𝑪𝑯𝑺 𝑭𝑽 𝟑𝟎𝟐𝟒𝟓, 𝟕𝟔 𝑪𝑯𝑺 𝑭𝑽
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝑷𝑽 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝑷𝑽
𝟏𝟐 𝒏 𝟏 𝒏
𝒊 → 𝟏, 𝟔𝟎 𝒊 → 𝟐𝟎, 𝟗𝟖𝟑𝟎
5454
Regime de Juros Compostos
EXERCÍCIO
 Stephen Ross realizou uma aplicação financeira em um FIF no valor
de 𝑅$ 37.500,00 . Após 18 meses resgatou 𝑅$ 42.755,20 para
comprar ações na expectativa de uma maior rentabilidade. Qual foi a
taxa de juros mensal e anual obtida nesta operação financeira?
Dados:
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟎, 𝟕𝟑𝟏𝟑 → 𝟗, 𝟏𝟑𝟔𝟗
5555
Regime de Juros Compostos
EXEMPLO
 Mark Rubstein deseja duplicar a produção de sua empresa.
Considerando uma taxa de crescimento exponencial de 2,00% 𝑎.𝑚.,
em quanto tempo sua meta pode ser atingida?
Dados: 𝑪 = 𝟏𝟎, 𝟎𝟎; 𝑴 = 𝟐𝟎, 𝟎𝟎; 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐; 𝒏 =?
𝑛 =
𝑙𝑛
𝑀
𝐶
𝑙𝑛 1 + 𝑖
⟹ 𝑛 =
𝑙𝑛
20
10
𝑙𝑛 1 + 0,02
⟹ 𝑛 = 35 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵
𝟐𝟎, 𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑭𝑽
𝟏𝟎, 𝟎𝟎 𝑷𝑽
𝟐 𝒊
𝒏 → 𝟑𝟓
5656
Regime de Juros Compostos
EXERCÍCIO
 George Soros deseja triplicar a produção de sua empresa.
Considerando uma taxa de crescimento exponencial de 1,00% 𝑎.𝑚.,
em quanto tempo seu objetivo pode ser alcançado?
Dados:
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟏𝟏𝟏
5757
Regime de Juros Compostos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Calcule o valor futuro (montante) de uma aplicação financeira de 𝑅$ 15.000,00 ,
admitindo-se uma taxa 2,5% 𝑎.𝑚. para um período de 17 meses. 𝑹$ 𝟐𝟐. 𝟖𝟐𝟒, 𝟐𝟕
2. Calcule o valor presente (capital) de uma aplicação de 𝑅$ 98.562,25, efetuada pelo
prazo 6 meses a uma taxa 1,85% 𝑎.𝑚.. 𝑹$ 𝟖𝟖. 𝟐𝟗𝟔, 𝟔𝟗
3. Qual é a taxa mensal e anual de juros necessária para um capital de 𝑅$ 2.500,00
produzir um montante de 𝑅$ 4.489,94 durante 1 ano. 𝟓, 𝟎𝟎% 𝒂.𝒎. ; 𝟕𝟗, 𝟓𝟗𝟕𝟔% 𝒂.𝒂.
4. Quanto tempo foi necessário para uma aplicação financeira de 𝑅$ 6.564,85 produzir
um montante de 𝑅$ 45.562,45 a uma taxa de 0,98% 𝑎.𝑚.? 𝟏𝟗𝟗𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
5. Qual a remuneração de um capital de 𝑅$ 4.000,00 aplicados por 10 meses a juros
efetivos de 2,00% 𝑎.𝑚.? 𝑹$ 𝟖𝟕𝟓, 𝟗𝟖
6. Determine a taxa de juros mensal de uma aplicação financeira de 𝑅$ 40.000,00 que
produz um montante de 𝑅$ 43.894,63 ao final de 1 quadrimestre. 𝟐, 𝟑𝟓% 𝒂.𝒎.
5858
Regime de Juros Compostos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Determine o capital que, aplicados por 7 meses a juros efetivos de 4,00% 𝑎.𝑚.,
percebeu uma rentabilidade de 𝑅$ 10.000,00. 𝑹$ 𝟑𝟏𝟔𝟓𝟐, 𝟒𝟎
2. Recentemente um investidor comprou 𝑅$ 20.000,00 em títulos cambiais obtendo uma
remuneração de 𝑅$ 2.800,00 em 2 meses. Qual é a taxa de juros implícita nesta
operação? 𝟔, 𝟕𝟕𝟎𝟖% 𝒂.𝒎.
3. Determine os juros pagos por um empréstimo de 𝑅$ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses,
à taxa composta de 4,50% 𝑎.𝑚.. 𝑹$ 𝟐𝟏. 𝟔𝟔𝟒, 𝟎𝟐
4. Em 03 𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑑𝑒 2012 𝑅$ 5.200,00 foram aplicados com remuneração pré-fixada
em 𝑅$ 324,23 e resgate programado para 03 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 2012. Qual a taxa de juros
diária desta operação? 𝟎, 𝟎𝟓% 𝒂. 𝒅.
5. Um investidor deseja aplicar 𝑅$ 100.000,00 por 6 meses em um fundo de renda fixa,
onde a taxa efetiva é de 12,00% 𝑎. 𝑎.. Qual será a remuneração e o valor de resgate
após o período de aplicação? 𝑹$ 𝟏𝟎𝟓. 𝟖𝟑𝟎, 𝟎𝟓; 𝑹$ 𝟓. 𝟖𝟑𝟎, 𝟎𝟓
5959
PARTE 06
6060
Regime de Juros Misto
 Os juros compostos são utilizados para os períodos inteiros 𝑛1 e os
juros simples para a parte fracionária de períodos 𝑛2 .
 Convenção Linear (Regime de Juros Misto) e Convenão Exponencial
(Regime de Juros Compostos).
𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 𝒏𝟏 𝟏 + 𝒊𝒏𝟐
 Se no visor da 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪 tiver a letra 𝑪 𝑺𝑻𝑶 𝑬𝑬𝑿 os cálculos serão
pela convenção exponencial e se não tiver serão pela convenção
linear.
6161
Regime de Juros Misto
 Uma dívida de valor nominal R$25.000,00 será paga 77 dias após a
data de vencimento. Calcule o valor devido pelas convenções linear
e exponencial, dada uma taxa de juros de 5,00% 𝑎.𝑚..
Dados: 𝑪 = 𝟐𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒏𝟏 = 𝟔𝟎; 𝒏𝟐 = 𝟏𝟕; 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟓; 𝑴 =?
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛1 1 + 𝑖𝑛2 ⟹𝑀 = 25000 1 + 0,05
Τ60 30 1 + 0,05 × Τ17 30
⟹𝑀 = 𝑅$ 28.343,44
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛 ⟹𝑀 = 25000 1 + 0,05 Τ
77
30
⟹𝑀 = 𝑅$ 28.335,17
EXEMPLO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 (𝑪 𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒈𝒂𝒅𝒐) 𝑺𝑻𝑶 𝑬𝑬𝑿 (𝑪 𝒍𝒊𝒈𝒂𝒅𝒐)
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺𝑷𝑽
𝟓 𝒊 𝟓 𝒊
𝟕𝟕 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟑𝟎 ÷ 𝒏 𝟕𝟕 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟑𝟎 ÷ 𝒏
𝑭𝑽 → 𝟐𝟖𝟑𝟒𝟑, 𝟒𝟒 𝑭𝑽 → 𝟐𝟖𝟑𝟑𝟓, 𝟏𝟕
6262
Regime de Juros Misto
 O Tatuí Bank esta cobrando uma dívida de R$248.000,00 que venceu
a 75 dias. Calcule, pelas convenções linear e exponencial, o valor a
ser pago, dada uma taxa de juros de 4,00% 𝑎.𝑚..
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟐𝟕𝟑𝟓𝟒𝟖, 𝟗𝟑 → 𝟐𝟕𝟑𝟔𝟎𝟏, 𝟓𝟑
6363
Regime Misto
 Faça o que se pede.
1. Calcule o valor futuro pelas convenções linear e exponencial de uma aplicação
financeira de 𝑅$ 15.500,00, admitindo-se uma taxa de 0,85% 𝑎.𝑚. para um período de
68 dias. 𝑹$ 𝟏𝟓. 𝟖𝟎𝟎, 𝟑𝟓; 𝑹$ 𝟏𝟓. 𝟖𝟎𝟎, 𝟐𝟒
2. Um dívida de 𝑅$ 15.000 será paga com 105 dias de atraso e com um encargo de
2,55% 𝑎.𝑚.. Calcule o valor a ser pago pelas convenções linear e exponencial.
𝑹$ 𝟏𝟔. 𝟑𝟖𝟑, 𝟐𝟕; 𝑹$ 𝟏𝟔. 𝟑𝟖𝟏, 𝟗𝟕
3. Um imposto no valor de 𝑅$ 488 está sendo pago com atraso de 80 dias. Se a
Prefeitura cobrar juros de 4,65% 𝑎.𝑚., o contribuinte terá de pagar um acréscimo de
quanto? Faça este cálculo pelas convenções linear e exponencial.
𝑹$ 𝟓𝟓𝟏, 𝟎𝟏; 𝑹$ 𝟓𝟓𝟎, 𝟖𝟖
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
6464
PARTE 07
6565
Regime de Juros Contínuo
 Montante
𝑴 = 𝑪𝒆𝒓𝒏
 Capital
𝑪 = 𝑴𝒆−𝒓𝒏
 Lembre-se que 𝒆𝒓 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟏 +
𝒓
𝒏
𝒏
 Sabe-se que 𝒓 = 𝒍𝒏 𝟏 + 𝒊
6666
Regime de Juros Contínuo
 Taxa de Juros r
𝒓 =
𝟏
𝒏
𝑳𝒏
𝑴
𝑪
 Prazo n
𝒏 =
𝟏
𝒓
𝑳𝒏
𝑴
𝑪
6767
Regime de Juros Contínuo
EXERCÍCIO
 Determine o montante de uma aplicação de 𝑅$ 56.000,00 feita a taxa
contínua de 2,0% 𝑎.𝑚.. durante 3 anos.
 Qual é a taxa contínua mensal correspondente a aplicação de
𝑅$ 5.000,00 e resgate de 𝑅$ 8.000,00 após 36 meses.
Dados:
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟏𝟏𝟓𝟎𝟒𝟖, 𝟐𝟔 → 𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟎𝟓𝟔
6868
Regime de Juros Contínuo
EXERCÍCIO
 Determine o número de períodos necessários para acumular
𝑅$ 500.000,00, considerando um depósito único 𝑅$ 10.000,00 e taxa
contínua de 1,0% 𝑎.𝑚..
Dados:
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟑𝟗𝟏, 𝟐
6969
Regime de Juros Contínuo
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
 Determine o montante de uma aplicação de 𝑅$ 20.000,00 feita a taxa contínua de
1,0% 𝑎.𝑚.. durante 2 anos.
 Determine o montante de uma aplicação de 𝑅$ 100.000,00 realizada a taxa contínua
de 1,0% 𝑎.𝑚.. durante 180 dias.
 Determine o capital investido, considerando um resgate de 𝑅$ 45.000,00 e uma taxa
contínua de 2,0% 𝑎.𝑚.. durante 10 meses.
 Qual é a taxa contínua mensal correspondente a aplicação de 𝑅$ 10.000,00 e resgate
de 𝑅$ 12.500,00 após 18 meses.
 Qual é a taxa contínua mensal correspondente a aplicação de 𝑅$ 50.000,00 e resgate
de 𝑅$ 60.000,00 após 2,5 anos.
 Determine o número de períodos necessários para acumular 𝑅$ 200.000,00 ,
considerando um depósito único 𝑅$ 50.000,00 e taxa contínua de 1,2% 𝑎.𝑚..
7070
PARTE 08
7171
Taxas Equivalentes
 São taxas que estão referenciadas em períodos de tempos
diferentes, mas quando aplicadas a um mesmo valor presente, pelo
mesmo prazo, geram o mesmo valor futuro.
 A taxa equivalente é a taxa geométrica das taxas de juros de todo o
período, ou seja:
𝒊𝒆𝒒 = 𝟏 + 𝒊
𝑸 − 𝟏; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄 =
𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎
𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑚
.
 Convenciona-se que 1 ano tem 360 dias corridos e 252 dias úteis.
7272
Taxas Equivalentes
EXEMPLO
 Calcule, sob os regimes de juros simples e compostos qual o
montante produzido por um capital de 𝑅$ 100.000,00 capitalizados,
em 12 meses, a 2,00% 𝑎.𝑚. e 24,00% 𝑎. 𝑎. . Estas taxas são
equivalentes?
Dados: 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐 𝒆 𝒊 = 𝟎, 𝟐𝟒; 𝒏 = 𝟏𝟐;𝑴 =?
𝑅𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖𝑛 ⟹ 𝑀 = 100000 1 + 0,24 × 1 ⟹ 𝑀 = 𝑅$ 124.000,00
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖𝑛 ⟹ 𝑀 = 100000 1 + 0,02 × 12 ⟹ 𝑀 = 𝑅$ 124.000,00
𝑅𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛 ⟹𝑀 = 100000 1 + 0,24 1 ⟹𝑀 = 𝑅$ 124.000,00
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛 ⟹𝑀 = 100000 1 + 0,02 12 ⟹𝑀 = 𝑅$ 126.824,18
7373
Taxas Equivalentes
EXEMPLO
 Encontro a taxa equivalente anual de 2,00% 𝑎.𝑚. e o montante obtido
por esta taxa em uma aplicação financeira de 𝑅$ 100.000,00
capitalizados por 1 ano.
Dados: 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐; 𝒏 = 𝟏; 𝒊 =?%𝒂. 𝒂. ; 𝑴 =?
𝑖𝑒𝑞 = 1 + 𝑖
𝑄 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 0,02
12 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 26,82418% 𝑎. 𝑎.
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛 ⟹𝑀 = 100000 1 + 0,2682418 1 ⟹𝑀 = 𝑅$126.824,18
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛 ⟹𝑀 = 100000 1 + 0,02 12 ⟹𝑀 = 𝑅$ 126.824,18
7474
Taxas Equivalentes
EXEMPLO
 Calcule as taxas equivalentes mensal e anual das seguintes taxas:
𝑎) 6,1521% 𝑎. 𝑠. ; 𝑏) 8,2433% 𝑎. 𝑞. ; 𝑐) 10,8718% 𝑎. 𝑡.
𝑎) 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 𝑖
𝑄 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 0,061521
ൗ1 6 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1,0000% 𝑎.𝑚.
𝑖𝑒𝑞 = 1 + 𝑖
𝑄 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 0,061521
Τ12 6 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 12,6826% 𝑎. 𝑎.
𝑏) 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 𝑖
𝑄 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 0,082433
ൗ1 4 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 2,0000% 𝑎.𝑚.
𝑖𝑒𝑞 = 1 + 𝑖
𝑄 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 0,082433
Τ12 4 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 26, 8245% 𝑎. 𝑎.
𝑐) 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 𝑖
𝑄 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 0,108718
ൗ1 3 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 3,5000% 𝑎.𝑚.
𝑖𝑒𝑞 = 1 + 𝑖
𝑄 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 0,108718
Τ12 3 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 51, 1069% 𝑎. 𝑎.
7575
Taxas Equivalentes
EXEMPLO
 Um investidor aplicou 𝑅$ 1.000,00 durante 125 dias a juros
compostos de 6,00% 𝑎.𝑚. . Calcule o montante resgatado e os
rendimentos obtidos.
Dados: 𝑪 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟔; 𝒏 = 𝟏𝟐𝟓; 𝑴 =? ; 𝑱 =?
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛 ⟹𝑀 = 1000 1 + 0,06 ൗ
125
30 ⟹𝑀 = 𝑅$1.274, 80
𝐽 = 𝑀 − 𝐶 ⟹ 𝑀 = 1274,80 − 1000 ⟹ 𝐽 = 𝑅$274, 80
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽 𝟏𝟎𝟎𝟎 −
𝟔 𝒊 → 𝟐𝟕𝟒, 𝟖𝟎
𝟏𝟐𝟓 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟑𝟎 ÷ 𝒏
𝑭𝑽 → 𝟏𝟐𝟕𝟒, 𝟖𝟎
7676
Taxas Equivalentes
EXERCÍCIO
 Calcule as taxas equivalentes mensal e anual das seguintes taxas:
𝑎) 9,3443% 𝑎. 𝑠. ; 𝑏) 16,9859% 𝑎. 𝑞. ; 𝑐) 9,2727% 𝑎. 𝑡.
𝒂)𝒊𝒆𝒒 = 𝟏, 𝟓𝟎𝟎𝟎% 𝒂.𝒎. , 𝒊𝒆𝒒 = 𝟏𝟗 , 𝟓𝟔𝟏𝟖% 𝒂.𝒂. ; 𝒃) 𝒊𝒆𝒒 = 𝟒 , 𝟎𝟎𝟎𝟎% 𝒂.𝒎. , 𝒊𝒆𝒒= 𝟔𝟎 , 𝟏𝟎𝟑𝟒% 𝒂.𝒂. ;
𝒄) 𝒊𝒆𝒒 = 𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎% 𝒂.𝒎. , 𝒊𝒆𝒒 = 𝟒𝟐 , 𝟓𝟕𝟔𝟏% 𝒂. 𝒂
7777
Taxas Equivalentes
 Um investidor tem duas propostas de aplicação financeira de curto
prazo: aplicar em um CDB à taxa de 2,9847% em 45 dias ou aplicar
em um FIF à taxa de 3, 7342% em 60 dias. Encontre as taxas
mensais e anuais de cada aplicação e comente os resultados.
𝒊𝑪𝑫𝑩 = 𝟏, 𝟗𝟖% 𝒂.𝒎. ; 𝒊𝑪𝑫𝑩 = 𝟐𝟔, 𝟓𝟑% 𝒂. 𝒂. ; 𝒊𝑭𝑰𝑭 = 𝟏, 𝟖𝟓% 𝒂.𝒎. ; 𝒊𝑭𝑰𝑭 = 𝟐𝟒, 𝟔𝟎% 𝒂. 𝒂.
EXERCÍCIO
7878
Taxas Equivalentes
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Uma factoring divulga o seguinte oportunidade: “aplique 𝑅$ 1.000,00 hoje e receba
𝑅$ 1.180,00 ao final de 6 meses”. Determine as taxas mensal, semestral e anual de
juros oferecida nesta operação. 𝟐, 𝟕𝟗𝟕𝟎% 𝒂.𝒎. ; 𝟏𝟖, 𝟎𝟎𝟎𝟎% 𝒂. 𝒔. ; 𝟑𝟗, 𝟐𝟒𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂
2. Um cheque no valor de 𝑅$ 120.000,00 foi antecipado, em uma financeira, em 2 meses.
Qual o valor pago, sabendo-se que a taxa de juros é de 19,5619% 𝑎. 𝑎. ?
𝑹$ 𝟏𝟏𝟔. 𝟒𝟕𝟗, 𝟒𝟎
3. Qual é o valor de resgate de uma aplicação de 𝑅$ 36.000,00 em um título público pelo
prazo de 9 meses à taxa de juros de 21,50% 𝑎. 𝑎.? 𝑹$ 𝟒𝟏. 𝟔𝟔𝟏, 𝟒𝟖
4. Um Título do Tesouro Nacional foi lançado pagando 6,00% 𝑎. 𝑡.. Se uma pessoa
necessitar de 𝑅$ 58.000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar? 𝑹$ 𝟐𝟖. 𝟖𝟐𝟒, 𝟐𝟑
5. Calcule o montante da aplicação de 𝑅$ 85.000,00 por 9 meses à taxa de 11,60% 𝑎. 𝑠..
𝑹$ 𝟏𝟎𝟎. 𝟐𝟏𝟎, 𝟗𝟔
7979
PARTE 09
8080
Equivalência de Capitais
 Define-se que dois ou mais capitais, com datas de vencimentos
determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data,
à mesma taxa de juros, apresentarem valores iguais.
 Se a data de comparação é no tempo 0, tem-se que:
𝐴1
1 + 𝑖 1
+
𝐴2
1 + 𝑖 2
=
𝐵1
1 + 𝑖 3
+
𝐵2
1 + 𝑖 4
+
𝐵3
1 + 𝑖 5
.
 Se a data de comparação é no tempo 6, tem-se que:
𝐴1 1 + 𝑖
5 + 𝐴2 1 + 𝑖
4 = 𝐵1 1 + 𝑖
3+ 𝐵2 1 + 𝑖
2 + 𝐵3 1 + 𝑖
1.
8282
Equivalência de Capitais
 O fluxo de caixa ilustra a equivalência (no segundo e terceiro mês) a
juros de 10,00% 𝑎.𝑚. de dois capitais: um de 𝑅$ 3.477,16 que ocorre
no primeiro mês e outro de 𝑅$ 5.600,00 no sexto mês.
EXEMPLO
8383
Equivalência de Capitais
 Uma empresário deve duas notas promissórias no valor de 𝑅$ 25.000,00 e
𝑅$ 56.000,00 cada. A primeira vence em 2 meses, e a segunda um 1 após. O devedor
deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final
do quinto mês. Considerando a taxa de juros de 3,00% 𝑎.𝑚., determine o valor deste
pagamento.
Dados: 𝑪𝟏 = 𝟐𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒏𝟏 = 𝟑; 𝑪𝟐 = 𝟓𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒏𝟐 = 𝟐; 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟑; 𝑴 =?
𝑀 = 𝐶1 1 + 𝑖
𝑛1 + 𝐶2 1 + 𝑖
𝑛2 ⟹𝑀 = 25000 1 + 0,03 3 + 56000 1 + 0,03 2
⟹𝑀 = 27318,18 + 59410,40 ⟹ 𝑀 = 𝑅$ 86.728,58
EXEMPLO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝟓𝟔𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽 𝟑 𝒊 𝟐 𝒏
𝟑 𝒊 𝟑 𝒏 𝑭𝑽 → 𝟓𝟗𝟒𝟏𝟎, 𝟒𝟎
𝑭𝑽 → 𝟐𝟕𝟑𝟏𝟖, 𝟏𝟖 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝑹𝑪𝑳 𝟏 +
𝑺𝑻𝑶 𝟏 𝒇 𝑭𝑰𝑵 → 𝟖𝟔𝟕𝟐𝟖, 𝟓𝟖
8484
Equivalência de Capitais
 Uma pessoa tem uma dívida de 𝑅$ 1.000,00 que vence em 10 meses e
propõe pagá-la em 3 parcelas: 𝑅$ 350,00 daqui a 3 meses, 𝑅$ 300,00
daqui a 7 meses e uma parcela final no vencimento da dívida. A juros de
26,5320% 𝑎. 𝑠., determine o valor da parcela final que liquide a dívida.
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟐𝟎𝟏, 𝟗𝟔
8585
Equivalência de Capitais
 O valor à vista de uma calculadora 𝐻𝑃 10𝐵 é de 𝑅$ 200,00 ou pagar uma
entrada mais 2 prestações de 𝑅$ 66,83 no fim dos próximos 2 meses.
Considerando uma taxa de 33,5470% 𝑎. 𝑞. , calcule o valor da entrada.
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟖𝟎, 𝟎𝟎
8686
Equivalência de Capitais
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Uma dívida de 𝑅$ 1.000,00 vence daqui a 10 meses. Entretanto, o devedor propõe
dividi-la em 3 parcelas iguais em 6, 12 e 18 meses. A juros efetivos de 60,1032% 𝑎. 𝑎.,
calcule o valor das parcelas. 𝑹$ 𝟑𝟓𝟑, 𝟗𝟕
2. Uma moto à vista é 𝑅$ 4.000,00, a prazo paga-se uma entrada de 20% mais 3
mensalidades iguais e consecutivas. A juros efetivos de 34,4889% 𝑎. 𝑎., qual o valor
das mensalidades? 𝑹$ 𝟏. 𝟏𝟐𝟎, 𝟒𝟒
3. Um título com valor nominal de 𝑅$ 7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de
juros compostos de 2,60% 𝑎.𝑚., calcule o valor deste título: a) hoje; b) dois meses
antes de seu vencimento; c) um mês após o seu vencimento.
𝑹$ 𝟔. 𝟒𝟗𝟕, 𝟒𝟓;𝑹$ 𝟔. 𝟖𝟑𝟗, 𝟕𝟏;𝑹$ 𝟕. 𝟑𝟖𝟕, 𝟐𝟎
8787
Equivalência de Capitais
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Uma investidor depositou 𝑅$ 2.000,00 em uma caderneta de poupança, 2 anos depois
depositou mais 𝑅$ 2.500,00 e, 2 anos depois desse último depósito, realizou uma
retirada de 𝑅$ 1.300,00 . Qual é o saldo da poupança ao fim do quinto ano,
considerando uma taxa de juros de 5% 𝑎. 𝑎.? 𝑹$ 𝟒. 𝟎𝟖𝟏, 𝟔𝟐
2. O preço à vista de uma mercadoria é de 𝑅$ 1.000,00. O comprador pode, entretanto,
pagar 10% de entrada e o restante em uma única parcela de 𝑅$ 1.102,40 com
vencimento em 90 dias. Calcule a taxa de juros anuais cobrados na venda a prazo.
𝟔, 𝟗𝟗𝟓𝟓% 𝒂.𝒎. ; 𝟏𝟐𝟓, 𝟏𝟎𝟓𝟗% 𝒂. 𝒂.
3. Uma geladeira é vendida à vista por 𝑅$ 1.000,00 ou com uma entrada de 𝑅$ 250,00 e
um pagamento, 2 meses após, no valor de 𝑅$ 825,00 . Calcule a taxa de juros
composto anual e mensal cobrada pela loja. 𝟒, 𝟖𝟖𝟎𝟗% 𝒂.𝒎. ; 𝟕𝟕, 𝟏𝟓𝟔𝟏% 𝒂. 𝒂.
8888
Tomada de Decisão
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Um imóvel é vendido à vista por 𝑅$ 1.750.000,00 ou com uma carência de 120 dias por
𝑅$ 1.828.000,00. O comprador tem o dinheiro que está aplicado à taxa de 23,8720 𝑎. 𝑎..
O que é financeiramente correto: retirar o dinheiro da aplicação e comprar o imóvel à
vista, ou permanecer com a aplicação e pagar com a carência?
𝒅𝒆𝒊𝒙𝒂𝒓 𝒐 𝒅𝒊𝒏𝒉𝒆𝒊𝒓𝒐 𝒏𝒂 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂çã𝒐
2. Uma pessoa recebeu em dezembro seu 13𝑜 salário R$ 3.000,00 que pode ser
aplicado a 15,8380% a. a.. Neste mesmo mês recebeu uma proposta para quitar uma
dívida de R$ 3.479,08 que irá vencer em 6 meses pelo valor do 13𝑜 salário. Qual é a
taxa de juros na antecipação do 13𝑜 salário? Quanto teria de capital se aplicasse?
Vale a pena aplicar ou pagar a dívida? 𝟐, 𝟓𝟎% 𝒂.𝒎. ; 𝑹$ 𝟑. 𝟐𝟐𝟖, 𝟖𝟒; 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓 𝒂 𝒅í𝒗𝒊𝒅𝒂
8989
PARTE 10
9090
 O conceito de taxa efetiva é idêntico ao conceito de taxa equivalente,
ou seja:
𝒊𝒆𝒒 = 𝟏 + 𝒊
𝑸 − 𝟏 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄 =
𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎
𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑚
Taxa de Juros Nominal e Efetiva
9191
Taxa de Juros Nominal e Efetiva
 O conceito de taxa nominal é idêntico ao de taxa proporcional,
entretanto, em regime de juros compostos, ocorre capitalização de
juros sobre juros. Desta forma, é necessário encontrar a taxa
proporcional para o período de capitalização, e posteriormente
encontrar a taxa efetiva, assim:
𝒊𝒆𝒒 = 𝟏 +
𝒋
𝒌
𝒌×𝒎
− 𝟏
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒋 é 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙, 𝒌 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑠ã𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑛𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒 𝑒 𝒎 é 𝑜 𝑝𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙.
9292
Taxa de Juros Nominal e Efetiva
 Encontre as taxas efetivas.
a) Taxa nominal de 18,00% 𝑎. 𝑎. capitalizada mensalmente.
𝑖𝑒𝑞 = 1 +
𝑗
𝑘
𝑘×𝑚
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 +
0,18
12
12×1
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 19,5618% 𝑎. 𝑎.
b) Taxa nominal de 24,00% 𝑎. 𝑎. capitalizada trimestralmente.
𝑖𝑒𝑞 = 1 +
𝑗
𝑘
𝑘×𝑚
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 +
0,24
4
4×1
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 26,2477% 𝑎. 𝑎.
c) Taxa nominal de 5,00% 𝑎.𝑚. capitalizada diariamente.
𝑖𝑒𝑞 = 1 +
𝑗
𝑘
𝑘×𝑚
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 +
0,05
30
30×1
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 5,1227% 𝑎.𝑚.
EXEMPLO
9393
Taxa de Juros Nominal e Efetiva
 Encontre as taxas efetivas.
a) Taxa nominal de 12,00% 𝑎. 𝑎. capitalizada mensalmente. 𝟏𝟐, 𝟔𝟖𝟐𝟓% 𝒂. 𝒂.
b) Taxa nominal de 24,00% 𝑎. 𝑎. capitalizada mensalmente. 𝟐𝟔, 𝟖𝟐𝟒𝟐% 𝒂. 𝒂.
c) Taxa nominal de 3,00% 𝑎.𝑚. capitalizada diariamente. 𝟑, 𝟎𝟒𝟑𝟗% 𝒂.𝒎.
EXERCÍCIO
9494
Taxa de Juros Nominal e Efetiva
 Calcule a taxa efetiva anual e o montante resultante de um
investimento de 𝑅$ 1.200,00 aplicados por 6 meses a taxa de juros
nominais de 16% 𝑎. 𝑎., capitalizados mensalmente.
Dados: 𝑪 = 𝟏. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒏 = 𝟔; 𝒋 = 𝟎, 𝟏𝟔; 𝑴 =? ; 𝒊 =?% 𝒂. 𝒂.
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛 ⟹𝑀 = 1200 1 +
0,16
12
6
⟹𝑀 = 𝑅$ 1.299,66
𝑖𝑒𝑞 = 1 +
𝑗
𝑘
𝑘×𝑚
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 +
0,16
12
12×1
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 17,2271% 𝑎. 𝑎.
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑛 ⟹𝑀 = 1200 1 + 0,172271 ൗ
6
12
⟹𝑀 = 𝑅$ 1.299,66
EXEMPLO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝒇 𝑪𝑳𝑿
𝟏𝟐𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽 𝟏 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹
𝟏𝟔 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟏𝟐 ÷ 𝒊 𝟎, 𝟏𝟔 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟏𝟐 ÷ +
𝟔 𝒏 𝟏𝟐 𝒚𝒙 𝟏 − 𝟏𝟎𝟎 ×
𝑭𝑽 → 𝟏𝟐𝟗𝟗, 𝟔𝟔 → 𝟏𝟕, 𝟐𝟐𝟕𝟏
9595
Taxa de Juros Nominal e Efetiva
 Qual o valor de resgate para um capital de R$ 2.000,00 aplicados
pelos seguintes prazos e taxas:
a) 27 dias a 9,00% 𝑎.𝑚. capitalizados diariamente. 𝑹$𝟐𝟏𝟔𝟖, 𝟒𝟖
b) 6 meses a 28,00% 𝑎. 𝑎. capitalizados mensalmente. 𝑹$𝟐𝟐𝟗𝟔, 𝟖𝟓
c) 8 meses a 18,00% 𝑎. 𝑠. capitalizados mensalmente. 𝑹$𝟐𝟓𝟑𝟑, 𝟓𝟒
d) 27 meses a 12,00% 𝑎. 𝑡. capitalizados mensalmente. 𝑹$𝟓𝟕𝟔𝟔, 𝟕𝟒
e) 6 meses a 28,00% 𝑎. 𝑎. capitalizados trimestralmente. 𝑹$𝟐𝟐𝟖𝟗, 𝟖𝟎
EXERCÍCIO
9696
Taxas de Juros Nominal e Efetiva
 Faça o que se pede.
1. Calcule as taxas de juros efetivas mensal, trimestral, semestral e anual, equivalentes
à taxa nominal de 60,00% 𝑎. 𝑎. capitalizada mensalmente.
𝟓, 𝟎𝟎% 𝒂.𝒎. ; 𝟏𝟓, 𝟕𝟔𝟐𝟓% 𝒂. 𝒕. ; 𝟑𝟒, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒔. ; 𝟕𝟗, 𝟓𝟖𝟓𝟔% 𝒂. 𝒂.
2. Preencha o quadro a seguir, para as diversas freqüências das capitalizações da taxa
nominal, os montantes e as taxas efetivas anuais para um capital de 𝑅$ 1.000,00
aplicados por dois anos a uma taxa nominal de 10% 𝑎. 𝑎.
EXERCÍCIO DEFIXAÇÃO
Capitalização 𝑴 = 𝑪 𝟏 +
𝒋
𝒌
𝒌×𝒎
𝑖𝑒𝑞 = 𝟏 +
𝒋
𝒌
𝒌×𝒎
− 𝟏
Anual
Semestral
Mensal
Diária
9797
PARTE 11
9898
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 A palavra overnight refere-se a operações realizadas no mercado
aberto (open market) pelo prazo mínimo de um dia.
 O montante de um capital aplicado às taxas efetiva 𝑖 , over mensal
𝑖𝑜𝑚 e over anual 𝑖𝑜𝑎 , por um número de dias úteis 𝑑𝑢 é:
𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 ൗ
𝒅𝒄
𝒏 𝒆 𝑴 = 𝑪 𝟏 +
𝑖𝑜𝑚
𝟑𝟎
𝒅𝒖
𝒆 𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝑖𝑜𝑎
𝒅𝒖
𝟐𝟓𝟐
 A relação entre a taxa efetiva e taxa over é:
𝒊 = 𝟏 +
𝒊𝒐𝒎
𝟑𝟎
ൗ𝒅𝒖×𝟑𝟎 𝒅𝒄
− 𝟏 ⟹ 𝒊𝒐𝒎 = 𝟏 + 𝒊
ൗ𝒅𝒄 𝒅𝒖×𝟑𝟎 − 𝟏 × 𝟑𝟎
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒊 é 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑚 𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑠, 𝒅𝒄 é 𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠, 𝒅𝒖 é 𝑜 𝑛𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠
ú𝑡𝑒𝑖𝑠 𝑒 𝒏 é 𝑎 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑖 30 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 .
9999
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 A taxa over mensal 𝑖𝑜𝑚 a partir do montante 𝑀 e capital 𝐶 é:
𝑖𝑜𝑚 =
𝑴
𝑪
𝟏
𝒅𝒖
− 𝟏 × 𝟑𝟎 ⟹ 𝑑𝑢 =
𝒍𝒏
𝑀
𝑪
𝒍𝒏 𝟏+
𝑖𝑜𝑚
𝟑𝟎
 A taxa over ano 𝑖𝑜𝑎 a partir do montante 𝑀 e capital 𝐶 é:
𝑖𝑜𝑎 =
𝑴
𝑪
𝟐𝟓𝟐
𝒅𝒖
− 𝟏 ⟹ 𝑑𝑢 =
𝒍𝒏
𝑀
𝑪
𝒍𝒏 𝟏+𝑖𝑜𝑎
× 𝟐𝟓𝟐
 A taxa over mensal 𝑖𝑜𝑚 a partir da taxa do período 𝑖𝑃 é:
𝑖𝑜𝑚 = 𝟏 + 𝑖𝑃
𝟏
𝒅𝒖 − 𝟏 × 𝟑𝟎 ⟹ 𝑖𝑃 = 𝟏 +
𝑖𝑜𝑚
𝟑𝟎
𝒅𝒖
− 𝟏
 A taxa over ano 𝑖𝑜𝑎 a partir da taxa do período 𝑖𝑃 é:
𝑖𝑜𝑎 = 𝟏 + 𝑖𝑃
𝟐𝟓𝟐
𝒅𝒖 − 𝟏 ⟹ 𝑖𝑃 = 𝟏 + 𝑖𝑜𝑎
𝒅𝒖
𝟐𝟓𝟐 − 𝟏
100100
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 A taxa over mensal 𝑖𝑜𝑚 a partir da taxa over anual 𝑖𝑜𝑎 é:
𝑖𝑜𝑚 = 𝟏 + 𝑖𝑜𝑎
𝟏
𝟐𝟓𝟐 − 𝟏 × 𝟑𝟎
 A taxa over anual 𝑖𝑜𝑎 a partir da taxa over mensal 𝑖𝑜𝑎 é:
𝑖𝑜𝑎 = 𝟏 +
𝑖𝑜𝑚
𝟑𝟎
𝟐𝟓𝟐
− 𝟏
 A taxa over mensal 𝑖𝑜𝑚 a partir da taxa efetiva/over por dia útil 𝑖𝑑𝑢 é:
𝑖𝑜𝑚 = 𝑖𝑑𝑢 × 30
 A taxa efetiva/over por dia útil 𝑖𝑑𝑢 a partir da taxa over mensal 𝑖𝑜𝑚 é:
𝑖𝑑𝑢 =
𝑖𝑜𝑚
30
⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 1 + 𝑖𝑑𝑢
252 − 1
101101
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 Uma operação com duração de 35 dias corridos foi contratada a uma
taxa over de 1,80% 𝑎.𝑚.. Se durante esse prazo houve 25 dias úteis,
calcule a taxa efetiva mensal e o montante ao término do prazo,
considerando-se que foram aplicados 𝑅$ 100000,00.
Dados: 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒕𝒙 𝒐𝒗𝒆𝒓 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟖; 𝒅𝒄 = 𝟑𝟓; 𝒅𝒖 = 𝟐𝟓; 𝒏 = 𝟑𝟎;𝑴 =? ; 𝒊 =?
𝑀 = 𝐶 1 +
𝑖𝑜𝑚
30
𝑑𝑢
⟹𝑀 = 100000 1 +
0,018
30
25
⟹𝑀 = 𝑅$ 101.510,85
𝑖 = 1 +
𝑖𝑜𝑚
30
𝑑𝑢× ൗ30 𝑑𝑐
− 1 ⟹ 𝑖 = 1 +
0,018
30
25× ൗ30 35
− 1 ⟹ 𝑖 = 1,2936% 𝑎.𝑚.
EXEMPLO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝒇 𝑪𝑳𝑿
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽 𝟏 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟎, 𝟎𝟏𝟖 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹
𝟏, 𝟖 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟑𝟎 ÷ 𝒊 𝟑𝟎 ÷ + 𝟐𝟓 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹
𝟐𝟓 𝒏 𝟑𝟎 × 𝟑𝟓 ÷ 𝒚𝒙 𝟏 − 𝟏𝟎𝟎 ×
𝑭𝑽 → 𝟏𝟎𝟏𝟓𝟏𝟎, 𝟖𝟓 → 𝟏, 𝟐𝟗𝟑𝟔
102102
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 Sendo 24,00% 𝑎. 𝑎. a taxa efetiva anual obtida em uma aplicação
financeira feita por 30 dias corridos em que houve 22 dias úteis,
determine: a) a taxa efetiva mensal; b) a taxa por dia útil; c) a taxa
over mensal; d) a taxa over anual.
𝑖𝑒𝑞 = 1 + 𝑖
𝑄 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 0,24
ൗ1 12 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1,808758% 𝑎.𝑚.
𝑖𝑑𝑢 = 1 + 𝑖
ൗ1 𝑑𝑢 − 1 ⟹ 𝑖𝑑𝑢 = 1 + 0,01808758
ൗ1 22 − 1 ⟹ 𝑖𝑑𝑢 = 0,0815148% 𝑎. 𝑑. 𝑢. .
𝑖𝑜𝑚 = 𝑖𝑑𝑢 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 0,00815148 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 2,4454% 𝑎.𝑚. 𝑜.
𝑖𝑜𝑎 = 1 + 𝑖𝑑𝑢
252 − 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 1 + 0,00815148
252 − 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 22,79% 𝑎. 𝑎. 𝑜.
EXEMPLO
103103
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 A partir de uma taxa efetiva mensal determinada pelo mercado de
2,50% 𝑎.𝑚., determine a taxa over mensal, considerando que neste
mês contou com 20 dias úteis.
𝑖𝑜𝑚 = 1 + 𝑖
ൗ𝑑𝑐 𝑑𝑢×30 − 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1 + 0,025
ൗ30 20×30 − 1 × 30
⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 3,7062% 𝑎.𝑚. 𝑜.
EXEMPLO
104104
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 Supondo que a meta da taxa Selic para determinado ano, divulgada
pelo Bacen, tenha sido de 12,75% 𝑎. 𝑎. 𝑜. .Determine a taxa over
mensal, a taxa equivalente mensal e por dia útil.
𝑖𝑜𝑚 = 1 + 𝑖𝑜𝑎
1
252 − 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1 + 0,1275
1
252 − 1 × 30
⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1,4289% 𝑎.𝑚. 𝑜.
𝑖 = 1 +
𝑖𝑜𝑚
30
ൗ𝑑𝑢×30 𝑑𝑐
− 1 ⟹ 𝑖 = 1 +
0,01428945
30
ൗ252×30 360
− 1
⟹ 𝑖 = 1 +
0,01428945
30
21
− 1 ⟹ 𝑖 = 1,0050% 𝑎.𝑚. 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙
𝑖𝑑𝑢 = 1 + 𝑖
ൗ1 𝑑𝑢 − 1 ⟹ 𝑖𝑑𝑢 = 1 + 0,0100504
ൗ1 21 − 1
⟹ 𝑖𝑑𝑢 = 0,047632% 𝑎. 𝑑. 𝑢. . 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 ú𝑡𝑖𝑙
EXEMPLO
105105
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 Determine a taxa efetiva por dia útil, dada a taxa over de
2, 5% 𝑎.𝑚. 𝑜. .
𝑖 = 1 +
𝑖𝑜𝑚
30
ൗ𝑑𝑢×30 𝑑𝑐
− 1 ⟹ 𝑖 = 1 +
0,025
30
ൗ21×30 30
− 1 ⟹ 𝑖 = 1,764660% 𝑎.𝑚.
𝑖𝑑𝑢 = 1 + 𝑖
ൗ1 𝑑𝑢 − 1 ⟹ 𝑖𝑑𝑢 = 1 + 0,017646560
ൗ1 21 − 1 ⟹ 𝑖𝑑𝑢 = 0,083333% 𝑎. 𝑑. 𝑢. .
𝑂𝑢 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 ∶
𝑖𝑑𝑢 =
𝑖𝑜𝑚
30
⟹ 𝑖𝑑𝑢 =
0,0250
30
⟹ 𝑖𝑑𝑢 = 0,083333% 𝑎. 𝑑. 𝑢. .
EXEMPLO
106106
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 Determine a taxa over mensal e anual de uma aplicação que
proporcionou uma taxa efetiva de 2, 55% em um período com 43 dias
úteis.
𝑖𝑜𝑚 = 1 + 𝑖𝑃
1
𝑑𝑢 − 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1 + 0,0255
1
43 − 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1,757280% 𝑎.𝑚. 𝑜.
𝑖𝑜𝑎 = 1 + 𝑖𝑃
252
𝑑𝑢 − 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 1 + 0,0255
252
43 − 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 15,901240% 𝑎. 𝑎. 𝑜.
𝑂𝑢 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎:
𝑖𝑜𝑎 = 1 +
𝑖𝑜𝑚
30
252
− 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 1 +
0,01757280
30
252
− 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 15,901240% 𝑎. 𝑎. 𝑜.
EXEMPLO
107107
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 Uma aplicação financeira é contratada a uma taxa over de
1, 65% 𝑎.𝑚. 𝑜., por um período de 39 dias úteis (50 dias corridos).
Determinar a taxa efetiva do período, mensal e anual em dias
corridos.
𝑖𝑃 = 1 +
𝑖𝑜𝑚
30
𝑑𝑢
− 1 ⟹ 𝑖𝑃 = 1 +
0,0165
30
39
− 1 ⟹ 𝑖𝑃 = 2,167568% 𝑎. 𝑝.
𝑖 = 1 +
𝑖𝑜𝑚
30
ൗ𝑑𝑢×30 𝑑𝑐
− 1 ⟹ 𝑖 = 1 +
0,0165
30
ൗ39×30 50
− 1 ⟹ 𝑖 = 1,294959% 𝑎.𝑚.
𝑖𝑒𝑞 = 1 + 𝑖
𝑄 − 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 1 +
0,0165
30
ൗ39×30 50
12
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑞 = 16,695471% 𝑎. 𝑎.
EXEMPLO
108108
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
EXEMPLO
 Determine a taxa over mensal e anual de um capital de 𝑅$50.000,00,
que ficou aplicado por 68 dias corridos, correspondentes a 49 dias
úteis, gerando um montante de 𝑅$51.550,00.
𝑖𝑜𝑚 =
𝑀
𝐶
1
𝑑𝑢
− 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 =
51550
50000
1
49
− 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1,8697%𝑎.𝑚. 𝑜.
𝑖𝑜𝑎 =
𝑀
𝐶
252
𝑑𝑢
− 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 =
51550
50000
252
49
− 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 17,0004%𝑎. 𝑎. 𝑜.
𝑂𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙:
𝑖𝑜𝑎 = 1 +
𝑖𝑜𝑚
30
252
− 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 1 +
0,018697
30
252
− 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 17,0004%𝑎. 𝑎. 𝑜.
109109
Taxa de Juros Over (Taxa por dia útil)
 Determine o prazo (em dias úteis) ao final do qual, um capital de
𝑅$3.000,00 aplicado a 1, 35% 𝑎.𝑚. 𝑜. gerou um montante de
𝑅$3.193,60.
𝑑𝑢 =
𝑙𝑛
𝑀
𝐶
𝑙𝑛 1 +
𝑖𝑜𝑚
30
⟹ 𝑑𝑢 =
𝑙𝑛
3193,60
3000
𝑙𝑛 1 +
0,0135
30
⟹ 𝑑𝑢 = 139 𝑑𝑖𝑎𝑠
EXEMPLO
110110
Taxa de Juros Over
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. A partir de uma taxa efetiva mensal determinada pelo mercado de 2,00% 𝑎.𝑚., determine a taxa
over mensal, considerando que neste mês contou com 22 dias úteis. 𝟐, 𝟕𝟎𝟏𝟔% 𝒂.𝒎. 𝒐.
2. Supondo que a meta da taxa Selic para determinado ano, divulgada pelo Bacen, tenha sido de
13,50% 𝑎. 𝑎. 𝑜. . Determine a taxa over mensal, a taxa equivalente mensal e por dia útil.
𝟏, 𝟓𝟎𝟕𝟗% 𝒂.𝒎. 𝒐. ; 𝟏, 𝟎𝟔𝟎𝟖𝟔𝟎% 𝒂.𝒎. ; 𝟎, 𝟎𝟓𝟎𝟐𝟔𝟑𝟕% 𝒂.𝒅. 𝒖.
3. Determine a taxa efetiva por dia útil em um mês de 21 dias úteis, dada a taxa over de
2, 2% 𝑎.𝑚. 𝑜.. 𝟎, 𝟎𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑% 𝒂.𝒅. 𝒖.
4. Determine a taxa over mensal e anual de uma aplicação que proporcionou uma taxa efetiva de
5, 20% em um período com 62 dias úteis. 𝟐, 𝟒𝟓𝟑𝟗% 𝒂.𝒎. 𝒐. ; 𝟐𝟐, 𝟖𝟖𝟎𝟔% 𝒂. 𝒂. 𝒐.
5. Uma aplicação financeira é contratada a uma taxa over de 2, 50% 𝑎.𝑚. 𝑜., por um período de 62
dias úteis(90 dias corridos). Determinar a taxa efetiva do período, mensal e anual em dias
corridos. 𝟓, 𝟑𝟎𝟎𝟐% 𝒂.𝒑. ; 𝟏, 𝟕𝟑𝟔𝟒% 𝒂.𝒎. ; 𝟐𝟐, 𝟗𝟒𝟔𝟕% 𝒂. 𝒂.
111111
Taxa de Juros Over
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Foram investidos 𝑅$ 67.500,00 pelo prazo de 1 ano (360 dias corridos e 252 dias úteis) à taxa
over de 6,50% 𝑎.𝑚. . Calcule a taxa efetiva mensal e o montante ao término do prazo.
𝟒, 𝟔𝟓% 𝒂.𝒎. ; 𝑹$ 𝟏𝟏𝟔. 𝟒𝟓𝟖, 𝟕𝟑
2. Uma aplicação financeira de 𝑅$ 12.000,00 em 60 dias corridos e 40 dias úteis foi contratada a
uma taxa over de 2,00% 𝑎.𝑚.. Calcule a taxa efetiva mensal e o valor de resgate da operação.
𝑹$ 𝟏𝟐. 𝟑𝟐𝟒, 𝟐𝟎; 𝟏, 𝟑𝟒𝟏𝟖% 𝒂.𝒎.
3. Uma aplicação de 𝑅$ 10.000,00 com prazo de 32 dias corridos e correspondentes 23 dias úteis foi
fechada com uma taxa over de 5,68% 𝑎.𝑚.. Calcule a taxa efetiva mensal e o valor de resgate da
operação. 𝑹$ 𝟏𝟎. 𝟒𝟒𝟒, 𝟔𝟔; 𝟒, 𝟏𝟔𝟑𝟎% 𝒂.𝒎.
4. Foram investidos 𝑅$ 5.750,00 pelo prazo de 6 meses (180 dias corridos e 126 dias úteis) à taxa
over de 2,50% 𝑎.𝑚. . Calcule a taxa efetiva mensal e o montante ao término do prazo.
𝑹$ 𝟔. 𝟑𝟖𝟔, 𝟑𝟏; 𝟏, 𝟕𝟔𝟒𝟕% 𝒂.𝒎.
112112
Taxa de Juros Over
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Uma operação financeira com prazo de 37 dias corridos, nos quais foram computados 25 dias
úteis, foi contratada a uma taxa over de 1, 55% 𝑎.𝑚. 𝑜. . Determinar a taxa efetiva mensal da
operação. 𝟏, 𝟎𝟓𝟐𝟓𝟐𝟖% 𝒂.𝒎.
2. Uma operação com duração de 44 dias corridos foi contratada a uma taxa over de 1, 80% 𝑎.𝑚. 𝑜. .
Se durante esse prazo foram computados 32 dias úteis, determinar a taxa efetiva mensal e o
montante ao término do prazo, considerando-se que foram aplicados R$10.000,00 .
𝟏, 𝟑𝟏𝟕𝟑% 𝒂.𝒎. ; 𝑹$ 𝟏𝟎. 𝟏𝟗𝟑, 𝟖𝟎
3. Determine a taxa over mensal e anual de um capital de 𝑅$15.000,00, que ficou aplicado por 120
dias corridos, correspondentes a 84 dias úteis, gerando um montante de 𝑅$16.236,48 .
𝟐, 𝟖𝟑𝟎𝟑% 𝒂.𝒎. 𝒐. ; 𝟐𝟔, 𝟖𝟐𝟒𝟏% 𝒂. 𝒂. 𝒐.
4. Determine o prazo (em dias úteis) ao final do qual, um capital de 𝑅$10.000,00 aplicado a
2, 50% 𝑎.𝑚. 𝑜. gerou um montante de 𝑅$10.425,29. 𝟓𝟎 𝒅𝒊𝒂𝒔
113113
PARTE 12
114114
Taxa de Juros Acumulada
 A fórmula básica de capitalização composta 𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 𝒏
pressupõe taxas constantes ao longo do tempo.
 Quando este não é o caso, tem-se que lançar mão das operações
com taxas acumuladas ou taxas médias, que baseiam-se na
seguinte generalização da equação básica
𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊𝟎 𝟏 + 𝒊𝟏 𝟏 + 𝒊𝟐 ⋯ 𝟏 + 𝒊𝒏
 Dado que 𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊𝑨𝑪 , então:
𝑪 𝟏 + 𝒊𝑨𝑪 = 𝑪 𝟏 + 𝒊𝟎 𝟏 + 𝒊𝟏 𝟏 + 𝒊𝟐 ⋯ 𝟏 + 𝒊𝒏
 Logo, a taxa acumulada é obtida por:
𝟏 + 𝒊𝑨𝑪 = 𝟏 + 𝒊𝟎 𝟏 + 𝒊𝟏 𝟏 + 𝒊𝟐 ⋯ 𝟏 + 𝒊𝒏
115115
Taxa de Juros Média
 A taxa média equivale a média geométrica das taxas no periodo.
 Assim, considera-se que há uma taxa constante que, sua incidência
sobre o mesmo principal, durante o mesmo prazo, gera o mesmo
montante, Então:
𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊𝟎 𝟏 + 𝒊𝟏 𝟏 + 𝒊𝟐 ⋯ 𝟏 + 𝒊𝒏
 Dado que 𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊𝒎é𝒅𝒊𝒂
𝒏, então:
 Então, a taxa média é dada por:
𝟏 + 𝒊𝒎é𝒅𝒊𝒂
𝒏 = 𝟏 + 𝒊𝟎 𝟏 + 𝒊𝟏 𝟏 + 𝒊𝟐 ⋯ 𝟏 + 𝒊𝒏
𝒊𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝟏 + 𝒊𝟎 𝟏 + 𝒊𝟏 𝟏 + 𝒊𝟐 ⋯ 𝟏 + 𝒊𝒏
ൗ𝟏 𝒏 − 𝟏
116116
Taxa de Juros Acumulada e Média
 Uma aplicação em ações de 𝑅$ 25.000,00 em três meses obteve as
seguintes rentabilidades: 4,00% 10 𝑚ê𝑠 , −2,50% 20 𝑚ê𝑠 e
5,50% 30 𝑚ê𝑠 . Calcule o qual o montante resgatado, a taxa
acumulada do período e a taxa média da operação.
Dados: 𝑪 = 𝟐𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎;𝑴 =? ; 𝒊𝑨𝑪 =?; 𝒊𝒎é𝒅𝒊𝒂=?
𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖0 1 + 𝑖1 1 + 𝑖2 ⋯ 1 + 𝑖𝑛
𝑀 = 25000 1 + 0,04 1 − 0,025 1 + 0,055 ⟹ 𝑀 = 𝑅$ 26.744,25
1 + 𝑖𝐴𝐶 = 1 + 𝑖0 1 + 𝑖1 1 + 𝑖2 ⋯ 1 + 𝑖𝑛
1 + 𝑖𝐴𝐶 = 1 + 0,04 1 − 0,025 1 + 0,055 ⟹ 𝑖𝐴𝐶 = 6,9770%𝑎. 𝑡.
𝑖𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 1 + 𝑖0 1 + 𝑖1 1 + 𝑖2 ⋯ 1 + 𝑖𝑛
ൗ1 𝑛 − 1
𝑖𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 1 + 0,04 1 − 0,025 1 + 0,055
ൗ1 3 − 1 ⟹ 𝑖𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 2,2274%𝑎.𝑚.
EXEMPLO
117117
Taxa de Juros Acumulada e Média
 Uma aplicação em ações de 𝑅$ 52.000,00 em quatro meses obteve
as seguintes rentabilidades: −3,00% 10 𝑚ê𝑠 , −2,00% 20 𝑚ê𝑠 ,
10,00% 30 𝑚ê𝑠 e 2,50% 40 𝑚ê𝑠 . Calcule o qual o montante
resgatado, a taxa acumulada do período e a taxa média da operação.
Dados:
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
118118
Taxas Média e Acumulada
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Uma aplicação em ações de 𝑅$ 75.000,00 em quatro dias obteve as seguintes
rentabilidades: 1,00% 10 𝑑𝑖𝑎 , −1,50% 20 𝑑𝑖𝑎 , −1,00% 30 𝑑𝑖𝑎 e 6,00% 40 𝑑𝑖𝑎 .
Calcule o qual o montante resgatado, a taxa acumulada do período e a taxa média da
operação.
2. Escolha três ações no Economática e calcule a taxa acumulada e a taxa média
considerando-se que foi aplicado 𝑅$ 100.000,00 a: a) 10 dias antes da aula; b) a 10
semanas antes da aula; c) a 10 meses antes da aula.
119119
PARTE 13
120120
Índices de Preços
 Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA)
Índice oficial do Governo Federal para medição das metas de inflação, medido pelo IBGE,
do 1𝑜 ao último dia de cada mês, e procura refletir o custo de vida para famílias que
apuram renda mensal de 1 a 40 salários mínimos. (IPCA-E, IPCA-15).
 Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna (IGP-DI)
Medido pela FGV, do 1𝑜 ao último dia de cada mês, é definido pela média ponderada do
IPA (peso 0,6), IPC (peso 0,3), e INCC (peso 0,1), e procura refletir o custo de vida para
famílias que apuram renda mensal de 1 a 33 salários mínimos.
 Índice Geral de Preços de Mercado (IGP-M)
Medido pela FGV, do 21𝑜 dia do mês ao 20𝑜 do mês seguinte, e apresenta a mesma
metodologia de cálculo do IGP-DI. (O IGP-10 difere apenas por ser do 11𝑜 dia do mês ao
10𝑜 do mês seguinte).
121121
Índices de Preços
 Boletim FOCUS – BCB
Fonte: Relatório Focus 29/01/2016
gerin@bcb.gov.br
122122
Índices de Preços
 Boletim FOCUS – BCB
Fonte: Relatório Focus 29/01/2016
gerin@bcb.gov.br
123123
Índices de Preços
 Boletim FOCUS – BCB
Fonte: Relatório Focus 29/01/2016
gerin@bcb.gov.br
124124
Inflação
 De modo a compreender a relação entre as taxas aparente e real,
considere 𝐼0 como sendo o índice de preços no periodo 0 e 𝐼1 o
índice de preços no periodo 1. A relação entre estes dois índices é
dada por:
 As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:
𝜃 =
𝐼1 − 𝐼0
𝐼0
=
𝐼1
𝐼0
− 1 ⟹
𝐼1
𝐼0
= 1 + 𝜃
 Em que 𝜃 representa a inflação observada entre os períodos 0 e 1.
125125
Taxa de Juros Real e Aparente
 A taxa aparente (chamada efetiva nas transações financeiras e
comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes.
 A taxa real é calculada depois de serem expurgados os efeitos
inflacionários.
 As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:
1 + 𝑖𝑎 = 1 + 𝑖𝑟 1 + 𝜃
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑠ℎ𝑒𝑟
⟹ 𝑖𝑟 =
1 + 𝑖𝑎
1 + 𝜃
− 1
𝑜𝑛𝑑𝑒: ൞
𝒊𝒓 é 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝒊𝒂 é 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎
𝜃 é 𝑜 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜
126126
Fórmula de Fisher Generalizada
 A fórmula de Fisher trabalha com o conceito de prêmios de risco, ao
incorporar a taxa exigida de juros um prêmio pela inflação.
 Fazendo então uma extensão do raciocnio anterior considerando
outros tipos de prêmios, teremos a fórmula de Fisher generalizada:
1 + 𝑖𝑎 = 1 + 𝑖𝑟 1 + 𝜃1 1 + 𝜃2 ⋯ 1 + 𝜃𝑛
 Em que 𝜃𝑗 correspondem a prêmios para diversos fatores de risco,
tais como câmbio, crédito, entre outros).
127127
Taxa de Juros Real e Aparente
 Uma aplicação financeira rende juros nominais de 6,00% 𝑎. 𝑎.
capitalizados mensalmente. Considerando uma taxa de inflação de
5,5% 𝑎. 𝑎., calcule as taxas de juros aparente e real obtidas pela
aplicação.
Dados: 𝒊𝒏𝒐𝒎. = 𝟎, 𝟎𝟔; 𝜽 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟓; 𝒊𝒂 =? ; 𝒊𝒓 =?
𝑖𝑎 = 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡. = 1 +
𝑖𝑛𝑜𝑚.
𝑛
𝑛
− 1 ⟹ 𝑖𝑎 = 1 +
0,06
12
12
− 1 ⟹ 𝑖𝑎 = 0,061678
⟹ 𝑖𝑎 = 6,1678% 𝑎. 𝑎.
𝑖𝑟 =
1 + 0,0616781 + 0,055
− 1 ⟹ 𝑖𝑟 = 0,0066330 ⟹ 𝑖𝑟 = 0, 66330% 𝑎. 𝑎.
EXEMPLO
128128
Taxa de Juros Real e Aparente
 Calcule a taxa real de um financiamento com taxa nominal de
12,00% 𝑎. 𝑎. capitalizados mensalmente, considerando as seguintes
taxas de inflação do Boletim Focus: 𝐼𝑃𝐶𝐴, 𝐼𝐺𝑃 −𝑀 e 𝐼𝐺𝑃 − 𝐷𝐼 .
EXERCÍCIO
129129
Taxa de Juros Real e Aparente
EXERCÍCIO
 Calcule a taxa real do Brasil, considerando a taxa 𝑆𝐸𝐿𝐼𝐶 e as taxas
de inflação 𝐼𝑃𝐶𝐴, 𝐼𝐺𝑃 −𝑀 e 𝐼𝐺𝑃 − 𝐷𝐼 do Boletim Focus atual.
130130
Taxa de Juros Real e Aparente
EXERCÍCIO
 Uma loja de eletrodomésticos opera com vendas a prazo. A empresa considera
basicamente três tipos de risco: inflação, atraso nos pagamentos e inadimplência. A
sua taxa efetiva nas operações de crédito deve cobrir estes riscos. Sabe-se que:
- A taxa de inflação prevista é de 0,50% 𝑎.𝑚.;
- A taxa de inadimplência é historicamente de 3,00% 𝑎.𝑚.;
- A taxa de atraso nos pagamentos é historicamente de 2,00% 𝑎.𝑚.;
- A rentabilidade real pretendida nestas operações é de 10,00% 𝑎. 𝑎.
 Com base nestes dados, determine a taxa de juros que a empresa deve cobrar nas
vendas a prazo, em termos mensais.
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
131131
Taxa de Juros Real e Aparente
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Um investidor adquiriu um título por 𝑅$ 40.000,00 e o resgatou um ano após por
𝑅$ 44.200,00. Sabendo que a correção monetária (inflação) deste período atingiu a
6,60% 𝑎. 𝑎., pede-se determinar a taxa aparente (efetiva) da aplicação e a taxa real
auferida pelo investidor. 𝒊𝒂 = 𝟏𝟎, 𝟓𝟎% 𝒂. 𝒂. ; 𝒊𝒓 = 𝟑, 𝟔𝟓𝟖𝟓% 𝒂.𝒂.
2. Sendo de 6,60% 𝑎. 𝑎. a inflação do último ano, calcule a variação real do poder de
compra de um assalariado, admitindo-se que: a) não tenha ocorrido reajuste de
salário no período; b) o salário tenha sido corrigido em 8,60% 𝑎. 𝑎.; c) o salário tenha
sido corrigido em 12,60% 𝑎. 𝑎.. 𝒊𝒓 = −𝟔, 𝟏𝟗𝟏𝟒% 𝒂.𝒂. ; 𝒊𝒓 = 𝟏, 𝟖𝟕𝟔𝟐% 𝒂. 𝒂. ; 𝒊𝒓 = 𝟓, 𝟔𝟐𝟖𝟐% 𝒂. 𝒂.
3. Um imóvel foi adquirido por 𝑅$ 860.000,00 e vendido por 𝑅$ 1.050.000,00 depois de 4
anos. Sendo a taxa de inflação de 6,60% 𝑎. 𝑎., encontre a taxa aparente e real anual
desta operação. 𝒊𝒂 = 𝟓, 𝟏𝟏𝟔𝟗% 𝒂. 𝒂. ; 𝒊𝒓 = −𝟏, 𝟑𝟗𝟏𝟐% 𝒂.𝒂.
4. Um investidor comprou 𝑅$ 3.000,00 em títulos do tesouro nacional e obteve um
rendimento de 𝑅$ 655,21 em 8 meses. Encontre a taxa efetiva e real desta operação
dado que a taxa de inflação foi 1,00% 𝑎.𝑚.. 𝒊𝒂 = 𝟐, 𝟓𝟎𝟎𝟎% 𝒂.𝒎. ; 𝒊𝒓 = 𝟏, 𝟒𝟖𝟓𝟐% 𝒂.𝒎.
5. Dado 𝑃𝑉 = 𝑅$ 24.000,00, 𝐹𝑉 = 𝑅$ 28.657,26, 𝑛 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠, e 𝐼 = 1,50% 𝑎.𝑚., calcule
as taxas efetiva, nominal e real, para as periodicidades mensal e anual.
132132
Taxa de Juros Real e Aparente
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Uma loja de eletroeletrônicos tem uma política agressiva de vendas a prazo. A
empresa considera basicamente três tipos de risco: inflação, atraso nos pagamentos
e inadimplência. A sua taxa efetiva nas operações de crédito deve cobrir estes riscos.
Sabe-se que:
- A taxa de inflação prevista é de 0,75% 𝑎.𝑚.;
- A taxa de inadimplência é historicamente de 4,00% 𝑎.𝑚.;
- A taxa de atraso nos pagamentos é historicamente de 2,50% 𝑎.𝑚.;
- A rentabilidade real pretendida nestas operações é de 12,00% 𝑎. 𝑎.
Com base nestes dados, determine a taxa de juros que a empresa deve cobrar nas
vendas a prazo, em termos mensais e anuais.
133133
PARTE 14
134134
Os Mercados Financeiros
MERCADO
MONETÁRIO
MERCADO
CAMBIAL
MERCADO
DE
CAPITAIS
MERCADO
DE
CRÉDITO
MERCADOS
FINANCEIROS
JUROS: MOEDA DE TROCA DESSES MERCADOS
135135
Os Mercados Financeiros
MERCADO MONETÁRIO
 Operações de curto e curtíssimo prazo.
 Permite o controle da liquidez monetária da economia e a
“interferência” nos gastos dos agentes econômicos.
 São negociados papéis emitidos pelo BC e TN, que por meio das
instituições financeiras geram todo o lastro financeiro da economia.
 Exemplos de operações: Open Market, CDI.
136136
Os Mercados Financeiros
MERCADO DE CRÉDITO
 Operações de curto e médio prazo que visam suprir as necessidades
de financiamento do consumo e capital de giro das empresas.
 Funciona a partir de normas contratuais.
 Viabilizam a aquisição de bens e serviços a prazo.
 Operações para as quais normalmente são oferecidas garantias.
 Exemplos de operações: financiamento de automóveis e bens
duráveis.
137137
Os Mercados Financeiros
MERCADO CAMBIAL
 Operações de compra e venda de moedas estrangeiras conversíveis
(a vista e curto prazo).
 Engloba todos os agentes econômicos com motivos para realizar
operações com o exterior, como importadores e exportadores,
investidores e instituições financeiras.
 Determinação da taxa de câmbio: câmbio fixo e câmbio flutuante.
138138
Os Mercados Financeiros
MERCADO DE CAPITAIS
 Operações de curto, médio e longo prazo e de valores elevados.
 Os principais títulos são representativos do capital da empresa
(próprio e de terceiros) e negociados “sem” intermediação financeira.
 Participação no capital da empresa está associado a maior risco.
 Do ponto de vista da empresa amplia as opções para gerenciamento
de sua estrutura de capital.
 É uma importante fonte de recursos para financiar investimentos das
empresas, essencial para o desenvolvimento econômico de um país.
139139
Os Mercados Financeiros
TÍTULOS DE RENDA FIXA
 Garantem a devolução do capital investido inicialmente, mais uma
remuneração (juros) que pode ser periódica ou não.
 Prefixados  o investidor conhece, no momento da aplicação, a
taxa integral de rendimento da aplicação (Ex.: CBD prefixado).
 Posfixados  o investidor conhece, no momento da aplicação, a
taxa de rendimento (fixa) e o indexador de atualização monetária do
restante (Ex.: Caderneta de Poupança).
 Indexados  o investidor conhece, no momento da aplicação,
somente o indexador ao qual a taxa de rendimento está atrelada.
(Ex.: CDB-DI).
140140
Os Mercados Financeiros
TÍTULOS DE RENDA VARIÁVEL
 Não garantem a devolução do capital investido inicialmente e nem
remuneração no período da aplicação.
 A remuneração está sujeita ao desempenho da empresa emissora e
às condições vigentes no mercado no período da aplicação.
(Ex.: ações, derivativos).
141141
Os Mercados Financeiros
CÂMARAS DE LIQUIDAÇÃO E CUSTÓDIA
 São IFs não bancárias que registram, compensam, liquidam
negociações e custodiam valores mobiliários (títulos públicos,
privados, ações, commodities, etc), além de controlar riscos nas
operações financeiras.
 Câmara de Ações (antiga CBLC) ações e opções;
 SELIC  títulos públicos;
 CETIP  títulos privados;
 Clearings da BM&F  ativos financeiros, futuros câmbio.
 COMPE  compensação de cheque (B. Brasil)
142142
Os Mercados Financeiros
143143
PARTE 15
144144
Produtos Financeiros (CDI) 
CERTIFICADO DE DEPÓSITO INTERBANCÁRIO – CDI
 São títulos emitidos por IF´s no mercado interbancário, que servem
de lastro às operações de transferência de recursos entre instituições
financeiras superavitárias e deficitárias, visando o fechamento diário
de caixa.
 Sua negociação é restrita às IF´s.
145145
Produtos Financeiros (CDI) 
CERTIFICADO DE DEPÓSITO INTERBANCÁRIO – CDI
 Função  transferir recursos de entre instituições financeiras
superavitárias e deficitárias para fechamento de caixa, garantindo
dessa forma, a liquidez do sistema financeiro.
 Cálculo da taxa DI  é uma taxa over, calculada pela CETIP, a
partir da taxa média diária das operações com taxas prefixadas de
um dia útil de prazo, na qual são consideradas apenas as operações
realizadas entre IFs de grupos diferentes (extragrupo), desprezando-
se as demais (intragrupo).
146146
Produtos Financeiros (CDI) 
CERTIFICADO DE DEPÓSITO INTERBANCÁRIO – CDI
 Suas características são idênticas às de um CDB, mas sua negociação
é restrita ao mercado interbancário.
 São isentos de IOF e de IR Retido na Fonte (IRRF). As transações são fechadas por meio eletrônico e registradas nos
sistemas das instituições envolvidas e da Câmara de Custódia e
Liquidação (CETIP).
147147
Produtos Financeiros (CDI) 
CERTIFICADO DE DEPÓSITO INTERBANCÁRIO – CDI
 A maioria das operações é negociada por um só dia, mas existem
operações com prazos maiores, com taxas pré e pós-fixadas.
 Os CDIs negociados por um dia servem como referência para o
cálculo da taxa média diária, a CDI over, que juntamente com a
SELIC representam as duas taxas mais importantes do mercado
financeiro, referência para as demais operações nos mercados
monetário e de crédito.
148148
Produtos Financeiros (CDI)
EXEMPLO
 Uma operação interbancária, lastreada em CDI, é realizada por 4 dias úteis
às seguintes taxas over: 12,75% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 10 𝑑𝑖𝑎 , 12,78% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 20 𝑑𝑖𝑎 ,
12,80% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 30 𝑑𝑖𝑎 , 12,83% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 40 𝑑𝑖𝑎 . O principal envolvido é de
$100.000,00. Determine: a) o montante da operação; b) a taxa efetiva da
operação no período; c) a taxa anual over média da operação.
𝑎) 𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖𝑜𝑎
𝑑𝑢
252 ⟹𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖𝑜𝑎_0 1 + 𝑖𝑜𝑎_1 1 + 𝑖𝑜𝑎_2 ⋯ 1+ 𝑖𝑜𝑎_𝑛
𝑑𝑢
252
⟹𝑀 = 100.000 1 + 0,1275 1 + 0,1278 1 + 0,1280 1 + 0,1283
1
252 ⟹𝑀 = 𝑅$ 100.191,23
𝑏) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
ൗ1 𝑛
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
100.191,23
100.000
ൗ1 1
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 0,191226% 𝑎. 𝑝.
𝑐) 𝑖𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 1 + 𝑖𝑜𝑎_0 1 + 𝑖𝑜𝑎_1 1 + 𝑖𝑜𝑎_2 ⋯ 1+ 𝑖𝑜𝑎_𝑛
ൗ1 𝑛 − 1
⟹ 𝑖𝑚é𝑑𝑖𝑎= 1 + 0,1275 1 + 0,1278 1 + 0,1280 1 + 0,1283
ൗ1 4 − 1⟹ 𝑖𝑚é𝑑𝑖𝑎= 12,7900% 𝑎. 𝑎. 𝑜.
149149
Produtos Financeiros (CDI)
EXEMPLO
 Em um período de elevada inflação, um banco emprestou, via CDI,
𝑅$ 2.500.000,00 para outro banco, por um período de 5 dias corridos (4 dias
úteis), recebendo 𝑅$ 2.506.000,00 no final da operação. Determine: a) a taxa
efetiva da operação; b) a taxa efetiva anual por dia corrido; c) a taxa over
mensal; d) a taxa over anual.
𝑎) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
ൗ1 𝑛
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
2.506.000
2.500.000
ൗ1 1
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 0,2400% 𝑎. 𝑝.
𝑖𝑒𝑓 =
2.506.000
2.500.000
ൗ1 5
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 0,047954% 𝑎. 𝑑.
𝑖𝑒𝑓 =
2.506.000
2.500.000
ൗ30 5
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 1,448667% 𝑎.𝑚.
150150
Produtos Financeiros (CDI)
EXEMPLO
𝑏) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
ൗ1 𝑛
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
2.506.000
2.500.000
ൗ360 5
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 18,838230% 𝑎. 𝑎.
𝑐) 𝑖𝑜𝑚 =
𝑀
𝐶
1
𝑑𝑢
− 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 =
2.506.000
2.500.000
1
4
− 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1,798383% 𝑎.𝑚. 𝑜.
𝑑) 𝑖𝑜𝑎 =
𝑀
𝐶
252
𝑑𝑢
− 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 =
2.506.000
2.500.000
252
4
− 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 16,301858% 𝑎. 𝑎. 𝑜.
151151
Produtos Financeiros (CDI)
EXEMPLO
 Um CDI de 11 dias úteis (15 dias corridos), prefixado, é negociado à taxa
efetiva de 15,5% 𝑎. 𝑎. 𝑜.. Calcule: a) a taxa efetiva do período; b) a taxa
efetiva anual por dia corrido; c) a taxa over mensal da operação.
𝑎) 𝑖𝑃 = 1 + 𝑖𝑜𝑎
𝑑𝑢
252 − 1 ⟹ 𝑖𝑃 = 1 + 0,155
11
252 − 1 ⟹ 𝑖𝑃 = 0,630992% 𝑎. 𝑝.
𝑏) 𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖 Τ
𝑑𝑐
𝑛 𝑒 𝑀 = 𝐶 1 + 𝑖𝑜𝑎
𝑑𝑢
252 ⟹
𝑖 = 1 + 𝑖𝑜𝑎
𝑑𝑢
252
×
𝑛
𝑑𝑐 − 1 ⟹ 𝑖 = 1 + 0,155
11
252
×
1
15 − 1 ⟹ 𝑖 = 0,041943% 𝑎. 𝑑.
𝑖 = 1 + 𝑖𝑃
𝑛
𝑑𝑐 − 1 ⟹ 𝑖 = 1 + 0,00630992
1
15 − 1 ⟹ 𝑖 = 0,041943% 𝑎. 𝑑.
𝑐) 𝑖𝑜𝑚 = 1 + 𝑖𝑃
1
𝑑𝑢 − 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1 + 0,00630992
1
11 − 1 × 30
⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1,715970% 𝑎.𝑚. 𝑜.
𝑖𝑜𝑚 = 𝑖𝑜𝑑 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1 + 0,155
1
252 − 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1,715970% 𝑎.𝑚. 𝑜.
152152
Produtos Financeiros (CDI)
EXEMPLO
 Uma operação interbancária é realizada por 3 dias. As taxas over mês em
cada dia são: 1,59% 𝑎.𝑚. 𝑜., 1,67% 𝑎.𝑚. 𝑜. e 1,72% 𝑎.𝑚. 𝑜.. Determine: a) a
taxa acumulada no período; b) a taxa over média anual da operação.
𝑎) 𝑖𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 = 1 +
𝑖𝑜𝑚_0
30
1 +
𝑖𝑜𝑚_1
30
1 +
𝑖𝑜𝑚_2
30
⋯ 1 +
𝑖𝑜𝑚_𝑛
30
− 1
⟹ 𝑖𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 = 1 +
0,0159
30
1 +
0,0167
30
1 +
0,0172
30
− 1 ⟹ 𝑖𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 == 0,166092% 𝑎. 𝑝.
𝑏) 𝑖𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 1 +
𝑖𝑜𝑚_0
30
1 +
𝑖𝑜𝑚_1
30
1 +
𝑖𝑜𝑚_2
30
⋯ 1 +
𝑖𝑜𝑚_𝑛
30
ൗ1 𝑛
− 1
⟹ 𝑖𝑚é𝑑𝑖𝑎= 1 +
0,0159
30
1 +
0,0167
30
1 +
0,0172
30
ൗ252 3
− 1 ⟹ 𝑖𝑚é𝑑𝑖𝑎= 14,958539% 𝑎. 𝑎. 𝑜.
153153
Produtos Financeiros (CDI)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Uma operação interbancária, lastreada em CDI, é realizada por 4 dias úteis às
seguintes taxas over: 12,70% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 10 𝑑𝑖𝑎 , 12,80% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 20 𝑑𝑖𝑎 ,
12,85% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 30 𝑑𝑖𝑎 , 12,90% 𝑎. 𝑎. 𝑜. 40 𝑑𝑖𝑎 . O principal envolvido é de $50.000,00.
Determine: a) o montante da operação; b) a taxa efetiva da operação no período; c)
a taxa anual over média da operação.
2. Um banco emprestou, via CDI, 𝑅$ 10.500.000,00 para outro banco, por um período
de 3 dias corridos (2 dias úteis), recebendo 𝑅$ 10.525.000,00 no final da operação.
Determine: a) a taxa efetiva da operação; b) a taxa efetiva anual por dia corrido; c) a
taxa over mensal; d) a taxa over anual.
 Um CDI de 10 dias úteis (14 dias corridos), prefixado, é negociado à taxa efetiva de
18,0% 𝑎. 𝑎. 𝑜.. Calcule: a) a taxa efetiva do período; b) a taxa efetiva anual por dia
corrido; c) a taxa over mensal da operação.
 Uma operação interbancária é realizada por 4 dias. As taxas over mês em cada dia
são: 2,00% 𝑎.𝑚. 𝑜., 2,02% 𝑎.𝑚. 𝑜., 2,07% 𝑎.𝑚. 𝑜. e 2,10% 𝑎.𝑚. 𝑜.. Determine: a) a taxa
acumulada no período; b) a taxa over média anual da operação.
154154
PARTE 16
155155
Produtos Financeiros (CDB/RDB) 
CERTIFICADO / RECIBO DE DEPÓSITO BANCÁRIO – CDB/RDB
 É um título de renda fixa, emitido de forma escritural, por IF´s
públicas e privadas no mercado monetário para captação recursos
destinados a empréstimos no mercado de crédito.
 É registrado/controlado pela CETIP. Sua emissão é privativa dos
bancos comerciais, de investimento, de desenvolvimento, múltiplos e
caixas econômicas.
156156
Produtos Financeiros (CDB) 
CERTIFICADO DE DEPÓSITO BANCÁRIO – CDB
 Prazo mínimo de emissão  30 dias e o resgate final ou
antecipado é creditado automaticamente na conta corrente do
cliente.
 Atrativo/Diferença com RDB  garantido para investimentos de
até 𝑅$ 250.000,00 por CPF e IF pelo FGC (baixo risco); e o CDB é um
título passível de negociação antes do vencimento, enquanto que o
RDB é intransferível.
157157
Produtos Financeiros
FUNDO GARANTIDOR DE CRÉDITO – FGC
 É uma associação civil privada sem fins lucrativos, criada em 2004.
 Tem por objetivo prestar garantia de crédito contra instituições dele
participantes, nos casos de decretação de intervenção, liquidação
extrajudicial ou falência da IF.
 Dele participam IF´s que captam depósitos à vista e à prazo ou em
contas de poupança, além daquelas que emitem letras de câmbio,
imobiliárias e hipotecárias.
158158
Produtos Financeiros
FUNDO GARANTIDOR DE CRÉDITO – FGC
 É mantido por contribuições ordinárias de seus integrantes de
0,0125% por mês sobre o valor das contas que ele garante. Produtos
com garantia:
- depósitos à vista e à prazo
- certificados / recibos de depósito bancário
- depósitos de poupança
- letras de câmbio, imobiliárias, hipotecárias, de crédito imobiliário e agro
negócio, entre outros.
159159
Produtos Financeiros (CDB) 
CERTIFICADO DE DEPÓSITO BANCÁRIO – CDB
 Tributação  IOF incide sobre o rendimento de aplicações com
prazo inferior a 30 dias (a alíquota varia de 96% a 3%). A partir do
300 dia, a aplicação fica totalmente isenta.
 Tributação  IRRF varia de acordo com o prazo da aplicação:
Alíquota Prazo da Aplicação
22,5% Até 180 dias
20,0% Entre 181 e 360 dias
17,5% Entre 361 e 720 dias
15,0% Acima de 720 dias
160160
Produtos Financeiros (CDB) 
CERTIFICADO DE DEPÓSITO BANCÁRIO – CDB
 Taxa Remuneração  Fatores de Influência
- Necessidade de recursos do banco no atendimento da sua demanda
por crédito;
- tamanho do banco: bancos pequenos oferecem taxas maiores que os
grandes bancos;
- quantidade de dinheiro a ser aplicada: quanto maior o volume
financeiro aplicado, maior a taxa oferecida;
- prazo da aplicação: quanto maior o prazo, maior tende a ser ataxa;
- taxas de referência do mercado financeiro (DI e SELIC).
161161
Produtos Financeiros (CDB) 
EXEMPLO
 Um investidor aplicou 𝑅$ 250.000,00 em um CDB prefixado, à taxa de 14,5% 𝑎. 𝑎., por
um período de 114 dias. A alíquota do IRRF incidente sobre o rendimento bruto é de
22,5% . Determinar do ponto de vista do investidor: a) o montante bruto; b) o
rendimento bruto; c) o IRRF; d) o montante líquido; e) a taxa efetiva líquida do
período; f) a taxa efetiva mensal líquida; g) a taxa efetiva anual líquida.
𝑎) 𝑀𝐵 = 𝐶 1 + 𝑖
𝑛 ⟹𝑀𝐵 = 250.000 1 + 0,145
114
360 ⟹𝑀𝐵 = 𝑅$ 260.952,67
𝑏) 𝐽𝐵 = 𝑀𝐵 − 𝐶 ⟹ 𝐽𝐵 = 260.952,67 − 250.000 ⟹ 𝐽𝐵 = 𝑅$ 10.952,67
𝑐) 𝐼𝑅𝑅𝐹 = 𝐽𝐵 × 𝐼𝑅 ⟹ 𝐼𝑅𝑅𝐹 = 10.952,67 × 0,225 ⟹ 𝐼𝑅𝑅𝐹 = 𝑅$ 2.464,35
𝑑) 𝑀𝐿 = 𝑀𝐵 − 𝐼𝑅𝑅𝐹 ⟹ 𝑀𝐿 = 260.952,67 − 2.464,35 ⟹ 𝑀𝐿 = 𝑅$ 258.488,32
162162
Produtos Financeiros (CDB) 
EXEMPLO
𝑒) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
Τ1 𝑛
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
258.488,32
250.000
Τ1 1
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 3,395328% 𝑎. 𝑝.
𝑓) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
ൗ1 𝑛
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
258.488,32
250.000
ൗ30 114
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 0,882545% 𝑎.𝑚.
𝑔) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
Τ1 𝑛
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
258.488,32
250.000
Τ360 114
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 11,1200% 𝑎. 𝑎.
163163
Produtos Financeiros (CDB) 
EXEMPLO
 Um investidor aplicou 𝑅$ 100.000,00 em um CDB pós-fixado, com taxa de 7,5% 𝑎. 𝑎.
mais IPCA, por um período de 120 dias. A alíquota do IRRF incidente sobre o
rendimento bruto é de 22,5%. O IPCA do período corresponde a 1,92%. Determinar do
ponto de vista do investidor: a) o montante bruto de resgate; b) o rendimento bruto;
c) o IRRF; d) o montante líquido de resgate; e) a taxa efetiva líquida do período; f) a
taxa efetiva líquida mensal; g) a taxa efetiva líquida anual.
𝑎) 𝑀𝐵 = 𝐶 1 + 𝑖
𝑛 1 + 𝐼𝑃𝐶𝐴 ⟹ 𝑀𝐵 = 100.000 1 + 0,075
120
360 1 + 0,0192
⟹𝑀𝐵 = 𝑅$ 104.406,83
𝑏) 𝐽𝐵 = 𝑀𝐵 − 𝐶 ⟹ 𝐽𝐵 = 104.406,83 − 100.000 ⟹ 𝐽𝐵 = 𝑅$ 4.406,83
𝑐) 𝐼𝑅𝑅𝐹 = 𝐽𝐵 × 𝐼𝑅 ⟹ 𝐼𝑅𝑅𝐹 = 4.406,83 × 0,225 ⟹ 𝐼𝑅𝑅𝐹 = 𝑅$ 991,54
𝑑) 𝑀𝐿 = 𝑀𝐵 − 𝐼𝑅𝑅𝐹 ⟹ 𝑀𝐿 = 104.406,83 − 991,54 ⟹ 𝑀𝐿 = 𝑅$ 103.415,29
164164
Produtos Financeiros (CDB) 
EXEMPLO
𝑒) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
Τ1 𝑛
− 1⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
103.415,29
100.000
Τ1 1
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 3,341529% 𝑎. 𝑝.
𝑓) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
ൗ1 𝑛
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
103.415,29
100.000
ൗ30 120
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 0,8431% 𝑎.𝑚.
𝑔) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
Τ1 𝑛
− 1⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
103.415,29
100.000
Τ360 120
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 10,0600% 𝑎. 𝑎.
165165
Produtos Financeiros (CDB) 
EXEMPLO
 Um investidor aplicou 𝑅$ 25.000,00 em um CDB pós-fixado, com taxa de 8,5% 𝑎. 𝑎. 𝑜.
mais IPCA, por um período de 172 dias úteis, apurados em um período de 247 dias
corridos. A alíquota do IRRF incidente sobre o rendimento bruto é de 20,0%. O IPCA
do período corresponde a 1,99%. Determinar do ponto de vista do investidor: a) o
montante bruto de resgate; b) o rendimento bruto; c) o IRRF; d) o montante líquido
de resgate; e) a taxa efetiva líquida do período; f) efetiva mensal líquida (dias
corridos); g) efetiva anual líquida (dias corridos); h) a taxa over líquida mensal; i) a
taxa over líquida anual.
𝑎) 𝑀𝐵 = 𝐶 1 + 𝑖𝑜𝑎
𝑑𝑢
252 1 + 𝐼𝑃𝐶𝐴 ⟹ 𝑀𝐵 = 25.000 1 + 0,085
172
252 1 + 0,0199
⟹ 𝑀𝐵 = 𝑅$ 26.957,51
𝑏) 𝐽𝐵 = 𝑀𝐵 − 𝐶 ⟹ 𝐽𝐵 = 26.957,51 − 25.000 ⟹ 𝐽𝐵 = 𝑅$ 1.957,51
𝑐) 𝐼𝑅𝑅𝐹 = 𝐽𝐵 × 𝐼𝑅 ⟹ 𝐼𝑅𝑅𝐹 = 1.957,51 × 0,20 ⟹ 𝐼𝑅𝑅𝐹 = 𝑅$ 391,50
𝑑) 𝑀𝐿 = 𝑀𝐵 − 𝐼𝑅𝑅𝐹 ⟹ 𝑀𝐿 = 26.957,51 − 391,50 ⟹ 𝑀𝐿 = 𝑅$ 26.566,01
166166
Produtos Financeiros (CDB) 
EXEMPLO
𝑒) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
Τ1 𝑛
− 1⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
26.566,01
25.000
Τ1 1
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 6,262404% 𝑎. 𝑝.
𝑓) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
ൗ1 𝑛
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
26.566,01
25.000
ൗ30 247
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 0,740666% 𝑎.𝑚.
𝑔) 𝑖𝑒𝑓 =
𝑀
𝐶
Τ1 𝑛
− 1⟹ 𝑖𝑒𝑓 =
26.566,01
25.000
Τ360 247
− 1 ⟹ 𝑖𝑒𝑓 = 9,259145% 𝑎. 𝑎.
ℎ) 𝑖𝑜𝑚 = 1 + 𝑖
ൗ𝑑𝑐 𝑑𝑢×30 − 1 × 30 ⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1 + 0,00740666
ൗ247 172×30 − 1 × 30
⟹ 𝑖𝑜𝑚 = 1,059897% 𝑎.𝑚. 𝑜.
ℎ) 𝑖𝑜𝑎 = 1 +
𝑖𝑜𝑚
30
252
− 1 ⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 1 + 0,00740666
ൗ247 172×30 − 1 × 30
⟹ 𝑖𝑜𝑎 = 9,309774% 𝑎. 𝑎. 𝑜.
167167
Produtos Financeiros (CDB) 
EXEMPLO
 Em uma aplicação em CDB-DI (CDB com taxa de rendimento atrelada à taxa CDI), um
investidor conseguiu junto ao gerente da instituição financeira da qual é correntista,
um rendimento de 95% do rendimento dessa última, ao aplicar 𝑅$ 95.000,00 por um
período de 210 dias corridos (175 dias úteis). O rendimento projetado para a taxa CDI
ao ano para o período da aplicação é de 14,13% 𝑎. 𝑎. 𝑜. e a alíquota do IRRF incidente
sobre o rendimento bruto é de 20,0%. Determine, do ponto de vista do investidor: a) o
montante bruto de resgate; b) o rendimento bruto; c) o IRRF; d) o montante líquido
de resgate; e) a taxa efetiva líquida do período; f) efetiva mensal líquida (dias
corridos); g) efetiva anual líquida (dias corridos); h) a taxa over líquida mensal; i) a
taxa over líquida anual.
168168
Produtos Financeiros (CDB)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Um investidor aplicou 𝑅$ 520.000,00 em um CDB prefixado, à taxa de 15,0% 𝑎. 𝑎., por um período
de 120 dias. A alíquota do IRRF incidente sobre o rendimento bruto é de 22,5%. Determinar do
ponto de vista do investidor: a) o montante bruto; b) o rendimento bruto; c) o IRRF; d) o
montante líquido; e) a taxa efetiva líquida do período; f) a taxa efetiva mensal líquida; g) a taxa
efetiva anual líquida.
𝑹$ 𝟓𝟒𝟒. 𝟕𝟗𝟖, 𝟓𝟕;𝑹$ 𝟐𝟒. 𝟕𝟗𝟖, 𝟓𝟕; 𝑹$ 𝟓𝟑𝟗. 𝟐𝟏𝟖, 𝟖𝟗; 𝟑, 𝟔𝟗𝟓𝟗% 𝒂. 𝑝. ; 0,9114% 𝒂.𝑚. ; 11,5027% 𝒂. 𝑎.
2. Um investidor aplicou 𝑅$ 200.000,00 em um CDB pós-fixado, com taxa de 6,0% 𝑎. 𝑎. mais IPCA,
por um período de 120 dias. A alíquota do IRRF incidente sobre o rendimento bruto é de 22,5%.
O IPCA do período corresponde a 1,85%. Determinar do ponto de vista do investidor: a) o
montante bruto de resgate; b) o rendimento bruto; c) o IRRF; d) o montante líquido de resgate;
e) a taxa efetiva líquida do período; f) a taxa efetiva líquida anual; g) a taxa efetiva líquida
mensal.
𝑹$ 𝟐𝟎𝟕. 𝟔𝟗𝟓, 𝟏𝟑;𝑹$ 𝟕. 𝟔𝟗𝟓, 𝟏𝟑;𝑹$ 𝟏. 𝟕𝟑𝟏, 𝟒𝟎;𝑹$ 𝟐𝟎𝟓. 𝟗𝟔𝟑, 𝟕𝟑; 𝟐, 𝟗𝟖 % 𝒂. 𝑝. ; 9,21 % 𝒂. 𝑎. ; 0,73% 𝑎.𝑚.
169169
Produtos Financeiros (CDB)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Um investidor aplicou 𝑅$ 75.000,00 em um CDB pós-fixado, com taxa de 10,0% 𝑎. 𝑎. 𝑜. mais IPCA,
por um período de 150 dias úteis, apurados em um período de 220 dias corridos. A alíquota do
IRRF incidente sobre o rendimento bruto é de 20,0%. O IPCA do período corresponde a 2,10%.
Determinar do ponto de vista do investidor: a) o montante bruto de resgate; b) o rendimento
bruto; c) o IRRF; d) o montante líquido de resgate; e) a taxa efetiva líquida do período; f) a taxa
over líquida anual; g) a taxa over líquida mensal; h) efetiva anual líquida (dias corridos); i) efetiva
mensal líquida (dias corridos).
2. Em uma aplicação em CDB-DI (CDB com taxa de rendimento atrelada à taxa CDI), um investidor
conseguiu junto ao gerente da instituição financeira da qual é correntista, um rendimento de 90%
do rendimento dessa última, ao aplicar 𝑅$ 200.000,00 por um período de 180 dias corridos (152
dias úteis). O rendimento projetado para a taxa CDI ao ano para o período da aplicação é de
15,25% 𝑎. 𝑎. 𝑜. e a alíquota do IRRF incidente sobre o rendimento bruto é de 20,0%. Determine,
do ponto de vista do investidor: a) o montante bruto de resgate; b) o rendimento bruto; c) o
IRRF; d) o montante líquido de resgate; e) a taxa efetiva líquida do período; f) a taxa over líquida
anual; g) a taxa over líquida mensal, h) a taxa efetiva líquida anual por dia corrido; i) a taxa
efetiva mensal líquida.
170170
PARTE 17
171171
Produtos Financeiros (CP) 
CADERNETA DE POUPANÇA – CP
 É uma aplicação de renda fixa posfixada utilizada para captar
recursos pelas instituições financeiras no mercado monetário, que são
aplicados no mercado de crédito, exclusivamente em financiamentos
imobiliários (a IF tem que operar com a carteira de crédito
imobiliário).
 Égarantida para baixos investimentos (FGC), regulada pelo Bacen e
suas regras de funcionamento são fixadas por Lei 4.380/64.
172172
Produtos Financeiros (CP) 
CADERNETA DE POUPANÇA – CP
 Rendimento  é composto de duas parcelas:
- remuneração básica, dada pela Taxa Referencial (TR) do dia do aniversário.
- remuneração adicional, correspondente a 0,5% ao mês, enquanto a meta
da taxa Selic ao ano for superior a 8,5%.
 Taxa Referencial  é obtida aplicando-se um redutor (R) sobre a
Taxa Básica Financeira (TBF) diária, definido pelo governo federal
(Bacen), que varia em função da política econômica do governo
federal.
173173
Produtos Financeiros (CP) 
CADERNETA DE POUPANÇA – CP
 Taxa Básica Financeira (TBF)  é a taxa média mensal
ponderada e ajustada dos CDB/RDB prefixados com prazo entre 30 e
35 dias corridos (inclusive), das 30 maiores instituições financeiras do
país de maior volume de captação via CDB/RDB, sendo considerados
bancos múltiplos, bancos comerciais, bancos de investimento e a
Caixa Econômica Federal.
174174
Produtos Financeiros (CP) 
CADERNETA DE POUPANÇA – CP
 Simplicidade e baixas quantias iniciais de aplicação 𝑅$ 40,00 .
 Rendimento mensal para pessoas físicas e trimestral para empresas
tributadas.
 Isenção de Imposto de Renda para Pessoas Físicas e Pessoas
Jurídicas não tributadas com base no lucro real (essas pagam
22,5%).
 Garantida para investimentos de até 𝑅$ 250.000,00 por CPF pelo
Fundo Garantidor de Crédito (baixo risco).
175175
Produtos Financeiros (CP) 
CADERNETA DE POUPANÇA – CP
 Liquidez imediata (pode ser resgatada a qualquer momento), porém,
valores sacados antes do término do mês ou trimestre corrido
perderão o rendimento deste período.
 É nominal e intransferível. Portanto, para alteração da titularidade, é
necessário o encerramento da conta antiga e abertura de nova.
 Movimentação automática, integrada à conta corrente.
 Nos depósitos efetuados nos dias 29, 30 e 31, a data de aniversário
passa a ser o primeiro dia do mês seguinte.
176176
Produtos Financeiros (CP)
EXEMPLO
 Um investidor aplicou 𝑅$ 4.500,00 na Caderneta de Poupança por 3 meses,
sem realizar nenhum saque no período. A correção monetária mensal (TR da
data de aniversário) foi: 0,1097% 𝑎.𝑚. 10 𝑚ê𝑠 , 0,1320% 𝑎.𝑚. 20 𝑚ê𝑠 e
0,1214% 𝑎.𝑚. 30 𝑚ê𝑠 . Considerando que a caderneta de poupança
remunera o aplicador com TR da data de aniversário + 0,5% 𝑎.𝑚. .
Determine: a) o montante disponível para saque no final do período; b) a
rentabilidade efetiva acumulada no período.
177177
Produtos Financeiros (CP)
EXEMPLO
 Supondo uma aplicação de 𝑅$ 15.000,00 em Caderneta de Poupança por dois
meses, na qual as TRs de cada mês (na data de aniversário) foram:
0,1681% 𝑎.𝑚. 10 𝑚ê𝑠 e 0,1874% 𝑎.𝑚. 20 𝑚ê𝑠 . Considerando que a
caderneta de poupança remunera o aplicador com TR da data de aniversário
+ 0,5% 𝑎.𝑚.. Determine: a) a rentabilidade efetiva de cada mês; b) o saldo
disponível do aplicador ao final de cada período; c) a rentabilidade efetiva do
período.
178178
Produtos Financeiros (CP)
EXEMPLO
 Os rendimentos trimestrais acumulados de uma caderneta de poupança em
determinado ano foram: 1,85% 𝑎. 𝑡. 10 𝑡𝑟𝑖𝑚. , 2,10% 𝑎. 𝑡. 20 𝑡𝑟𝑖𝑚. e
2,25% 𝑎. 𝑡. 30 𝑡𝑟𝑖𝑚. e ?% 𝑎. 𝑡. 40 𝑡𝑟𝑖𝑚. . Para que se obtenha uma
rentabilidade total de 8,5% 𝑎. 𝑎., qual deveria ser a taxa de remuneração da
caderneta de poupança no quarto trimestre?
179179
Produtos Financeiros (CP)
EXEMPLO
 Um investidor aplicou 𝑅$ 17.000,00 na caderneta de poupança por 4 meses, sem
realizar nenhum saque no período. A correção monetária mensal (TR da data de
aniversário) e a inflação do período seguem no quadro abaixo. Considerando que a
caderneta de poupança remunera o aplicador com TR da data de aniversário
+ 0,5% 𝑎.𝑚.. Determine: a) a taxa efetiva de rendimento ao final do período; b) a
rentabilidade média mensal; c) inflação acumulada no período; d) a taxa real obtida no
investimento; e) o montante disponível para saque no final do período.
Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4
TR 0,28% a.m. 0,22% a.m. 0,18% a.m. 0,15% a.m.
Inflação 0,54% a.m. 0,65% a.m. 0,53% a.m. 0,22% a.m. 
180180
Produtos Financeiros (CP)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Um investidor aplicou 𝑅$ 20.000,00 na Caderneta de Poupança por 4 meses, sem realizar nenhum saque no
período. A correção monetária mensal (TR da data de aniversário) foi: 0,1150% 𝑎.𝑚. 10 𝑚ê𝑠 ,
0,1220% 𝑎.𝑚. 20 𝑚ê𝑠 , 0,1230% 𝑎.𝑚. 30 𝑚ê𝑠 e 0,1250% 𝑎.𝑚. 40 𝑚ê𝑠 . Considerando que a caderneta de
poupança remunera o aplicador com TR da data de aniversário + 0,5% 𝑎.𝑚.. Determine: a) o montante disponível
para saque no final do período; b) a rentabilidade efetiva acumulada no período.
2. Supondo uma aplicação de 𝑅$ 75.000,00 em Caderneta de Poupança por dois meses, na qual as TRs de cada mês
(na data de aniversário) foram: 0,1816% 𝑎.𝑚. 10 𝑚ê𝑠 e 0,1748% 𝑎.𝑚. 20 𝑚ê𝑠 . Considerando que a caderneta de
poupança remunera o aplicador com TR da data de aniversário + 0,5% 𝑎.𝑚.. Determine: a) a rentabilidade efetiva
de cada mês; b) o saldo disponível do aplicador ao final de cada período; c) a rentabilidade efetiva do período.
3. Os rendimentos trimestrais acumulados de uma caderneta de poupança em determinado ano foram:
2,05% 𝑎. 𝑡. 10 𝑡𝑟𝑖𝑚. , 1,95% 𝑎. 𝑡. 20 𝑡𝑟𝑖𝑚. e 1,90% 𝑎. 𝑡. 30 𝑡𝑟𝑖𝑚. e ?% 𝑎. 𝑡. 40 𝑡𝑟𝑖𝑚. . Para que se obtenha uma
rentabilidade total de 7,8% 𝑎. 𝑎., qual deveria ser a taxa de remuneração da caderneta de poupança no quarto
trimestre?
4. Um investidor aplicou 𝑅$ 25.000,00 na caderneta de poupança por 4 meses, sem realizar nenhum saque no
período. A correção monetária mensal (TR da data de aniversário) e a inflação do período seguem no quadro
abaixo. Considerando que a caderneta de poupança remunera o aplicador com TR da data de aniversário
+ 0,5% 𝑎.𝑚.. Determine: a) a taxa efetiva de rendimento ao final do período; b) a rentabilidade média mensal; c)
inflação acumulada no período; d) a taxa real obtida no investimento; e) o montante disponível para saque no
final do período.
Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4
TR 0,25% a.m. 0,22% a.m. 0,20% a.m. 0,18% a.m.
Inflação 0,60% a.m. 0,55% a.m. 0,58% a.m. 0,40% a.m. 
181181
PARTE 18
182182
Produtos Financeiros (HM) 
HOT MONEY – HM
 É um empréstimo de curtíssimo prazo para atender às necessidades
momentâneas de caixa (capital de giro) das empresas.
 Geralmente são operações com duração de um dia a uma semana.
 O prazo máximo do empréstimo é de 29 dias.
 Os contratos de Hot Money são geralmente garantidos por nota
promissória.
 Remunera a taxa over repactuada diariamente, sendo formada pela
taxa DI do dia da operação, geralmente expressa ao mês (taxa over),
acrescida do spread do banco.
183183
Produtos Financeiros (HM) 
HOT MONEY – HM
 CUSTOS
- IOF fixo  incide sobre o valor contratado (alíquota de 0,38%).
- IOF diário  incide sobre o valor inicial repactuado a cada dia
(alíquota de 0,0041% 𝑎. 𝑑.).
- Tarifa bancária (TAC, TCC, TSB)  varia entres as instituições.
 Esses custos podem ser descontados no momento da contratação do
empréstimo ou financiados pela instituição financeira.
184184
Produtos Financeiros (HM)
EXEMPLO
 Uma grande companhia solicitou a uma instituição financeira um empréstimo de
𝑅$ 9.000.000,00 em Hot Money, renovado por 3 dias úteis seguidos com taxas
repactuadas. As taxas DI over da operação são as seguintes: 1,75% 𝑎.𝑚. 𝑜. 10 𝑑𝑖𝑎 ,
1,82% 𝑎.𝑚. 𝑜. 20 𝑑𝑖𝑎 e 1,90% 𝑎.𝑚. 𝑜. 30 𝑑𝑖𝑎 . Na liberação dos recursos instituição
financeira exigiu um spread de 0,04% sobre a taxa DI e houve a incidência de IOF
(fixo) à alíquota de 0,38% sobre o valor contratado e de 0,0041% 𝑎. 𝑑. sobre o valor
repactuado diariamente.
 Além disso, a instituição cobrou uma tarifa de abertura de crédito (TAC) 𝑅$ 500,00. O
IOF e a tarifa bancária não foram financiados pelo banco. Com base nesses dados,monte um quadro com os valores da operação e determine: a) o montante da
operação, supondo que o banco refinancie diariamente os juros; b) o custo total para a
empresa na operação; c) a taxa efetiva da operação no período do ponto de vista do
banco; d) a taxa efetiva da operação no período do ponto de vista da empresa; e) a
taxa over média mensal da operação para a empresa.
185185
Produtos Financeiros (HM)
EXEMPLO
 𝐼𝑂𝐹𝑓𝑖𝑥𝑜 = 9.000.000 × 0,0038 = 34.200,00
 𝐼𝑂𝐹𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑜 = 9.000.000 × 0,000041 × 3 = 34.200,00
 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 9.000.000 − 34.200 − 1.107 − 500 = 8.964.193,00
𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝟏𝒐 𝒅𝒊𝒂:
 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 + 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 = 9.000.000 × 1 +
0,00175
30
1 + 0,00040 − 1 = 8.852,09
 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 9.000.000 × 1 +
0,00175
30
1 + 0,00040 = 9.008.852,09
Empréstimo Contratado 9.000.000,00
IOF (fixo) 34.200,00
IOF (diário) 1.107,00
TAC 500,00
Valor liberado 8.964.193,00
1º dia 2º dia 3º dia
Saldo devedor inicial 9.000.000,00 9.008.852,09 9.017.923,20
Juros + spread 8.852,09 9.071,10 9.320,80
Saldo devedor final 9.008.852,09 9.017.923,20 9.027.244,00
186186
Produtos Financeiros (HM)
EXEMPLO
𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝟐𝒐 𝒅𝒊𝒂:
 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 + 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 = 9.008.852,09 × 1 +
0,00182
30
1 + 0,00040 − 1 = 9.071,10
 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 9.008.852,09 × 1 +
0,00182
30
1 + 0,00040 = 9.017.923,20
𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝟑𝒐 𝒅𝒊𝒂:
 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 + 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 = 9.017.923,20 × 1 +
0,00190
30
1 + 0,00040 − 1 = 9.320,80
 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 9.017.923,20 × 1 +
0,00190
30
1 + 0,00040 = 9.027.244,00
Empréstimo Contratado 9.000.000,00
IOF (fixo) 34.200,00
IOF (diário) 1.107,00
TAC 500,00
Valor liberado 8.964.193,00
1º dia 2º dia 3º dia
Saldo devedor inicial 9.000.000,00 9.008.852,09 9.017.923,20
Juros + spread 8.852,09 9.071,10 9.320,80
Saldo devedor final 9.008.852,09 9.017.923,20 9.027.244,00
187187
Produtos Financeiros (HM)
EXEMPLO
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂:
 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 = 9.027.244,00 − 8.964.193,00 = 63.051,00
𝑻𝒂𝒙𝒂𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 𝒅𝒂 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂çã𝒐:
 𝑇𝑎𝑥𝑎𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 =
9.027.244
8.964.193
− 1 = 0,703365% 𝑎. 𝑝. 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
 𝑇𝑎𝑥𝑎𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 =
9.027.244
9.000.000
− 1 = 0,302711% 𝑎. 𝑝. 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
 𝑇𝑎𝑥𝑎𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 =
9.027.244
8.964.193
Τ1 3
− 1 × 30 = 7,017222% 𝑎.𝑚. 𝑜. 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙
Empréstimo Contratado 9.000.000,00
IOF (fixo) 34.200,00
IOF (diário) 1.107,00
TAC 500,00
Valor liberado 8.964.193,00
1º dia 2º dia 3º dia
Saldo devedor inicial 9.000.000,00 9.008.852,09 9.017.923,20
Juros + spread 8.852,09 9.071,10 9.320,80
Saldo devedor final 9.008.852,09 9.017.923,20 9.027.244,00
188188
Produtos Financeiros (HM)
EXEMPLO
 Uma grande companhia siderúrgica procurou uma instituição financeira para tomar um
empréstimo de 𝑅$ 25.000.000,00 em Hot Money, renovado por 3 dias úteis seguidos
com taxas repactuadas. As taxas DI over da operação são as seguintes:
1,65% 𝑎.𝑚. 𝑜. 10 𝑑𝑖𝑎 , 1,72% 𝑎.𝑚. 𝑜. 20 𝑑𝑖𝑎 e 1,82% 𝑎.𝑚. 𝑜. 30 𝑑𝑖𝑎 . A instituição
financeira exigiu um spread de 0,05% sobre a taxa DI. Na liberação dos recursos
houve a incidência de IOF (fixo) à alíquota de 0,38% sobre o valor contratado e de
0,0041% 𝑎. 𝑑. sobre o valor repactuado diariamente.
 Além disso, a instituição cobrou uma tarifa de contratação de 𝑅$ 600,00. O IOF e a
tarifa bancária não foram financiados pelo banco. Com base nesses dados, monte um
quadro com os valores da operação e determine: a) o montante da operação, supondo
que o banco refinancie diariamente os juros; b) o custo total para a empresa na
operação; c) a taxa efetiva da operação no período do ponto de vista do banco; d) a
taxa efetiva da operação no período do ponto de vista da empresa; e) a taxa over
média mensal da operação para a empresa.
189189
Produtos Financeiros (HM)
EXEMPLO
Empréstimo Contratado
IOF (fixo)
IOF (diário)
TAC
Valor liberado
1º dia 2º dia 3º dia
Saldo devedor inicial
Juros + spread
Saldo devedor final
190190
Produtos Financeiros (HM)
EXEMPLO
191191
Produtos Financeiros (HM)
EXEMPLO
 Uma grande companhia siderúrgica procurou uma instituição financeira para tomar um
empréstimo de 𝑅$ 55.000.000,00 em Hot Money, renovado por 4 dias úteis seguidos
com taxas repactuadas. As taxas DI over da operação são as seguintes:
1,60% 𝑎.𝑚. 𝑜. 10 𝑑𝑖𝑎 , 1,70% 𝑎.𝑚. 𝑜. 20 𝑑𝑖𝑎 , 1,80% 𝑎.𝑚. 𝑜. 30 𝑑𝑖𝑎 e
1,90% 𝑎.𝑚. 𝑜. 40 𝑑𝑖𝑎 . A instituição financeira exigiu um spread de 0,06% sobre a taxa
DI. Na liberação dos recursos houve a incidência de IOF (fixo) à alíquota de 0,38%
sobre o valor contratado e de 0,0041% 𝑎. 𝑑. sobre o valor repactuado diariamente.
 Além disso, a instituição cobrou uma tarifa de contratação de 𝑅$ 1.000,00. O IOF e a
tarifa bancária não foram financiados pelo banco. Com base nesses dados, monte um
quadro com os valores da operação e determine: a) o montante da operação, supondo
que o banco refinancie diariamente os juros; b) o custo total para a empresa na
operação; c) a taxa efetiva da operação no período do ponto de vista do banco; d) a
taxa efetiva da operação no período do ponto de vista da empresa; e) a taxa over
média mensal da operação para a empresa.
192192
Produtos Financeiros (HM)
EXEMPLO
Empréstimo Contratado
IOF (fixo)
IOF (diário)
TAC
Valor liberado
1º dia 2º dia 3º dia 4º dia
Saldo devedor inicial
Juros + spread
Saldo devedor final
193193
Produtos Financeiros (HM)
EXEMPLO
194194
PARTE 19
195195
Título de Crédito
 É qualquer documento no qual o devedor reconhece determinada
dívida junto a um terceiro.
NOTA PROMISSÓRIA
 É um documento comprobatório de uma dívida, de emissão PF ou PJ
no qual o emissor se declara devedor e se compromete a pagar ao
seu credor uma quantia em determinada data.
196196
Título de Crédito
DUPLICATA
 É emitida por empresas (PJ) contra seus clientes (PF ou PJ) para
quem vendeu mercadorias ou prestou serviços a prazo.
 Sua emissão decorre da emissão de uma NF. O cliente, ao assiná-la,
se declara devedor de determinada quantia, obrigando-se a pagá-la
na data estabelecida.
197197
Título de Crédito
CHEQUE PRÉ-DATADO
 É um documento vinculado a uma instituição financeira, emitido por
pessoas físicas ou jurídicas em favor de um terceiro, garantindo o
saque da quantia especificada em uma data futura.
198198
Operações de Desconto
 É uma operação que consiste em efetuar o resgate de um
título antes do seu vencimento, visando a obtenção de
recursos de curto prazo (capital de giro).
 Principais títulos de crédito descontados: nota promissória,
duplicata, letras de câmbio e cheques pré-datados, etc.
199199
Operações de Desconto
 Valor do título (valor nominal ou VN)
Valor de face que será pago na data do vencimento (montante).
 Desconto
Valor dos juros da operação (D).
 Valor atual (A)
Valor do título subtraído do desconto (VP).
 Taxa de desconto
Taxa de juros (d).
 Taxas análise cadastro / crédito
TAC ou TCC.
200200
Operações de Desconto
 SINÔNIMOS
Utiliza-se fazer as seguintes analogias entre os termos abaixo:
Valor Atual = Valor Presente
Valor Nominal = Valor Futuro
201201
Operações de Desconto
Tipologias de DESCONTO
 Racional (“por dentro”)
Taxa de juros incide sobre o valor presente ou atual do título.
 Bancário ou Comercial (“por fora”)
A taxa de juros incide sobre o valor nominal (futuro) do título 
proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos.
202202
Operações de Desconto
Tipologias de DESCONTO
 Racional (“por dentro”)
Simples  Exporte Note.
Composto  Títulos Públicos com taxa over.
 Bancário ou Comercial (“por fora”)
Simples  Letras de Câmbio, Duplicatas e Notas Promissórias.
Composto  Sem aplicação prática no mercado brasileiro.
203203
Desconto Racional Simples – DRS
Desconto “Por Dentro”
204204
Operações de Desconto (DRS)
Desconto Racional Simples – DRS Desconto
𝑫𝒓 = 𝑪 × 𝒊 × 𝒏 𝑫𝒓 = 𝑴− 𝑪 𝑫𝒓 =
𝑴×𝒊×𝒏
𝟏+𝒊×𝒏
 Prazo n
𝒏 =
𝑫𝒓
𝑪 × 𝒊
 Valor Nominal
𝑴 = 𝑪 +𝑫𝒓 ⟹𝑵 = 𝑪 + 𝑪 × 𝒊 × 𝒏 ⟹ 𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 × 𝒏
 Valor Atual
𝑪 =
𝑴
𝟏 + 𝒊 × 𝒏
205205
Operações de Desconto (DRS)
EXERCÍCIO
 Determine o valor do desconto aplicado e o valor recebido pela empresa, em
uma operação de desconto racional simples, realizada por uma empresa,
com um título de crédito, de valor nominal de 𝑅$ 12.000,00, 5 meses antes
do vencimento, na qual foi cobrada uma taxa de 3,00% 𝑎.𝑚..
206206
Operações de Desconto (DRS)
EXERCÍCIO
 Determine o valor atual e o desconto de um título de crédito 𝑅$ 2.500,00,
que vencerá em 36 dias, considerando que a instituição financeira cobra uma
taxa de desconto de 3,60% 𝑎.𝑚. pela antecipação dos recursos.
207207
Operações de Desconto (DRS)
EXERCÍCIO
 Um comerciante procurou uma instituição financeira para descontar um título
com valor nominal de 𝑅$ 8.500,00, com vencimento em 135 dias. Determine
a taxa mensal de desconto, sabendo que o desconto aplicado foi de
𝑅$ 1.242,13.
208208
Operações de Desconto (DRS)
EXERCÍCIO
 Determine o valor do desconto racional e o valor recebido por uma empresa,
que descontou uma nota promissória com valor nominal de 𝑅$ 6.300,00, 115
dias antes do vencimento a uma taxa de juros simples de 14,00% 𝑎. 𝑎..
209209
Operações de Desconto (DRS)
EXERCÍCIO
 Um título de crédito de 𝑅$ 10.000,00, com vencimento em 02 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑧𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
sofreu um desconto racional simples de 𝑅$ 687,50 no dia 18 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 do
mesmo ano. Determine a taxa de juros mensal e anual da operação.
210210
Operações de Desconto (DRS)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Determine o valor do desconto aplicado e o valor recebido pela empresa, em uma
operação de desconto racional simples, realizada por uma empresa, com um título de
crédito, de valor nominal de 𝑅$ 50.000,00, 3 meses antes do vencimento, na qual foi
cobrada uma taxa de 4,50% 𝑎.𝑚..
2. Determine o valor atual e o desconto de um título de crédito 𝑅$ 12.500,00, que
vencerá em 45 dias, considerando que a instituição financeira cobra uma taxa de
desconto de 4,25% 𝑎.𝑚. pela antecipação dos recursos.
3. Um comerciante procurou uma instituição financeira para descontar um título com
valor nominal de 𝑅$ 20.000,00, com vencimento em 120 dias. Determine a taxa
mensal de desconto, sabendo que o desconto aplicado foi de 𝑅$ 4.200,00.
4. Determine o valor do desconto racional e o valor recebido por uma empresa, que
descontou uma nota promissória com valor nominal de 𝑅$ 15.500,00, 95 dias antes
do vencimento a uma taxa de juros simples de 18,00% 𝑎. 𝑎..
5. Um título de crédito de 𝑅$ 25.000,00, com vencimento em 18 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑟ç𝑜 sofreu um
desconto racional simples de 𝑅$ 687,50 no dia 28 𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 do mesmo ano.
Determine a taxa de juros mensal e anual da operação.
211211
PARTE 20
212212
Desconto Comercial Simples – DCS
Desconto “Por Fora”
213213
Operações de Desconto (DCS)
Desconto Comercial Simples – DCS
 Incidir sobre o valor nominal do título, proporciona maior volume de
encargos financeiros efetivos na operação.
 Esta modalidade é amplamente adotada pelo mercado, notadamente
em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo.
 É comum, além do desconto, haver a incidência de outras duas
despesas, tais como a TAC ou TCC e o IOF.
 O desconto comercial, sem encargos adicionais, seria obtido por:
ቊ
𝑫𝒄 = 𝑴× 𝒅 × 𝒏
𝑫𝒄 = 𝑴− 𝑪
214214
Operações de Desconto (DCS)
Desconto Comercial Simples – DCS
 Além dos juros, há a incidência de:
- Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) à aliquota de 0,38%
sobre o valor do título e 0,0041%𝑎. 𝑑., também sobre o valor do título;
- Taxa de Servisos Bancários (TSB) ou Taxa de Análise de Crédito
(TAC) podem ser cobradas sobre um valor predeterminado ou um % do
valor nominal da operação. As condições variam de banco para banco,
da reciprocidade bancária e do valor da operação.
 O desconto comercial, com encargos adicionais, é obtido por:
𝑫𝒄
∗ = 𝑴× 𝒅 × 𝒏 +𝑴× 𝑰𝑶𝑭𝟎,𝟑𝟖% +𝑴× 𝑰𝑶𝑭𝟎,𝟎𝟎𝟒𝟏% × 𝒏 +M× 𝑻𝑺𝑩
215215
Operações de Desconto (DCS)
Desconto Comercial Simples – DCS
 Importante  Esta operação só compensa para prazos curtos,
pois, se o prazo foi muito longo o detentor do título pode receber um
abatimento / deságio que inviabiliza a operação.
 Títulos  Duplicatas, cheques e notas promissórias.
216216
Operações de Desconto (DCS)
Desconto Comercial Simples – DCS
 Fórmulas
𝑫𝒄 = 𝑴× 𝒅 × 𝒏 𝑫𝒄 = 𝑴− 𝑪 𝑪 = 𝑴−𝑫𝒄
𝑪 = 𝑴−𝑫𝒄 ⟹ 𝑪 = 𝑴−𝑴× 𝒅 × 𝒏⟹ 𝑪 = 𝑴 𝟏 − 𝒅 × 𝒏
𝑫𝒄
∗ = 𝑴× 𝒅 × 𝒏 +𝑴× 𝑰𝑶𝑭𝟎,𝟑𝟖% +𝑴× 𝑰𝑶𝑭𝟎,𝟎𝟎𝟒𝟏% × 𝒏 +M× 𝑻𝑺𝑩
𝑪∗ = 𝑴 𝟏 − 𝒅 × 𝒏 − 𝑰𝑶𝑭𝟎,𝟑𝟖% − 𝑰𝑶𝑭𝟎,𝟎𝟎𝟒𝟏% × 𝒏 − 𝑻𝑺𝑩
217217
Operações de Desconto (DCS)
 Uma nota promissória no valor nominal de R$10000,00 é resgatada 60 dias
antes do seu vencimento em uma factoring. Qual o valor do desconto
comercial e o valor pago pelo título, sabendo-se que a taxa de desconto é de
2,50% 𝑎.𝑚., a alíquota de IOF desta operação é de 0,38% mais 0,0041% 𝑎. 𝑑.
e a factoring ainda cobra 0,1% do título. Obtenha ainda a taxa efetiva da
operação.
Dados: 𝑴 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒏 = 𝟔𝟎; 𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓; 𝑰𝑶𝑭 = 𝟎, 𝟑𝟖% + 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟏%𝒂. 𝒅. ; 𝒕 =
𝟎, 𝟏%; 𝑫𝒄 =? ; 𝑪 =?
𝐷𝑐 = 𝑀 𝑑 × 𝑛 + 𝐼𝑂𝐹0,38% + 𝐼𝑂𝐹0,0041% × 𝑛 + 𝑇𝑆𝐵 ⟹ 𝐷𝑐 = 10000 2,5% ×
60
30
+ 0,38% + 0,0041% × 60 + 0,1%
⟹𝐷𝑐 = 𝑅$ 572,60 ⟹ 𝐶 = 𝑀 − 𝐷𝑐 ⟹ 𝐶 = 10000 − 572,60 ⟹ 𝐶 = 𝑅$9427,40
𝑖 =
𝑀
𝐶
ൗ1 𝑛
− 1 ⟹ 𝑖 =
10000
9427,40
ൗ1 2
− 1 ⟹ 2,9921% 𝑎.𝑚.
EXEMPLO
218218
Operações de Desconto (DCS)
 Um cheque é descontado num banco 90 dias antes de seu vencimento. A
taxa de desconto comercial definida pelo banco é de 3,30% 𝑎.𝑚., a alíquota
de IOF é de 0,38% mais de 0,0041% 𝑎. 𝑑. e o banco cobra 0,2% do título.
Sendo de R$25000,00 o valor nominal deste título, calcule o desconto, o
valor de resgate e a taxa efetiva da operação.
𝐑$𝟐𝟕𝟏𝟐, 𝟐𝟓; 𝑹$𝟐𝟐𝟐𝟖𝟕, 𝟕𝟓; 𝟑, 𝟗𝟎𝟐𝟐% 𝒂.𝒎.
EXERCÍCIO
219219
Operações de Desconto (DCS)
 Um comerciante recebeu um cheque pré-datado para 60 dias no valor de
R$650,00 , que foi descontado em uma financeira. Calcule a taxa de
desconto, sabendo-se que o desconto, sem os demais encargos da
operação financeira, foi de R$50,00. 𝟑, 𝟖𝟒𝟔𝟏% 𝒂.𝒎.
EXERCÍCIO
220220
Operações de Desconto (DCS)
Desconto Comercial Simples para série uniforme e periódica
 O desconto de uma série de títulos de igual valor e com uma
periodicidade definida é obtido por:
𝑫𝑻 = 𝑴× 𝒅 ×
𝑵 𝑻𝟏 + 𝑻𝒏
𝟐
𝑜𝑛𝑑𝑒: ቐ
𝑵 é 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡í𝑡𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑻𝟏 é 𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡í𝑡𝑢𝑙𝑜
𝑻𝒏 é 𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑜 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑡í𝑡𝑢𝑙𝑜
221221
Operações de Desconto (DCS)
 Uma empresa desconta 4 títulos no valor de R$90000,00 cada, com vencimento
em 15, 30, 45 e 60 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto
cobrada pelo banco é de 2,5% 𝑎.𝑚., calcule o valor do desconto total e o valor
lquido obtido pela empresa.
Dados: 𝑴 = 𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎;𝑵 = 𝟒; 𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓; 𝑫𝑻 =? ; 𝑪 =?
𝐷𝑇 = 𝐷1 + 𝐷2 + 𝐷3 + 𝐷4 𝑒 𝐷𝑖 = 𝑀 × 𝑑 × 𝑛
𝐷𝑇 = 90000
0,025
30
× 15 + 90000
0,025
30
× 30 + 90000
0,025
30
× 45 + 90000
0,025
30
× 60
⟹ 𝐷𝑇 = 90000
0,025
30
× 15 + 30 + 45 + 60 = 𝑅$ 11250,00
𝐷𝑇 = 𝑀 × 𝑑 ×
𝑁 𝑇1 + 𝑇𝑛
2
⟹ 𝐷𝑇 = 90000 ×
0,025
30
×
4 15 + 60
2
= 𝑅$ 11250,00
𝐶 = 𝑀 − 𝐷𝑇 ⟹ 𝐶 = 90000 × 4 − 1250 = 𝑅$ 348750,00
EXEMPLO
222222
Operações de Desconto (DCS)
 Uma empresa desconta 6 títulos no valor de R$10000,00 cada, com vencimento
de 1 a 6 meses. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de
2,5% 𝑎.𝑚. , calcule o valor do desconto total e o valor lquido obtido pela
empresa.
EXERCÍCIO
223223
Operações de Desconto (DCS)
Desconto Comercial Simples em série e prazo médio
 Processo de cálculo útil em casos nosquais os títulos são com
valores diferentes.
 Utiliza a idéia de prazo médio ponderado pelo valor de cada título.
Então:
𝑷𝒓𝒂𝒛𝒐𝑴é𝒅𝒊𝒐 𝑷𝑴 =
σ𝒌=𝟏
𝒏 𝑴𝒌𝒏𝒌
σ𝒌=𝟏
𝒏 𝑴𝒌
 Por consequência:
𝑫𝑻 = ෍
𝒌=𝟏
𝒏
𝑴𝒌 × 𝒅 × 𝑷𝑴
224224
Operações de Desconto (DCS)
 Uma empresa apresenta três cheques para desconto a uma Instituição
Financeira: R$ 4000,00 em 30 dias, R$ 6000,00 em 45 dias e R$ 10000,00 em
60 dias. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 2,5% 𝑎.𝑚.,
determine o valor do desconto total e o valor lquido obtido pela empresa.
Dados: 𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓; 𝑫𝑻 =? ; 𝑪 =?
𝐷𝑇 = 4000
0,025
30
× 30 + 6000
0,025
30
× 45 + 10000
0,025
30
× 60 = 𝑅$ 825,00
𝑃𝑀 =
σ𝑘=1
𝑛 𝑀𝑘𝑛𝑘
σ𝑘=1
𝑛 𝑀𝑘
⟹ 𝑃𝑀 =
4000×30+6000×45+10000×60
4000+6000+10000
⟹ 𝑃𝑀 = 49,5
𝐷𝑇 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑀𝑘 × 𝑑 × 𝑃𝑀 ⟹ 𝐷𝑇 = 20000 ×
0,025
30
× 49,5 = 𝑅$ 825,00
EXEMPLO
225225
Operações de Desconto (DCS)
 Uma pequena empresa deseja realizar o desconto de quatro duplicatas:
R$ 10000,00 em 30 dias, R$ 15000,00 em 45 dias, R$ 30000,00 em 60 dias e
R$ 25000,00 em 60 dias. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco
é de 2,0% 𝑎.𝑚., determine o valor do desconto total e o valor lquido obtido pela
empresa.
EXERCÍCIO
226226
Operações de Desconto (DCS)
 Faça o que se pede.
1. Um empresário deseja atecipar em 45 dias o pagamento de uma nota promissória no valor
nominal de 𝑅$ 30000,00 para honrar compromissos. Qual o valor do desconto comercial, o valor
pago pelo título e a taxa efetiva da operação, sabendo-se que a taxa de desconto é de
3,50% 𝑎.𝑚., a alíquota de IOF é 0,38% mais 0,0041% 𝑎. 𝑑. e a taxa administrativa é de 0,15% do
título. 𝑹$ 𝟏𝟕𝟖𝟗, 𝟑𝟓; 𝑹$ 𝟐𝟖𝟐𝟏𝟎, 𝟔𝟓; 𝟒, 𝟏𝟖𝟓𝟏% 𝒂.𝒎.
2. Um empreendedor descontou, em uma financeira, um cheque no valor de 𝑅$ 2500,00 para 75
dias. Calcule a taxa efetiva da operação e a taxa de desconto, sabendo-se que o desconto, sem
os demais encargos da operação financeira, foi de 𝑅$ 125,00. 𝟐, 𝟎𝟕𝟐𝟗% 𝒂.𝒎. ; 𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎% 𝒂.𝒎.
3. Um cheque de 𝑅$ 20000,00 é antecipado em 50 dias, em uma Instituição Financeira, a taxa de
desconto comercial de 3,00% 𝑎.𝑚.. Considerando uma a alíquota de IOF de 0,0041% 𝑎. 𝑑. e taxa
bancária de 0,2% sobre o valor do título, calcule o desconto comercial, o valor recebido pelo título
e a taxa efetiva da operação. 𝑹$ 𝟏𝟎𝟖𝟏, 𝟎𝟎;𝑹$ 𝟏𝟖𝟗𝟏𝟗, 𝟎𝟎; 𝟑, 𝟑𝟗𝟎𝟏% 𝒂.𝒎.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
227227
Operações de Desconto (DCS)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Um comerciante antecipou em 100 dias, em um banco, uma nota promissória no valor de
𝑅$ 10000,00. Calcule a taxa efetiva da operação e a taxa de desconto, sabendo-se que o
desconto total foi de 𝑅$ 1051,00, a alíquota de IOF é de 0,0041% 𝑎. 𝑑. e a taxa administrativa foi
de 0,10% do título. 𝟑, 𝟑𝟖𝟕𝟒% 𝒂.𝒎. ; 𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎% 𝒂.𝒎.
2. Uma empresa desconta 6 títulos no valor de 𝑅$ 25000,00 cada, com vencimento em 10, 20, 30,
40, 50 e 60 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de
3,0% 𝑎.𝑚., calcule o valor do desconto total e o valor lquido obtido pela empresa.
3. Uma empresa desconta 4 títulos no valor de 𝑅$ 5000,00 cada, com vencimento de 1 a 4 meses.
Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 1,8% 𝑎.𝑚., calcule o valor do desconto
total e o valor lquido obtido pela empresa.
4. Uma pequena empresa deseja realizar o desconto de quatro duplicatas: 𝑅$ 15000,00 em 2
meses, 𝑅$ 25000,00 em 4 meses, 𝑅$ 30000,00 em 6 meses e 𝑅$ 50000,00 em 12 meses.
Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 1,0% 𝑎.𝑚., determine o valor do
desconto total e o valor lquido obtido pela empresa.
228228
Operações de Desconto (DCS)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Determine o valor recebido por um empresário que descontou um título de 𝑅$ 15.000,00, 7 meses antes
do seu vencimento, considerando uma taxa de desconto comercial simples de 6,00% 𝑎.𝑚.
2. Um empresário aplicou 𝑅$ 35.000,00 em letras de câmbio a uma taxa de juros compostos de 2,00% 𝑎.𝑚..
O vencimento dos títulos ocorreria em 7 meses. Entretanto, precisou resgatar o dinheiro 2 meses após a
aplicação, por meio de uma operação de desconto comercial simples à uma taxa de 2,50% 𝑎.𝑚. .
Determine: a) o valor futuro do título; b) valor do desconto; e c) valor recebido pelo cliente (sem
encargos). Analise o resultado.
3. Uma empresa descontou uma duplicata de 𝑅$ 1.520,00 com vencimento em 10/11/15 em 24/09/15 por
meio de desconto comercial simples à taxa de 3,60% 𝑎.𝑚.. Na operação foi cobrado IOF de 0,0041% 𝑎. 𝑑.,
de 0,38% (adicional) e tarifa de análise de crédito (TAC) de 0,50% do valor nominal. Determine o valor
líquido recebido (com encargos) pela empresa.
4. Uma empresa realizou uma operação de desconto comercial simples de duplicata, à taxa de desconto de
3,75% 𝑎.𝑚., pelo prazo de 38 dias. O valor nominal da duplicata é de 𝑅$ 18.500,00. Considerando que as
alíquotas de IOF são 0,0041% 𝑎. 𝑑. e 0,38% (adicional) e que a TAC cobrada foi de 𝑅$ 150,00, determine:
a) o valor do desconto; b) o IOF; c) o valor líquido recebido pela empresa (com encargos); d) a taxa
efetiva do período da operação; e) a taxa efetiva mensal da operação.
229229
PARTE 21
230230
Desconto Racional Composto – DRC
Desconto “Por Dentro”
231231
Operações de Desconto (DRC)
Desconto Racional Composto – DRC
 É utilizado basicamente em operações de longo prazo (títulos
públicos).
 Basicamente, este método de desconto utiliza-se do valor presente
do título, como base de cálculo do desconto, sob o regime de juros
compostos.
232232
Operações de Desconto (DRC)
Desconto Racional Composto – DRC
 Fórmulas
𝑪 =
𝑴
𝟏+𝒊 𝒏
𝑴 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 𝒏 𝒊 =
𝑴
𝑪
Τ𝟏 𝒏
− 𝟏
𝑫𝒓 = 𝑴
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
𝟏+𝒊 𝒏
𝒏 =
𝑳𝒏
𝑴
𝑪
𝑳𝒏 𝟏+𝒊
233233
Operações de Desconto (DRC)
 Um investidor descontou um título de valor nominal 𝑅$ 25.000,00, 6 meses
antes do seu vencimento, com uma taxa de desconto racional composta de
3,50% 𝑎.𝑚.. Determine: a) o valor do desconto; b) o valor líquido recebido pelo
investidor (sem encargos); c) a taxa efetiva do período; d) a taxa efetiva
mensal e anual da operação.
EXERCÍCIO
234234
Operações de Desconto (DRC)
 Um título com valor nominal de 𝑅$ 155.000,00 foi descontado 3 meses antes do
seu vencimento. Sabendo que se trata de uma operação de desconto racional
composto com uma taxa de 4,50% 𝑎.𝑚., determine: a) o valor do desconto; b)
o valor líquido da operação (sem encargos).
EXERCÍCIO
235235
Operações de Desconto (DRC)
 Um cliente recebeu 𝑅$ 42.066,60 de uma instituição financeira em uma
operação de desconto racional composto, cujo valor nominal era de
𝑅$ 54.000,00. Se a taxa de desconto utilizada foi de 4,25% 𝑎.𝑚., determinar
quantos meses foi o prazo de antecipação desse título.
EXERCÍCIO
236236
Operações de Desconto (DRC)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Um investidor descontou um título de valor nominal 𝑅$ 45.000,00 , 4 meses antes do seu
vencimento, com uma taxa de desconto racional composta de 4,10% 𝑎.𝑚.. Determine: a) o valor
do desconto; b) o valor líquido recebido pelo investidor (sem encargos); c) a taxa efetiva do
período; d) a taxa efetiva mensal e anual da operação.
2. Um título com valor nominal de 𝑅$ 26.000,00 foi descontado 6 meses antes do seu vencimento.
Sabendo que se trata de uma operação de desconto racional composto com uma taxa de
2,75% 𝑎.𝑚., determine: a) o valor do desconto; b) o valor líquido da operação (sem encargos).
3. Um cliente recebeu 𝑅$ 10.102,09 de uma instituição financeira em uma operação de desconto
racional composto, cujo valor nominal era de 𝑅$ 12.000,00. Se a taxa de desconto utilizada foi de
3,90% 𝑎.𝑚., determine quantos meses foi o prazo de antecipação desse título.
237237
PARTE 22
238238
Desconto Comercial Composto – DCC
Desconto “Por Fora”
239239
Operações de Desconto(DCC)
Desconto Composto Composto – DCC
 Este método de cálculo de desconto não apresenta nenhuma
aplicação prática no mercado brasileiro.
 Basicamente, este método de desconto utiliza-se do valor futuro do
título, como base de cálculo do desconto, sob o regime de juros
compostos.
240240
Operações de Desconto (DCC)
Desconto Racional Composto – DCC
 Fórmulas
𝑪 = 𝑴 𝟏 − 𝒊 𝒏 𝑴 =
𝑪
𝟏−𝒊 𝒏
𝑫𝒄 = 𝑴− 𝑪 𝑫𝒄 = 𝑴 𝟏 − 𝟏 − 𝒊
𝒏
241241
Operações de Desconto (DCC)
 Um título de valor nominal de 𝑅$17.500 envolvido em uma operação de
desconto comercial composto por fora foi antecipado em 4 meses o seu
vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% 𝑎.𝑚. . Determine: a) valor
descontado; b) valor recebido pelo seu detentor; c) taxa efetiva do período; d)
taxa efetiva mensal da operação.
EXERCÍCIO
242242
Operações de Desconto (DCC)
 Determine o valor nominal de um título em uma operação de desconto
comercial composto com uma taxa de 2,25% 𝑎.𝑚., 6 meses antes de seu
vencimento, que produziu um desconto de 𝑅$ 7.147,29.
EXERCÍCIO
243243
Operações de Desconto (DCC)
 Um título de valor nominal de 𝑅$ 27.000,00 envolvido em uma operação de
desconto comercial por fora foi antecipado em 4 meses o seu vencimento,
gerando um desconto de 𝑅$ 3.822,29. Determine: a) taxa efetiva do período; b)
taxa efetiva mensal da operação.
EXERCÍCIO
244244
Operações de Desconto (DCC)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Um título de valor nominal de 𝑅$75.500 envolvido em uma operação de desconto comercial
composto por fora foi antecipado em 6 meses o seu vencimento a uma taxa de desconto de
2,0% 𝑎.𝑚.. Determine: a) valor descontado; b) valor recebido pelo seu detentor; c) taxa efetiva
do período; d) taxa efetiva mensal da operação.
2. Determine o valor nominal de um título em uma operação de desconto comercial composto com
uma taxa de 3,52% 𝑎.𝑚., 5 meses antes de seu vencimento, que produziu um desconto de
𝑅$ 12.302,86.
3. Um título de valor nominal de 𝑅$ 81.000,00 envolvido em uma operação de desconto comercial
por fora foi antecipado em 3 meses o seu vencimento, gerando um desconto de 𝑅$ 9.336,38.
Determine: a) taxa efetiva do período; b) taxa efetiva mensal da operação.
245245
PARTE 23
246246
Séries Periódicas Uniformes
 Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes formas e
tipos, exigindo cada um deles um tratamento específico em termos
de formulações.
 Os fluxos de caixa podem ser classificados em razão de:
- Período de ocorrência: postecipado, antecipado, diferido;
- Periodicidade: periódicos, não periódicos;
- Duração: limitados (finitos), indeterminados (indefinidos);
- Valores: constantes, variáveis.
 São séries periódicas uniformes os fluxos de caixa periódicos,
limitados, constantes, para os períodos de ocorrência
postecipado, antecipado e diferido.
247247
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
 O diagrama ilustra uma série postecipada.
 O valor (prestação constante) da série postecipada é dado por:
𝑷𝑴𝑻 = 𝑪
𝒊
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
𝑜𝑢 𝑷𝑴𝑻 = 𝑪
𝒊 𝟏 + 𝒊 𝒏
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏
 Na 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪 a função 𝑷𝑴𝑻 calcula o valor da prestação de uma série
postecipada (função begin desligada, ou seja, não tem no visor 𝑩𝑬𝑮).
248248
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
 O valor presente de todas as prestações é dado por:
𝑪 = 𝑷𝑴𝑻
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
𝒊
𝑜𝑢 𝑪 = 𝑷𝑴𝑻
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏
𝒊 𝟏 + 𝒊 𝒏
 Na 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪 a função 𝑷𝑽 calcula o valor presente das prestações de
uma série postecipada (não tem 𝑩𝑬𝑮 no visor).
𝑴 = 𝑷𝑴𝑻
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏
𝒊
 Na 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪 a função 𝑭𝑽 calcula o valor futuro das prestações de uma
série postecipada (não tem 𝑩𝑬𝑮 no visor).
249249
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
 O empresário Zivi Bodie terá que comprar um equipamento avaliado
em 𝑅$ 500.000,00 . Um financiamento pode ser feito em 48
prestações constantes e mensais à taxa nominal de 12,00% 𝑎. 𝑎..
Calcule o valor das prestações.
Dados: 𝑪 = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒋 = 𝟎, 𝟏𝟐;𝒏 = 𝟒𝟖;𝑷𝑴𝑻 =?
𝑃𝑀𝑇 = 𝐶
𝑖
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
⟹ 𝑃𝑀𝑇 = 500000
0,01
1 − 1 + 0,01 −48
⟹ 𝑃𝑀𝑇 = 𝑅$13.166,92
𝑃𝑀𝑇 = 𝐶
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
⟹ 𝑃𝑀𝑇 = 500000
0,01 1 + 0,01 48
1 + 0,01 48 − 1
⟹ 𝑃𝑀𝑇 = 𝑅$13.166,92
EXEMPLO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝑩𝑬𝑮 𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒈𝒂𝒅𝒐
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽
𝟏𝟐 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟏𝟐 ÷ 𝒊
𝟒𝟖 𝒏
𝑷𝑴𝑻 → 𝟏𝟑𝟏𝟔𝟔, 𝟗𝟐
250250
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
 Uma compra no valor de 𝑅$ 50.000,00 foi financiada em 12
prestações trimestrais à taxa efetiva de 5,00% 𝑎. 𝑡.. Obtenha o valor
das prestações. 𝑹$𝟓𝟔𝟒𝟏, 𝟐𝟕
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟓𝟔𝟒𝟏, 𝟐𝟕
251251
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
 Um financiamento imobiliário foi realizado na 𝐶. 𝐸. 𝐹. à taxa nominal
de 12,00% 𝑎. 𝑎.. Calcule quanto foi financiado, sabendo-se que foram
144 prestações mensais de 𝑅$ 459,70.
Dados: 𝑷𝑴𝑻 = 𝟒𝟓𝟗, 𝟕𝟎; 𝒋 = 𝟎, 𝟏𝟐; 𝒏 = 𝟏𝟒𝟒; 𝑪 =?
𝐶 = 𝑃𝑀𝑇
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
𝑖
⟹ 𝐶 = 459,70
1 − 1 + 0,01 −144
0,01
⟹ 𝐶 = 𝑅$35000,25
𝐶 = 𝑃𝑀𝑇
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
⟹ 𝐶 = 459,70
1 + 0,01 144 − 1
0,01 1 + 0,01 144
⟹ 𝐶 = 𝑅$35000,25
EXEMPLO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝑩𝑬𝑮 𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒈𝒂𝒅𝒐
𝟒𝟓𝟗, 𝟕𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑴𝑻
𝟏𝟐 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟏𝟐 ÷ 𝒊
𝟏𝟒𝟒 𝒏
𝑷𝑽 → 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟐𝟓
252252
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
EXEMPLO
253253
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
 Um empréstimo será liquidado em 8 prestações anuais de
𝑅$ 60.000,00. Considerando a taxa efetiva de 15,00% 𝑎. 𝑎., calcule
quanto foi financiado.
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟐𝟔𝟗𝟐𝟑𝟗, 𝟐𝟗
254254
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
 Uma pessoa estima que necessitará de 𝑅$ 50.000,00 daqui a 4 anos para
realizar uma curso de pós graduação no exterior. Para tanto, está fazendo
uma economia mensal de 𝑅$ 850,00, a qual é depositada numa conta que
remunera os depósitos a uma taxa nominal de 4,00% 𝑎. 𝑞. Determine quanto
essa pessoa terá acumulado, e se será suficiente para sua viagem.
Dados: 𝑷𝑴𝑻 = 𝟖𝟓𝟎, 𝟎𝟎; 𝒋 = 𝟎, 𝟎𝟒;𝒏 = 𝟒𝟖; 𝑴 =?
𝑀 = 𝑃𝑀𝑇
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
⟹𝑀 = 850
1 + 0,01 48 − 1
0,01
⟹ 𝑀 = 𝑅$52039,22
EXEMPLO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝑩𝑬𝑮 𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒈𝒂𝒅𝒐
𝟖𝟓𝟎, 𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑴𝑻
𝟒 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟒 ÷ 𝒊
𝟒𝟖 𝒏
𝑭𝑽 → 𝟓𝟐𝟎𝟑𝟗, 𝟐𝟐
255255
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
EXEMPLO
256256
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
 Calcule o saldo de um fundo de investimento após 10 anos de depósitos
mensais de 𝑅$ 200,00 a uma taxa efetiva de 0,80% 𝑎.𝑚.
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟒𝟎𝟎𝟒𝟑, 𝟒𝟗
257257
Séries Periódicas Uniformes (Postecipada)
 A nova CRV-Honda é comercializa por 𝑅$ 110.000,00 à vista. Sabendo-se
que pode ser financiada em 24 parcelas mensais de 𝑅$ 5.815,82 (1𝑎 após 30
dias), determine a taxa de juros efetiva mensal e anual.
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟎, 𝟐𝟔𝟖𝟐𝟒𝟐
258258
PARTE 24
259259
Séries Periódicas Uniformes (Antecipada)
 O diagrama ilustra uma série antecipada.
 O valor (prestação constante) da série antecipada é dado por:
𝑷𝑴𝑻 = 𝑪
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 − 𝒏−𝟏
𝒊
+ 𝟏
−𝟏
𝑜𝑢 𝑷𝑴𝑻 = 𝑪
𝟏 + 𝒊 𝒏−𝟏 − 𝟏
𝒊 𝟏 + 𝒊 𝒏−𝟏
+ 𝟏
−𝟏
 Na 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪 a função 𝑷𝑴𝑻 calcula o valor da prestação de uma série
antecipada (função begin ligada, ou seja, tem no visor 𝑩𝑬𝑮).
260260
Séries Periódicas Uniformes (Antecipada)
 O valor presente de todas as prestações é dado por:
𝑪 = 𝑷𝑴𝑻
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 − 𝒏−𝟏
𝒊
+ 𝟏 𝑜𝑢 𝑪 = 𝑷𝑴𝑻
𝟏 + 𝒊 𝒏−𝟏 − 𝟏
𝒊 𝟏 + 𝒊 𝒏−𝟏
+ 𝟏
 Na 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪 a função 𝑷𝑽 calcula o valor presente das prestações de
uma série antecipada (tem 𝑩𝑬𝑮 no visor).
𝑴 = 𝑷𝑴𝑻 𝟏 + 𝒊 𝒏
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 − 𝒏−𝟏
𝒊
+ 𝟏
 Na 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪 a função 𝑭𝑽 calcula o valor futuro das prestações de uma
série antecipada (tem 𝑩𝑬𝑮 no visor).
261261
Séries Periódicas Uniformes (Antecipada)
 Um empréstimo bancário no valor de 𝑅$12.000,00será liquidado em
9 prestações mensais. Calcule o valor das prestações, onde a
primeira será paga no ato da liberação do empréstimo e a taxa
nominal é de 12% 𝑎. 𝑡..
Dados: 𝑪 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒋 = 𝟎, 𝟏𝟐; 𝒏 = 𝟗;𝑷𝑴𝑻 =?
𝑃𝑀𝑇 = 𝐶
1 − 1 + 𝑖 − 𝑛−1
𝑖
+ 1
−1
⟹ 𝑃𝑀𝑇 = 12000
1 − 1 + 0,04 − 9−1
0,04
+ 1
−1
⟹ 𝑃𝑀𝑇 = 𝑅$1.551,84
EXEMPLO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝑩𝑬𝑮 𝒍𝒊𝒈𝒂𝒅𝒐
𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽
𝟏𝟐 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟑 ÷ 𝒊
𝟗 𝒏
𝑷𝑴𝑻 → 𝟏𝟓𝟓𝟏, 𝟖𝟒
262262
Séries Periódicas Uniformes (Antecipada)
 Uma TV Digital 3D esta sendo vendida à por 𝑅$5000,00 em duas formas
alternativas de pagamento. A 1𝑎 alternativa é pagando 24 prestações
mensais, sendo a 1𝑎 prestação paga no ato da compra. A 2𝑎 alternativa é
pagando uma entrada de 𝑅$500,00 e mais 24 prestações mensais, a partir
do próximo mês. Qual o valor das prestações, sabendo-se que em ambas
alternativas a taxa efetiva é de 6,00% 𝑎.𝑚.
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟑𝟕𝟓, 𝟖𝟒 → 𝟑𝟓𝟖, 𝟓𝟔
263263
Séries Periódicas Uniformes (Antecipada)
 Uma pesquisador deve pagar, pelo financiamento de um computador, 8
prestações mensais de R$276,62, onde a primeira prestação é paga no ato
da compra. Calcule o valor do financiamento, sabendo-se que a taxa efetiva
de juros cobrada é de 3% 𝑎.𝑚..
Dados: 𝑷𝑴𝑻 = 𝟐𝟕𝟔, 𝟔𝟐; 𝑰 = 𝟎, 𝟎𝟑;𝒏 = 𝟖;𝑷𝑽 =?
𝐶 = 𝑃𝑀𝑇
1 − 1 + 𝑖 − 𝑛−1
𝑖
+ 1 ⟹ 𝐶 = 276,62
1 − 1 + 0,03 − 8−1
0,03
+ 1
⟹ 𝐶 = 𝑅$2.000,04
EXEMPLO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝑩𝑬𝑮 𝒍𝒊𝒈𝒂𝒅𝒐
𝟐𝟕𝟔, 𝟔𝟐 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑴𝑻
𝟑 𝒊
𝟖 𝒏
𝑷𝑽 → 𝟐𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟒
264264
Séries Periódicas Uniformes (Antecipada)
 O empresário Robert Merton deseja pagar um novo galpão para uma filial em
60 prestações mensais de 𝑅$ 8.000,00 , sendo a 1𝑎 parcela é paga
imediatamente. Qual o valor à vista do galpão, se a taxa de juros efetiva da
operação é de 1,50% 𝑎.𝑚.?
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟑𝟏𝟗𝟕𝟔𝟕, 𝟕𝟖
265265
Séries Periódicas Uniformes (Antecipada)
 A nova CRV-Honda é comercializa por 𝑅$ 110.000,00 à vista. Sabendo-se
que pode ser financiado em 24 parcelas mensais (1 e mais 23 ) de
𝑅$ 5.701,78, determine a taxa de juros efetiva mensal.
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟎, 𝟎𝟐
266266
Séries Periódicas Uniformes (Diferida)
 O diagrama ilustra uma série diferida.
 O valor (prestação constante) da série diferida é dado por:
𝑷𝑴𝑻 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 𝒌−𝟏
𝒊
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
𝑜𝑢 𝑷𝑴𝑻 = 𝑪 𝟏 + 𝒊 𝒌−𝟏
𝒊 𝟏 + 𝒊 𝒏
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏
 A função 𝑷𝑴𝑻 da 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪 não calcula o valor da prestação de uma
série diferida.
267267
Séries Periódicas Uniformes (Diferida)
 O valor presente de todas as prestações é dado por:
𝑪 = 𝑷𝑴𝑻 𝟏 + 𝒊 −𝒌+𝟏
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
𝒊
𝑜𝑢 𝑪 = 𝑷𝑴𝑻 𝟏 + 𝒊 −𝒌+𝟏
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏
𝒊 𝟏 + 𝒊 𝒏
 A função 𝑷𝑽 da 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪 não calcula o valor presente das prestações
de uma série diferida.
𝑴 = 𝑷𝑴𝑻 𝟏 + 𝒊 −𝒌+𝟏+𝒏
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏
𝒊
 A função 𝑭𝑽 da 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪 não calcula o valor futuro das prestações de
uma série diferida.
268268
Séries Periódicas Uniformes (Diferida)
 Um empréstimo bancário no valor de 𝑅$ 200.000,00 será liquidado
em 24 prestações mensais. Calcule o valor das prestações, onde a
primeira será paga em 6 meses e a taxa efetiva é de 2,00% 𝑎.𝑚..
Dados: 𝑪 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐; 𝒏 = 𝟐𝟒;𝒌 = 𝟔; 𝑷𝑴𝑻 =?
𝑃𝑀𝑇 = 𝐶 1 + 𝑖 𝑘−1
𝑖
1 − 1 + 𝑖 −𝑛
⟹ 𝑃𝑀𝑇 = 200000 1 + 0,02 6−1
0,02
1 − 1 + 0,02 −24
⟹𝑃𝑀𝑇 = 𝑅$ 11674,79
EXEMPLO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝑩𝑬𝑮 𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒈𝒂𝒅𝒐 𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝑷𝑽
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽 𝟐 𝒊
𝟐 𝒊 𝟐𝟒 𝒏
𝟓 𝒏 𝑷𝑴𝑻 → 𝟏𝟏𝟔𝟕𝟒, 𝟕𝟗
𝑭𝑽 → 𝟐𝟐𝟎𝟖𝟏𝟔, 𝟏𝟔
269269
Séries Periódicas Uniformes (Diferida)
 Uma pequena empresa deseja obter um financiamento para a
compra de um equipamento no valor de 𝑅$ 70.000,00, a taxa efetiva
de 2,00% 𝑎.𝑚., e em 36 prestações. Calcule o valor das prestações,
sabendo que haverá uma carência de 6 meses para o início dos
pagamentos.
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟑𝟎𝟑𝟐, 𝟏𝟒
270270
Séries Periódicas Uniformes
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Um eletrodoméstico é vendido à vista por 𝑅$ 1.250,00 e poderá ser financiado em até
12 meses com a taxa de 1,00% 𝑎.𝑚., para tanto, o comprador deverá dar uma
entrada de 35% do valor total da compra. Qual será o valor da prestação? 𝑹$ 𝟕𝟐, 𝟏𝟗
2. Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de
R$ 375.000,00 e acredita que, se iniciar hoje depósitos mensais de 𝑅$ 5.000,00 em
uma caderneta de poupança, ele terá o valor de que precisa. Calcule o saldo
acumulado deste poupador, considerando que a poupança paga, em média, uma
taxa de 0,80% 𝑎.𝑚.. 𝑹$ 𝟑𝟖𝟑. 𝟏𝟏𝟗, 𝟑𝟑
3. Um poupador deposita mensalmente, em conta poupança, a importância de
𝑅$ 250,00. Após 5 meses, verificou-se que o saldo da conta era de 𝑅$ 1.288,00. Qual
é a taxa média desta caderneta de poupança? 𝟏, 𝟓𝟎% 𝒂.𝒎.
4. A Honda esta fazendo uma grande promoção para acabar com o estoque da CRV
2011. O cliente pode comprar o carro por 𝑅$ 85.000,00 à vista ou financiar 80% em
24 parcelas mensais de 𝑅$ 3.201,00 (1𝑎 após 30 dias). Determine a taxa de juros
efetiva mensal e anual cobrada pelo banco Honda. 𝟏, 𝟎𝟎% 𝒂.𝒎. ; 𝟏𝟐, 𝟔𝟖𝟐𝟓% 𝒂. 𝒂.
271271
Séries Periódicas Uniformes
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Michel Fleuriet deseja adquirir uma loja comercial avaliada em 𝑅$ 350.000,00. Como
não dispõe de recursos, deseja pagar a partir do próximo mês o financiamento da
construtora que é em 120 prestações mensais e à taxa nominal de 24% 𝑎. 𝑎.. Qual o
valor das prestações se o 1𝑜 pagamento for no ato da compra? 𝑹$ 𝟕. 𝟓𝟔𝟓, 𝟓𝟐
2. Uma mercadoria encontra-se em promoção e é negociada em 5 prestações iguais de
𝑅$ 150,00 . A loja esta oferecendo ainda uma carência de 5 meses para o 1𝑜
pagamento. Determine o valor à vista dessa mercadoria, sabendo-se que a taxa de
juros praticada pela loja é de 3,00% 𝑎.𝑚.. 𝑹$ 𝟔𝟏𝟎, 𝟑𝟓
3. Uma grande rede varejista vende determinado produto, que à vista custa 𝑅$ 850,00,
em 24 parcelas mensais, devendo a 1𝑎 prestação ser paga somente após 4 meses
do fechamento da compra. Considerando-se uma taxa de 4% 𝑎.𝑚., determine o valor
das prestações. 𝑹$ 𝟔𝟐, 𝟕𝟏
272272
Séries Periódicas Uniformes
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede.
1. Calcule o valor de um financiamento a ser quitado mediantes 6 pagamentos mensais
de 𝑅$ 1.500,00, com o vencimento da 1𝑎 parcela a 30 dias da liberação dos recursos,
sendo de 3,50% 𝑎.𝑚. a taxa de juros negociada na operação. 𝑹$ 𝟕. 𝟗𝟗𝟐, 𝟖𝟑
2. Um produto é comercializado à vista por 𝑅$ 500,00 . Qual deve ser o valor da
prestação se o comprador resolver financiar o valor em 5 prestações mensais iguais
e sem entrada, considerando que a taxa de jurso cobrada pelo comerciantes seja de
5,00% 𝑎.𝑚.. 𝑹$ 𝟏𝟏𝟓, 𝟒𝟗
3. Um automóvel é comercializado por 𝑅$ 17.800,00 à vista. Sabendo-se que pode ser
financiado em 36 parcelas mensais de 𝑅$ 1.075,73, determine a taxa de juros efetiva
mensal e anual. 𝟓, 𝟎𝟎% 𝒂.𝒎.
4. Calcule o custo efetivo total (taxa efetiva) na compra a prazo, de uma 𝑇𝑉 𝐷𝑖𝑔𝑖𝑡𝑎𝑙 3𝐷
por 𝑅$ 9.990,00, paga em 15 parcelas mensais de 𝑅$ 999,00, onde a 1𝑎 parcela é no
ato da compra. 𝟔, 𝟓𝟐𝟓𝟐% 𝒂.𝒎.
273273
PARTE 25
274274
Séries Periódicas em Perpetuidade
Séries Periódicas em Perpetuidade
 O valor presente de infinitos fluxos constantes é definida por:
𝑉𝑃 =
𝐹𝐶
1 + 𝑖 1
+
𝐹𝐶
1 + 𝑖 2
+⋯+
𝐹𝐶
1 + 𝑖 𝑛−1
+
𝐹𝐶
1 + 𝑖 𝑛
+⋯
𝑉𝑃 = ෍
𝑘=1
∞
𝐹𝐶
1 + 𝑖 𝑘
⟹ 𝑽𝑷 =
𝑭𝑪
𝒊
275275
Séries Periódicas em Perpetuidade
 Simulação na 𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪: Mensure para diversos períodos de tempo o
valor presente de fluxos anuais e constantes de 𝑅$ 1.000,00 ,
considerando uma taxa efetiva de 10,00% 𝑎. 𝑎.
EXERCÍCIO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒆
5
10
20
40
80
100
200
276276
Séries Periódicas em Perpetuidade
Séries Periódicas emPerpetuidade
 O valor presente de infinitos fluxos com taxa de crescimento 𝒈
constante é definida por:
𝑉𝑃 =
𝐹𝐶1
1 + 𝑖 1
+
𝐹𝐶2 1 + 𝑔
1
1 + 𝑖 2
+
𝐹𝐶3 1 + 𝑔
2
1 + 𝑖 3
+
𝐹𝐶4 1 + 𝑔
3
1 + 𝑖 4
+⋯+
𝐹𝐶𝑛 1 + 𝑔
𝑛−1
1 + 𝑖 𝑛
+⋯
𝑽𝑷 =
𝑭𝑪𝟏
𝒊 − 𝒈
; 𝒊 > 𝒈
277277
Séries Periódicas em Perpetuidade
 Calcule o valor estimado de uma loja de cosméticos, considerando o fluxo de
caixa projetado para o proprietário, conforme quadro abaixo, e uma taxa
efetiva (custo de oportunidade) de 12,50% 𝑎. 𝑎. (× 𝑹$𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎)
𝑉𝑃𝑃𝑒𝑟𝑝. =
1000
0,125
= 8000
𝑉𝑃 =
600
1+0,125 1
+
700
1+0,125 2
+
800
1+0,125 3
+
8000
1+0,125 3
⟹ 𝑉𝑃 = 7266,9410 ⟹ 𝑉𝑃 = 𝑅$ 726.694,10
EXEMPLO
𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓 … 𝑭𝑪𝒏 … 𝑭𝑪∞
600 700 800 1000 1000 … 1000 … 1000
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵
𝟔𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟕𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟖𝟎𝟎 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 ÷ +
𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟏𝟐, 𝟓 𝒊
𝒇 𝑵𝑷𝑽 → 𝟕𝟐𝟔𝟔, 𝟗𝟒𝟏𝟎
278278
Séries Periódicas em Perpetuidade
 Calcule o valor estimado da empresa do exemplo anterior, mas agora
considere que após o 5𝑜 ano os fluxos de caixa terão um
crescimento a taxa constante de 2,50% 𝑎. 𝑎..
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟖𝟓𝟏𝟓𝟓𝟑, 𝟏𝟐
279279
Séries Periódicas em Perpetuidade
 Um método utilizado para mensurar o valor intrínseco de uma ação é
calcular o valor presente dos fluxos de caixa do acionista
(recebimento de dividendos). Calcule o valor de cada ação,
considerando que a empresa pagará, no próximo ano, dividendos de
Τ𝑅$ 4,00 𝑎çã𝑜 com taxa de crescimento constante de 5,00% 𝑎. 𝑎. e
custo de oportunidade de 15,00% 𝑎. 𝑎..
𝑉𝑃 =
𝐹𝐶1
𝑖 − 𝑔
⟹ 𝑉𝑃 =
4,00
0,15 − 0,05
⟹ 𝑉𝑃 = 𝑅$ 40,00 𝑝𝑜𝑟 𝑎çã𝑜
EXEMPLO
280280
Séries Periódicas em Perpetuidade
 Faça o que se pede
1. A juros efetivos de 9,00% 𝑎. 𝑎. , calcule o valor presente de uma perpetuidade
postecipada de 𝑅$ 100.000,00 , que cresce a uma taxa constante de 7,00% 𝑎. 𝑎.
𝑹$ 𝟓𝒎𝒊𝒍𝒉𝒐𝒆𝒔
2. Uma ação pagar um dividendo de ΤR$2,00 𝑎çã𝑜 a partir do próximo ano, em
perpetuidade. Considerando um crescimento projetado dos dividendos de 5,00% 𝑎. 𝑎.
e um custo de oportunidade de 12,00% 𝑎. 𝑎., determine o preço da ação. 𝑹$ 𝟐𝟖, 𝟓𝟕
3. Calcule o valor estimado de uma fábrica de plásticos, considerando o fluxo de caixa
projetado para o proprietário, conforme quadro abaixo, e uma taxa efetiva (custo de
oportunidade) de 20,00% 𝑎. 𝑎. Qual seria o valor da fábrica se a partir do 5𝑜 o fluxo
de caixa crescesse a taxa constante de 10,00% 𝑎. 𝑎.? 𝑹$ 𝟏𝟖𝟖. 𝟖𝟑𝟏, 𝟎𝟐; 𝑹$ 𝟑𝟎𝟗. 𝟑𝟗𝟓, 𝟐𝟗
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓 … 𝑭𝑪𝒏 … 𝑭𝑪∞
20000,00 25000,00 30000,00 35000,00 50000,00 … 50000,00 … 50000,00
281281
PARTE 26
282282
Séries Periódicas Variáveis
 PARA RELEMBRAR Os fluxos de caixa são classificados em razão de:
- Período de ocorrência: postecipado, antecipado, diferido;
- Periodicidade: periódicos, não periódicos;
- Duração: limitados (finitos), indeterminados (indefinidos);
- Valores: constantes, variáveis.
 São séries periódicas uniformes os fluxos de caixa periódicos,
limitados, constantes, para todos os períodos de ocorrência.
 São séries periódicas variáveis os fluxos de caixa não periódicos e/ou
não constantes.
 São séries periódicas em perpetuidade os fluxos de caixa não
limitados.
283283
Séries Periódicas Crescente (Postecipado)
 Considere o fluxo de caixa:
𝑉𝑃 =
𝐹𝐶
1 + 𝑖 1
+
𝐹𝐶 1 + 𝑔 1
1 + 𝑖 2
+
𝐹𝐶 1 + 𝑔 2
1 + 𝑖 3
+
𝐹𝐶 1 + 𝑔 3
1 + 𝑖 4
+⋯+
𝐹𝐶 1 + 𝑔 𝑛−1
1 + 𝑖 𝑛
 O valor presente de todas as prestações é dado por:
𝑪 =
𝑷𝑴𝑻
𝒊 − 𝒈
𝟏 −
𝟏 + 𝒈
𝟏 + 𝒊
𝒏
𝑜𝑢 𝑪 =
𝑷𝑴𝑻
𝒊 − 𝒈
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏 + 𝒈 𝒏
𝟏 + 𝒊 𝒏
 O valor futuro de todas as prestações é dado por:
𝑴 =
𝑷𝑴𝑻
𝒊 − 𝒈
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏 + 𝒈 𝒏
284284
Séries Periódicas Crescente (Postecipado)
EXEMPLO
285285
Séries Periódicas Variáveis
 O valor presente é definida por:
𝑉𝑃 =
𝐹𝐶1
1 + 𝑖 1
+
𝐹𝐶2
1 + 𝑖 2
+⋯+
𝐹𝐶𝑛−1
1 + 𝑖 𝑛−1
+
𝐹𝐶𝑛
1 + 𝑖 𝑛
𝑉𝑃 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝐹𝐶𝑘
1 + 𝑖 𝑘
 O valor futuro é definida por:
𝑉𝐹 = 𝐹𝐶1 1 + 𝑖
𝑛−1 + 𝐹𝐶2 1 + 𝑖
𝑛−2 +⋯+ 𝐹𝐶𝑛−1 1 + 𝑖
1 + 𝐹𝐶𝑛 1 + 𝑖
0
𝑉𝐹 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝐹𝐶𝑘 1 + 𝑖
𝑛−𝑘
286286
Séries Periódicas Variáveis
 Segue abaixo o planejamento de fluxo de caixa líquido projetado para os
próximos 12 meses de uma empresa de exportação. Uma Instituição
Financeira irá antecipar os recebíveis cobrando uma taxa de 2,00% 𝑎.𝑚.
Calcule o valor a receber pela empresa nesta operação. (× 𝑹$𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎)
𝑉𝑃 = 100 +
50
1 + 0,02 1
+
0
1 + 0,02 2
+⋯+
400
1 + 0,02 11
+
500
1 + 0,02 12
⟹ 𝑉𝑃 = 1702,15 ⟹ 𝑉𝑃 = 𝑅$ 1.761,33
EXEMPLO
𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓 𝑭𝑪𝟔 𝑭𝑪𝟕 𝑭𝑪𝟖 𝑭𝑪𝟗 𝑭𝑪𝟏𝟎 𝑭𝑪𝟏𝟏 𝑭𝑪𝟏𝟐
100 50 0 -100 50 100 200 200 200 200 200 400 500
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝟐𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟏𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝟎 𝟓 𝒈 𝑵𝒋
𝟓𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟒𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟓𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟏𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟐 𝒊
𝟓𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟏𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝒇 𝑵𝑷𝑽 → 𝟏𝟕𝟔𝟏, 𝟑𝟑
287287
Séries Periódicas Variáveis
 Segue abaixo o fluxo de caixa projetado para os próximos 10 anos de um
projeto industrial. Calcule o valor presente dos fluxos de caixa, considerando
uma taxa de 12,00% 𝑎. 𝑎. (× 𝑹$𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎)
EXERCÍCIO
𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓 𝑭𝑪𝟔 𝑭𝑪𝟕 𝑭𝑪𝟖 𝑭𝑪𝟗 𝑭𝑪𝟏𝟎
-750 -200 0 100 200 400 500 500 500 500 500
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟓𝟏𝟗, 𝟒𝟎
288288
Séries Periódicas Variáveis
 A juros de 1, 50% 𝑎.𝑚., qual o preço à vista de um imóvel financiado em 120
mensais de 𝑅$ 1.500,00 mais 6 anuais de 𝑅$ 15.000,00
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟏𝟑𝟑𝟔𝟕𝟕, 𝟖𝟏
289289
Séries Periódicas Variáveis
 Segue abaixo o planejamento financeiro pessoal projetado de um
empresário, para os próximos 12 meses. Calcule o saldo esperado ao final
do período, considerando uma taxa efetiva média de 0,70% 𝑎.𝑚. (× 𝑹$𝟏𝟎, 𝟎𝟎)
𝐹𝑉 = 𝐹𝐶1 1 + 𝑖
11 + 𝐹𝐶2 1 + 𝑖
10 +⋯+ 𝐹𝐶𝑛−1 1 + 𝑖
1 + 𝐹𝐶𝑛 1 + 𝑖
0
⟹ 𝐹𝑉 = 50 1 + 0,007 11 + 50 1 + 0,007 10 +⋯+ 100 1 + 0,007 1 + 100
⟹ 𝐹𝑉 = 929,6717 ⟹ 𝐹𝑉 = 𝑅$ 9296,72
EXEMPLO
𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓 𝑭𝑪𝟔 𝑭𝑪𝟕 𝑭𝑪𝟖 𝑭𝑪𝟗 𝑭𝑪𝟏𝟎 𝑭𝑪𝟏𝟏 𝑭𝑪𝟏𝟐
50 50 50 50 75 75 75 75 100 100 100 100
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝟒 𝒈 𝑵𝒋 𝟎, 𝟕𝟎 𝒊
𝟓𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝒇 𝑵𝑷𝑽 → 𝟖𝟓𝟓, 𝟎𝟐
𝟒 𝒈 𝑵𝒋 𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝑷𝑽
𝟕𝟓 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟎, 𝟕𝟎 𝒊
𝟒 𝒈 𝑵𝒋 𝟏𝟐 𝒏
𝟏𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝑭𝑽 → 𝟗𝟐𝟗, 𝟔𝟕𝟏𝟕
290290
Séries Periódicas Variáveis
 Após uma alteração bem sucedida no processo produtivo de um componente
eletrônico, estimou-se a redução de custos anual para os próximos 10 anos.
Calcule o ganho total ao final do período, considerando que a redução de
custos será aplicada a uma taxa efetiva média de 1,00% 𝑎. 𝑎. (× 𝑹$𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎)
EXERCÍCIO
𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓 𝑭𝑪𝟔 𝑭𝑪𝟕 𝑭𝑪𝟖 𝑭𝑪𝟗 𝑭𝑪𝟏𝟎
800 700 600 500 400 300 200 100 100 100
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟒𝟎𝟒𝟖, 𝟔𝟒𝟒𝟔
291291
Séries Periódicas Variáveis
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Um financiamento foi amortizado mediante os seguintes pagamentos mensais
subsequentes: 𝑅$ 5.000,00, 𝑅$ 1.200,00, 𝑅$ 3.500,00, e 𝑅$ 2.000,00. Calcule o valor
emprestado, dado que a taxa pactuada era de 3,5850% 𝑎.𝑚. . 𝑹$ 𝟏𝟎. 𝟖𝟑𝟏, 𝟓𝟕
2. Um imóvel avaliado em 𝑅$ 60.000,00 é financiado em 60 mensais iguais de
𝑅$ 1.500,00 e mais cinco anuais complementares. À taxa de 2,95% 𝑎.𝑚., qual o valor
da prestação anual? 𝑹$ 𝟗. 𝟏𝟐𝟓, 𝟏𝟔
3. A juros de 3,2150% 𝑎.𝑚., qual o preço à vista de um imóvel financiado em 36
mensais de 𝑅$ 1.500,00 mais 3 anuais de 𝑅$ 15.000,00 𝑹$ 𝟓𝟑. 𝟖𝟎𝟑, 𝟐𝟕
4. A juros de 25,75% 𝑎. 𝑎., qual o preço à vista de um imóvel financiado em 48 mensais
de 𝑅$ 750,00 mais 16 trimestrais de 𝑅$ 1000,00 𝑹$ 𝟑𝟑. 𝟓𝟐𝟓, 𝟕𝟕
5. À taxa de 1, 5995% 𝑎.𝑚., qual o valor à vista de uma 𝐶𝑅𝑉 − 𝐻𝑂𝑁𝐷𝐴 oferecida por
𝑅$ 15.000,00de entrada, 12 mensais de 𝑅$ 2.500,00 (com a 1𝑎 parcela 3 meses após
a entrega do veículo) e mais 𝑅$ 5.000,00 com a última mensalidade? 𝑹$ 𝟒𝟓. 𝟐𝟓𝟕, 𝟖𝟕
292292
PARTE 27
293293
Sistema de Amortização
 A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou
obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas de modo
que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado.
 A prestação de um empréstimo ou financiamento é definida por:
𝑷𝑹𝑬𝑺𝑻𝑨ÇÃ𝑶 = 𝑨𝑴𝑶𝑹𝑻𝑰𝒁𝑨ÇÃ𝑶 + 𝑱𝑼𝑹𝑶𝑺
 Os sistemas de amortização mais utilizados são:
- Sistema de Amortização Constante (SAC)
- Sistema de Amortização Francês (SAF)
- Sistema de Amortização Americano (SAA)
- Sistema de Amortização Misto (SAM)
- Sistema de Amortização Crescente (SACRE)
294294
Sistema de Amortização Constante (SAC)
 O 𝑺𝑨𝑪 apresenta amortizações constantes e a prestações são
obtidas pela razão entre o valor do financiamento/empréstimo e o
número de prestações restantes.
 O cálculo das prestações é dado por:
𝑷𝑴𝑻 = 𝑪 𝒊 +
𝟏
𝒏
295295
Sistema de Amortização Constante (SAC)
 Financiamento de 𝑅$ 200.000,00 à taxa efetiva de 10,00% 𝑎. 𝑎. –
pagamento via 𝑺𝑨𝑪 em 4 parcelas anuais. 𝑷𝒈𝒕𝒐 𝑷𝑶𝑺𝑻𝑬𝑪𝑰𝑷𝑨𝑫𝑶
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 Τ𝑭𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄. 𝒏 𝑱 + 𝑨 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
0 - - - - 200.000
1 200.000 20.000 50.000 70.000 150.000
2 150.000 15.000 50.000 65.000 100.000
3 100.000 10.000 50.000 60.000 50.000
4 50.000 5.000 50.000 55.000 0
296296
Sistema de Amortização Constante (SAC)
 Financiamento de 𝑅$ 200.000,00 à taxa efetiva de 10,00% 𝑎. 𝑎. –
pagamento via 𝑺𝑨𝑪 em 4 parcelas anuais. 𝑷𝒈𝒕𝒐 𝑨𝑵𝑻𝑬𝑪𝑰𝑷𝑨𝑫𝑶
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 Τ𝑭𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄. 𝒏 𝑱 + 𝑨 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
0 - - 50.000 50.000 150.000
1 150.000 15.000 50.000 65.000 100.000
2 100.000 10.000 50.000 60.000 50.000
3 50.000 5.000 50.000 55.000 0
297297
Sistema de Amortização Constante (SAC)
 Financiamento de 𝑅$ 200.000,00 à taxa efetiva de 10,00% 𝑎. 𝑎. –
pagamento via 𝑺𝑨𝑪 em 4 parcelas anuais. 𝑷𝒈𝒕𝒐 𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑰𝑫𝑶
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 Τ𝑭𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄. 𝒏 𝑱 + 𝑨 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
0 - - - - 200.000
1 200.000 20.000 - - 220.000
2 220.000 22.000 - - 242.000
3 242.000 24.200 - - 266.200
4 266.200 26.620 66.550 97.170 199.650
5 199.650 19.965 66.550 86.515 133.100
6 133.100 13.310 66.550 79.860 66.550
7 66.550 6.655 66.550 73.205 0
298298
Sistema de Amortização Constante (SAC)
 O cálculo das 4 prestações anuais de um financiamento imobiliário
de 𝑅$ 40.000,00 será realizado pelo 𝑺𝑨𝑪 . Construa a tabela de
amortização, considerando uma taxa efetiva de 10,00% 𝑎. 𝑎..
EXERCÍCIO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 Τ𝑭𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄. 𝒏 𝑱 + 𝑨 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
299299
Sistema de Amortização Francês (SAF)
 É amplamente adotado no mercado financeiro brasileiro, em
particular, nas operações de financiamento de veículos e
eletrodomésticos e nos emprestimos bancários.
 No 𝑺𝑨𝑭 as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas.
 O cálculo das prestações é dado por:
𝑪 = 𝑷𝑴𝑻
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
𝒊
𝑜𝑢 𝑪 = 𝑷𝑴𝑻
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏
𝒊 𝟏 + 𝒊 𝒏
 O 𝑺𝑨𝑭 é conhecido como 𝑻𝑨𝑩𝑬𝑳𝑨 𝑷𝑹𝑰𝑪𝑬.
300300
Sistema de Amortização Francês (SAF)
 Financiamento de 𝑅$ 200.000,00 à taxa efetiva de 10,00% 𝑎. 𝑎. –
pagamento via 𝑺𝑨𝑭 em 4 parcelas anuais.
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 𝑷𝑴𝑻 − 𝑱 𝑷𝑴𝑻 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
0 - - - - 200.000
1 200.000 20.000 43.094 63.094 156.906
2 156.906 15.691 47.403 63.094 109.503
3 109.503 10.950 52.144 63.094 57.359
4 57.359 5.736 57.359 63.094 0
301301
Sistema de Amortização Francês (SAF)
 Um equipamento no valor de 𝑅$ 25. 000,00 será pago em 4 parcelas
iguais e mensais, a taxa efetiva de 6,21947% 𝑎.𝑚.. Construa a tabela
de amortização.
EXERCÍCIO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 𝑷𝑴𝑻 − 𝑱 𝑷𝑴𝑻 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
302302
Sistema de Amortização Americano (SAA)
 No 𝑺𝑨𝑨 o valor financiado/emprestado é restituído por meio de uma
parcela única ao fim da operação.
 Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou
capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo
acertado.
 No 𝑺𝑨𝑨 o cálculo das prestações restringe-se ao cálculo dos juros
em cada período.
303303
Sistema de Amortização Americano (SAA)
 Financiamento de 𝑅$ 200.000,00 à taxa efetiva de 10,00% 𝑎. 𝑎. –
pagamento via 𝑺𝑨𝑨 em 4 parcelas anuais.
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 𝑵ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝑷𝑴𝑻 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
0 - - - - 200.000
1 200.000 20.000 - 20.000 200.000
2 200.000 20.000 - 20.000 200.000
3 200.000 20.000 - 20.000 200.000
4 200.000 20.000 200.000 220.000 0
304304
Sistema de Amortização Americano (SAA)
 Um jovem empreendedor tomou 𝑅$ 50.000,00, com familiar, para iniciar sua
empresa e comprometeu-se em pagar os juros em 6 semestrais e amortizar
a dívida integralmente juntamente com a última parcela. Construa a tabela
de amortização considerando que a taxa acordada foi de 6,00% 𝑎. 𝑠..
EXERCÍCIO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 𝑵ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝑷𝑴𝑻 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
305305
Sistema de Amortização Misto (SAM)
 O 𝑺𝑨𝑴 foi desenvolvido para atender ao Sistema
Financeiro da Habitação – SFH.
 O 𝑺𝑨𝑴 é constituido pela média artimética do valores dos
𝑺𝑨𝑪 e 𝑺𝑨𝑭.
306306
Sistema de Amortização Misto (SAM)
 Financiamento de 𝑅$ 200.000,00 à taxa efetiva de 10,00% 𝑎. 𝑎. –
pagamento via 𝑺𝑨𝑪 e 𝑺𝑨𝑭 em 4 parcelas anuais.
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 Τ𝑭𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄. 𝒏 𝑱 + 𝑨 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
0 - - - - 200.000
1 200.000 20.000 50.000 70.000 150.000
2 150.000 15.000 50.000 65.000 100.000
3 100.000 10.000 50.000 60.000 50.000
4 50.000 5.000 50.000 55.000 0
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 Τ𝑭𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄. 𝒏 𝑱 + 𝑨 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
0 - - - - 200.000
1 200.000 20.000 43.094 63.094 156.906
2 156.906 15.691 47.403 63.094 109.503
3 109.503 10.950 52.144 63.094 57.359
4 57.359 5.736 57.359 63.094 0
𝑺𝑨𝑪
𝑺𝑨𝑭
307307
Sistema de Amortização Misto (SAM)
 Financiamento de 𝑅$ 200.000,00 à taxa efetiva de 10,00% 𝑎. 𝑎. –
pagamento via 𝑺𝑨𝑴 em 4 parcelas anuais.
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
𝒏
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍(𝑺𝑫𝑰)
𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 𝑱 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐
𝑷𝑴𝑻
𝑺𝒂𝒍𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒗𝒆𝒅𝒐𝒓
𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 (𝑺𝑫𝑭)
𝑺𝑫𝑰 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑺𝑫𝑰 × 𝑱 𝑷𝑴𝑻 − 𝑱 𝑷𝑴𝑻 𝑺𝑫𝑰 − 𝑨
0 - - - - 200.000
1 200.000 20.000 46.547 66.547 153.453
2 153.453 15.346 48.702 64.047 104.752
3 104.752 10.475 51.072 61.547 53.680
4 53.680 5.368 53.680 59.047 0
𝑺𝑨𝑴
308308
Sistema de Amortização Crescente (SACRE)
 O 𝑺𝑨𝑪𝑹𝑬 durante muitos anos foi utilizado pelo Sistema
Financeiro da Habitação – SFH na liquidação de
financiamentos da casa própria.
 O 𝑺𝑨𝑪𝑹𝑬 é constituido pela associação do 𝑺𝑨𝑪
(processo de cálculo da prestação com correção anual) e
𝑺𝑨𝑭 (prestação constante dentro de um ano).
309309
Sistemas de Amortização
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Construa a planilha do plano de pagamento pelos sistemas 𝑆𝐴𝐶 , 𝑆𝐴𝐹, 𝑆𝐴𝐴 e 𝑆𝐴𝑀
para um empréstimo de 𝑅$ 10.000,00 a ser pago em 4 prestações mensais, a taxa de
1,00% 𝑎.𝑚.. Compare o comportamento da evolução, no tempo, dos valores dos
juros, amortização e prestação.
2. Um empréstimo para capital de giro no valor de 𝑅$ 50.000,00 será pago em 5
prestações mensais a taxa efetiva de 2,00% 𝑎.𝑚.. Construa a planilha do 𝑆𝐴𝐶 ,
considerando que a 1𝑎 prestação será no 3𝑜 mês.
3. Um equipamento no valor de 𝑅$ 20.000,00 será pago em 5 prestações iguais e
mensais, onde a 1𝑎 será paga no ato da compra. Construa a planilha do do 𝑆𝐴𝐹 com
a taxa nominal de financiamento de 29,5218% 𝑎. 𝑎..
4. Um capital de 𝑅$ 40.000,00 será pago de acordo com o 𝑆𝐴𝐴, em 6 prestações a juros
efetivos de 15,9693% 𝑎. 𝑠.. Construa a planilha do plano de pagamento.
310310
PARTE 28
311311
Métodos de Avaliação de Investimentos
 As decisões de investimento são voltadas a promover alterações no
volume de capital destinado a produção de bens e serviços.
 Todo o processo de decisões financeiras requer uma compreensão
dos princípios de formação e utilização das taxas de juros do
mercado.
 Um investimento é atraente quando seu retorno for superior às
taxas de remuneração do capital.
312312
Métodos de Avaliação de Investimentos
Possibilidades de Investimentos de Capital
 Ampliação do Volume de Atividade
Quando a capacidade máxima de produção e venda da empresa for insuficiente para
atender a demanda de seus produtos.
 Reposição e Modernização de Ativos Fixos
Substituição de ativos fixos obsoletos ou desgastados pelo uso por outro mais moderno,
cujas despesas de manutenção sejam mais atraentes.
 Arrendamento ou Aquisição
Processo comparativo onde são confrontados os desembolsos e os benefícios
provenientes desse processos de decisão.
 Outras Origens
Demais modalidades de propostas de investimentos, principalmente as oriundas de
serviços externos de assessoria, P&D, publicidade, etc.
313313
Métodos de Avaliação de Investimentos
Tipologias de Investimentos de Capital
 Investimentos Economicamente Independentes
A aceitação de um não implica a desconsideração dos demais, podendo ser aceitos de
forma simultânea.
 Investimentos Economicamente Dependentes
A aceitação de um exerce influência (negativa/positiva) sobre o outro ou depende da
implementação do outro.
Projeto A é viável
Projeto B é viável
Projeto C não é viável
Projeto A é executado
Projeto B é executado
Projeto C não é executado
Projeto B é viável Projeto B não é viável
Projeto A é viável Executa ambos Não executa nenhum
Projeto A não é viável Não executa nenhum Não executa nenhum
314314
Métodos de Avaliação de Investimentos
Tipologias de Investimentos de Capital
 Investimentos Mutuamente Excludentes
Ocorre quando a aceitação de uma proposta elimina totalmente a possibilidade de
implementação da outra.
 Investimentos com Restrição Orçamentária
A implementação de projetos viáveis esta limitada às restrições orçamentárias.
Projeto A é viável
Projeto B é viável
S
e
le
ç
ã
o
 d
e
 P
ro
je
to
s
O melhor projeto será 
selecionado. Os demais 
serão descartados.
315315
Métodos de Avaliação de Investimentos
 Para viabilizar a melhor aplicação dos recursos disponíveis é
necessário utilizar indicadores técnicos adequados.
 Os principais indicadores de avaliação de investimentos de capital
são:
- Payback Simples
- Payback Descontado
- Valor Presente Líquido (VPL)
- Taxa Interna de Retorno (TIR)
- Índice de Lucratividade (Custo-Benefício)
- Valor Presente Líquido Anualizado (VPLA)
- Taxa Interna de Retorno Modificada (TIR-M)
316316
Payback Simples e Descontado
Payback Simples
 O método considera o tempo de retorno do capital investido, sem
levar em consideração o valor do dinheiro no tempo, tendo
estabelecido um prazo para a recuperação do investimento.
Payback Descontado
 Neste método o valor do dinheiro no tempo é considerado, ou seja,
os fluxos de caixa são descontados ao custo de capital.
317317
Payback Simples e Descontado
 O diagrama representa o fluxo de caixa operacional de um projeto de
investimento. Calcule os payback simples.
𝑷𝒂𝒚𝒃𝒂𝒄𝒌 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔 = 𝒂𝒏𝒐 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒐 𝒃𝒓𝒆𝒂𝒌 𝒆𝒗𝒆𝒏 +
𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒏ã𝒐 𝒄𝒐𝒃𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒏𝒐 𝒊𝒏í𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒐 𝒂𝒏𝒐
𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒊𝒙𝒂 𝒅𝒐 𝒂𝒏𝒐
𝑷𝒂𝒚𝒃𝒂𝒄𝒌 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔 = 𝟐 +
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎
⟹𝑷𝒂𝒚𝒃𝒂𝒄𝒌 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔 = 𝟐, 𝟐𝟐 𝒂𝒏𝒐𝒔
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
𝑭𝑪 -70000,00 20000,00 40000,00 45000,00 30000,00
𝑪𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 -70000,00 -50000,00 -10000,00 35000,00 65000,00
318318
Payback Simples e Descontado
 O diagrama representa o fluxo de caixa operacional de um projeto de
investimento. Calcule os payback descontado.
 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
𝑷𝒂𝒚𝒃𝒂𝒄𝒌 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝒂𝒏𝒐 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒐 𝒃𝒓𝒆𝒂𝒌 𝒆𝒗𝒆𝒏 +
𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒏ã𝒐 𝒄𝒐𝒃𝒆𝒓𝒕𝒐 𝒏𝒐 𝒊𝒏í𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒐 𝒂𝒏𝒐
𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒊𝒙𝒂 𝒅𝒐 𝒂𝒏𝒐
𝑷𝒂𝒚𝒃𝒂𝒄𝒌 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝟐 +
𝟏𝟖𝟕𝟔𝟎,𝟗𝟕
𝟑𝟑𝟖𝟎𝟗,𝟏𝟕
⟹ 𝑷𝒂𝒚𝒃𝒂𝒄𝒌 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 = 𝟐, 𝟓𝟓 𝒂𝒏𝒐𝒔
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
𝑭𝑪 -70000,00 20000,00 40000,00 45000,00 30000,00
𝑭𝑪𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 -70000,00 18181,18 33057,85 33809,17 20490,40
𝑪𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 -70000,00 -51818,82 -18760,97 15048,20 35538,60
319319
Payback Simples e Descontado
 Considerando as estimativas de fluxo de caixa futuro de um projeto, calcule o
Payback Simples e Descontado e defina se o projeto é ou não viável.
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
EXERCÍCIO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕
𝑭𝑪 – 25000,00 – 2500,00 0 2500,00 10000,00 10000,00 20000,00 25000,00
𝑪𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐
𝑭𝑪𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐
𝑪𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐
320320
Valor Presente Líquido
 Não deve ser utilizada exclusivamente quando a vida útil dos projetos
são diferentes.
 É a diferença entre as entradas (embolso de capital) e saídas
(desembolso de capital) dos fluxos de caixa, descontados ao custo
de capital. Logo:
𝑉𝑃𝐿 =
𝐹𝐶1
1 + 𝑖 1
+
𝐹𝐶2
1 + 𝑖 2
+⋯+
𝐹𝐶𝑛
1 + 𝑖 𝑛
− 𝐹𝐶0 ⟹ 𝑉𝑃𝐿 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝐹𝐶𝑘
1 + 𝑖 𝑘
− 𝐹𝐶0
 Regra de decisão na avaliação de um investimento:
ቐ
𝑽𝑷𝑳 > 𝟎 ⟶ 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒗𝒊á𝒗𝒆𝒍
𝑽𝑷𝑳 < 𝟎 ⟶ 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒗𝒊á𝒗𝒆𝒍
𝑽𝑷𝑳 = 𝟎 ⟶ 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆
321321
Valor Presente Líquido
 O diagrama representa o fluxo de caixa operacional de um projeto de
investimento. Calcule o VPL.
 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
𝑉𝑃𝐿 =
20000
1+0,10 1
+
40000
1+0,10 2
+
45000
1+0,10 3
+
30000
1+0,10 4
− 70000
⟹ 𝑉𝑃𝐿 = 𝑅$35539,24
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
𝑭𝑪 -70000,00 20000,00 40000,00 45000,00 30000,00
𝑭𝑪𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 -70000,00 18181,18 33057,85 33809,17 20490,40
𝑪𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 -70000,00 -51818,82 -18760,97 15048,20 35538,60
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵
𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝒈 𝑪𝑭𝟎
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟏𝟎 𝒊
𝒇 𝑵𝑷𝑽 → 𝟑𝟓𝟓𝟑𝟗, 𝟐𝟒
322322
ValorPresente Líquido
 Considerando as estimativas de fluxo de caixa futuro de 3 projetos de
investimento, calcule os VPL, verifique se são viáveis e classifique-os.
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
EXERCÍCIO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨 – 10000,00 6000,00 5000,00 4000,00 4000,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩 – 10000,00 1500,00 2000,00 9000,00 11000,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑪 – 15000,00 7000,00 7000,00 7000,00 7000,00
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝟓𝟑𝟐𝟒, 𝟎𝟗; 𝟕𝟐𝟗𝟏, 𝟓𝟏; 𝟕𝟏𝟖𝟗, 𝟎𝟔
323323
Valor Presente Líquido
 A Trans’Brasilis Ltda. pretende adquirir uma nova carreta. Ela custa 𝑅$ 600.000,00 e
tem vida útil de 5 anos. Estima-se que os custos e despesas totais serão de
𝑅$ 240.000,00 por ano. A Brasilis espera que as receitas com esta aquisição, para
cada ano, sejam: 𝑅$ 400.000,00 , 𝑅$ 400.000,00 , 𝑅$ 500.000,00 , 𝑅$ 500.000,00 e
𝑅$ 300.000,00. Há ainda a possibilidade de venda da carreta, ao final do 5𝑜 ano, por
𝑅$ 200.000,00. Calcule o payback simples, descontado e o VPL e verifique, ao custo
de oportunidade de 12,00% 𝑎. 𝑎., se a aquisição da carreta é viável.
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝑽𝑷𝑳 = 𝟏𝟔𝟖𝟐𝟑𝟔, 𝟕𝟏
𝑷𝒔 = 𝟑, 𝟎𝟖; 𝑷𝒅 = 𝟑, 𝟖𝟔
324324
Taxa Interna de Retorno
 É a taxa de juros que faz com que, o somatório das entradas de
caixa (embolso) se iguale ao somatório das saídas de caixa
(desembolso) .
 Em outras palavras, é a taxa de juros que faz com que o VPL de um
projeto seja igual a zero. Logo:
𝐹𝐶1
1 + 𝑇𝐼𝑅 1
+
𝐹𝐶2
1 + 𝑇𝐼𝑅 2
+⋯+
𝐹𝐶𝑛
1 + 𝑇𝐼𝑅 𝑛
= 𝐹𝐶0 ⟹ ෍
𝒌=𝟏
𝒏
𝑭𝑪𝒌
𝟏 + 𝑻𝑰𝑹 𝒌
= 𝑭𝑪𝟎
 Regra de decisão na avaliação de um investimento:
൞
𝑻𝑰𝑹 > 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 ⟶ 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒗𝒊á𝒗𝒆𝒍
𝑻𝑰𝑹 < 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 ⟶ 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒗𝒊á𝒗𝒆𝒍
𝑻𝑰𝑹 = 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 ⟶ 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆
325325
Taxa Interna de Retorno
 O diagrama representa o fluxo de caixa operacional de um projeto de
investimento. Calcule o índice de lucratividade.
 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
20000
1+𝑇𝐼𝑅 1
+
40000
1+𝑇𝐼𝑅 2
+
45000
1+𝑇𝐼𝑅 3
+
30000
1+𝑇𝐼𝑅 4
= 70000
⟹ 𝑇𝐼𝑅 = 30,03% 𝑎. 𝑎.
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
𝑭𝑪 -70000,00 20000,00 40000,00 45000,00 30000,00
𝑭𝑪𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 -70000,00 18181,18 33057,85 33809,17 20490,40
𝑪𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 -70000,00 -51818,82 -18760,97 15048,20 35538,60
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵
𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝒈 𝑪𝑭𝟎
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟏𝟎 𝒊
𝒇 𝑰𝑹𝑹 → 𝟑𝟎, 𝟎𝟑
326326
EXERCÍCIO
Taxa Interna de Retorno
 Considerando as estimativas de fluxo de caixa futuro de 3 projetos de
investimento, calcule as TIR e verifique se são viáveis.
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨 – 10000,00 6000,00 5000,00 4000,00 4000,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩 – 10000,00 1500,00 2000,00 9000,00 11000,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑪 – 15000,00 7000,00 7000,00 7000,00 7000,00
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝑽𝑷𝑳𝑨 = 𝟒𝟐𝟕𝟐, 𝟏𝟐; 𝑽𝑷𝑳𝑩 = 𝟑𝟎𝟎𝟐, 𝟐𝟓
𝑽𝑷𝑳𝑨𝑨 = 𝟏𝟏𝟐𝟔, 𝟗𝟕; 𝑽𝑷𝑳𝑨𝑩 = 𝟏𝟐𝟎𝟕, 𝟐𝟓Obs.: Não classifique estes projetos por meio da TIR.
327327
Taxa Interna de Retorno
 A Plastik Ltda. pretende adquirir um novo equipamento para ampliar sua produção e
viabilizar o aumento de suas vendas. O investimento esta avaliado em 𝑅$ 100.000,00 e
tem vida útil estimada de 6 anos. Estima-se ainda que os custos e despesas totais
sejam de 𝑅$ 20.000,00 por ano. A Plastik espera que as receitas com esta aquisição
sejam de 𝑅$ 50.000,00 no 1𝑜 ano, 𝑅$ 80.000,00 do 2𝑜 ao 5𝑜 ano e 𝑅$ 60.000,00 no 6𝑜
ano. Espera-se ainda um fluxo de caixa de 𝑅$ 20.000,00 com a venda do equipamento
ao final do 6𝑜 ano. Calcule a TIR e verifique, ao custo de oportunidade de 12,00% 𝑎. 𝑎.,
se a aquisição deste equipamento é viável.
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
328328
Problemas da Taxa Interna de Retorno
 O método 𝑽𝑷𝑳 assume que os FCs são reinvestidos ao custo de capital.
 O método da 𝑻𝑰𝑹 assume que os FCs são reinvestidos à 𝑻𝑰𝑹.
 Assumir que os FCs são reinvestidos ao custo de capital é mais realista,
assim o 𝑽𝑷𝑳 é melhor. Portanto, o 𝑽𝑷𝑳 deve ser usado para selecionar entre
projetos mutuamente excludentes.
 É necessária uma modificação na 𝑻𝑰𝑹 para considerar como taxa de
reinvestimento o custo de capital, ou outra taxa apropriada.
329329
EXEMPLO
Problemas da Taxa Interna de Retorno
 A equação da 𝑻𝑰𝑹 permite n raízes, ou seja, pode-se obter múltiplas 𝑻𝑰𝑹.
 Há múltiplas 𝑻𝑰𝑹 se houver mais de uma inversão de sinal dos fluxos de caixa.
 Para projeto abaixo tem-se 𝑻𝑰𝑹 = 𝟐𝟓% e 𝑻𝑰𝑹 = 𝟒𝟎𝟎%.
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 – 1600,00 10000,00 -10000,00
330330
Problemas da Taxa Interna de Retorno
 Para projeto abaixo tem-se 𝑻𝑰𝐑 = 𝟒, 𝟕𝟐𝟑% e 𝑻𝑰𝑹 = 𝟏𝟗, 𝟔𝟏𝟗%.
−
500000
1 + 𝑇𝐼𝑅 1
−
500000
1 + 𝑇𝐼𝑅 2
−
500000
1 + 𝑇𝐼𝑅 3
+
20000
1 + 𝑇𝐼𝑅 4
+
20000
1 + 𝑇𝐼𝑅 5
= 1000000
⟹ 𝑻𝑰𝑹 = 𝟒, 𝟕𝟐𝟑% e 𝑻𝑰𝑹 = 𝟏𝟗, 𝟔𝟏𝟗%
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 1000000,00 – 500000,00 – 500000,00 – 500000,00 20000,00 20000,00
EXEMPLO
331331
Problemas da Taxa Interna de Retorno
 A equação da 𝑻𝑰𝑹 permite não ter raízes, ou seja, pode-se não existir 𝑻𝑰𝑹.
 Não existe 𝑻𝑰𝑹 quando o 𝑽𝑷𝑳 é positivo para todos os valores da taxa de desconto.
 Para projeto abaixo não existe 𝑻𝑰𝑹.
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 00,00 500000,00 500000,00 500000,00
EXEMPLO
332332
Taxa Interna de Retorno Modificada
 A 𝑻𝑰𝑹𝑴 é a taxa de desconto que determina que o valor presente do valor
terminal 𝑽𝑻 de um projeto seja igual ao investimento inicial 𝑰𝟎.
 O 𝑽𝑻 é determinado levando os 𝐹𝐶𝑠 a valor futuro ao custo de oportunidade
𝒌 (pode ser diferente ao usado no 𝑽𝑷𝑳).
 A 𝑻𝑰𝑹𝑴 assume que os 𝐹𝐶𝑠 são reinvestidos à 𝒌.
 Quando há mais de um fluxo negativo 𝑰𝟎 representa o valor presente dos 𝐹𝐶𝑠
negativos, e 𝑽𝑻 é o valor futuro dos 𝐹𝐶𝑠 positivos, ambos considerando a
taxa 𝒌.
𝑽𝑻𝒏 =෍
𝒕=𝟏
𝒏
𝑭𝑪𝒕
+ 𝟏 + 𝒌 𝒏−𝒕 𝒆 𝑰𝟎 =෍
𝒕=𝟏
𝒏
𝑭𝑪𝒕
−
𝟏 + 𝒌 𝒕
⟹
𝑽𝑻𝒏
𝟏 + 𝑻𝑰𝑹𝑴 𝒏
= 𝑰𝟎
333333
Taxa Interna de Retorno Modificada
66.0
12.1
10%
10%
-100.0 10.0 60.0 80.0
0 1 2 3
10%
VP saídas
-100.0
$100
TIRMA = 16.5% 158.1
VT entradas
TIRMA = 16.5%
$158.1
(1 + TIRMA)
3
= 
EXEMPLO
EXEMPLO
334334
Taxa Interna de Retorno Modificada
EXERCÍCIO
 Considerando as estimativas de fluxo de caixa futuro de 3 projetos de
investimento, calcule as 𝑻𝑰𝑹𝑴 e verifique se são viáveis.
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨 – 10000,00 6000,00 – 4000,00 9000,00 11000,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩 – 10000,00 5000,00 8000,00 – 9000,00 20000,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑪 – 15000,00 9000,00 9000,00 9000,00 – 7000,00
335335
PARTE 29
336336
Índice de Lucratividade (Custo-Benefício)
 Este indicador é uma variação do VPL, mensura quanto o projeto
oferece de retorno para cada unidade monetária investida.
 É determinado por meio da divisão do valor presente das entradas de
caixa pelo valor presente das saídas (desembolso de capital). Logo:
𝑰𝑳 =
൙
𝑭𝑪𝟏
𝟏 + 𝒊 𝟏
+
𝑭𝑪𝟐
𝟏 + 𝒊 𝟐
+⋯+
𝑭𝑪𝒏
𝟏 + 𝒊 𝒏
𝑭𝑪𝟎
⟹ 𝑰𝑳 =
൙
σ𝒌=𝟏
𝒏 𝑭𝑪𝒌
𝟏 + 𝒊 𝒌
𝑭𝑪𝟎
 Regra de decisão na avaliação de um investimento:
ቐ
𝑰𝑳 > 𝟏 ⟶ 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒗𝒊á𝒗𝒆𝒍
𝑰𝑳 < 𝟏 ⟶ 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒗𝒊á𝒗𝒆𝒍
𝑰𝑳 = 𝟏 ⟶ 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆
337337
Índice de Lucratividade (Custo-Benefício)
 O diagrama representa o fluxo de caixa operacional de um projeto de
investimento. Calcule o índice de lucratividade.
 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
𝐼𝐿 = ൗ
20000
1+0,10 1
+
40000
1+0,10 2
+
45000
1+0,10 3
+
30000
1+0,10 4
70000
⟹ 𝐼𝐿 = 1,5077
EXEMPLO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
𝑭𝑪 -70000,00 20000,00 40000,00 45000,00 30000,00
𝑭𝑪𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 -70000,00 18181,18 33057,85 33809,17 20490,40
𝑪𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 -70000,00 -51818,82 -18760,97 15048,20 35538,60
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋
𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟏𝟎 𝒊
𝒇 𝑵𝑷𝑽 → 𝟏𝟎𝟓𝟓𝟑𝟖, 𝟔𝟎 𝑬𝑵𝑻𝑬𝑹
𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 ÷→ 𝟏, 𝟓𝟎𝟕𝟕
338338
Índice de Lucratividade (Custo-Benefício)
 Considerando as estimativas de fluxo de caixa futuro de um projeto, calcule o
índice de lucratividade e defina se o projeto é ou não viável.
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
EXERCÍCIO
𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓 𝑭𝑪𝟔 𝑭𝑪𝟕
– 25000,00 – 2500,00 0 2500,00 10000,00 10000,00 20000,00 25000,00
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝟏, 𝟒𝟕𝟎𝟓
339339
Valor Presente Líquido Anualizado
 Variação do VPL, demonstra quanto de ganho líquido um projeto de
investimento poderá propiciar período a período.
 Mensura o retorno gerado a cada período, independentemente do
tempo de vida útil.
 Técnica usada para comparar projetos que apresentam tempos de
vida útil diferentes.
 Regra de decisão na avaliação de um investimento:
ቐ
𝑽𝑷𝑳𝑨 > 𝟎 ⟶ 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒗𝒊á𝒗𝒆𝒍
𝑽𝑷𝑳𝑨 < 𝟎 ⟶ 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒗𝒊á𝒗𝒆𝒍
𝑽𝑷𝑳𝑨 = 𝟎 ⟶ 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆
340340
Valor Presente Líquido Anualizado
 Processo de Cálculo do VPLA
1. Calcular o VPL do fluxo de caixa do investimento;
2. Construir um fluxo de caixa equivalente ao original, do qual o VPL
calculado passa a ser o valor presente 𝐶𝐹0 ;
3. Calcular o valor da entrada de caixa anual (equivalente a uma
prestação – PMT), utilizando-se dos mesmos dados (custo do capital e
no de períodos). Logo:
𝑷𝑴𝑻 = 𝑪
𝒊
𝟏 − 𝟏 + 𝒊 −𝒏
𝑜𝑢 𝑷𝑴𝑻 = 𝑪
𝒊 𝟏 + 𝒊 𝒏
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏
341341
Valor Presente Líquido Anualizado
 O diagrama representa o fluxo de caixa operacional de dois projetos
de investimento. Calcule o VPLA. 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
EXEMPLO
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩
Obs.: Não use o VPL para classificação de projetos quando os tempos de vida útil são diferentes.
342342
Valor Presente Líquido Anualizado
EXEMPLO
 Calculo do VPLA do 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨.
𝑉𝑃𝐿𝐴 =
3000
1+0,10 1
+
3000
1+0,10 2
+
3000
1+0,10 3
+
3000
1+0,10 4
+
3000
1+0,10 5
− 10000
⟹ 𝑉𝑃𝐿𝐴 = 𝑅$ 1.372,36
𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃𝐿𝐴𝐴 = 𝐶
𝑖
1− 1+𝑖 −𝑛
⟹ 𝑉𝑃𝐿𝐴𝐴 = 1372,36
0,10
1− 1+0,10 −5
⟹ 𝑉𝑃𝐿𝐴𝐴 = 𝑅$ 362,03
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝒇 𝑭𝑰𝑵
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝒈 𝑪𝑭𝟎 𝟏𝟑𝟕𝟐, 𝟑𝟔 𝑷𝑽
𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟓 𝒏
𝟓 𝒈 𝑵𝒋 𝟏𝟎 𝒊
𝟏𝟎 𝒊 𝑷𝑴𝑻 → 𝟑𝟔𝟐, 𝟎𝟑
𝒇 𝑵𝑷𝑽 → 𝟏𝟑𝟕𝟐, 𝟑𝟔
343343
Valor Presente Líquido Anualizado
EXEMPLO
 Calculo do VPLA do 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩.
𝑉𝑃𝐿𝐵 =
2800
1+0,10 1
+
2800
1+0,10 2
+
2800
1+0,10 3
+
2800
1+0,10 4
− 7700
⟹ 𝑉𝑃𝐿𝐵 = 𝑅$ 1.175, 62
𝑃𝑀𝑇 = 𝑉𝑃𝐿𝐴𝐵 = 𝐶
𝑖
1− 1+𝑖 −𝑛
⟹ 𝑉𝑃𝐿𝐴𝐵 = 1175, 62
0,10
1− 1+0,10 −4
⟹ 𝑉𝑃𝐿𝐴𝐵 = 𝑅$ 370,87
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝒇 𝑭𝑰𝑵
𝟕𝟕𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝒈 𝑪𝑭𝟎 𝟏𝟏𝟕𝟓, 𝟔𝟐 𝑷𝑽
𝟐𝟖𝟎𝟎 𝒈 𝑪𝑭𝒋 𝟒 𝒏
𝟒 𝒈 𝑵𝒋 𝟏𝟎 𝒊
𝟏𝟎 𝒊 𝑷𝑴𝑻 → 𝟑𝟕𝟎, 𝟖𝟕
𝒇 𝑵𝑷𝑽 → 𝟏𝟏𝟕𝟓, 𝟔𝟐
344344
Valor Presente Líquido Anualizado
EXEMPLO
 Análise dos critérios VPL e VPLA 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨 𝒙 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩 .
𝑷𝑹𝑶𝑱𝑬𝑻𝑶 𝑨 𝑷𝑹𝑶𝑱𝑬𝑻𝑶 𝑩
𝑽𝑷𝑳 𝟏𝟑𝟕𝟐, 𝟑𝟔 𝟏𝟏𝟕𝟓, 𝟔𝟐
𝑽𝑷𝑳𝑨 𝟑𝟔𝟐, 𝟎𝟑 𝟑𝟕𝟎, 𝟖𝟕
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩
345345
Valor Presente Líquido Anualizado
 Considerando as estimativas de fluxo de caixa futuro dos projetos
mutuamente excludentes defina qual o projeto deve ser
implementado. 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
EXERCÍCIO
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨 – 20000,00 5000,00 6000,00 4400,00 8600,00 9000,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩 – 24000,00 14000,00 10000,00 8000,00 --- ---
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
346346
Valor Presente Líquido Anualizado
 Um jovem profissional dispõe de 𝑅$ 35.000,00 em uma aplicação financeira a
15,00% 𝑎. 𝑎., entretanto esta avaliando duas alternativas de investimento. Na
1𝑎 ele teria 𝑅$ 8.000,00 no 1𝑜 ano, 𝑅$ 9.000,00 no 2𝑜, 𝑅$ 11.000,00 no 3𝑜,
𝑅$ 13.000,00 no 4𝑜 e 𝑅$ 15.000,00 no 5𝑜 ano. Na 2𝑎 alternativa ele teria um
título de valor nominal 𝑅$ 52.000,00 com vencimento em 3 anos. Avalie a
melhor alternativa. 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑻𝑰𝑹 𝑜𝑢 𝑽𝑷𝑳𝑨?
EXERCÍCIO
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
347347
Custo Anual Equivalente
EXERCÍCIO
 Avalie o custo da aquisição de 2 equipamentos para determinada operação
em uma fábrica de roupas e conclua qual a melhor alternativa.
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
𝑃𝑀𝑇 = 𝐶𝐴𝐸𝑋 = 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑖
1− 1+𝑖 −𝑛
+ 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑒𝑟𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙
⟹ 𝐶𝐴𝐸𝑋 = 12000, 00
0,10
1− 1+0,10 −3
+ 2500,00
⟹ 𝐶𝐴𝐸𝑋 = Τ𝑅$ 7325,38 𝑎𝑛𝑜
⟹ 𝐶𝐴𝐸𝑌 = 32000, 00
0,10
1− 1+0,10 −8
+ 2000,00
⟹ 𝐶𝐴𝐸𝑌 = Τ𝑅$ 7998,20 𝑎𝑛𝑜
𝑬𝒒𝒖𝒊𝒑𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝑽𝒊𝒅𝒂 Ú𝒕𝒊𝒍
𝑿 – 12000,00 – 2500,00 / ano 3 anos
𝒀 – 32000,00 – 2000,00 / ano 8 anos
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
𝒇 𝑭𝑰𝑵 𝒇 𝑭𝑰𝑵
𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽 𝟑𝟐𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝑪𝑯𝑺 𝑷𝑽
𝟑 𝒏 𝟏𝟎 𝒊 𝟖 𝒏 𝟏𝟎 𝒊
𝑷𝑴𝑻 → 𝟒𝟖𝟐𝟓, 𝟑𝟖 𝑷𝑴𝑻 → 𝟓𝟗𝟗𝟖, 𝟐𝟎
𝟐𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 +
→ 𝟕𝟑𝟐𝟓, 𝟑𝟖 → 𝟕𝟗𝟗𝟖, 𝟐𝟎
348348
Custo Anual Equivalente
EXERCÍCIO
 Avalie o custo da aquisição de 2 equipamentos para determinada operação
em uma gráfica rápida e conclua qual a melhor alternativa.
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
𝑬𝒒𝒖𝒊𝒑𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝑽𝒊𝒅𝒂 Ú𝒕𝒊𝒍
𝑨 – 18000,00 – 2860,00 / ano 13 anos
𝑩 – 28000,00 – 1960,00 / ano 18 anos
𝑯𝑷 𝟏𝟐𝑪
→ 𝟓𝟑𝟗𝟒, 𝟎𝟏 → 𝟓𝟑𝟕𝟒, 𝟎𝟓
349349
Decisões de Investimento sob Restrição Orçamentária
 Avalie os projetos de investimentos independentes e defina quais
deverão ser implementados sob uma restrição orçamentária de
𝑅$ 1000000,00. 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
 As combinações ABD, ACE e BCDE são as opções que absorvem
todo o orçamento, não restando valores inativos.
 A combinação que maximiza a riqueza é o que apresenta maior VPL.
EXEMPLO
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬
𝑰𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 – 500000,00 – 300000,00 – 400000,00 – 200000,00 – 100000,00
𝑽𝑷𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔 650000,00 360000,00 460000,00 220000,00 105000,00
𝑽𝑷𝑳 150000,00 60000,00 60000,00 20000,00 5000,00
𝑻𝑰𝑹 40 % 30 % 25 % 20 % 15 %
𝑨𝑩𝑫 𝑨𝑪𝑬 𝑩𝑪𝑫𝑬
𝑽𝑷𝑳 𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝟐𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
350350
Decisões de Investimento sob Restrição Orçamentária
 Avalie os projetos de investimentos independentes e defina quais
deverão ser implementados sob uma restrição orçamentária de
𝑅$ 2500000,00. 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟎, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
EXERCÍCIO
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬
𝑰𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 – 1000000,00 – 750000,00 – 500000,00 – 1250000,00 – 250000,00
𝑽𝑷𝑬𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔 1150000,00 900000,00 550000,00 1625000,00 262500,00
𝑽𝑷𝑳
351351
Decisões de Investimento sob Restrição Orçamentária
 Avalie os projetos de investimentos independentes e defina quais
deverão ser implementados sob uma restrição orçamentária de
𝑪𝑭𝟎 = 𝑹$ 𝟑𝟎, 𝟎𝟎 e 𝑪𝑭𝟏 > 𝑹$ 𝟎, 𝟎𝟎. 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟔, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
EXERCÍCIO
Projeto 𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑽𝑷𝑳
Usina -10 -5 20 15 10
Laminação -5 -5 20 15 5
Filial Norte -10 10 20 15 5
Almoxarifado -20 30 20 15 5
P & D -10 -10 20 15 5
Informática -30 -10 20 15 40
Restaurante -15 10 20 15 5
352352
Relação entre os Métodos de Avaliação de Investimentos
 Existe uma estreitarelação entre os diversos métodos de avaliação
de investimentos. 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟓, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
𝑉𝑃𝐿 =
200
1+0,15 1
+
400
1+0,15 2
+
400
1+0,15 3
+
600
1+0,15 4
+
600
1+0,15 5
− 1200
⟹ 𝑉𝑃𝐿 = 1380,73 − 1200,00 ⟹ 𝑉𝑃𝐿 = 𝑅$ 180,73
200
1+𝑇𝐼𝑅 1
+
400
1+𝑇𝐼𝑅 2
+
400
1+𝑇𝐼𝑅 3
+
600
1+𝑇𝐼𝑅 4
+
600
1+𝑇𝐼𝑅 5
− 1200 ⟹ 𝑇𝐼𝑅 = 20,20% 𝑎. 𝑎.
𝐼𝐿 =
1380,73
1200,00
⟹ 𝐼𝐿 = 1,15
𝑃𝑎𝑦𝑏𝑎𝑐𝑘 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 =
1200,00
1380,73
× 5 ⟹ 𝑃𝑎𝑦𝑏𝑎𝑐𝑘 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 4,4 𝑎𝑛𝑜𝑠
𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓
– 1200,00 200,00 400,00 400,00 600,00 600,00
353353
Relação entre os Métodos de Avaliação de Investimentos
 Relação entre 𝑽𝑷𝑳 e 𝑻𝑰𝑹.
 Relação entre 𝑽𝑷𝑳 e 𝑷𝒂𝒚𝒃𝒂𝒄𝒌 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐.
Taxa de
desconto (%)
IRR
20,2%
NPV
($)
1.200,00
NPV
($)
0 2 4 6 8
Tempo (anos)
Pay
bac
k
–1.200,00
354354
Decisões Conflitantes entre os Métodos de Avaliação
 Conflito entre 𝑽𝑷𝑳 e 𝑻𝑰𝑹. 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 − 𝟏𝟓, 𝟎𝟎% 𝒂. 𝒂.
𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨 – 100000,00 60000,00 50000,00 40000,00 40000,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩 – 200000,00 30000,00 40000,00 180000,00 200000,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩 − 𝐀 – 100000,00 – 30000,00 – 10000,00 140000,00 160000,00
𝑷𝑹𝑶𝑱𝑬𝑻𝑶 𝑨 𝑷𝑹𝑶𝑱𝑬𝑻𝑶 𝑩 𝑷𝑹𝑶𝑱𝑬𝑻𝑶 𝑩 − 𝑨
𝑻𝑰𝑹 𝟑𝟓, 𝟎𝟏% 𝟐𝟗, 𝟕% 𝟐𝟕, 𝟎% 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆çã𝒐 𝒅𝒆 𝑭𝒊𝒔𝒄𝒉𝒆𝒓
Interseção
de Fischer
27,0% 29,7% 35,1%
NPV
($)
250.000,00
90.000,00
A
B
Taxa
 
de
desconto (%)
355355
Métodos de Avaliação de Investimentos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Considerando os fluxos de caixa do projeto de investimento seque abaixo, calcule o
Payback Simples e Descontado, o VPL, TIR e TIRM e conclua se o projeto é viável.
𝐶𝑢𝑠𝑡o 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 − 12,00% 𝑎. 𝑎.
2. Dados os fluxos de caixa a seguir de 3 projetos mutuamente excludentes, determine
os respectivos VPL e TIR 𝐶𝑢𝑠𝑡o 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 − 12,00% 𝑎. 𝑎. e defina o projeto que
deverá ser implementado. 𝟏𝟎, 𝟑𝟕𝟒𝟕% 𝒂.𝒂. ; 𝟏𝟎, 𝟏𝟕𝟓𝟒% 𝒂. 𝒂. ; 𝟏𝟓, 𝟒𝟏𝟗𝟎% 𝒂. 𝒂.
3. Por um capital de 𝑅$ 70.000,00, um investidor oferece 10 prestações anuais de
𝑅$ 10.000,00. Essa é uma boa oferta para um poupador que aplica seu capital à taxa
de 6,00% 𝑎. 𝑎.? E se aplica a 8,00% 𝑎. 𝑎.? Qual a taxa que torna a oferta indiferente?
𝟕, 𝟎𝟕𝟐𝟖% 𝒂.𝒂.
𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓 𝑭𝑪𝟔 𝑭𝑪𝟕
-100000,00 10000,00 15000,00 20000,00 25000,00 30000,00 35000,00 40000,00
𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓 𝑭𝑪𝟔
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨 – 2000,00 300,00 400,00 400,00 600,00 600,00 600,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩 – 2000,00 700,00 700,00 600,00 500,00
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑪 – 2000,00 500,00 500,00 700,00 700,00 700,00
356356
Métodos de Avaliação de Investimentos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. A Transport’Adora Ltda. pretende adquirir um novo caminhão avaliado em
𝑅$ 300.000,00, com vida útil estimada em 5 anos. Estima-se que no 1𝑜 ano os custos
e despesas totais são de 𝑅$ 120.000,00 e nos anos seguintes acrescem em 10% a
cada ano. A Adora espera que esta aquisição gere receitas para cada ano de:
𝑅$ 300.000,00, 𝑅$ 280.000,00, 𝑅$ 240.000,00, 𝑅$ 200.000,00 e 𝑅$ 180.000,00. Espera-
se ainda que, ao final do 5𝑜 ano, o caminhão possa ser revendido por 𝑅$ 100.000,00.
Calcule o Payback Simples e Descontado, VPL, TIR, TIRM e avalie se, ao custo de
oportunidade de 24,00% 𝑎. 𝑎., a aquisição é viável ou não.
2. Um jovem trabalhador esta avaliando se compra uma moto à vista por 𝑅$ 26.025,00
ou financia 70% em 18 mensais de 𝑅$ 1.100,00. Qual a melhor alternativa para o
jovem, dado que seu dinheiro está aplicado em caderneta de poupança à taxa
0,50% 𝑎.𝑚..
3. Um loja comercial esta a venda e há duas alternativas de pagamento: pagar
R$ 87.500,00 daqui a 10 meses ou pagar R$ 20.000,00 agora mais R$ 55.000,00 daqui
a 6 meses. Qual a melhor alternativa de compra ao custo de capital de
2,7150% 𝑎.𝑚.?
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Métodos de Avaliação de Investimentos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. A seguir são apresentados os Valores Presentes Líquidos de quatro propostas de
investimentos admitindo-se diferentes taxas de desconto. ($ milhões)
a) Se a taxa de desconto mínima aceitável for de 12%, quais são as alternativas de
investimento que podem ser aceitas. Defina-as em ordem de prioridade.
b) Qual a alternativa que apresenta a maior Taxa Interna de Retorno?
c) Qual a Taxa Interna de Retorno do Projeto A?
d) O Projeto A é mais rentável que o Projeto D? Justifique.
e) A Taxa Interna de Retorno do Projeto B é a maior ou menor que 20%? Justifique.
f) A Taxa Interna de Retorno do Projeto C é menor que 8%? Justifique.
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑪 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑫
𝟎% 50,0 50,0 25,2 40,0
𝟒% 30,1 37,0 8,2 26,4
𝟖% 13,7 25,9 (0,2) 14,9
𝟏𝟐% 0,0 16,3 (9,9) 5,0
𝟏𝟔% (11,4) 7,9 (18,1) (3,4)
𝟐𝟎% (21,0) 0,5 (25,2) (10,8)
358358
Métodos de Avaliação de Investimentos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Você é o responsável pela avaliação de projetos de investimentos da VAIO S.A..
Esta empresa está interessada em investir em um novo produto, destinados ao
mercado externo, e para tal lhe foi solicitado que avaliasse os fluxos de caixa
esperados de dois projetos propostos. Calcule o IL, VPL e VPLA e indique a empresa
qual o projeto que deve ser implementado, considerando um custo de capital de
10,00% 𝑎. 𝑎..
2. Suponha-se que uma empresa tenha selecionado seis propostas de investimentos
cujas características são expostas abaixo:
Defina o grupo de alternativas economicamente mais atraentes, considerando que a
empresa apresenta uma restrição orçamentária de R$ 2.000.000,00.
𝑭𝑪𝟎 𝑭𝑪𝟏 𝑭𝑪𝟐 𝑭𝑪𝟑 𝑭𝑪𝟒 𝑭𝑪𝟓
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨 – 24000,00 14000,00 10000,00 8000,00 --- ---
𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑩 – 20000,00 5000,00 6400,00 4000,00 8000,00 9600,00
ȁ𝑰𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑷𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬 𝑭
𝑰𝒏𝒗𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 1000000,00 600000,00 800000,00 400000,00 200000,00 600000,00
𝑽𝑷𝑳 150000,00 – 100000,00 330000,00 240000,00 80000,00 400000,00
𝑻𝑰𝑹 21% 5% 20% 16% 12% 30%
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Métodos de Avaliação de Investimentos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Avalie o custo da aquisição de 3 equipamentos para a indústria bélica e conclua qual
a melhor alternativa. 𝑹$ 𝟕𝟔𝟓𝟒𝟕, 𝟏𝟎; 𝑹$ 𝟕𝟔𝟗𝟔𝟎, 𝟖𝟗; 𝑹$ 𝟕𝟓𝟖𝟕𝟔, 𝟑𝟔
2. Uma industria avalia terceirizar por 3 anos a fabricação de uma peça. Um estudo
mostrou que para produzir 8.000 Τ𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑜 é necessário um investimento inicial de
𝑅$ 200.000,00 em equipamentos e custos operacionais totais de 𝑅$ 18.000,00, se a
fabricação for interna. Se for terceirizada, o preço de compra será de Τ𝑅$ 12,00 𝑝𝑒ç𝑎.
Determine se a peça deve ou não ser terceirizada ao custo de 8,00% 𝑎. 𝑎.
𝑹$ 𝟗𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎; 𝑹$ 𝟗𝟓. 𝟔𝟎𝟓, 𝟕𝟎
3. A Riolux instalou um sistema de energia elétrica que custou 𝑅$ 30 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠. Os
custos operacionais do equipamento são de Τ𝑅$ 120 𝑚𝑖𝑙 𝑚ê𝑠 e sua vida útil é
estimada em 15 anos. Dado que a empresa deseja uma rentabilidade mínima de
12,00% 𝑎.𝑚., determine o custo que deve ser repassado aos usuários do sistema de
modo que cubra os gastos operacionais e remunere o capital empregado.
Τ𝑹$ 𝟑, 𝟕𝟐 𝒎𝒊𝒍𝒉õ𝒆𝒔 𝒎ê𝒔
𝑬𝒒𝒖𝒊𝒑𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝑽𝒊𝒅𝒂 Ú𝒕𝒊𝒍
𝑨 – 275000,00 25000,00 / ano 8 anos
𝑩 – 350000,00 20000,00 / ano 10 anos
𝑪 – 425000,00 20000,00 / ano 15 anos
360360
Métodos de Avaliação de Investimentos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
 Faça o que se pede
1. Uma empresa de transportes planeja a renovação de sua frota de caminhões. Após
um estudo técnico, chegou à conclusão de que somente as marcas Fiat, Ford,
Honda e Toyota fabricam modelos adequados a suas necessidades. O quadro a
seguir mostra as diversas características operacionais eos custos dos caminhões
dessas 4 marcas.
Admita que cada caminhão, independentemente da marca, rode em torno de
40000 Τ𝑘𝑚 𝑎𝑛𝑜 e que o custo do óleo diesel seja ocnstante e igual a Τ𝑅$ 1,00 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜.
Considerando que o custo do capital da empresa é de 20,00% 𝑎. 𝑎., determine qual marca
de caminhão deve ser escolhida. Desconsidere impostos e valores residuais.
𝑹$ 𝟏𝟓𝟑𝟓𝟗, 𝟒𝟗; 𝑹$ 𝟏𝟒𝟖𝟓𝟔, 𝟏𝟐; 𝑹$ 𝟏𝟑𝟗𝟐𝟏, 𝟑𝟑; 𝑹$ 𝟏𝟒𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑
𝑴𝒂𝒓𝒄𝒂 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑨𝒒𝒖𝒊𝒔𝒊çã𝒐 Τ𝒌𝒎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒆𝒔𝒆𝒍 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆𝑴𝒂𝒏𝒖𝒕𝒆𝒏çã𝒐 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝑽𝒊𝒅𝒂 Ú𝒕𝒊𝒍
𝑭𝒊𝒂𝒕 25000,00 10 3000,00 5 anos
𝑭𝒐𝒓𝒅 28000,00 11 2800,00 6 anos
𝑯𝒐𝒏𝒅𝒂 35000,00 16 2300,00 8 anos
𝑻𝒐𝒚𝒐𝒕𝒂 33000,00 14 2200,00 7 anos
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