Lista de Exercicios II

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Lista de Exercícios II – Análise Estatística 
Variável Aleatória Bidimensional – Caso Discreto 
Prof. Frank Magalhães 
Sugestão de leitura: Capítulo 5 do livro Noções de Probabilidade e Estatística 
do Marcos Nascimento Magalhães e capítulo 6 do livro Probabilidade – 
Aplicações à Estatística do Paul L. Meyer. 
 
Questão 01 (Ex. 1 seção 5.2 – Magalhães): Na tabela a seguir encontram-se os 
conceitos de história (𝐻), matemática (𝑀) e física (𝐹) de alunos do 3º ano do 
ensino médio de uma faculdade. 
Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
História C C C C B B B B B B B A 
Matemática C C D C B C A C C C C C 
Física D C B C B C C B B C C B 
a. Construa as tabelas de frequência marginais para 𝐻, 𝑀 e 𝐹; 
b. Construa as tabelas de dupla entrada de frequência conjunta para (𝐻, 𝑀) e 
(𝐻, 𝐹). 
Questão 02: Seja 𝑋 o número de falhas de equipamento indispensável na linha de 
produção de carros e 𝑌 o número vezes em que o técnico responsável pela 
manutenção é chamado de emergência. A distribuição de probabilidade conjunta é: 
𝒀 \ 𝐗 𝟏 𝟐 𝟑 
𝟏 0,05 0,05 0,10 
𝟐 0,05 0,10 0,35 
𝟑 0,00 0,20 0,10 
a. Encontre a distribuição de probabilidade marginal de 𝑋; 
b. Encontre a distribuição de probabilidade marginal de 𝑌; 
c. Calcule 𝐸[𝑋], 𝐸[𝑌] e 𝐸[𝑋 + 𝑌]; 
d. Calcule 𝑉𝑎𝑟[𝑋], 𝑉𝑎𝑟[𝑌], 𝐶𝑜𝑣[𝑋; 𝑌] e 𝑉𝑎𝑟[𝑋 + 𝑌]; 
e. Calcule 𝑃(𝑌 = 3|𝑋 = 2); 
f. Calcule 𝑃(𝑌 = 3|𝑋 = 3); 
g. Calcule 𝐸(𝑌|𝑋 = 2); 
h. Calcule 𝐸[𝐸(𝑌|𝑋)]. 
Questão 03: Suponha que 𝑋 e 𝑌 tenham a seguinte distribuição de probabilidade 
conjunta: 
𝒀 \ 𝐗 𝟐 𝟒 
𝟏 0,05 0,25 
𝟑 0,10 0,10 
𝟓 0,30 0,20 
a. Encontre a distribuição de probabilidade marginal de 𝑋; 
b. Encontre a distribuição de probabilidade marginal de 𝑌; 
c. Encontre a distriubição de probabilidade de 𝑋 + 𝑌; 
d. Encontre a distriubição de probabilidade de 𝑋𝑌; 
e. Calcule 𝐸[𝑋], 𝐸[𝑌] e 𝐸[𝑋 + 𝑌]; 
f. Calcule 𝐸[𝑋𝑌] e 𝐶𝑜𝑣[𝑋; 𝑌]; 
g. Calcule 𝑃(𝑋 = 2|𝑌 = 3); 
h. Calcule 𝑃(𝑋 = 2|𝑌 = 5); 
i. Calcule 𝐸(𝑋|𝑌 = 3); 
j. Calcule 𝐸[𝐸(𝑋|𝑌)]. 
Questão 04: Deseja-se estudar a composição familiar quanto ao sexo de famílias 
com três crianças. As variáveis aleatórias são: 
𝑋 = 𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑜𝑠; 
𝑌 = {
1, 𝑠𝑒 𝑜 1𝑜 𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜 𝑓𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑜 
0, 𝑠𝑒 𝑜 1𝑜 𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜 𝑓𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑎; 
𝑍 = 𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑜𝑢𝑣𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑥𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑢𝑚 𝑛𝑎𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜.
 
A partir da suposição de que cada composição tem a mesma probabilidade, 
encontre: 
a. A distribuição de probabilidade conjunta (𝑋, 𝑌, 𝑍); 
b. A distribuição de probabilidade conjunta (𝑋, 𝑌); 
c. As distribuições de probabilidade marginal de 𝑋, 𝑌 e 𝑍; 
d. 𝐸[𝑋], 𝐸[𝑌] e 𝐸[𝑍], 𝐸[𝑋 + 𝑌] e 𝐸[𝑋 + 𝑌 + 𝑍] ; 
e. A distribuição condicional de 𝑌 dado 𝑋 = 2; 
f. A distribuição do no de meninos sabendo-se que o 1o filho foi menino, ou 
seja, 𝑃(𝑋 = 𝑥|𝑌 = 1); 
g. 𝐸(𝑋|𝑌 = 1). 
Questão 05 (Ex. 3 seção 5.3 – Magalhães): Estuda-se o efeito do teor de ferro na 
capacidade de carga de vigas de concreto. Os dados abaixo apresentam os 
resultados de medidas obtidas em uma amostra. Obtenha a correlação entre as 
variáveis. 
Ferro (% peso) 5,4 6,8 6,9 7,3 7,7 8,1 8,2 8,5 8,6 8,9 
Carga (ton/m2) 2,1 2,2 2,9 2,9 3,0 3,1 3,1 3,1 3,4 3,5 
Questão 06 (Ex. 11 seção 5.3 – Magalhães): O departamento de vendas de certa 
companhia ofereceu um curso de atualização a seus funcionários e, para estudar a 
eficácia do curso, resolveu comparar a nota do teste no curso (𝑇) com o volume de 
vendas (𝑉), em milhares de unidades, nos seis meses seguintes ao curso. Calcule a 
correlação entre as variáveis, considerando os resultados abaixo. 
Nota no teste (T) 8 9 7 8 6 8 5 5 6 7 4 7 3 5 3 
Volume de vendas (V) 14 13 12 13 10 12 11 11 10 12 10 13 10 12 11 
Questão 07 (Ex. 25 seção 5.3 – Magalhães): A distribuição de probabilidade 
conjunta das variáveis aleatórias independentes 𝑋 e 𝑌 é parcialmente apresentada a 
seguir: 
𝑿 \ 𝐘 −𝟐 𝟎 𝟐 𝑷(𝑿 = 𝒙) 
𝟏 0,3 
2 0,7 
𝑷(𝒀 = 𝒚) 0,2 0,3 
a. Complete a tabela; 
b. Calcule o valor esperado e variância de 2𝑋 − 𝑌. 
Questão 08 (Ex. 29 seção 5.3 – Magalhães): Sejam 𝑈 = 𝑌2 E 𝑉 = 𝑋 + 𝑌, com 
função de probabilidade conjunta entre 𝑋 e 𝑌 dada na tabela a seguir: 
𝑿 \ 𝐘 𝟎 𝟏 𝟐 
−𝟏 1 12⁄ 1 6⁄ 1 3⁄ 
𝟏 1 6⁄ 1 4⁄ 0 
a. Obtenha a distribuição de probabilidade conjunta de 𝑈 e 𝑉; 
b. Calcule 𝑃(𝑈 = 4|𝑉 = 1); 
c. Calcule 𝐶𝑜𝑣(𝑈; 𝑉) e 𝜌𝑈;𝑉. 
Questão 09 (Ex. 32 seção 5.3 – Magalhães): Para estudar a viabilidade econômica 
do lançamento de um certo produto foi atribuida uma distribuição de probabilidade 
às projeções de preço de duas matérias primas, M1 e M2. A função conjunta de 
probabilidade dos preços (em reais) é: 
 𝑴𝟏 \ 𝑴𝟐 𝟓 𝟗 𝟏𝟑 
𝟏 0,10 0,00 0,00 
𝟑 0,10 0,20 0,20 
𝟓 0,00 0,20 0,20 
a. Determine o preço médio e a variância das matérias primas. (deve-se 
calcular 𝐸[𝑋], 𝐸[𝑌], 𝑉𝑎𝑟[𝑋] e 𝑉𝑎𝑟[𝑌]); 
b. O produto utiliza 2 unidades de 𝑀1 e 3 unidades de 𝑀2. Qual é o seu custo 
médio? (deve-se calcular 𝐸[2𝑋 + 3𝑌]); 
c. Se o produto deverá ser vendido por 50 reais, qual será o lucro médio por 
unidade? 
Questão 10 (Ex. prop. 16 seção 3.5 – Morettin): Seja 𝑋 a renda familiar em $100, 
e 𝑌 o número de carros da família. Considere o quadro: 
X 20 30 40 20 30 30 40 20 20 30 
Y 1 2 2 2 1 3 3 1 2 2 
Determine: 
a. 𝐸[𝑋], 𝐸[𝑌]; 
b. 𝑉𝑎𝑟[𝑋], 𝑉𝑎𝑟[𝑋]; 
c. 𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌]; 
d. 𝜌𝑋;𝑌; 
e. A distribuição condicional de 𝑃(𝑋|𝑌 = 2); 
f. 𝐸(𝑋|𝑌 = 2); 
g. A distribuição condicional de 𝑃(𝑌|𝑋 = 30); 
h. 𝐸(𝑌|𝑋 = 30). 
 
Questão 11 (Ex. prop. 17 seção 3.5 – Morettin): Num posto de vistoria de carros 
foram examinados 10 veículos, sendo que o número de irregularidades nos ítens de 
segurança 𝑋 e o número de irregularidades nos documentos 𝑌 são os dados no 
quadro a seguir. Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis 𝑋 e 𝑌. 
Veículo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
𝑿 0 1 2 0 1 2 0 2 1 2 
𝒀 0 1 0 1 1 1 0 2 2 2 
Questão 12 (Ex. prop. 19 seção 3.5 – Morettin): Seja 𝑋 os anos de experiência 
em vendas e 𝑌 as unidades diárias vendidas. 
𝑿 \ 𝒀 𝟏 𝟐 𝟑 
𝟐 0,14 0,04 0,02 
𝟒 0,14 0,18 0,08 
𝟔 0,02 0,16 0,12 
𝟖 0,00 0,02 0,08 
De acordo com a tabela de distribuição conjunta de 𝑋 e 𝑌, determine: 
a. 𝐸 [2𝑋 −
𝑌
2
]; 
b. 𝑉𝑎𝑟 [2𝑋 −
𝑌
2
]; 
c. 𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌]; 
d. 𝜌𝑋;𝑌; 
e. As variáveis 𝑋 e 𝑌 são independentes? Justifique. 
Questão 13: Seja as variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌 com respectivas funções de 
probabilidade marginais. Qual o pressuposto necessário para fazer este exercício? 
𝑿 𝑷(𝑿 = 𝒙) 𝒀 𝑷(𝒀 = 𝒚) 
𝟏 0,20 𝟎 0,20 
𝟐 0,20 𝟏 0,40 
𝟑 0,60 𝟐 0,40 
a. Calcule 𝐸[3𝑋 + 𝑌]; 
b. Calcule 𝑉𝑎𝑟[3𝑋 + 𝑌]. 
 
Questões da ANPEC 
Nas questões NÃO NUMÉRICAS verifique, de acordo com a instrução de cada uma 
delas, se os itens são VERDADEIROS ou FALSOS. 
 
Questão 01 (2014 – Q.07): Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, enquanto a, b, c 
e d são quatro constantes diferentes de zero. Julgue as proposições: 
Ⓞ Var (aX+b)=a2Var(X). 
① Var (aX - cY) = aVar(X) + cVar(Y) - 2Cov(X,Y). 
② Cov(aX+bY, cX+dY)= acVar(X)+bdVar(Y)+(ad+bc) Cov(X,Y). 
③ Corr(aX+b, cX+d)= Corr(X,Y). 
④ Se X e Y são independentes, então Var(Y/X)=Var(Y). 
Questão 02 (2006 – Q.03): Julgue as afirmativas. Em uma função densidade de 
probabilidade conjunta f(x,y), para as variáveis aleatórias contínuas X e Y: 
Ⓞ A função densidade de probabilidade marginal de X é: y
yxf
xf



),(
)(
. 
① Se F(y) é a função distribuição de probabilidade marginal de Y, então f(y)= 
dF(y)/dy, para F(y) derivável em todo o y. 
② X e Y serão independentes se f(x) = f(x | y). 
③ E [E(Y | x ) ] = E[Y]. 
④ Se X e Y são independentes, VY[E(X | y ) ] = V[X]. 
Questão 03 (2003 – Q.09): Sendo Y e X duas variáveis aleatórias, é correto afirmar 
que: 
Ⓞ Var(Y + X) = Var(Y) + Var(X) - 2Cov(Y, X); 
① Var(Y - X) = Var(Y) - Var(X) - 2Cov(Y,X); 
② Var (Y + X) = Var(Y) + Var(X), se Y e X forem independentes; 
③ se Cov(Y, X) = 0, então Y e X são independentes; 
④ se Cov(Y, X) = 0 e se Y e X têm distribuição conjunta normal, então Y e X são 
independentes. 
Questão 04 (1993 – Q.04): Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias quaisquer. Então: 
Ⓞ Var(X + Y + Z) = Var(X) + Var(Y) + Var(Z). 
① Var(2X + 4) = 4Var(X) + 16. 
② E(X + Y) = E(X) + E(Y). 
③ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X).E(Y). 
④ E X E X( ) [ ( )]2 2 . 
Questão 05 (1995 – Q.03): Se X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer, pode-
se afirmar que: 
Ⓞ Se W = 3X + 4Y, então Var(W) = 3Var(X) + 4Var(Y) + 2Cov(X,Y). 
① Se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são variáveis aleatórias independentes. 
② Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então o coeficiente de 
correlação entre elas é zero. 
③ Se T = 2X + Y + 5, então E(T) = 2E(X) + E(Y) + 5. 
④ Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então E(X,Y) = E(X).E(Y). 
Questão 06 (1996 – Q.04): Sejam X X eX1 2 3, variáveis aleatórias independentes 
com variâncias   1
2
2
2
3
21 2 4  , e , respectivamente. Seja Y X X X  2 21 2 3. 
Calcule a variância de Y. 
Questão 07 (1991 – Q.12): Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes tais 
que: E(X) = 3, E(Y) = 2, E( X2) = 10 e E(Y2) = 7. Pode-se afirmar que: 
Ⓞ E(X,Y) = 6. 
① Var(X + Y) =4 
② Var(Y - 3X) = 6. 
③ O coeficiente de correlação entre X e Y é igual a 1/9. 
④ E{[X - E(X)][Y - E(Y)]} não pode ser calculado.