Resumo de Funções - Cálculo I - UFMG

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Uma função é uma regra que associa a cada 
elemento de um conjunto D (Domínio) um único 
elemento de um conjunto E (Contradomínio). 
Imagem de f é o conjunto dos valores possíveis 
de f(x), obtidos quando x varia por todo o domínio. 
f : D −→ E x −→ f (x) 
 Uma função definida por uma tabela de 
valores é chamada função tabular. 
 Uma função racional é a razão de dois 
polinômios. 
 Funções algébricas são aquelas que podem 
ser construídas a partir de operações 
algébricas a partir de polinômios. Toda função 
racional é, automaticamente, uma função 
algébrica. 
 O gráfico de uma função é uma curva no 
plano xy. Mas surge a questão: quais curvas 
no plano xy são gráficos de funções? Essa 
pergunta será respondida por meio do teste a 
seguir: 
 
 Teste da reta vertical: uma curva no plano XY é o 
gráfico de uma função se, e somente se, toda reta 
vertical interceptar a curva no máximo uma vez. Uma 
função não pode associar dois valores diferentes a x; 
no caso das parábolas, por exemplo, há gráficos de 
duas funções de x, por isso que intercepta duas vezes. 
 
1. Função linear (de 1° grau): f(x) = ax + b ,onde 
a, b ∈ R com a a≠0. 
2. Função quadrática (de 2° grau) f(x) = ax² + bx + 
c, onde a, b, c ∈ R com a≠0. 
3. De um modo mais geral, uma função 
polinomial (de grau n) é dada por 
 p(x) = anxn + a(n − 1)xn − 1 + · · 
· + a1x + a0 
 onde a0, . . ., an ∈ R (são os coeficientes do 
polinômio) com an≠ 0. 
4. Uma função racional é definida como 
quociente de polinômios, ou seja, f (x) = p(x) / 
q(x), onde p(x) e q(x) são polinômios na 
variável x. Seu domínio é R \ {raízes de q(x)} 
5. Função potência: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝒏 , onde n ∈ Z+ . 
6. Função raiz n-ésima: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟏/𝒏 , onde n ∈ 
Z+. Domínio: R se n é ímpar, {x ≥ 0} = [0, ∞), se 
n é par. 
 
Modelos matemáticos 
São descrições matemáticas feitas de um 
fenômeno do mundo real, com o objetivo de 
simplificar a realidade, mantendo, contudo, 
precisão suficiente para conclusões significativas. 
Eles são obtidos com base no processo de 
modelagem matemática (problema -> formular -> 
modelo matemático -> resolver - > conclusões 
matemáticas -> interpretar -> previsões sobre o 
mundo real) 
Se não houver lei física que auxilie na 
formulação, construímos um modelo empírico, 
captando a tendência dos pontos dados. 
 Interpolação -> estimamos um valor entre 
os observados. 
 Extrapolação -> prevemos um valor fora 
da região de observações. 
 
 
A partir da função f : R → R podemos produzir as 
seguintes funções (c > 0 é uma constante): 
 g(x) = f (x) + c (gráfico deslocado c unidades 
para cima) 
 g(x) = f (x) − c (gráfico deslocado c unidades 
para baixo) 
 g(x) = f (x + c) (gráfico deslocado c unidades 
para a esquerda) 
 g(x) = f (x − c) (gráfico deslocado c unidades 
para a direita. 
 
 
 
A partir da função f : R → R podemos produzir as 
seguintes funções (c > 0 é uma constante): 
 g(x) = cf (x) (gráfico expandido verticalmente 
por um fator c) 
Deslocamentos verticais e 
horizontais 
Definição 
Reflexões e expansões verticais e 
horizontais 
 g(x) = (1/c)f (x) (gráfico contraído 
verticalmente por um fator c) 
 g(x) = f (cx) (gráfico contraído horizontalmente 
por um fator c) 
 g(x) = f (x/c) (gráfico expandido 
horizontalmente por um fator c) 
 g(x) = −f (x) (refletido em torno do eixo x) 
 g(x) = f (−x) (refletido em torno do eixo y ) 
 
 𝒚 = 𝒇 (|𝒙|) → Reflete a parte direita do 
gráfico em torno do eixo Y. 
 
 
Duas funções f e g podem ser combinadas para 
formar novas funções. As funções soma e diferença 
são definidas por: 
(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) (𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) 
 
 Se o domínio de f é A e o domínio de g é B, 
então é domínio de (f+g) é AᴖB. 
 
Analogamente, as funções produto e quociente 
são definidas por: 
(𝒇𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) (
𝒇
𝒈
) (𝒙) =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
 
 O domínio de fg é AᴖB, mas não podemos 
dividir por zero, então o domínio de f/g é {𝒙 ∈
𝐀ᴖ𝐁/𝒈(𝒙) ≠ 𝟎}. 
Sejam f : A → B e g : B → C duas funções. A composta 
(ou composição de f e g) de f e g é a função 
f ◦ g: A → C x → f(g (x)) 
 O domínio de 𝑓 ◦ 𝑔 é o conjunto de todos os 
x no domínio de g tais que g(x) está no 
domínio de f. Basta calcular o domínio da 
função resultante. 
 A função 𝑓 ◦ 𝑔, tal que 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 +
𝒃 𝑒 𝒈(𝒙) = 𝒐𝒙 + 𝒑, tem inclinação do 
gráfico igual a 𝒂.o. 
 Paridade f ◦ g: 
1. ambas são pares – F é par 
2. ambas são ímpares – F é ímpar 
3. f é par e g é ímpar – F é par 
4. f e ímpar e g é par - F é ímpar 
 Dica: leia somente a primeira 
 
 
Definição: Uma função f : A → B é dita injetiva 
(ou injetora, ou ainda função um a um) se ela nunca 
assume o mesmo valor duas vezes. 
Equivalentemente, F é injetiva se, sempre que f (x) = f 
(y), então x=y. Logo, f (x) ≠f (y) com x ≠ y. 
 Teste da reta HORIZONTAL: uma função é 
injetiva se, e somente se, toda reta horizontal 
intercepta seu gráfico em no máximo um ponto. 
 
 
 
Definição: Uma função f : A → B é dita 
sobrejetiva (ou sobrejetora) se se seu conjunto 
imagem é igual ao contradomínio. Ou seja, Im(f ) = B. 
 Isso significa que para todo y ∈ B, existe x ∈ A 
tal que f (x) = y. 
Exemplo: A função f(x)= x² é sobrejetora? 
 Solução: Não, pois qualquer número negativo não está 
na imagem de f. 
 
 
Definição: Uma função f : A → B é dita bijetiva 
(ou bijetora) se ela é simultaneamente INJETIVA e 
SOBREJETIVA. Isso equivale à seguinte afirmação: para 
todo y ∈ B existe um único x ∈ A tal que f (x) = y (o 
“existe” corresponde à sobrejetividade, o “único” 
corresponde à injetividade). 
 
 
Função injetiva 
Função sobrejetiva 
 
Combinações de funções 
Função bijetiva 
 
Função inversa 
 
Definição: Seja f : A → B uma função bijetiva, 
com o domínio A e o contradomínio B, então sua 
inversa é a função 𝒇−𝟏 ∶ 𝑩 → 𝑨, como domínio B e o 
contradomínio A. 
 Uma função possui inversa se, e somente se, f 
é uma bijeção. 
 Para encontrar a lei de formação da função 
inversa, precisamos: 
1. inverter as incógnitas, ou seja, trocar x por y 
2. Isolar a incógnita y. 
 Se f : D ⊂ R → R é uma função real, o gráfico 
de 𝒇−𝟏 é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno 
da reta y = x. 
 
 
 
Seja a>0, com a ≠ 1. A função f : R → R+ definida 
por 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 é chamada de função exponencial. 
Só está definida na base positiva. 
As funções exponenciais são muito úteis na 
modelagem de fenômenos naturais, como decaimento 
radioativo e crescimento populacional. Quanto maior a 
base, maior a taxa de crescimento. Exemplo: 
- Sob condições ideais, sabe-se que uma certa 
população de bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo 
que inicialmente existam 100 bactérias, o tamanho da 
população após t horas é: 𝒚 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟐
𝒕
𝟑 
 Propriedades da função 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙: 
1. f(0) = 1; 
2. f é crescente se, e somente 
se, a > 1; 
3. f é decrescente se, e somente 
se, a < 1; 
4. f é injetiva. 
 
 
 Propriedades da exponencial: 
 
 
 
 
 
 
A função exponencial é bijetiva, portanto, existe 
a sua inversa. Tal inversa é denominada função 
logarítmica. 
 Propriedades do Logaritmo: 
 
 
 
 
 Propriedades da função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂𝑿: 
1. f(1) = 0 
2. f é crescente se, e somente se, a > 1; 
3. f é decrescente se, e somente se, 0 <a < 1 
4. f é injetiva. 
5. Domínio (0, ∞) e imagem R 
 
Função exponencial 
Função logarítmica 
 A função logaritmo natural é a 
função 𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙, onde e = 2, 71828... (número 
de Neper). 
 Base na qual a reta tangente ao gráfixo de 
𝑦 = 𝑎𝑥 no ponto (0,1) possui inclinação 1. 
 O logaritmo natural é a inversa da função 
exponencial na base e: 
𝐼𝑛 𝑥 = 𝑦 → 𝑒𝑦 = 𝑥 
 Propriedades: 
1. 𝒇 (𝒙) = 𝒍𝒏 𝒙 é crescente; 
2. 𝒆𝐥𝐧 𝒙 = 𝒙 ∀ 𝒙 > 𝟎; . 
3. 𝒍𝒏 𝒆𝒙 = 𝒙 ∀ 𝒙 ∈ 𝑹; 
4. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙 𝒍𝒏 𝒂 ∀ 𝒂 > 𝟎 com 
a≠1. 
5. 𝒍𝒏𝟏= 𝟎 
 
. 
 
Uma função f : R → R dita par se f (−x) = f (x) ∀ x ∈ R. 
 O gráfico de uma função par é simétrico em 
relação ao eixo y. 
 Exemplos de funções pares: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝒏 com n 
∈ N par; 𝒇 (𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙. 
 A soma de duas funções pares é uma função 
par. Além disso, o produto de duas funções 
pares também é uma função par. 
 Podemos somar ou subtrair um número a uma 
função par e ela se manterá par. 
 Podemos multiplicá-las (ou dividi-las) por um 
número e a paridade se manterá. 
Uma função f : R → R dita ímpar se f (−x) = -f (x) ∀ x ∈ 
R. 
 O gráfico de uma função ímpar é simétrico em 
relação à origem. 
 Se já tivermos o gráfico de f para 𝑥 ≥ 0, 
poderemos obter o restante do gráfico girando 
esta parte 180º em torno da origem. 
 Exemplos de funções ímpares: 𝒇 (𝒙) =
 𝒙𝒏 com n ∈ N ímpar, 𝒇 (𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙, 𝒇 (𝒙) =
 𝒕𝒂𝒏 𝒙 
 A soma de duas funções ímpares é uma função 
ímpar. No entanto, o produto de duas funções 
ímpares é uma função par. 
 Somando ou subtraindo um número a uma 
função ímpar, a propriedade pode ser perdida. 
 Podemos multiplicá-las (ou dividi-las) por um 
número e a paridade se manterá. 
 
 O produto de uma função par com uma função 
ímpar resulta em uma função ímpar. 
 A única função que é par e ímpar ao mesmo 
tempo é a função nula: 𝒇(𝒙) = 𝟎. 
 
 
 
 
 
......................................................................................... 
 
Esse é o círculo 
trigonométrico, medido em 
radianos. 
Medimos o ângulo ϴ tendo 
como referência o semieixo x 
positivo, no sentido anti-
horário. 
A natureza periódica 
dessas funções torna-as adequadas à modelagem de 
fenômenos repetitivos, como marés e ondas sonoras. 
 
 Dado θ ∈ R e o ponto P = (x, y) do círculo, 
definimos: 
 sen θ = y (projeção de P no eixo y) 
 cos θ = x (projeção de P no eixo x); 
 
1. Observe que, ∀ θ ∈ R, 
2. −1 ≤ cos θ ≤ 1 e −1 ≤ sen θ ≤ 1; 
3. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = 𝟏; 
4. 𝒄𝒐𝒔(𝜽 + 𝟐𝝅) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 e 𝒔𝒆𝒏 (𝜽 + 𝟐𝝅) =
 𝒔𝒆𝒏 𝜽 (dizemos que essas funções são 
periódicas de período 2π); 
5. 𝒄𝒐𝒔(𝜽 + 𝝅) = − 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑒 𝒔𝒆𝒏 (𝜽 + 𝝅) =
 −𝒔𝒆𝒏 𝜽; 
6. 𝒄𝒐𝒔(−𝜽) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 (ela é uma função par, ou 
seja, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo 
y). 
7. 𝒔𝒆𝒏 (−𝜽) = −𝒔𝒆𝒏 𝜽 (ela é uma função 
ímpar, ou seja, seu gráfico é simétrico em 
relação à origem). 
 
 
 Funções cosseno e seno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções trigonométricas 
Funções par e ímpar 
 Função tangente 
 
 
 
𝒕𝒂𝒏 ∶ 𝑹 \ { 
𝝅
𝟐
 + 𝒌𝝅; 𝒌 ∈ 𝒁} → 𝑹 
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽
 
 
 Observe que a função tangente não está 
definida nos pontos { π 2 + kπ; k ∈ Z} onde cos 
θ se anula 
 𝒕𝒂𝒏(𝜽 + 𝝅) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽 (ela é periódica, de 
período π) 
 𝒕𝒂𝒏(−𝜽) = − 𝒕𝒂𝒏 𝜽 (ela é uma função 
ímpar — seu gráfico é simétrico em relação à 
origem) 
 A partir das funções trigonométricas 
elementares, definimos ainda as seguintes 
funções: 
 
 
1. Domínio 𝑠𝑒𝑐(𝑥) = 𝑹/ {
𝝅
𝟐
+ 𝑲𝝅; 𝑲 𝝐 𝒁} 
2. Domínio 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) = 𝑹/{𝑲𝝅; 𝑲 𝝐 𝒁} 
3. Domínio 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑥) = 𝑹/{𝑲𝝅; 𝑲 𝝐 𝒁} 
 
 
 
 
Funções trigonométricas 
inversas 
As funções trigonométricas não são realmente 
inversíveis, pois elas têm diversas entradas que têm a 
mesma saída. (Lembre-se que, para uma função ser 
inversa, é necessária uma bijeção, ou seja, a função 
deve ser injetora – nunca assume o mesmo valor duas 
vezes - e sobrejetora – conjunto imagem = 
contradominio - ao mesmo tempo). Por exemplo, 
𝑠𝑒𝑛(0) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋) = 0. Então, o que deveria ser 
𝑠𝑒𝑛−1(0)? 
Para definir as funções inversas, temos que 
restringir o domínio das funções originais a um 
intervalo em que elas sejam inversíveis. Esses 
domínios determinam o contradomínio das funções 
inversas. 
O valor do contradomínio apropriado que uma 
função inversa produz é chamado de valor principal da 
função. 
 Domínio [-1,1] – relação de igualdades para 
encontrar domínio de função trigonométrica 
inversa específica. 
ARCOSSENO ou 𝒔𝒆𝒏−𝟏(𝒙) é a inversa de 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 
 Contradomínio de arcsen(x) = [−
𝝅
𝟐
,
𝝅
𝟐
] 
 
ARCOCOSSENO ou 𝐜𝐨𝐬−𝟏(𝒙) é a inversa de 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 
 Contradomínio de arcocosen(x) = [𝟎, 𝝅] 
 
 
ARCOTANGENTE ou 𝒕𝒈−𝟏(𝒙) é a inversa de 𝒕𝒈(𝒙) 
 Contradomínio de arctan(x) = [−
𝝅
𝟐
,
𝝅
𝟐
] 
 
 
 Dessas, temos as seguintes 
relações: 
1. 𝒕𝒂𝒏²𝒙 + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄²𝒙 
2. 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏²𝒙 + 𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄²𝒙