9 Isomorfismos

Prévia do material em texto

Álgebra Linear
Isomorfismos.
(Álgebra Linear - Unifesp) 1 / 9
Isomorfismo e Automorfismo
Definição 5
Dizemos que uma transformação linear T : U → V é um isomorfismo
quando ela for bijetora. No caso em que U = V , dizemos que T é um
automorfismo. Além disso, dizemos que dois espaços vetoriais U e V
são isomorfos se existir um isomorfismo T : U → V .
As seguintes funções são exemplos de isomorfismos e, portanto, os
respectivos espaços vetoriais são isomorfos:
Exemplos
1 IU : U → U dada por IU(u) = u para todo u ∈ U.
2 T : Rn → Pn−1(R) dada por T (x1, . . . , xn) = x1 + x2t + · · ·+ xntn−1.
3 T : Mm×n(R)→ Rmn que associa a cada matriz A = (aij) de
Mm×n(R) o elemento (a11, . . . ,a1n, . . . ,am1, . . . ,amn) de Rmn.
(Álgebra Linear - Unifesp) 2 / 9
Sobre a matriz de um isomorfismo
Proposição 7
Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita com bases B e C,
respectivamente. T ∈ L(U,V ) é isomorfismo se, e somente se, [T ]BC
possui inversa.
Demonstração: (→) Basta usar a matriz da composta e a matriz da transformação
identidade: Idim U = [T−1 ◦ T ]BB = [T−1]CB [T ]BC e Idim V = [T ◦ T−1]CC = [T ]BC [T−1]CB .
(←) Se a inversa de [T ]BC existe, considere a transformação S cuja matriz em relação
às bases C e B é ([T ]BC)
−1. Pelo mesmo tipo de argumento anterior segue que
S = T−1 e, portanto, T é um isomorfismo.
(Álgebra Linear - Unifesp) 3 / 9
Definindo isomorfismos
Proposição 8
Sejam U e V dois espaços vetoriais de dimensão n e u1, . . . ,un e
v1, . . . , vn bases de U e V , respectivamente, então T : U → V dada
por T (α1u1 + · · ·+ αnun) = α1v1 + · · ·+ αnvn define um isomorfismo
entre U e V . Note que T (uj) = vj , para j = 1, . . . ,n.
Demonstração: Considerando que dimU = dimV , basta verificar que T é linear e T é
injetora.
(Álgebra Linear - Unifesp) 4 / 9
Resultados sobre isomorfismo e dimensão.
Proposição 9
Seja T : U → V um isomorfismo. Se U ou V tem dimensão finita,
então dimU = dimV .
Demonstração: Suponha dimU <∞. Lembre-se do Teorema do Núcleo e da
Imagem: se dimU <∞, então
dimU = dimN (T ) + dim Im(T ).
Como T é um isomorfismo, temos dimN (T ) = 0 e dim Im(T ) = dimV , de onde
segue dimU = dimV .
Similarmente, se dimV <∞. Use agora o Teorema do Núcleo e da Imagem para
T−1: se dimV <∞, então
dimV = dimN (T−1) + dim Im(T−1).
Como T−1 é um isomorfismo, temos dimN (T−1) = 0 e dim Im(T−1) = dimU, de
onde também segue que dimU = dimV .
(Álgebra Linear - Unifesp) 5 / 9
Resultados sobre isomorfismo e dimensão.
Conclusão: Pelos dois slides anteriores, dois espaços vetoriais de
dimensão finita são isomorfos se, e somente se, possuem a mesma
dimensão.
Corolário
Se dimU = n e dimV = m, então L(U,V ) é isomorfo a Mm×n.
Demonstração: Considere a conclusão acima e a dimensão de ambos os espaços
vetoriais.
(Álgebra Linear - Unifesp) 6 / 9
Exercícios 7
1 Verifique que as funções do exemplo anterior são isomorfismos e
que, portanto, os espaços em cada caso são isomorfos.
2 Verifique se T : R3 → R3 dada por
T (x , y , z) = (x − y , x − z, z − y) é um automorfismo.
3 Verifique se T : R3 → R3 dada por
T (x , y , z) = (x − y , x − z,−z − y) é um automorfismo.
4 Verifique se T : R2 → R2 dada por T (x , y) = (x + 2y ,−2y) é um
automorfismo.
(Álgebra Linear - Unifesp) 7 / 9
De volta a produtos internos em dimensão finita
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n.
Pergunta-se:
• Podemos sempre considerar algum produto interno neste
espaço?
Teorema 9: Produto interno induzido
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n sobre R. Considere
Rn com um produto interno 〈·, ·〉. Seja T : V → Rn uma transformação
linear injetora. Então, 〈·, ·〉T definido por
〈u, v〉T = 〈T (u),T (v)〉, ∀u, v ∈ V
é um produto interno em V .
Demonstração: As propriedades de produto interno para 〈·, ·〉T seguem
imediatamente da sua definição e das propriedades serem válidas para 〈·, ·〉.
(Álgebra Linear - Unifesp) 8 / 9
Operadores Lineares
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Uma transformação
linear T : V → V é chamada de operador linear. Nesse caso, a matriz
de T com relação a qualquer escolha de bases será uma matriz
quadrada de ordem igual a dimV .
Já vimos alguns exemplos em que a matriz de um operador linear
muda conforme mudamos as bases deste espaço. O próximo objetivo
é estudar quando estas matrizes assumem um formato bastante
específico.
Num sentido geral, uma parte de um curso avançado de Álgebra
Linear é devotada ao estudo de formas para a matriz de um operador
linear através da construção de bases bastante particulares.
(Álgebra Linear - Unifesp) 9 / 9