ALGEBRA LINEAR

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Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considre a forma bilinear B, dada por:
B:R2×R2→R, com B((x1,y1),(x2,y2))=−x1x2+2y1x2+5y1y2
De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 6 - Formas bilineares e quádricas, assinale a alternativa com a forma matricial de 
B:
Nota: 0.0
	
	A
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[0−152].[x2y2]
	
	
	B
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−2125].[x2y2
	
	
	C
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−1025].[x2y2]
CORRETA
	
	D
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−322−5].[x2y2]
	
	
	E
	B((x1,y1),(x2,y2))=[x1y1].[−10−52].[x2y2]
	
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Leia com atenção as informações abaixo:
Considere os vetores do R3
,u=(−1,2,3), v=(3,−4,5)   e   w=(8,1,2)
.
Dado que dois vetores são ortogonais se o seu produto interno é zero.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa correta:
	
	A
	Apenas os vetores u e v
	são ortogonais.
	
	B
	Os três vetores são ortogonais.
	
	C
	Apenas os vetores u e w
 são ortogonais.
Efetuando o produto interno entre os vetores, apenas u e w
tem produto interno igual a zero. Logo, apenas u e w são ortogonais.
u.v=(−1,2,3).(3,−4,5)=−3−8+15=4v.w=(3,−4,5).(8,1,2)=24−4+10=30u.w=(−1,2,3).(8,1,2)=−8+2+6=0
	
(livro-base p. 146).
	
	D
	Os vetores u, v, e w
	não são ortogonais entre si.
	
	E
	Não existe produto interno entre esses vetores.
Questão 3/10 - Álgebra Linear
De acordo com os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, seja a matriz A=[0−123]
.  São autovetores de A, os vetores:
Nota: 0.0
	
	A
	(−1, 2) e (−1, 1)
Determinamos o polinômio característico det(A−λI)=∣∣∣−λ−123−λ∣∣∣=−3λ+λ2+2=0⇒λ1=1,λ2=2.
Autovetores
λ1=1⇒Av=λv
Av−λv=[−x−y2x+2y]=[00]⇒x=−y.  Se x=-1, y=1, logo (-1,1)
λ1=1⇒Av=λv,
Av−λv=[−2x−y2x+y]=[00]⇒x=−2y.
	  Se x=-1, y=2, logo (-1,2).
(Livro-base p. 311-320).
	
	B
	(−1, −2) e (1, 1)
	
	
	C
	(2, 2) e (1, −1)
	
	
	D
	(2, −1) e (1, −1)
	
	
	E
	(3, −1) e (−1, −1)
	
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear
sobre base de autovetores, considere a transformação T:R2→R2 , definido por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y), cujos autovalores da matriz de transformação [T] são λ1=1 e λ2=−2. Assinale a alternativa com a base de autovetores da matriz de transformação de [T]
:
Nota: 0.0
	
	A
	{(1,−1),(4;0,25)}
	
	
	B
	{(−1,1),(2,1)}
	
	
	C
	{(1,−1),(1,1)}
	
	
	D
	{(1,0),(4,−1)}
	
	
	E
	{(1,1),(4,1)}
Comentário: 
A matriz de transformação é dada por:
[T]=A=[−34−12]
Devemos determinar os autovetores
[−34−12][xy]=1[xy](1,1)[−34−12][xy]=−2[xy](4,1){(1,1).(4,1)}
	
(livro-base p. 164-165)
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Leia a afirmação abaixo:
Existem algumas aplicações práticas para os conteúdos estudados na disciplina de Álgebra Linear.
Fonte: elaborado pelo autor da questão.
De acordo com o a afirmação acima e os conteúdos da vídeo aula 4 da rota de aprendizagem, assinale a alternativa que representa uma aplicação para produto interno, norma e ortogonalidade:
Nota: 10.0
	
	A
	GPS.
(Vídeo aula 4)
Você acertou!
	
	B
	Luz.
	
	C
	Chuveiro.
	
	D
	Receita de bolo.
	
	E
	Cozimento de alimentos.
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considere o espaço vetorial R2
. O produto interno canônico do R2 é definido por
(x1,x2)⋅(y1,y2)=x1y1+x2y2 para todos (x1,x2),(y1,y2)∈R2.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas:
I. Os vetores (1,3) e (3,−1) são ortogonais.
II. O vetor (−1√10,3√10) é unitário.
III. O conjunto {(−1,3),(2,1)} forma uma base ortogonal para o R2.
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
Como (1,3)⋅(3,−1)=0
, os vetores (1,3) e (3,−1) são ortogonais. Desse modo, a afirmativa I é verdadeira. O vetor (−1√10,3√10) satisfaz ∣∣∣∣(−1√10,3√10)∣∣∣∣=1, o que mostra que este vetor é unitário e a afirmativa II é verdadeira. Os vetores (−1,3) e (2,1)
	formam uma base, pois são LI, porem não são ortogonais. Item III é Falso. (livro-base p. 146-152).
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Considere o operador linear T, dado por
T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y)
.
De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 5 - Operadores, autovetores e autovalores, assinale a alternativa cujos valores são os autovalores de T
:
Nota: 10.0
	
	A
	λ1=2 e λ2=3
	
	
	B
	λ1=3 e λ2=1
	
	
	C
	λ1=4 e λ2=1
Você acertou!
Temos que a matriz T é dada por:
T=[3122]
Os autovetores são dados por:
T=∣∣∣3−λ122−λ∣∣∣=0λ1=4 e λ2=1
	
(Videoaula da Aula 5, tempo: 27'00")
	
	D
	λ1=−2 e λ2=2
	
	
	E
	λ1=5 e λ2=2
	
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Fundamentando-se nos conteúdos do livro-base Álgebra Linear, considere que:
I. Uma figura plana é rodada (rotação) no sentido trigonométrico de um ângulo θ=π6
, usando o operador linear T:R2→R2, com matriz canônica [cosθ−senθsenθcosθ].
II. Em uma figura plana é aplicado o cisalhamento na direção do eixo dos x, usando o operador linear L:R2→R2, com matriz canônica
[1−301]
.
A transformação do vetor (2,2), para T e L, são respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	(3√3−4, 1+√2) e (−3, 2)
	
	
	B
	(√3−2, 1+√2) e (−3, 2)
	
	
	C
	(2√3−1, 1+√2) e (−2, −2)
	
	
	D
	(√3−1, 1+√3) e (−4,2)
Você acertou!
Para T(x,y)=[cosθ−senθsenθcosθ].[xy]=⎡⎢⎣√32−1212√32⎤⎥⎦.[22]=(√3−1,1+√3)
.
Para L(x,y)=[1−301].[xy]=[1−301].[22]=(−4,2)
	.
(Livro-base p. 282-293).
	
	E
	(√3−1, 1+√2) e (−2, 2)
	
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considere a matriz A=[−2112−1].
De acordo com a matriz dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as alternativas e assinale aquela que apresenta um autovetor de A associado ao autovalor λ=2:
Av=λv
Nota: 0.0
	
	A
	[−13].
	
	
	B
	[10].
	
	
	C
	[74].
	
	
	D
	[35].
	
	
	E
	[14].
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Leia o texto a seguir:
"Dizemos que uma matriz An×n é diagonizável se seu operador associado TA:Rn→Rn  for diagonalizável, ou seja,  A é diagonalizável se A admitir n autovetores LI."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1986.
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico
sobre diagonalização, dada a matriz A=[110a]uma transformação linear do R2, assinale a alternativa com o valor de a para a qual a matriz A
é diagonalizável:
Nota: 0.0
	
	A
	a≠−2
	
	
	B
	a≠−1
	
	
	C
	a≠1
Comentário: Para que a seja diagonalizável, deve ter 2 autovetores LI ou seja, dois autovalores distintos. Então,
det(A−λI)=[1−λ10a−λ]=0
Logo, a≠1.
	
(livro-base p. 163-169)
	
	D
	a≠2
	
	
	E
	a≠0
	
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre base ortogonal e a base B={(1,2),(−2,1)}
ortogonal do espaço vetorial V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com a base ortonormal a base B
:
Nota: 0.0
	
	A
	B′=1√5{(1,2),(−2,1)}
Comentário: 
Temos que
u=u|u|=(1,2)√12+22=(1,2)√5v=v|v|=(−2,1)√(−2)2+12=(−2,1)√5
B′=1√5{(1,2),(−2,1)}
	
(Livro-base p. 150-152)
	
	B
	B′=1√5{(1,0),(0,1)}
	
	
	C
	B′={(1,2),(1,0)}
	
	
	D
	B′={(−2,2),(0,2)}
	
	
	E
	B′={1√5(−1,−2),13(−2,−1)}
	
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Leia a afirmação abaixo:
Existem algumas aplicações práticas para os conteúdos estudados na disciplina de Álgebra Linear.
Fonte: elaborado pelo autor da questão.
De acordo com o a afirmação acima e os conteúdos da vídeo aula 4 da rota de aprendizagem, assinale a alternativa que representa uma aplicação para produto interno, norma e ortogonalidade:
Nota: 10.0
	
	A
	GPS.
(Vídeo aula 4)
Você acertou!
	
	B
	Luz.
	
	C
	Chuveiro.
	
	D
	Receita de bolo.
	
	E
	Cozimento de alimentos.
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considere a matriz A=[−2112−1].
De acordo com a matriz dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as alternativase assinale aquela que apresenta um autovetor de A associado ao autovalor λ=2:
Av=λv
Nota: 10.0
	
	A
	[−13].
	
	
	B
	[10].
	
	
	C
	[74].
	
	
	D
	[35].
	
	
	E
	[14].
Você acertou!
Observamos que [−2112−1][14]=[28]=2[14],
o que mostra que [14] é autovetor de A associado ao autovalor λ=2 
(Livro-base p.161-163).
	
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Seja B = {(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)}
base do R3.   
De acordo com a base do R3
 dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, verifique se a base do R3
 dada é ortonormal.  Se não for, obtenha, a partir de B, uma base B' que seja ortonormal.
Nota: 10.0
	
	A
	B é base ortonormal.
	
	B
	B´={(1√3,1√3,1√3),(−2√6,1√6,1√6),(0,−1√2,1√2)}
 
Você acertou!
O conjunto é uma base, pois (1,1,1).(−2,1,1)=0,(1,1,1).(0,−1,1)=0 e (−2,1,1).(0,−1,1)=0.
 Porém não são ortonormais (base de vetores unitários).  Ortonormalizando os vetores: u1=v1|v1|=(1,1,1)√12+12+12=1√3.(1,1,1)u2=v2|v2|=(−2,1,1)√(−2)2+12+12=1√6.(−2,1,1)u3=v3|v3|=(0,−1,1)√02+(−1)2+12=1√2.(0,−1,1)
	
(livro-base p. 150-152
	
	C
	B´={(1√4,2√4,−3√4),(3√20,0,1√20),(1√5,−5√5,−3√5)}
	
	
	D
	B´={(1√5,2√5,−3√5),(3√10,0,1√10),(1√3,−5√3,−3√3)}
	 
	
	E
	B´={(−1√14,−2√14,3√14),(3√10,0,1√10),(1√35,−5√35,−3√35)}
	
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considere o operador linear T, dado por
T:R2→R2, com T(x,y,z)=(3x+y,2x+2y)
.
De acordo com as informações acima e com os conteúdos estudados na Videoaula da Aula 5 - Operadores, autovetores e autovalores, assinale a alternativa cujos valores são os autovalores de T
:
Nota: 10.0
	
	A
	λ1=2 e λ2=3
	
	
	B
	λ1=3 e λ2=1
	
	
	C
	λ1=4 e λ2=1
Você acertou!
Temos que a matriz T é dada por:
T=[3122]
Os autovetores são dados por:
T=∣∣∣3−λ122−λ∣∣∣=0λ1=4 e λ2=1
	
(Videoaula da Aula 5, tempo: 27'00")
	
	D
	λ1=−2 e λ2=2
	
	
	E
	λ1=5 e λ2=2
	
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2
o operador linear dado por T(x,y)=(x+2y,3x+2y). 
De acordo com no operador indicado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa:
I. (   ) A matriz de T com relação à base canônica do R2 é [1232].
II. (   ) O polinômio característico de T é p(λ)=λ2−3λ−4.
III. (   ) Os autovalores de T são λ1=2 e λ2=−4.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
Como T(1,0)=(1,3)
 e T(0,1)=(2,2), a matriz de T na base canônica do R2 é A=[1232]. Logo, a afirmativa I é verdadeira. O polinômio característico de T é definido por p(λ)=det(A−λI). Assim,
p(λ)=det[1−λ232−λ]=λ2−3λ−4, o que garante que a afirmativa II é verdadeira. Um autovalor de T é raiz do polinômio característico p(λ). Como
p(λ)=0⟺λ=−1 ou λ=4, concluímos que os autovalores de T são λ1=−1 e λ2=4.
	Portanto, a afirmativa III é falsa. 
(Livro-base p. 161-165).
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre base ortogonal e a base B={v=(1,2),u=(x,y)}
ortogonal do espaço vetorial V=R2 em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u:
Nota: 10.0
	
	A
	u=(−2,1)
Você acertou!
Comentário: Como B é uma base ortogonal do R2
	, implica que a dim(B) =2 e que (x,y)=0 ==> x=-2y.  Logo, u=(-2,1).
(livro-base p. 143-149)
	
	B
	u=(0,0)
	
	
	C
	u=(3,2)
	
	
	D
	u=(1,−2)
	
	
	E
	u=(−2,2)
	
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Fundamentando-se nos conteúdos do livro-base Álgebra Linear, considere que:
I. Uma figura plana é rodada (rotação) no sentido trigonométrico de um ângulo θ=π6
, usando o operador linear T:R2→R2, com matriz canônica [cosθ−senθsenθcosθ].
II. Em uma figura plana é aplicado o cisalhamento na direção do eixo dos x, usando o operador linear L:R2→R2, com matriz canônica
[1−301]
.
A transformação do vetor (2,2), para T e L, são respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	(3√3−4, 1+√2) e (−3, 2)
	
	
	B
	(√3−2, 1+√2) e (−3, 2)
	
	
	C
	(2√3−1, 1+√2) e (−2, −2)
	
	
	D
	(√3−1, 1+√3) e (−4,2)
Você acertou!
Para T(x,y)=[cosθ−senθsenθcosθ].[xy]=⎡⎢⎣√32−1212√32⎤⎥⎦.[22]=(√3−1,1+√3)
.
Para L(x,y)=[1−301].[xy]=[1−301].[22]=(−4,2)
	.
(Livro-base p. 282-293).
	
	E
	(√3−1, 1+√2) e (−2, 2)
	
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Considere o espaço vetorial R2
. O produto interno canônico do R2 é definido por
(x1,x2)⋅(y1,y2)=x1y1+x2y2 para todos (x1,x2),(y1,y2)∈R2.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas:
I. Os vetores (1,3) e (3,−1) são ortogonais.
II. O vetor (−1√10,3√10) é unitário.
III. O conjunto {(−1,3),(2,1)} forma uma base ortogonal para o R2.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
Você acertou!
Como (1,3)⋅(3,−1)=0
, os vetores (1,3) e (3,−1) são ortogonais. Desse modo, a afirmativa I é verdadeira. O vetor (−1√10,3√10) satisfaz ∣∣∣∣(−1√10,3√10)∣∣∣∣=1, o que mostra que este vetor é unitário e a afirmativa II é verdadeira. Os vetores (−1,3) e (2,1)
	formam uma base, pois são LI, porem não são ortogonais. Item III é Falso. (livro-base p. 146-152).
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.