0711188_09_cap_04

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Resumo dos Conceitos do Método de Equilíbrio Limite e 
Análise Numérica 
4.1. 
Características do Método de Equilíbrio Limite 
 O método permite a determinação do fator de segurança do talude, 
utilizando dados como as propriedades de resistência ao cisalhamento da rocha e 
das descontinuidades, a pressão de poro e outras propriedades do maciço. As 
análises consistem em determinar se existe resistência suficiente no talude (rocha 
ou solo) para suportar as tensões de cisalhamento que tendem a provocar a falha 
ou deslizamento. 
 A maioria dos métodos de análise de equilíbrio limite tem em comum a 
comparação das forças ou momentos resistentes e os atuantes sobre uma 
determinada superfície de deslizamento. 
 
4.1.1. 
Conceito de Fator de Segurança 
 Segundo Fellenius (1922), o fator de segurança é uma relação entre a 
resistência ao corte real do talude e a tensão de corte crítica que tentam provocar a 
falha, ao longo de uma suposta superfície: 
 
 4.1 
 
 Nas superfícies de falha circulares, onde existe um centro de giro e 
momentos resistentes e atuantes, o fator de segurança fica definido por: 
 
 4.2 
 
 
 
 
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4.1.2. 
Conceito de Superfície de Falha 
 Esse conceito é utilizado para indicar aquela superfície assumida ao longo 
da qual possa ocorrer o deslizamento ou a ruptura do talude. O método de 
equilíbrio limite define que o fator de segurança é igual para todos os pontos ao 
longo da superfície da falha. Se a falha ocorre, esta assume que as tensões de 
cisalhamento são iguais em todos aqueles pontos. 
 Geralmente se determina uma série de superfícies de falhas para 
determinar aquela superfície que apresenta o valor mínimo de fator de segurança, 
a qual é denominada superfície crítica de falha. 
 
4.1.3. 
Parâmetros Utilizados nas Análises de Equilíbrio Limite 
 Existe uma série de fatores primários que devem ser considerados devido a 
sua influência na estabilidade. Entre esses fatores inclui-se a geometria do talude, 
a geologia estrutural, presença de trinca de tração, cargas dinâmicas devidas a 
sismos, fluxo de águas subterrâneas, condições de drenagem ou não drenagem, 
propriedades de resistência, etc. 
 
4.1.4. 
Métodos de Equilíbrio Limite 
 Todos os métodos supõem que no caso da falha, as forças atuantes e 
resistentes são iguais ao longo de uma superfície de falha e equivalentes a um 
fator de segurança de 1,0. 
 As análises podem ser feitas estudando toda a superfície de falha ou 
dividindo a massa deslizada em parcelas ou lamelas (slices). O método das 
lamelas foi desenvolvido por Petterson & Fellenius (1936), ao longo do tempo o 
método foi aperfeiçoado. Alguns dos métodos que foram logo desenvolvidos 
foram de tipo preciso ou aproximado, mas geralmente todos aplicam iteração e 
cada um de eles posse certo grau de precisão. Dentro dos mais utilizado nos 
últimos 50 anos encontra-se o método de Bishop (1955) e Janbú (1954), mas os 
métodos mais precisos e complexos são os métodos apresentados por Morgenstern 
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& Price (1965) e Spencer (1967) que, ajudados por programas computacionais 
permitem realizar uma análise muito rigorosa da estabilidade do talude. 
 
4.1.5. 
Limitações do Método de Equilíbrio Limite 
 Algumas das limitações do método de análise são listadas a seguir: 
• São baseados somente numa análise estática: Como é um método de 
análise estático, além de não levar em contas as deformações e 
distribuição de tensões, em muitos casos não é possível realizar uma 
análise realista da situação; 
• Supõe tensões uniformemente distribuídas: Deve se tomar cuidado 
com as concentrações de tensões devidas à forma da superfície de 
falha ou a interação rocha-descontinuidade; 
• Os modelos de falha que utilizam são muito simples: Os modelos com 
o método de equilíbrio limite são completamente inadequados se os 
processos e mecanismos de falha são complexos, especialmente 
quando estão presentes deformações e deslocamentos progressivos, 
fluxos, etc. 
 
4.1.6. 
Método das Lamelas ou “Slices” (Abramson et al. 1995) 
O método das lamelas está baseado na discretização da zona ou área 
mobilizada e limitada pela superfície de falha, analisando cada uma das lamelas 
de maneira individual como um único bloco deslizando. O método é o mais 
aplicado pelos programas computacional devido à facilidade em se adequar com 
geometrias complexas, com condições variáveis de solo ou rocha e com a 
influência de cargas externas. 
Todo método de equilíbrio limite para uma análise de estabilidade de talude 
divide o maciço num número n de pequenas lamelas ou slices (ver Figura 4.1). 
Cada uma das lamelas é afetada por um sistema geral de forças (ver Figura 4.2). A 
“linha de pressão” ou “linha de empuxo” que indica a Figura 4.1 conecta os 
pontos de aplicação das forças inter lamelas, Zi. 
 
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n = 13 slices
Nivel Freatico
Superficie de Falha
Carregamento na 
superficie
 
Figura 4.1 - Divisão em lamelas ou “slices” de uma potencial massa de deslizamento. 
W
Uβ
Q δ
kv
Linha de pressão ou 
linha de empuxe
ZR
ZL
kh
β
Superf ície de 
cisalhamento assumida
θR
θL
N’ +Uα
Sm = Sa / F
W
Uβ
Q δ
ZR
ZL
kh
β
b
Ponto meio da 
dovela
hR
hL
hc
 
Figura 4.2 - Divisão Forças agindo sobre uma lamela ou “slice”. 
 
FS ou F: Fator de Segurança. ZL: Força esquerda entre lamela ou “slices”. 
Sa : Resistência ao Cisalhamento. ZR: Forca direita entre lamela ou “slices”. 
 = c + N’ tg � θL: Ângulo esquerdo da força entre lamela ou “slices”. 
Sm : Força atuante. θR: Ângulo esquerdo da força entre lamela ou 
“slices”. 
Uα : Força devido ‘a poro pressão. hL: Altura da força ZL. 
Uβ : Força gerada pela superfície de água. hR: Altura da força ZR`. 
W: Peso da lamela ou “slice”. α: Inclinação da base da lamela ou “slice”. 
N’: Força efetiva normal. β: Inclinação do topo da lamela ou “slice”. 
Q: Carregamento externo. b: Largura da lamela ou “slice”. 
kv : Coeficiente vertical sísmico. h: Media da altura das lamela ou “slices”. 
kh : Coeficiente horizontal sísmico. hc: Altura do centróide da lamela ou “slice”. 
 
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A localização da “linha de pressão” ou “linha de empuxo” pode se assumir 
como no caso do método de Janbu (1973), ou pode se determinar aplicando um 
método rigoroso de análise que satisfaça completamente o equilíbrio. 
No método das lamelas ou “slices” existem (6n - 2) incógnitas como se 
detalha na Tabela 4.1. Onde quatro equações que podem ser escritas a partir de 
um equilíbrio limite para o sistema, fornecendo uma solução estaticamente 
indeterminada. Mesmo assim, é possível determinar a solução com uma redução 
do número de incógnitas determinado por certas suposições. Uma das suposições 
mais comuns é que a força normal age no ponto médio da lamela, reduzindo o 
número de incógnitas a (5n - 2). Logo é necessário mais uma suposição de (n-2) 
para tornar o problema determinável. 
 
Tabela 4.1- Equações e incógnitas associadas com o Método das Lamelas ou “Slices”. 
 
Equação 
n
2n
n
4n
Incógnita 
1
n
n
n
n-1
n-1
n-1
6n-2
Posição da força entre lamelas ou "slices" (linha de pressão ou 
linha de empuxe)
Numero total de incógnitas
Fator de Segurança. FS
Força Normal na base de cada lamelas ou “slice”, N’ 
Posição da força normal
Força de cisalhamento na base de cada lamelas ou “slice”.
Força entre dovelas ou “slices”, Z
Inclinação da força entre lamelas ou “slices”,θ 
Condição 
Equilibrio do Momento para cada lamelas 
Equilibrio de Forças em dúas direções (para cada lamela) 
Relação de Mohr- Coulomb entre a resistência ao cisalhamento e 
a tensão efetiva normal.
Numero total de equações 
Variável 
 
 
Um dos métodos maispopulares nas análises de equilíbrio limite e que 
aplica uma formulação mais generalizada oferecendo modelar de uma maneira 
mais discreta que o método de Morgenstern & Price (1965) é o método General 
de Equilíbrio Limite (GLE) (Chugh, 1986). O método pode ser usado tanto para o 
equilíbrio de forças como para o equilíbrio de momento ou, se for necessário, 
somente em condições de equilíbrio de forças. 
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O procedimento do GLE consiste na seleção de uma função apropriada que 
descreva a variação dos ângulos das forças entre lamelas de forma de conseguir o 
equilíbrio completo. Em contraste, o procedimento geral de Janbu assume a 
posição da “linha de pressão” ou “linha de empuxo” e logo procede ao cálculo do 
ângulo das forças entre lamelas de forma de satisfazer o equilíbrio. Em teoria seria 
mais fácil assumir uma “linha de pressão” ou “linha de empuxo”, mas na 
realidade, os programas computacionais são muito sensíveis e podem gerar 
problemas numéricos na convergência da falha que forneça uma solução precisa 
do fator de segurança, FS. 
O Método Simplificado de Bishop (1955) e o Método de Janbu (1954, 1957, 
1973) são populares pela facilidade e rapidez que apresenta o cálculo do fator de 
segurança, FS. O problema destes é não satisfazer completamente o equilíbrio de 
força e momento e, que existe a possibilidade de que fatores de seguranças 
determinados por esse métodos sejam diferentes em comparação com fatores de 
seguranças determinados com métodos que satisfazem completamente a condição 
de equilíbrio. 
No caso de superfícies de falha circular, o FS determinado pelo Método de 
Bishop usualmente fornece de resultados maiores que valores determinados com o 
Método de Janbu. O erro dos valores determinados pelo método de Bishop 
geralmente de 5 % em relação a valores determinados por um método mais 
rigoroso como o GLE. Sendo assim, o Método Simplificado de Bishop é altamente 
recomendável para superfícies de falha circular. Enquanto que o método de Janbu 
é mais flexível e sua formulação pode ser aplicada na determinação de FS de 
superfície circular ou não circular. 
 Geralmente a aplicação do método de GLE se deve a sua confiabilidade na 
obtenção de resultados, principalmente porque suas equações satisfazem o 
equilíbrio de força e momento numa analise e, o numero de supostos aplicados é 
menor que os utilizados por os outros métodos. (Ver Tabela 4.2). 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 4.2 - Condições de Equilíbrio Estático Satisfeita pelos Métodos de Equilíbrio 
Limite. (Abramson et al, 2002) 
 
X Y
Não Não
Sim Não
Sim Sim 
Sim Sim
Sim Sim
Sim Sim
Sim Sim
Sim Sim
Sim Sim
Sim Sim
Sarma
Morgenstern - Price (GLE) Sim
Não 
Não 
Não 
Sim
Sim
Não 
Sim 
Lowe and Karafiath
Corpo de engenheiros
Spencer
Rigoroso de Bishop
Generalizado de Janbu
Sim
Sim
 Ordinário das Lamelas
Equilibro de força Equilíbrio de MomentoMétodo
Simplificado de Bishop
Simplificado de Janbu
 
 
Método Generalizado de Equilíbrio Limite 
O método GLE é uma extensão do procedimento de Spencer (1973). O 
método adota uma função para determinar o ângulo da forca entre 
lamelas sobre o lado direito da lamela i como mostra a Figura 4.2. A função 
, varia entre 0 e 1 e, essencialmente representa a forma da distribuição 
utilizada para descrever o ângulo da força entre lamelas (Ver Figura 4.3). Adotar 
essa função satisfaz (n - 1) suposições, deixando o ângulo da força entre lamelas e 
o valor de como uma incógnita adicional, a qual é introduzida como (n - 2) 
incógnitas. 
A formulação utilizada aplica uma forma discreta de uma função continua 
f(x), para calcular a função de cada contorno entre lamelas, utilizando os ângulos 
que apresenta a Figura 4.2, e para a face vertical direita e esquerda das 
lamelas. Para um contorno de uma lamela típica, , onde x é a 
coordenada no eixo x da face direita da lamela selecionada. 
Equilíbrio de Forças: O método de GLE supõe que as resultantes das forças 
entre lamelas, ZL e ZR, estão inclinadas e na face direita e esquerda de cada 
lamela como mostra a Figura 4.2. As forças entre lamelas são um total de forças, 
que junto com a componente hidrostática ao longo dos contornos entre lamelas 
não são consideradas forças agindo separadamente. As forças hidrostáticas entre 
lamelas podem ser consideradas numa análise separada, mas dificulta-se na hora 
de serem aplicadas para distintos tipos ou camadas de solo ou zonas com distintas 
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superfícies de água. Se o equilíbrio de forças é considerado numa direção paralela 
à base de cada lamela logo, 
 4.3 
 
e se a resistência determinada pelo critério de Mohr-Coulomb se adota como a 
resistência mobilizada: 
 
 4.4 
 
logo, substituindo a equação 4.4na equação 4.3, tem-se a seguinte expressão: 
 
 
 4.5 
 
O outro equilíbrio de forças formula-se para a direção normal à base da 
lamela: 
 
 4.6 
 
 Substituindo a equação 4.6 na equação 4.5, pode se determinar o seguinte 
equilíbrio de forças: 
 
 
 4.7 
 
onde o fator A8 é obtido por: 
 
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 4.8 
 
Equilíbrio de Momentos: A condição para o equilíbrio de momentos é dada 
pelos momentos provocados por todas as forças de todas as lamelas com relação 
ao ponto médio da base da lamela, como mostra a Figura 4.2, o qual gera a 
seguinte equação: 
 
 
 4.9 
 
 A equação 4.9 simplifica-se para localizar a força entre lamelas, hR, na 
face direita de cada lamela aplicando-se: 
 
 
4.10 
O método GLE aplica as equações 4.7 e 4.10 iterativamente até satisfazer 
completamente o equilíbrio de força e momentos para todas as lamelas. Uma vez 
que o fator de segurança, FS, é determinado, a força total normal, vertical, e 
tensões cisalhantes na base de cada lamela podem ser calculadas aplicando as 
seguintes equações: 
 4.11 
 
 4.12 
 
 4.13 
 
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 Procedimento para a Solução: A solução do GLE se determina aplicando 
os seguintes passos: 
1. Supõe-se uma distribuição do ângulo da força entre lamelas com 
para a primeira lamela e um na última com um valor de zero; 
2. Determina-se o fator de segurança, FS, que permite que as equações 4.5 
e 4.8 satisfaçam o equilíbrio de forças, de tal forma que ZR na última 
lamela (no topo) é igual às força nos contornos. Essa força será igual à 
força hidrostática gerada pela água numa trinca de tração preenchida 
com água no topo do talude. Se não existe trinca de tração preenchida 
com água gerando uma força, a força nesse contorno será zero; 
3. Conservando as forças entre lamelas calculadas, ZL e ZR, que foram 
parte da solução do fator de segurança, FS; 
4. Aplicando a força entre lamelas determinadas no passo (3) e, aplicando 
a equação 4.8 para calcular a magnitude dos ângulos da forças entre 
lamelas , que satisfaz o equilíbrio de momento, tal que hR para a 
última lamela é zero ou igual à localização da força hidrostática dentro 
da uma trinca de tração preenchida com água. Esses cálculos são 
realizados seqüencialmente para cada lamela, começando com o 
conhecimento que e para a primeira lamela (no pé) serão iguais a 
zero. 
5. Repetem-se os passos 2 ao 4, até que os fatores de seguranças e os 
ângulos das forças entre lamelas estejam dentro dos limites admissíveis. 
6. Calcular as tensões, normais, verticais, e de cisalhamento na base de 
cada lamela, aplicandoas equações 4.11, 4.12. 4.13, que permitam 
determinar a razoabilidade dos fatores de seguranças calculados. 
 
 
4.2. 
Análise Numérica 
Segundo Lorig & Varona (2001), os modelos numéricos são programas 
computacionais que pretendem representar o comportamento mecânico de um 
maciço rochoso que apresenta certas condições iniciais como, tensões in situ, 
níveis de água, condições de contorno e modificações induzidas como pode ser a 
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escavação de um talude ou mina subterrânea. O resultado obtido do modelo pode 
representar uma situação de equilíbrio ou de colapso. No caso de se modelar uma 
situação de equilíbrio, os dados que o modelo fornece em relação às tensões e 
deslocamentos podem ser comparados com informação anteriormente 
determinada. Se o modelo determina o colapso do talude ou da escavação 
subterrânea, o modelo torna-se do tipo preditivo, onde a falha devido às condições 
iniciais ou induzidas tem sido demonstrada. 
O maior beneficia nesse tipo de modelagem é a possibilidade de determinar 
as variações de tensões e deslocamentos e, a aplicação de modelos constitutivos 
para determinar o comportamento dos materiais e descontinuidades dentro de um 
talude (Sjoeberg, 1999). 
Para o caso do modelo constitutivo que representa o comportamento das 
juntas ou descontinuidades, o mais comum é um modelo elásto-plástico 
perfeitamente linear, onde a resistência ao cisalhamento está definida usualmente 
por os parâmetros de Mohr-Coulomb (ângulo de atrito e coesão). A resistência de 
pico e residual das juntas pode ser também especificada dentro do modelo, onde a 
resistência residual é usada depois que a junta falhe por cisalhamento na 
resistência de pico. 
No caso do maciço rochoso, este é representado por zonas ou elementos 
dentro dele. Para cada uma dessas zonas se atribui um modelo constitutivo que 
define o comportamento do material representado por uma relação tensão x 
deformação. O caso mais simples utilizado para o maciço é um modelo do tipo 
elástico linear. Os modelos constitutivos mais comuns para representar o 
comportamento segundo a relação tensão x deformação do maciço rochoso sobre 
o qual só atuam cargas gravitacionais são o modelo elásto-plástico perfeito ou o 
modelo elásto-plástico perfeito com abrandamento, modelos que geralmente 
utilizam os parâmetros de resistência de Mohr-Coulomb para limitar as 
propriedades de resistência ao cisalhamento de cada zona ou elemento com que o 
maciço foi representado. O segundo modelo representa de melhor forma o 
comportamento do tipo frágil característico das rochas submetidas a solicitações 
típicas que ocorrem no âmbito da mineração. 
É importante ressaltar que o modelo elástico-perfeito, no caso da 
estabilidade dos taludes, tende a aumentar a resistência ao cisalhamento do 
material quando não é aplicado de forma correta. 
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O critério de falha aplicado na maioria dos casos é o critério empírico de 
Hoek e Brown, o qual geralmente é aplicado de forma indireta nas análises 
numéricas na determinação dos parâmetros de resistência ao cisalhamento de 
Mohr-Coulomb estimados a partir da superfície de falha tangente à determinada 
pelo critério de Hoek e Brown para certas tensões de confinamento. (Lorig & 
Varona , 2001). 
Lorig & Varona (2001) expuseram que umas das dificuldades que apresenta 
a modelagem numérica são a representação do tipo de falha progressiva, falha 
mais comum nas rupturas ou deslizamentos nos maciços rochosos. 
 A principal causa são as características que desenvolve cada tipo de falha, 
por exemplos: mecanismos devido à acumulação de deformações nas estruturas 
principais e/ou no maciço rochoso, aumento do poro pressão e, o “creep”, o qual 
define deformações dos materiais dependentes do tempo por causa das cargas 
constantes. 
As escavações e as suas seqüências dependentes do tempo é a principal 
causa do acumulo gradual das deformações dentro das estruturas principais do 
maciço rochoso. Para o estudo e as análises de falha progressiva devido às 
escavações é necessário introduzir dentro do modelo as características de 
comportamento depois que o material alcance a resistência pico ou depois da sua 
falha. Na prática existem dificuldades associadas com o modelo de tensão x 
deformação do maciço rochoso referido à estimativa da resistência depois que o 
material alcance a resistência pico e a deformação sobre a qual o material comece 
a degradar a sua resistência. Esse tipo de informação não é possível se determinar 
de forma empírica, sendo assim, aparece como uma solução a estimativa dos 
parâmetros através da calibração dessas propriedades. 
Lo & Le (1973) demonstraram que na condição de ruptura progressiva, a 
estabilidade num talude pode ser superestimada se os parâmetros de pico são 
utilizados para as análises, ou também pode ser subestimada quando os 
parâmetros de resistência residual são aplicados. As condições principais para que 
ocorra a ruptura progressiva são: um comportamento do tipo strain-softening 
(deformação com abrandamento) e a não uniformidade das tensões cisalhantes, o 
qual pode se representar razoavelmente com o modelo constitutivo anteriormente 
mencionado elásto-plástico com abrandamento. Na hora de aplicar um modelo, 
uma das decisões importante está relacionada com o tipo de análise que deve ser 
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efetuado, onde tudo vai estar condicionado ao modelo geológico e as 
características estruturais pertencentes ao maciço rochoso. Segundo essas 
condições vai se determinar se a análise ótima será o modelo de duas ou três 
dimensões. 
Lorig & Varona (2001) afirmaram que uma análise tridimensional é 
recomendada e requerida quando ocorrem as seguintes situações: 
• A direção das principais estruturas geológicas não está dentro da faixa 
dos 20 a 30° em relação à direção do talude; 
• Os eixos do material anisotrópico não estão numa direção dentro da 
faixa dos 20 e 30° em relação à direção do talude; 
• As direções das principais tensões não são nem paralelas nem 
perpendiculares ao talude; 
• A distribuição das unidades geomecânicas varia ao longo da direção 
do talude; 
• A geometria do talude projetada não possa ser representada num 
modelo de duas dimensões, o qual assume um modelo assimétrico e 
deformações planas. 
O próximo passo a seguir na aplicação de um modelo é a decisão de utilizar 
um modelo contínuo ou descontínuo. Nesse caso não existem condições ou regras 
para analisar com um tipo de código ou outro. Tendo em vista que todo maciço 
apresenta estruturas ou descontinuidades, existem análises muito úteis que tem 
sido feitas, principalmente no que se refere à estabilidade global dos taludes, 
assumindo-se meios equivalentes contínuos para a representação do maciço 
rochoso. Esse ponto é explicado tão simplesmente quando um talude se apresenta 
instável sem estruturas ou descontinuidades, onde, não vai ser necessária sua 
análise com um modelo descontínuo que, obviamente apresentaria uma situação 
mais desfavorável. Mas, se por outro lado, o modelo contínuo se apresenta 
razoavelmente estável, deve se incorporar dentro do modelo as principais 
estruturas ou descontinuidades com o objetivo de fornecer uma maior precisão na 
estimativa do comportamento do talude. 
 
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4.2.1. 
Modelos Contínuos 
Os modelos contínuos são reconhecidos pela sua utilidade na representação 
e análise de taludes de solo, maciços de rocha intacta, rochas brandas ou materiais 
altamente fraturados que simule um solo. Dentro desse grupo se encontram os 
métodos de elementos finitos e diferenças finitas onde, para ambos os casos a área 
do problema é dividida e discretizada num grupo de subdomínios ou elementos. A 
solução desses problemasestá baseada em aproximações numéricas das equações 
de equilíbrio, tensão x deformação, e deformação x deslocamento. 
Como característica principal para a solução dos problemas, os modelos 
contínuos não são capazes de representar ou descrever a trajetória de falha, mas a 
resposta da análise é determinada pela localização ou pré-visualização das 
variações e concentração de tensões e deformações dentro do modelo. 
O problema com os modelos contínuos está relacionado com a suposta 
“superfície de falha”, a qual, ao não estar bem definida e se assumir uma como 
“possível”, em alguns casos pode levar ao erro, principalmente nos casos dos 
taludes de grande altura e as suas distintas etapas de escavação (variação de 
tensões e deformações em cada etapa). 
 
4.2.2. 
Modelos Descontínuos 
Em relação aos modelos descontínuos, são programas que requerem 
inicialmente a localização das descontinuidades ou estruturas geológicas pré-
existentes no maciço rochoso antes de começar a análise. Com diferença dos 
modelos contínuos, esses representam as descontinuidades com a existência de 
contatos ou interfaces entre corpos discretos que compõem o sistema. 
Utilizam-se modelos numéricos ou constitutivos capazes representar dois 
tipos de comportamentos mecânicos dentro do sistema descontínuo: o 
comportamento da descontinuidade e, o comportamento do material sólido, além 
de reconhecer a presença das interfaces ou contatos existente entre os corpos 
discretos dentro do sistema. 
No caso das descontinuidades, os modelos constitutivos que representam o 
comportamento delas, podem-se dividir em dois grupos, os quais dependem da 
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forma de tratar o comportamento na direção normal ao movimento dos contatos: o 
primeiro grupo (uma aproximação utilizando contato brando “soft-contact”), uma 
rigidez finita na direção normal é aplicada para representar a rigidez mensurável 
que existe nos contatos ou juntas. O segundo grupo (utilizando uma aproximação 
de contato duro “hard-contact”) considera que não existe interpenetração física e, 
algoritmos são aplicados para prevenir que exista qualquer interpenetração de dois 
corpos em contato. 
O segundo tipo de comportamento representado pelos modelos descontínuos 
é o do material sólido (partículas ou blocos) dentro do sistema descontínuo. Nesse 
contexto existem duas divisões: o material pode ser considerado rígido ou 
deformável. Assumir o material rígido é bom quando as maiores deformações do 
sistema estão sendo provocadas pelo movimento nas descontinuidades. 
Se a deformação do material sólido não pode ser obtida, dois métodos 
podem ser aplicados para incluir a deformabilidade. No método direto para incluir 
a deformabilidade, o corpo se divide em elementos internos ou de contorno em 
ordem de incrementar o número de graus de liberdade. A possível complexidade 
da deformação depende do número de elementos internos que o corpo é dividido. 
Por exemplo, o software UDEC do grupo Itasca, discretiza automaticamente 
qualquer bloco em elementos triangulares com zonas de deformação constante. 
Se aplicar um modelo elástico, a formulação dessas zonas é igual à utilizada 
para os elementos finitos de deformação constantes. Dentro dessas zonas também 
poderiam se aplicar um modelo constitutivo no linear. Nesse caso a desvantagem 
se apresenta em aqueles corpos complexos, o que significa necessariamente 
dividi-lo em muitas zonas, o que complica a análise ainda para aqueles modelos 
mais simples. 
 
 
4.2.3. 
Fatores Influentes dentro da Modelagem Numérica 
 Outros aspectos mencionados por Lorig & Varona (2001) a levar em conta 
dentro da modelagem numérica e que adquirem uma importância nos resultados 
que fornecem esse tipo de análise são: 
Condições Iniciais 
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São aquelas condições que existem na região antes do processo de 
mineração. As condições iniciais de importância para a região onde será 
localizada a mina são o campo de tensões in situ e as condições das águas 
subterrâneas. 
A vantagem que apresentam os softwares para análise de tensões in situ é a 
capacidade que têm para incluir o estado de esforços iniciais na etapa pré-
mineração na análise de estabilidade e determinar sua influência. 
Em geral, é impossível dizer a importância que o estado inicial de tensões 
vai ter para algum problema em particular. Algumas analisem têm permitido 
observar efeitos das tensões in situ para a estabilidade, como por exemplo: 
• Os maiores valores de tensões iniciais horizontais provocaram maiores 
deslocamentos elásticos horizontais. (porém não é um dado muito útil, 
pois os deslocamentos elásticos não são de grande importância dentro 
das análises de taludes); 
• Tensões horizontais iniciais no plano de análise que sejam menores 
que as tensões verticais, provocam uma diminuição leve da 
estabilidade; 
• É importante notar que a topografia regional poderia limitar um 
possível estado de tensões, particularmente em regiões mais elevadas 
aos vales regionais. 
Condições de Contorno 
As condições de contorno que se incluem no modelo podem ser do tipo real 
ou artificial. Na prática, num caso real, as condições de contorno estão 
relacionadas às zonas escavadas, as quais, usualmente estão livres de tensões. Para 
o caso das condições artificiais na prática não existem. 
Na hora de uma análise de estabilidade, dentro de um problema, o meio real 
se traduz num domínio que inclui somente a área de interesse. No caso de realizar 
a análise com contornos artificiais, aplicam se dois tipos: contornos com 
deslocamentos prescritos ou contornos com tensões prescritas. 
Quando se refere a deslocamentos prescritos, os contornos se inibem de 
deslocamentos na direção vertical ou horizontal, ou para ambas as direções. Os 
deslocamentos na base do modelo são sempre fixados na direção vertical e 
horizontal com o objetivo de evitar a rotação do modelo. Existem duas condições 
que devem ser consideradas em relação ao deslocamento perto do pé do talude. A 
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primeira consideração é que o deslocamento perto do pé deve ser evitado somente 
na direção horizontal. Essa é uma condição mecanicamente correta para um 
problema perfeitamente simétrico em relação ao plano ou eixo que representa o 
contorno do pé. Estritamente, é uma condição assumida para taludes infinitos de 
comprimento, que são modelados em duas dimensões ou para talude com eixo 
simétrico, onde o “pit” geometricamente seria um cone perfeito. É importante 
notar que as dificuldades com as condições de contorno no pé dos taludes são 
usualmente produto de assumir um modelo em duas dimensões. Nos modelos em 
três dimensões geralmente esse problemas não existem. 
Na maioria dos casos de análise de estabilidade de talude são aplicados 
condições de contornos com deslocamentos prescritos. São poucos os casos onde 
se aplicam condições de contorno de tensões prescritas. Nos casos que são 
aplicadas, essas devem estar em combinação com as suposições do estado inicial 
de tensões de forma que o modelo mantenha seu estado de equilíbrio. 
Efeito das Águas Subterrâneas 
Existem dois métodos aplicados comumente para especificar a distribuição 
da pressão de poro dentro dos taludes. O método mais rigoroso, esta baseada 
numa análise completa de fluxo e aplicar os resultados do poro-pressão nos 
estudos de estabilidades. Um método menos rigoroso, porém mais utilizado, 
aplica uma linha no nível de água, onde os resultados do poro-pressão são 
fornecidos pelo produto da profundidade vertical embaixo do nível de água pelo 
peso especifico da água (caso hidrostático). 
Estudos feitos para determinar o erro entre ambos os métodos (linha de água 
e análise de fluxo) demonstra que a maior diferença que existe em relação à 
concentração do poro-pressãoseria nas zonas perto ao pé do talude, mas nas zonas 
atrás das paredes do talude a diferença entre esse resultados são menores que 5%, 
levando em consideração as análises foram feitas para um meio homogêneo e 
isotrópico. 
A conclusão exposta por Lorig & Varona (2001) sobre a não influência 
dentro de uma análise de estabilidade aplicando valores de poro-pressão obtidos 
por um ou outro método, tem como aclaração que não se pode aplicar como uma 
regra pra todo tipo de meios, como por exemplo, fluxo em meios anisotrópicos. 
Seqüência de Escavação 
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 Conceitualmente, simular a seqüência de escavação dentro de uma análise 
numérica não tem muita dificuldade. A dificuldade que apresenta a modelagem 
está relacionada diretamente com a quantidade de etapas de escavação que 
pretenda se representar. Conseguir uma boa representação de várias etapas de 
escavação fornecerá uma solução mais precisa devido à determinação de uma 
melhor trajetória de carga ou descarga em qualquer região do talude. Entretanto, 
na maior parte das análises de taludes, a estabilidade está condicionada 
principalmente às condições do talude, como a geometria, a distribuição do poro-
pressão no tempo de análise e, numa pequena porção da trajetória de cargas 
devido às etapas de escavação. 
Interpretação dos Resultados 
 O comportamento dos sistemas numéricos e os resultados que fornecem os 
modelos devem ser interpretados da mesma forma. Os programas de diferenças 
finitas e elementos distintos gravam dados de deslocamentos e velocidade para 
pontos determinados dentro do maciço rochoso. Durante uma análise, os 
resultados fornecidos podem ser examinados e é possível ver se seus valores estão 
aumentando, são constantes ou decrescentes. Um aumento dos valores de 
deslocamento e velocidade é um indicador de uma situação de instabilidade, 
deslocamentos com valores constantes e diminuição das velocidades indicam uma 
situação estável. Campos de velocidades e deslocamentos constantes indicam uma 
região de falha. 
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