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PRÉ-ANPEC 
Estatística 
Diego Rafael Fonseca Carneiro 
 
AULA 03 – Probabilidade 
 
 
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AULA 03: Probabilidade 
Definição: Sejam ε um experimento e S um espaço amostral associado 
ao experimento. Uma função X, que associe a cada elemento ε ϵ S 
um número real, X(s), é denominada variável aleatória. 
 
Definição: Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores 
possíveis de X for finito ou infinito numerável, denominaremos X de 
variável aleatória discreta. 
 
 
AULA 03: Probabilidade 
Distribuição Binomial 
Consideremos um experimento ε e um evento associado A com P(A) = 
p e consequentemente P(Ã) = 1 - p. Considerem-se n repetições de ε. 
Daí, o espaço amostral será formado por todas as sequências (2^n) 
possíveis {a1,a2,...,an}, onde cada “a” é ou A ou Ã. Seja então X o 
número de vezes que o evento A tenha ocorrido. Assim X é uma v.a. 
Binomial. 
 
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑛
𝑘
𝑝𝑘 1 − 𝑝 𝑛−𝑘 
AULA 03: Probabilidade 
Distribuição Binomial 
Exemplo: Suponha-se que uma válvula eletrônica, instalada em 
determinado circuito, tenha probabilidade 0,2 de funcionar mais do que 500 
horas. Se ensaiarmos 20 válvulas, qual será a probabilidade de que delas, 
exatamente k, funcionem mais que 500 horas, k = 0, 1, 2, ..., 20? 
 
Se X for o número de válvulas que funcionem mais de 500 horas, 
admitiremos que X tenha uma distribuição binomial. Então, 
 
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
20
𝑘
0,2𝑘 0,8 20−𝑘 
AULA 03: Probabilidade 
Definição: Diz-se que X é uma variável aleatória contínua, se existir 
uma função f, denominada função densidade de probabilidade (fdp) de 
X que satisfaça às seguintes condições: 
 
(a) f(x) ≥ 0 para todo x, 
(b) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
= 1 
(c) para quaisquer a, b, com -∞< a < b < +∞, teremos 
P(a ≤ X ≤ b)= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
AULA 03: Probabilidade 
Definição: Seja X uma variável aleatória, discreta ou contínua. Define-
se a função F como a função de distribuição acumulada da variável 
aleatória X como 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). 
 
(a) Se X for uma v.a. discreta 𝐹 𝑥 = 𝑝(𝑥𝑗)𝑗 , onde o somatório é 
estendido a todos os índices j que satisfaçam à condição 𝑥𝑖 ≤ 𝑥. 
(b) Se X for uma v.a. contínua com fdp f, 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑠 𝑑𝑠
𝑥
−∞
. 
AULA 03: Probabilidade 
Exemplo: Suponhamos que a variável aleatória X tome três valores 0, 1 
e 2, com probabilidades 1/3, 1/6 e ½ respectivamente. Então: 
 
𝐹 𝑥 = 0 𝑠𝑒 𝑥 < 0, 
 
𝐹 𝑥 =
1
3
 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1, 
 
𝐹 𝑥 =
1
2
𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2, 
 
𝐹 𝑥 = 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2 
 
 
AULA 03: Probabilidade 
Exemplo: Suponhamos que X seja uma variável aleatória contínua com 
fdp 𝑓 𝑥 = 2𝑥, 0 < x < 1 e 𝑓 𝑥 = 0, caso contrário. Assim: 
 
𝐹 𝑥 = 0 𝑠𝑒 𝑥 < 0, 
 
𝐹 𝑥 = 2𝑠 𝑑𝑠
𝑥
0
= 𝑥2 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1, 
 
 
𝐹 𝑥 = 1 𝑠𝑒 𝑥 > 1 
 
 
AULA 03: Probabilidade 
Propriedades 
(a) A função F é não-decrescente. Isto é, se 𝑥1 ≤ 𝑥2 , teremos 
𝐹(𝑥1) ≤ 𝐹(𝑥2). 
 
(b) lim
𝑥→−∞
𝐹 𝑥 = 0 e lim
𝑥→+∞
𝐹 𝑥 = 1 
 
(c) 𝑓 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑥) 
 
 
 
AULA 03: Probabilidade 
Distribuição Uniforme 
Suponha que X seja uma v.a. contínua que tome todos os valores no 
intervalo [a, b], no qual a e b sejam ambos finitos. Se a fdp for dada por 
 
𝑓 𝑥 =
1
𝑏 − 𝑎
, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 
 
Dizemos que X é distribuída uniformemente no intervalo [a, b]. 
 
 
 
AULA 03: Probabilidade 
Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [0, 2]. 
Qual será a probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 1 e 
3/2? 
𝑓 𝑥 =
1
2 − 0
=
1
2
 
 
𝑃 1 ≤ 𝑋 ≤
3
2
= 
1
2
𝑑𝑠
3
2
1
=
1
4
 
 
 
AULA 03: Probabilidade 
Funções de Variáveis Aleatórias 
Sendo X uma v.a. e Y=G(X) uma função de X, Y também será uma v.a. 
 
Sabendo a fdp de X [f(.)] como encontrar a fdp de Y[g(.)]? 
• Se X for discreto: 𝑦𝑖 = 𝐺(𝑥𝑖) com probabilidade g y = 𝑃 𝑌 = 𝑦𝑖 =
𝑃 𝐺 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 = P 𝑥𝑖 = 𝐺
−1 𝑦𝑖 = f(𝐺
−1 𝑦𝑖 ) 
• Se X for contínuo: g 𝑦 = 𝑓(𝑔−1 𝑦 )
𝑑𝑥
𝑑𝑦
 
 
 
AULA 03: Probabilidade 
Algumas Identidades 
𝑓 𝑥 𝑦 =
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(𝑦)
 
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
𝑦
 
 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑦
= 1
𝑥
 
 
 
Se X e Y são independentes: 𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥 . 𝑓(𝑦) 
AULA 03: Probabilidade 
Esperança Matemática 
𝐸𝑥 𝑥 = 𝑥. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑥 𝐸 𝑦 = 𝑦. 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 
𝐸 𝑦|𝑥 = 𝑦. 𝑓 𝑦|𝑥 𝑑𝑦 = 𝑦.
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑦 
Se x e y são independentes 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥 . 𝑓(𝑦): 
𝐸 𝑦|𝑥 = 𝑦.
𝑓 𝑥 . 𝑓(𝑦)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑦 = 𝑦. 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝐸(𝑦) 
AULA 03: Probabilidade 
Ex.01 (ANPEC 2003) O custo X de produção de certo bem é uma 
variável aleatória com função densidade de probabilidade: 
𝒇 𝒙 = 𝒌𝒙
𝟐 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒
𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
É correto afirmar que: 
Ⓞ o valor de k é 63; 
① o custo médio do produto é aproximadamente 1,04; 
② o custo é menor do que 2 com probabilidade 1/9; 
③ a variância do custo do produto é aproximadamente 3,04; 
④ o custo é maior do que 3 com probabilidade 8/9. 
AULA 03: Probabilidade 
Ex.02 (ANPEC 2003) Considere o vetor 𝑿 = (𝑿𝟏, 𝑿𝟐, 𝑿𝟑) com fdp: 
𝒇𝒙 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑 = 
𝟔𝒙𝟏𝒙𝟐
𝟐𝒙𝟑 𝟎 ≤ 𝒙𝟏 ≤ 𝟏, 𝟎 ≤ 𝒙𝟐 ≤ 𝟏, 𝟎 ≤ 𝒙𝟑 ≤ 𝟐
𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
Encontre a probabilidade de 𝟎 ≤ 𝒙𝟏 ≤ 𝟎, 𝟓 
AULA 03: Probabilidade 
Ex.03 (ANPEC 2004) Uma variável aleatória contínua x tem a sua 
função densidade de probabilidade dada pelo gráfico: 
 
 
AULA 03: Probabilidade 
Ex.04 (ANPEC 2006) Seja X uma variável aleatória contínua com 
função densidade: 
𝒇 𝒙 = 
𝟏
𝟔
𝒙 + 𝒌 𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑
𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
Calcule Prob(1 ≤ X ≤ 2). Multiplique o resultado por 100 e 
desconsidere os valores após a vírgula. 
AULA 03: Probabilidade 
Ex.05 (ANPEC 2007) No começo do dia, uma máquina de refrigerantes 
armazena um montante aleatório Y de líquido (medido em galões). 
No decorrer do mesmo dia, um montante aleatório X é descartado 
pela máquina. Como a máquina não é carregada, X ≤ Y. A distribuição 
conjunta de X e Y é: 
𝒇𝒙,𝒚 𝒙, 𝒚 = 
𝟏
𝟐
 𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝒚; 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟐
𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
Calcule a probabilidade de que menos de meio galão seja 
descarregado no decorrer de um dia, dado que a máquina contém um 
galão no início do mesmo dia. Multiplique sua resposta por 100. 
AULA 03: Probabilidade 
Ex.06 (ANPEC 2008) Duas variáveis aleatórias X e Y são 
conjuntamente distribuídas de acordo com a função de densidade: 
 
𝒇𝒙,𝒚 𝒙, 𝒚 = 
𝟐𝟒𝒙𝒚 𝒔𝒆 𝟎 < 𝒙 < 𝟏; 𝟎 < 𝒚 < 𝟏 − 𝒙
𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
 
Calcule P(0 < Y < ¼ | X = ½). Multiplique o resultado por 100 e 
despreze os decimais. 
AULA 03: Probabilidade 
Ex.07 (ANPEC 2009) Considere duas variáveis aleatórias X e Y. 
Suponha que X seja distribuída de acordo com a seguinte função de 
densidade: 
𝒇𝒙 𝒙 = 
𝟏, 𝒔𝒆 𝟎 < 𝒙 < 𝟏
𝟎, 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
Suponha ainda que 
𝒇𝒚|𝒙 𝒚|𝒙 = 
𝟏
𝒙
, 𝒔𝒆 𝟎 < 𝒚 < 𝒙
𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
Calcule E(Y). Multiplique o resultado por 100. 
AULA 03: Probabilidade 
Ex.08 (ANPEC 2011) Considere a seguinte função de densidade 
conjunta de duas variáveis aleatórias contínuas X e Y dada por: 
𝒇𝒙,𝒚 𝒙, 𝒚 = 
𝒌𝒙𝟐𝒚 𝒔𝒆 𝟎 < 𝒙 < 𝟏; 𝟎 < 𝒚 < 𝟏
𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐