AP3 2CH (1)

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Universidade Federal do Ceará
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Curso :
2a Chamada da 3a Avaliação Parcial de Álgebra Linear
Orientações:
1. A soluções da prova devem ser feitas a mão (Soluções digitadas serão desconsideradas).
2. A prova teve ińıcio às 9h do dia 02/02/2022 e o aluno terá até às 18h do dia 06/02/2022 para
resolver, escanear e anexar na atividade postada no SIGAA.
1a Parte
1. (2,0 Pontos) Resolva os itens abaixo.
(a) (0,5 Pontos) Determine se o operador matricial T : R2 → R2 definido pelas equações
é injetor e, se for, encontre a matriz canônica do operador inverso e encontre T−1 : (w1, w2).
(b) (0,5 Pontos) Determine se T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1, onde T1 : R2 −→ R2 é a expansão na direção y
de fator k e T2 : R2 −→ R2 é a rotação por um ângulo θ. Em seguida verifique se T1 ◦ T2 e
T2 ◦ T1 são invert́ıveis.
(c) (0,5 Pontos) Use a matriz canônica (da projeção ortogonal numa reta pela origem) para en-
contrar a projeção do vetor x = (3, 15) na reta pela origem que faz um ângulo de π/6 (= 30
graus) com o eixo x positivo.
(d) (0,25 Pontos) Prove: Se λ for um autovalor de uma matriz invert́ıvel A com autovetor associado
x, então 1/λ é um autovalor de A−1 com autovetor associado x.
(e) (0,25 pontos) Prove: se λ for um autovalor de A com autovetor associado x, então é um
autovalor de sA com autovetor associado x, qualquer que seja o escalar s.
2. (0,75 Ponto) Determine se T : R2 → R2 dado por
é um operador matricial e uma transformação linear usando só as condições de linearidade.
3. (0,5 Ponto) Em cada parte, encontre a matriz canônica da transformação T definida pela
fórmula.
4 (1,0 Pontos) Considere a seguinte matriz:
(a) (0,5 pontos) Encontre a equação caracteŕıstica e o polinômio caracteŕıstico da matriz A.
(b) (0,5 ponto) Encontre os autovalores da matriz A.
5. (0,75 Pontos) Prove que se A for uma matriz quadrada 2 × 2, então A e AT têm os mesmos
autovalores.
6. (1,0 ponto) Seja A uma matriz 3× 3.
(a) (0,5 Pontos) Prove que o polinômio caracteŕıstico de A tem grau n.
(b) (0,5 Pontos) Prove que o coeficiente de λ3 no polinômio caracteŕıstico é 1.
2a Parte
7. (2,5 Pontos) Apresente um resumo sobre toda a teoria de Tranformações Matriciais e Pro-
priedades. (Não se restringir a teoria abordada em sala).
8. (1,5 Pontos) Apresente um resumo com suas palavras sobre a teoria de Autovalores e Auto-
vetores. (Não se restringir a teoria abordada em sala).
Boa Prova!