02 - APOSTILA DA MATA_RIA DE MATEMA_TICA - CONCURSO OGMO E S 2011-1

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02 – APOSTILA DE MATEMÁTICA – CONCURSO OGMO ES 2011
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CONTEÚDO:
1. Conjuntos numéricos: operações fundamentais de adição, subtração, divisão e 
multiplicação.
2. Frações ordinárias e decimais, números decimais. 
3. Sistema métrico decimal, medidas de tempo e de ângulos. 
4. Razão, proporção, porcentagem, divisão proporcional 
5. Regra de três simples e composta. 
6. Áreas das principais figuras planas. 
7. Equações e inequações de 1o e 2o graus. 
8. Sistemas de equações. 
9. Juros simples 
10. Sequências numéricas. 
11. Funções e gráficos.
1. Conjuntos numéricos: operações fundamentais de adição, subtração, divisão e 
multiplicação.
As expressões numéricas, como são conhecidas, podem ser definidas através de um conjunto de 
operações fundamentais. As operações que podemos encontrar são: radiciação, potenciação, 
multiplicação, divisão, adição e subtração. Como uma expressão numérica é formada por mais de 
uma operação, devemos saber que resolvemos primeiramente as potências e as raízes (na ordem que 
aparecerem), depois a multiplicação ou divisão (na ordem) e por último adição e subtração (na 
ordem). 
É comum o aparecimento de sinais nas expressões numéricas, eles possuem o objetivo de organizar 
as expressões, como: ( ) parênteses, [ ] colchetes e {} chaves, e são utilizados para dar preferência 
para algumas operações. Quando aparecerem em uma expressão numérica devemos eliminá-los, 
essa eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses, colchetes e, por último, as chaves. 
Veja alguns exemplos da resolução de algumas expressões numéricas. 
8 – [– (6 + 4) + (3 – 2 – 1)] = resolva primeiro os parênteses. 
8 – [– 10 + (1 – 1)] = 
8 – [– 10 + 0 ] = resolva os colchetes. 
8 – [– 10] = faça o jogo de sinais para eliminar o colchete. 
8 + 10 = 18 
O valor numérico da expressão é 18. 
– 62 : (– 5 + 3) – [– 2 * (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²] = elimine parênteses. 
– 62 : (– 2) – [– 2 * (2 – 1)² – 16 : 2²] = continue eliminando os parênteses. 
– 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 2²] = resolva as potências dentro do colchetes. 
– 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 4] = resolva as operações de multiplicação e divisão nos colchetes. 
– 62 : (– 2) – [– 2 – 4] = 
– 62 : (– 2) – [– 6] = elimine o colchete. 
– 62 : (– 2) + 6 = efetue a potência. 
31 + 6 = 37 efetue a adição. 
O valor numérico da expressão é 37. 
Nesses conjuntos aplicaremos as quatro operações básicas: adição, subtração, multiplicação e 
divisão. Algumas regras essenciais serão apresentadas durante a resolução detalhada dos exemplos.
Adição
Exemplo 1
(+8) + (+10) = + 8 + 10 (eliminamos os parênteses e conservamos os sinais dos números)
+ 8 + 10 = + 18 (quando os sinais são iguais, somamos os números e conservamos o sinal)
Exemplo 2
(–12) + (–12) = – 12 – 12 (eliminamos os parênteses e conservamos os sinais dos números)
–12 – 12 = – 24 (quando os sinais são iguais, somamos os números e conservamos o sinal)
Exemplo 3
(+15) + (–12) = +15 – 12 (eliminamos os parênteses e conservamos os sinais dos números)
+15 – 12 = + 3 (quando os sinais são diferentes, subtraímos os números e conservamos o sinal do 
número de maior módulo)
Subtração
Exemplo 1
(+12) – (+6) = + 12 – 6 (eliminamos os parênteses e invertemos o sinal do número após a 
subtração)
+12 – 6 = + 6 (quando os sinais são diferentes, subtraímos os números e conservamos o sinal do 
número de maior módulo)
Exemplo 2
(–32) – (–35) = – 32 + 35 (eliminamos os parênteses e invertemos o sinal do número após a 
subtração)
– 32 + 35 = + 3 (quando os sinais são diferentes, subtraímos os números e conservamos o sinal do 
número de maior módulo)
Exemplo 3
(–12) – (+9) = – 12 – 9 (eliminamos os parênteses e invertemos o sinal do número após a subtração)
– 12 – 9 = – 21 (quando os sinais são iguais, somamos os números e conservamos o sinal)
As situações apresentadas na utilização da adição e da subtração podem ser relacionadas com 
movimentações bancárias. Se o saldo de uma pessoa é de R$ 100,00, e o banco resolve pagar um 
cheque no valor de R$ 120,00, a pessoa fica com um saldo negativo de R$ 20,00, isto é, + 100 – 
120 = – 20. O banco utiliza o sinal negativo para demonstrar que a pessoa está devendo a quantia. 
Caso a pessoa tenha um saldo negativo de R$ 90,00 e realize um depósito de R$ 200,00, seu saldo 
passa a ser positivo de R$ 110,00, isto é, – 90 + 200 = + 110. Nesse caso, o banco utilizará o 
número sem o sinal de positivo, considerando que os números positivos não precisam ser 
acompanhados do sinal de +.
Multiplicação e Divisão
A multiplicação e a divisão utilizam a mesma regra de jogo dos sinais. Observe:
( + ) x ( + ) = ( + )
( + ) x ( – ) = ( – )
( – ) x ( – ) = ( – )
( – ) x ( – ) = ( + )
( + ) : ( + ) = ( + )
( + ) : ( – ) = ( – )
( – ) : ( – ) = ( – )
( – ) : ( – ) = ( + )
Exemplos
Multiplicação
Exemplo 1
(+5) x (+8) = + 40 (multiplicação entre dois números positivos terá como resultado um número 
positivo)
Exemplo 2
(+9) x (–12) = – 108 (multiplicação entre um número positivo e um número negativo terá como 
resultado um número negativo)
Exemplo 3
(–10) x (–12) = + 120 (multiplicação entre dois números negativos terá como resultado um número 
positivo)
Divisão
Exemplo 1
(+32) : (+4) = + 8 (divisão entre dois números positivos terá como resultado um número positivo)
Exemplo 2
(–100) : (+20) = – 5 (divisão entre um número negativo e um número positivo terá como resultado 
um número negativo)
Exemplo 3
(–81) : (–3) = + 27 (divisão entre dois números negativos terá como resultado um número positivo)
2. Frações ordinárias e decimais, números decimais. 
Frações Ordinárias em Números Decimais 
Já aprendemos que para transformarmos uma fração não decimal ( fração ordinária ) em um número 
decimal basta dividirmos o numerador pelo denominador da fração. 
Estudaremos agora as três maneiras como isso ocorre, e para tal transformemos as frações 
ordinárias em números decimais. 
1º Caso : Ao transformarmos a fração em um número decimal, encontraremos 0,75 e 
resto zero. Nesse caso diremos que a fração se converte num número decimal exato, ou numa 
decimal exata. 
2 º Caso : Ao transformarmos a fração num número decimal, encontraremos 1,666... e o 
resto 2, que se repete indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração se converte num número 
decimal periódico, ou numa dízima periódica. O algarismo 6 que se repete indefinidamente é 
chamado período da dízima. A dízima 1,666... é uma dízima periódica simples, já que, logo após a 
vírgula vem o período 6. 
3º Caso : Ao transformarmos a fração num número decimal, encontraremos 0,58333... e 
o resto 4, que se repete indefinidamente. Nesse caso diremos que a fração se converte 
num número decimal periódico, ou numa dízima periódica. O número 3 é o período da dízima e o 
número 58 que o antecede é chamado de parte não periódica, não período ou ante-período. A dízima 
0,58333 ... é uma dízima periódica composta, já que após a vírgula vem o ante-período 58 e 
somente após vem o período 3.
II – Notação de uma Dízima Periódica 
Uma Dízima Periódica poderá ser representada de três formas diferentes : 
III – Os Casos da Conversão de Frações Ordinárias em Números Decimais
1º Caso : Número Decimal Exato – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa 
decimal exata quando seu denominador contiver apenas os fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5. O número 
de ordens, ou casas decimais, será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.
Exemplo 1 : A fração ordinária e irredutível 7/4 se converterá numa decimal exata já que o seu 
denominador 4 só contém o fator primo 2 ( 4 = 22 ). Essa decimal exata terá 2 casas decimais, já 
que o expoente do fator 2 é 2
Exemplo 2 : A fração ordinária e irredutível 71/125 se converterá numa decimal exata já que o seu 
denominador 125 só contém o fator primo 5 ( 125 = 53 ). Essa decimal exata terá 3 casas decimais, 
já que o expoente do fator 5 é 3
Exemplo 3 : Afração ordinária e irredutível 93/80 se converterá numa decimal exata já que o seu 
denominador 80 só contém os fatores primos 2 e 5 ( 40 = 24 x 5 ). Essa decimal exata terá 4 casas 
decimais, já que o expoente do fator 2 é 4
2º Caso : Dízima Periódica Simples – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa 
Dízima Periódica Simples quando seu denominador contiver apenas fatores primos diferentes dos 
fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5.
Exemplo 4 : A fração ordinária e irredutível 16/9 se converterá numa Dízima Periódica Simples já 
que o seu denominador 9 só contém o fator primo 3 ( 9 = 32 )
Exemplo 5 : A fração ordinária e irredutível 43/77 se converterá numa Dízima Periódica Simples já 
que o seu denominador 77 só contém os fatores primos 7 e 11 ( 77 = 7 x 11)
Exemplo 6 : A fração ordinária e irredutível 8/117 se converterá numa Dízima Periódica Simples já 
que o seu denominador 117 só contém os fatores primos 3 e 13 ( 117 = 32 x 13 )
3º Caso : Dízima Periódica Composta – Uma fração ordinária e irredutível se transformará numa 
Dízima Periódica Composta quando seu denominador, além dos fatores primos 2 , 5 ou 2 e 5, 
contiver outros fatores primos quaisquer. O número de ordens, ou casas decimais, do ante-período 
será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5.
Exemplo 7 : A fração ordinária e irredutível 2/15 se converterá numa Dízima Periódica Composta já 
que o seu denominador 15 contém além do fator primo 3, o fator primo 5 ( 15 = 3 x 5 ). Essa 
Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 1 casa decimal, já que o expoente do fator 5 
é 1.
Exemplo 8 : A fração ordinária e irredutível 75/52 se converterá numa Dízima Periódica Composta 
já que o seu denominador 52 contém além do fator primo 2, o fator primo 13 ( 52 = 22 x 13 ). Essa 
Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 2 casas decimais, já que o expoente do fator 
2 é 2.
Exemplo 9 : A fração ordinária e irredutível 7/680 se converterá numa Dízima Periódica Composta 
já que o seu denominador 340 contém além dos fatores primos 2 e 5, o fator primo 17 ( 680 = 23 x 
5 x 17 ). Essa Dízima Periódica Composta terá um ante-período com 3 casas decimais, já que o 
expoente do fator 2 é 3
IV – GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA
Definimos Geratriz de uma dízima periódica como sendo a fração ordinária que originou essa 
dízima.
Exemplo 1 : 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333...
Exemplo 2 : 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta 0,7666...
V – GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
A geratriz de uma dízima periódica simples é a fração cujo numerador é o período e cujo 
denominador é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período. Se a dízima 
possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.
Exemplo 1 : Calcular a geratriz de 0,555...
Exemplo 2 : Calcular a geratriz de 1,363636...
Exemplo 3 : Calcular a geratriz de 2,006006006...
VI - GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA
A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é o ante-período, acrescido 
do período e diminuído do ante-período e cujo denominador é formado por tantos “noves” quantos 
forem os algarismos do período, acrescido de tantos “zeros” quantos forem os algarismos do ante-
período. Se a dízima possuir parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um 
número misto.
Exemplo 1 : Calcular a geratriz de 0,03666...
Exemplo 2 : Calcular a geratriz de 1,4(30)
Exemplo 3 : Calcular a geratriz de 2,14272727...
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Em problemas e expressões, toda dízima periódica deve ser convertida em sua fração geratriz e 
somente aí serem efetuadas as operações necessárias.
Exercícios Propostos : 
I – Determine a natureza de cada uma das frações quando convertidas em números decimais. Se a 
resposta for uma decimal exata, determine o número de casa decimais e se for uma dízima periódica 
composta determine o número de casa decimais do ante-período.
01) 02) 03) 
04) 05) 06) 
07) 08) 09) 
10) 11) 12) 
13 – Determine todos os valores possíveis de para que a fração se converta 
numa decimal exata com três casas decimais.
14 – Determine os valores naturais de m e p para a fração se
converta numa decimal exata com 4 ordens decimais e tenha o maior valor possível.
15 – Que relação deve haver entre a e b de modo que a fração seja a geratriz de uma 
dízima periódica simples.
16 – Determine o valor mínimo da soma dos naturais de modo que a fração 
se converta numa dízima periódica composta com 2 algarismos na parte não periódica.
II – Calcule as geratrizes das dízimas periódicas : 
17) 0,555... 18) 1,030303...
19) 2,(36) 20) 0,003003003...
21) 1,(09) 22) 2,027027027...
23) 5,018018018... 24) 0,0666...
25) 1,04727272... 26) 2,06818181...
27) 1,32(4) 28) 1,291666...
29) 1,05(3) 30) 3,61666...
III – Calcule o valor das expressões abaixo :
31) 32 – 0,(15) – ( 0,333...)2 =
Respostas dos Exercícios
01) D.E. – 3 casas 02) D.P.S.
03) D.P.C. – 2 casas 04) D.P.S.
05) D.P.S. 06) D.P.C. – 3 casas
07) D.P.C. – 3 casas 08) D.E. – 5 casas
09) D.E. – 2 casas 10) D.P.C. – 2 casas
11) D.E. – n casas se n p
D.E. – p casas se p n
12) D.E. – 3 casas
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 18) 
19) 20) 
21) 22) 
23) 24) 
25) 
26) 
27) 28) 
29) 30) 
31) Zero
32) 
Veja também:
NÚMEROS DECIMAIS:
História
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração equivale à fração 
 que equivale ao número decimal .
Stevin, engenheiro e matemático holandês, em 1585 elaborou um método para efetuar operações 
por meio de números inteiros, sem o uso de frações, no qual ordenava os números naturais sobre os 
algarismos do numerador, o que indicava a posição a ser ocupada pela vírgula no numeral decimal.
A representação proveniente de frações decimais recebia um traço no numerador indicando o 
file:///wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o
file:///wiki/Inteiro
file:///wiki/1585
file:///wiki/Holanda
file:///wiki/Matem%C3%A1tico
file:///wiki/Engenheiro
file:///wiki/Simon_Stevin
número de zeros existentes no denominador.
Em 1617 a notação introduzida por Stevin foi adaptada por John Napier, matemático escocês, que 
sugeriu o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal.
Durante muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos 
em virtude da precisão proporcionada. Esses números simplificaram muito os cálculos e passaram a 
ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.
Casa decimal
É a posição que um algarismo ocupa após a vírgula em um número decimal.
• Exemplo:
O número decimal 12,34563 tem 5 casas decimais. Observe que no exemplo acima existem 5 
algarismos após a vírgula, são eles: o 3, o 4, o 5, o 6, e o 3 novamente.
Nomenclatura
Valor Nome Quantidade de casas decimais
10-1 Décimo 1
10-2 Centésimo 2
10-3 Milésimo 3
10-4 Décimo de milésimo 4
10-5 Centésimo de milésimo 5
10-6 Milionésimo 6
10-7 Décimo de milionésimo 7
10-8 Centésimo de milionésimo 8
10-9 Bilionésimo 9
10-10 Décimo de bilionésimo 10
10-11 Centésimo de bilionésimo 11
10-12 Trilionésimo 12
10-13 Décimo de trilionésimo 13
10-14 Centésimo de trilionésimo 14
10-15 Quatrilhonésimo 15
10-16 Décimo de quatrilhonésimo 16
10-17 Centésimo de quatrilhonésimo 17
10-18 Quintilhonésimo 18
10-19 Décimo de quintilhonésimo 19
10-20 Centésimo de quintilhonésimo 20
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file:///wiki/Sistema_m%C3%A9trico_decimal
file:///wiki/Astronomia
file:///wiki/Esc%C3%B3cia
file:///wiki/John_Napier
file:///wiki/1617
Exemplos de decimais
• 0,9
• 0,05
• 0,81
• 0,56
• 0,797
• 0,6786
• 0,78776
• 1,5766786856
• 21,22255555121111
Decimais infinitos
Também podem ser chamados de dízima periódica, caso apresentem repetição, ou números 
irracionais
• 1,7575647856487543785348738745374...
• 2,2222222222222222222222222222222...
• 5366576,7558967589675895634896687...
• 67,687764986357348963894439864386...
• 2,4832483248324832483248324832483...
OperaçõesAdição e subtração
Quando se adiciona um número decimal com outro número decimal, a regra deve ser "Número 
inteiro abaixo de número inteiro, vírgula abaixo de vírgula e casa decimal abaixo de casa decimal."
Ex:
1,556
0,30+
——————
1,856
Agora, repare que a regra acima está sendo obedecida, mas não existe nenhum número na ordem 
dos milésimos, para se calcular com o "6". Quando não se tem a (s) casa (s) decimal (is) para se 
calcular a adição (ou subtração) se adiciona zero, ou repete o valor a ser calculado (no caso, 6).
Multiplicação e divisão
Pela regra prática
Quando se multiplica um número decimal por 10, 100, 1000, ou qualquer outra potência de 10, a 
vírgula anda uma casa decimal para a direita, de acordo com o número de zeros no multiplicando. 
Isso é chamado de "regra prática".
Ex: 0,56 X 100 = 56
12,00 X 100 = 1200
350,33 X 10 = 3503,3
file:///wiki/Direita
file:///wiki/Potencia%C3%A7%C3%A3o
file:///wiki/N%C3%BAmero
file:///wiki/V%C3%ADrgula
file:///wiki/Adi%C3%A7%C3%A3o
file:///wiki/D%C3%ADzima_peri%C3%B3dica
Do mesmo jeito é a divisão por qualquer potência de 10, só que dessa vez a vírgula anda uma casa 
decimal para a esquerda.
Ex: 1200000 ÷ 100000 = 12
5,55 ÷ 10 = 0,555
3. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL, MEDIDAS DE TEMPO E DE ÂNGULO:
* Definição
O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil 
tendo como unidade fundamental de medida o metro.
O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando 
padronizar as formas de medição.
Deste os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de medidas. Cada um, 
desta forma, tinha seus próprios métodos de medição.
Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais complicado operar com 
tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informações entre os povos era confusa.
Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas respectivas 
grandezas.
Então no ano de 1971, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se para discutir a 
forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca de informações entre os povos. 
Foi desenvolvido o sistema métrico decimal.
* O metro
O termo “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”. 
Estabeleceu-se no princípio que a medida do “metro” seria a décima milionésima parte da distância 
entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O 
metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo em um 
determinado período de tempo.
* As primeiras medições
No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao homem moderno 
medir comprimentos. Porém nem sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os 
recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos?
Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à necessidade de contar. Quando o homem 
começou a construir suas habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivência 
e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços, então houve ai a necessidade 
de se medir espaços.
Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio corpo, por isto que 
surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas até hoje, 
como é o caso da polegada.
Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o “cúbito”, que é a 
distância do cotovelo a ponta do dedo médio.
Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma pessoa para outra, 
fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais de medidas.
Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu adotar uma outra 
forma de medir o “cúbito”, passaram então ao invés de usar seu próprio corpo, a usarem uma barra 
de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem então o “cúbito padrão”.
file:///wiki/Esquerda
file:///wiki/Divis%C3%A3o
Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio então começou a usar 
cordas, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e 
o intervalo entre estes nós, poderia medir “x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, 
originou-se o que chamamos hoje de “trena”.
* Múltiplos e submúltiplos do Metro
Como o metro é a unidade fundamental do comprimento, existem evidentemente os seus 
respectivos múltiplos e submúltiplos.
Os nomes pré-fixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo, hecto, deca, centi e mili.
Veja o quadro:
Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes áreas/distâncias, enquanto os 
submúltiplos para realizar medição em pequenas distâncias.
No caso de haver necessidade de fazer medições milimétricas, onde a precisão é fundamental, 
podem-se utilizar as seguintes medições:
No caso de haver necessidade de fazer medições astronômicas, pode-se utilizar a seguinte medição:
Ano-Luz é a distância percorrida pela luz em um ano.
* Nomes e funções de algumas medidas
* Leitura das Medidas de comprimento
Podemos efetuar a leitura corretas das medidas de comprimento com auxilio de um quadro chamado 
“quadro de unidades”.
Exemplo: Leia 16,072 m
Após ter colocado os respectivos valores dentro das unidades equivalentes, lê-se a parte inteira 
acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal com a unidade de 
medida o último algarismo.
Veja outros exemplos de leitura:
8,05 km = Lê-se assim: “Oito quilômetros e cinco decâmetros”
72,207 dam = Lê-se assim: “Setenta e dois decâmetros e duzentos e sete centímetros”
0,004 m = Lê-se assim: “quatro milímetros”
* Transformar unidades
Este é um item que é muito pedido em grande parte de concursos que exigem matemática, e é 
justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados.
Observe a tabela abaixo:
Agora observe os exemplos de transformações
1) Transforme 17,475hm em m
Para transformar hm (hectômetro) em m (metro) - observe que são duas casas à direita - 
multiplicamos por 100, ou seja, (10 x 10).
17,475 x 100 = 1747,50
Ou seja
17,475 hm é = 1747,50m
2) Transforme 2,462 dam em cm
Para transformar dam (Decâmetro) em cm (Centímetro) – observe que são três casas à direita – 
multiplicamos por 1000, ou seja, (10 x 10 x 10).
2,462 x 1000 = 2462
Ou seja
2,462dam é = 2462cm
3) Transforme 186,8m em dam.
Para transformar m (metro) em dam (decâmetro) – observe que é uma casa à esquerda – dividimos 
por 10.
186,8 ÷ 10 = 18,68
Ou seja
186,8m é = 18,68dam
4) Transforme 864m em km.
Para transformar m (metro) em km (Kilômetro) – observe que são três casas à esquerda – dividimos 
por 1000.
864 ÷ 1000 = 0,864
Ou seja
864m é = 0,864km
Obs. Os quadros das medidas foram colocados em cada operação repetidamente, de propósito, para 
que haja uma fixação, pois é fundamental conhecer “decoradamente” estas posições.
Medidas de tempo
Introdução
É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:
Qual a duração dessa partida de futebol?
Qual o tempo dessa viagem?
Qual a duração desse curso?
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um 
dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades 
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s 
São submúltiplos do segundo:
• décimo de segundo 
• centésimo de segundo 
• milésimo de segundo 
Cuidado: Nunca escreva 2,40hcomo forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
Medidas de tempo
Outras importantes unidades de medida:
mês (comercial) = 30 dias
ano (comercial) = 360 dias
ano (normal) = 365 dias e 6 horas
ano (bissexto) = 366 dias
semana = 7 dias
quinzena = 15 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
quadrimestre = 4 meses
semestre = 6 meses
biênio = 2 anos
lustro ou qüinqüênio = 5 anos
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1.000 anos
MEDIDAS DE ÂNGULOS:
Ângulos
Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se 
também ângulos.
• As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta. 
• As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta. 
Podemos, então, estabelecer que:
Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.
MEDIDA DE UM ÂNGULO
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é 
º.
Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. 
Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).
Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 
1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.
O grau compreende os submúltiplos:
• O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'. 
1º=60'
• O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''. 
1'=60''
Logo, podemos concluir que:
1º = 60'.60 = 3.600''
Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.
4. RAZÃO , PROPORÇÃO, PORCENTAGEM, DIVISÃO PROPORCIONAL:
RAZÃO:
Razão ou rácio é a divisão ou relação entre duas grandezas. Razão de um número a para um 
número b, sendo b, diferente de zero, é o quociente de a por b.
a : b ou a / b
O número a é chamado de antecedente e o b de consequente.
Assim, o conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números. Por 
exemplo, para saber quantas vezes o número 100 é maior do que o número 2 (ou em outras 
palavras, qual a razão entre 100 e 2), procedemos da seguinte forma:
100 : 2 = 50
Portanto, o número 100 é 50 vezes maior do que o número 2. A razão é a relação entre duas 
grandezas que já estão relacionadas, é uma divisão entre dois valores, um exemplo é a razão entre 
um perímetro e a medida de uma lado de um triângulo, a razão seria o perímetro dividido pela 
medida do lado.
Razão de duas grandezas
A razão de duas ou mais grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as 
suas medidas racionais, consideradas na mesma unidade. Grandezas são características dos objetos 
possíveis de serem comparadas e cujas medidas podem ser adicionadas, subtraídas ou divididas uma 
pela outra. razão vem do latim ratio e envolve a ideia de relação de Euclides(matemático Grego)
Exemplo
O peso de Alberto é 80 kg e o de Valmir é de 60.000 g. Qual a razão entre seus pesos?
Devemos transformar primeiro as grandezas na mesma unidade de medida: 60.000 g = 60 kg
Assim, 80/60 = 4/3 e, portanto, a proporção entre as igualdades é de 3/5
file:///wiki/N%C3%BAmeros_racionais
RAZÃO E PROPORÇÃO – RESUMO ESPECIAL:
Razões
A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois 
números A e B, denotada por:
A 
B
Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:
12 
3
= 4
e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:
3 
6
= 0,5
A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de 
algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, 
normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A 
relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real 
expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:
A 
B
= A/B
Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.
Líquido Situação1 Situação2 Situação3 Situação4
Suco puro 3 6 8 30
Água 8 16 32 80
Suco pronto 11 22 40 110
Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o 
total de 11 litros de suco pronto.
Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo 
o total de 24 litros de suco pronto.
Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.
Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos 
que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para 
cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada 
arremesso.
10 : 20 = 1 : 2 = 0,5
Proporções
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a 
igualdade:
A 
B
=
C 
D
Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma 
relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. 
No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar 
as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, 
escreveu uma proporção na forma
6:3::8:4.
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das 
proporções durante o período do Renascimento.
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
A 
B
=
C 
D
os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os 
meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto 
é:
A · D = B · C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
3 = 6 
4 8
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 
4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
x 
3
=
4 
6
Para obter X=2.
Razões e Proporções de Segmentos
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, 
por 2cm e 4cm.
A________B, C ______________ D
Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas 
medidas.
m(AB) 
m(CD)
=
2 
4
Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está 
para AB na razão de 2 para 1.
Polígonos Semelhantes
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os 
lados correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.
Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas 
aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos 
isto por :
ABC ~ DEF
Figuras Semelhantes
Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas 
correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da 
outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de 
deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.
As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões 
dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.
Exemplo: Nos triângulos
observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, 
B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2
Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:
ABC ~ DEF
Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.
Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde 
é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.
Aplicações práticas das razões
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: 
velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.
1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandezaobtida 
pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) 
e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).
vmédia = distância percorrida / tempo gasto
Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 
2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
A partir dos dados do problema, teremos:
vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h
o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 
Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.
2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na 
escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como 
escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento 
considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos 
na mesma unidade.
escala = comprimento no desenho / comprimento real
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos 
como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, 
mapas, maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4
Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6
O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco 
vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os 
lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.
3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também 
chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de 
razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e 
a área ocupada em uma certa região.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 
6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão 
de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se 
que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador 
expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na 
quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com 
o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 
habitantes. Assim:
dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²
densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2
Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.
4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de 
razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a 
razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, 
medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.
Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 
kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.
Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao 
colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e 
outros flutuam.
Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de 
mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior 
que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na 
tabela abaixo:
Substância Densidade [g/cm³]
madeira 0,5
gasolina 0,7
álcool 0,8
alumínio 2,7
ferro 7,8
mercúrio 13,6
5. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas 
razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu 
diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda 
circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:
Pi = 3,1415926535
Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro 
da circunferência, temos uma razão notável:
C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...
significando que
C = Pi . D
Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o 
perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS “RAZÃO E PROPORÇÃO”
1) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está 
para 9. Quais são os dois números? 
Chamemos o primeiro número de a e o outro número de b. Do enunciado, tiramos que a está para 8, 
assim como b está para 9. Utilizando-nos da terceira propriedade das proporções temos:
Sabemos que a e b somados resultam em 510, assim como a adição de 8 a 9 resulta em 17. 
Substituindo estes valores na proporção teremos:
Portanto:
Chegamos então que os dois números são 240 e 270.
2) Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como b está para 
15. Qual o valor de a e de b ? 
Recorrendo à terceira propriedade das proporções montamos a seguinte proporção:
Sabemos que a soma de a com b é igual a 216, assim como também sabemos que 12 mais 15 
totaliza 27. Substituindo tais valores teremos:
Portanto:
R= Os dois números são 96 e 120.
3) Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para 13, assim como b está 
para 7. Qual o valor de a e de b ? 
Recorremos à terceira propriedade das proporções para montarmos a seguinte proporção:
Sabemos que a diferença entre a e b é igual a 54, e sabemos também que 13 menos 7 dá 6. 
Substituindo tais valores teremos:
Portanto:
R= Os dois números são 117 e 63.
4) A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim como o menor 
está para 19. Quais são os números? 
Vamos chamar o número maior de a e o menor de b. Do enunciado, a está para 23, assim como b 
está para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das proporções temos:
Sabemos que a menos b é igual a 52, assim como 23 menos 19 é igual a 4. Ao substituirmos estes 
valores na proporção teremos:
Portanto:
R= Chegamos então que os dois números são 299 e 247.
5) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e 
Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos? 
Identifiquemos a idade de Pedro por a e a idade de Paulo por b. A partir do enunciado, temos que a 
está para b, assim como 5 está para 6. Utilizando-nos da segunda propriedade das proporções 
temos:
Sabemos que a soma a e b resulta em 55, assim como 5 mais 6 resulta em 11. Substituindo estes 
valores na proporção temos:
Para calcularmos o valor de a temos:
Portanto:
R= Pedro tem 25 anos e Paulo tem 30 anos.
PORCENTAGEM:
Porcentagem
Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões 
matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do 
Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na qual o 
denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem 
ou ainda percentagem.
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de 
autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra 
cento utilizada nas operações mercantis.
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 
100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o 
produto de 10% por 80, isto é:
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M
% de um número N, realizamos o produto:
Produto = M%.N = M.N / 100
Exemplos:
1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão 
etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número 
par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13
Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com 
número ímpar.
2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na 
primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa 
seleção nessafase?
Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse 
problema pode ser expresso da seguinte forma:
X% de 4 = 3
Assim:
(X/100).4 = 3
4X/100 = 3
4X = 300
X = 75
Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.
3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total 
de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos 
homens trabalham nessa indústria?
Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse 
problema pode ser representado por:
42,5% de X = 255
Assim:
42,5%.X = 255
42,5 / 100.X = 255
42,5.X / 100 = 255
42,5.X = 25500
425.X = 255000
X = 255000/425 = 600
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.
4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço 
marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço 
original dessa mercadoria?
Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço 
da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e 
isto significa que
92% de X = 690
logo
92%.X = 690
92/100.X = 690
92.X / 100 = 690
92.X = 69000
X = 69000 / 92 = 750
O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.
DIVISÃO PROPORCIONAL:
Divisão em duas partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e 
q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma 
das partes seja A+B=M, mas
A 
p
=
B 
q
A solução segue das propriedades das proporções:
A = B = A+B = M = K
p q p+q p+q
O valor de K é que proporciona a solução pois:
A = K p e B = K q
Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente 
proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução 
segue de:
A 
2
=
B 
3
=
A+B 
5
=
100 
5
= 20
Segue que A=40 e B=60.
Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se 
que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e 
escrever:
A 
8
=
B 
3
=
A-B 
5
=
60 
5
=12
Segue que A=96 e B=36.
Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 
p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as 
somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.
X1 
p1
=
X2 
p2
= ... =
Xn 
pn
A solução segue das propriedades das proporções:
X1
p1
=
X2 
p2
=...= 
Xn 
pn
=
X1+X2+...+Xn
p1+p2+...+pn
=
M 
P
= K
Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente 
proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas 
tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:
A 
2
=
B 
4
=
C 
6
=
A+B+C 
P
=
120 
12
=10
logo A=20, B=40 e C=60.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de 
modo que 2A+3B-4C=120.
A solução segue das propriedades das proporções:
A 
2
=
B 
4
=
C 
6
=
2A+3B-4C 
2×2+3×4-4×6
=
120 
-8
= – 15
logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números 
negativos! :-)
Divisão em duas partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e 
q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais 
a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. 
Desse modo:
A 
1/p
=
B 
1/q
=
A+B 
1/p+1/q
=
M 
1/p+1/q
=
M.p.q 
p+q
= K
O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.
Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente 
proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:
A 
1/2
=
B 
1/3
=
A+B 
1/2+1/3
=
120 
5/6
=
120.2.3 
5
= 144
Assim A=72 e B=48.
Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se 
que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. 
Assim:
A 
1/6
=
B 
1/8
=
A-B 
1/6-1/8
=
10 
1/24
= 240
Assim A=40 e B=30.
Divisão em várias partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais 
a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente 
proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ 
Xn=M e além disso
X1 
1/p1
=
X2 
1/p2
= ... =
Xn
1/pn
cuja solução segue das propriedades das proporções:
X1 
1/p1
=
X2 
1/p2
=...=
Xn 
1/pn
=
X1+X2+...+Xn 
1/p1+1/p2+...+1/pn
=
M 
1/p1+1/p2+...+1/pn
Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente 
proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, 
de modo que A+B+C=220. Desse modo:
A 
1/2
=
B 
1/4
=
C 
1/6
=
A+B+C 
1/2+1/4+1/6
=
220 
11/12
= 240
A solução é A=120, B=60 e C=40.
Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de 
modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:
A 
1/2
=
B 
1/4
=
C 
1/6
=
2A+3B-4C 
2/2+3/4-4/6
=
10 
13/12
=
120 
13
logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.
Existem proporções com números fracionários! :-)
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d 
e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas 
partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com 
duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:
A 
c/p
=
B 
d/q
=
A+B 
c/p+d/
q
=
M 
c/p+d/
q
=
M.p.q 
c.q+p.d
=K
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.
Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente 
proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as 
proporções:
A = B = A+B = 58 = 70
2/5 3/7 2/5+3/7 29/35
Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.
Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e 
inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para 
resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:
A 
4/6
=
B 
3/8
=
A-B 
4/6-3/8
=
21 
7/24
= 72
Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.
Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 
p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este 
número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., 
pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e 
além disso
X1 
p1/q1
=
X2 
p2/q2
=...=
Xn 
pn/qn
A solução segue das propriedades das proporções:
X1
p1/q1
=
X2
p2/q2
=...=
Xn
pn/qn
=
X1+X2+...+Xn
p1/q1+p2/q2+...+pn/qn
Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente 
proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um 
sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:
A 
1/4
=
B 
2/5
=
C 
3/6
=
A+B+C 
1/4+2/5+3/6
=
115 
23/20
= 100
logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e 
inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.
A montagem do problema fica na forma:
A = B = C = 2A+3B-4C = 10 = 100 
1/2 10/4 2/5 2/2+30/4-8/5 69/10 69
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.
Regra de Sociedade
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de 
distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os 
membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os 
capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos 
tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.
Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:pk = Ck tk
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:
C = C1 + C2 + ... + Cn
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um 
valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.
Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo 
que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B 
entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou 
com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que 
pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de 
R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas 
expressões dos pesos. Desse modo:
p1=50x40=2000; p2=60x30=1800; p3=30x40=1200
A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:
A 
2000
=
B 
1800
=
C 
1200
A solução segue das propriedades das proporções:
A 
2000
=
B 
1800
=
C 
1200
=
A+B+C 
5000
=
25000 
5000
= 5
A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e 
Z=5(1200)=6000.
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
REGRAS DE TRÊS SIMPLES:
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam 
quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor 
a partir dos três já conhecidos.
 Passos utilizados numa regra de três simples:
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e 
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
 3º) Montar a proporção e resolver a equação.
 Exemplos:
 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor 
movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se 
essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
 Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
 Identificação do tipo de relação:
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as 
grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no 
mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um 
determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a 
velocidade utilizada fosse de 480km/h?
 Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x
 Identificação do tipo de relação:
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as 
grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no 
sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a 
equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 
5 camisetas do mesmo tipo e preço?
 Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
 Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as 
grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a 
equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra 
em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo 
essa equipe fará o mesmo trabalho?
 Solução: montando a tabela:
Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20
5 x
 Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para 
término aumenta.
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as 
grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a 
equação temos:
Regra de três simples direta
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente 
proporcionais.
Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y 
e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que 
tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
X 
Y
= K e 
W 
Z
= K
assim
X 
Y
=
W 
Z
Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi 
pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um 
deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg 
de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da 
mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro).
Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do 
problema, temos:
Massa do corpo (Kg) Deslocamento da mola (cm)
10 54
15 X
As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. 
Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos 
dados da tabela, podemos montar a proporção:
10 
15
=
54 
X
Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na 
tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que 
apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim X=81 
e o deslocamento da mola será de 81cm.
Regra de três simples inversa
Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente 
proporcionais para obter uma proporção.
Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente 
proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e 
D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
A · B = K e C · D = K
segue que
A · B = C · D
logo
A 
C
=
D 
B
Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a 
velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade 
média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? 
(Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela 
letra T. De acordo com os dados do problema, temos:
Velocidade (Km/h) Tempo (s)
180 20
200 T
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um 
mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.
180 = T 
200 20
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, 
enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que 
apareceram na tabela acima.
Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a 
velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo 
percurso.
Regra de três composta
Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente 
proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.
O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela 
com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira 
situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda 
situação.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira 
situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma 
segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em 
obter o valor numérico para uma das grandezas,digamos Z2 se conhecemos o 
correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.
Situação Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4 Grandeza 5 Grand... Grandeza ?
Situação 1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1
Situação 2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a 
proporção:
Z1 
Z2
=
A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 … 
A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …
Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a 
segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à 
grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:
Z1 
Z2
=
A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 … 
A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …
As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na 
mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem 
inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que 
apareceram na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira 
A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D 
inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:
Z1 
Z2
=
A1 · B2 · C1 · D2 
A2 · B1 · C2 · D1
Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais 
grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é 
muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns 
exemplos para entender o funcionamento da situação.
Exemplos:
1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma 
mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 
máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?
Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do 
problema, vamos organizar a tabela:
No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C)
5 6 400
7 9 X
A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras 
grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número 
de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à 
grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de 
uma forma independente para cada par de grandezas.
Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. 
Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas 
operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando 
produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são 
diretamente proporcionais.
Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. 
Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior 
número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor 
número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas 
duas grandezas também são diretamente proporcionais.
Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, 
logo, basta resolver a proporção:
400 
x
=
5×6 
7×9
que pode ser posta na forma
400 
x
=
30 
63
Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas 
funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.
2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. 
Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? 
(h=hora, Km=quilômetro).
Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os 
dados do problema, vamos organizar a tabela:
Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C)
200 4 2
500 5 X
A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras 
grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) 
são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que 
representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma 
independente para cada par de grandezas.
Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica 
para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior 
quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor 
quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente 
proporcionais.
Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas 
por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior 
número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos 
menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo 
percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse 
modo:
2 
X
=
200×5 
500×4
que pode ser posta como
2 
X
=
1000 
2000
Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 
Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.
AREAS COM FIGURAS PLANAS
O estudo da área de figuras planas está ligado aos conceitos relacionados à Geometria Euclidiana, 
que surgiu na Grécia antiga embasada no estudo do ponto, da reta e do plano. No mundo em que 
vivemos, existem inúmeras formas planas existentes, que são construídas a partir dos elementos 
básicos citados anteriormente. Desde a antiguidade, o homem necessitou determinar a medida da 
superfície de áreas, com o objetivo voltado para a plantação e a construção de moradias. Dessa 
forma, ele observou uma melhor organização na ocupação do terreno. 
Atualmente, o processo de expansão ocupacional utiliza os mesmos princípios criados nos séculos 
anteriores. A diferença é que hoje as medidas são padronizadas de acordo com o Sistema 
Internacional de Medidas. Dentre as medidas de área existentes temos: 
km²: quilômetro quadrado 
hm²: hectômetro quadrado 
dam²: decâmetro quadrado 
m²: metro quadrado 
dm²: decímetro quadrado 
cm²: centímetro quadrado 
mm²: milímetro quadrado 
Uma área com 1 km² equivale a uma região quadrada com lados medindo 1 km e para as outras 
medidas segue-se o mesmo raciocínio. De acordo com o Sistema de Medidas, a unidade padrão para 
a representação de áreas é o m² (metro quadrado). Utiliza–se o km² em situações relacionadas à 
medição de áreas de cidades, estados, países, continentes, etc. 
Na Geometria, as formas mais conhecidas são: triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, 
losango, trapézio e círculo. Todas essas formas possuem fórmulas matemáticas para o cálculo da 
medida de suas superfícies. Para o cálculo de área envolvendo as figuras mais complexas 
desenvolvemos cálculos matemáticos específicos entre outras técnicas. 
Nesta seção iremos abordar o cálculo da superfície das principais formas planas existentes, 
relacionando a figura com sua fórmula matemática. 
ESTUDANDO AS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS:
SÃO ELAS:
ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
2.1. Área do retângulo
2.2. Área do quadrado
2.3. Área do paralelogramo
2.4. Área do triângulo
2.5. Área do losango
2.6. Área do trapézio
2.7. Área do círculo
2.1. Área do retângulo
base X altura 
(b.h)
2.2. Área do quadrado
base X altura 
(b.h)
2.3. Área do paralelogramo
base X altura 
(b.h)
2.4. Área do triângulo
(base X altura) / 2 
(b.h)/2
2.5. Área do losango
(diagonal 1 X diagonal 2) / 2
(d¹.d²)/2
2.6. Área do trapézio
(base menor + base maior) X altura / 2
(b1+b2).h/2
2.7. Área do círculo
Pi x Raio²
pi.r²
Triângulo e região triangular
No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. 
A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é 
chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo 
ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do 
triângulo ABC são pontos da região triangular.
Triângulo ABC Região triangular ABC
Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um 
ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixoé a reunião de 
três regiões triangulares não sobrepostas.
O conceito de região poligonal
Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-
sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos 
quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma 
região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".
Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode 
ser feito de várias maneiras
Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas 
regiões quaisquer, é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou 
é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.
O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:
1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado 
área.
2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem 
a mesma área.
3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas 
então sua área é a soma das áreas das n-regiões.
Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes 
práticas:
a. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver 
possibilidade de confusão entre o polígono e a região.
b. Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo 
RSTU no lugar de expressões como a área da região triangular ABC e a área 
da região limitada pelo retângulo RSTU.
Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição 
da região poligonal em regiões triangulares.
Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.
Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)
Unidade de área
Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade 
de comprimento.
Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.
Área do Retângulo
A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 
unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os 
segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade 
de área.
A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de 
unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de 
unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.
O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, 
assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.
A = b × h
Área do quadrado
Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida 
da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si 
mesma.
Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome 
de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.
A = x²
Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o 
comprimento da altura é 5 unidades.
A = b×h
A = (8u)x(5u) = 40u²
No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função 
de alguma certa unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...
Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, 
podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.
1. Transformando as medidas em metros
Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:
A = b×h
A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²
2. Transformando as medidas em centímetros
Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:
A = b×h
A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²
Área do Paralelogramo
Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com 
aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura 
correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde 
esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são 
congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em 
relação à base AB.
No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são 
congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em 
relação à base RV.
A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da 
altura h, isto é, A=b×h.Demonstração da fórmula
http://paralel.htm/
Área do Triângulo
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da 
altura, isto é, A=b.h/2. Demonstração da fórmula
Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada 
por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema 
de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.
Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:
A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²
Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a 
mesma área.
Comparação de áreas entre triângulos semelhantes
Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos 
semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.
 
Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao 
quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
Área de ABC
Área de RST
=
a²
r²
=
b²
s²
=
c²
t²
Área do losango
http://triang.htm/
O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do 
comprimento da medida da base pela medida da altura.
A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2. 
Demonstração da fórmula
Área do trapézio
Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 
e uma altura com medida h.
A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela 
medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2.
Polígonos regulares
Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os 
ângulos congruentes. Existem duas circunferências associadas a um polígono regular.
Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos 
construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência que 
passa em todos os vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior.
 
Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar 
uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa 
tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono.
Elementos de um polígono regular
1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e 
circunscrita.
2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até 
um dos vértices.
http://losango.htm/
3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância 
do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.
4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados 
contém vértices consecutivos do polígono.
Apótema: OM,
Raios: OA,OF
Ângulo central: AOF
Apótema: OX,
Raios: OR,OT
Ângulo central: ROT
5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n 
graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e 
o ângulo central de um pentágono regular mede 360/5=72 graus.
Áreas de polígonos regulares
Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos 
vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos 
congruentes.
Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela 
metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:
A = a × Perímetro / 2
Demonstração da fórmulaComparando áreas entre polígonos semelhantes
Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices 
correspondentes A e L traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três 
triângulos.
 
Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que 
http://poligono.htm/
pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um 
transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes 
com n lados.
Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no 
mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a 
posição correspondente no outro polígono.
 
Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados 
para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.
Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da 
razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
Área de ABCDE...
Área de A'B'C'D'E'...
=
s²
(s')²
=
t²
(t')²
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAU:
Equações de 1° e 2° graus
Equação do 1º Grau:
Introdução às equações de primeiro grau
Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma 
sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem 
matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.
Sentença com palavras Sentença matemática
2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14
Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir 
daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário 
conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.
Equações do primeiro grau em 1 variável
Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações 
importantes. Observe a balança:
A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias 
com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada 
melancia?
2 melancias + 2Kg = 14Kg
Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada 
melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:
2x + 2 = 14
Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é 
extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo 
simples.
Podemos ver que toda equação tem:
 Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas 
variáveis ou incognitas;
 Um sinal de igualdade, denotado por =.
 Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou 
membro da esquerda;
 Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou 
membro da direita.
No link Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A 
letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e 
equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.
2 x + 2 = 14
1o. membro sinal de igualdade 2o. membro
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.
Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.
2x + 2 = 14 Equação original
2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros
2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros
x = 6 Solução
Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os 
membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se 
multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a 
equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, 
ou seja, permite obter as raízes da equação.
Exemplos:
1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada 
um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos 
tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo 
a=c-4. Assim:
c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas 
cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes 
tem a cidade B?
Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população 
da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos 
escrever:
a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: 
a=3×25.000=75.000 habitantes.
3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. 
Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 
140m2?
Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.
3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40
Resposta: Cada quarto tem 40m2.
Exercícios: Resolver as equações
1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h - 2 = 16 + 2h
Desigualdades do primeiro grau em 1 variável
Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de 
primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas 
em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:
 < menor
 > maior
 < menor ou igual
 > maior ou igual
Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que 
pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.
Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a 
desigualdade:
2x + 2 < 14
Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:
Passo 1 2x + 2 < 14 Escrever a equação original
Passo 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o número 2 dos dois membros
Passo 3 2x < 12 Dividir pelo número 2 ambos os membros
Passo 4 x < 6 Solução
Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros 
positivos menores do que 6:
S = {1, 2, 3, 4, 5}
Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade
2x + 2 < 14
obteremos o conjunto solução:
S = {2, 4}
Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias 
desigualdades "disfarçadas" em uma.
Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as 
(duas) desigualdades:
12 < 2x + 2 < 20
poderemos seguir o seguinte processo:
12 < 2x + 2 < 20 Equação original
12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros
10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros
5 < x < 9 Solução
O conjunto solução é:
S = {6, 7, 8, 9}
Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) 
desigualdades
12 < 2x + 2 < 20
obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:
S = Ø = { }
Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis
Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade 
envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso 
em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:
a x + b y < c
onde a, b e c são valores dados.
Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:
2x + 3y > 0
observamos que o conjunto solução contém os pares:
(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...
Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que 
torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um 
processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.
Processo geométrico:
(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;
(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;
(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este 
ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.
(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.
Sistemas linear de equações do primeiro grau
Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à 
potência