Notasdeaula_semana2_cálculo2

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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática
Cálculo 2
Turma J
Professora Gláucia L. Dierings
Módulo 1 - Semana 2
1 Sequências e Séries Numéricas
1.2 Séries Numéricas
Seja (an)n∈N uma sequência numérica. Se somarmos os termos dessa sequência, obtemos
uma expressão da forma
a1 + a2 + · · ·+ an + . . .
que é denominada uma série in�nita ou série e é denotada por
∞∑
n=1
an.
Queremos compreender o signi�cado de tal soma in�nita e desenvolver métodos
para calculá-la. Não podemos simplesmente somar repetidas vezes e ver o resultado, pois
temos in�nitos termos.
Em vez disso, vamos somar os n primeiros termos da sequência e ver o seu comportamento.
Dessa forma, construímos a sequência das somas parciais :
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
e, em geral,
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an =
n∑
i=1
ai
Observe que a soma Sn dos n primeiros termos é �nita. O número Sn é dito n-ésima soma
parcial. Podemos nos perguntar se a sequência das somas parciais (Sn) tem ou não um limite,
o que nos leva à de�nição de série convergente:
De�nição 1 Dizemos que a série
∞∑
n=1
an é convergente se a sequência (Sn) for convergente e
lim
n→∞
Sn = L, onde L é um número real. Nesse caso, escrevemos
∞∑
n=1
an = L e o número L é dito
a soma da série. Se a sequência (Sn) é divergente, então a série é dita divergente.
1
Dessa forma, a soma de uma série é o limite da sequência das somas parciais. Assim,
quando escrevemos
∞∑
n=1
an = L, queremos dizer que somando um número su�ciente de termos
da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número L. Observe que
∞∑
n=1
an = lim
n→∞
n∑
n=1
ai = lim
n→∞
Sn
Exemplo 1 Considere a sequência dada pelo termo geral an =
1
2n−1
, com n ≥ 1, que é uma
progressão geométrica (PG) de primeiro termo 1 e razão
1
2
:
(
1,
1
2
,
1
4
, . . . ,
1
2n−1
, . . .
)
Para descobrir se a série
∞∑
n=1
an é convergente, precisamos olhar para a sequência das somas
parciais:
S1 = 1
S2 = 1 +
1
2
=
3
2
S3 = 1 +
1
2
+
1
4
=
7
4
S4 = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
=
15
8
Note que essa sequência é crescente e está se aproximando de 2. Relembre que a soma
dos primeiros n termos de uma PG é dada pela fórmula Sn =
a1(1− rn)
1− r
, onde r é a razão da
progressão geométrica. No nosso caso:
Sn =
1(1− 1
2n
)
1− 1
2
=
(1− 1
2n
)
1
2
Fazendo n→∞, temos:
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
(1− 1
2n
)
1
2
= 2
Logo, a sequência das somas parciais converge a 2 e, portanto, a série
∞∑
n=1
1
2n−1
é conver-
gente e
∞∑
n=1
1
2n−1
= 2
2
A série vista no exemplo acima é um exemplo de série geométrica. Vamos descrever essas
séries de maneira geral.
Séries Geométricas: são da forma
∞∑
n=1
arn−1, onde a e r são números reais �xos e
a 6= 0. A razão r pode ser positiva como em
1 +
1
2
+
1
4
+ · · ·+
(
1
2
)n−1
+ · · ·
ou negativa, como em
1− 1
3
+
1
9
+ · · ·+
(
−1
3
)n−1
+ · · ·
Vamos estudar a convergência destas séries.
Se r = 1, então a n-ésima soma parcial
Sn = a+ a · (1) + a · (1)2 + a · (1)2 + · · ·+ a · (1)n = na −→ ±∞
dependendo do sinal de a. Portanto, se r = 1 então a série geométrica diverge. Observe também
que se r = −1, então a série diverge pois, neste caso, Sn = a (para n ímpar) e Sn = 0 (para n
par), e assim, a sequência (Sn) não tem um limite.
Se |r| 6= 1, podemos determinar a convergência ou divergência da série geométrica calcu-
lando Sn da seguinte forma:
Sn = a+ ar + ar
2 + · · ·+ arn−1
rSn = ar + a
2 + ar3 + · · ·+ arn
Sn − rSn = a− arn
Sn(1− r) = a(1− rn)
Sn =
a(1− rn)
1− r
Desse modo, se |r| < 1, então rn → 0, e assim, Sn =
a
1− r
. Se |r| > 1, então rn →∞ e,
portanto, a série diverge. Resumindo:
Se |r| < 1, então a série geométrica a+ ar + ar2 + ar3 + · · · converge e
∞∑
n=1
arn−1 =
a
1− r
.
Se |r| ≥ 1, então a série geométrica diverge.
3
Exemplo. A série geométrica com a = 1
9
e r = 1
3
é
1
9
+
1
27
+
1
81
+ · · · =
∞∑
n=1
1
9
(
1
3
)n−1
=
1
9
1− 1
3
=
1
6
.
Exemplo. A série geométrica com a = 5 e r = −1
4
é
5− 5
4
+
5
16
− 5
64
+ · · · =
∞∑
n=1
(−1)n−15
4n−1
=
5
1 + 1
4
= 4.
Vamos ver agora o primeiro teorema importante sobre séries.
Teorema 1 Se
∞∑
n=1
an converge, então an −→ 0.
O teorema acima surge de modo natural. De fato, suponha que
∞∑
n=1
an = L. Como
an = Sn − Sn−1, fazendo n −→∞ nesta igualdade obtemos an −→ L− L = 0.
Este resultado nos dá o seguinte teste:
Critério do Termo Geral: Se lim
n→∞
an é diferente de zero ou não existe, então
∞∑
n=1
an
diverge.
Exemplo 2 A série
∞∑
n=1
2n+ 1
3n+ 5
é divergente, pois lim
n→∞
2n+ 1
3n+ 5
=
2
3
, ou seja, é diferente de zero.
A recíproca do Teorema 1 não é verdadeira, em geral. Se lim
n→∞
an = 0 não podemos
concluir que
∞∑
n=1
an é convergente. Exemplo disso é a série harmônica.
Série Harmônica: É a série
∞∑
n=1
an onde an =
1
n
, ou seja,
∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . .
Observe que o termo geral dessa série an =
1
n
converge para zero quando n −→∞, porém
essa série é divergente. Para observar isso, vamos considerar as somas parciais S2, S4, S8, S16, . . .
e mostrar que elas se tornam grandes.
4
S2 = 1 +
1
2
S4 = 1 +
1
2
+
(
1
3
+
1
4
)
> 1 +
1
2
+
(
1
4
+
1
4
)
= 1 +
2
2
S8 = 1 +
1
2
+
(
1
3
+
1
4
)
+
(
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
)
> 1 +
1
2
+
(
1
4
+
1
4
)
+
(
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
)
= 1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
= 1 +
3
2
S16 = 1 +
1
2
+
(
1
3
+
1
4
)
+
(
1
5
+ · · ·+ 1
8
)
+
(
1
9
+ · · ·+ 1
16
)
> 1 +
1
2
+
(
1
4
+
1
4
)
+
(
1
8
+ · · ·+ 1
8
)
+
(
1
16
+ · · ·+ 1
16
)
= 1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
= 1 +
4
2
Analogamente, S32 > 1 +
5
2
, S64 > 1 +
6
2
e, em geral,
S2n > 1 +
n
2
.
Isso mostra que S2n −→ ∞ quando n −→ ∞. Portanto, a sequência (Sn) é divergente e,
consequentemente, a série harmônica diverge.
Agora, vamos desenvolver um conjunto de critérios para analisar as somas parciais de
uma sequência e, desse modo, estudar a convergência de séries.
1.3 Critérios de Convergência
Vimos anteriormente que se lim
n→∞
an é diferente de zero ou não existe, então a série
∞∑
n=1
an
diverge. Chamamos este resultado de Critério do Termo Geral. Agora vamos apresentar
alguns outros testes para o estudo da convergência ou divergência de uma série.
1.3.1 Critério da Comparação
A ideia deste critério é comparar uma série dada com uma outra que já sabemos ser
convergente ou divergente.
Teorema 2 (Critério da Comparação) Sejam (an)n∈N e (bn)n∈N sequências numéricas de
termos positivos com 0 ≤ an ≤ bn, n ≥ 1. As seguintes a�rmações são verdadeiras.
5
1) Se
∞∑
n=1
an é divergente, então
∞∑
n=1
bn é divergente.
2) Se
∞∑
n=1
bn é convergente, então
∞∑
n=1
an é convergente.
A ideia da demonstração surge de modo natural. De fato, considerando que as n-ésimas
somas parciais, sejam
Sn =
n∑
i=1
ai e Tn =
n∑
i=1
bi.
Como an ≤ bn para todo n, então Sn ≤ Tn.
Assim, se
∞∑
n=1
an diverge, então a sua sequência de somas parciais Sn −→ ∞. Como
Sn ≤ Tn, então também Tn −→∞, e assim a série
∞∑
n=1
bn diverge.
Por outro lado, se
∞∑
n=1
bn é convergente, então a sua sequência de somas parciais Tn converge
para um número real L. Como Sn ≤ Tn, Sn é uma sequência crescente e limitada. Pelo Teorema
da Convergência Monótona, Sn é convergente, e assim,
∞∑
n=1
an é convergente.
Exemplo 3 A série
∞∑
n=1
1
2n + 1
converge.
De fato, observe que 2n+1 > 2n, para todo n ≥ 1. Desse modo,
1
2n + 1
<
1
2n
.
A série geométrica
∞∑
n=1
1
2n
converge (para 1), então, pelo item 2 do Critério da Comparação,
∞∑
n=1
1
2n + 1
também converge.
O Critério da Comparação também pode ser utilizado para concluir que determinadas
séries são divergentes.
Exemplo 4 A série
∞∑
n=2
1
lnn
diverge.
De fato, temos lnn < n, para n ≥ 2. Logo, 1
lnn
>
1
n
, para n ≥ 2. Como a série harmônica
∞∑
n=2
1
n
diverge, segue pelo item 1) do Critério da Comparação que a série
∞∑
n=2
1
lnn
diverge.
Exemplo 5 A série
∞∑
n=1
lnn
n
diverge.
De fato, a desigualdade
lnn > 1
6
é válida paran ≥ 3. Assim,
lnn
n
>
1
n
para n ≥ 3. Como a série harmônica é divergente, pelo Teste da Comparação temos que
∞∑
n=1
lnn
n
diverge.
Observe que o Critério da Comparação apresenta uma desvantagem: é necessário aplicá-lo
a séries cujos termos gerais respeitem uma ordem conveniente e conhecida. No entanto, o teste
a seguir irá propor que esta ordem pode ser suprimida desde que ambas as séries tenham um
comportamento parecido para n grande.
1.3.2 Critério da Comparação no Limite
Teorema 3 (Critério da Comparação no Limite) Sejam (an)n∈N e (bn)n∈N sequências nu-
méricas com 0 ≤ an e 0 ≤ bn, n ≥ 1. Suponha que lim
n→∞
an
bn
= L, então:
1) Se 0 < L < +∞, então
∞∑
n=1
an converge se, e somente se,
∞∑
n=1
bn converge.
2) Se L = 0, então an < bn, logo se
∞∑
n=1
an diverge, então
∞∑
n=1
bn diverge.
3) Se L = +∞, então an > bn, logo se
∞∑
n=1
bn diverge, então
∞∑
n=1
an diverge.
Através de exemplos, vamos ver como utilizar o Critério da Comparação no Limite.
Exemplo 6 A série
∞∑
n=1
1
2n − 1
converge.
De fato, seja an =
1
2n − 1
. É natural esperar que para n grande, an se comporte como
1
2n
. De�na bn =
1
2n
. Assim,
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
(
1
2n−1
)(
1
2n
)
= lim
n→∞
1
2n − 1
· 2
n
1
= lim
n→∞
2n
2n − 1
= lim
n→∞
1
1− 1
2n
=
1
1
= 1.
7
Portanto, como
∞∑
n=1
bn converge, pois é uma série geométrica de razão
1
2
, pelo Critério da
Comparação no Limite, concluímos que
∞∑
n=1
an também converge.
Exemplo 7 A série
∞∑
n=1
sen
(
1
n
)
diverge.
De fato, seja an = sen
(
1
n
)
. Vamos comparar com a sequência bn =
1
n
. Assim,
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
sen
(
1
n
)
1
n
= 1
Onde na última igualdade utilizamos o limite trigonométrico fundamental. Como a série
∞∑
n=1
bn diverge, pois é a série harmônica, segue que, pelo Critério da Comparação no Limite,
∞∑
n=1
an também diverge.
1.3.3 Critério da Integral
No Critério da Integral, a ideia é relacionar a convergência da série dada com a convergên-
cia da integral imprópria
∫∞
1
f(x)dx de uma função contínua, positiva (assume apenas valores
positivos) e decrescente. Lembre que
∫ ∞
1
f(x)dx = lim
b→∞
∫ b
1
f(x)dx,
e que a integral imprópria converge se o limite na integral de�nida acima também existe, e
diverge caso contrário.
Teorema 4 (Critério da Integral) Seja (an) uma sequência tal que an = f(n), onde f é
uma função contínua, positiva e decrescente em [1,∞). Então,
∞∑
n=1
an converge se, e somente se,
∫∞
1
f(x)dx converge.
A ideia da demonstração surge de modo muito natural. De fato, como f é uma função
positiva e decrescente, e f(n) = an, isto nos leva a construir uma sequência de retângulos com
base 1 e altura an acima do grá�co, como na �gura abaixo.
Assim, a sequência que representa a área desses retângulos é a1, a2, a3, · · · , an,
cuja soma é maior do que a área do grá�co abaixo da curva. Logo,
∫ n+1
1
f(n) ≤ a1 + a2 + a3 · · ·+ an.
8
Por outro lado, também podemos construir uma sequência de retângulos com base 1 e
altura an abaixo do grá�co, como na �gura abaixo.
Assim, a sequência que representa a área desses retângulos é a1, a2, a3, · · · , an,
cuja soma também podemos comparar com a área do grá�co abaixo da curva. Observe que
(começando agora do segundo quadrado) temos a2 + a3 + · · · + an ≤
∫ n
1
f(x)dx, e portanto,
seguem as seguintes desigualdades:
∫ n+1
1
f(n) ≤ a1 + a2 + a3 · · ·+ an ≤ a1 +
∫ ∞
1
f(x)dx.
Observe que essas igualdades são verdadeiras para todo n, e se mantêm quando n −→∞.
Consequentemente, se
∫∞
1
f(x)dx é �nita, a desigualdade mais a direita mostra que
∑
an é
�nita, e se
∫∞
1
f(x)dx é in�nita, a desigualdade mais a esquerda mostra que
∑
an é in�nita.
Portanto, ambas (a série e a integral) convergem ou ambas divergem.
Exemplo 8 (Série Harmônica Generalizada) Considere a série
∞∑
n=1
1
nα
, com α ∈ R.
Vamos estudar a convergência destas séries (com respeito aos valores de α).
• Se α = 0, então an =
1
nα
= 1, e assim a série
∞∑
n=1
an diverge pelo Critério do Termo Geral
pois an −→ 1.
• Se α = 1, então an =
1
nα
=
1
n
, e assim
∞∑
n=1
an é a série harmônica, que é divergente (suas
somas parciais Sn −→∞).
• Se α < 0, então an =
1
nα
= nβ, com β positivo (note que β = −α), e assim a série
∞∑
n=1
an
diverge pelo Critério do Termo Geral pois an −→∞.
9
• Se α > 0 e α 6= 1, então temos que a função f(x) = 1
xα
possui as seguintes propriedades:
� contínua (quociente de funções contínuas)
� positiva (só assume valores positivos)
� decrescente (sua derivada é f ′(x) = −αx−α+1 < 0, pois α é positivo)
Daí,
∫ ∞
1
1
xα
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1
xα
dx = lim
b→∞
∫ b
1
x−αdx
= lim
b→∞
[
x1−α
1− α
]b
1
= lim
b→∞
b1−α
1− α
− 1
1−α
1− α
= lim
b→∞
b1−α
1− α
− 1
1− α
=

∞, se 0 < α < 1
−1
1− α
, se α > 1
Com isso, concluímos o seguinte resultado:
A série harmônica generalizada
∞∑
n=1
1
nα
(com α ∈ R) converge se α > 1 e diverge se α < 1.
Exemplo 9 1) A série
∞∑
n=1
1
n3
converge, pois é uma série harmônica generalizada com α = 3.
2) A série
∞∑
n=1
1√
n
diverge, pois é uma série harmônica generalizada com α =
1
2
.
3) A série
∞∑
n=1
1
n5/3 + 7n− 5
converge.
De fato, utilizando o Critério da Comparação no Limite com a série
∞∑
n=1
1
n5/3
, temos:
lim
n→∞
1
n5/3
1
n5/3+7n−5
= lim
n→∞
n5/3 + 7n− 5
n5/3
= 1
Como a série
∞∑
n=1
1
n5/3
converge, pois é uma série harmônica generalizada com α =
5
3
> 1,
segue que
∞∑
n=1
1
n5/3 + 7n− 5
também converge.
10
Vamos ver mais exemplos utilizando os critérios de convergência estudados até agora.
Exemplo 10 Considere a série
∞∑
n=1
1− cos
(
1
n
)
.
Para estudar a convergência desta série, vamos lembrar de um limite trigonométrico fun-
damental, que é o seguinte:
lim
x→0
1− cos x
x2
=
1
2
.
Agora, podemos calcular
lim
n→∞
1− cos
(
1
n
)
1
n2
=
1
2
.
Esse limite signi�ca que a série
∞∑
n=1
1 − cos
(
1
n
)
converge se, e somente se, a série
∞∑
n=1
1
n2
converge, pelo Critério da Comparação no Limite.
Como a série
∞∑
n=1
1
n2
é uma série harmônica generalizada com α = 2, ela é convergente.
Logo, a série
∞∑
n=1
1− cos
(
1
n
)
converge.
Exemplo 11 Considere a série
∞∑
n=2
1
n lnn
.
Para estudar sua convergência, considere a função de variável contínua f(x) =
1
x lnx
,
para x ≥ 2. Para poder usar o Critério da Integral, note que:
• f(x) é contínua (pois é o quociente de funções contínuas)
• f(x) é positiva (só assume valores positivos)
• f(x) é decrescente (sua derivada é f ′(x) = −(lnx+ 1)
(x lnx)2
, que é negativa para x ≥ 2)
Logo, podemos usar o Critério da Integral. Para isso, vamos calcular primeiro a integral
de�nida
∫
1
x lnx
dx, utilizando a substituição u = lnx e du = 1
x
dx:
∫
1
x lnx
dx =
∫
1
u
du = lnu = ln(lnx).
Agora,
lim
b→∞
∫ b
2
1
x lnx
dx = lim
b→∞
ln(lnx)|b2 = lim
b→∞
ln(ln b)− ln(ln 2) =∞
Logo, a integral imprópria
∫∞
2
1
x lnx
dx diverge, e, portanto, a série
∞∑
n=2
1
n lnn
diverge.
11
	Sequências e Séries Numéricas