tensoes 2016 slides

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Tensões no Solo
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Barragens
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Barragens
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
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ina
 SG
S4
07
Fundações
Pa
ra 
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o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
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ina
 SG
S4
07
Estruturas de Contenção
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
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ina
 SG
S4
07
Estruturas de Contenção
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Taludes
Pa
ra 
us
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xc
lus
ivo
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 D
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 SG
S4
07
Taludes
Pa
ra 
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xc
lus
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 D
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ina
 SG
S4
07
Taludes
Pa
ra 
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xc
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 D
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07
Canalização
Pa
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07
Túnel
Pa
ra 
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07
Tensões no Solo
 Princípios da Mecânica
 Tensão
 Estado de Tensão - Tensões Principais
 Tensões e Deformações
 Princípio das tensões efetivas
 Tensões geostáticas
Pa
ra 
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S4
07
Princípios da Mecânica
 Força (F)
 Alterar o estado de repouso ou de movimento 
de um corpo
 Causar a deformação de um corpo
 O conceito de força não pode estar dissociado 
da segunda e da terceira leis de Newton
Pa
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us
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 SG
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07
Princípios da Mecânica
 Segunda Lei de Newton ou Princípio 
Fundamental da Mecânica: 
A resultante das forças que agem num corpo 
é igual ao produto de sua massa pela 
aceleração adquirida.
Pa
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07
Princípios da Mecânica
 Terceira Lei de Newton ou Princípio da 
Ação e Reação: 
Quando um corpo A exerce uma força sobre 
um corpo B, simultaneamente o corpo B 
exerce uma força sobre o corpo A, com 
mesma intensidade e direção, mas com 
sentido oposto.
Pa
ra 
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 SG
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07
 Pelo Sistema Internacional de Unidades 
(SI):
 Unidade de força = Newton (N)
 Unidade de massa = kg
 Unidade de aceleração = m/s2
Princípios da Mecânica
Pa
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lus
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S4
07
Princípios da Mecânica
 Equilíbrio
 Se Resultante = 0
 repouso (equilíbrio estático)
 retilíneo uniforme (equilíbrio dinâmico)
Pa
ra 
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Tensão
 Conceito de tensão
 Corpo em equilíbrio
Pa
ra 
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 Corpo subdividido em duas partes por 
um plano 
Tensão

Pa
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 SG
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07
 Isolando uma das partes:
Tensão


Pa
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 SG
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07
 Uma infinidade de forças atuando na seção de 
corte garantem o equilíbrio da parte S’.
Tensão
S´
Pa
ra 
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 SG
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07
 Tensão no ponto P, pelo plano  :
Tensão

Fd

P



dA
Fd



Pa
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 SG
S4
07
 Tensão no ponto P, pelo plano  :
Tensão

Fd

P



 mesma direção e mesmo sentidoFde


Pa
ra 
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07
 Duas componentes:
 Tensão normal ()
 Tensão tangencial ou tensão de cisalhamento ()
Tensão

P
Pa
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07
 Variando plano   a tensão  também varia
 Existem infinitas tensões atuando no ponto P.
 Diz-se então que no ponto P existe um estado de 
tensão. 
Estado de Tensão - Tensões Principais

P
Pa
ra 
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 SG
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 Se  varia, então  e  também variam. 
Estado de Tensão - Tensões Principais

P
Pa
ra 
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 SG
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07
 max = 1 = tensão principal maior
 min = 3 = tensão principal menor
  = 0
Estado de Tensão - Tensões Principais
Pa
ra 
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07
Tensões e Deformações
Estado de tensão em um ponto
Superfície do terreno
O estado de tensão em um ponto fica perfeitamente definido
quando se conhecem as tensões atuantes em três planos
ortogonais entre si.Pa
ra 
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 SG
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07
Tensões e Deformações
Convenção de sinais
  = tensão normal (>0, compressão)
  = tensão tangencial ou tensão de cisalhamento (>0, 
quando tende a girar o elemento no sentido anti-horário) Pa
ra 
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07
Tensões e Deformações
L
dL
-e
 Deformação linear:
 DEFORMAÇÃO LINEAR É UM ADIMENSIONAL. 
 NUNCA CONFUNDIR DEFORMAÇÃO COM DESLOCAMENTOPa
ra 
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07
Tensões e Deformações
 Tensões normais:
Pa
ra 
us
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 SG
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07
Tensões e Deformações
 Deformações lineares:
Pa
ra 
us
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xc
lus
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07
Tensões e Deformações
 Deformações lineares:
 Deformação volumétrica:
Pa
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Tensões e Deformações
 Deformações angulares:

(pequenas
deformações)Pa
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 SG
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07
Tensões e Deformações
 Material elástico-linear
E = módulo de elasticidade
Analogamente:
G = módulo de cisalhamento
ee  E
  G
Pa
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07
 Convenção de sinais
Tensões e Deformações
Compressão:
dL < 0 
e > 0 
(Lembrar que compressão > 0 )
Expansão:
dB > 0
e < 0
(Lembrar que tração < 0 )
Pa
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 SG
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07
 Coeficiente de Poisson
L
dL
- > 0e
B
dB
- < 0
^
e
e
e
 ^- > 0
Tensões e Deformações
Pa
ra 
us
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xc
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 D
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ina
 SG
S4
07
Tensões Geostáticas
 Peso próprio e cargas externas aplicadas 
tensões no interior das massas de solo
 Determinação das tensões causadas por 
carregamentos externos é bastante complexa. 
 Teoria da Elasticidade.
Pa
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07
Tensões devido ao peso próprio
 Se a superfície do terreno for horizontal, as tensões totais 
numa determinada profundidade são determinadas 
considerando apenas o peso próprio do solo sobrejacente.
Tensões Geostáticas
z
z
v
h
h
x
y
Pa
ra 
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 D
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ina
 SG
S4
07
Tensões Geostáticas
Superfície do terreno
Primeira camada
Segunda camada
Terceira camada
Areia siltosa
Argila
R = W
W
Tensões devido ao peso próprio

++

++

iiz H
dxdy
dxdyHdxdyHdxdyH
dxdy
WWW
A
W


 332211321
Pa
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 SG
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07
Tensões Geostáticas
Tensões devido ao peso próprio
 As tensões totais horizontais são, geralmente, uma fração da 
tensão total vertical atuante:
onde K é uma constante denominada coeficiente de empuxo.
vh K  
z
z
v
h
h
x
y
Pa
ra 
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 D
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ina
 SG
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07
Tensões Geostáticas
 Teoria da Elasticidade:


-

1
0K
onde  é o coeficiente de Poisson do material. 
Pa
ra 
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 SG
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07
Tensões Geostáticas – Superfície Inclinada
Terreno com superfície não horizontal
Wbb + aa sincos 00
a
a
aa
cos
sin
cossin 00  bb
Equação de equilíbrio na direção vertical:
Equação de equilíbrio na direção horizontal:
Pa
ra 
us
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 D
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 SG
S4
07
Tensões Geostáticas – Superfície Inclinada
Terreno com superfície não horizontal
aa
a
a
a cossin
cos
sin
cos 000 bHbb +
a cos0bHbHW 
a
a
a
 2
2
2
cos
cos
sin
HH +
aa cossinH
a 2cosH
Peso do elemento:
Substituindo:
Pa
ra 
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 SG
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07
Princípio das Tensões Efetivas
 O Princípio das Tensões Efetivas se aplica 
somente à solos totalmente saturados.
 Sr = 100%  Vw = Vv
Pa
ra 
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 daD
isc
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 SG
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07
Princípio das Tensões Efetivas
 Pelos pontos de contato entre os grãos passa um “plano” XX.
R
Pa
ra 
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 SG
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07
Princípio das Tensões Efetivas
 Partículas sólidas muito pequenas 
“plano” ondulado XX é muito próximo de um plano real
R
Pa
ra 
us
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ina
 SG
S4
07
Princípio das Tensões Efetivas
 A força normal P, aplicada sobre uma área A é resistida 
parcialmente pelas forças intergranulares (R), e parcialmente pela 
pressão da água u (pressão neutra ou poropressão);
Pa
ra 
us
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xc
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 SG
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Princípio das Tensões Efetivas
 Direções e intensidades das forças intergranulares (R) são 
aleatórias;
Pa
ra 
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 D
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 SG
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07
Princípio das Tensões Efetivas
 Força R  componente normal (N’) e componente tangencial (T ) 
ao plano que se aproxima do “plano” XX;
Pa
ra 
us
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xc
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 D
isc
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ina
 SG
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07
 Por definição, tensão normal efetiva:
A
N

'
'
Princípio das Tensões Efetivas
Pa
ra 
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 D
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 SG
S4
07
Princípio das Tensões Efetivas
 A tensão normal total:
A
P

Pa
ra 
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 D
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 SG
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07
Princípio das Tensões Efetivas
 Contato entre as partículas = pontos infinitesimais 
  a pressão de água atua sobre toda área A. 
Pa
ra 
us
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 D
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ina
 SG
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07
 Por equilíbrio:
ou uANP +S ' u
A
N
A
P
+
 '
Princípio das Tensões Efetivas
Pa
ra 
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 D
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 SG
S4
07
mas e
resultando:
u
A
N
A
P
+
 '
u+ '
'
'


A
N

A
P
Princípio das Tensões Efetivas
Pa
ra 
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 D
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ina
 SG
S4
07
Princípio das Tensões Efetivas
 O erro envolvido, quando se assume que o contato entre os 
grão se dá através de pontos infinitesimais, é muito 
pequeno. Na realidade, a soma das áreas de contato entre 
grãos está situada entre 1 e 3% da área total A.
 A tensão normal efetiva (’) não representa as tensões 
reais de contato entre partículas sólidas.
 As tensões reais de contato (R/a, onde a representa a área 
real de contato) são muito mais elevadas que ’.
Pa
ra 
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 SG
S4
07
Princípio das Tensões Efetivas
 No caso de argilas, pode ser que não haja um 
contato direto entre as partículas minerais, devido 
às camadas de água adsorvida que envolvem as 
mesmas.
 Assume-se que as forças intergranulares sejam 
transmitidas através da água adsorvida, que 
apresenta uma viscosidade extremamente alta.
Pa
ra 
us
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xc
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 D
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ipl
ina
 SG
S4
07
Princípio das Tensões Efetivas
 Resposta da tensão efetiva devido a uma 
alteração na tensão total:
R
 Quando a tensão normal total 
aumenta, as partículas de solo 
tentam se rearranjar para uma 
nova disposição.
 Tal rearranjo só será possível 
se parte da água escapar dos 
poros.
Pa
ra 
us
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xc
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 D
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ina
 SG
S4
07
Princípio das Tensões Efetivas
 Resposta da tensão efetiva devido a uma 
alteração na tensão total:
 Portanto, se não houver escape de água, não haverá 
alteração nos esforços de interação entre as 
partículas (tensão efetiva).
 Como a água está resistindo ao rearranjo das 
partículas, ela deverá suportar todo o aumento de 
tensão normal total. 
 Consequentemente, o valor da pressão neutra irá 
aumentar do mesmo tanto que o incremento de 
tensão total.
Pa
ra 
us
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 D
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 SG
S4
07
Princípio das Tensões Efetivas
 Resposta da tensão efetiva devido a uma 
alteração na tensão total:
 À medida que a água for escapando, as partículas 
começam a se rearranjar, aumentando os esforços de 
interação entre elas (aumento da tensão efetiva). E a 
pressão neutra começa a diminuir.
 Esse processo continua até que todo o incremento de 
tensão normal seja suportado integralmente pelas 
partículas, ou seja, é transformado integralmente em 
tensão efetiva.
Pa
ra 
us
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 D
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 SG
S4
07
Princípio das Tensões Efetivas
Analogia mecânica
Pa
ra 
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 SG
S4
07
Peso Específico Submerso
 Seja o perfil de solo esquematizado na figura abaixo.
 A tensão total ( ) no plano A-A se deve à contribuição do peso de 
água e do peso de solo:
21 HH satw  +Pa
ra 
us
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xc
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 D
isc
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 SG
S4
07
 A pressão neutra (u) no plano considerado corresponde à 
pressão hidrostática:
Peso Específico Submerso
 
21 HHu w + 
Pa
ra 
us
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xc
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ivo
 da
 D
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 SG
S4
07
 Dessa forma a tensão efetiva será:
´´ = peso específico submerso
Peso Específico Submerso
 
 
22
2121
´´
´
HHu
HHHHu
wsat
wsatw


--
+-+-
Pa
ra 
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xc
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 D
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ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
 Apesar de suas limitações, é usual utilizar soluções da 
Teoria da Elasticidade na determinação de esforços no 
interior de massas de solo, devido a carregamentos 
externos.
 A seguir, são apresentadas algumas destas soluções, 
sem se preocupar com o seu desenvolvimento 
matemático. Todas soluções assumem que o maciço é 
semi-infinito, homogêneo, isotrópico e que a relação 
tensão deformação é linear (validade da Lei de Hook).
Pa
ra 
us
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xc
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 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
Carga concentrada - Solução de Boussinesq (1885)
 Esta solução permite determinar as tensões devido a uma 
carga pontual aplicada na superfície do terreno.
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
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ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
Carga concentrada - Solução de Boussinesq (1885)
Pa
ra 
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o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
Distribuição de z
Carga concentrada - Solução de Boussinesq (1885)
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
Carga aplicada ao longo de uma linha horizontal
 Esta solução permite determinar as tensões devido a uma 
carga linear aplicada na superfície do terreno.
Pa
ra 
us
o e
xc
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 D
isc
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ina
 SG
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07
Propagação de tensões no solo
Carga uniforme aplicada numa faixa contínua
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
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 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
 A figura abaixo mostra as curvas de isovalores das 
tensões verticais na vizinhanças da faixa carregada.
 A área limitada pela curva de isovalor correspondente a 
0.2q é denominada bulbo de tensões ou bulbo de pressões.Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
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07
Propagação de tensões no solo
Carga uniforme aplicada numa área retangular
 Esta solução fornece a tensão vertical numa profundidade 
z sob um canto de uma placa retangular, de dimensões mz
e nz, suportando uma carga uniforme q.
m = a/z
n = b/z
Dz = pI
Pa
ra 
us
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xc
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 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
 A solução pode ser escrita 
na forma z = pI , sendo que 
os valores de I são 
fornecidos pelo ábaco devido 
a Fadum.
Carga uniforme aplicada 
numa área retangular
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
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 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
Carga uniforme aplicada numa área retangular
 A solução para um ponto sob um ponto qualquer no interior da placa:
 Através de superposições, qualquer área baseada em retângulos 
poder ser considerada, permitindo a determinação da tensão vertical 
em qualquer ponto sob a área considerada ou sob a área externa.
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
 Carga uniforme aplicada 
numa área retangular
 Curvas de isovalores de tensões 
verticais, nas vizinhanças de 
uma área quadrada estão 
mostradas na figuraabaixo:
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
Carga variando linearmente aplicada numa faixa contínua
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
 Carga uniforme atuando numa área circular
 A tensão vertical, numa profundidade z sob o centro de 
uma área circular de diâmetro D=2R, onde atua uma carga 
uniforme q, é dada por:
Pa
ra 
us
o e
xc
lus
ivo
 da
 D
isc
ipl
ina
 SG
S4
07
Propagação de tensões no solo
 Carga uniforme atuando numa área circular
 As tensões radial e circunferencial sob o centro da área 
circular têm o mesmo valor, e são dadas por:
Pa
ra 
us
o e
xc
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