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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Página 1 de 5 Lista de Exercícios – Integrais Impróprias 1) Nos exercícios abaixo, determine se a integral i mprópria converge. Em caso afirmativo, calcule-a. a) 2 1 1 dx x ∞ ∫ 2 2 1 11 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 b bb b b b b dx dx x x x x b ∞ →∞ →∞ →∞ →∞ = = − = − = − − = ∫ ∫ b) 3 0 x e dx ∞ ∫ 3 3 3 0 00 0 0 0 1 3 3 3 lim 3 lim 3 lim 3 x x xu u u b b b e dx e dx e du e du e e ∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞ →∞ →∞ →∞ = ⋅ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 3 3 u x du dx= ⇒ = 3 0 (Diverge)3 lim 3 lim 1 x b b e e ∞ ∞ →∞ →∞ = − = ∞ c) 2 5 16 x dx x ∞ −∫ 2 16 2u x du xdx= − ⇒ = 1 21 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 12 2 2 216 16 2 x x du u dx dx u du C u C ux x − = = = = + = + − −∫ ∫ ∫ ∫ ( )12 2216 16x C x C= + + = + + 2 2 2 55 5 lim lim 16 16 16 b b b b x x dx dx x x x ∞ →∞ →∞ = = + = − −∫ ∫ 2 (Diverge)lim 16 25 16 b b →∞ = + − + = ∞ UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Página 2 de 5 d) 0 xe dx− −∞ ∫ u x du dx= − ⇒ = − x x u u xe dx e dx e du e C e C− − −= − − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ 00 0 0 0 1 1 1 lim lim lim limx x x x aaa a a a aa e dx e dx e e e e − − − →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ −∞ = = = = − = ∫ ∫ (Diverge)1 = − ∞ = −∞ e) 2 2 2 0 3 3 3 0 2 2 2x x xxe dx xe dx xe dx ∞ ∞ − − − −∞ −∞ = +∫ ∫ ∫ 23 6u x du xdx= − ⇒ = − 2 2 23 3 31 1 12 ( 3) 2 6 3 3 3 x x x uxe dx xe dx xe dx e du− − −= − − ⋅ = − − = − =∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 3 3 1 1 1 3 3 3 u x x e C e C C e −= − + = − + = − + 2 2 2 0 3 3 3 0 2 2 2x x xxe dx xe dx xe dx ∞ ∞ − − − −∞ −∞ = +∫ ∫ ∫ 2 2 2 0 3 3 3 0 2 lim 2 lim 2 b x x x a b a xe dx xe dx xe dx ∞ − − − →−∞ →∞ −∞ = +∫ ∫ ∫ 2 2 2 0 3 3 3 0 1 1 1 1 2 lim lim 3 3 b x x xa b a xe dx e e ∞ − →−∞ →∞ −∞ = − − ∫ 2 2 2 3 0 03 3 1 1 1 1 1 1 2 lim lim 3 3 x a ba b xe dx e ee e ∞ − →−∞ →∞ −∞ = − − − − ∫ [ ] [ ]23 1 12 1 0 0 1 3 3 xxe dx ∞ − −∞ = − − − −∫ 232 0xxe dx ∞ − −∞ =∫ UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Página 3 de 5 2) Nos exercícios abaixo, calcule a integral impróp ria. a) 1 0 01 1 1 1 0 0 0 1 1 lim lim lim ln lim ln 1 1 1 b b b b b b b b du dx dx u x x x u− − − −→ → → → − = − = − = − = − − − −∫ ∫ ∫ 1u x du dx= − ⇒ = − 1 01 1 0 (Diverge) 1 lim ln 1 lim ln 1 ln 1 0 1 b b b dx x b x − −→ → = − − = − − − − = ∞ −∫ b) 19 21 2 9 9 9 9 0 0 0 0 0 1 1 lim lim lim lim 19 9 2 b b b b b b b b du u dx dx u du x x u− − − − − → → → → − = − = − = − = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 9u x du dx= − ⇒ = − 9 1 2 0 09 9 900 1 2 lim 2 lim 2 lim 9 9 b b b b b b dx u u x x − − −→ → → = − = − = − − −∫ 9 09 0 1 2 lim 9 9 0 6 9 b b dx b x −→ = − − − − = −∫ c) 1 11 1 1 1 2 2 20 0 0 0 0 1 1 1 lim lim lim lim 1a a a a aa a a x dx dx x dx x x x+ + + + − − → → → → = = = = − − ∫ ∫ ∫ 1 2 0 0 (Diverge) 1 1 lim 1 a dx x a+→ = − − = −∞ ∫ d) 2 2 3 3 31 1 0 0 1 1 1 lim lim 1 1 1 c c c c dx dx dx x x x− +→ → = + − − −∫ ∫ ∫ 1u x du dx= − ⇒ = 2 2 3 3 31 1 0 0 1 1 1 lim lim 1 c c c c dx du du x u u− +→ → = + −∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 3 3 3 1 1 0 0 1 lim lim 1 c c c c dx u du u du x − + − − → → = + −∫ ∫ ∫ 2 2 22 3 3 3 1 1 0 0 1 lim lim 2 21 3 3 c c c c u u dx x − +→ → = + − ∫ UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Página 4 de 5 2 22 2 3 3 3 1 100 1 3 3 lim lim 2 21 c c c c dx u u x − +→ → = + −∫ ( ) ( ) 2 22 2 3 3 3 1 100 1 3 3 lim 1 lim 1 2 21 c c c c dx x x x − +→ → = − + − −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 3 3 3 3 3 1 1 0 1 3 3 lim 1 0 1 lim 2 1 1 2 21 c c c dx c c x − +→ → = − − − + − − − −∫ ( ) ( ) 2 3 0 1 3 3 0 1 1 0 0 2 21 dx x = − + − = −∫ e) 4 4 2 23 3 1 1 lim 9 9a a dx dx x x +→ = − −∫ ∫ 2 2u x u x du dx= ⇒ = ⇒ = 2 9a = 4 4 4 2 2 23 3 3 1 1 lim lim ln 9 9 9a a aa dx dx x x x x + +→ → = = + − − −∫ ∫ 4 2 2 3 3 1 lim ln 4 16 9 ln 9 9 a dx a a x +→ = + − − + − −∫ ( ) 4 2 3 1 ln 4 7 ln3 9 dx x = + − −∫ 3) Determine: (a) a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas e (b) o volume do sólido gerado pela revolução da região em torno do eixo x . 2 1 , 0, e 1y y x x = = ≥ 0 5 10 15 20 25 0 1 2 3 4 5 UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Página 5 de 5 1 2 2 2 11 1 1 1 1 1 1 1 Área ( ) lim lim lim lim 1 b bb b b b b b x f x dx dx dx x dx x x x ∞ ∞ − − →∞ →∞ →∞ →∞ = = = = = = − − ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 Área lim 1 1 b b b→∞ = − − = [ ] 2 2 4 2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 Volume ( ) lim lim b b b b f x dx dx dx dx x dx x x x ∞ ∞ ∞ − →∞ →∞ = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫π π π π π 3 3 3 31 11 1 1 Volume lim lim lim lim 1 3 3 3 3 b b b b b b b x x x b − − →∞ →∞ →∞ →∞ = = − = − = − − − π π ππ Volume 3 = π