Lista de Exercícios Resolvidos - Integrais Impróprias - Gabarito

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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Campus Universitário de Sinop 
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
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Lista de Exercícios – Integrais Impróprias 
 
 
1) Nos exercícios abaixo, determine se a integral i mprópria converge. 
Em caso afirmativo, calcule-a. 
 
a) 2
1
1
dx
x
∞
∫ 
 
2 2
1 11 1
1 1 1 1 1
lim lim lim lim 1 1
b bb
b b b b
dx dx
x x x x b
∞
→∞ →∞ →∞ →∞
     = = − = − = − − =     
     
∫ ∫ 
 
b) 3
0
x
e dx
∞
∫ 
 
3 3 3
0 00 0 0 0
1
3 3 3 lim 3 lim 3 lim
3
x x xu u u
b b b
e dx e dx e du e du e e
∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞
→∞ →∞ →∞
  = ⋅ = = = =    ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
1 1
3 3
u x du dx= ⇒ = 
 
3
0
(Diverge)3 lim 3 lim 1 
x
b b
e e
∞
∞
→∞ →∞
   = − = ∞   
 
 
c) 
2
5 16
x
dx
x
∞
−∫
 
 
2 16 2u x du xdx= − ⇒ = 
 
1
21 1
2 2
2 2
1 2 1 1 1
12 2 2 216 16 2
x x du u
dx dx u du C u C
ux x
−
= = = = + = +
− −∫ ∫ ∫ ∫
( )12 2216 16x C x C= + + = + + 
 
2
2 2 55 5
lim lim 16
16 16
b b
b b
x x
dx dx x
x x
∞
→∞ →∞
 = = + =
 − −∫ ∫
2 (Diverge)lim 16 25 16 
b
b
→∞
 = + − + = ∞
 
 
 
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d) 
0
xe dx−
−∞
∫ 
 
u x du dx= − ⇒ = − 
 
x x u u xe dx e dx e du e C e C− − −= − − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ 
 
00 0
0
0
1 1 1
lim lim lim limx x x x aaa a a a
aa
e dx e dx e
e e e
− − −
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
−∞
    = = = = − =        ∫ ∫
(Diverge)1 = − ∞ = −∞ 
 
e) 
2 2 2
0
3 3 3
0
2 2 2x x xxe dx xe dx xe dx
∞ ∞
− − −
−∞ −∞
= +∫ ∫ ∫ 
 
23 6u x du xdx= − ⇒ = − 
 
2 2 23 3 31 1 12 ( 3) 2 6
3 3 3
x x x uxe dx xe dx xe dx e du− − −= − − ⋅ = − − = − =∫ ∫ ∫ ∫ 
2
2
3
3
1 1 1
3 3 3
u x
x
e C e C C
e
−= − + = − + = − + 
 
2 2 2
0
3 3 3
0
2 2 2x x xxe dx xe dx xe dx
∞ ∞
− − −
−∞ −∞
= +∫ ∫ ∫ 
2 2 2
0
3 3 3
0
2 lim 2 lim 2
b
x x x
a b
a
xe dx xe dx xe dx
∞
− − −
→−∞ →∞
−∞
= +∫ ∫ ∫ 
2
2 2
0
3
3 3
0
1 1 1 1
2 lim lim
3 3
b
x
x xa b
a
xe dx
e e
∞
−
→−∞ →∞
−∞
   = − −   
   
∫ 
2
2 2
3
0 03 3
1 1 1 1 1 1
2 lim lim
3 3
x
a ba b
xe dx
e ee e
∞
−
→−∞ →∞
−∞
   = − − − −   
   
∫ 
[ ] [ ]23 1 12 1 0 0 1
3 3
xxe dx
∞
−
−∞
= − − − −∫ 
232 0xxe dx
∞
−
−∞
=∫ 
 
 
 
 
 
 
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2) Nos exercícios abaixo, calcule a integral impróp ria. 
 
a) 
1
0 01 1 1 1
0 0 0
1 1
lim lim lim ln lim ln 1
1 1
b b
b b
b b b b
du
dx dx u x
x x u− − − −→ → → →
−    = − = − = − = − −
   − −∫ ∫ ∫ 
 
1u x du dx= − ⇒ = − 
 
1
01 1
0
(Diverge)
1
lim ln 1 lim ln 1 ln 1 0 
1
b
b b
dx x b
x − −→ →
   = − − = − − − − = ∞   −∫ 
 
b) 
19 21
2
9 9 9 9
0 0 0 0
0
1 1
lim lim lim lim
19 9 2
b
b b b
b b b b
du u
dx dx u du
x x u− − − −
−
→ → → →
 −  = − = − = − = −
 − −
 
∫ ∫ ∫ ∫
 
9u x du dx= − ⇒ = − 
 
9
1
2
0 09 9 900
1
2 lim 2 lim 2 lim 9
9
b b b
b b b
dx u u x
x − − −→ → →
     = − = − = − −     −∫
 
9
09
0
1
2 lim 9 9 0 6
9
b
b
dx b
x −→
 = − − − − = −∫
 
 
c) 
1 11 1 1 1
2
2 20 0 0 0
0
1 1 1
lim lim lim lim
1a a a a aa a a
x
dx dx x dx
x x x+ + + +
−
−
→ → → →
   = = = = −   −   
∫ ∫ ∫ 
1
2 0
0
(Diverge)
1 1
lim 1 
a
dx
x a+→
 = − − = −∞ 
 
∫ 
 
d) 
2 2
3 3 31 1
0 0
1 1 1
lim lim
1 1 1
c
c c
c
dx dx dx
x x x− +→ →
= +
− − −∫ ∫ ∫
 
 
1u x du dx= − ⇒ = 
 
2 2
3 3 31 1
0 0
1 1 1
lim lim
1
c
c c
c
dx du du
x u u− +→ →
= +
−∫ ∫ ∫
 
2 2
1 1
3 3
3 1 1
0 0
1
lim lim
1
c
c c
c
dx u du u du
x − +
− −
→ →
= +
−∫ ∫ ∫
 
2
2 22 3 3
3 1 1
0
0
1
lim lim
2 21 3 3
c
c c
c
u u
dx
x − +→ →
   
   = +
   −
   
∫ 
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2 22 2
3 3
3 1 100
1 3 3
lim lim
2 21
c
c c c
dx u u
x − +→ →
   = +
      −∫
 
( ) ( )
2 22 2
3 3
3 1 100
1 3 3
lim 1 lim 1
2 21
c
c c c
dx x x
x − +→ →
   = − + −
      −∫
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2
3 3 3 3
3 1 1
0
1 3 3
lim 1 0 1 lim 2 1 1
2 21 c c c
dx c c
x − +→ →
   = − − − + − − −
      −∫
 
( ) ( )
2
3
0
1 3 3
0 1 1 0 0
2 21
dx
x
= − + − =
−∫
 
 
e) 
4 4
2 23
3
1 1
lim
9 9a a
dx dx
x x
+→
=
− −∫ ∫
 
 
2 2u x u x du dx= ⇒ = ⇒ = 
2 9a = 
 
4 4 4
2
2 23 3
3
1 1
lim lim ln 9
9 9a a aa
dx dx x x
x x
+ +→ →
 = = + −
  − −∫ ∫
 
4
2
2 3
3
1
lim ln 4 16 9 ln 9
9 a
dx a a
x
+→
 = + − − + −
  −∫
 
( )
4
2
3
1
ln 4 7 ln3
9
dx
x
= + −
−∫
 
 
3) Determine: (a) a área da região delimitada pelos gráficos das 
equações dadas e (b) o volume do sólido gerado pela revolução da 
região em torno do eixo x . 
 
2
1
, 0, e 1y y x
x
= = ≥ 
 
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 
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1
2
2 2
11 1 1 1 1
1 1 1
Área ( ) lim lim lim lim
1
b bb b
b b b b
x
f x dx dx dx x dx
x x x
∞ ∞ −
−
→∞ →∞ →∞ →∞
   = = = = = = −   −   
∫ ∫ ∫ ∫
1
1
Área lim 1 1
b
b b→∞
 = − − = 
 
 
 
 
[ ]
2
2 4
2 4 4
1 1 1 1 1
1 1 1
Volume ( ) lim lim
b b
b b
f x dx dx dx dx x dx
x x x
∞ ∞ ∞
−
→∞ →∞
 = = = = = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫π π π π π
 
3
3
3 31
11
1 1
Volume lim lim lim lim 1
3 3 3 3
b b
b
b b b b
x
x
x b
−
−
→∞ →∞ →∞ →∞
      = = − = − = − −      −     
π π ππ 
Volume
3
= π