Lista - Integrais Impróprias

Prévia do material em texto

Integrais Impróprias
1. Em cada parte, determine se a integral é imprópria e, se for, explique por quê.
(a)
∫ 5
1
dx
x− 3 Resp.: sim
(b)
∫ 5
1
dx
x+ 3
Resp.: não
(c)
∫ 1
0
lnxdx Resp.: sim
(d)
∫ +∞
1
e−xdx Resp.: sim
(e)
∫ +∞
−∞
dx
3
√
x− 1 Resp.: sim
(f)
∫ pi/4
0
tanxdx Resp.: não
Calcule as integrais que convirjam.
2.
∫ +∞
3
2
x2 − 1dx Resp.: ln 2
3.
∫ +∞
e
1
x ln3 x
dx Resp.: 1/2
4.
∫ 0
−∞
dx
(2x− 1)3 Resp.: −1/4
5.
∫ 0
−∞
e3xdx Resp.: 1/3
6.
∫ +∞
−∞
xdx Resp.: div.
7.
∫ +∞
−∞
x
(x2 + 3)2
dx Resp.: 0
8.
∫ 4
0
dx
(x− 4)2 Resp.: div.
9.
∫ pi/2
0
tanxdx Resp.: div.
10.
∫ 1
0
dx√
1− x2 Resp.: pi/2
11.
∫ pi/2
pi/3
sen√
1− 2 cosxdx Resp.: 1
12.
∫ 3
0
dx
x− 2 Resp.: div.
13.
∫ 8
−1
x−1/3dx Resp.: 9/2
14.
∫ +∞
0
1
x2
dx Resp.: div.
15.
∫ 1
0
dx√
x(x+ 1)
Resp.: pi/2
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
16.
∫ +∞
1
x−4/3dx converge a 3.
Resp.: V
17.
∫ 2
1
1
x(x− 3)dx é uma integral
imprópria. Resp.: F
Use a regra da substituição para integrais definidas e calcule a integral definida
resultante.
18.
∫ +∞
0
e−
√
x
√
x
dx; u =
√
x
(u → +∞ quando x → +∞)
Resp.: 2
19.
∫ +∞
0
e−x√
1− e−xdx; u = 1− e
−x
(u→ 1 quando x→ +∞) Resp.: 2
20. Use a regra de L’Hôpital para ajudar a calcular a integral
∫ 1
0
lnxdx. Resp.: −1
21. Encontre a área da região entre o eixo x e a curva y = e−3x com x ≥ 0. Resp.:
1/3
1
22. Suponha que a região entre o eixo x e a curva y = e−x com x ≥ 0 gire em torno
do eixo x.
(a) Encontre o volume do sólido que é gerado. Resp.: pi/2
(b) Encontre a área da superfície do sólido (em breve vocês saberão responder essa).
pi(
√
2 + ln(1 +
√
2)).
23. (a) Confirme gráfica e algebricamente que
1
2x+ 1
≤ e
x
2x+ 1
, x ≥ 0.
(b) Calcule a integral ∫ +∞
0
dx
2x+ 1
.
(c) O que o resultado obtido em (b) diz sobre a integral∫ +∞
0
ex
2x+ 1
dx?
24. Seja R a região à direita de x = 1 que é limitada pelo eixo x e pela curva y = 1/x.
Quando essa região gira em torno do eixo x, ela gera um sólido cuja superfície é conhecida
como corneta de Gabriel. Mostre que o sólido tem um volume finito.
25. Calcule a área da região no primeiro quadrante limitada pelo gráfico (veja figura)
da função y =
1√
x(x+ 1)
. Resp.: pi
26. Use o teste da comparação para determinar se as integrais convergem ou divergem.
(a)
∫ +∞
2
√
x3 + 1
x
dx
(b)
∫ +∞
2
x
x5 + 1
dx
(c)
∫ +∞
0
xex
2x+ 1
dx
2
27. Determine o(s) valor(es) de s tal que a integral
∫ +∞
0
e−stdt seja convergente.
28. Em teoria eletromagnética, o potencial magnético em um ponto no eixo de uma
bobina circular é dado por
u =
2piNIr
k
∫ +∞
a
dx
(r2 + x2)3/2
onde N , I, r, k e a são constantes. Encontre u.
3