LISTA 14 - ÁREAS

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LISTA 14 – ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAR 2019) O piso de uma sala foi revestido 
completamente com 300 placas quadradas justapostas, 
de 20 cm de lado. Considerando que todas as placas 
utilizadas não foram cortadas e que não há espaço entre 
elas, a área da sala, em metros quadrados, é 
 
a) 120 
b) 80 
c) 12 
d) 8 
 
2. (EEAR 2008) Se 𝑆 = 6Lcm² é a área de um quadrado 
de lado L cm, o valor de L é: 
 
a) 3 
b) 6 
c) 9 
d) 12 
 
3. (EEAR 2010) Seja um retângulo de comprimento c e 
largura L. Aumentando-se o comprimento em 
1
10
 do 
seu valor, para que a área não se altere, a sua largura 
deverá ser igual a: 
 
1
)
10
10
)
11
9
)
11
9
)
10
a L
b L
c L
d L
 
 
4. (EEAR 2007) A casa de João tem um quintal 
retangular de 30 m por 20 m. Se ele usar 30% da área 
do quintal para fazer uma horta também retangular, de 
10 m de comprimento, então a largura desta horta, em 
m, será: 
 
a) 18 
b) 15 
c) 12 
d) 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (EEAR 2015) Na figura, 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrado 
formado por pequenos quadrados de lado 𝑥 divididos 
por uma de suas diagonais. Assim, a área sombreada, 
em função de 𝑥 é 
 
 
 
2
2
2
2
15
)
2
13
)
2
)5,5
)3,5
x
a
x
b
c x
d x
 
 
6. (EEAR 2019) Uma “bandeirinha de festa junina” foi 
feita recortando o triângulo equilátero ABE do quadrado 
ABCD, de 20 cm de lado, conforme a figura. 
Considerando √3 = 1,7, essa bandeirinha tem uma 
área de ______ cm². 
 
 
 
 
a) 180 
b) 190 
c) 210 
d) 230 
 
 
 
 
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7. (EEAR 2019) Um trapézio tem 12 cm de base média 
e 7 cm de altura. A área desse quadrilátero é ______ 
cm². 
 
a) 13 
b) 19 
c) 44 
d) 84 
 
8. (EEAR 2015) Considere um quadrado de diagonal 5
√2 m e um losango de diagonais 6 m e 4 m. Assim, a 
razão entre as áreas do quadrado e do losango é 
aproximadamente igual a: 
 
a) 3,5 
b) 3,0 
c) 2,5 
d) 2,1 
 
9. (EEAR 2017) A malha da figura abaixo é formada por 
losangos cujas diagonais medem 0,50 cm e 2,00 cm. A 
área hachurada é de _____cm². 
 
 
 
a) 20 
b) 22 
c) 23 
d) 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. (EEAR 2013) Considere o retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, e os 
pontos médios dos seus lados 𝑀, 𝑁, 𝑃 e 𝑄. Unindo esses 
pontos médios, conforme a figura, pode-se concluir que 
a área hachurada, em cm², é: 
 
 
)8
)4
)4 2
)2 2
a
b
c
d
 
 
11. (ESA 2008) As diagonais de um losango medem 48 
cm e 33 cm. Se a medida da diagonal maior diminuir 4 
cm, então, para que a área permaneça a mesma, deve-
se aumentar a medida da diagonal menor de: 
 
a) 3 cm 
b) 5 cm 
c) 6 cm 
d) 8 cm 
e) 9 cm 
 
12. (EEAR 2007) Os lados de um triângulo medem 7 cm, 
8 cm e 9 cm. A área desse triângulo, em cm², é: 
 
)12 3
)12 5
)8 2
)8 3
a
b
c
d
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NÍVEL 2 – OFICIALATO 
 
1. (EsPCEx 2021) Na figura a seguir, ABCD é um 
quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto 
médio de DE 
 
 
 
A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do 
triângulo AEF, nessa ordem, é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
2. (EPCAr 2021) No retângulo EPCR da figura a 
seguir, PC 6 cm, RA 3 cm= = e AC 5 cm.= 
 
 
 
O valor de sen cosα α+ é 
 
a) 
3 5
5
 
b) 
4 5
5
 
c) 
2 5
5
 
d) 
5
5
 
 
 
 
3. (EsPCEx 2020) Um trapézio ABCD, retângulo em A 
e D, possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-
se que os lados AB e CD medem, respectivamente, 
2 cm e 18 cm, então a área, em 
2cm , desse trapézio 
mede 
 
a) 120. 
b) 60. 
c) 180. 
d) 30. 
e) 240. 
 
4. (EPCAr 2019) Considere a figura a seguir. 
 
 
 
Sabe-se que: 
 
1. MNST e NPQS são quadrados 
2. MS 4 2 cm= 
3. ( )ˆmed UQS 15=  
4. os pontos M, U, S e R estão alinhados. 
 
Sejam 1A a área do triângulo SRQ e 2A a área do 
triângulo URQ, ambas em 2cm 
 
O valor de 1
2
A
A
 é 
a) 
2
2
 
b) 
3
3
 
c) 
6
2
 
d) 
6
3
 
 
 
 
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5. (EsPCEx 2019) Considere uma circunferência de 
centro O e raio 1cm tangente a uma reta r no ponto 
Q. A medida do ângulo ˆMOQ é 30 , onde M é um 
ponto da circunferência. Sendo P o ponto da reta r tal 
que PM é paralelo a OQ, a área (em 
2cm ) do 
trapézio OMPQ é 
 
a) 
1 3
.
2 8
− 
b) 
3
2 .
2
− 
c) 
3
1 .
2
+ 
d) 
3
2 .
8
− 
e) 
3
.
2
 
 
6. (EPCAr 2019) Um artista plástico providenciou uma 
peça de decoração com características matemáticas 
conforme representado no croqui a seguir. 
 
 
 
Considere que: 
 
1. OA OB OC OD OE OF OG OH R= = = = = = = = 
2. Os arcos de circunferência 
AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA ora têm centro no 
ponto médio de cada uma das cordas 
AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HA, respectivamente, 
ora têm centro no ponto O 
3. 3π = 
4. 2 1,4= 
 
 
 
 
A área hachurada no croqui, em função da medida R, 
é igual a 
a) 21,4 R 
b) 21,6 R 
c) 21,8 R 
d) 22 R 
 
7. (EPCAr 2017) Considere, no triângulo ABC abaixo, 
os pontos P AB, Q BC, R AC e os segmentos 
PQ e QR paralelos, respectivamente, a AC e AB. 
 
 
 
Sabendo que BQ 3 cm,= QC 1cm= e que a área do 
triângulo ABC é 
28 cm , então a área do 
paralelogramo hachurado, em 2cm , é igual a 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. (EPCAr 2017) Na figura abaixo, tem-se que DF é 
um arco de circunferência de centro E e raio DE. 
 
 
 
Sabe-se que: 
 
- ADE é um triângulo 
- DE é paralelo a BC 
- BD 7 cm= 
- AC 10 cm= 
- BC 6 cm= 
- ˆACB 120=  
- 
1
cos 120
2
 = − 
 
A área do setor circular hachurado na figura, em 2cm , 
é igual a 
 
a) 27π 
b) 
27
2
π
 
c) 
9
2
π
 
d) 3π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. (EPCAr 2017) Considere duas calçadas r e s, 
paralelas entre si, a uma distância de 6 m uma da 
outra. 
 
 
 
Duas pessoas distantes 5 m uma da outra se 
encontram nos pontos A e B definidos na calçada s. 
Na calçada r está uma placa de parada de ônibus no 
ponto X que dista 10 m da pessoa posicionada em A. 
 
Quando a pessoa em A se deslocar para P sobre o 
segmento AX, a distância que irá separá-la da pessoa 
posicionada no ponto B, em metros, será de 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10. (EPCAr 2016) Na figura abaixo A, B, C, D, E e 
F são vértices de um hexágono regular inscrito numa 
circunferência de raio 1 metro e centro O. 
 
 
 
Se ACE e BDF são triângulos equiláteros, então, a 
área da parte sombreada, nessa figura, em 2m , é igual 
a 
 
a) 3
3
π
− 
b) 
3
2
π− 
c) 
3
3
π−
 
d) 3 π− 
 
11. (Esc. Naval 2016) Um triângulo inscrito em um 
círculo possui um lado de medida 42 3 oposto ao 
ângulo de 15 . O produto do apótema do hexágono 
regular pelo apótema do triângulo equilátero inscritos 
nesse círculo é igual a: 
 
a) 3( 3 2)+ 
b) 4(2 3 3)+ 
c) 8 3 12+ 
d) 2(2 3 3)+ 
e) 6( 2 1)+ 
 
 
 
 
 
 
 
12. (Esc. Naval 2015) Seja ABCD um quadrado de 
lado , em que AC e BD são suas diagonais. Seja O 
o ponto de encontro dessas diagonais e sejam P e Q 
os pontos médios dos segmentos AO e BO, 
respectivamente. Pode-se dizer que a área do 
quadrilátero que tem vértices nos pontos A, B, Q e P 
vale 
a) 
23
16
 
b) 
2
16
 
c) 
238
 
d) 
2
8
 
e) 
23
24
 
 
13. (EPCAr 2014) Na figura abaixo, os três círculos 
têm centro sobre a reta AB e os dois de maior raio têm 
centro sobre a circunferência de menor raio. 
 
 
 
A expressão que fornece o valor da área sombreada é 
a) 2
17 6 3
r
9
π −
 
b) 2
11 9 3
r
12
π +
 
c) 2
15 4 3
r
9
π −
 
d) 2
13 6 3
r
12
π +
 
 
 
 
 
 
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14. (EsPCEx 2014) As regras que normatizam as 
construções em um condomínio definem que a área 
construída não deve ser inferior a 40% da área do lote 
e nem superior a 60% desta. O proprietário de um lote 
retangular pretende construir um imóvel de formato 
trapezoidal, conforme indicado na figura. 
 
 
 
Para respeitar as normas acima definidas, assinale o 
intervalo que contém todos os possíveis valores de x. 
 
a) [6, 10] 
b) [8,14] 
c) [10,18] 
d) [16, 24] 
e) [12, 24] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. (EPCAr 2013) Na figura abaixo, ABCDE é um 
pentágono regular de lado a e 
AB BC CD DE EA= = = = são arcos de circunferência 
cujo raio mede a. 
 
 
 
 
Assim a área hachurada nessa figura, em função de a, 
é igual a 
 
a) 
25a 3
 
2 3 2
π 
− 
 
 
b) 2
3
5a
3 2
π 
− 
 
 
c) ( )
2a
4 5 3
4
π − 
d) ( )2a 4 5 3π − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16. (EPCAr 2012) A figura abaixo representa um 
octógono regular tal que CH 6 cm.= 
 
 
 
A área desse polígono, em 2cm , é igual a 
 
a) ( )56 2 1− 
b) ( )64 2 1− 
c) ( )72 2 1− 
d) ( )80 2 1− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. (EPCAr 2011) A figura abaixo representa o logotipo 
que será estampado em 450 camisetas de uma 
Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do 
“Colégio Alfa”. Essa figura é formada por um círculo de 
centro O inscrito num triângulo isósceles cuja base BC
mede 24 cm e altura relativa a esse lado mede 16 cm 
O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é 
necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para 
pintar 
25400 cm . 
 
 
 
Adote 3π = 
 
Com base nesses dados, é correto afirmar que o número 
de potes necessários para pintar o círculo em todas as 
camisetas é igual a 
 
a) 9 
b) 10 
c) 11 
d) 12 
 
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GABARITO NÍVEL 1 
 
1. C 
2. B 
3. B 
4. A 
5. B 
6. D 
7. D 
8. D 
9. C 
10. B 
11. A 
12. B 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Observe a figura: 
 
 
 
Temos que: 
AEF AED AFD
AEF
2
AEF
2 2
AEF
2
AEF
2a a
sen
2b b
A A A
1 1
A 2a 2a 2a b sen
2 2
a
A 2a a b
b
A 2a a
A a
θ
θ
= =
= −
=   −   
= −  
= −
=
 
 
Logo: 
( )
2
ABCD
2
AEF
ABCD
AEF
2aA
A a
A
4
A
=
 =
 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
 
 
No triângulo EPC, temos: 
2 2 2EC 6 8 EC 10= +  = 
 
Calculando a área do triângulo AEC, obtemos: 
5 6 10 h
h 3
2 2
 
=  = 
 
No triângulo ERA, temos: 
2 2 2AE 6 3 AE 3 5= +  = 
 
EHA ERA (caso H.C.) AÊR .Δ Δ α  = 
No triângulo ERA, obtemos: 
3 6 3 3 5
sen cos
53 5 3 5 5
α α+ = + = = 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Sabendo que a altura de todo trapézio retângulo de 
diagonais perpendiculares é dada pela média 
geométrica das bases, temos =  =h 2 18 6cm. 
 
Portanto, segue que a resposta é igual a 
21(ABCD) (2 18) 6 60cm .
2
=  +  = 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
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( )
ˆUSQ 45 90 135
ˆSUQ 180 135 15 30
ˆQSR 180 135 45 SR QR h
=  + = 
=  −  +  = 
=  −  =   = =
 
 
Portanto: 
1
2
1
h h
A h 32 tg30
1A RU 3
RU h
2
 
= = =  =
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
 
 
MN 1 1
sen30 MN NQ
1 2 2
ON 3 3
cos30 ON MP 1
1 2 2
 =  =  =
 =  =  = −
 
 
Portanto, a área do trapézio OMPQ será dada por: 
3 1
1 1
2 2 1 3
A
2 2 8
 
+ −   
 
= = − 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
 
 
2 2 2 2 2AB R R 2 R Rcos45 AB R (2 2) AB 0,6 R= + −    = −  =  
 
Determinando a área 1A , obtemos: 
2
2 2
1
R 45 1
A R R sen 45 R (0,375 0,35) 0,025 R
360 2
π  
= −     =  − =  
 
A área 2A será a diferença entre A área do 
semicírculo de diâmetro AB e a área 1A . 
2
2
2 1
2 2
2
2
2
0,6R
2
A A
2
A 0.225 R 0.025 R
A 0,2 R
π
 
 
 
 
= −
= −
=
 
 
Portanto, a área assinalada será: 
2
2A 8 A 1,6 R=  =  
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Calculando: 
2
RQC RQC
RQC
ABC
2
PBQ PBQ
PBQ
RQC
hachurado ABC PBQ RQC hachurado
S SCQ 1 1 1 1 1S
2CB 4 S 4 16 16 8
S S3 9 9 9S
21S 1 1 1
2
9 1S S S S 8 S 3
2 2
 
= → = = → = → = 
 
 
= = → = → = 
 
= − − = − − → =
 
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Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
 
 
Aplicando o Teorema dos cossenos no triângulo ABC, 
temos: 
2 2 2
2
2
AB 6 10 2 6 10 cos120
1
AB 136 120
2
AB 196
AB 14 cm
= + −    
 
= −  − 
 
=
=
 
 
Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo: 
AB 6
AB 7 R
14 6
14 7 R
2 6
3 R
R 9 cm
=
+
=
+
=
=
 
 
Calculando agora, a área A do setor circular de raio 
R, temos: 
2
260 9 81 27A cm
360 6 2
π π π   
= = =

 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
 
 
Admitindo que S seja á área do triângulo ABX e d a 
distância entre P e B, podemos determinar S de dois 
modos diferentes. 
10 d 5 6
S ou S
2 2
 
= = 
 
Portanto, 
10 d 5 6
d 3 m
2 2
 
=  = 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
Considere cada um dos triângulos equiláteros 
parcialmente hachurados com lado r, que é igual ao 
raio da circunferência menor da figura. 
 
 
 
A altura h de cada um dos triângulos equiláteros é 
dada por: 
r 3
h
2
r 3 1 3
R 2h 2 1 r 3 r r
2 33
=
= =  → = → = → =
 
 
A área de cada um dos triângulos equiláteros menores 
será igual a: 
3
3
b h r 3 3 33S r S
2 4 3 4 12
Δ Δ


= =  =  → = 
 
A área que é delimitada por um setor circular abaixo 
de cada um dos triângulos equiláteros pode ser escrita 
com sendo: 
2
setor
3
60
3 18 1
S
360 9 36 18
π
π π
 
    
 
= =  =

 
 
Por fim, a área hachurada pode ser calculada como 
sendo: 
( )( ) ( )hachurada setor hachurada setor
hachurada
hachurada
S 6 S S S S 6 2 S S
2 3 3 3 3 3 3
S 6 6 6
12 18 6 18 18 3
S 3
3
Δ Δ Δ
π π π π
π
=  − − → =   −
     − −
=  − ==  − =  =          
     
= −
 
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LISTA 14 – ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
( )
( )
( )
4 4
4 4
2
2
4
a 2 3 2 3
2R 2R 2R
sen sen15 sen(45 30 )
4
2 3 2R R 3 6 2
6 2
RApótema triângulo equilátero inscrito
2 R 3
Pr oduto
4R 3Apótema hexágono regular inscrito
2
3 6 2 3
6 3 3 3 3 2
4
α
= → = → =
  − 
 = → =  +
−
→
=
→
  + 
 
= + = +
 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
É imediato que a área do triângulo ABO corresponde 
a 
2
.
4
 Além disso, sendo PQ uma base média do 
triângulo ABO, temos 
21
(PQO) (ABO) .
4 16
= = 
Portanto, segue que a área do trapézio isósceles 
ABQP é igual a 
 
2 2
2
(ABQP) (ABO) (PQO)
4 16
3
u.a.
16
= −
= −
=
 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
A área hachurada será igual a área de uma 
circunferência maior (raio r), somada à área da “lua” 
remanescente da outra circunferência maior (raio r), 
subtraindo-se a área da circunferência menor (raio 
r 2). Pode-se deduzir graficamente: 
 
 
 
Deduz-se, portanto, que área de uma circunferência 
maior é igual a 2r .π 
 
Para calcular a área da “lua” remanescente da outra 
circunferência de raio r (área hachurada em azulnas 
figuras a seguir) é preciso subtrair o equivalente a 
duas áreas verdes (ver figuras a seguir). Para calcular 
a área verde, é preciso calcular a área do setor circular 
de 120 menos a área de um triângulo equilátero de 
lado r. 
 
 
 
Assim, pode-se escrever que a área total hachurada 
em cinza é igual a: 
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
r 120 r 3 r
r r 2
360 4 4
r 4 r 3r 3 3 r 8 r 6r 3
r r 2 r
4 12 4 12
3 r 12 r 8 r 6r 3 3 r 4 r 6r 3
4 12 4 12
9 r 4 r 6r
π
π π π
π π π
π π π π
π π π π π
π π
     
+ −  − −         
      − −
− + −  = + −      
            
 − + +
+ = + 
  
+ + 2 2 23 13 r 6r 3 13 6 3 r
12 12 12
π π + +
= =   
 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
Área do lote: 220 (12 18) 600 m + = 
 
Área construída: 
(x 12) 20
10 x 120
2
+ 
= + 
De acordo com o enunciado, temos: 
 
TEOREMA MILITAR 
LISTA 14 – ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
40 60
600 10x 120 600 240 10x 120 360 120 10x 240 12 x 24
100 100
  +     +        
 
Portanto, x [12, 24]. 
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Importante observar que a figura não mostra o círculo 
circunscrito ao pentágono regular, mas, sim, cinco 
segmentos circulares, como o da figura abaixo. 
 
 
 
Tirando a área do triângulo equilátero da área do setor 
circular, encontra-se a área do segmento circular. 
Multiplicando este resultado por cinco, tem-se a área 
pedida. 
 
 
 
2 2 2
T
a 60 a 3 5 a 3
A 5.
360 4 2 3 2
π π       
= − = −        
 
 
Resposta da questão 16: 
 C] 
 
 
 
Calculando o valor de x, temos: 
 
x x 2 x 6
x(2 2) 6
6 2 2
x
2 2 2 2
x 3 (2 2)
+ + =
+ =
−
= 
+ −
=  −
 
 
Portanto, a área do octógono será calculada por : 
 
A = 62 (área do quadrado) – 
x.x
4
2
 (área dos 
triângulos retângulos de catetos x) 
 
2
2
A 36 2x
A 36 2 (3 (2 2))
A 36 18(4 4 2 2)
A 72 ( 2 1)
= −
= −   −
= − − +
=  −
 
 
Resposta da questão 17: 
 [A] 
 
 
 
2 2 2AC 16 12 AC 20= +  = 
R 16 R
AOD ~ ACM R 6
12 20
Δ Δ
−
 =  = 
Área que será pintada. 
A = 
2 2 2A 450. .R 450.3.6 48600cmπ= = = 
Número de potes = 
48600
9
5400
=