LISTA 21 - ESFERA

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TEOREMA MILITAR 
LISTA 21 – ESFERA 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAR 2017) Considere um recipiente em 
forma de cubo, completamente cheio de água. Se três 
esferas metálicas de 1 cm de raio forem colocadas 
dentro do recipiente, o volume de água que será 
derramado será de ______ 𝜋 cm³ 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
2. (EEAR 2014) Considerando 𝜋 = 3, utilizando 108 
cm³ de chumbo pode-se construir uma esfera de 
_____ cm de diâmetro. 
 
a) 7 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
 
3. (ESA 2016) Duas esferas de raios 3 cm e 
3 51 
 
cm fundem-se para formar uma esfera maior. Qual é o 
raio da nova esfera? 
 
3
3
3
3
3
) 78
) 36
) 68
) 104
) 26
a
b
c
d
e
 
 
4. (EEAR 2018) Uma esfera E foi dividida em 3 
partes: A, B e C, como mostra o desenho. Se os 
volumes 
dessas partes são tais que: 
( )
( ) ( ) ( ) 486 ³
2
V C
V A V B e V C cm= = = , então 
o raio da esfera é _____ cm 
 
 
 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 12 
 
 
 
 
 
 
5. (EEAR 2016) Na ilustração a seguir, são 
apresentadas duas situações. Na primeira, o cilindro 
contém um líquido que atinge uma altura h. Inserindo-
se uma esfera de 3 cm de raio 
nesse mesmo cilindro, o nível do líquido aumenta, 
conforme situação 2. O novo volume, determinado 
pelo líquido somado à esfera, totaliza 588cm³. 
Considerando 𝜋 = 3 e o raio da base do cilindro igual a 
4 cm, a medida da altura h corresponde a ______ cm. 
 
 
 
a) h = 8 
b) h = 10 
c) h = 16 
d) h = 32 
 
6. (EEAR 2011) A cuba de uma pia tem forma de 
uma semiesfera de 3 dm de raio. A capacidade dessa 
cuba é _________ 𝜋 litros. 
 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 18 
 
7. (EEAR 2007) Um reservatório, com volume igual 
a 144𝜋 m³, tem a forma de uma semiesfera. Para 
aumentar seu volume em 342𝜋 m³, é preciso 
aumentar o raio do reservatório em: 
 
a) 12m 
b) 9m 
c) 6m 
d) 3m 
 
 
 
 
 
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8. (EEAR 2016) Uma esfera inscrita em um cubo 
de diagonal 2√3 m tem o volume igual a 
 
) ³
3
2
) ³
3
4
) ³
3
32
) ³
3
a m
b m
c m
d m




 
 
9. (EEAR 2017) Uma esfera está inscrita num 
cilindro equilátero cuja área lateral mede 16𝜋 cm². O 
volume da esfera inscrita é: 
 
) 8
) 16
32
) ³
3
256
) ³
3
a
b
c m
d m




 
 
10. (EEAR 2006) Uma esfera tem 36𝜋 m³ de volume. 
A medida de sua superfície, em m², é: 
 
a) 72𝜋 
b) 56𝜋 
c) 48𝜋 
d) 36𝜋 
 
11. (EEAR 2017) Um escultor irá pintar 
completamente a superfície de uma esfera de 6m de 
diâmetro, utilizando uma tinta que, para essa 
superfície, rende 3m² por litro. Para essa tarefa, o 
escultor gastará, no mínimo, _____ litros de tinta. 
(Considere 𝜋 = 3) 
 
a) 18 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. (EEAR 2012) Uma Escola de Samba carregou, 
em um de seus carros alegóricos, uma imensa esfera 
de 5 m de raio. O pintor da Escola disse que gastou 10 
litros de tinta para pintar cada 157 m² da superfície da 
esfera. Considerando 𝜋 = 3,14, o número de litros de 
tinta que foram gastos para pintar toda a superfície da 
esfera foi: 
 
a) 16 
b) 18 
c) 20 
d) 22 
 
13. (EEAR 2008) Uma esfera tem 9𝜋 cm² de área. 
Para que a área passe a 100𝜋 cm², o raio deve ter sua 
medida aumentada em: 
 
70
) %
9
70
) %
3
700
) %
9
700
) %
3
a
b
c
d
 
 
14. (EEAR 2015) Uma esfera de raio 𝑅 = 3 𝑐𝑚 foi 
cortada ao meio, gerando duas semi-esferas. A área 
da superfície de cada semi-esfera é ___ 𝜋 𝑐𝑚² 
 
 
 
a) 20 
b) 22 
c) 25 
d) 27 
 
 
 
 
 
 
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NÍVEL 2 – OFICIALATO 
 
1. (EsPCEx 2019) O volume de uma esfera inscrita em 
um cubo com volume 3216 cm é igual a 
 
a) 338 cm .π 
b) 336 cm .π 
c) 334 cm .π 
d) 332 cm .π 
e) 330 cm .π 
 
2. (EsPCEx 2018) A angioplastia é um procedimento 
médico caracterizado pela inserção de um cateter em 
uma veia ou artéria com o enchimento de um pequeno 
balão esférico localizado na ponta desse cateter. 
Considerando que, num procedimento de angioplastia, 
o raio inicial do balão seja desprezível e aumente a uma 
taxa constante de 0,5 mm s até que o volume seja 
igual a 3500 mm , então o tempo, em segundos, que o 
balão leva para atingir esse volume é 
 
a) 10. 
b) 3
5
10 .
π
 
c) 3
2
10 .
π
 
d) 310 .π 
e) 3
3
10 .
π
 
 
3. (Efomm 2016) Seja uma esfera de raio R e um cubo 
de aresta A, ambos com a mesma área de superfície. A 
razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é 
igual a 
 
a) 
1
.
π
 
b) .
12
π
 
c) 
2
.
3
π
 
d) .
3
π
 
e) .
6
π
 
 
 
 
 
 
 
4. (EsPCEx 2016) Um recipiente cilíndrico, cujo raio da 
base tem medida R, contém água até uma certa altura. 
Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente 
ficando totalmente submersa, sem haver 
transbordamento de água. Se a altura da água subiu 
9
R,
16
 então o raio da esfera mede 
 
a) 
2
R
3
 
b) 
3
R
4
 
c) 
4
R
9
 
d) 
1
R
3
 
e) 
9
R
16
 
 
5. (Esc. Naval 2015) Um prisma quadrangular regular 
tem área lateral 36 6 unidades de área. Sabendo que 
suas diagonais formam um ângulo de 60 com suas 
bases, então a razão do volume de uma esfera de raio 
1 624 unidades de comprimento para o volume do 
prisma é 
 
a) 
8
81π
 
b) 
81
8
π
 
c) 
8
81
π
 
d) 
8
27
π
 
e) 
81
8π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. (EsPCEx 2014) Considere que uma laranja tem a 
forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 
gomos exatamente Iguais. A superfície total de cada 
gomo mede: 
 
a) 
3
24 cm
3
π
 
b) 
3
24 cm
9
π
 
c) 
2
24 cm
3
π
 
d) 
2
24 cm
9
π
 
e) 3 24 cmπ 
 
7. (AFA 2013) Uma caixa cúbica, cuja aresta mede 0,4 
metros, está com água até 
7
8
 de sua altura. 
Dos sólidos geométricos abaixo, o que, totalmente 
imerso nessa caixa, NÃO provoca transbordamento de 
água é 
 
a) uma esfera de raio 3 2 dm. 
b) uma pirâmide quadrangular regular, cujas arestas da 
base e altura meçam 30 cm. 
c) um cone reto, cujo raio da base meça 3 dm e a 
altura 3 dm. 
d) um cilindro equilátero, cuja altura seja 20 cm. 
 
8. (Esc. Naval 2013) Um astronauta, em sua nave 
espacial, consegue observar, em certo momento, 
exatamente 
1
10
 da superfície da Terra. 
 
Que distância ele está do nosso planeta? Considere o 
raio da Terra igual a 6400 km 
a) 1200 km 
b) 1280 km 
c) 1600 km 
d) 3200 km 
e) 4200 km 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. (Esc. Naval 2012) Uma esfera confeccionada em aço 
é usada em um rolamento de motor de um navio da 
Marinha do Brasil. Se o raio da esfera mede 
3 5 3 5 3 cm, então seu volume vale 
 
a) 3 345 10 dmπ− 
b) 3 30,45 10 dmπ− 
c) 3 360 10 dmπ− 
d) 3 30,15 10 dmπ 
e) 3 360 10 dmπ 
 
GABARITO NÍVEL 1 
 
1. B 
2. B 
3. A 
4. B 
5. B 
6. D 
7. D 
8. C 
9. C 
10. D 
11. C 
12. C 
13. D 
14. D 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
 
 
Admitindo que r seja o raio da esfera concluímos que 
a medida da aresta do cubo é 2r, portanto podemos 
escrever que: 
3 3 3(2r) 216 8r 216 r 27 r 3 cm.=  =  =  = 
 
Logo o volume da esfera será dado por: 
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3 3
34 r 4 3v 36 cm
3 3
π π
π
   
= = = 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Seja r, em mm, a medida do raio de uma esfera cujo 
volume é 3500 mm . 
Temos então: 
3
3
3
3
3
4
500 r
3
375
r
3 5
r
3
r 5 mm
π
π
π
π
=  
=

=
= 
 
 
Sendo t, o tempo em segundos, que o balão leva para 
atingir o volume 3500 mm nas condições dadas, 
3
3
3
5 mm
0,5 mm
1s t
3
t 10 s
π
π

=
= 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [E]Tem-se que 
 
2 2 26A 4 R A R.
3
π
π=  = 
 
Portanto, a resposta é 
 
3
3
3 3
2
R
A 3
.
4 4 6
R R
3 3
π
π
π π
 
 
 
= = 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
 
 
Considerando que x seja o raio da esfera e 
escrevendo que o volume da esfera é igual ao volume 
da água deslocada, pode-se escrever: 
 
3
3 2 34 9R 27R 3x R x x R
3 16 64 4
π π  =    =  =  
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Sejam e h, respectivamente, a medida da aresta da 
base e a medida da altura do prisma. 
Assim, a medida da diagonal da base mede 2 e, 
portanto, temos 
 
h
tg60 h 6 u.c.
2
 =  = 
 
Por outro lado, se o prisma tem área lateral igual a 
36 6, vem 
 
4 h 36 6 6 9 6
3 u.c.
 =   =
 =
 
 
Em consequência, o volume do prisma é igual a 
23 3 6 27 6 u.v. = 
 
O volume da esfera é dado por 
 
1 6 3 1 24 4 8(24 ) (6 4) 6 u.v.
3 3 3
π π π
=  = 
 
A razão pedida é 
 
8
6
83 .
8127 6
π
π
= 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
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360° : 12° = 30° 
 
A área total de cada gomo é a soma das áreas de um 
fuso esférico como as áreas de dois semicírculos. 
 
2 2
3
2
30 4 4 4
A 2
360 2
16
A 16
3
64 4
A cm .
3 3
   
= + 

= +
= =
π π
π
π
π π
 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Calculando agora o volume de cada sólido dado, 
temos: 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
 
 
Sabemos que a área da calota esférica (avistada pelo 
astronauta) é um décimo da área da superfície 
esférica. Temos, então, a seguinte equação: 
24 R R
2 Rh h
10 5
π
π =  = 
 
Calculando a medida x da figura: 
R
x R h x R
5
= −  = − 
4R
x
5
= 
 
Aplicando uma relação métrica no triângulo ATO, 
temos: 
2 4R AO R
5
=   
5R
AO
4
= 
 
Logo, a distância d pedida será dada por: 
5R R 6400
d R d d d 1600km.
4 4 4
= −  =  =  = 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
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Sendo r 3 5 3 5 3 cm= o raio da esfera, temos 
 
4 4
3
3
r 45 3 5 3 r 45r
r(r 45) 0
r 45.
=  =
 − =
 =
 
 
Portanto, o resultado pedido é 
 
3
3
3 3
4 4
r 45
3 3
60 cm
60 10 dm .
π π
π
π−
 = 
=
= 