Dinâmica do Corpo Rígido - ISUTC

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Instituto Superior De Transportes E Comunicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento De Ciências Básicas 
 
 
 
 
 
 
 
“Dinâmica do Corpo Rígido” 
 
 
 
 
 
 
 
Licenciatura em Engenharia Civil E De Transportes 
 
 
 
 
 
 
 
 Disciplina: Física I 
 Docente: Prof. Dr. Adriano H.E.R Sacate 
 Discente(s): Lauro Mota, Kelvin Ossmane, Fredrich Antonio (Participação 0%). 
 Turma: C12 
 1º Ano 
 
 
 
 
Maputo, Maio - 2015 
 
	 1	
1. INTRODUÇÃO 
O presente trabalho tem como objectivo principal abordar os assuntos relativos à 
Dinâmica do corpo rígido mais especificamente tratando da velocidade angular, a 
aceleração angular e o momento angular. 
Um corpo rígido é definido como um conjunto finito, de ! partículas de massas "# e 
posições $#. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 2	
2. POSIÇÃO ANGULAR 
“A posição angular de uma linha é o ângulo da linha em relação a uma direção fixa, 
que tomamos como a posição angular zero. A posição angular % pode ser medida em relação 
aos e eixos &	(	)*	+.” (Walker, Halliday & Resnick, 2014) 
 De geometria, sabe-se que θ é dado por: 
 
- = $% 
 
% =
-
$
 
 
Onde: s – é o comprimento de um arco circular, que se estende a partir do eixo(a 
posição angular de zero) ; r – é o raio do círculo. 
 
“Um ângulo definido desta forma é medido em radianos ($/0), em vez de em rotações 
ou graus. O radiano, sendo o rácio de dois comprimentos, é um número puro e, portanto, não 
tem dimensão. Uma vez que a circunferência de um círculo de raio R é 22$, existem 22 
radianos em um círculo completo.” (Walker et al., 2014) 
 
1	$)4/çã) = 360° = 22	$/0 
e, portanto: 
1	$/0 = 57,3° = 0,159	$)4/çõ@- 
 
[1.0]	
[1.1]	
[1.2]	
[1.3]	
	 3	
Não se redefiniu % a zero com cada rotação completa da linha de referência sobre o 
eixo de rotação. Se a linha de referência completa duas rotações da posição angular zero, 
então a posição angular % da linha é % = 42	$/0. 
“Para translação pura ao longo de um eixo x, podemos saber tudo o que há para 
saber sobre um corpo em movimento, se sabemos &(4), a sua posição como uma função do 
tempo. Da mesma forma, para a rotação pura, podemos saber tudo o que há para saber 
sobre um corpo em rotação, se sabemos %(4), a posição angular da linha de referência do 
corpo como uma função do tempo.” (Walker et. al., 2014). 
3. DESLOCAMENTO ANGULAR 
 Se um corpo gira em torno do eixo de rotação como, alterando a posição angular da 
linha de referência a partir de %D para %E, o corpo é submetido a uma deslocação angular ∆% 
que é dada por: 
∆% = %E − %D 
“Esta definição de deslocamento angular é válida não só para o corpo rígido como 
um todo, mas também para todas as partículas dentro desse corpo. 
Se um corpo está em movimento de translação ao longo do eixo &, o seu deslocamento 
∆& é positivo ou negativo, dependendo se o corpo se move no sentido positivo ou negativo do 
eixo. Da mesma forma, o deslocamento angular ∆% de um corpo em rotação é positivo ou 
negativo, de acordo com a seguinte regra: 
 
Um deslocamento angular no sentido anti-horário é positivo, e um no sentido 
normal dos ponteiros do relógio é negativo.” (Walker et. al., 2014). 
[1.4]	
	 4	
4. VELOCIDADE ANGULAR 
Suponha-se que um corpo rotativo está na posição angular %D no intervalo de tempo 
4D, e na posição angular %E no intervalo de tempo 4E. Define-se a velocidade média angular do 
corpo no intervalo de tempo ∆4 de 4D para 4E como: 
 
HIJK =
%E − %D
4E − 4D
=
∆%
∆4
 
Onde: ∆% é o deslocamento angular durante ∆4. 
 
 A velocidade angular (instantânea) H, é o limite da razão na Eq. 1.5, como ∆4 se 
aproxima de zero. Assim: 
 
H = lim
∆O→Q
∆%
∆4
=
0%
04
 
 
Equações 1.5 e 1.6 são válidas não só um o corpo rígido rotativo como um todo, mas 
também para que cada partícula de corpo, porque as partículas estão ligadas. A unidade da 
velocidade angular é normalmente o radiano por segundo ($/0/-) ou a rotação por segundo 
($/-@S). 
“Se uma partícula se move em torno de um eixo & , a sua velocidade linear T é 
positiva ou negativa, dependendo da sua direcção ao longo do eixo. Da mesma forma, a 
velocidade H angular de um corpo rígido em rotação é positiva ou negativa, dependendo se o 
corpo estiver a girar no sentido anti-horário (positivo) ou no sentido horário (negativo).” 
(Walker et. al., 2014) 
[1.5]	
[1.6]	
	 5	
5. ACELERAÇÃO ANGULAR 
Se a velocidade angular de um corpo rotativo não é constante, então o corpo tem uma 
aceleração angular. Sendo HD e HE as velocidades angulares nos momentos 4E e 4D . 
respectivamente. A aceleração angular média do corpo rotativo no intervalo de 4D e 4E é 
definido como: 
 
UIJK =
HE − HD
4E − 4D
=
∆H
∆4
 
Onde: ∆H é a variação na velocidade angular que ocorre durante um intervalo de 
tempo ∆4. 
 
O aceleração angular (instantânea) U um, é o limite desta quantidade como ∆4 se 
aproxima de zero. Assim: 
U = lim
∆O→Q
∆H
∆4
=
0H
04
 
 
Tal como o nome sugere, esta a aceleração angular do corpo a um dado instante. Equações 1.7 
e 1.8 são também válidas para cada partícula contida do no corpo. A unidade de aceleração 
angular é normalmente o radiano por segundo ao quadrado ($/0/-E) ou a rotação por 
segundo ao quadrado ($/-@SE). 
 
 
 
 
 
[1.7]	
[1.8]	
	 6	
6. ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE 
Sendo U = V)W-4/W4@ as equações cinemáticas apropriadas são: 
 
H = HQ + U4 
 
% − %Q = HY4 +
1
2
U4E 
 
HE = HQ
E + 2U % − %Q 
 
% − %Q =
1
2
HQ + H 4 
 
% − %Q = H4 −
1
2
U4E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[1.9]	
[2.0]	
[2.2]	
[2.3]	
[2.1]	
	 7	
7. EXEMPLO 1 
A posição angular de um volante de motor de 0,36	" de diâmetro é dado por: 
% = (2.0	$/0/-[)4[ 
 
(a) Encontre %, em radianos e em graus, em 4D = 2,0	- e 4E = 5,0	-. 
(b) Encontre a distância que uma partícula sobre o aro do volante de motor se move 
sobre o intervalo de tempo de 4D = 2,0	- para 4E = 5,0	-. 
(c) Encontre a velocidade angular média, em $/0/- e em $/"\W, ao longo desse 
intervalo. 
(d) Encontre as velocidades instantâneas angulares em 4D = 2,0	- e 4E = 5,0	-. 
 
Solução: 
(a) Substituindo os valores de 4 na equação para % tem-se: 
 
⟹	%D = (2,0	$/0/-
[) 2,0	- [ = 16	$/0	 ⟹	 16	$/0 [^Q°
E_	`aK
= 920°	 
⟹	%E = (2,0	$/0/-
[) 5,0	- [ = 250	$/0 ⟹	 250	$/0 [^Q°
E_	`aK
= 14,000°	 
 
(b) Durante o intervalo de 4D = 2,0	- e 4E = 5,0	- o deslocamento angular do volante é ∆% =
%E − %D = 250	$/0 − 16	$/0 = 234	$/0. O raio r é metade do diâmetro, ou 0,18	". Para 
usar a Eq. 1.0, os ângulos devem ser expressa em radianos: 
 
⟹ - = $%E − $%D ⟹ $∆% = 0,18	" 234	$/0 = 42	" 
 
 
	 8	
 (c) Sabendo que HIJK =
cdecf
OdeOf
=
∆c
∆O
 , então: 
 
⟹	HIJK =
%E − %D
4E − 4D
=
250	$/0 − 16	$/0
5,0	- − 2,0	-
= 78	$/0/-	 
⟹	 78
$/0
-
1	$
22	$/0
60-
1	"\W
= 740	$/"\W 
 
(d) Utilizando a expressão H = lim
∆O→Q
∆c
∆O
=
Kc
KO
 , tem-se: 
⟹H =
0%
04
=
0
04
2,0	$/0/-[ 4[ 	⟹	 2,0	$/0/-[ 34E = 6,0	$/0/-[ 4E 
Nos intervalos de tempo 4D = 2,0 e 4E = 5,0 tem-se: 
⟹	HD = 6,0	$/0/-
[ 2,0	- E = 24	$/0/- 
⟹	HE = 6,0	$/0/-
[ 5,0	- E = 150	$/0/- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 9	
8. MOMENTO ANGULAR 
 
 
O momento angular ℓ desta partícula com respeito à origem h é uma grandeza 
vectorial definida como: 
ℓ = $×j = " $×T 
Onde: $ – é o vector de posição da partícula com respeito a h. 
 
À medida que a partícula se move em relação a O na direção do seu momento j =
(". T) vetor posição $ gira em torno de h. 
Nota: Para ter momento angular sobre h, a partícula não tem ela própria para girar em 
torno de h. 
 
 
 
Fig. 1-2: Uma partícula que passa pelo ponto k tem momento linear lmm⃗ (= opmm⃗ ), com o vector lmm⃗ deitada em um plano q, r. A partícula 
tem momento angular sm⃗ = tm⃗ ×lmm⃗ no que diz respeito à origem u. Pela regra da mão direita, o momento do vector angular aponta na 
direção positiva de v. (a) O módulo sm⃗ é dado por s = tl ⊥	= top ⊥ . (b) O módulo sm⃗ tambémé dado por s = t ⊥ l	 = t ⊥ op . 
(a	 b)	
	
[2.4]	
	 10	
8.1. Direção 
“Para encontrar a direção do momento angular do vector ℓ na Fig. 1-2., arrasta-se o 
vector até a cauda esteja na origem h. Então usa-se a regra da mão direita para os produtos 
de vetores, arrastando os dedos de $ em j. O polegar estendido, em seguida, mostra que a 
direcção de ℓ está na direção positiva do eixo + na Fig. 1-2. Este sentido positivo é 
consistente com a rotação anti-horária do vector posição $ em torno do eixo +, tal como a 
partícula se move.” (Walker et al., 2014) 
 
8.2. Módulo 
Usando o resultado de: 
/×x = /yxz − xy/z { + /zx| − xz/| } + � |xy − x|/y ~ 
 
o módulo será dado por: 
ℓ = $"T sinÅ 
 
Onde: Å é o menor ângulo entre j e $ quando estes dois vectores são cauda a cauda 
 
A partir da Fig. 1-2(a), vemos que a Eq. 11-19 pode ser reescrita como: 
ℓ = $j ⊥	= $"T ⊥ 
Onde: onde j ⊥ é a componente j perpendicular à $ e T ⊥ é a componente de T 
perpendicular à $. 
 
 
[2.5]	
[2.6]	
	 11	
A partir da Fig. 1-2(b), vemos que a Eq. 11-19 pode ser reescrita como: 
 
ℓ = $ ⊥ j	 = $ ⊥ "T 
Onde: $ é a distância perpendicular entre h e a extensão de j. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[2.6]	
	 12	
7.2. EXEMPLO 2 
Encontre o momento angular sobre a origem para as seguintes situações: 
 
(a) Um carro de massa 1200	~S que se move em um uma 
circunferência com raio de 20	" com uma velocidade de 
15	"/-. A circunferência está em um plano &, ( centralizado 
na origem. Quando visto a partir de um ponto no eixo + 
positivo, o carro move-se no sentido anti- horário. 
 
 
(b) O mesmo carro move-se no plano &, ( com velocidade T =
− 15	"/- { ao longo da linha ( = (Q = 20	" paralelo ao eixo &. 
 
 
 
Solução: 
(a) $ e j são perpendiculares e $×j está na direção ++ (Fig. 3). Usando ℓ = $×j podemos 
resolver o problema, pois está a considerar-se o carro como uma partícula. Com isto, tem-se: 
⟹	ℓ = $×j = $"T sin 90°~ ⟹ 20	" 1200	~S 15	"/- ~	 
⟹ 3,6×10Ç	~S."E/-	~ 
 
 
Fig. 3 
	
Fig. 4 
	 13	
(b) Para o mesmo carro em movimento na direção de & ao longo da linha ( = 20	", 
expressam-se $ e j em termo de vectores unitários (versores), e usando a expressão ℓ = $×j 
tem-se: 
⟹	$ = &{ + (} = &{ + (Q{ 
⟹	j = "T = −"T{ 
⟹	ℓ = $×j = &{ + (Q} × −"T{ 	⟹	−&"T {×{ − (Q"T }×{ 
⟹ 	0 − (Q"T −~ = (Q"T	~ 	⟹	 20	" 1200	~S 15	"/- ~	 
⟹ 3,6×10Ç	~S."E/-	~ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 14	
9. EXERCÍCIO 16 
Uma roldana possui raio $ = 15,0	V" e o momento de inércia em relação ao eixo de 
rotação central, igual a 1,0×10Ç	S. V"E. Sobre a periferia da roldana, aplica-se uma força 
tangencial que varia com o tempo de acordo com a relação É = 24 + 4E , onde É está 
expressado em ! e 4 em segundos. Sabendo-se que a roldana está inicialmente em repouso, 
determinar: 
 
a) A expressão da velocidade angular em função do tempo 
b) A velocidade angular para 4 = 5,0	- 
c) O valor da energia cinética de rotação para 4 = 5,0	- 
 
Solução: 
 
a) Primeiro convertem-se todas unidades para o Sistema internacional (S.I), a seguir 
utilizando a expressão U = Ñ
Ö
, pode-se desenvolver para achar aceleração angular em função 
do tempo e depois utilizando a expressão U =
KÜ
KO
, integrar para achar a velocidade angular 
em função do tempo, deste modo: 
 
⟹ 	U =
á
à
	⟹ 	U =
É$
à
	⟹	
24 + 4E 0,15	"
0,01	âS ∙ "E
	⟹ U 4 = 304 + 154E	$/0/-E 
⟹ 	U =
0H
04
	⟹ 0H = U04 ⟹	 0H
Ü
Q
= U04
O
Y
 
⟹	 0H
Ü
Q
= 304 + 154E 04
O
Y
⟹ 	H
H
0
= 154E + 54[
4
0
 
⟹ 	H − 0 = 154E + 54[ − 0 ⟹ 	H 4 = 154E + 54[	$/0/- 
	 15	
b) Substituindo o 4 na expressão da velocidade angular em função do tempo H(4) obtém-se a 
velocidade angular para o instante 4 = 5,0	-, deste modo: 
⟹ 	H 4 = 154E + 54[	$/0/- ⟹ 	H = 15 5E + 5 5[ 	$/0/- 
⟹ 	H = 1,0×10[	$/0/- 
 
c) Após conversão das unidades para o S.I, utilizando o resultado da alínea anterior e 
utilizando a expressão âã =
D
E
àHE, calcula-se: 
 
⟹	âã =
0,01	âS ∙ "E 1,0×10[	$/0/- E
2
 
 
⟹	âã = 5	å 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 16	
10. CONCLUSÃO 
Com o presente trabalho concluímos que o estudo do momento angular, velocidade 
angular, aceleração angular, deu origem a varias aplicações, desde o estudo da rotação de 
planetas à invenção de instrumentos de uso no dia-a-dia, tendo possibilitado deste modo um 
grande avanço na ciência. 
Este trabalho foi muito importante para o nosso conhecimento destes temas, pois 
permitiu-nos ficar a compreender melhor este temas, além de ter nos permitido aperfeiçoar as 
nossas competências de investigação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 17	
11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert. (2014). Fundamentos De Física. 10ª Edição. 
E.U.A. John Wiley & Sons Inc 
 
Tpler, Paul; MOSCA, Gene. (2012). Física Para Cientistas E Engenheiros: Com Física 
Moderna. 6ª Edição. E.U.A. W. H. Freeman and Company 
 
Young, Hugh D.; Freedman, Roger A.; Ford, Lewis A. (2012). Sears and Zemansky’s Física 
de Universidade: Com Física Moderna. 13ª Edição. E.U.A. Pearson Education Inc