Prova Fundamentos de Álgebra

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Prova Fundamentos de Álgebra 
AVG - Avaliação Global - EaD - 2021-4 - MATEMÁTICA(MD) - Licen. GRAD - 
EAD(100%Web) - Noturno - 12º PERÍODO - Fundamentos de Álgebra - 
MATEMÁTICA(MD) - Licen. GRAD - EAD(100%Web) - 12NA - POL1077 
A A 
 
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RESUMO DA AVALIAÇÃO 
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Fundamentos de Álgebra 
Questão 1) - 0,50 ponto(s) 
 
Como segurança, evitando que aeronaves batam em uma determinada torre de uma 
emissora de televisão, duas luzes vermelhas piscam com frequências diferentes, 
possibilitando assim uma melhor visualização para os pilotos que estão nas 
proximidades da torre. A primeira pisca 40 vezes por minuto e a segunda pisca 30 
vezes por minuto. Considerando que num certo instante as luzes piscam 
simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? 
A) 
Após 120 segundos. 
B) 
Após 100 segundos. 
C) 
Após 320 segundos. 
D) 
Após 220 segundos. 
E) 
Após 280 segundos. 
Fundamentos de Álgebra 
Questão 2) - 0,50 ponto(s) 
 
Seja um conjunto sobre o qual está definida a operação . 
Sabe-se que é um grupo, cujo elemento neutro é o elemento . 
Além disso, tem-se que . 
A partir do exposto, assinale a alternativa que fornece corretamente os simétricos dos 
elementos . 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Fundamentos de Álgebra 
Questão 3) - 0,50 ponto(s) 
 
De uma rodoviária partem, todos os dias, 4 micro-ônibus que fazem rotas estaduais, 
trafegando com pessoas que necessitam de tratamento médico especializado em 
outras regiões. O primeiro ônibus faz a rota em 2 dias, o segundo em 3 dias, o terceiro 
em 5 dias, e o quarto em 6 dias. Considerando que os 4 micro-ônibus partem 
simultaneamente no mesmo dia, pode-se afirmar que esses micro-ônibus irão se 
encontrar na mesma rodoviária, para partirem os 4 novamente no mesmo dia, após 
A) 
10 dias. 
B) 
50 dias. 
C) 
30 dias. 
D) 
40 dias. 
E) 
20 dias. 
Fundamentos de Álgebra 
Questão 4) - 0,50 ponto(s) 
 
A matemática discreta enfoca o estudo de estruturas baseadas em conjuntos 
contáveis, tais como o conjunto dos números naturais. Dentro desse campo, pode-se 
citar o estudo dos números primos, a partir dos quais se pode escrever qualquer 
número natural. 
Deve-se ressaltar que é extremamente difícil verificar (inclusive computacionalmente) 
se um número muito grande (por exemplo, um número que tenha 300 dígitos) é primo 
ou não. Isso é fundamental para diversos campos da informática, tais como a 
criptografia. Dessa forma, os teoremas sobre números primos, como o Teorema 
Fundamental da Aritmética (TFA), são especialmente importantes para nos ajudar a 
lidar com as situações mencionadas. 
 
Seja, por exemplo, um número n natural. A notação FAT(n) denota a fatoração de n em 
números primos. Por exemplo: para n = 180 teremos FAT (180) = 22 x 32 x 5. Considere 
que “a” e “b” são números inteiros, sendo FAT (a) e FAT (b) as suas respectivas 
fatorações. 
 
 
Considerando essa situação hipotética, avalie as asserções a seguir e a relação 
proposta entre elas. 
 
 
I. Pode-se afirmar que FAT (a x b) = FAT(a) x FAT(b), pois “a", “b” e "a x b" são números 
inteiros. 
 
 
PORQUE 
 
 
II. O TFA informa que qualquer número inteiro positivo e maior que 1 pode ser 
expresso em um produto único de primos, a menos de permutações dos fatores 
primos, indicando que FAT (a), FAT (b) e FAT (a x b) sejam únicos e, portanto, 
justificando a igualdade. 
 
 
 A respeito dessas asserções, assinale a opção correta. 
A) 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
B) 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. 
C) 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I. 
D) 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
E) 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Fundamentos de Álgebra 
Questão 5 - (Enade, 2014) ) - 0,50 ponto(s) 
 
Os anéis quociente são frequentemente utilizados para se obter extensões de corpos. 
Se F é um corpo e P é um polinômio irredutível em F[X], então é um 
corpo cujo polinômio minimal sobre F é P. 
 
Considerando essas informações, assinale a opção que representa um corpo cujo 
polinômio minimal é indicado pelo gerador do ideal. 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Fundamentos de Álgebra 
Questão 6) - 0,50 ponto(s) 
 
O Máximo Divisor Comum (MDC) e o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) representam, 
respectivamente, o maior divisor e o menor múltiplo entre dois ou mais números 
inteiros e positivos. Para obter o cálculo do MDC e do MMC é fundamental saber o 
significado de múltiplos e divisores de um número (inteiro e positivo). Os múltiplos de 
um número inteiro e positivo são produto desse número por outro número também 
inteiro e positivo. Já o MDC é o número inteiro e positivo que divide outro número 
(inteiro e positivo), tendo como resultado uma divisão exata, ou seja, resto igual a zero. 
A utilização do cálculo do MMC e do MDC é fundamental para a resolução de 
problemas que exigem a soma de frações, valor mínimo ou máximo pedidos em 
situações problemas, entre outras. 
 
Considerando a assertiva proposta, suponha que no armazém do seu José estão à 
venda balas em saquinhos que possuem sempre a mesma quantidade. Após certo 
tempo, ele percebeu que com as balas que possuía, poderia fazer saquinhos com 8, 
12 ou 20 balas. Nessas condições, indique a alternativa que apresenta o número 
mínimo de balas que seu José dispunha no instante em que ele poderia separá-las em 
saquinhos. 
A) 
180 balas. 
B) 
280 balas. 
C) 
240 balas. 
D) 
140 balas. 
E) 
120 balas. 
Fundamentos de Álgebra 
Questão 7) - 0,50 ponto(s) 
 
O Método Dedutivo tem por objetivo utilizar propriedades e proposições já admitidas 
como verdadeiras na álgebra para demonstrar equivalências ou implicações lógicas. 
Uma dessas proposições utilizadas na demonstração é a Negação, em que se pode 
afirmar que a negação de uma dada premissa p equivale-se ao seu oposto ~p. Ainda, 
a negação da negação de uma dada premissa retorna-se a p, ou seja, . 
 
Assim, a tabela-verdade a seguir pode ser verificada. 
 
 
Com base nessas informações, analise a tabela a seguir. 
 
 
 
A partir da análise da tabela, pode-se afirmar que 
A) 
I, II, III e IV são proposições verdadeiras. 
 
B) 
I, II e III são proposições falsas e IV é uma proposição verdadeira. 
 
C) 
I é uma proposição falsa e II, III e IV são proposições verdadeiras. 
 
D) 
I e II são proposições falsas e III e IV são proposições verdadeiras. 
 
E) 
I, II, III e IV são proposições falsas. 
 
Fundamentos de Álgebra 
Questão 8) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma fábrica de brinquedos fabricou cubos mágicos (vide imagem a seguir) e precisa 
enviá-los a seus clientes, que os compram no atacado. A equipe de logística da fábrica 
determinou que a caixa ideal para enviar esses brinquedos é uma caixa com as 
seguintes medidas: 143 cm de largura, 187 cm de comprimento e 209 cm de altura. 
Nessa caixa cabem muitos cubos mágicos, e o espaço interno da caixa é totalmente 
utilizado. 
 
Sabendo que todos os cubos mágicos produzidos têm o mesmo tamanho, pode-se 
afirmar que o cubo mágico produzido pela fábrica de brinquedos tem 
A) 
14,3 cm de aresta. 
B) 
11 cm de aresta. 
C) 
13 cm de aresta. 
D) 
19 cm de aresta. 
E) 
17 cm de aresta. 
Fundamentos de Álgebra 
Questão 9 - (Enade, 2014) ) - 0,50 ponto(s) 
 
O conjunto M2( ) é formado pelas matrizes quadradas de ordem 2 com entradas 
inteiras. Esse conjunto é fechado sob as operações usuais de soma e multiplicação 
de matrizes, uma vez que as entradas das matrizes resultantes da soma e da 
multiplicação são números inteiros. 
 
Com relação à estruturaalgébrica desse conjunto com as operações descritas, avalie 
as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. 
 
I. O conjunto M2( ), munido das operações usuais de soma e multiplicação, forma um 
anel. 
 
PORQUE 
 
II. O conjunto M2( ), munido da operação usual de soma de matrizes, forma um grupo 
e existe o elemento unidade dado pela matriz identidade de ordem 2. 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta. 
 
A) 
As asserções I e II são proposições falsas. 
B) 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
C) 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
D) 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
E) 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa 
correta da I. 
Fundamentos de Álgebra 
Questão 10) - 0,50 ponto(s) 
 
Sendo f uma função que aplica os elementos de um dado grupo em um 
grupo , f será definida como um homomorfismo de grupo se 
 
. 
 
Sabe-se ainda que, sendo f um homomorfismo de grupo, o núcleo de f será o 
conjunto de todos os elementos do domínio com imagens iguais ao elemento neutro. 
 
Com base nas informações acima, analise as afirmações abaixo. 
 
I. Se , então é um homomorfismo de grupos. 
II. Se e , então . 
III. Se e , então . 
 
É correto o que se afirma em 
A) 
I e II, apenas. 
B) 
II, apenas. 
C) 
I, apenas. 
D) 
II e III, apenas. 
E) 
I, II e III. 
Fundamentos de Álgebra 
Questão 11) - 0,50 ponto(s) 
 
O par é um grupo de ordem quatro, ou seja, o conjunto possui apenas quatro 
elementos: . 
Sabe-se que o é o elemento neutro e que todos os elementos são simétricos deles 
próprios. 
Além disso, é de conhecimento geral que só existem dois modelos de grupos de 
ordem quatro. 
A partir dessas informações, é possível afirmar que 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
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Questão 12) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma empresa de festas trabalha com três tipos de doces: brigadeiro, cajuzinho e 
casadinho. Para uma determinada festa, foram produzidos 231 brigadeiros, 273 
cajuzinhos e 399 casadinhos. Com o objetivo de manter uma certa simetria na 
arrumação da mesa de doces, a organizadora decidiu dividir os doces em grupos de 
mesmo tamanho e tipo. 
 
Para que a organização da mesa atenda a pretensão de simetria e que nenhum dos 
doces produzidos deixe de ser colocado na mesa de doces, a quantidade válida de 
grupo de doces que pode ser usado é 
A) 
13 
B) 
11 
C) 
21 
D) 
19 
E) 
43 
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Questão 13) - 0,50 ponto(s) 
 
O nosso sistema de marcação do tempo considera o dia com 24 horas. Nesse caso, 
pode-se definir uma adição e uma multiplicação com resultados não convencionais. 
Veja alguns exemplos: 
 
 (vinte horas mais cinco horas resulta em uma hora, do dia seguinte) 
 (quinze horas mais quinze horas resulta em seis horas do dia seguinte) 
 (iniciando-se à meia noite, zero hora, quatro etapas quinze horas, ou seja, 
sessenta horas depois, resulta em doze horas, após dois dias) 
 
Esse fato é conhecido como "congruência módulo m", no nosso exemplo, é uma 
"congruência módulo 24". Os elementos e são congruentes módulo quando os 
restos das divisões de e por são iguais. No caso do relógio, temos, por 
exemplo: e são congruentes módulo , pois ambos divididos por dão o 
mesmo resto, . 
 
Diante disso, considere a seguinte situação: o conjunto é um anel 
em relação às operações de adição e de multiplicação, módulo , como 
exemplificado anteriormente. Resolva, nesse anel, a equação e assinale a 
alternativa que apresenta o resultado correto. 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
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Questão 14 - (Enade, 2005) ) - 0,50 ponto(s) 
 
A respeito da solução de equações em estruturas algébricas, assinale a 
opção incorreta. 
A) 
Em um corpo (K, +, •), a equação a•X + b = c tem solução para quaisquer a, b e c 
pertencentes a K, a ? 0. 
B) 
Em um grupo (G, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes 
a G. 
C) 
Em um anel (A, +, •), a equação a + X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes 
a A. 
D) 
Em um anel (A, +, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes 
a A. 
E) 
Em um corpo (K, +, •), a equação a•X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes 
a K, a ? 0. 
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Questão 15) - 0,50 ponto(s) 
 
Seja p um número inteiro, p > 1, diz-se que p será primo se, e somente se, os seus 
únicos divisores positivos forem os números 1 e p. Dados dois números, 
, e são considerados primos entre si, se . Ainda, se considerarmos 
um inteiro maior que 1 e este não for primo, então este será denominado número 
composto. 
 
A partir dessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. O número 2 é o único inteiro positivo par que é primo. 
II. Todo inteiro composto possui um divisor primo. 
III. Todo inteiro positivo é igual a um produto de fatores primos. 
 
É correto o que se afirma em 
A) 
I, II e III. 
B) 
II e III, apenas. 
C) 
I e III, apenas. 
D) 
I e II, apenas. 
E) 
I, apenas. 
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Questão 16) - 0,50 ponto(s) 
 
Existem diversas relações entre os números. Algumas dessas relações são 
importantíssimas na resolução de problemas matemáticos. 
Considere os números 60, 45 e 30, por exemplo. 
 
É possível dizer que, para esses números, o número 15 é 
A) 
um número que define que são todos primos entre si. 
B) 
o máximo múltiplo comum. 
C) 
o máximo divisor comum. 
D) 
o mínimo divisor comum. 
E) 
o menor múltiplo comum. 
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Questão 17) - 0,50 ponto(s) 
 
Um designer foi contratado para fazer uma pintura em xadrez em uma parede cujas 
medidas são de 341cm x 403cm. As restrições impostas para a pintura são as 
seguintes: 
1. Nenhum quadrado pode ser pintado parcialmente; 
2. o tamanho de cada quadrado deve ser o maior possível; 
3. todos os quadrados devem ter o mesmo tamanho; 
4. quadrados de mesma cor não podem ficar lado a lado. 
 
Considerando as informações acima e as restrições impostas, cada quadrado do 
xadrez terá o lado com tamanho de 
A) 
11cm 
B) 
15cm 
C) 
13cm 
D) 
31cm 
E) 
30cm 
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Questão 18) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma operação , sobre um conjunto , é dita idempotente quando, para todo 
elemento , tivermos . Diante disso, assinale a alternativa que apresenta, 
corretamente, uma operação idempotente. 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
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Questão 19) - 0,50 ponto(s) 
 
A decomposição em fatores de um número nos auxilia em diversas atividades, entre 
elas o cálculo de MDC e MMC. O MDC, operação para encontrar o maior número 
positivo que é divisor comum entre todos os números dados, é a sigla para Máximo 
divisor comum e MMC, menor múltiplo inteiro positivo comum a todos os números 
dados, é a sigla para Menor múltiplo comum. 
 
Considerando os números 42, 105, 63, 20 e 21, pode-se afirmar corretamente que 
A) 
21 é o MDC de quatro deles. 
B) 
eles são, aos pares, todos primos entre si. 
C) 
21 é o MMC de três deles. 
D) 
21 é o MDC de três deles. 
E) 
21 é o MDC de todos eles. 
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Questão 20) - 0,50 ponto(s) 
 
Um corpo é um anel unitário e comutativo, se todo elemento não nulo do corpo 
possuir um inverso multiplicativo. Assim, todo elemento em um corpo, diferente de 
zero, tem um inverso, ou seja: 
 
 
 
onde é definido como o inverso do elemento . 
 
Com base na definição acima, analise as afirmações a seguir. 
 
 I. Todo corpo é um anel de integridade. 
II. Os anéis , e são exemplos de corpos. 
III. é um corpo, pois todo elemento de possui inverso multiplicativo. 
 
É correto o que se afirma em 
A) 
I, II e III. 
B) 
I, apenas. 
C) 
I e III, apenas. 
D) 
II e III, apenas. 
E) 
I e II, apenas