Prova Fundamentos de Ánalise

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Fundamentos de Ánalise 
Questão 1) - 0,50 ponto(s) 
 
Seja uma sequência de termos infinitos , 
define-se série como sendo a soma dos infinitos termos de , ou seja: 
 
 
 
Sabe-se que, para definir a convergência ou divergência de , é 
preciso aplicar o teste de convergência que melhor se aplica a cada 
série. Entre esses testes, encontra-se o Teste da Razão - aplicado, 
principalmente, quando aparece uma função potência ou fatorial - 
definido mediante os seguintes critérios: 
 
I. se , então, a série será absolutamente 
convergente; 
 
II. se ou , então, a série será 
divergente; 
 
III. se , então, o teste é inconclusivo. 
 
Com base nessas informações e utilizando o Teste da Razão, dada a 
série , pode-se afirmar que 
A) 
a série é divergente, pois 
B) 
a série é divergente, pois 
C) 
a série é absolutamente convergente, pois 
D) 
o teste é inconclusivo, pois 
E) 
a série é absolutamente convergente, pois 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 2 - (Enade, 2014) ) - 0,50 ponto(s) 
 
No século XII surgiu, na Índia, um matemático conhecido 
historicamente como Bháskara II. Esse matemático fez grandes 
avanços para a resolução da equação quadrática. Bháskara II dedicou-
se a estudar Astronomia e Matemática, escreveu obras sobre aritmética 
e resolveu equações do tipo ax2+bx = c, utilizando o método de 
"completar quadrados". Atribui-se a ele o seguinte problema: "A oitava 
parte de um bando de macacos, elevada ao quadrado, brinca em um 
bosque. Além disso, 12 macacos podem ser vistos sobre uma colina. 
Qual o total de macacos?" 
 
PITOMBEIRA, João Rosco. Revisitando Uma Velha Conhecida. 
Departamento de Matemática. PUC-Rio. p.1 a 41, pg. 24. Disponível 
em: <http://www.bienasbm.ufba.br>. Acesso em: 21 jul.2014 
(adaptado). 
 
Com base nessas informações, assinale a opção que apresenta um 
valor possível para o total de macacos no problema de Bháskara II. 
A) 
16 macacos. 
B) 
76 macacos. 
C) 
96 macacos. 
D) 
18 macacos. 
E) 
20 macacos. 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 3 - (Enade, 2014) ) - 0,50 ponto(s) 
 
Um pesquisador necessita da solução de uma equação diferencial 
ordinária para implementar em seu código computacional. Resolvendo 
por meio de série de potências, ele encontra a seguinte solução: 
 
. 
 
O pesquisador necessita que a solução seja computada com uma 
precisão de 0,01 no intervalo —2 < x < 2. Para isso, ele escreve os 
primeiros 200 termos da série no código. No entanto, ao rodar o 
programa nesse intervalo, ele percebe um comportamento anômalo. 
 
Considerando que o pesquisador não tenha cometido erro ao 
implementar a série, avalie as afirmações a seguir. 
 
I. A série não pode representar uma solução no intervalo —2 < x < 2, 
pois diverge para >1. 
 
II. São necessários mais termos do que os que o pesquisador escreveu 
para atingir a precisão requerida no intervalo —1 < x < 1. 
 
III. A precisão 0,01 não pode ser atingida por essa série de potências. 
 
É correto o que se afirma em 
A) 
I, II e III. 
B) 
I, apenas. 
C) 
III, apenas. 
D) 
II e III, apenas. 
E) 
I e II, apenas. 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 4 - (Enade, 2011) ) - 0,50 ponto(s) 
 
Considerando E um espaço métrico, A E um conjunto aberto e 
(xn) E uma sequência convergente para p A, analise as afirmações 
abaixo. 
 
I. O complementar de A é fechado em E. 
II. Toda vizinhança aberta de p está contida em A. 
III. xn A, para todo n suficientemente grande. 
 
É correto apenas o que se afirma em 
A) 
I. 
B) 
II. 
C) 
I e III. 
D) 
III. 
E) 
I e II. 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 5) - 0,50 ponto(s) 
 
Matematicamente, “somatório” significa a soma de termos. Também é 
denominado como um operador matemático da soma de termos de 
uma sequência, sendo representado pela letra grega sigma . 
 
A soma pode ser representada por , onde é o 
limite inferior e n o limite superior do somatório. 
 
Com base nessas informações, considere a seguinte situação. 
 
Em uma aula de matemática, o professor solicitou que um grupo de 
alunos determinasse o valor da seguinte expressão . 
 
Após a resolução, considerando o valor obtido pelo grupo, é correto 
afirmar que 
A) 
o somatório da sequência é igual a 5. 
B) 
o somatório da sequência é igual a 4. 
C) 
o somatório da sequência é igual a 8. 
D) 
o somatório da sequência é igual a 10. 
E) 
o somatório da sequência é igual a 2. 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 6 - (Enade, 2005) ) - 0,50 ponto(s) 
 
Desenha-se no plano complexo o triângulo T com vértices nos pontos 
correspondentes aos números complexos z1 , z2 e z3 , que são raízes 
cúbicas da unidade. Desenha-se também o triângulo S, com vértices 
nos pontos correspondentes aos números complexos w1, w2 e w3 , que 
são raízes cúbicas complexas de 8. 
 
Na situação descrita no texto, se a é a área de T e se a' é a área de S, 
então 
A) 
a'= 
B) 
a' = 2a. 
C) 
a' = 6a. 
D) 
a' = 8a. 
E) 
a' = 4a 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 7 - (Enade, 2008) ) - 0,50 ponto(s) 
 
Para cada número real x, considere o conjunto Cx formado por todos os 
números obtidos somando-se a x um número racional, isto é, 
 
. 
 
Sob essas condições, conclui-se que 
A) 
os conjuntos e são iguais. 
 
B) 
o número zero pertence ao conjunto . 
C) 
o número pertence ao conjunto . 
 
D) 
O conjunto possui um único elemento. 
 
E) 
O número pertence ao conjunto . 
 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 8) - 0,50 ponto(s) 
 
Define-se uma sequência numérica real como sendo uma função 
, em que cada associa-se a um número real . Escreve-
se para identificar o enésimo termo da sequência , em 
que explicita o seu índice. É importante salientar que em muitas 
situações as sequências numéricas são expressas por expressões 
matemáticas. Assim, a sequência formada por elementos será o 
conjunto definido por: 
 
 
 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a sequência com 
domínio no conjunto dos números naturais e imagem tem 
como termo geral 
A) 
 
 
B) 
 
 
C) 
 
 
D) 
 
 
E) 
 
 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 9 - (Enade, 2014) ) - 0,50 ponto(s) 
 
Os números complexos possuem diferentes representações, tais 
como: algébrica, geométrica e trigonométrica, conforme ilustra o 
quadro a seguir. 
 
Considerando as diferentes representações dos números complexos e 
o seu ensino, avalie as afirmações a seguir. 
 
I. A forma algébrica dos números complexos é a única representação 
presente nos livros didáticos do ensino médio. 
 
II. Historicamente, os números complexos surgiram da tentativa de 
resolução de equações polinomiais do 2° grau com discriminante 
negativo. 
 
III. O ensino da forma trigonométrica dos números complexos facilita a 
compreensão do significado geométrico da operação de multiplicação 
de complexos: rotação de pontos (ou vetores) no plano. 
 
IV. A cada número real corresponde um número 
complexo , com = 0°. 
 
É correto o que se afirma em 
A) 
I, apenas. 
B) 
II, III e IV, apenas. 
C) 
I, II, III e IV. 
D) 
III, apenas. 
E) 
I, II e IV, apenas. 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 10) - 0,50 ponto(s) 
 
A lei de formação de uma sequência pode ser complexa. Por exemplo, 
uma sequência de números é tal que cada termo é obtido pela soma 
dos termos de mesmo índice de duas outras sequências. 
 
A lei da primeira sequência é: os dois primeiros termos são iguais à 
unidade e, a partir do terceiro, cada termo é igual à soma dos dois 
anteriores, ou seja: 
 
 
A lei da segunda sequência é: os dois primeiros termos são iguais à 
unidade e, a partir do terceiro, cada termo é igual à diferença entre o 
anterior e o anterior a este, ou seja: 
 
 
A sequência resultante é, portanto: 
 
Sabe-se que a sequência a seguir é formada a partir de duas outras. 
 
 
 
A partir dessas informações, assinale a alternativa que apresenta, 
corretamente, o décimo elemento da sequência anterior. 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
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Questão 11) - 0,50 ponto(s) 
 
No cálculo para a obtenção das raízes de uma função, esta pode 
apresentar raízes reais ou até mesmo imaginárias. Estas últimas se 
enquadram no conjunto dos números chamados complexos e ocorrem 
quando o gráfico da função não intercepta o eixo das abscissas 
(eixo x). Sejam os complexos Z1 = -5 - 4i e Z2 = 4 + 2i, é correto afirmar 
que o produto entre eles será igual a 
A) 
- 20 + 6i. 
B) 
- 28 + 26i. 
C) 
- 12 - 6i. 
D) 
-12 - 26i. 
E) 
- 26 + 12i. 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 12) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma sequência de elementos (números, palavras, figuras geométricas, 
etc) pode apresentar alguma lógica de formação, ou seja, cada 
elemento é determinado por uma única proposição. Por exemplo, 
a sequência: 0; 1; 4; 9; 16; ... é formada pelos quadrados dos números 
naturais. Também pode-se dizer que cada elemento é o quadrado do 
índice que indica sua posição na sequência, começando do zero, ou 
seja, , , , etc. 
 
Em vista disso, não existe um método analítico que permita descobrir 
a lógica de formação de uma sequência qualquer. Dessa forma, o que 
se pode fazer é usar conhecimentos, habilidades e intuição; tanto que 
muitas sequências encontradas em desafios (de revistas ou na 
internet) possuem leis de formação que dificilmente são percebidas por 
se basearem em detalhes sem significado. 
 
Considere, então, o seguinte exemplo: 2; 10; 12; 16; ... O próximo 
número é 17, pois a sequência é formada pelos números naturais que, 
em português, começam com a letra D. Esse tipo de lógica não 
contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico, além de 
desmotivar o praticante. Sabendo que existe uma lei de formação 
matemática para a sequência , assinale a alternativa 
que apresenta o seu próximo elemento. 
A) 
 
 
B) 
 
 
C) 
 
 
D) 
 
 
E) 
 
 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 13 - (Enade, 2005) ) - 0,50 ponto(s) 
 
A respeito da função , é correto afirmar que 
A) 
existe um número real N tal que para todo número real x. 
 
B) 
existe um número real tal que 
 
C) 
existem 3 números reais x para os quais f(- x) = f(x). 
 
D) 
existe um número real M tal que para todo número real x. 
 
E) 
existe um número real y tal que para todo número real x. 
 
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Questão 14) - 0,50 ponto(s) 
 
Uma sequência de números reais é uma função f definida no conjunto 
dos números naturais com imagem nos reais, ou seja: , 
onde , para todo . 
 
Para a representação de uma dada sequência numérica, pode-se 
utilizar, como notação, ou . Ainda, dada uma 
determinada sequência, é possível classificá-la em crescente, 
decrescente, limitada inferiormente, limitada superiormente e, ainda, 
analisar se tal sequência converge para um determinado número, com 
base nos seus elementos. 
 
Assim, mediante as informações dadas, analise as afirmativas a seguir. 
 
I. é uma sequência crescente se . 
II. é uma sequência decrescente se . 
III. Se for limitada inferior e superiormente, então será limitada. 
 
É correto o que se se afirma em 
A) 
II e III, apenas. 
B) 
I, II e III. 
C) 
I e III, apenas. 
D) 
I e II, apenas. 
E) 
III, apenas. 
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Questão 15) - 0,50 ponto(s) 
 
 Ricardo é estudante de graduação em Matemática. Ele gosta muito 
de resolver problemas matemáticos que exijam raciocínio lógico e, por 
isso, costuma passar os finais de semana resolvendo esse tipo de 
exercício. Seus pensamentos estão voltados para esse hobby quase 
todo o tempo. 
 Hoje, Ricardo está se divertindo com um jogo de enigmas que é 
constituído por várias etapas em que são solicitadas a resolução de um 
problema para se passar à próxima fase. Na oitava etapa do jogo, é 
fornecida uma sequência de números naturais tal 
que: , , , e . 
 
 A informação solicitada é o oitavo termo dessa sequência, ou seja, 
. Ricardo, após demorada análise, conseguiu responder o enigma 
corretamente. Dessa forma, marque a alternativa que representa a 
resposta a que ele chegou. 
A) 
 
 
B) 
 
C) 
 
 
D) 
 
 
E) 
 
 
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Questão 16) - 0,50 ponto(s) 
 
A notação de somatório também pode ser usada para adicionar todos 
os valores de uma função, ou termos de um conjunto indexado, em que 
o índice do somatório é compatível com todos os valores do conjunto, 
ou seja , para representar a soma dos valores de , para todos 
os membros de de . De modo geral, a utilização desse tipo de 
notação torna mais fácil o cálculo de um somatório considerando essa 
situação. 
 
 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que o valor 
de é dado por 
A) 
15. 
B) 
12. 
C) 
16. 
D) 
20. 
E) 
18. 
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Questão 17 - (Enade, 2008) ) - 0,50 ponto(s) 
 
Efetuando-se o produto das séries de Taylor, em torno da origem, das 
funções reais e , obtém-se, para , o 
desenvolvimento em série de potências da seguinte função: 
 
 
 
O coeficiente de na série de potências de , a derivada de primeira 
ordem da função , é igual a 
A) 
 . 
 
B) 
 
 
C) 
. 
 
D) 
 
 
E) 
. 
 
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Questão 18 - (Enade, 2005) ) - 0,50 ponto(s) 
 
Desenha-se no plano complexo o triângulo T com vértices nos pontos 
correspondentes aos números complexos , que são raízes 
cúbicas da unidade. Desenha-se também o triângulo S, com vértices 
nos pontos correspondentes aos números complexos , que 
são raízes cúbicas complexas de 8. 
 
Com base no texto acima, assinale a opção correta. 
A) 
 é um dos vértices do triângulo T. 
 
 
B) 
Se , então . 
 
 
C) 
Se , então é o conjugado complexo de . 
 
 
D) 
 é raiz da equação 
 
 
E) 
 é um dos vértices dos triângulo S. 
 
 
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Questão 19) - 0,50 ponto(s) 
 
O professor de Lógica Matemática de uma turma de graduação 
elaborou uma prova sobre sequências lógicas para verificar o 
desenvolvimento de seus alunos em relação ao raciocínio lógico. A 
prova é constituída de cinco questões, que são cinco sequências 
bastante complexas para serem decifradas. Todas as questões são 
fechadas, com as alternativas indo de A até E. A quinta questão pede 
o sétimo termo da sequência: 
 
Para tornar a prova mais desafiadora e empolgante, o professor criou 
o seguinte desafio: "A seguir apresento uma sequência de letras na 
qual está o gabarito desta prova, ou seja, se você decifrar esta 
sequência terá as cinco respostas das questões da prova. Dessa 
forma, você pode resolver as cinco questões ou apenas a sequência 
de letras (ou as duas coisas, se quiser se garantir). Boa sorte!" 
 
A sequência de letras é: 
 
Assinale a alternativa que contém a resposta da quinta questão da 
prova. 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Fundamentos de Ánalise 
Questão 20 - (Enade, 2014) ) - 0,50 ponto(s) 
 
A integração de funções é um dos principais tópicos da Análise 
essencialmente teórica, enquanto as equações diferenciais possuem 
diversas aplicações dentro e fora da Matemática. Em ambos os casos, 
o estudo das sequências e séries de funções com relação a 
convergência, derivação e integração termo a termo, ocupa um papel 
essencial. Diante disso, analise as afirmações a seguir. 
 
I. Considere a sequência de funções: dada por para 
todo , se , então para todo . 
 
II. Considere e dada por . Observe 
que tem medida nula, ou seja, em quase todo ponto de . 
Logo, . 
 
III. A sequência de funções , dada por para 
todo satisfaz . 
 
É correto o que se afirma em 
A) 
I, apenas. 
B) 
I e II, apenas. 
C) 
II e III, apenas. 
D) 
III, apenas. 
E) 
I, II e III.