Sebenta_Dinamica_FEUP

Prévia do material em texto

DINÂMICA 
 
do PONTO MATERIAL e do CORPO RÍGIDO 
 
 
 
 
 
 
Jorge Humberto Oliveira Seabra 
Carlos Alberto Magalhães Oliveira 
José Fernando Dias Rodrigues 
Pedro Manuel Leal Ribeiro 
Pedro Manuel Ponces Camanho 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial – Secção de Mecânica Aplicada 
 
 
6ª Edição - Fevereiro de 2004 
 
ii DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO iii 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao Amigo e Mestre 
Vasco Sanches da Silva e Sá 
Professor Catedrático Jubilado 
do DEMEGI – FEUP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO v 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
PREFÁCIO 
 
Este texto representa um trabalho continuado ao longo de vários anos, de vários 
docentes da Secção de Mecânica Aplicada, do Departamento de Engenharia Mecânica e 
Gestão Industrial, da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, no sentido de 
elaborar um texto didáctico de qualidade. Esta é a 5ª edição destes apontamentos, 
sucedendo às elaboradas em 1995, 1997, 2000 e 2002. 
Merece destaque o trabalho realizado pelo Professor Vasco Sanches da Silva e Sá, 
Professor Catedrático Jubilado do DEMEGI, a quem se devem os primeiras monografias 
didácticas de qualidade no domínio da Mecânica Racional, publicados pelo DEMEGI. 
Refira-se, ainda, o trabalho realizado pelo Professor Carlos Alberto Magalhães 
Oliveira, Professor Associado do DEMEGI, autor de várias notas didácticas, sobretudo no 
domínio da Dinâmica dos Corpos Rígidos, e que estão na origem dos presentes textos. 
Nesta monografia, para além dos conceitos teóricos da Dinâmica do Ponto Material 
e do Corpo Rígido, são desenvolvidas várias aplicações concretas e são propostos 
problemas, de modo a permitir ao aluno uma aprendizagem de tais conceitos. 
 
Porto e FEUP, Fevereiro de 2003. 
 
Os Autores 
 
vi DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO vii 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
ÍNDICE 
 
 
Capítulo 1 – CINEMÁTICA DAS MASSAS 
1 INTRODUÇÃO 1 
2 TORSOR DAS QUANTIDADES DE MOVIMENTO 3 
2.1 Definições 3 
2.1.1 Ponto Material 3 
2.1.2 Sistema Discreto de Ponto Materiais 4 
2.1.3 Sistema Material Contínuo(sólido rígido) 5 
2.2 Vector Quantidade de Movimento 6 
2.3 Vector Momento Cinético em O 7 
2.3.1 Momento Cinético em G 8 
2.3.2 Casos Particulares do Momento Cinético 9 
2.4 Unidades da Quantidade de Movimento e do Momento Cinético 
no Sistema Internacional 12 
2.5 Quantidade de Movimento e Momento Cinético de 
Mecanismos Compostos por Vários Corpos 12 
3 TORSOR DAS QUANTIDADES DE ACELERAÇÃO 15 
3.1 Definições 15 
3.1.1 Ponto Material 15 
3.1.2 Sistema Discreto de Ponto Materiais 16 
3.1.3 Sistema Material Contínuo(sólido rígido) 17 
3.2 Vector Quantidade de Aceleração 18 
3.3 Vector Momento Dinâmico em O 19 
3.3.1 Casos Particulares do Momento Dinâmico 22 
3.4 Unidades da Quantidade de Aceleração e do Momento Dinâmico 
no Sistema Internacional 23 
3.5 Quantidade de Aceleração e Momento Dinâmico de 
Mecanismos Compostos por Vários Corpos Rígidos 23 
3.6 Componentes do Vector Dinâmico em G de um Sólido Rígido 24 
4 ENERGIA CINÉTICA DE UM SISTEMA MATERIAL 27 
4.1 Definições 27 
4.1.1 Ponto Material 27 
4.1.2 Sistema Discreto de Ponto Materiais 27 
4.1.3 Sistema Material Contínuo (sólido rígido) 28 
4.2 Energia Cinética de Um Corpo Rígido Animado de Movimento de Translação 29 
4.3 Energia Cinética de Um Corpo Rígido Animado de Movimento de Rotação 29 
4.4 Energia Cinética de Um Corpo Rígido em Movimento Polar 31 
4.5 Decomposição de Movimentos 33 
viii DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
4.6 Energia Cinética de Um Sólido em Movimento Qualquer 33 
4.7 Unidades da Energia Cinética no Sistema Internacional 36 
5 CINEMÁTICA DAS MASSAS – RESUMO DAS EQUAÇÕES 37 
6 APLICAÇÃO – O SISTEMA MANIVELA / BIELA / ÊMBOLO 39 
6.1 Geometria do Sistema Manivela – Biela – Êmbolo 40 
6.2 Velocidade e Aceleração Angulares dos Corpos 1, 2 e 3 40 
6.3 Trajectória do Centro de Massa de Cada Corpo 42 
6.4 Torsor da Quantidade de Movimento do Sistema 42 
6.4.1 Torsor da Quantidade de Movimento do corpo 1 42 
6.4.2 Torsor da Quantidade de Movimento do corpo 2 43 
6.4.3 Torsor da Quantidade de Movimento do corpo 3 43 
6.4.4 Torsor da Quantidade de Movimento do Sistema no Ponto O 44 
6.5 Torsor da Quantidade de Aceleração do Sistema 47 
6.5.1 Torsor da Quantidade de Aceleração do corpo 1 47 
6.5.2 Torsor da Quantidade de Aceleração do corpo 2 47 
6.5.3 Torsor da Quantidade de Aceleração do corpo 3 48 
6.5.4 Torsor da Quantidade de Aceleração do sistema no ponto O 50 
6.6 Energia Cinética 53 
7 APLICAÇÃO – SISTEMA TRIDIMENSIONAL 55 
8 PROBLEMAS PROPOSTOS 59 
 
 
 
Capítulo 2 – DINÂMICA DO PONTO MATERIAL – Teoremas Vectoriais 
1 INTRODUÇÃO 67 
2 O PROBLEMA GERAL DA DINÂMICA 68 
3 MASSA E INÉRCIA 68 
4 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 69 
5 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE UM PONTO MATERIAL 72 
6 TEOREMAS VECTORIAIS DA DINÂMICA DO PONTO MATERIAL 74 
7 FORÇA E MOMENTO DE INÉRCIA 75 
8 SISTEMA DE REFERÊNCIA INERCIAL 76 
9 FORÇAS E MOMENTOS 77 
9.1 Força Normal e Força Tangencial – Atrito de Coulomb 78 
9.2 Força Tangencial – Atrito de Rolamento 79 
9.3 Forças e Momentos Elásticos 79 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO ix 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
9.4 Forças e Momentos Dissipativos 80 
10 APLICAÇÕES 82 
10.1 Movimento Rectilíneo 82 
10.2 Movimento Circular 85 
10.2.1 Solução analítica da equação de movimento 86 
10.2.2 Aplicação numérica 88 
10.3 Movimento Sobre Um Referencial Móvel 90 
10.4 Pêndulo Cónico 92 
11 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA EM REFERENCIAIS LIGADOS À TERRA 95 
11.1 Forças Gravitacionais 95 
11.2 Forças de Inércia 96 
11.3 Conclusão 100 
12 PROBLEMAS PROPOSTOS 101 
 
 
 
Capítulo 3– DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
1 INTRODUÇÃO – MÉTODO DE ANÁLISE 103 
2 TEOREMA DO MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA 105 
3 TEOREMA DO MOVIMENTO EM TORNO DO CENTRO DE MASSA 106 
4 PRINCÍPIO D’ALEMBERT – CONCEITO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO 107 
5 MOVIMENTO PLANO DE CORPOS RIGÍDOS SIMÉTRICOS 108 
5.1 Equações do movimento para um corpo rígido em movimento plano 108 
5.2 Análise de sistemas de corpos rígidos em movimento plano 110 
5.3 Movimento plano vinculado 110 
6 PROBLEMAS PLANOS RESOLVIDOS 111 
6.1 Sólido animado de movimento de translação 111 
6.2 Sólido animado de movimento de rotação 115 
6.3 Sólido em movimento mais complexo 119 
6.4 Mecanismo manivela, biela, êmbolo 124 
6.5 Mecanismo de accionamento do limador 138 
7 MECANISMO ESPACIAL 151 
8 PROBLEMAS PROPOSTOS 163 
 
 
 
 
x DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Capítulo 4– DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO – Trabalho e Energia 
1 INTRODUÇÃO 175 
2 CONCEITO DE TRABALHO 176 
2.1 Trabalho de uma força 176 
2.2Trabalho de um sistema de forças concorrentes 177 
2.3 Trabalho de um binário 178 
2.4 Potência 179 
2.5 Unidades de trabalho e potência 180 
2.6 Trabalho de um sistema de forças aplicado a um sólido rígido 180 
2.7 Trabalho das forças interiores num sistema material 182 
2.8 Trabalho de forças conservativas 182 
2.8.1 Exemplos de forças conservativas 184 
2.8.2 Exemplos de forças não conservativas 187 
3 TRABALHO E ENERGIA 189 
3.1 Trabalho e energia cinética 189 
3.2 Trabalho e energia mecânica total 192 
3.2.1 Princípio da conservação da energia mecânica total 193 
3.3 Trabalho e energia em deslocamentos finitos 193 
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO TEOREMA DO TRABALHO E ENERGIA 194 
4.1 Corpo deslizando sobre um plano inclinado 194 
4.2 Cursor deslizando sobre uma guia circular 197 
5 TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS 200 
5.1 Conceito de deslocamento virtual 201 
5.2 Conceito de trabalho virtual 204 
5.3 Teorema dos trabalhos virtuais 204 
5.4 Aplicação do teorema dos trabalhos virtuais 206 
6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS 207 
6.1 Disco rolando sobre um plano inclinado 207 
6.2 Mecanismo simples 212 
6.2.1 Diagrama de corpo livre 213 
6.2.2 Equação de movimento 214 
6.2.3 Forças de ligação ao exterior no ponto O 218 
6.2.4 Velocidade angular do disco 221 
6.3 Sistema came - impulsor 224 
6.3.1 Geometria e cinemática do sistema came - impulsor 225 
6.3.2 Diagrama de corpo livre do sistema 228 
6.3.3 Equação de movimento do sistema came - impulsor 228 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO xi 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.3.4 Forças de ligação entre os corpos 1 e 2 no ponto I 234 
6.3.5 Reacção no ponto O 239 
7 PROBLEMAS PROPOSTOS 243 
 
 
 
Capítulo 5– DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO – Impulso e Quantidade de Movimento 
1 MOVIMENTO DE UM PONTO MATERIAL 255 
1.1 Impulso linear 255 
1.2 Impulso angular 256 
2 MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS 257 
2.1 Impulso linear 257 
2.2 Impulso angular 258 
3 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 258 
4 MOVIMENTO PROVOCADO POR UMA FORÇA IMPULSIVA 259 
4.1 Aplicação do teorema do impulso e da quantidade de movimento 259 
5 CHOQUE OU IMPACTO 261 
5.1 Choque central directo 261 
5.1.1 Modelização do choque central directo entre duas partículas materiais 262 
5.1.2 Coeficiente de restituição 264 
5.1.3 Choques perfeitamente elástico e perfeitamente plástico 266 
5.1.4 Formulação do problema de choque central directo 267 
5.2 Choque central oblíquo 268 
5.2.1 Formulação do problema de choque central oblíquo 268 
5.2.2 aplicação do modelo de choque central oblíquo 270 
5.3 Choque excêntrico 272 
5.3.1 Choque excêntrico de dois corpos livres 272 
5.3.2 Choque excêntrico de dois corpos ligados ao exterior 275 
6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 277 
6.1 Variação da quantidade de movimento linear 277 
6.2 Conservação da quantidade de movimento linear 278 
6.3 Conservação da quantidade de movimento angular numa direcção 280 
6.4 Choque central oblíquo 281 
6.5 Choque excêntrico de um corpo livre 283 
6.6 Choque excêntrico de um corpo com ligação ao exterior 287 
7 PROBLEMAS PROPOSTOS 291 
 
 
 
xii DINÂMICA DO PONTO MATERIAL E DO CORPO RIGÍDO 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA das MASSAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jorge Humberto Oliveira Seabra 
Carlos Alberto Magalhães Oliveira 
José Fernando Dias Rodrigues 
Pedro Manuel Leal Ribeiro 
Pedro Manuel Ponces Camanho 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial – Secção de Mecânica Aplicada 
 
 
 
6ª Edição - Fevereiro de 2004 
 
ii CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS iii 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
ÍNDICE: 
1 INTRODUÇÃO 1 
2 TORSOR DAS QUANTIDADES DE MOVIMENTO 3 
2.1 Definições 3 
2.1.1 Ponto Material 3 
2.1.2 Sistema Discreto de Ponto Materiais 4 
2.1.3 Sistema Material Contínuo(sólido rígido) 5 
2.2 Vector Quantidade de Movimento 6 
2.3 Vector Momento Cinético em O 7 
2.3.1 Momento Cinético em G 8 
2.3.2 Casos Particulares do Momento Cinético 9 
2.4 Unidades da Quantidade de Movimento e do Momento Cinético 
no Sistema Internacional 12 
2.5 Quantidade de Movimento e Momento Cinético de 
Mecanismos Compostos por Vários Corpos 12 
3 TORSOR DAS QUANTIDADES DE ACELERAÇÃO 15 
3.1 Definições 15 
3.1.1 Ponto Material 15 
3.1.2 Sistema Discreto de Ponto Materiais 16 
3.1.3 Sistema Material Contínuo(sólido rígido) 17 
3.2 Vector Quantidade de Aceleração 18 
3.3 Vector Momento Dinâmico em O 19 
3.3.1 Casos Particulares do Momento Dinâmico 22 
3.4 Unidades da Quantidade de Aceleração e do Momento Dinâmico 
no Sistema Internacional 23 
3.5 Quantidade de Aceleração e Momento Dinâmico de 
Mecanismos Compostos por Vários Corpos Rígidos 23 
3.6 Componentes do Vector Dinâmico em G de um Sólido Rígido 24 
4 ENERGIA CINÉTICA DE UM SISTEMA MATERIAL 27 
4.1 Definições 27 
4.1.1 Ponto Material 27 
4.1.2 Sistema Discreto de Ponto Materiais 27 
4.1.3 Sistema Material Contínuo (sólido rígido) 28 
4.2 Energia Cinética de Um Corpo Rígido Animado de Movimento de Translação 29 
4.3 Energia Cinética de Um Corpo Rígido Animado de Movimento de Rotação 29 
4.4 Energia Cinética de Um Corpo Rígido em Movimento Polar 31 
4.5 Decomposição de Movimentos 33 
4.6 Energia Cinética de Um Sólido em Movimento Qualquer 33 
4.7 Unidades da Energia Cinética no Sistema Internacional 36 
iv CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
5 CINEMÁTICA DAS MASSAS – RESUMO DAS EQUAÇÕES 37 
6 APLICAÇÃO – O SISTEMA MANIVELA / BIELA / ÊMBOLO 39 
6.1 Geometria do Sistema Manivela – Biela – Êmbolo 40 
6.2 Velocidade e Aceleração Angulares dos Corpos 1, 2 e 3 40 
6.3 Trajectória do Centro de Massa de Cada Corpo 42 
6.4 Torsor da Quantidade de Movimento do Sistema 42 
6.4.1 Torsor da Quantidade de Movimento do corpo 1 42 
6.4.2 Torsor da Quantidade de Movimento do corpo 2 43 
6.4.3 Torsor da Quantidade de Movimento do corpo 3 43 
6.4.4 Torsor da Quantidade de Movimento do Sistema no Ponto O 44 
6.5 Torsor da Quantidade de Aceleração do Sistema 47 
6.5.1 Torsor da Quantidade de Aceleração do corpo 1 47 
6.5.2 Torsor da Quantidade de Aceleração do corpo 2 47 
6.5.3 Torsor da Quantidade de Aceleração do corpo 3 48 
6.5.4 Torsor da Quantidade de Aceleração do sistema no ponto O 50 
6.6 Energia Cinética 53 
7 APLICAÇÃO – SISTEMA TRIDIMENSIONAL 55 
8 PROBLEMAS PROPOSTOS 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 1 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Para o estudo da Dinâmica do Sólido, que constitui o objectivo final e fundamental 
da disciplina de Mecânica, vai ser necessário estabelecer as relações que existem entre as 
forças aplicadas aos sólidos e os movimentos que estes vão possuir. Nestas relações 
intervêm, directa ou indirectamente, a massa, o modo como esta se distribui no espaço e 
as distribuições espaciais de velocidades e acelerações dos sistemas materiais. 
Caracterizar-se-ão, neste capítulo, os sistemas de vectores "Quantidade de 
Movimento" e "Quantidade de Aceleração", em cuja definição intervém a massa e a 
velocidade ou aceleração, respectivamente. Caracterizar-se-á ainda a "Energia Cinética" 
dos sistemas materiais. 
Trata-se de mais um capítulo (o último) introdutório ao estudo daDinâmica do Sólido 
e o seu interesse é fulcral para o domínio das matérias que se lhe seguirão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 3 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2 TORSOR DAS QUANTIDADES DE MOVIMENTO 
 
2.1 Definições 
 
2.1.1 Ponto Material 
 
Seja P um ponto material de massa m, que descreve uma trajectória curvilínea S. O 
ponto P está animado de uma velocidade instantânea Pv na direcção τ
!
 tangencial à 
trajectória em P, como se mostra na figura 1. 
 
 
 
Figura 1 - Quantidade de Movimento e Momento Cinético de um ponto material P. 
 
Define-se "Quantidade de Movimento" de um ponto material, como um vector 
proporcional à sua velocidade, sendo a massa m o factor de proporcionalidade, 
Pvmq = . 
Define-se "Momento Cinético" de um ponto material em relação a um dado pólo O, 
como o momento em relação a esse pólo do vector Quantidade de Movimento, acima 
definido, 
O Ph OP q OP mv= × = ×
""! """! "! """! ""!
. 
O Torsor da Quantidade de Movimento do ponto material P, reduzido no ponto O, 
tem como Vector Principal a quantidade de movimento Pvmq = e como Vector Momento 
o momento cinético Oh OP q= ×
""! """! "!
, isto é, 
( )PQM Oq;hτ
"! ""!
. 
O 
X Y 
Z 
P(m)
S
Pvmq =
!
 
τ! 
qOPhO
!
×= 
Oh
4 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2.1.2 Sistema Discreto de Pontos Materiais 
 
A figura 2 mostra um sistema discreto de pontos materiais, P1, P2, …, Pn, de massas 
m1, m2, …, mn, respectivamente, e animados das velocidades instantâneas 
n21 PPP v...,,v,v . 
 
Figura 2 - Quantidade de movimento e momento cinético de um sistema discreto de 
pontos materiais. 
 
Pode associar-se a cada ponto material um vector quantidade de movimento, e um 
vector momento cinético, definidos por 
iPi
i vmq = e 
iPii
i
O vmOPh ×= , 
respectivamente. 
Obtém-se, assim, um sistema de vectores deslizantes, cujo Vector Principal se 
designa Quantidade de Movimento (global) e cujo vector momento no pólo O se designa 
Momento Cinético (global) nesse ponto O, definidos por: 
n21i PnP2P1
i
Pi
i
i vm...vmvmvmqQ +++=== ∑∑ 
i 1 2 n
i
O O i i P 1 1 P 2 2 P n n P
i i
H h OP m v OP m v OP m v ... OP m v= = × = × + × + + ×∑ ∑
""!"""! """! """! """! """! """"! """! """"! """!
 
Este par de vectores caracteriza, como sabemos, o sistema de vectores deslizantes 
acima referido, no sentido em que gera o mesmo campo de momentos que aquele. Este 
par de vectores constitui o chamado Torsor das Quantidades de Movimento do sistema de 
pontos materiais, reduzido no ponto O, e tem como Vector Principal a quantidade de 
movimento ∑∑ ==
i
Pi
i
i
i
vmqQ e como Vector Momento o momento cinético 
i
i
O O i i P
i i
H h OP m v= = ×∑ ∑
""!"""! """! """!
, isto é, 
( )SistemaQM OQ ;Hτ
"! """!
. 
iPi
i vmq =
Pi P2 
Pn 
P1 
iPii
i
O vmOPh ×=
O 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 5 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Considerando a massa de cada ponto material constante no tempo ( ) 0m
dt
d
i = , a 
expressão que define a quantidade de movimento pode ser desenvolvida do seguinte modo: 
( ) ( ) 




==== ∑∑∑ ∑ i
i
i
i
ii
i i
iiii OPmdt
d
OPm
dt
d
OP
dt
d
mvmQ . 
A Geometria das Massas mostra que i
i
i OPmM
1
OG ∑= , pelo que 
( )i i G
i
d d
Q m OP M OG M v
dt dt
 = = = 
 
∑
"! """! """! ""!
 
 
 
2.1.3 Sistema Material Contínuo (sólido rígido) 
 
Para uma distribuição contínua de massa ou corpo rígido, como a representada na 
figura 3, é válido tudo o que foi dito para os sistemas discretos de pontos materiais. 
 
 
Figura 3 - Quantidade de movimento e momento cinético de um sistema contínuo. 
 
Os sistemas contínuos são constituídos por um número infinito de pontos materiais 
discretos, de massa elementar dm (dm = ρρρρ dV), aos quais se associa uma quantidade de 
movimento e um momento cinético elementares, definidos por 
P Odq v dm e dh OP dq= = ×
""! ""! """!! !
. 
Os vectores quantidade de movimento e momento cinético num ponto, terão 
definição análoga, apenas substituindo o somatório por um integral estendido à massa total 
do sistema material, isto é 
(M) 
P, dm 
Z 
Y X 
O 
dmvqd P= 
dmvOPhd P
dm
O ×=
6 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
P
M M
Q dq v dm= =∫ ∫
! ""!!
 
O O
M M
H dh OP v dm= = ×∫ ∫
"""! ""! """! !
. 
Este par de vectores constitui o chamado Torsor das Quantidades de Movimento do 
corpo rígido, reduzido no ponto O, e tem como Vector Principal a quantidade de 
movimento Q e como Vector Momento o momento cinético OH , isto é, 
( )Corpo OQM Q ;Hτ
! """!
. 
 
 
2.2 Vector Quantidade de Movimento - Q 
 
O vector quantidade de movimento ∫=
M
P dmvQ pode ser desenvolvido usando a 
expressão de Mozzi para as velocidades contemporâneas de um sólido, a qual estabelece 
que P Gv v GPω= + ×
""! ""! "! """!
. 
Substituindo na definição da quantidade de movimento obtém-se 
( )P G GM M M MQ v dm v GP dm v dm GP dmω ω= + × = + ×∫ ∫ ∫ ∫
"! ""! ""! "! """! ""! "! """!
= , 
isto é 
G GM MQ v dm GP dm M vω= + × =∫ ∫
"! ""! "! """! ""!
. 
A Geometria das Massas mostra que 
0GGMdmGPOGMdmOPeMdm
MMM
!
==⇒== ∫∫∫ . 
Substituindo determina-se que 
(1) GvMQ = 
Conclusão: 
Qualquer que seja o tipo de distribuição de massa (discreta ou contínua) teremos 
sempre GvMQ = , isto é o vector Quantidade de Movimento é igual à massa do 
sistema multiplicada pelo vector velocidade do respectivo centro de massa. 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 7 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2.3 Vector Momento Cinético em O - OH 
 
O vector momento cinético ∫ ×=
M
PO dmvOPH pode ser desenvolvido decompondo 
o vector OP e usando a expressão de Mozzi para as velocidades contemporâneas de um 
sólido, isto é 
P GOP OG GP e v v GPω= + = + ×
"""! """! """! ""! ""! "! """!
. 
Substituindo POP e v
"""! ""!
na definição do momento cinético obtém-se 
( ) ( )O P GM
M
H OP v dm OG GP v GP dmω= × = + × + ×∫ ∫
"""! """! ""! """! """! ""! "! """!
 
e decompondo os vários termos 
( ) ( )O G GM M M MH OG v dm OG GP dm GP v dm GP GP dmω ω= × + × × + × + × ×∫ ∫ ∫ ∫
"""! """! ""! """! """! """! ""! """! """!! !
 
isto é 
( ) ( ) ( ) ( )O G GM M M MH OG v dm OG GP dm GP dm v GP GP dmω ω= × + × × + × + × ×∫ ∫ ∫ ∫"""! """! ""! """! """! """! ""! """! "! """!! . 
Como referido anteriormente, a Geometria das Massas mostra que 
0GGMdmGPOGMdmOPeMdm
MMM
!
==⇒== ∫∫∫ , 
logo 
( )O G MH OG v M GP GP dmω= × + × ×∫
"""! """! ""! """! "! """!
. 
Sabendo que 
( ) [ ]IG GM GP GP dm Hω ω× × = =∫
"""! """! """!! !
 
o momento cinético no ponto O é definido por 
O G GH H OG M v= + ×
"""! """! """! ""!
 
isto é 
(2) O GH H OG Q= + ×
"""! """! """! "!
 1º Teorema de Koenig 
8 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Conclusão: 
O momento cinético de um corpo rígido, num dado ponto O, pode ser obtido pela 
soma das seguintes duas parcelas: 
• A 1ª resulta da multiplicação da matriz de inércia do sistema, definida no seu 
centro de massa [ ]GI , pelo vector velocidade angular ω ; 
• A 2ª é o produto vectorial do vector de posição do centro de massa OG , pelo 
vector quantidade de movimento do sistema GvM . 
Este resultado já era esperado. Com efeito, conhecido o vector principal e o vector 
momento em G de um sistema de vectores deslizantes, é possível calcular o vector 
momento num outro ponto qualquer, utilizando a expressão fundamental dos campos de 
momentos que acaba de ser rescrita (expressão (2)). 
Esta equação traduz o conhecido 1º teorema de Koenig e é de uso muito frequente 
no cálculode vectores momento cinético. 
 
 
2.3.1 Momento Cinético em G - [ ]IG GH ω=
"""! !
 
 
Na definição do momento cinético no ponto, O GH H OG Q= + ×
"""! """! """! "!
, admitiu-se que 
( ) [ ]IG GMGP GP dm Hω ω× × = =∫
"""! "! """! "! """!
 o que se demonstra em seguida. 
Definindo ω e GP como vectores genéricos 










=
n
m
l
ω! e 










=
z
y
x
GP 
obtém-se que 
x mz ny
GP m y nx z
n z y mx
ω
−     
     × = × = −     
     −     
#"! """!
#
#
 
e 
( )
2 2
2 2
2 2
y mxy nxz zx mz ny
GP GP y nx z mz nyz lxy mx
z y mx nx xz myz ny
ω
 − − +−          × × = × − = − − +     
     − − − +      
# #
"""! "! """!
#
# #
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 9 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
isto é 
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
y mxy nxz z y z xy xz
GP GP mz nyz lxy mx xy x z yz m
nnx xz myz ny xz yz x y
ω
   − − + + − −         × × = − − + = − + − ×   
    − − + − − +       
# # #"""! "! """!
#
 
Substituindo no integral e desenvolvendo, determina-se que 
( )
2 2
2 2
M M 2 2
y z xy xz
GP GP dm xy x z yz m dm
nxz yz x y
ω
 + − −      × × = − + − × 
   − − +    
∫ ∫
#"""! "! """!
, 
logo 
( )
( )
( )
( )
2 2
M M M
2 2
M M M M
2 2
M M M
y z dm xy dm xzdm
GP GP dm xy dm x z dm yzdm m
n
xzdm yzdm x y dm
ω
 
+ − − 
   
  × × = − + − ×  
     − − +  
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
#"""! "! """!
 
isto é 
( ) [ ]
xx xy xz
xy yy yz G
M
xz yz zz
I P P
GP GP dm P I P m I
P P I n
ω ω
 − −  
   × × = − − × =  
  − −   
∫
#"""! "! """! !
, c.q.d. 
 
 
2.3.2 Casos Particulares do Momento Cinético 
 
a) Sólido em movimento de translação 
 
Se o sólido está animado de movimento de translação então a sua velocidade angular 
é nula 0
!! =ω , pelo que 
[ ] [ ] QOGQOG0IQOGI GGO ×=×+=×+= ωH 
isto é 
QOGO ×=H . 
No ponto G (G ≡≡≡≡ O) 
0QGGG
!
=×=H . 
10 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
b) Sólido em movimento qualquer 
 
No caso de um sólido animado de um movimento qualquer, a definição geral do 
momento cinético estabelece que O PMH OP v dm= ×∫
"""! """! ""!
. 
Definindo a velocidade do ponto P em função da velocidade do ponto O, 
P Ov v OPω= + ×
""! ""! """!!
 
e substituindo na definição, obtém-se que 
( )O P OM MH OP v dm OP v OP dmω= × = × + ×∫ ∫
"""! """! ""! """! """!! !
, 
logo 
( ) ( )O OM MH OP OP dm OP dm vω= × × + ×∫ ∫"""! """! """! """! ""!! . 
Sabendo que (ver 2.3.1) 
( ) I OM
M
OP OP dm e OP dm MOGω ω × × = = ∫ ∫
"""! """! """! """!! !
 
logo 
(3) IO O OH M OG vω = + × 
"""! """! ""!!
, 
 
 
b1) Sólido em rotação em torno de um ponto fixo O 
 
Sendo O um ponto fixo, então 0vO = , pelo que 
I IO O O OH M OG v M OG 0ω ω   = + × = + ×   
"""! """! ""! """! "!! !
, 
isto é 
IO OH ω =  
"""! !
. 
A expressão (3), que permite obter o momento cinético utilizando a matriz de 
inércia, pressupõe a rigidez do sistema material a que se refere. Só pode, portanto, 
calcular-se o momento cinético a partir da matriz de inércia, desde que o ponto usado 
para pólo pertença ao espaço físico rigidamente ligado ao sólido. 
Caso isto não se verifique, o cálculo deverá fazer-se a partir da expressão (2) do 1º 
Teorema de Koenig. 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 11 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
b2) Momento Cinético no centro de massa "G" 
 
Num ponto qualquer [ ]IO O OH MOG vω= + ×
"""! """! ""!!
, pelo que no centro de massa 
I IG G G G GH M GG v M0 vω ω   = + × = + ×   
"""! """! ""! "! ""!! !
, 
isto é 
(4) IG GH ω =  
"""! !
. 
Recorrendo à definição do momento cinético O PMH OP v dm= ×∫
"""! """! ""!
, obter-se-ia que 
G PMH GP v dm= ×∫
"""! """! ""!
. 
Definindo a velocidade do ponto P em função da velocidade do ponto G, 
P Gv v GPω= + ×
""! ""! "! """!
, e substituindo na definição do momento cinético no ponto G, 
determina-se que 
( )G G
M
H GP v GP dmω= × + ×∫
"""! """! ""! "! """!
 
( )G
M M
H GP dm v GP GP dmG ω
 
= × + × × 
 
∫ ∫
"""! """! ""! """! "! """!
. 
Atendendo a que 
( ) I GM
M
GP dm 0 e GP GP dmω ω = × × =  ∫ ∫
"""! "! """! """!! !
 
determina-se que 
[ ]GH IG ω=
"""! "!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2.4 Unidades da Quantidade de Movimento e do Momento Cinético no Sistema 
Internacional 
 
A quantidade de movimento Pvmq = corresponde ao produto de uma massa por 
uma velocidade instantânea, pelo que no Sistema Internacional as suas unidades são 
 kg m/s . 
O momento cinético O Ph OP q OP mv= × = ×
""! """! "! """! ""!
 corresponde ao momento da 
quantidade de movimento, isto é, produto de uma distância por uma massa e por uma 
velocidade instantânea, pelo que no Sistema Internacional as suas unidades são 
 kg m2/s . 
 
 
2.5 Quantidade de Movimento e Momento Cinético de Mecanismos Compostos por 
Vários Corpos Rígidos 
 
A figura 4 mostra um mecanismo composto por 3 corpos rígidos. 
Considera-se que o sistema de eixos S0 ≡≡≡≡ [O,X0,Y0,Z0] é fixo e os sistemas de eixos S1 
≡≡≡≡ [G1,X1,Y1,Z1], S2 ≡≡≡≡ [G2,X2,Y2,Z2] e S3 ≡≡≡≡ [G3,X3,Y3,Z3] são móveis, estão rigidamente 
ligados aos corpos 1, 2 e 3, têm origem nos respectivos centros de massa e são sistemas 
de eixos principais centrais de inércia. 
 
 
Figura 4 - Mecanismo composto por três corpos rígidos. 
 
Z0 
Y0 
X0 
O 
Z2
Y2
X2
G2 
Y3
Z3 
X3 G3 
Z1 
Y1 
X1 
G1 
A
B
CINEMÁTICA DAS MASSAS 13 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Para cada corpo rígido é possível definir o correspondente torsor das quantidades de 
movimento, em relação a um determinado ponto e usando as coordenadas de um dos 
sistemas eixos. Assim tomando como sistema de eixos de trabalho o sistema 
S1 ≡≡≡≡ [G1,X1,Y1,Z1] poder-se-ia estabelecer que: 
 
1
1 1
1 1 1
QM G
S S
Q ; Hτ   
 
""! """!
, 
2
1 1
2 2 2
QM G
S S
Q ; Hτ   
 
"""! """"!
, e 
3
1 1
3 3 3
QM G
S S
Q ; Hτ   
 
"""! """"!
. 
A determinação do momento cinético de cada corpo, no respectivo centro de massa, 
é de simples obtenção se tal operação for realizada no sistema de eixos rigidamente ligado 
ao corpo, já que se trata de um sistema de eixos principal central de inércia. Assim, 
1 1
111
1 1
G G 10 SSS
H I ω =  
"""! """!
, 
22 2 2 2
222 1 21
2 2 2 2
SG G 20 G GSSS S SS
H I e H T Hω
 
 = =      
""""! """"! """"!""""!
, 
33 3 3 3
333 1 31
3 3 3 3
SG G 30 G GSSS S SS
H I e H T Hω
 
 = =      
""""! """"! """"!""""!
. 
Também é possível determinar o torsor da quantidade de movimento do mecanismo, 
no seu todo, em relação a um determinado ponto. Por exemplo, 
1 1
mecanismo
QM OS S
Q ; Hτ   
 
"! """!
, 
onde 
1 1 1 1
1 2 3
S S S S
Q Q Q Q= + +
""! """! """!"!
, e 
1 1 1 1
1 2 3
O O O OS S S S
H H H H= + +
"""! """! """!"""!
. 
14 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Para obter os valores dos momentos cinéticos de cada corpo no ponto O, é necessário 
efectuar uma mudança de pólo usando o 1º Teorema de Koenig, isto é, 
11 1 1
1 1 1
O G1 1 SS S S
H H OG Q= + ×
"""! """! ""!""""!
, 
11 1 1
2 2 2
O G2 2 SS S S
H H OG Q= + ×
"""! """"! """!""""!
, 
11 1 1
3 3 3
O G3 3 SS S S
H H OG Q= + ×
"""! """"! """!""""!
. 
pelo que 
1 1 11 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 3
O G1 1 G2 2 G3 3S S SS S S S S S S
H H OG Q H OG Q H OG Q
     
= + × + + × + + ×     
     
"""! """! ""! """"! """! """"! """!""""! """"! """"!
 
Este procedimento, aqui exemplificado para três corpos, pode, obviamente, ser 
alargado a qualquer número de corposque constituam o mecanismo. 
 
Verifica-se, então, que caso o sistema material seja constituído por uma associação 
de corpos rígidos, poderá calcular-se o momento cinético de cada um deles no respectivo 
centro de massa, transpô-lo para o mesmo pólo e fazer então o respectivo somatório, de 
modo a determinar o momento cinético do sistema material. 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 15 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
3 TORSOR DAS QUANTIDADES DE ACELERAÇÃO 
 
3.1 Definições 
 
3.1.1 Ponto Material 
 
Seja P um ponto material de massa m, que descreve uma trajectória curvilínea S. O 
ponto P está animado de uma aceleração instantânea Pa , com componentes nas direcções 
τ! tangencial e n
!
 normal à trajectória em P, como se mostra na figura 5. 
 
 
 
Figura 5 - Quantidade de aceleração e momento dinâmico de um ponto material P. 
 
Define-se "Quantidade de Aceleração" de um ponto material P, como um vector 
igual ao produto da massa do ponto pelo seu vector aceleração. 
Pam
.
q = . 
Define-se “Momento Dinâmico” de um ponto material em relação a um dado pólo 
O, como o momento em relação a esse pólo do vector Quantidade de Aceleração, 
O P
.
k OP q OP ma= × = ×
""! """! "! """! ""!
. 
O Torsor da Quantidade de Aceleração do ponto Material P, reduzido no ponto O, 
tem como Vector Principal a quantidade de aceleração Pam
.
q = e como Vector Momento 
o momento dinâmico O P
.
k OP q OP ma= × = ×
""! """! "! """! ""!
,isto é, 
.
P
QA O(q;k )τ
""!!
. 
O
X Y
Z
P(m) 
S 
Pamq =$
!
τ
n
PO amOPk ×= ""!
na
""!
ta 
= +
""! ""! ""!
P t na a a
16 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
3.1.2 Sistema Discreto de Pontos Materiais 
 
A figura 6 mostra um sistema discreto de pontos materiais, P1, P2, …, Pn, de massas 
m1, m2, …, mn, respectivamente, e animados das acelerações instantâneas 
Pn2P1P a...,,a,a . 
 
 
Figura 6 - Quantidade de aceleração e momento dinâmico de um sistema de pontos 
materiais. 
 
Pode associar-se a cada ponto material um vector quantidade de aceleração e um 
vector momento dinâmico, definidos por 
iP
i am
.
q = e i iO i
.
k OP q= ×
""! ""!"""!
 respectivamente. 
 
O sistema de vectores deslizantes resultante tem por Vector Principal o vector 
quantidade de aceleração (global) e por Vector Momento no pólo O o vector momento 
dinâmico (global) nesse ponto, definidos por: 
Pnn2P21P1
i
Pii
i
i am...amamam
.
q
.
Q +++=== ∑∑
!
 
i
O O i i Pi 1 1 P1 2 2 P2 n n Pn
i i
K k OP m a OP m a OP m a OP m a= = × = × + × + ⋅ ⋅ ⋅+ ×∑ ∑
""!"""! """! """! """! """! """"! """! """"! """!
. 
Este par de vectores caracteriza o Torsor das Quantidades de Aceleração do sistema 
de pontos materiais, reduzido no ponto O, definido por 
.
Sistema
QA O(Q ;K )τ
! """!
. 
Considerando a massa de cada ponto material constante no tempo ( ) 0m
dt
d
i = , a 
expressão que define a quantidade de aceleração pode ser simplificada, 
iPii am
.
q = 
Pi P2 
Pn 
P1 
iPii
i
O amOPk ×= 
O 
Pj 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 17 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( ) ( ) G
i
Pi
i i
PiPi aMQdt
d
vm
dt
d
v
dt
d
mamQ
iii
==




=== ∑∑ ∑
$! 
( ) GG aMvMdt
d
Q
dt
d
Q ===$
!
 
Também a expressão que define o momento dinâmico pode ser analisada e 
desenvolvida. Derivando a expressão do momento cinético 
iO i i P
i
H OP m v= ×∑
"""! """! """!
em ordem 
ao tempo, obtém-se 
i i i
. . .
O i i P i i P i i P
i i i
d
H OP m v OP m v OP m v
dt
 = × = × + × 
 
∑ ∑ ∑
"""! """! """! """! """! """! """!
 
No caso mais geral de o ponto O ser móvel, a derivada de OP em ordem ao tempo 
será igual à diferença das velocidades de P e O. Assim, 
( )i i i
.
O P O i P i i P
i i
H v v m v OP m a= − × + ×∑ ∑
"""! """! ""! """! """! ""!
 
i i i i
.
O P i P O i P i i P
i i i
H v m v v m v OP m a= × − × + ×∑ ∑ ∑
"""! """! """! ""! """! """! ""!
 
i i
.
O O i P i i P
i i
H 0 v m v OP m a
 = − × + × 
 
∑ ∑
"""! "! ""! """! """! ""!
 
.
O O G OH v Mv K= − × +
"""! ""! ""! """!
 
Daqui resulta 
.
O O O GK H v Mv= + ×
"""! """! ""! ""!
 ou QvHK O
.
OO ×+= 
 
 
3.1.3 Sistema Material Contínuo (sólido rígido) 
 
Numa distribuição contínua de massa ou corpo rígido, como a representada na 
figura 7, o torsor das quantidades de aceleração terá definição semelhante à da 
distribuição discreta, apenas substituindo o somatório pelo integral estendido a toda a 
massa M do corpo. 
 
18 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
Figura 7 - Quantidade de aceleração e momento dinâmico de um sistema contínuo. 
 
Com efeito os sistemas contínuos podem ser considerados como constituídos por um 
número infinito de ponto materiais de massa elementar dm, aos quais se associam 
quantidades de aceleração e momentos dinâmicos elementares, definidos por 
qdxOPkdedmaqd OP
$!$! == 
Os vectores quantidade de movimento e momento cinético num dado ponto serão 
então dados por 
∫∫ ==
M
P
M
.
dmaqdQ $
!!
 
O O P
M M
K dk OP a dm= = ×∫ ∫
"""! ""! """! ""!
 
Este par de vectores constitui o chamado Torsor das Quantidades de Aceleração do 
corpo rígido, reduzido no ponto O, e tem como Vector Principal a quantidade de 
aceleração 
.
Q e como Vector Momento o momento dinâmico OK , isto é, 








O
.
Corpo
QA K;Q
!τ . 
 
 
3.2 Vector Quantidade de Aceleração - Q$
!
 
 
A expressão do vector quantidade de aceleração P
M
Q a dm= ∫
i! ""!
 pode ser 
desenvolvida recorrendo à definição da quantidade de movimento, isto é, 
(M)
P, dm
Z
YX 
O
dma
.
qd P= 
dmaOPkd PO ×= 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 19 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( ) ( ) ( ) ( )Q
dt
d
dmv
dt
d
dmv
dt
d
dmv
dt
d
dmaQ M P
M
PPM MP
!$! ===== ∫∫∫ ∫ 
( ) ( ) GG aMvMdt
d
Q
dt
d
Q ===
!$!
 
(5) =
i"! """!
GQ M a 
Conclusão: 
Qualquer que seja o tipo de distribuição de massa (discreta ou contínua) o vector 
Quantidade de Aceleração é igual ao produto da massa do sistema multiplicada 
pelo vector aceleração do respectivo centro de massa, 
 
 
3.3 Vector Momento Dinâmico em O - OK 
 
A partir da definição de momento dinâmico no ponto O, ∫=
M
PO dmaxOPK , 
decompondo o vector OP em 
GPOGOP += , 
usando a expressão das acelerações contemporâneas de um sólido 
( )GPGPaa
.
GP ××+×+= ωωω , 
e substituindo na definição, obtém-se 
( ) ( )
.
O p GOP OG GP a GP GPω ω ω
 
= × = + × + × + × × 
  
∫ ∫
"""! """! ""! """! """! ""! "! """! "! "! """!
M MK a dm dm . 
Desenvolvendo a expressão anterior 
( )
( )
.
O GM M M
.
GM M M
OG a dm OG GP dm OG GP dm
GP a dm GP GP dm GP GP dm
ω ω ω
ω ω ω
 
 = × + × × + × × × +    
 
 
 × + × × + × × ×    
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
"""! """! ""! """! "! """! """! "! "! """!
"""! ""! """! "! """! """! "! "! """!
K
 
isto é, 
 
 
20 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
.
O G M M M
.
GM M M
OG a dm OG GP dm OG GP dm
GP dm a GP GP dm GP GP dm
ω ω ω
ω ω ω
 = × + × × + × × × + 
 
 × + × × + × × ×    
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
"""! """! ""! """! "! """! """! "! "! """!
"""! ""! """! "! """! """! "! "! """!
K
. 
A Geometria das Massas mostra que 
M M M
dm M e OP dm MOG GP dm MGG 0= = ⇒ = =∫ ∫ ∫
!"""! """! """! """!
. 
Logo 
[ ]
( )[ ]dmGPGPdmGPGPa0
0OG0OGMaOG
M
.
MG
.
GO
×××+







××+×
+×××+××+×=
∫∫ ωωω
ωωωK
, 
( )[ ]dmGPGPdmGPGPMaOG M
.
MGO ×××+







××+×= ∫∫ ωωωK , 
( )[ ] dmGPGPGPaMOG M
.
GO ∫








××+







××+×= ωωωK , 
( )( )dmGPGP
dt
d
aMOG MGO ∫ ××+×= ωK . 
Já foi demonstrado que ( ) [ ] ωω !G
M
IdmGPxxGP =∫ , pelo que 
[ ]( )O G GdOG Ma Idt ω= × +
"""! """! ""! "!
K 
( )O G GdOG Ma Hdt= × +
"""! """! ""!"""!
K 
GGO aMOGK ×+=K 
isto é 
(6) 
.
GO QOGK ×+=K 2º Teorema de Koenig. 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 21 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Conclusão: 
O momento dinâmico de um corpo rígido, num dado ponto O, pode ser obtido pela 
soma das seguintes duas parcelas: 
• A 1ª representa o momento dinâmico do sistema no centro de massa GK , e 
corresponde à derivada em ordem ao tempo do momento cinético no mesmo 
ponto; 
• A 2ª é o produto vectorial do vector de posição do centro de massa OG , pelo 
vector quantidade de aceleração do sistema GaM . 
Este resultado já era esperado. Com efeito, conhecido o vector principal e o vector 
momento em G de um sistema de vectores deslizantes, é possível calcular o vector 
momento num outro ponto qualquer, utilizando a expressão fundamental dos campos de 
momentos que acaba de ser rescrita (expressão (6)). 
Esta equação traduz o 2º Teorema de Koenig e é muito utilizada no cálculo dos 
momentos dinâmicos, sobretudo quando o ponto usado para pólo é um ponto móvel. 
 
Em alternativa, o momento dinâmico do corpo no ponto O, OK
"""!
, pode ser obtido a 
partir da derivada em ordem ao tempo do momento cinético OH
"""!
, isto é, 
O P
M
H OP v dm= ×∫
"""! """! ""!
 
. . .
O P P P
M M M
d
H OP v dm OP v dm OP v dm
dt
 
= × = × + × 
 
∫ ∫ ∫
"""! """! ""! """! ""! """! ""!
 
Em geral o ponto O é um ponto móvel, pelo que a derivada em ordem ao tempo do 
vector OP é dada pela diferença de velocidade dos pontos P e O. Com efeito, 
( )
.
O P O P P
M M
H v v v dm OP a dm= − × + ×∫ ∫
"""! ""! ""! ""! """! ""!
 
.
O P P O P P
M M M
H v v dm v v dm OP a dm= × − × + ×∫ ∫ ∫
"""! ""! ""! ""! ""! """! ""!
 
.
O O P P
M M
H 0 v v dm OP a dm= − × + ×∫ ∫
"""! "! ""! ""! """! ""!
 
22 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
OGO
.
O KvMvH +×−= isto é 
(7) GO
.
OO vMvHK ×+= ou 
.
O O OK H v Q= + ×
"""! """! ""! "!
 
 
 
3.3.1 Casos Particulares do Momento Dinâmico 
 
a) Ponto O fixo 
 
Se o ponto O for fixo, então Ov 0=
""! "!
. Substituindo na expressão (7), obtém-se 
.
O O GK H 0 Mv= + ×
"""! """! "! ""!
 
 
.
O OK H=
"""! """!
 
 
b) Ponto O coincidente com o centro de massa G 
 
Se o ponto O coincide com o centro de massa G, então a expressão (7) toma a 
forma 
. .
O O O G G G G GK H v Mv K H v Mv= + × ⇔ = + ×
"""! """! ""! ""! """! """! ""! ""!
 
.
G GK H 0= +
"""! """! "!
 
(8) 
.
G GK H=
"""! """!
 
 
c) Caso geral – ponto O qualquer 
 
Em geral, porém, o vector momento dinâmico num ponto não coincide com a 
derivada em ordem ao tempo do vector momento cinético nesse ponto, como mostra a 
expressão (7). 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 23 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
3.4 Unidades da Quantidade de Aceleração e Momento Dinâmico no Sistema 
Internacional 
 
A quantidade de aceleração 
.
Pq ma=
"! ""!
 corresponde ao produto de uma massa por 
uma aceleração instantânea, o que no Sistema Internacional corresponde a unidades de 
força (Newton), isto é 
 kg m/s2 = N . 
O momento cinético 
.
O Pk OP q OP ma= × = ×
""! """! "! """! ""!
 corresponde ao momento da 
quantidade de aceleração, isto é, o produto de uma distância por uma massa e por uma 
aceleração instantânea, o que no Sistema Internacional corresponde a unidades de binário 
força vezes distância (Newton x metro), isto é 
 kg m2/s2 = N m . 
 
 
3.5 Quantidade de Aceleração e Momento Dinâmico de Mecanismos Compostos por 
Vários Corpos Rígidos 
 
Caso o sistema material seja constituído por uma associação de corpos rígidos, 
pode-se usar um procedimento idêntico ao apresentado no parágrafo 2.5 para a quantidade 
de movimento. 
Assim, o torsor da quantidade de aceleração do mecanismo representado na figura 4, 
reduzido no ponto O, é definido por 
1
1
.
mecanismo
QA O S
S
Q ; Kτ
 
 
 
 
"! """!
, 
onde 
1 1 1 1
. . ..
1 2 3
S S S S
Q Q Q Q= + +
""! """! """!"!
, e 
1 1 1 1
1 2 3
O O O OS S S S
K K K K= + +
"""! """! """!"""!
. 
24 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Para obter os valores dos momentos dinâmicos de cada corpo no ponto O, é 
necessário efectuar uma mudança de pólo usando o 2º Teorema de Koenig, isto é, 
11 1
1
.
1 1 1
O G1 1 SS S
S
K K OG Q= + ×
"""! """! ""!""""!
, 
11 1
1
.
2 2 2
O G2 2 SS S
S
K K OG Q= + ×
"""! """"! """!""""!
, 
11 1
1
.
3 3 3
O G3 3 SS S
S
K K OG Q= + ×
"""! """"! """!""""!
. 
pelo que 
1 1 11 1 1 1
1 1 1
. . .
1 1 2 2 3 3
O G1 1 G2 2 G3 3S S SS S S S
S S S
K K OG Q K OG Q K OG Q
     
     = + × + + × + + ×     
     
     
"""! """! ""! """"! """! """"! """!""""! """"! """"!
, 
isto é, poderá calcular-se o momento dinâmico de cada corpo no respectivo centro de 
massa, transpô-lo para o mesmo pólo e fazer então o respectivo somatório, de modo a 
obter o momento dinâmico global do mecanismo. 
 
 
3.6 Componentes do Vector Momento Dinâmico em G, de um Sólido Rígido 
 
 
O corpo rígido representado na figura 8, está associado a um sistema de eixos de 
referência SG ≡≡≡≡ [G,XG,YG,ZG] rigidamente ligado ao corpo. 
 
 
Figura 8 - Corpo rígido e sistema de eixos de referência. 
Z0 
Y0 
X0 
O 
ZG
YG
XG
G 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 25 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
No caso mais geral, o momento cinético no centro de massa é dado por: 
[ ] { }
I
I I
I
xx xy xz x
G G xy yy yz y
xz yz zz z
P P
H P P
P P
ω
ω ω
ω
 − −  
   = = − −   
  − −   
"""!
i 
Como o referencial SG ≡≡≡≡ [G,XG,YG,ZG] está rigidamente ligado ao sólido, a matriz de 
inércia é constante. Logo, 
I I
. .
T
G G G GK H ω ω ω   = = +   
"""! """! "! "! "!
i i i (24) 
As componentes serão 
( ) ( ) − − + − − + − − + − 
 = 
 
  
$ $ $
!
I ω P ω P ω ω P ω P ω I ω ω P ω I ω P ωxx x xy y xz z y xz x yz y zz z z xy x yy y xz z
K ...G
...
 
Este vector é aparentemente muito complicado, no entanto, numa grande parte dos 
casos simplifica-se muitíssimo. 
Por exemplo, analisando o caso de um movimento plano ( )x y 0ω ω⇒ = = de um 
sólido simétrico em relação ao plano do movimento ( )xz yzP P 0⇒ = = , verifica-se que, 
[ ] { }
I
I I
I
xx xy
G G xy yy
zz z
P 0 0
H P 0 0
0 0
ω
ω
−   
  = = −   
     
"""!
i 
I
G
zz z
0
H 0
ω
 
 =  
 
 
"""!
 
Com efeito, se o plano GXGYG é de simetria, tal implica que o eixo ZG seja principal 
central de inércia e portanto que os produtos de inércia Pxz e Pyz sejam nulos. 
O momento dinâmico no ponto G será então definido por 
( )
I
.
G G G
zz z
0
d d
K H H 0
dt dt
ω
  
  = = =   
    
"""! """! """!
, 
isto é, 
 
 
26 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
I
I
.
G G
. z zz z
zz z
0 0 0
K H 0 0 0
ω ω
ω
 
    
     = = + ×     
     
     
"""! """!
 
I
.
G G
.
zz z
0
K H 0
ω
 
 
 = =  
 
  
"""! """!
 
Mesmo que o sólido não fosse simétrico em relação ao plano do movimento 
( )xz yzP 0 e P 0⇒ ≠ ≠ , o vector era simples. Neste caso, 
I
I
I I
xx xy xz xz
G xy yy yz yz
xz yz zz zz
P P o P
H P P o P
P P
ω
ω
ω ω
 − − −   
     = − − = −    
    − −     
!
i 
I I
xz xz
G yz yz
zz zz
P o P
K P o P
ω ω
ω ω
ω ω ω
− −     
     = − + × −     
     
     
$!
$
$
 
I
2
xz yz
2
G yz xz
zz
P P
K P P
ω ω
ω ω
ω
 − +
  = − − 
 
  
$
!
$
$
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 27 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
4 ENERGIA CINÉTICA DE UM SISTEMA MATERIAL 
 
4.1 Definições 
 
4.1.1 Ponto MaterialSeja P um ponto material de massa m, que descreve uma trajectória curvilínea S. O 
ponto P está animado de uma velocidade instantânea Pv na direcção τ
!
 tangencial à 
trajectória em P, como se mostra na figura 9. 
 
 
Figura 9 - Energia cinética de um ponto material P. 
 
A energia cinética é uma Grandeza Escalar, cuja definição matemática, no âmbito 
do ponto material, é: 
2 2
P P P P
1 1 1
T mv v m v mv
2 2 2
= = =
""! ""! ""!
i 
A energia cinética, energia acumulada por um corpo em movimento, pode ser 
encarada, como mais tarde se verá, como uma função potencial de que derivam as 
chamadas "forças de inércia" associadas a esse corpo. Mais tarde, quando os conceitos de 
trabalho e energia forem estudados, esta expressão será justificada. 
 
 
4.1.2 Sistema Discreto de Pontos Materiais 
 
No caso de o sistema material ser constituído por um conjunto de pontos materiais 
discretos, como se mostra na figura 10, a energia cinética global será a soma das energias 
de todos os seus pontos. Assim, obtém-se 
O 
X Y
Z 
P(m)
S
Pv
""!
τ!
2 2
P P P P
1 1 1
T mv v m v mv
2 2 2
= = =
""! ""! ""!
i 
28 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
Figura 10 - Energia cinética de um sistema de pontos materiais. 
 
i i i i
n n n2 2
i P P i P i P
i i i
1 1 1
T m v v m v m v
2 2 2
= = =∑ ∑ ∑
"""! """! """!
i 
 
 
4.1.2 Sistema Material Contínuo (sólido rígido) 
 
Num sistema contínuo, como o representado na figura 11, consideram-se um 
número infinito de pontos materiais. 
 
 
Figura 11 - Energia cinética de um sistema contínuo. 
 
A energia cinética de cada elemento de massa dm, associado ao ponto material P 
do sólido é definida por 
i i i i
2 2
P P P P
1 1 1
dT v v dm v dm v dm
2 2 2
= = =
"""! """! """!
i 
e portanto a energia cinética global da massa será definida por 
i i i i
2 2
P P P PM M M M
1 1 1
T dT v v dm v dm v dm
2 2 2
= = = =∫ ∫ ∫ ∫
"""! """! """!
i 
 
iPv
"""!
 
Pi P2 
Pn 
P1 ( ) ( )i i i
n n 2
i P P i P
i 1 i 1
T m v v m v
= =
= =∑ ∑
"""! """!
i 
(M) 
P, dm 
Z 
Y X 
O 
Pv
""!
( ) 2P P P1 1dT v v dm v dm2 2= =
""! ""!
i 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 29 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
4.2 Energia Cinética de Um Corpo Rígido Animado de Movimento de Translação 
 
A energia cinética de um sólido rígido animado de movimento de translação, como 
o representado na figura 12, é exactamente igual à energia que um ponto material 
qualquer desse sólido teria, se nele estivesse concentrada toda a sua massa M. Assim, 
( )i i i iP P P PM1 1T v v dm Mv v2 2= =∫
"""! """! """! """!
i i , isto é, 
i i i i
2 2
P P P P
1 1 1
T Mv v M v Mv
2 2 2
= = =
"""! """! """!
i , logo 
(9) 
2
G
1
T Mv
2
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 - Energia cinética de um corpo animado de movimento de translação. 
 
 
4.3 Energia Cinética de Um Corpo Rígido Animado de Movimento de Rotação 
 
No caso de um corpo animado de movimento de rotação em torno, por exemplo, do 
eixo OZ, como representado na figura 13, a expressão da energia cinética pode ser 
deduzida directamente a partir da definição. 
 
 
Figura 13 - Energia cinética de um sólido animado de movimento de rotação. 
Z
Y
X 
O
M
P (dm)
R
r
ω
"!
α 
Pv
""!
 
M
vP
30 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A velocidade do ponto P pode ser obtida a partir da velocidade do ponto O, isto é, 
P Ov v OP 0 OP OPω ω ω= + × = + × = ×
""! ""! "! """! "! "! """! "! """!
, 
já que o ponto O tem velocidade nula porque pertence ao eixo de rotação. 
Substituindo na definição da Energia Cinética 
i iP PM
1
T v v dm
2
= ∫
"""! """!
i obtém-se que 
( ) ( )M1T OP OP dm2 ω ω= × ×∫
"! """! "! """!
i . 
Definindo os vectores 
0
0ω
ω
 
 =  
 
 
"!
 e 
x
OP y
z
 
 =  
 
 
"""!
, e realizando as correspondentes 
operações, determina-se que 
( ) ( )M M
0 x 0 x
1 1
T OP OP dm 0 y 0 y dm
2 2
z z
ω ω
ω ω
          
          = × × = × ×          
                    
∫ ∫
"! """! "! """!
i i
 
( ) ( )2 2M M
y y
1 1
T x x dm x y dm
2 2
0 0
ω ω
ω ω ω ω
− −   
     = =        
   
∫ ∫i
 
( ) ( )2 2 2 2 2 2M M1 1T x y dm x y dm2 2ω ω= + = +∫ ∫ . 
Mas a geometria das massas mostra que 
( )2 2 zzM x y dm Ι+ =∫ 
onde Izz é o momento de inércia do sólido em relação ao eixo de rotação OZ. Logo, 
2
zz
1
T
2
Ι ω= 
Esta expressão é formalmente idêntica à correspondente ao movimento de 
translação, sendo a massa substituída pelo momento de inércia em relação ao eixo de 
rotação e a velocidade linear pelo vector velocidade angular. 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 31 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
4.4 Energia Cinética de Um Corpo Rígido em Movimento Polar 
 
Trata-se de um movimento semelhante a uma rotação, cujo eixo, embora móvel, 
passa constantemente por um ponto fixo, como se mostra na figura 14. 
 
 
Figura 14 - Energia cinética de um sólido animado de movimento polar. 
 
A energia cinética é obtida por uma expressão semelhante à do parágrafo anterior, 
substituindo IZZ por I∆∆∆∆∆∆∆∆ , isto é, 
21T
2 ∆∆
Ι ω= 
A Geometria das Massas mostra que o momento de inércia em relação ao eixo ∆∆∆∆ é 
definido por, 
[ ]T Ou u∆∆Ι Ι=
! !
 
onde u
!
 é o versor da direcção ∆∆∆∆ (e portanto versor de ω
"!
) e [ ]OΙ é matriz de inércia do 
corpo em relação ao sistema de eixos OXYZ. Assim, sejam 
x
y
z
ω
ω ω
ω
 
 =  
 
 
"!
 e 
l
u m
n
 
 =  
 
 
!
, então, 
x
x x
y
y y
z zz
l
l l l
u m m m m
n n n
n
ω
ωω ω ω ω
ωω ω ω ω ω ω ωω
ω ω ω ωω
ω
 =  =                 = = = = ⇒ = ⇒ =         
         =        =
  
"! !
. 
Z
Y
X 
O
M
P (dm)
∆
ω
"!
Pv
""!
32 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Retomando a expressão da energia cinética, 2
1
T
2 ∆∆
Ι ω= , e a definição do 
momento de inércia em relação ao eixo ∆, ∆, ∆, ∆, [ ]T Ou u∆∆Ι Ι=
! !
, obtém-se que 
[ ] ( )[ ] ( )T T2 2 O O1 1 1T u u u u2 2 2∆∆Ι ω ω Ι ω Ι ω= = =
! ! ! !
, 
isto é 
(9) [ ]T O1T 2 ω Ι ω=
"! "!
 
{ }
xx xy xz
2 2
xy yy yz
xz yz zz
P P l
1 1
T l m n P P m
2 2
P P n
∆∆
Ι
Ι ω ω Ι
Ι
   
   = =   
     
 
{ }
xx xy xz
2
xy yy yz
xz yz yy
l mP nP
1
T l m n lP m nP
2
lP mP n
Ι
ω Ι
Ι
 + +
 = + + 
 + + 
 
(10) ( )2 2 2 2xx yy zz xy yz xz1T l m n 2lmP 2mnP 2nlP2 ω Ι Ι Ι= + + − − − 
( )2 2 2x xx y yy z zz x y xy y z yz z x xz1T 2 P 2 P 2 P2 ω Ι ω Ι ω Ι ω ω ω ω ω ω= + + − − − 
xzxzzyzyyxyx
2
zzz
2
yyy
2
xxx PPP2
1
2
1
2
1T ωωωωωωωωω −−−++= III 
No caso particular dos eixos OXYZ serem eixos principais de inércia, o cálculo 
simplificar-se-á ainda mais, resultando 
( )2 2 21 1 2 2 3 31T 2 Ι ω Ι ω Ι ω= + + 
A energia cinética é assim igual à soma das energias cinéticas correspondentes às 
rotações "parciais" em torno dos eixos principais de inércia, no ponto fixo O do eixo de 
rotação. 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 33 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
4.5 Decomposição de Movimentos 
 
Numa qualquer decomposição de movimento, a energia cinética não é 
necessariamente igual à soma das energias correspondentes aos movimentos parcelares. 
Por exemplo, decompondo um movimento absoluto na soma de um movimento relativo 
com um de transporte, obtém-se a seguinte expressão de cálculo da energia cinética: 
( ) ( )P P r tr r trM M1 1T v v dm v v v v dm2 2= = + +∫ ∫
""! ""! ""! """! ""! """!
i i 
r r tr tr r trM M M
1 1
T v v dm v v dm v v dm
2 2
= + +∫ ∫ ∫
""! ""! """! """! ""! """!
i i i 
r tr r trMT T T v v dm= + + ∫
""! """!
i 
Como se verifica, a não ser em casos particulares em queas velocidades relativa e 
de transporte são ortogonais, a energia cinética global não é igual à soma das energias 
correspondentes aos movimentos parcelares. 
 
 
4.6 Energia Cinética de Um Sólido em Movimento Qualquer 
 
Um movimento arbitrário de um corpo rígido pode sempre ser decomposto na soma 
de um movimento de translação do centro de massa e de um movimento de rotação em 
torno do mesmo centro de massa. 
Assim, retomando a definição da energia cinética, 
i iP PM
1
T v v dm
2
= ∫
"""! """!
i , e 
decompondo a velocidade do ponto P em P Gv v GPω= + ×
""! ""! "! """!
, obtém-se, 
( ) ( )G GM1T v GP v GP dm2 ω ω= + × + ×∫
""! "! """! ""! "! """!
i , isto é, 
( ) ( ) ( )G G GM M M1 1T v v dm GP GP dm v GP dm2 2 ω ω ω= + × × + ×∫ ∫ ∫
""! ""! "! """! "! """! ""! "! """!
i i i . 
Como Gv
""!
 e ω
"!
 são constantes em relação à massa e à integração, obtém-se 
( ) ( ) ( ) ( )G G GM M M1 1T v v dm GP GP dm v GP dm2 2 ω ω ω= + × × + ×∫ ∫ ∫
""! ""! "! """! "! """! ""! "! """!
i i i . 
 
 
 
34 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A Geometria das Massas mostra que 
0GGMdmGPOGMdmOPeMdm
MMM
!
==⇒== ∫∫∫ , logo 
( ) ( )G G M1 1T Mv v GP GP dm2 2 ω ω= + × ×∫
""! ""! "! """! "! """!
i i , 
Atendendo a que 
( ) ( ) [ ]T GM GP GP dmω ω ω Ι ω× × =∫
"! """! "! """! "! "!
i 
então, 
(11) [ ]TG G G1 1T Mv v2 2 ω Ι ω= +
""! ""! "! "!
i 
Conclusão: 
A Energia Cinética de um corpo rígido pode ser obtida pela soma das seguintes duas 
parcelas 1 2T T T= + : 
• A 1ª representa a energia cinética correspondente à translação do centro de 
massa como se nele estivesse concentrada toda a massa do corpo rígido 
1 G G
1
T Mv v
2
=
""! ""!
i ; 
• A 2ª representa a energia cinética correspondente à rotação em torno do centro 
de massa do corpo rígido [ ]T2 G1T 2 ω Ι ω=
"! "!
. 
Esta expressão traduz 3º Teorema de Koenig e permite decompor a energia cinética 
de um sólido com movimento qualquer, em duas parcelas: a energia cinética de translação 
e a energia cinética de rotação. 
 
No desenvolvimento da expressão (11) considerou-se que 
( ) ( ) [ ]T GM GP GP dmω ω ω Ι ω× × =∫
"! """! "! """! "! "!
i . 
Com efeito, tomando 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 35 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
l
m
n
ω ω
 
 =  
 
 
"!
 e 
G
G
G
x
GP y
z
 
 =  
 
 
"""!
, e realizando o seu produto vectorial, tem-se que 
ω ω ω
−     
     × = × = −     
     −     
"! """! G G G
G G G
G G G
l x mz ny
GP m y n x l z
n z l y mx
. 
O produto interno ( ) ( )GP GPω ω× ×"! """! "! """!i 
( ) ( )ω ω ω
− −   
   × × = − −   
   − −   
"! """! "! """!
i i
G G G G
2
G G G G
G G G G
mz ny m z ny
GP GP n x l z n x l z
l y mx l y m x
 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
G G G G G G G G G G G G
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
G G G G G G G G G G G G
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
G G G G G G G G G G G
GP GP
m z n y 2mn z y n x l z 2nl x z l y m x 2lm x y
l y l z m x m z n x n y 2lm x y 2mn z y 2nl x z
l y z m x z n x y 2lm x y 2mn z y 2nl x z
ω ω
ω
ω
ω
× × =
+ − + + − + + − =
+ + + + + − − − =
+ + + + + − − −
"! """! "! """!
i
G
  =  
Substituindo o produto interno no integral ( ) ( )MInt GP GP dmω ω= × ×∫
"! """! "! """!
i , obtém-se 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2G G G G G GM
G G G G G G
Int l y z m x z n x y
2mn z y 2nl x z 2lmx y dm
ω = + + + + +
− − − 
∫
, 
isto é, 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2G G G G G GM M M
G G G G G GM M M
Int l y z dm m x z dm n x y dm
2lm x y dm 2mn y z dm 2nl z x dm
ω = + + + + +
− − − 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
 
 
 
36 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A Geometria das Massas mostra que 
( )
( )
( )
G G G G
G G G G
G G G G
2 2
G G x x G G x yM M
2 2
G G y y G G y zM M
2 2
G G z z G G z xM M
y z dm x y dm P
x z dm y z dm P
x y dm z x dm P
Ι
Ι
Ι
+ = =
+ = =
+ = =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
 
e logo, 
( )G G G G G G G G G G G G2 2 2 2x x y y z z x y y z z xInt l m n 2lmP 2mnP 2nlPω Ι Ι Ι= + + − − − . 
Atendendo às expressões (9) e (10), 
[ ] ( )T 2 2 2 2O xx yy zz xy yz xzl m n 2lmP 2mnP 2nlPω Ι ω ω Ι Ι Ι= + + − − −"! "!
 
então 
( ) ( )MInt GP GP dmω ω= × ×∫
"! """! "! """!
i 
( )G G G G G G G G G G G G2 2 2 2x x y y z z x y y z z xInt l m n 2lmP 2mnP 2nlPω Ι Ι Ι= + + − − − 
( ) ( ) [ ]T GM GP GP dmω ω ω Ι ω× × =∫
"! """! "! """! "! "!
i c.q.d. 
 
 
4.7 Unidades da Energia Cinética no Sistema Internacional 
 
A energia cinética [ ]TG G G1 1T Mv v2 2 ω Ι ω= +
""! ""! "! "!
i corresponde ao produto de uma 
massa pelo quadrado de uma velocidade instantânea, o que no Sistema Internacional 
corresponde a unidades de energia (Joule), isto é 
 Kg (m/s)2 = J . 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 37 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
5 CINEMÁTICA DAS MASSAS – RESUMO DAS EQUAÇÕES 
 
Na tabela seguinte estão resumidas as principais equações usadas na teoria da 
Cinemática das Massas para o torsor da Quantidade de Movimento, para o torsor da 
Quantidade de Aceleração e para a Energia Cinética. 
 
 
Cinemática das Massas Unidades Centro de Massa G Ponto O qualquer 
Torsor da Quantidade de Movimento ( )QM GQ ;Hτ
"! """!
 ( )QM OQ ;Hτ
"! """!
 
Vector 
Principal 
Quantidade 
de 
Movimento 
Kg m/s GvMQ = GvMQ = 
Vector 
Momento 
Momento 
Cinético 
Kg m2/s [ ]IG GH ω=
"""! !
 
O GH H OG Q= + ×
"""! """! """! "!
 
ou 
IO O OH M OG vω = + × 
"""! """! ""!!
Torsor da Quantidade de Aceleração QA GQ ;Kτ
 
  
 
i"! """!
 QA OQ ;Kτ
 
  
 
i"! """!
 
Vector 
Principal 
Quantidade 
de 
Aceleração 
Kg m/s2 = N GQ Ma=
i"! ""!
 GQ Ma=
i"! ""!
 
Vector 
Momento 
Momento 
Dinâmico 
Kg m2/s2= Nm
.
G GK H=
"""! """!
 
.
GO QOGK ×+=K 
ou 
.
O O OK H v Q= + ×
"""! """! ""! "!
 
Energia 
Cinética 
Kg m2/s2 = J [ ]TG G G1 1T Mv v2 2 ω Ι ω= +
""! ""! "! "!
i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 39 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6 APLICAÇÃO - Sistema Manivela / Biela / Êmbolo 
 
O sistema biela, manivela, êmbolo é composto por três corpos, (ver figura 15): 
 
 
Figura 15 - Sistema biela, manivela, êmbolo. 
 
Parâmetro Unidade Corpo 1 Corpo 2 Corpo 3 
comprimento m 035.0ROA == 090.0LAB == / 
posição do 
centro de massa m 015.0aOG1 == 045.0bAG2 == / 
massa kg m1 = 1.00 m2 = 0.75 m3 = 0.50 
momento de inércia Kg m2 
1 1
1
z zI 1.225 E 3= − 2 2
2
z zI 6.075 E 3= − / 
X
B
Y
O
G1
A
G2
1
2
3
ϕϕϕϕ 
θθθθ 
40 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Corpo 1 - a manivela, de massa m1 e comprimento R, 
animada de movimento de rotação em torno 
do ponto O fixo, com velocidade angular θ$ e 
aceleração angular θ$$ constante; 
Corpo 2 - a biela, de massa m2 e comprimento L, 
articula no ponto A com a manivela e no 
ponto B com o êmbolo; 
Corpo 3 – o êmbolo, de massa m3, animado de 
movimento de translação rectilínea segundo 
a direcção OY. 
Suponha conhecidas as matrizes de inércia dos 
três corpos em relação a eixos principais centrais de 
inércia. As características do sistema são apresentadas 
na tabela da página anterior. 
O movimento do sistema inicia-se na posição 
θθθθ = 0, com velocidade angular nula, e aceleração 
angular constante 20 srad472.10=θ$$ . 
 
6.1 Geometria do Sistema Manivela – Biela – Êmbolo 
 
A análise do triângulo OAB permite afirmar que Rcos Lsinθ ϕ= . Desenvolvendo 
esta expressão obtém-se 
(12) 
R
sin cos
L
R
arc sin cos
L
ϕ θ
ϕ θ
=
 =  
 
. 
 
6.2 Velocidades e Acelerações Angulares dos Corpos 1, 2 e 3 
 
Admitindo queo corpo 1 parte do repouso com velocidade angular nula e 
aceleração angular constante αααα0 rad/s2, determina-se que: 
10 0
10 t
α θ α
ω θ θ
= =
= =
$$
$ $$
 
X 
B 
Y 
O 
G1 
A 
G2 
1
2 
3
ϕϕϕϕ 
θθθθ 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 41 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A velocidade angular do corpo 2 pode ser obtida a partir da derivação em ordem ao 
tempo da equação (1), 
(13) 
R
cos sin
L
R sin
L cos
ϕ ϕ θ θ
θϕ θ
ϕ
= −
= −
$$
$$
. 
A aceleração angular do corpo 2 pode ser obtida a partir da derivação em ordem ao 
tempo da equação (2) 
( )θθθθϕϕϕϕ cosins
L
Rsincos 22 $$$$$$ +−=− 
(14) ( )2 21 R sin cos sincos Lϕ θ θ θ θ ϕ ϕϕ
 = − + +  
$$ $$$ $ . 
O corpo 3 tem movimento de translação rectilínea, pelo que as suas velocidade e 
aceleração angulares são nulas. 
A figura 16 mostra a variação de ϕϕϕ $$$ e, em função do ângulo de rotação θθθθ : O 
valor de θ$ está também representado. 
 
Velocidade e Aceleração Angulares do Corpo 2
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25
θθθθ (rad / 2 ππππ)
º, rad / s 
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
rad / s2
dq/dt f (º) df/dt d2f/dt2
 
 
Figura 16 – Velocidade e aceleração angulares do corpo 2. 
42 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.3 Trajectória do Centro de Massa de Cada Corpo 
 
A posição do centro de massa de cada um dos 
corpos que compõem o mecanismo é definida pelos 
seguintes vectores: 
1 s
a cos
OG a sin
0
θ
θ
 
 =  
 
 
""""!
, 
2 s
Rcos b sin
OG R sin bcos
0 0
θ ϕ
θ ϕ
−   
   = +   
   
   
""""!
, 
3 s
0
OG R sin Lcos
0
θ ϕ
 
 = + 
 
 
""""!
 
A figura 17 mostra a trajectória do centro de 
massa de cada corpo, dando uma ideia do movimento 
do mecanismo. 
Figura 17 – Trajectória do centro de massa de 
cada corpo. 
 
 
6.4 Torsor da Quantidade de Movimento do Sistema 
 
6.4.1 Torsor da Quantidade de Movimento do Corpo 1 
 
O torsor da quantidade de movimento da manivela é definido por ( )11 1 1QM GQ ;Hτ =
""! """!
. 
A quantidade de movimento é igual a 
1
1
1 G 1 1 1SS
a sin
Q m v m OG m a cos
0
θ θ
θ θ
 −
 
= = =  
 
 
i
$
""! """! """"! $ . 
O momento cinético é igual a 
1 1
1 1 1 1
1 11 1
1
x x
1 1 1
G G 10 y y
S1 11
z zz z S1
I 0 0 0 0
H I 0 I 0 0 0
I0 0 I
ω
θ θ
            = = × =                 
"""! """!
$ $
. 
Trajectórias
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
OG1 OG2 OG3 OA BM
CINEMÁTICA DAS MASSAS 43 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Atendendo a que o vector momento cinético do corpo 1, 1G1H , só tem 
componentes segundo a direcção Z1, e atendendo a que os eixos Z e Z1 são paralelos entre 
si, verifica-se que 
1 1
1 1
G G
S S1
H H=
"""! """!
. 
 
6.4.2 Torsor da Quantidade de Movimento do Corpo 2 
 
O torsor da quantidade de movimento da biela é definido por 




= 22G
22
QM H;Qτ . 
A quantidade de movimento é igual a 
2
2
2 G 2 2 2SS
R sin b cos
Q m v m OG m R cos b sin
0 0
θ θ ϕ ϕ
θ θ ϕ ϕ
•
  − −     = = = + −    
        
$ $"""! """! """"! $ $ . 
O momento cinético é igual a 
2 2
2 2 2 2
2 22 2
2
x x
2 2 2
G G 20 y y
S2 22
z zz z S2
I 0 0 0 0
H I 0 I 0 0 0
I0 0 I
ω
ϕ ϕ
            = = × =                 
""""! """"!
$ $
 
Atendendo a que o vector momento cinético do corpo 2, 2G2
H , só tem componentes 
segundo a direcção Z2, e atendendo a que os eixos Z e Z2 são paralelos entre si, verifica-se 
que 
2 2
2 2
G G
S S2
H H=
""""! """"!
. 
 
 
6.4.3 Torsor da Quantidade de Movimento do Corpo 3 
 
O torsor da quantidade de movimento do êmbolo é dado por ( )33 3 3QM GQ ;Hτ =
"""! """"!
. 
A quantidade de movimento é igual a 
3
3
3 G 3 3 3
S
0
Q m v m OG m R cos L sin
0
θ θ ϕ ϕ
•   = = = − 
 
 
"""! """! """"! $ $ . 
O momento cinético do corpo 3, definido no seu centro de massa, é nulo, já que o 
corpo está animado de movimento de translação rectilínea, 
3
3
G
S
H 0=
""""! "!
. 
44 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A figura 18 mostra a variação da quantidade de movimento do corpo 1 durante o 
período de tempo correspondente à primeira rotação completa do corpo 1. Pode-se 
verificar que, tal como o vector velocidade, a quantidade de movimento é, em cada 
instante, tangente à trajectória do movimento do centro de massa do corpo 1. 
Note-se, ainda, que a intensidade da quantidade de movimento cresce ao longo do 
tempo, já que a aceleração angular do corpo 1 é constante. 
A figura 18 mostra, também, a variação da quantidade de movimento do corpo 2 
durante o período de tempo correspondente à primeira rotação completa do corpo 1. 
Pode-se verificar que, tal como o vector velocidade, a quantidade de movimento é, em 
cada instante, tangente à trajectória do movimento do centro de massa do corpo 2. 
Note-se, ainda, que a intensidade da quantidade de movimento cresce ao longo do 
tempo, já que a aceleração angular do corpo 1 é constante. 
 
 
Quantidade de Movimento do Corpo 1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
OG1 OG2 OG3 OA Q1 BM
Q 1
 
Quantidade de Movimento do Corpo 2
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
OG1 OG2 OG3 OA Q2 BM
Q2
 
Figura 18 – Quantidades de movimento dos corpos 1 e 2. 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 45 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A figura 19 mostra a variação da quantidade de movimento do corpo 3 durante o 
período de tempo correspondente à primeira rotação completa do corpo 1. O vector 
quantidade de movimento está representado segundo a direcção OX (e não OY como 
acontece na realidade) de modo a poder ser representado. 
Pode-se verificar que a velocidade do centro de massa do êmbolo, e 
necessariamente, a quantidade de movimento, anulam-se nos pontos de inversão do 
movimento do êmbolo. Note-se, ainda, que a intensidade da quantidade de movimento 
cresce ao longo do tempo, já que a aceleração angular do corpo 1 é constante. 
 
Quantidade de Movimento do Corpo 3
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12
OG1 OG2 OG3 OA Q3 BM
Q*2y
 
Figura 19 – Quantidade de movimento do corpo 3. 
 
 
6.4.4 Torsor da Quantidade de Movimento do Sistema no Ponto O 
 
O torsor da quantidade de movimento do sistema é definido por ( )QM OQ;Hτ =
"! """!
. A 
quantidade de movimento do sistema é igual à soma das quantidades de movimento de 
cada um dos seus corpos, 1 2 3
S
Q Q Q Q= + +
""! """! """!"!
, isto é, 
46 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
1 2 3S
a sin R sin b cos 0
Q m a cos m R cos b sin m R cos L sin
0 0 0
θ θ θ θ ϕ ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ
   − − −  
     = + − + −     
     
    
$ $ $
"! $ $ $$ $ 
A figura 20 mostra a variação das componentes segundo OX e OY da quantidade de 
movimento dos 3 corpos assim como a variação do ângulo ϕϕϕϕ (f na figura). Analisando, por 
exemplo, as componentes da quantidade de movimento do corpo 2, verifica-se que quando 
Q2X é máximo, Q2Y é nulo, e vice-versa. 
 
Quantidade de Movimento dos 3 Corpos
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25
θθθθ (rad / 2 ππππ)
kg m / s
-30.0
-20.0
-10.0
0.0
10.0
20.0
30.0
º
Q1x Q1y Q2x Q2y Q3f (º)
 
Figura 20 – Quantidade de movimento do sistema. 
 
O momento cinético do sistema, definido no ponto O, é igual à soma dos momentos 
cinéticos em O, de cada um dos seus corpos, 1 2 3O O O OS
H H H H= + +
"""! """! """!"""!
. O momento 
cinético em O de cada um dos corpos é definida por: 
 
( )
1
1 1 1 1
1 1 1
O G 1 1
S
1 1 2
z z z z 1
a sin0 acos 0
H H OG Q 0 a sin m a cos 0
0 0I I m a
θ θθ
θ θ θ
θ θ
    −           = + × = + × =       
       
  +        
$
"""! """! ""!""""! $
$ $
; 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 47 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2
2 2
2 2 2
O G 2 2
S
2
z z
R sin b cos0 Rcos b sin
H H OG Q 0 Rsin bcos m R cos b sin
0 0I
θ θ ϕ ϕθ ϕ
θ ϕ θ θ ϕ ϕ
ϕ
   − −−       = + × = + + × −     
     
     
$ $"""! """"! """!""""! $ $
$
, 
( ) ( )2 2
2
O
S
2 2 2
z z 2 2 2
0
H 0
I m R m b m Rb cos sin sin cosϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ
 
  =  
 + + + + − +  
"""!
$ $$ $ $
; 
3
3 3 3
O G 3 3
S
00 0
H H OG Q 0 Rsin Lcos m R cos L sin 0
0 0 0
θ ϕ θ θ ϕ ϕ
    
    = + × = + + × − =     
     
     
"""! """"! """!""""! "!$ $ ; 
Logo, o momento cinético em O do sistema biela manivela é definido por: 
( ) ( ) ( )( )1 1 2 21 2 2 2 2O z z 1 2 z z 2 2SH I m a m R I m b m Rb cos sin sin cos kθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ = + + + + + + − + 
"""! !$ $$ $ 
 
 
6.5 Torsor da Quantidade de Aceleração 
 
6.5.1 Torsor da Quantidade de Aceleração do Corpo 1 
O torsor da quantidade de aceleração do corpo 1 é definido por 
1
1 1 1
QA GQ ;Kτ
•
=
 
  
 
""! """!
. A 
quantidade de aceleração da manivela, corpo 1, é igual a, 
 
1 1
2
1 2
1 G 1 G 1
S
a sin a cos
Q m a m v m a cos a sin
0
θ θ θ θ
θ θ θ θ
• •
 − −
  = = = − 
 
  
$$ $
""! """! """! $$ $ . 
O momento dinâmico da manivela é igual a 
1 1
1 1
1 1
G G
S
1
z z
0
K H 0
I θ
•    = =  
 
  
"""! """!
$$
. 
 
 
6.5.2 Torsor da Quantidade de Aceleração do Corpo 2 
 
O torsor da quantidade de aceleração da biela é definido por 
2
2 2 2
QA GQ ;Kτ
•
=
 
  
 
"""! """"!
. 
A quantidade de aceleração da biela é igual a, 
48 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2 2
2 2
2 2 2
2 G 2 G 2 2
S
R sin R cos b cos b sin
Q m a m v m R cos R sin m b sin b cos
0 0
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
• •
   − − − +
      = = = − + − −   
   
      
$$ $ $$ $
"""! """! """! $$ $ $$ $ . 
O momento dinâmico da biela é igual a 
2 2
2 2
2 2
G G
S
2
z z
0
K H 0
I ϕ
•    = =  
 
  
""""! """"!
$$
. 
O momento dinâmico da biela pode também ser definido no ponto B, articulação da 
biela com o êmbolo. Aplicando o 2º Teorema de Koenig obtém-se o seguinte resultado, 
•
×+= 22
2
G
S
2
B QBGKK 2 
























−−
+−
+












−
−−
×










−+












=
0
cosbsinb
sinbcosb
0
sinRcosR
cosRsinR
m
0
cosb
sinb
I
0
0
K 2
2
2
2
2
2
zz
S
2
B
22
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
θθθθ
θθθθ
ϕ
ϕ
ϕ
$$$
$$$
$$$
$$$
$$
 
( ) ( )2 2
2
B 2
S 2 22
z z
0 0 0
K 0 m 0 0
I bbR sin cos cos sin sin sin cos cosϕ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ
              = + +              −− + − +           
""!
$$ $$$ $$
 
( ) ( ) ( ){ }2 22 2 2 2B z z 2 2SK I m b m bR sin cos cos sin sin sin cos cos kϕ θ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ = − + − + − + 
""! !$$ $$$ 
 
 
6.5.3 Torsor da Quantidade de Aceleração do Corpo 3 
 
O torsor da quantidade de aceleração do corpo 3 é definido por 
3
3 3 3
QA GQ ;Kτ
•
=
 
  
 
"""! """"!
. 
A quantidade de aceleração do êmbolo é igual a, 
3 3
3 2 2
3 G 3 G 3 3
S
0 0
Q m a m v m R cos R sin m L sin L cos
0 0
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
• •
   
   
= = = − + − −   
   
   
"""! """! """! $$ $ $$ $ . 
O momento dinâmico da biela é igual a 
3 3
3 3
G G
S
K H 0
•
= =
""""! """"! "!
. 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 49 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A figura 21, mostra a variação da quantidade de aceleração da manivela durante 
o período correspondente à primeira rotação completa do corpo 1. Verifica-se que a 
quantidade de aceleração tem duas componentes segundo as direcções OX e OY, as 
quais poderiam ser decompostas numa componente tangencial numa componente 
normal à trajectória. 
 
A figura 21, mostra, também, a variação da quantidade de aceleração da biela 
durante o período correspondente à primeira rotação completa do corpo 1. Verifica-se que 
a quantidade de aceleração tem duas componentes segundo as direcções OX e OY, as 
quais poderiam ser decompostas numa componente tangencial e numa componente normal 
à trajectória. 
Quantidade de Aceleração do Corpo 1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-0.12 -0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
OG1 OG2 OG3 OA Q*1 BM
Q*1x
Q*1y
 
Quantidade de Aceleração do Corpo 2
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
OG1 OG2 OG3 OA Q*2 BM
Q*2x
Q*2y
 
Figura 21 – Quantidades de aceleração dos corpos 1e 2. 
 
 
A figura 22 mostra a variação da quantidade de movimento do êmbolo durante o 
período de tempo correspondente à primeira rotação completa do corpo 1. O vector 
quantidade de aceleração está representado segundo a direcção OX (e não OY como 
acontece na realidade) de modo a poder ser convenientemente visualizado. 
50 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Quantidade de Aceleração do Corpo 3
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12
OG1 OG2 OG3 OA Q*3 BM
Q*2y
 
Figura 22 – Quantidade de aceleração do corpo 3. 
 
 
6.5.4 Torsor da Quantidade de Aceleração do Sistema no Ponto O 
 
O torsor da quantidade de aceleração do sistema mecânico é definido por 
OQA Q ;Kτ
 
 
 
i"! """!
. 
A quantidade de aceleração do sistema é igual à soma das quantidades de aceleração de 
cada corpo, isto é, 1 2 3
S
Q Q Q Q
• • ••
= + +
""! """! """!"!
. Logo, 
2 2 2
2 2 2
1 2
S
2
3
a sin a cos R sin R cos b cos b sin
Q m a cos a sin m R cos R sin b sin b cos
0 0 0
0
m R cos R sin
0
θ θ θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
θ θ θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
θ θ θ θ
•
      − − − − − +
            = − + − + − −     
      
            


+ −
$$ $ $$ $ $$ $
"! $$ $ $$ $ $$ $
$$ $ 2
0
L sin L cos
0
ϕ ϕ ϕ ϕ
   
   
+ − −   
    
     
$$ $
 
A figura 23 mostra a variação das componentes segundo OX e OY da quantidade 
de aceleração de cada um dos corpos do sistema, em função da rotação da manivela. 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 51 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Quantidade de Aceleração dos 3 Corpos
-15.0
-10.0
-5.0
0.0
5.0
10.0
15.0
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25
θθθθ (rad / 2 ππππ)
N
kg m / s2
-30.0
-20.0
-10.0
0.0
10.0
20.0
30.0
º
Q*1x Q*1y Q*2x Q*2y Q*3 f (º)
 
Figura 23 – Quantidade de aceleração do sistema. 
 
 
O momento dinâmico do sistema, definido no ponto O, é igual à soma dos 
momentos dinâmicos em O, de cada um dos seus corpos, 1 2 3O O O OS
K K K K= + +
"""! """! """!"""!
. 
O momento dinâmico em O de cada um dos corpos é definido por: 
( ) 









+
=












−
−−
×










+












=×+=
•
θ
θθθθ
θθθθ
θ
θ
θ $$
$$$
$$$
$$ 21
1
zz
2
2
1
1
zz
1
1
1
G
S
1
O
amI
0
0
0
sinacosa
cosasina
m
0
sina
cosa
I
00
QOGKK
1111
1
 
2
2 2
2 2 2
O G 2
S
2 2
2 2
2
2
z z
K K OG Q
R sin R cos b cos b sin0 Rcos b sin
0 R sin bcos m R cos R sin b sin b cos
0 0 0I
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕθ ϕ
θ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
•
= + × =
     − − − +−             = + + × − + − −       
       
          
"""! """"! """!""""!
$$ $ $$ $
$$ $ $$ $
$$
 
 
 
 
  
 
( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
O z z 2 2
S
2 2
2 2
K I m R m b
m Rb cos sin sin cos m Rb sin sin cos cos k
ϕ θ ϕ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ
= + + +
+ + − + + + − + 
"""!
$$$$ $$
!$$ $$$ $
 
52 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
3
3 3 3
O G 3
S
2 2
3
K K OG Q
0 00 0
0 Rsin Lcos m R cos R sin L sin L cos 0
0 0 0 0
θ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
•
= + × =
       
       + + × − + − − =        
        
         
"""! """"! """!""""!
"!$$ $ $$ $
 
Logo, o momento dinâmico em O do sistema biela manivela é definido por 
( ) ( )
( )( )
( )( )
1 1 2 2
1 2 2 2 2
O z z 1 2 z z 2S
2
2 2
2
K I m a m R I m b
m Rb cos sin sin cos
m Rb sin sin cos cos k
θ ϕ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ
= + + + + +
+ + − +
+ − − + 
"""! $$ $$
$$ $$
!$ $
 
 
A figura 24 mostra a variação da quantidade de aceleração do sistema biela, 
manivela, êmbolo, em função da rotação da manivela. Estão representadas as 
componentes segundo OX e OY, assim como a sua soma vectorial. Está também 
representado o momento dinâmico do sistema. 
 
Quantidade de Aceleração e Momento Dinâmico do Sistema
-30.0
-20.0
-10.0
0.0
10.0
20.0
30.0
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25
θθθθ (rad / 2 ππππ)
N
kg m / s2
-0.9
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
N m
Q*x Q*y Q* Ko
 
Figura 24 – Quantidade de aceleração e momento dinâmico do sistema. 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 53 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.6 Energia Cinética 
 
A energia cinética de um corpo sólido pode, no caso geral, ser decomposta em duas 
componentes escalares: uma componente de translação, devida à velocidade de 
translação do centro de massa, e uma de rotação, devida à velocidade de rotação em 
torno do centro de massa, de acordo com o 3º Teorema de Koenig. 
Usando este princípio podem-se determinar as energias cinéticas de cada um dos 
corpos do sistema manivela – biela – êmbolo. A energia cinética total é igual à soma das 
energias cinéticas de cada sólido. 
[ ]
1s101s
1
G
1s
T
10sGsG1
1
111
I
2
1vvm
2
1T ωω ××+•= 
{ }






















+









−
•









−
=
θ
θθθ
θθ
θθ
θθ
$
$$
$
$
$
0
0
I00
0I0
00I
00
2
1
0
cosa
sina
0
cosa
sina
m
2
1T
1
zz
1
yy
1
xx
1
1
11
11
11
 
( ) 2211 zz21 zz2211 amI21I21am21T 1111 θθθ $$$ +=+= 
[ ] 202GT20GG22 222 I21vvm21T ωω ××+•= 
{ }






















+
+










−
−−
•










−
−−
=
ϕ
ϕ
ϕϕθθ
ϕϕθθ
ϕϕθθ
ϕϕθθ
$
$
$$
$$
$$
$$
0
0
I00
0I0
00I
00
2
1
0
sinbcosR
cosbsinR
0
sinbcosR
cosbsinR
m
2
1T
2
zz
2
yy
2
xx
2
2
22
22
22
 
( )[ ] 22 zz222222 22I2
1sincoscossinbR2bRm
2
1T ϕϕθϕθϕθϕθ $$$$$ +−++= 
[ ] 3033GT30GG33 I2
1vvm
2
1T
33
ωω ××+•= 
{ }
3 3
3 3
3 3
3
x x
3 3
3 y y
3
z z
I 0 00 0 0
1 1
T m R cos L sin R cos L sin 0 0 0 0 I 0 0
2 2
0 0 00 0 I
θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ
             = − • − +                   
$ $$ $ 
54 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )ϕθϕθϕϕθθ sincosLR2sinLcosRm
2
1T 2222223
3 $$$$ −+= 
 
A energia cinética total é igual à soma das energias cinéticas de cada um dos 
sólidos do sistema, isto é, 321 TTTT ++= 
( ) ( )[ ]
( )ϕθϕθϕϕθθ
ϕϕθϕθϕθϕθθ
sincosLR2sinLcosRm
2
1
I
2
1sincoscossinbR2bRm
2
1amI
2
1T
222222
3
22
zz
2222
2
22
1
1
zz 2211
$$$$
$$$$$$
−++
++−++++=
 
A figura 25 mostra a variação da energia cinética de cada um dos corpos do 
sistema, e da energia cinética total, em função da rotação da manivela. 
 
Energia Cinética dos Três Corpos
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25
θ θ θ θ (rad / 2 ππππ)
Joule
T1 T2 T3 T
 
Figura 25 – Energia cinética do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 55 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
7 APLICAÇÃO - Sistema tridimensional (Corpo submetido a 2 rotações e uma 
translação) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
Corpo 1: um braço em forma de T, de massa m1, que roda em torno do eixo vertical Z0 
com velocidade angular θ$ constante, accionado pelo Momento Motor Mm conhecido; 
Corpo 2: um cursor de massa m2, que translada ao longo do braço OC, estando ligado ao 
ponto O por uma mola de rigidez K; 
Corpo 3: um braço de massa m3, articulado em C com o corpo 2, e que roda em torno do 
eixo Y2 com velocidade angular ϕ$ e aceleração angular ϕ$$ . 
Suponha que todas as ligações são perfeitas. Quando o sistema está em repouso a 
deformação da mola é nula e r(t) = 0. 
Considere a massa e a inércia dos três corpos, admitindo conhecidas as suas 
matrizes de inércia em relação a eixos principais centrais de inércia ( )3 3 3 33 3X X Z ZI I= . 
Determinar o torsor das quantidades de aceleração do corpo 3 no seu centro de 
massa e a energia cinética do corpo 3. 
 
 
 
 
1 
2
3
G
A 
B 
C 
K
O
G3 M
ϕϕϕ $$$,,
Z1 Z2 
Z3 
Z0 
X1 ≡ X2 
X3 
a r(t) 
bCG3 =const., =θθ $
56 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O Torsor das quantidades de aceleração do corpo 3 no ponto G3, é definido por 
( ) 33
3 3 3,QA GG Q Kτ
 
=   
 
i""! """!
 
A Quantidade de Aceleração é definida por 
3
1
1
3
3 G S
S
Q m a=
i""! """!
. 
O vector posição do centro de massa do corpo 3, representado no sistema de eixos 
S1 é igual a 1 1 13 3S S SOG OC CG= + ⇔
""""! """! """"! ( )
1
3 0 0
0 cos
S
a r t b sen
OG
b
ϕ
ϕ
+   
   = +   
   −  
""""!
 
A velocidade do centro de massa do corpo 3, representada no sistema de eixos S1, é 
igual a 
3 3
1
3 3
10 3
0 1
G GS
OG OGv v OGS S ω= ⇔ = + ×
i i""""! """"!""! ""! """"!!
. 
Atendendo à definição de ( )10
0
0 , .constω θ
θ
 
 = = 
 
 
"""! $
$
, obtém-se que 
( ) ( ) ( )
( )
3
1
cos 0 cos
0 0 0
cos
G S
r t b a r t b sen r t b
v a r t b sen
b sen b b sen
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ θ
ϕ ϕ θ ϕ ϕ ϕ
 + + + +    
      = + × = + +         
       −      
$ $ $ $""! $
$$ $
. 
A aceleração do centro de massa do corpo 3, representada no sistema de eixos S1, é 
igual a 3 3
3 3 3
1
10
0 1
G G
G G GS
v va a vS S ω= ⇔ = + ×
i i""! ""!"""! """! ""!!
, 
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
3
1
2
2
cos 0 cos
0
cos
G S
r t b sen r t b
a r t b sen a r t b sen
b senb sen
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ
 + −  +       = + + × + +       
     
 +    
$$ $$ $ $ $"""! $ $$ $
$ $$$ $
, 
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
3
1
2 2
2
cos
2
cos
G S
r t b sen a r t bsen
a r t b sen
b sen
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ
ϕ ϕ θ
ϕ ϕ ϕ ϕ
 + − − + +
  = + 
 
+  
$$$ $$ $
"""! $$ $
$$ $
. 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 57 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Conclui-se, assim, que a quantidade de aceleração do corpo 3 é dado por 
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
3
1
1
2 2
3
3 3
2
cos
2
cos
G S
S
r t b sen a r t bsen
Q m a m r t b sen
b sen
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ
ϕ ϕ θ
ϕ ϕ ϕ ϕ
 + − − + +
  = = + 
 
+  
i
$$$ $$ $
""! """! $$ $
$$ $
 
 
O Momento Dinâmico corpo 3, no seu centro de massa, é definido por: 
3 3
11
3 3
G G
S
S
K H=
i"""! """"!
. 
O momento cinético é, por sua vez, definido como 
3 3 33 3
3
30G G SS S
H I ω = × 
""""! !
 
A matriz de inércia do corpo 3 é dada por 
3
3 3
3
3
3
3 3
3
0 0
0 0
0 0
x
G yS
z
I
I I
I
 
   =   
  
. 
O vector velocidade angular do corpo 3 expresso em S3 é definido por 
33 3 3 3
30 32 21 10 30
0 0
0 0
0 0 cos cos
SS S S S
sen senθ ϕ θ ϕ
ω ω ω ω ϕ ω ϕ
θ ϕ θ ϕ
      
      = + + = − + + ⇔ = −       
       
       
$ $
"""! """! """! """! !$ $
$ $
. 
Logo 
3 3
3 3 3 333 3
3 3
3 3
3 3 3
30
3 3
0 0
0 0
0 0 cos cos
x x
G G y ySS S
z z
I sen I sen
H I I I
I I
θ ϕ θ ϕ
ω ϕ ϕ
θ ϕ θ ϕ
    
     = × = × − = −     
         
$ $
""""! ! $ $
$ $
. 
O vector 
3
3
G S
H
""""!
 está expresso no sistema de eixos S3 pelo que deve ser convertido 
para o sistema S1, usando a correspondente matriz de transformação. Assim, 
[ ]
( )
( )
3 33
3 3 3 3
1 3
3 3 3
3 33
3 3
31
3 3 2 3 2
coscos 0
0 1 0
0 cos cos cos
x zx
G G y yS S
z x z
I I sensen I sen
H T H I I
sen I I sen I
θ ϕ ϕϕ ϕ θ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ θ ϕ ϕ ϕ θ
 − −       = × = × − = −    
     +      
$$
""""! """"!
$ $
$ $
, 
3 3
1
3
3
3
0
G yS
z
H I
I
ϕ
θ
 
 = − 
 
 
""""!
$
$
, já que 3 3
3 3
X ZI I= . 
58 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O Momento Dinâmico corpo 3, no seu centro de massa, é então 
3 3
1
1
3 3
G G
S
S
K H=
i"""! """"!
. 
3 3
3 3 3 3 3
1 1
3
3 3
10
0 1 3
0 0 0
0
0
G G
G G G y yS S
z
H HK K H I IS S
I
ω ϕ ϕ
θ θ
    
    = ⇔ = + × = − + × −     
     
     
i i""""! """"!"""! """! """"!! $$ $
$ $
, 
concluindo-se que o momento dinâmico do corpo 3 é definido por 
3
3 3
1
3
3
0
y
G yS
I
K I
θ ϕ
ϕ
 −
 = − 
 
 
$ $"""!
$$ 
 
A Energia Cinética do corpo 3 pode ser decomposta em duas componentes 
escalares: uma componente de translação, devida à velocidade de translação do centro 
de massa, e uma de rotação, devida à velocidade de rotação em torno do centro de 
massa, de acordo com o 3º Teorema de Koenig. Usando este princípio podem-se 
determinar a energia cinética do corpo 3 através da expressão 
3 3 3
1 1 333
3 3
3 30 30
1 1
2 2
T
G G GS S SSS
T m v v Iω ω = + × × 
"""!""! ""! """!
i 
 
( )
( )
( )
( )
{ }
3
3
3
3
3
3
3
3
cos cos
1
2
0 0
1 cos 0 0
2
0 0 cos
x
y
z
r t b r t b
T m a r t b sen a r t b sen
b sen b sen
I sen
sen I
I
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ θ ϕ θ
ϕ ϕ ϕ ϕ
θ ϕ
θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ
θ ϕ
   + +
   = + + + +         
   
   
  
  + − × × −  
     
$ $ $ $
$ $i
$ $
$
$ $$ $
$
, 
 
( ) ( ) ( ){ }
( )3 3 3
2 2 23 2
3
3 2 2 3 2 3 2 2
1 cos
2
1 cos
2 x y z
T m r t b a r t b sen b sen
I sen I I
ϕ ϕ ϕ θ ϕ ϕ
θ ϕ ϕ θ ϕ
= + + + + +      
+ − +
$$ $ $
$ $$
, 
 
( ){ } ( )3 323 2 2 2 2 3 2 3 231 cos 2 cos2 x yT m r b rb a r t b sen I Iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ ϕ = + + + + + + −    $ $$ $ $ $ $ . 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 59 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
8 PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
Problema CM1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O disco representado na figura rola sem escorregar sobre o plano horizontal estando 
articulado em B com um rectângulo. 
Considerando a massa e inércia de todos os corpos, determine: 
a) O torsor das quantidades de movimento de cada um dos corpos que constituem o 
mecanismo, no respectivo centro de massa. 
b) O torsor das quantidades de movimento do mecanismo, no ponto de contacto do 
disco com a superfície horizontal. 
m1 = 25 kg; m2 = 30 kg; Cv
""!
 = -1 i m/s; θθθθ = ππππ/2 
r = 1.5 m; R = 2 m; # = 7 m; h = 2m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r 
R 
#### 
h 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
X1 
Y1 
X2 
Y2 
G2 
A D 
B 
C 
1 
2 
60 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema CM2 
 
 
 
1
2 3
OG a ;
OB ;
A G G
=
=
≡ ≡
# 
 
 
 
 
 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 - uma barra, articulada ao exterior no ponto 0, animada de velocidade angular 
θ$ e aceleração angular θ$$ ; 
Corpo 2 - um cursor, que se desloca ao longo do corpo 1, e está articulado com o corpo 3 
no ponto A; 
Corpo 3 - um outro cursor, articulado com o corpo 2 no ponto A, que desliza ao longo de 
um guiamento exterior horizontal, e está ligado ao exterior por um conjunto 
mola - amortecedor. 
Todos os corpos têm um plano de simetria coincidente com o plano de movimento, 
e são conhecidas as matrizes de inércia de cada corpo referidas a eixos principais centrais 
de inércia. O movimento do sistema é conhecido. Determine: 
a) O torsor das quantidades de aceleração no centro de massa de cada um dos corpos 
que constituem o mecanismo. 
b) O torsor das quantidades de aceleração do sistema global reduzido no ponto 0. 
c) A energia cinética do mecanismo. 
d) O valor da energia cinética quando θθθθ = ππππ/6. 
A 
x0 
y0 
x1 
y2, y1 
x2 
G1 
B 
O 
θθθθ 
1 
2 
3
#### 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 61 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema CM3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
corpo 1 - uma manga que pode transladar ao longo do eixo Z1 com velocidade s$ e 
aceleração s$$ , e rodar em torno do mesmo eixo com velocidade angular θθθθ$ e 
aceleração angular θθθθ$$ ; 
corpo 2 - um braço cilíndrico (de topos perpendiculares ao seu eixo de revolução) 
rigidamente ligado ao corpo 1. 
Desprezando a massa e a inércia do corpo 1, determine: 
a) O torsor das quantidades de movimento do mecanismo no centro de massa do corpo 
2. 
b) O torsor das quantidades de aceleração do mecanismo no ponto 0. 
 
 
Z0 ≡≡≡≡ Z1
1
ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = constante ####
2Z2
Y2 
Y1 
G
O 
s,s,s
i ii
 
, ,θ θ θ
i ii
62 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema CM4 
 
 
 
A antena parabólica representada na figura é constituída por: 
Corpo 1 - uma base circular que roda em torno do eixo vertical Z1 com velocidade 
angular θθθθ$ constante; 
Corpo 2 - uma casca semi-esférica que roda em torno do eixo y1 relativamente à base 
com velocidade angular ϕϕϕϕ$ e aceleração angular ϕϕϕϕ$$ . 
Desprezando a massa e a inércia do corpo 1, determine: 
a) O torsor das quantidades de movimento do mecanismo no ponto O. 
b) O torsor das quantidades de aceleração do mecanismo no ponto O. 
c) A energia cinética do mecanismo. 
 
 
 
 z z z 2 3 z 
1 X A 
φφφφ 
θθθθ 
Y 2 Y 1 
G 
3 X 
O 
Y 3 
R 
0 z z 0 z z 1 1 
φφφφ 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 63 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema CM5 
 
O mecanismo representado na figura é 
constituído por: 
Corpo 1, um disco de massa m1 e de raio R, que roda 
em torno do ponto O fixo, com velocidade angular θ$ 
e aceleração angular θ$$ , accionado pelo momento 
motor Mm, e estando articulado com uma barra no 
ponto A; 
Corpo 2, uma barra de massa e inércia desprezáveis, 
de comprimento L, articulada com um cursor no 
ponto B; 
Corpo 3, um cursor de massa m3, que desliza ao longo 
de uma guia vertical, e está ligado ao exterior por 
uma mola de rigidez k. 
No instante inicial, o ponto A está na posição 
mais baixa (θθθθ = 0) e a deformação da mola é nula. 
Suponha conhecida a matriz de inércia do 
corpo 1 em relação a eixos principais centrais de 
inércia, e que todas as ligações são perfeitas. 
Determine: 
a) O Torsor das Quantidades de Velocidade de cada corpo no respectivo centro de 
massa; 
b) O Torsor das Quantidades de Aceleração de cada corpo no respectivo centro de 
massa; 
c) O Torsor das Quantidadesde Aceleração do mecanismo no ponto O; 
d) A Energia Cinética do mecanismo. 
 
 
LAB
rOA
=
=
 
k 
Y 
X
1 
2 
3 
B 
A
r 
O 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Mm 
64 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema CM6 
 
O mecanismo representado na figura é 
constituído por: 
Corpo 1 - Um prato de massa m1, que 
sob a acção do momento motor M1, 
roda em torno do eixo Z0 com 
velocidade angular θθθθ$ e aceleração 
angular θθθθ$$ . 
O corpo 1 está ligado ao exterior pelos 
apoios A e B (o apoio A não absorve 
esforços axiais). 
Corpo 2 - Um braço em forma de T, de 
massa m2, que sob a acção do 
momento motor M2, roda em torno do 
eixo Y1 com velocidade angular ϕϕϕϕ$ e 
aceleração angular ϕϕϕϕ$$ . 
O corpo 2 está ligado ao corpo1 pelos 
a
poios C e D (o apoio C não absorve 
esforços axiais). 
Suponha conhecidas as matrizes de inércia dos corpos 1 e 2, em relação a eixos 
principais centrais de inércia. 
Determine: 
a) O Torsor das Quantidades de Aceleração do corpo 1 no respectivo centro de massa; 
b) O Torsor das Quantidades de Aceleração do corpo 2 no respectivo centro de massa; 
c) O Torsor das Quantidades de Aceleração do mecanismo no ponto O; 
d) A Energia Cinética do mecanismo. 
O 
C 
D 
d 
R 
d 
X1 
Y1≡≡≡≡Y2 
X2 
Z0≡≡≡≡Z1 
a 
a 
b A 
B 
θθθ $$$,, 
ϕϕϕ $$$ ,,
O 
G1 
M2 
1 
2 
M1 
X1 
Z 
G2 
CINEMÁTICA DAS MASSAS 65 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema CM7 
 
.bEB;ROE;2GBAG 22 ====
# 
 
 
O mecanismo representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 – Um braço de suporte, com massa e inércia desprezáveis, que roda em torno do 
eixo X1 com velocidade angular θ$ e aceleração angular θ$$ , accionado pelo 
momento motor M1; 
Corpo 2 – Um prisma quadrangular de massa m2 e comprimento ℓ, que pode rodar em 
relação ao corpo 1 com velocidade angular ϕ$ e aceleração angular ϕ$$ , 
accionado pelo momento motor M2; 
Suponha conhecida a matriz de inércia do corpo 2 em relação a eixos principais 
centrais de inércia. Todas as ligações são perfeitas e os apoios B e D não absorvem 
esforços axiais. 
Determine: 
a) O Torsor das Quantidades de Aceleração do corpo 2 no respectivo centro de massa; 
b) O Torsor das Quantidades de Aceleração do mecanismo no ponto O; 
c) A Energia Cinética do mecanismo. 
 
z0 
O 
y0
z1’≡≡≡≡ z2
y1≡≡≡≡y1’ 
B 
ϕ 
θθθθ 
M2 A
C 
D 
z0 
y0 
z1 
O 
θθθθ 
θθθθ 
E 
B 
A 
b 
x1’
R 
G2 
ϕϕϕϕ 
y1’
y2
x1’
x2
y1 
y2 
M2 
x1≡≡≡≡ x0 
G2 
 
66 CINEMÁTICA DAS MASSAS 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp � DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema CM8 
 
 
 
O mecanismo representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 – Um braço de massa m1, que roda em torno do ponto eixo Z com velocidade 
angular θ$ e aceleração angular θ$$ , accionado pelo momento motor M1; 
Corpo 2 – Um cursor e um veio, de massa e inércia desprezáveis, que transladam 
relativamente ao corpo 1, e estão submetidos à acção de uma mola de rigidez 
k; 
Corpo 3 – Um disco de massa m3, que roda relativamente ao corpo 2 com velocidade 
angular ϕ$ e aceleração angular ϕ$$ , accionado pelo momento motor M2; 
A mola não apresenta deformação quando r(t) = a. Suponha conhecidas as matrizes 
de inércia dos corpos 1 e 3 em relação a eixos principais centrais de inércia. Todas as 
ligações são perfeitas. 
Determine: 
a) O Torsor das Quantidades de Aceleração de cada corpo no respectivo centro de 
massa; 
b) O Torsor das Quantidades de Aceleração do mecanismo no ponto O; 
c) A Energia Cinética do mecanismo. 
 
x1 
y1 
O 
r(t)
a 
G1
G2 
G3 
b 
x1 
M1 
θθθθ(t) 
M2,ϕϕϕϕ(t) 
1 3 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA do PONTO MATERIAL 
 
 
TEOREMAS VECTORIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
Jorge Humberto Oliveira Seabra 
Carlos Alberto Magalhães Oliveira 
José Fernando Dias Rodrigues 
Pedro Manuel Leal Ribeiro 
Pedro Manuel Ponces Camanho 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial – Secção de Mecânica Aplicada 
 
 
6ª Edição - Fevereiro de 2004 
 
ii DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais iii 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
ÍNDICE: 
1 INTRODUÇÃO 67 
2 O PROBLEMA GERAL DA DINÂMICA 68 
3 MASSA E INÉRCIA 68 
4 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 69 
5 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE UM PONTO MATERIAL 72 
6 TEOREMAS VECTORIAIS DA DINÂMICA DO PONTO MATERIAL 74 
7 FORÇA E MOMENTO DE INÉRCIA 75 
8 SISTEMA DE REFERÊNCIA INERCIAL 76 
9 FORÇAS E MOMENTOS 77 
9.1 Força Normal e Força Tangencial – Atrito de Coulomb 78 
9.2 Força Tangencial – Atrito de Rolamento 79 
9.3 Forças e Momentos Elásticos 79 
9.4 Forças e Momentos Dissipativos 80 
10 APLICAÇÕES 82 
10.1 Movimento Rectilíneo 82 
10.2 Movimento Circular 85 
10.2.1 Solução analítica da equação de movimento 86 
10.2.2 Aplicação numérica 88 
10.3 Movimento Sobre Um Referencial Móvel 90 
10.4 Pêndulo Cónico 92 
11 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA EM REFERENCIAIS LIGADOS À TERRA 95 
11.1 Forças Gravitacionais 95 
11.2 Forças de Inércia 96 
11.3 Conclusão 100 
12 PROBLEMAS PROPOSTOS 101 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI - FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 67 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL 
 
 
TEOREMAS VECTORIAIS 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Na Dinâmica estudam-se as leis que regem o movimento, estabelecendo-se a 
relação entre este e as forças que o provocam. 
Quando, sobre um corpo, actua um sistema de forças não equilibrado, produz-se 
sempre uma alteração no estado do movimento desse corpo. A experiência mostra que, na 
alteração sofrida, influem não só as características do sistema de forças, como também a 
natureza do próprio corpo. Assim, diferentes sistemas de forças actuando 
independentemente sobre o mesmo corpo, produzirão diferentes alterações no movimento 
deste; e o mesmo sistema de forças actuando sobre diferentes corpos, também produzirá 
alterações de movimento diferentes. 
As leis que exprimem as relações entre o sistema de forças que actua num ponto 
material, as suas propriedades e a alteração de movimento que este sofre, foram 
formuladas por Sir Isaac Newton (1642-1727) e designam-se por Leis de Movimento de 
Newton. 
Depois de Newton, a Mecânica sofreu grande evolução, graças a Euler (1707-1783), 
D'Alembert (1717-1783), Lagrange (1730-1813), Hamilton (1805-1865), ... 
As leis de Newton só se aplicam directamente ao movimento de um ponto material 
sob a acção de uma força. Nas aplicações práticas de Engenharia estuda-se, 
habitualmente, o movimento de um sistema de pontos materiais (rigidamente ligados ou 
não), sob a acção de um sistema de forças qualquer, produzindo qualquer tipo de 
movimento. 
 
68 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2 O PROBLEMA GERAL DA DINÂMICA 
 
Qualquer que seja o movimento, a questão que se põe é basicamente a mesma: 
sobre um sistema material actua um sistema de forças que produz uma alteração no seu 
movimento. Pretende-se deduzir, usando as leis de Newton, as equações que exprimem as 
relações entre: 
• Os sistema de forças, caracterizado pelo Torsor das Forças Exteriores reduzido 
num dado pólo G, ( )Ext ExtFE GF Mτ !!!" !!!!!!", (ou simplesmente ( )FE GF Mτ !" !!!", ); 
• As características de inércia do sistema material definidas pelamassa M e pela 
matriz de inércia, [ ]GΙ ; 
• As alterações do movimento produzidas, caracterizadas pelos torsores das 
velocidades e das acelerações contemporâneas de um sólido, ( )vc Gvτ ω
!" !!"
, e 
ac Gaτ ω
 
  
 
i!" !!"
, . 
 
Pretende-se, assim, determinar o tipo de movimento produzido por determinado 
sistema de forças (problema directo); ou determinar que sistema de forças será capaz de 
produzir um dado movimento (problema inverso). 
Estas equações designam-se por equações de movimento. 
 
Uma definição possível para a Dinâmica é pois: 
“A relação entre as solicitações aplicadas a um dado sistema mecânico e as 
alterações de movimento que produzem, tendo em conta a distribuição de 
massa do sistema”. 
 
 
 
3 MASSA E INÉRCIA 
 
A propriedade que confere a um corpo a capacidade de resistir a qualquer 
alteração do seu movimento, denomina-se inércia. Todos os corpos físicos são inertes, 
mas a inércia é diferente de corpo para corpo. 
As medidas quantitativas da inércia de um corpo são a massa (M) e a matriz de 
inércia [ ]GΙ . 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 69 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
De um modo lato a massa M pode ser associada à inércia de translação do sistema 
material e a matriz de inércia [ ]GΙ pode ser associada à inércia de rotação do sistema 
material. 
Na realidade, a experiência mostra que forças diferentes, actuando sobre um 
mesmo corpo, produzem acelerações diferentes, mas proporcionais às forças que as 
provocaram, isto é, 
F F F
m
a a a
= = = =
!!" !!" !"
!!" !!" "1 2
1 2
... 
Esta constante de proporcionalidade (constante no domínio da mecânica clássica, 
não no da mecânica relativista) é a massa desse corpo. 
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de massa exprime-se em 
kilograma e define-se como sendo a massa de 5,0188 x 1025 átomos do isótopo 12 do 
Carbono (o que é equivalente à massa de 10-3 m3 de água destilada a 4oC). 
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade dos momentos de inércia e dos 
produtos de inércia exprime-se em kilograma vezes metro quadrado. 
 
 
 
4 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA 
 
A Dinâmica baseia-se nos seguintes quatro princípios: 
 
Primeiro princípio de Newton (ou princípio de inércia) 
 
"Se sobre um ponto material não actua qualquer força, o ponto continua em 
repouso ou em movimento rectilíneo e uniforme", 
ons teF mv c= ⇒ =
!" " " !!!!!!!!!!"
tan0 . 
O primeiro princípio implica que um ponto material tem inércia, isto é, resiste a 
que mude o seu movimento. Para que a velocidade varie, em direcção, sentido ou 
intensidade, é necessário que sobre ele actue uma força. 
 
 
 
70 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Segundo princípio de Newton 
"Se sobre um ponto material actua uma força, o ponto adquire aceleração. A 
direcção e sentido são os da própria força. A grandeza é directamente proporcional 
a esta e inversamente proporcional à massa do ponto", 
(1) F ma=
!" "
, isto é =
i!" !"
F q ; 
O segundo princípio é quantitativo. Diz-nos qual deve ser a força capaz de produzir 
dada aceleração. E afirma que o ponto, através da sua massa, influi na alteração do seu 
próprio movimento. 
 
Terceiro princípio de Newton (ou da acção e reacção) 
"Entre dois quaisquer pontos materiais existem acções mútuas tais que a 
acção de um sobre o outro é igual, colinear e oposta à deste sobre aquele", 
= −
!!!" !!!"
F F12 21 ; 
Os dois primeiros princípios dizem respeito a um único ponto material. O terceiro 
refere-se a dois. É ele que permite passar da dinâmica do ponto para a dos sistemas 
materiais. 
 
Quarto princípio - princípio de Galileu 
"O efeito de duas ou mais forças que actuam simultaneamente sobre o mesmo 
ponto material é igual ao efeito que produziria a sua resultante". 
Com o quarto princípio, é possível estudar a acção de sistemas de forças, em vez 
de uma força isolada. 
Repare-se, em boa verdade, dos três princípios de Newton apenas o segundo 
deveria ser considerado, já que qualquer dos outros dois é corolário deste. Com efeito, se 
nenhuma força actua num ponto material, de acordo com o segundo princípio será nula a 
respectiva aceleração. 
( ) onstdF ma mv mv Cdt= ⇒ = ⇔ = ⇒ =
!" " " " " " " !!!!!!"
.0 0 0 
Mas isso equivale a dizer que a respectiva velocidade é constante, o que significa 
que o ponto está em movimento uniforme (ou, em particular, em repouso). E isso é o 
conteúdo do primeiro princípio. 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 71 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Quanto ao terceiro princípio, considere-se um sistema isolado constituído por 
apenas dois pontos materiais e sobre o qual não actua qualquer força exterior, como se 
mostra na figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Sistema material isolado constituído por 2 pontos materiais e sobre o qual não 
actua qualquer força exterior. 
 
Se o sistema está isolado, e não estão aplicadas quaisquer forças exteriores, então 
a respectiva "quantidade de aceleração" (soma dos produtos da massa pela aceleração de 
cada ponto) será igual a zero. Isto é, 
= + = +1 21 1 2 2F m a m a q q
i i!!" !!"!" !!" !!"
, 
1 2
1 1 2 2 1 1 2 2F 0 m a m a 0 m a m a q q= ⇒ + = ⇔ = − ⇔ = −
i i!!" !!"!" !" !!" !!" !" !!" !!"
. 
Verifica-se que qualquer alteração do movimento de um dos pontos materiais tem 
de ser acompanhada de uma alteração do movimento do outro ponto, de modo a que a 
quantidade de aceleração global permaneça nula. Logo, 
Atendendo a que o vector 1 1 21m a F=
!!" !!!"
 é igual à força que actua sobre o ponto 1 e o 
vector 2 2 12m a F=
!!" !!!"
 é igual à força que actua sobre o ponto 2, resulta, como consequência 
que estas forças terão de ser iguais e opostas, o que também previa o terceiro princípio de 
Newton, isto é 
= − ⇔ = −1 1 2 2 21 12m a m a F F
!!" !!" !!!" !!!"
. 
Também este princípio é corolário do segundo. 
 
Pa
!!!"
1
Pa
!!!!"
,
1
Pa
!!!"
2
Pa
!!!!"
,
2
P1 
P2
P1’
P2’
72 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
As consequências práticas deste princípio manifestam-se em vários acontecimentos 
da vida corrente, como sejam: 
• O recuo de uma arma de fogo quando dispara um projéctil; 
• O movimento dos passageiros de um autocarro quando este acelera (arranca) ou 
desacelera (trava). 
 
 
5 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE UM PONTO MATERIAL 
As equações que regem o movimento de um ponto material de massa m são afinal 
as que resultam da aplicação do segundo princípio de Newton: 
=F ma
!" "
. 
Isto é, o somatório vectorial das forças exteriores que actuam sobre o ponto 
material é igual à variação da sua quantidade de aceleração, 
(2) =F q
i!" !"
 
Esta equação, habitualmente designada Equação Fundamental da Dinâmica, dará 
origem a 3 equações escalares, correspondentes à sua projecção em 3 direcções de um 
sistema de referência. Assim, em eixos OX, OY e OZ, obtém-se: 
= = 
 = ⇔ = 
 = = 
x x x x
Y y Y y
Z z Z z
F q F m a
F q F m a
F q F m a
$
$
$
 
Definiu-se anteriormente o momento cinético de um ponto material P 
relativamente a um pólo O, como sendo o momento em relação a esse pólo, do vector 
quantidade de movimento de P (ver figura 3), O Ph OP mv= ×
!!" !!!" !!"
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Quantidade de movimento e momento cinético de um ponto material P. 
O 
q
!"
P 
Oh
!!"
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 73 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Derivando este vector em ordem ao tempo, obtém-se o vector "Momento Dinâmico" 
em O (se O for um ponto fixo): 
( )O P P Pd h v mv OP madt = × + ×
!!" !!" !!" !!!" !!"
, 
( )O P Od h OP ma kdt = × =
!!" !!!" !!" !!"
, 
(3) O Pk OPma= ×
!!" !!!" !!"
. 
Usando agora a expressão (1), Equação Fundamental da Dinâmica = PF ma
!" !!"
, e 
multiplicando ambos os membros pelo vector OP
!!!"
, determina-se que 
pOP F OP ma× = ×
!!!" !" !!!" !!"
 
Como se trata de um único ponto P, pode-se escrever que 
O p OOP F M e OP ma k× = × =
!!!" !" !!!" !!!" !!" !!"
, 
logo 
(4) O OM k=
!!!" !!"
, 
isto é, “a derivada em ordem ao tempo do momento cinético de um dado ponto 
material P em relação a um ponto O fixo (o momento dinâmico), é igual ao momento 
em relação a O da força aplicada ao ponto material”. 
Esta equação também dará origem a 3 equações escalares, correspondentes à sua 
projecção em 3 direcções de um sistema de referência. Assim, em eixos OX, OY e OZ, 
obtém-se: 
Ox Ox
Oy Oy
Oz Oz
M k
M k
M k
=
 =
 =
 
Esta expressão é consequência imediata da Equação Fundamental da Dinâmica. De 
facto, no estudo da Dinâmica de um ponto material nada acrescenta de novo. Apenas 
surge um método alternativo de estudar o "equilíbrio dinâmico" de um dado ponto P: em 
vez de se usarem forças e quantidades de aceleração, podem-se usar, caso convenha, 
momentos dessas forças e momentos dinâmicos, num dado pólo. 
74 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6 TEOREMAS VECTORIAIS DA DINÂMICA DO PONTO MATERIAL 
No capítulo sobre Cinemática das Massas foram introduzidos os conceitos de 
quantidade de movimento e de momento cinético, respectivamente o vector principal e o 
vector momento do designado torsor da quantidade de movimento, isto é, 
( )QM O P O Pq;h , q mv h OP mvτ = = ×
!" !!" !" !!" !!" !!!" !!"
. 
Foram também introduzidos os conceitos de quantidade de aceleração e de 
momento dinâmico, respectivamente o vector principal e o vector momento do designado 
torsor da quantidade de aceleração, isto é, 
QA O P O Pq;k , q ma k OP maτ
 
= = ×  
 
i i!" !!" !" !!" !!" !!!" !!"
. 
A quando do estudo da Estática definiu-se o conceito de torsor das forças 
exteriores, cujo vector principal é o somatório das forças exteriores ao ponto material, e 
cujo vector momento é o somatório dos momentos dessas forças em relação a um dado 
pólo O, isto é, 
( )τ e eFE OF ;M!!" !!!" 
A igualdade entre os torsores das forças exteriores e da quantidade de aceleração, 
(9) ( )τ τ  =   
 
e e
FE O QA OF ;M q;k
i!!" !!!" !" !!"
, 
isto é, a igualdade entre os vectores principais e os vectores momentos desses dois 
torsores, define as seguintes 2 equações vectoriais 
(10) eF q=
i!!" !"
 e eO OM k=
!!!" !!"
, 
que correspondem às equações vectoriais de equilíbrio dinâmico do ponto material (ver 
equações 2 e 4). 
Logo, “o equilíbrio dinâmico do ponto material corresponde à igualdade entre 
o torsor das forças exteriores e o torsor da quantidade de aceleração”. 
 
 
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 75 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
7 FORÇA E MOMENTO DE INÉRCIA 
Se na equação (2) o vector "quantidade de aceleração" q ma=
i!" "
 passar para o 
primeiro membro obtém-se que 
e eF q 0 F m a 0− = ⇔ − =
i!!" !!"" "!" "
. 
Supondo que sobre o ponto material, para além das forças exteriores cuja 
resultante é eF
!!"
, actua uma outra força fictícia 
(5) jF q ma− = −
i!!" !" "
 
a equação (2) passará a traduzir o equilíbrio de um sistema de forças, no sentido "estático" 
deste termo: 
(6) e jF F 0+ =
!!" !!" "
 
Esta força fictícia jF
!!"
 (5) é designada por força de inércia e a sua consideração 
permite, como se vê, a abordagem dos problemas de Dinâmica do mesmo modo dos de 
Estática. Supõe-se o ponto material em equilíbrio sob a acção de um sistema global de 
forças, em que se consideram as forças reais e as forças de inércia. 
Este modo de estudar os problemas de Dinâmica corresponde à aplicação do 
chamado Princípio de D' Alembert (assim designado em homenagem ao matemático que o 
formulou). 
De modo análogo à definição de força de inércia, jF q ma= − = −
i!!" !" "
, também se 
pode estabelecer um momento fictício designado por momento de inércia. Assim, 
e e
O O O OM k M k 0= ⇔ − =
!!!" !!!"!!" !!" !"
, 
e definindo o momento de inércia jOM
!!!!"
 como sendo 
(7) j OOM k= −
!!!" !!"
, 
obtém-se que 
(8) e jO OM M 0+ =
!!!" !!!" !"
. 
Usando o conceito de força e momento de inércia, pode definir-se o torsor das 
forças de inércia, isto é, 
76 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )j jFJ QA OOF ;M q; kτ τ  = − − −  
 
i!!" !!!" !" !!"
 
 
 
8 SISTEMA DE REFERÊNCIA INERCIAL 
A Equação Fundamental da Dinâmica (1), na realidade só será integralmente válida 
quando observada em sistemas de referência não acelerados. Com efeito, a nossa 
experiência leva-nos a concluir que, num referencial em movimento acelerado, mesmo 
que nenhuma força "real" actue sobre um corpo, este sofre, em relação a esse referencial 
móvel, alteração do seu estado de movimento. 
Veja-se por exemplo, o caso de um automobilista que é projectado para a esquerda 
quando efectua uma curva para a direita. Sofre a acção de "forças de inércia" 
correspondentes a acelerações de transporte, pelo menos, pelo que apresentará 
movimento relativo acelerado. 
Um outro exemplo é o caso do passageiro de um autocarro, que de desloca no 
sentido da traseira quando o autocarro arranca e para a frente quando o autocarro trava. 
Finalmente, refira-se ainda o exemplo do carrossel em rotação, em que o 
passageiro tem se agarrar a um apoio conveniente de modo a não ser expulso para o 
exterior (por acção das forças de inércia – força centrifuga), como se mostra na figura 2. 
Em todos estes casos as acções sofridas pelo passageiro têm a mesma direcção e 
sentido contrário da aceleração do ponto pertencente ao sistema que o transporta e que 
coincide com a posição que ocupa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Aceleração radial e força de inércia que actuam sobre o passageiro de um 
carrossel. 
P
O 
ra
!!"
 
jF
!!"
ω
!"
2
r
j 2
r
r OP
a r
F ma mr
ω
ω
=
=
= =
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 77 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A partir da Equação Fundamental da Dinâmica F ma=
!" "
 e sabendo que nenhuma 
força exterior actua sobre o passageiro, obtém-se que 
rel trp corF 0 ma 0 m a m a m a 0= ⇒ = ⇔ + + =
!!!!" !!!!" !!!!"" "" " !"
, 
rel trp corm a m a m a= − −
!!!!" !!!!" !!!!"
, 
rel jm a F=
!!!!" !!"
. 
No caso de o referencial ser inercial (isto é, não acelerado), então serão 
necessariamente nulas as componentes de aceleração de transporte e complementar, isto 
é, 
trp cora 0 e a 0= =
!!!!" !!!!"!" !"
, então 
j relF m a 0= =
!!" !!!!" !"
 
Isso implica que, se nenhuma força "real" actuar sobre o corpo, também nenhuma 
"força de inércia" actuará. A aceleração absoluta é sempre igual à aceleração relativa 
(única directamente mensurável no referencial móvel). Deste modo, a Equação 
Fundamental da Dinâmica terá, nesse referencial, o mesmo significado que teria num 
referencial absoluto. 
 
 
9 FORÇAS E MOMENTOS 
 
As forças e momentos aplicados sobre um sistema mecânico podem ser de vários 
tipos, aplicadas à distância ou de contacto e dependentes do tempo, ou da velocidade ou 
da posição: 
1. Forças e momentos aplicadas à distância: 
Electromagnéticas; 
Gravíticas. 
2. Forças e momentos aplicadas por contacto: 
Activas; 
Reactivas ou de ligação. 
78 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
3. Forças e momentos dependentes: 
Das coordenadas do ponto material – ( ) ( )x,y,z x,y,zF F e M M= =
!" !!!!!!!!" !" !!!!!!!!!"
; 
Da velocidade do ponto material – ( ) ( )x,y,z x,y,zF F e M M= =$ $ $ $ $ $
!" !!!!!!!!" !" !!!!!!!!!"; 
Do tempo – ( ) ( )t tF F e M M= =
!" !!!" !" !!!!"
 
 
9.1 Força normal e força tangencial – Atrito de Coulomb 
 
No caso de um ponto material P, de massa m, submetido a uma trajectória 
curvilínea qualquer, como representado na Figura 4, é possível em cada ponto da 
trajectória definir as forças de ligação nas direcções normal e tangencial à trajectória: 
N N n=
!" "
 e T Tt=
!" "
. 
 
Figura 4 – Componentes da força de ligação nas direcções normal e tangencial à 
trajectória. 
 
Trata-se de um caso típico em que as forças são aplicadas pelo contacto entre o 
ponto material e a trajectória. 
Admitindo que o atrito entre o ponto material e a trajectória obedece à lei de 
Coulomb e que o coeficiente de atrito µµµµ é conhecido, então 
(11) 
p
p
V
T T t N
V
µ= = −
!!"
!" "
!!" 
 
 
 
 
X
Y
P (m)
N
!"
T
!"n
"
 
t
"
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 79 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
9.2 Força tangencial - atrito de rolamento 
Um disco que rola sobre um plano, como representado na Figura 5, em condições 
cinemáticas de rolamento sem escorregamento, sofre a reacção do plano N na direcção 
normal ao plano e da reacção tangencial T que garante a existência de rolamento sem 
escorregamento, isto é, N N n=
!" "
 e T Tt=
!" "
. 
 
 
Figura 5 – Componentes da força de ligação nas direcções normal e tangencial à 
trajectória, num contacto com rolamento sem escorregamento. 
 
Admitindo que o atrito entre o disco e o plano obedece à lei de Coulomb e que o 
coeficiente de atrito µµµµ é conhecido, então a condição de não escorregamento estabelece 
que 
(12) T T t Ntµ= ≤ −
!" " "
 
 
9.3 Forças e momentos elásticos 
A figura 6 mostra uma mola de rigidez linear K com um comprimento não 
deformado 0% . 
Aplicando à mola um deslocamento elástico ∆% = x, na sua própria direcção, esta 
reage com uma força em sentido contrário ao deslocamento definida por, 
mola KF F k i k x iΛ= = − = −
!!!!!!" !!!" " "
% . 
Se a mola já estiver submetida a um deslocamento inicial 0∆% = x0, então a força 
exercida pela mola será definida por, 
X 
Y 
ωωωω 
N
!"T
!"
 
A 
80 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
(13) ( ) ( )mola linear K 0 0F F k i k x x i∆ ∆= = − + = − +
!!!!!!!!!!!!!" !!!" " "
% % 
 
 
Figura 6 – Força de uma mola linear elástica. 
 
No caso de se tratar de uma mola de torção, de rigidez torsional linear Kαααα, quando 
sofre uma rotação elástica ∆α θ= , na direcção da própria mola, reage com um momento 
em sentido contrário à rotação, definido por, 
(14) ( ) ( )α α α∆α ∆α θ θ= = − + = − +
!!!!!!!!!!!!!!!!!!" !!!!" " "mola det orsçao K
0 0M M k k k k 
 
9.4 Forças e momentos dissipativos: 
A figura 7 mostra um dissipador viscoso com atrito cinemático C. 
 
 
Figura 7 – Força de um dissipador viscoso. 
 
ℓ0 
ℓ1
ℓ0 ∆∆∆∆ℓ
F 
X 
X 
K 
K 
ℓ0 
ℓ1
ℓ0 
X 
X 
K 
K 
C 
X 
x
i
F 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 81 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Quando o dissipador viscoso é accionado com uma velocidade linear x$ , na sua 
própria direcção, reage com uma força em sentido contrário à velocidade definida por, 
(15) dissipador C
dx
F F C i C x i
dt
= = − = −
i!!!!!!!!!!!!" !!!" " "
 
No caso de se tratar de um dissipador viscoso angular, com atrito cinemático Cαααα, 
submetida a uma velocidade de torção elástica θ
i
, na sua própria direcção, reage com um 
momento em sentido contrário à velocidade angular definida por, 
(16) α α α
θ θ= = − = −
i!!!!"!!!!!!!!!!!" " "Cdissipador dM M C k C k
dt
 
 
 
82 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
10 APLICAÇÕES 
 
10.1 Movimento rectilíneo 
 
A figura 8 mostra um pequeno corpo, que materializa um ponto P, de massa m, 
movendo-se sem atrito sobre um plano inclinado de um ângulo αααα, relativamente à direcção 
horizontal. 
 
 
Figura 8 - Ponto material deslizando sobre um plano inclinado. 
 
Pretende-se determinar a equação do movimento e calcular em seguida a lei de 
variação do parâmetro cinemático x com o tempo, bem como a força de contacto entre o 
corpo e a rampa. 
Isolando o corpo, é possível inventariar todas as forças nele aplicadas e a 
respectiva quantidade de aceleração, como se mostra na figura 9. 
 
 
 
Figura 9 - Diagrama de corpo livre: forças exteriores e quantidade de aceleração. 
G
αααα
ΚΚΚΚ
x
G
αααα
ΚΚΚΚ
x
m g
G
αααα
ΚΚΚΚ
x
m x..
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 83 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Tem de se considerar o peso próprio (mg), a força normal de contacto (N) e a força 
da mola [k.(x + x0)]. Nesta força da mola, o parâmetro x0 é o valor do parâmetro x que 
corresponde à deformação da mola quando o sistema está em repouso. Considera-se ainda 
que a força dessa mola é directamente proporcional à deformação (o que pressupõe que se 
trata de apenas pequenas deformações). 
A quantidade de aceleração é igual a mx$$ , já que se trata de um sólido animado de 
movimento de translação. 
A equação fundamental da dinâmica eF q=
i!!" !"
, estabelece que, 
molaF mg N q+ + =
i!!!!!!" " !" !"
, isto é 
( )0K x x m g sin 0 m x
0 m gcos N 0
0 0 0 0
α
α
 − +      
       + + =       
       
      
$$
, 
dando origem às seguintes duas equações de projecção: 
( )ok x x mg sin m x
N mgcos 0
α
α
− + + =


 − =
$$
 
A segunda equação permite determinar imediatamente o valor da força N. A 
primeira expressão representa a equação diferencial que traduz a variação de x com o 
tempo: 
o
N m gcos
m x k x m g sin k x
α
α
=


 + = − $$
 
Analisando as condições correspondentes à situação de repouso (e portanto de 
equilíbrio estático), tem-se que para 0x,0x0t ==⇒= $$ , pelo que 
om g sin k x 0α − = , e logo 
k
singmxo
α= 
Substituindo na equação diferencial de movimento obtém-se 
(17) 



=+
=
0xkxm
cosgmN
$$
α
 
84 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A resolução da equação diferencial de movimento conduz à seguinte lei de 
movimento 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )φωω
φωω
φω
+−=
+−=
+=
tcosXtx
tsinXtx
tcosXtx
2$$
$ 
onde 
m
K
X
Vtgarc
VXX
0
0
2
02
0
=
=





+=
ω
ω
φ
ω
 
onde ( ) ( ) ( )txetx,tx $$$ representam, respectivamente, o deslocamento, a velocidade e a 
aceleração da massa em cada instante t, sendo X a amplitude do movimento, φφφφ o atraso 
de fase, X0 o deslocamento inicial do corpo, V0 a velocidade inicial do corpo e ωωωω a 
frequência angular natural do sistema (ver figura 10). 
Plano Inclinado - M = 6kg, K = 5000N/m 
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
.00 .03 .06 .09 .12 .15 .18 .21 .24 .27 .30 .33 .36 .39 .42 .45 .48 .51 .54 .57 .60 .63 .66 .69 .72 .75 .78 .81 .84 .87 .90 .93 .96 .99
Tempo
x, dx/dt
-45.0
-30.0
-15.0
0.0
15.0
30.0
45.0
d2x/dt2
Deslocamento Velocidade Aceleração
 
 
Figura 10 - Deslocamento, velocidade e aceleração da massa para as seguintes condições: 
M = 6 kg, k = 5000 N/m, X0 = 0.05 m e V0 = 0.1 m/s. 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 85 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
10.2 Movimento circular 
 
A figura 11 mostra uma pequena corrediça que se move, com atrito de coeficiente 
µµµµ, sobre uma guia circular de raio R, contida num plano vertical. Essa corrediça parte do 
repouso, de uma posição definida por θθθθ0. 
 
 
 
Figura 11 - Movimento circular de um ponto material. 
 
Pretende-se calcular a força de contacto e a lei de variação do parâmetro θθθθ com o 
tempo. Represente-se o diagrama de corpo livreda corrediça, inventariando as forças em 
presença, bem como a quantidade de aceleração, como se mostra na Figura 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 - Diagrama de corpo livre: forças exteriores e quantidade de aceleração. 
 
A equação fundamental da dinâmica 
eF m a=
!!" "
, projectada nas direcções 
tangencial e normal (radial) permite escrever a seguinte igualdade vectorial, 
 
atrito
r tmg N F ma ma+ + = +
!!!!!!"" !" !!" !!"
, 
isto é, 
X
Y
θ
O
R
X
Y 
θ 
O 
R 
N 
n 
t 
m
µN 
X
Y 
θ
O 
R 
t
n
m r θ2
m r θ
86 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 









−
=










−
−
0
rm
rm
0
singmN
cosgmN
2θ
θ
θ
θµ
$
$$
, 
de onde resultam duas equações escalares 



=−
−=−
2RmsingmN
RmcosgmN
θθ
θθµ
$
$$
. 
Da 2ª expressão retira-se a equação que define a força normal N, 
( )θθ singRmN 2 += $ . 
e substituindo N na 1ª expressão obtém-se a equação diferencial do movimento: 
( ) θθθθµ $$$ RmcosgmsingmRm 2 −=−+ 
( ) ( )θµθθµθ sincosgmRm 2 −=+ $$$ 
(18) ( )θµθθµθ sincos
R
g2 −=+ $$$ 
 
10.2.1 Solução analítica da equação de movimento 
 
Fazendo uma mudança de variável 2u θ$= , obtém-se que 
θθ $$ d2du = , 
θ
θθ
θ
θθ
θ
θθθ
d
du
2
1
d
d
dt
d
d
d
dt
d =⇔=== $$$
$$$$$ . 
Substituindo as expressões anteriores na equação diferencial obtém-se: 
(19) ( )θµθµθ sincosR
g2u2
d
ud −=+ 
Começando pela equação (19) sem segundo membro, 
0u2
d
ud =+ µ
θ . 
Separando as variáveis θµ d2
u
ud −= e integrando, obter-se-á 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 87 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )0
o
2
u
uln θθµ −−= 
(20) 
( )02
0q euu
θθµ −−= 
A este integral geral, deverá acrescentar-se um integral particular da equação 
completa (19). Fazendo 
(21) θθ sinBcosAup += 
e substituindo na equação (19), obtém-se a expressão 
( )θµθθµθµθθ sincos
R
g2sinB2cosA2cosBsinA −=+++− 
Para esta condição ser sempre verdadeira, os termos em cosθθθθ e sinθθθθ devem ser 
independentes. Logo 
( )
( )θθµθθ
θµθµθθ
cos
R
g2cosA2cosBcos
sin
R
g2sinB2sinAsin
=+→
−=+−→
 





=+
−=+−
R
g2BA2
R
g2B2A
µ
µµ
 
donde se conclui que A e B deverão ter os seguintes valores 
(22) 








+
−=
+
=
R
g2.
41
21B
R
g2.
41
3A
2
2
2
µ
µ
µ
µ
 
Finalmente, somando a solução particular (20) com a solução sem segundo membro 
(21), obtém-se o integral da equação completa 
pq uuu += 
(23) 
( )0
2
2
0 2 2
3 g 1 2 g
u u e 2 cos 2 sin
R R1 4 1 4
µ θ θ µ µθ θ
µ µ
− −    −= + +      + +   
 
88 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A determinação de uo depende das condições iniciais: 
00t 00 ==⇒= θθθ $e , 
e logo, 
(24) 
2
0 0 02 2
g 1 2 g3
u 2 cos 2 sin
R R1 4 1 4
µµ θ θ
µ µ
   −= − −      + +   
 
A solução final será portanto, 
( )µ θ θµµθ θ θ
µ µ
µ µθ θ
µ µ
− −    −= = − −       + +     
   −+ +      + +   
$ 0
2
22
0 02 2
2
2 2
g 1 2 g3
u 2 cos 2 sin e
R R1 4 1 4
3 g 1 2 g
2 cos 2 sin
R R1 4 1 4
 
Finalmente a força N definida pela expressão 
( )θθ singRmN 2 += $ 
transforma-se em 
(25) ( )N m Ru g sinθ= + 
Ficam também explicitamente conhecidos, em função de u, o valor da velocidade e 
aceleração angulares: 
(26) 2
1
u=θ$ 
(27) ( )θµθµθ sincos
R
gu −+−=$$ 
Para obter a lei de variação de θθθθ com o tempo, seria ainda necessário integrar a 
equação diferencial (26). 
 
 
10.2.2 Aplicação numérica 
 
Retomemos o exemplo da figura 13, 
considerando as seguintes condições: M = 6 kg; 
R = 0.50 m; g = 9.8 m/s2; µ µ µ µ = 0.20; θ θ θ θ0 = 0º. 
 
Figura 13 - Movimento circular de um ponto material. 
X
Y
θθθθ 
O
R 
M 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 89 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Na figura 14 mostram-se, as velocidade e aceleração angulares, as quantidades de 
aceleração tangencial e radial, a reacção normal e a força de atrito. 
 
Velocidade e Aceleração Angulares
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135
teta (º)
rad/s
-30.0
-20.0
-10.0
0.0
10.0
20.0
30.0
rad/s2
dq/dt d2q/dt2
 
 
Quantidade de Aceleração Radial e Tangencial
-60.0
-40.0
-20.0
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135
teta (º)
Newton
M R q2 M R q
 
 
Reacção Normal e Força de Atrito
0
20
40
60
80
100
120
140
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 
teta (º)
Newton 
N m N
 
 
Figura 14 - Velocidade e aceleração angulares, quantidades de aceleração tangencial e 
radial, reacção normal e a força de atrito. 
90 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
10.3 Movimento sobre um referencial móvel 
 
A figura 15 mostra o movimento de um ponto material P, de massa m, sobre um 
referencial móvel. 
 
• P
A
A
Corte A A
s
θ$
 
 
Figura 15 - Movimento de um ponto material sobre um referencial móvel. 
 
O ponto P está materializado por uma corrediça que se move em translação 
(parâmetro s) sobre uma guia horizontal, a qual se move por sua vez em torno de um eixo 
vertical (parâmetro θθθθ). 
Admitindo que há atrito no contacto lateral da corrediça com a guia (coeficiente de 
atrito µµµµ), pretende-se determinar as forças de ligação que ocorrem e qual a lei s(t), 
sabendo θθθθ(t). 
A figura 16 mostra os diagramas de corpo livre do sistema, representando as forças 
exteriores e a quantidade de aceleração projectadas nos planos OX1Z1 e OX1Y1. 
 
 
 
Figura 16 - Diagrama de corpo livre: forças exteriores e quantidade de aceleração. 
Y1 
P
O
Z0 ≡≡≡≡ Z1 
X1 
OP S= 
V 
H 
m g 
µµµµ H 
S,S,S$ $$ 
, ,θ θ θ$ $$ X1 
P
Y1 
Z0 ≡≡≡≡ Z1 
O 
OP S= 
S,S,S$ $$ 
, ,θ θ θ$ $$ 
mS$$ 
2mSθ$ $ 
2mSθ$ 
mSθ$$ 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 91 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A Equação Fundamental da Dinâmica estabelece que 
eF m a=
!!" "
 
(28) 
1
e atrito
S
H
F mg V H F H
V mg
µ− 
 = + + + =  
 − 
!!" !!!!!!"" ""
 
••
= OPmam
1S
"
 










=
0
0
s
OP
1S 










=




















+










=+==
••
0
s
s
0
0
s
x0
0
0
0
s
 OPxS
OPvOP 10
1
P
S1
θ
θ
ω $
$
$
$
 










+
−
=




















+










+=+==
•
••
0
s2s
ss
0
s
s
x0
0
0
ss
s
 vxS
vaOP
2
P10
1
PP
S1
θθ
θ
θ
θ
θθω $$$$
$$$
$
$
$
$$$$
$$
 
(29) 










+
−
==
••
0
s2s
ss
mOPmam
2
S1
θθ
θ
$$$$
$$$
"
 
Igualando as expressões (28) e (29), obtém-se as seguintes equações escalares: 
( )2ssmH θµ $$$ −=− 
(30) θθ $$$$ sm2smH += 
0V mg− = 
A partir das expressões (30) é possível definir imediatamente as reacções vertical e 
horizontal: 
θθ $$$$ sm2smH += 
(31) 
V mg= 
 
92 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Substituindo o valor de H na 1ª expressão de (30), obtém-se a equação diferencial 
de movimento do sistema: 
( ) ( )2ssmsm2sm θθθµ $$$$$$$ −=+− 
(32) ( ) 0ss2s 2 =−++ θθµθµ $$$$$$$ 
que admite como solução geral 
t
0
222
ess




 +−±−
=
θθµθµθµ $$$$$
. 
Dado que s deverá "crescer" com o tempo t, deve-se optar pela raiz positiva, isto é 
(33) 
( ) t1
o
22
ess




 −++−
=
θµµθθµ $$$$
 
A partir desta solução obtém-se, facilmente, a força H e a força de atrito 
fatrito = µµµµ H. 
 
 
10.4 Pêndulo cónico 
 
Um pequeno corpo de massa m, move-se de tal forma que é constante a distância %%%% 
que o separade um ponto O, fixo, como se mostra na figura 17. Os parâmetros 
cinemáticos utilizados para caracterizar a sua posição em dado instante são θθθθ e ϕϕϕϕ. 
 
•
z 1
z O
ϕ
Ρ
m
θ
x 1
%
 
Figura 17 - Pêndulo cónico. 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 93 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Pretende-se obter as equações de movimento desse corpo. A figura 18 mostra o 
diagrama de corpo livre do pêndulo cónico, estando representadas as forças exteriores 
aplicadas e a quantidade de aceleração da massa m. 
 
Figura 18 - Diagrama de corpo livre: forças exteriores e quantidade de aceleração. 
 
A Equação Fundamental da Dinâmica estabelece que 
eF m a=
!!" "
 
(34) 
2
sin
0
cos
e
S
mg
F mg N
N mg
ϕ
ϕ
− 
 = + =  
 − 
!!" ""
 
••
= OPmam
2S
"
 










−
=
%
0
0
OP
2S 
2
P 20
2
S
0 sin 0
OPOP v OP 0 0 sinS
0 0cos
ϕθ ϕ
ω ϕ θ ϕ
θ ϕ
••             = = + × = + − × =       
       −      
$ $%!!!"!!!" !!" !!!!" !!!" $$ %
$ %
 
P 
A 
Z0 ≡≡≡≡ Z1 
AP = %O
Y0 
X0 X1 
X2 
Z2 
, ,θ θ θ$ $$ 
N
!"
Q
i!"
 
, ,ϕ ϕ ϕ$ $$ 
mg
"
 
94 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
=+==
•
••
P20
2
PP
S
vxS
vaOP
2
ω
 
2
2 2 2
sin cossin
sin cos sin sin 2 cos
0 0cos sin
ϕ ϕ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ
θ ϕ θϕ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ θϕ ϕ
θ ϕ ϕ θ ϕ
 −    
       = + + − × = +       
       +       
$$$$ $ $$% % % %
$$ $ $ $$ $$ $ $% % % % %
$ $$% %
 
(35) 










+
+
−
==
••
ϕθϕ
ϕϕθϕθ
ϕϕθϕ
222
2
S
sin
cos2sin
cossin
mOPmam
2 $%$%
$$%$$%
$%$$%
"
 
Igualando as expressões (42) e (43), obtém-se as seguintes equações escalares: 
(36-a,b,c) 
( )
( )
( )ϕθϕϕ
ϕϕθϕθ
ϕϕθϕϕ
222
2
sinmcosgmN
cos2sinm0
cossinmsingm
$%$%
$$%$$%
$%$$%
+=−
+=
−=−
 
Da equação (36 - b) resulta 
(37) 2 cot gθ θϕ ϕ= −$$ $ $ 
Da equação (36 - a) resulta 
(38) 2
g
cos sinϕ θ ϕ ϕ = − 
 
$$$
%
 
Da equação (36 - c) resulta 
(39) ( )ϕϕθϕ cosgsinmN 222 ++= $%$%
 
As equações diferenciais (37) e (38), após integração considerando as 
correspondentes condições iniciais ( 0 0t 0 , 0 , 0 eθ θ ϕ θ ϕ ϕ= ⇒ = = = =$ $ $ , por 
exemplo), permitiriam obter as leis de variação de θθθθ, ϕϕϕϕ e N com o tempo. 
Nota: Sugere-se a implementação em MatLab de um algoritmo de integração numérica 
das equações diferenciais desenvolvidas neste capítulo. 
 
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 95 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
11 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA EM REFERENCIAIS LIGADOS À TERRA 
 
Um referencial ligado à Terra será necessariamente um referencial acelerado. De 
facto, como consequência dos movimentos de rotação da Terra, translação desta em torno 
do Sol, do movimento do próprio sistema solar relativamente ao centro da galáxia, 
movimento desta no Universo..., são muitas as forças de inércia que actuam sobre um 
qualquer corpo colocado na sua superfície. 
Assim, para que o segundo princípio de Newton seja aplicável em referenciais 
ligados à Terra, deverá ser formulado ao seguinte modo 
(40) ctrr amamAFam
"""""
−−+= 
Nesta expressão, além das forças "reais" directamente aplicadas F
"
 e das forças 
"reais" devidas à acção da gravidade A
"
, deverão acrescentar-se ainda as "forças de 
inércia" devidas às componentes de aceleração de transporte e complementar 
( )ctr ameam "" −− . 
Analise-se, com algum pormenor, cada uma destas componentes. 
 
 
11.1 Forças gravitacionais A
"
 
 
Atendendo a que estas forças variam na razão inversa do quadrado das distâncias, 
só deveremos considerar, para um ponto colocado sobre a superfície da Terra, as forças 
gravitacionais devidas à acção desta, da Lua e do Sol. 
 
!!!! Atracção da Terra 
(41) mg
R
mM
GA o2
T
T
T == 
Sendo AT a força de atracção da Terra sobre um corpo de massa m; MT a massa da 
Terra; RT o respectivo raio; e G (=6.67 x 10-11 N m2 / kg2) a constante de gravitação 
Universal. A aceleração da gravidade terrestre ao nível das águas do mar (distância RT do 
centro da Terra) será assim 
(42) 2
T
T
o
R
M
Gg = 
96 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
! Atracção da Lua 
 
Sendo a massa da Lua cerca de 80 vezes menor que MT e a distância média do 
centro da Lua cerca de 60 raios terrestres, teremos 
(43) mg
60x80
1m
L
M
GA o22
1
L
L ≅= 
A aceleração da gravidade lunar será 
(44) o
6
2
2
L
L g10x47.3
L
M
Gg −≅= 
 
! Atracção do Sol 
 
Sendo a massa do Sol cerca de 330 000 vezes a da Terra e a distância média do Sol 
à Terra, cerca de 23 000 raios terrestres, a atracção do Sol sobre um corpo à superfície 
da Terra corresponderá uma aceleração da gravidade solar 
(45) o
4
2
s
s
s g10x2.6L
M
Gg −≅= 
Comparando estes valores podemos concluir que, para fins práticos de Engenharia, 
é lícito desprezar a acção dos campos gravitacionais criados pela Lua e pelo Sol. Restará, 
portanto, como força de gravidade a considerar na expressão (36), apenas a devida à 
Terra, ou seja 
(46) ogmA
""
= 
 
 
 
11.2 Forças de Inércia 
 
! Força de inércia de transporte 
 
Considerando apenas o movimento de rotação da Terra (admitindo portanto 
desprezáveis as acelerações devidas aos restantes movimentos que esta possui), vejamos 
qual deveria ser a força de inércia de transporte, num ponto à superfície da Terra, com a 
latitude λλλλ ( ver figura 19). 
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 97 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
N
C
S
m ω2 r cos 2 λ
m ω 2 r cos λ r cos λ
r
λ
ΡΡΡΡ
m ω 2 r sin λ cos λ
N
C
Ρ
S
 
 
Figura 19 - Vista lateral e de frente do meridiano do lugar que contém o ponto P. 
 
Esta força de inércia, perpendicular ao eixo da Terra, decomposta nas direcções da 
vertical do lugar e da tangente ao meridiano, dá origem às duas componentes 
representadas na figura 19. 
Como consequência da existência desta força de inércia de transporte verifica-se 
que: 
• O ponto material de massa m colocado em P é solicitado por uma força de 
inércia que se opõe à de atracção gravítica. Tudo se passa então como se 
aceleração de gravidade (38) viesse diminuída de uma parcela variável com a 
latitude. 
(47) λω 22o cosrgg −= 
• O ponto é ainda solicitado por uma força de inércia horizontal, que tende a 
"deslocá-lo" para o Equador (para Sul, no hemisfério Norte, conforme revê na 
figura 19). 
 
 
! Força de inércia complementar 
 
Consideraremos, de novo, que o movimento de transporte se reduz ao de rotação 
da Terra. Então, a força de inércia complementar (de Coriolis) será dada por 
(48) rT
c
i vx2mF
""" ω−= 
98 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Esta força depende do caso particular do movimento do ponto em relação à Terra. 
Analisaremos apenas o efeito desta força no caso dos movimentos em "queda livre" 
(segundo a vertical do lugar) e dos movimentos no plano horizontal. 
 
 
Queda livre 
 
Nestes movimentos, como se mostra na figura 20, o ponto material será sempre 
deslocado para "ESTE", qualquer que seja a latitude (N ou S). 
 
N
C
Ρ
S
N
C
S
λ
Ρ a c
rv
"
trω"
r
tr
i vxm2F
""" ω=
 
 
Figura 20 - Meridiano do lugar que contém o ponto P e força de inércia complementar 
correspondente ao movimento de "queda livre". 
 
 
Movimentos no plano horizontal 
 
Considere-se um referencial PX1Y1Z1 tal que o plano OX1Z1 seja horizontal, sendo o 
eixo Z1 tangente ao meridiano do lugar, como se mostra na figura 21. 
O vector rotação da Terra terá, nesse referencial, apenas duas componentes, 
respectivamente λωω sin.v = segundo a verticale λωω cosH = segundo a direcção 
de Z1. 
A força de inércia complementar pode então decompor-se em duas parcelas, 
correspondentes a essas duas componentes de ωωωωT. Como se mostra na figura 22 , tem-se 
(49) 
c
i
c
i
r
V
r
xH
c
i Hy
FFvxm2vm2F
""""""" +=−−−−= ωω 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 99 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
λ
Ρ Ρ
x 1
y 1
z 1
λ
ω T
ω cos λ = ωH
ω v = ω sin λ
 
 
Figura 21 - Meridiano do lugar que contém o ponto P e componentes "verticais" e 
"horizontais" do vector rotação da terra ωωωωT. 
 
Verifica-se assim que surge uma força de inércia vertical (ascendente ou 
descendente consoante a direcção da velocidade relativa); e uma força de inércia 
horizontal que, no hemisfério Norte (λλλλ > 0) provocará um "desvio para a direita" do vector 
velocidade relativa (ver figura 22), enquanto que no hemisfério Sul (λλλλ < 0) provocará 
desvio em sentido oposto. 
 
 
" 
ω v
 
" 
ω H
 
" 
v r
z 1
x 1
 
− 2 m
" 
ω v ∧
" 
v r =
" 
F i H
c
 
" 
F iH
c = 2 m ω sin λ v r
 
 
Figura 22 - Plano horizontal do lugar que contém o ponto P e representação gráfica da 
componente horizontal da força de inércia complementar 
c
i H
F
"
. 
 
Este desvio da trajectória nos movimentos horizontais permite justificar diversos 
fenómenos, como o aparecimento de determinado movimento de rotação do ar em torno 
dos núcleos de baixas pressões. 
100 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Note-se que, dado o baixo valor da velocidade angular da Terra, 
ωωωωT = 7,272 x 10-5 rad/s, a força de inércia complementar é, em geral, desprezável. Só 
quando a velocidade relativa é muito elevada (caso dos problemas de balística, por 
exemplo, com velocidades da ordem dos 100 m/s) é que não poderá deixar de se 
contabilizar o seu efeito g
70
1as/m1000v cr ≅⇒= . 
 
 
 
11.3 Conclusão 
 
Da análise feita nos parágrafos 12.1 e 12.2 resulta que, nas aplicações correntes em 
engenharia, a Equação Fundamental da Dinâmica tomará, sobre a Terra, a forma seguinte: 
(50) amAF
"""
=+ 
Sendo: 
F
"
 → Soma de todas as forças reais directamente aplicadas; 
 
" 
A → Força de atracção da Terra, que inclui a força de gravidade e uma 
parcela da força de inércia de transporte, isto é, A = m g, com 
λω 22o cosrgg −= , consoante a expressão (47); 
 
" 
a → Aceleração do ponto material, calculada relativamente à Terra. 
As restantes forças de inércia, devidas ao facto de a Terra não ser um referencial 
inercial, são em geral desprezadas, dada a sua ordem de grandeza muito inferior à das 
restantes forças. 
 
 
DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 101 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
12 PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
Problema DPM1 
 
 
 
O mecanismo representado na figura é constituído por: 
corpo 1, um braço horizontal de comprimento 2r, de massa e inércia desprezáveis, que 
roda em torno do eixo vertical Z0 ≡ Z1 com velocidade angular θ$ constante; 
corpo 2, um cursor, de massa m e inércia desprezável, que pode deslizar ao longo do 
corpo 1, estando ligado a uma das extremidades do corpo 1 por uma mola helicoidal (�0 = 
r) de rigidez k. 
Determine a equação diferencial de movimento do cursor e as equações diferenciais que 
permitiriam determinar as forças de ligação entre o cursor e a guia. Suponha que 
m
K2 <θ$ . 
 
Z1≡Z0 
Y1 
θ$ 
X 
r 
r
1 
2P
102 DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema DPM2 
 
 
 
O mecanismo representado na figura é constituído por: 
corpo 1, um suporte ABCD, em forma de quadrilátero, de massa e inércia 
desprezáveis, que roda em torno do eixo vertical Y0 ≡ Y1 com velocidade angular 
constante θ$ � 
corpo 2, um cursor, de massa m e inércia desprezável, que pode deslizar ao longo do 
lado BC do corpo 1. 
Supondo que a ligação entre os dois corpos é perfeita, determine a equação 
diferencial de movimento do cursor e as equações diferenciais que permitiriam 
determinar as forças de ligação entre o cursor e a guia. 
 
 
y 1 = y 0 
x2
y2
ϕ 
x1
z2
z 1 
θ = const. 
s,s
A 
D 
C
B
aAB =
sBP = 
Z1 // Z2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA do CORPO RÍGIDO 
 
 
TEOREMAS VECTORIAIS 
 
 
 
 
 
 
Jorge Humberto Oliveira Seabra 
Carlos Alberto Magalhães Oliveira 
José Fernando Dias Rodrigues 
Pedro Manuel Leal Ribeiro 
Pedro Manuel Ponces Camanho 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial – Secção de Mecânica Aplicada 
 
 
6ª Edição - Fevereiro de 2004 
 
ii DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais iii 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
ÍNDICE: 
 
1 INTRODUÇÃO – MÉTODO DE ANÁLISE 103 
2 TEOREMA DO MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA 105 
3 TEOREMA DO MOVIMENTO EM TORNO DO CENTRO DE MASSA 106 
4 PRINCÍPIO D’ALEMBERT – CONCEITO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO 107 
5 MOVIMENTO PLANO DE CORPOS RIGÍDOS SIMÉTRICOS 108 
5.1 Equações do movimento para um corpo rígido em movimento plano 108 
5.2 Análise de sistemas de corpos rígidos em movimento plano 110 
5.3 Movimento plano vinculado 110 
6 PROBLEMAS PLANOS RESOLVIDOS 111 
6.1 Sólido animado de movimento de translação 111 
6.2 Sólido animado de movimento de rotação 115 
6.3 Sólido em movimento mais complexo 119 
6.4 Mecanismo manivela, biela, êmbolo 124 
6.5 Mecanismo de accionamento do limador 138 
7 MECANISMO ESPACIAL 151 
8 PROBLEMAS PROPOSTOS 163 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 103 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
 
 
TEOREMAS VECTORIAIS 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO – MÉTODO DE ANÁLISE 
 
Consideremos cada sólido como um sistema formado por pontos materiais discretos, 
cujas distâncias entre si permanecem constantes. 
A cada ponto Pk de um tal sistema material podem-se associar dois vectores que, de 
acordo com a 2ª lei de Newton, são iguais: 
!!"
kF - Resultante das forças que actuam em kP (1) 
!!"
k km a - Quantidade de aceleração de kP (2) 
!!" !!"
k k kF = m a (3) 
kF
!!"
 é a resultante de todas as forças que actuam no ponto kP . Inclui, assim, forças 
exteriores e interiores ao sistema material. 
De acordo com (3), tem-se que 
+ = + =ext int e ik k k k k kF F F F m a
!!!" !!!" !!" !!" !!"
 (4) 
Se esta igualdade se verifica para todos os pontos kP , poderemos dizer que o sistema 
de forças exteriores mais o sistema de forças interiores iguala o sistema de vectores a que 
chamamos quantidades de aceleração. 
É condição necessária e suficiente para que dois sistemas de vectores sejam 
equivalentes, que tenham elementos de redução no mesmo ponto iguais. 
104 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A soma de dois sistemas de vectores é um sistema cujos elementos de redução no 
mesmo ponto são iguais à soma de cada uma das parcelas. 
Daqui resulta que, necessariamente, 
+ =∑ ∑ ∑ext intk k k k
k k k
F F m a
!!!" !!!" !!"
 (5) 
+ = ×∑ ∑ ∑K Kext intO O K k k
k k k
M M OP m a
!!!!" !!!!" !!!" !!"
 (6) 
Como as forças interiores, de acordo com a 3ª lei de Newton, são iguais e opostas 
duas a duas, o sistema de forças interiores é equivalente a zero, istoé, 
int
k
k
F 0=∑
!!!" !"
 e 
K
int
O
k
M 0=∑
!!!!" !"
. 
Como consequência das equações (5) e (6) obteremos as seguintes equações 
vectoriais, válidas para um sistema de pontos materiais 
ext ext e
k k k
k k
F F F m a= = =∑ ∑
!!!" !!!" !!" !!"
 (7) 
K
ext ext e
O O O K k k
k k
M M M OP m a= = = ×∑ ∑
!!!!" !!!!" !!" !!!" !!"
 (8) 
São as chamadas Equações do Movimento. Nelas não está, por ora, contida qualquer 
restrição referente ao sistema material. De facto são válidas quer este seja ou não um 
sistema rígido, um sistema formado por vários subsistemas rígidos considerados no seu 
conjunto, ou pura e simplesmente um sistema de pontos materiais discretos cujas 
distâncias entre si variam no tempo. 
Os segundos membros das equações (7) e (8) representam, respectivamente, o Vector 
Principal e o Vector Momento em O do sistema de vectores quantidade de aceleração. 
Foi visto em capítulos anteriores, que, ao primeiro se chamou Quantidade de 
Aceleração do sistema material, o qual é sempre definido por 
=∑ k k G
k
m a Ma
!!" !!"
 (9) 
sendo Ga
"
 a aceleração do centro de gravidade do sistema material e M a sua massa total. 
Esta expressão é sempre válida, independentemente do sistema material ser rígido ou não. 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 105 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O 2º membro de equação (8), é o Momento Dinâmico em O do sistema material cujo 
cálculo foi desenvolvido no capítulo sobre Cinemática das Massas. Relembra-se, como 
relação particularmente útil, que o momento dinâmico no ponto O pode sempre obter-se a 
partir do momento dinâmico em G, usando a seguinte relação (3º teorema de Koenig): 
× = = + ×∑ K k k O G G
k
OP m a k k OG Ma
!!!" !!" !!" !!" !!!" !!"
 (10) 
Substituindo as expressões (9) e (10) nas equações de movimento (7) e (8) obtém-se 
ext
GF Ma=
!!!" !!" (11) 
ext
O O G GM k k OG Ma= = + ×
!!!!" !!" !!" !!!" !!" (12) 
 
 
2 TEOREMA DO MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA 
 
Num qualquer sistema de pontos materiais, rigidamente ligados ou não, verifica-se, 
de acordo com as relações (7), (9) e (11), que 
ext
GF Ma=
!!!" !!"
 (11) 
Esta seria também a Equação do Movimento do centro de massa, se nele estivesse 
concentrada toda a massa do sistema material e sobre ele actuasse uma força igual à soma 
de todas as forças exteriores aplicadas ao referido sistema. 
Esta constatação é conhecida por teorema do movimento do centro de massa, o qual 
é habitualmente citado do seguinte modo: 
"Em qualquer sistema material, rígido ou não, o centro de massa move-se como um 
ponto isolado, de massa igual à massa total do sistema, e actuado por uma força 
igual à soma vectorial de todas as forças exteriores aplicadas". 
Verifica-se, a partir da relação (11) que, se um sistema de forças que actue num 
sistema material tem vector principal não nulo (há desequilíbrio de forças), o centro da 
massa adquire movimento acelerado. 
 
 
 
106 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
3 TEOREMA DO MOVIMENTO EM TORNO DO CENTRO DE MASSA 
 
As expressão (8) e (10) também encerram um determinado significado físico que se 
pretende explorar. Quando o pólo utilizado no cálculo dos momentos é o centro de massa, 
tem-se: 
ext
G GM K=
!!!!" !!"
 (13) 
Se o movimento real do sistema material for uma translação, então o seu momento 
dinâmico em G é nulo. Neste caso a equação (13) traduz um equilíbrio de momento em 
relação ao ponto G, das diversas forças aplicadas. Noutro qualquer ponto, porém, tal 
situação não ocorreria, conforme mostram as relações (10) e (12). 
Se o movimento real do sistema material for uma rotação em torno de um eixo que 
contém G, o momento dinâmico em G não será nulo, mas sê-lo-á a quantidade de 
aceleração ( )=Ga o
!!" "
. Estaríamos então num caso em que haveria equilíbrio de forças 
exteriores (equação (11)) mas desequilíbrio de momentos (equação (13)). 
Num caso mais geral, as equações (11) e (13) não terão segundos membros nulos, 
podendo então interpretar-se o movimento do sistema material como sendo a soma de dois 
movimentos: 
uma translação com o centro de massa, provocada pelo desequilíbrio das forças 
exteriores aplicadas, mais uma rotação em torno do centro de massa, provocada pelo 
desequilíbrio de momentos das forças exteriores, em relação a esse ponto. 
Note-se que a equação (8) é válida qualquer que seja o ponto O utilizado. Para 
efeitos de cálculo não necessitamos de utilizar obrigatoriamente o ponto G. 
O momento dinâmico OK
!!"
 pode calcular-se por derivação em ordem ao tempo do 
vector momento cinético OH
!!"
. Considere-se o caso mais geral de O ser um ponto móvel. 
Então: 
= ×∑O k k k
k
H OP m v
!!" !!!" !!"
 (14) 
( )= − × + ×∑ ∑
i!!" !!" !!" !!" !!!" !!"
O k O k k k k k
k k
H v v m v OP m a
 (15) 
 = − × + 
 
∑
i!!" !!" !!" !!"
O O k k O
k
H v m v K
 (16) 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 107 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
= − × +
i!!" !!" !!" !!"
O O G OH v Mv K (17) 
A equação (8) tomará então a seguinte forma 
ext
O O O O GM K H v Mv= = + ×
i!!!!" !!" !!" !!" !!"
 (18) 
Esta equação simplifica-se sempre que: 
a) = ⇒ =
i"!!" !!" !!" !!!" !!"
0 //O O G O Ov ou v v M H (19) 
b) ≡ ⇒ =
i!!!!" !!"
0 extG GG M H (20) 
 
 
4 PRINCÍPIO D’ALEMBERT - CONCEITO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO 
D'Alembert introduziu o conceito de "força de inércia", quando reescreveu a equação 
da 2ª lei de Newton sob a forma 
0eF m a− =
!!" ""
 (21) 
Chamando força de inércia, =
!!!!!!" !!"
inércia jF F , ao vector ( )am
"
− , então a equação (21) 
toma a forma de uma equação de equilíbrio de forças, na acepção em que esse conceito 
apareceu na Estática. É nula a soma de todas as forças que actuam no ponto 
+ =
!!" !!" "
0e jF F (22) 
Este princípio de D'Alembert pode ser transposto para a dinâmica dos sistemas 
materiais, não esquecendo que terão de considerar-se as "forças de inércia" e "os 
momentos das forças de inércia", respectivamente iguais (mas de sinais contrários) aos 
vectores quantidades de aceleração e momento dinâmico. 
As equações fundamentais da dinâmica (11) e (12) tomarão assim a forma de 
equações de "equilíbrio dinâmico": 
ext ext
G GF Ma F Ma 0= ⇒ − =
!!!" !!!"!!" !!" !"
. (11) 
ext ext
O O O OM K M K 0= ⇒ − =
!!!!" !!!!"!!" !!" !"
. (12) 
Fazendo, 
inércia
GF Ma= −
!!!!!!" !!"
, 
inércia
O OM K= −
!!!!!!" !!"
, obtém-se 
108 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
0ext inérciaF F+ =
!!!!!!"!!!!" "
 (23) 
0ext inérciaO OM M+ =
!!!!!!!"!!!!" "
 (24) 
A principal vantagem desta mudança resulta de ser facilitada a análise, 
nomeadamente pelo uso de diagramas de corpo livre e pelo carácter intuitivo que muitos 
problemas de estática possuem e que agora continua a ser visível. 
 
 
5 MOVIMENTO PLANO DE CORPOS RÍGIDOS SIMÉTRICOS 
 
Introduzimos aqui duas limitações aos sistemas materiais considerados: 
a) Deslocam-se em movimento plano, isto é, cada ponto material permanece a 
distância constante de um dado plano de referência fixo; 
b) Os sistemas materiais são constituídos por corpos sólidos simétricos em relação 
ao plano de referência, (o que implicará que possuam um eixo principal de 
inércia baricêntrico perpendicular a esse plano). 
 
 
5.1 Equações do movimento para um corpo rígido em movimento plano 
 
Trata-se, afinal, de particularizar as equações gerais já apresentadas (11) e (12). 
Assim, sendo (x, y) o plano do movimento, tem-se: 
Torsor das velocidades comtemporâneas do sólido 
( )
0
; 0 ;
0
Gx
VC G VC Gx
v
v vτ ω τ
ω
    
    =     
        
!" !!"
; 
Torsor das acelerações comtemporâneas do sólido 
0
; 0 ;
0
Gx
AC G CC Gx
a
a aτ ω τ
ω            =                 
i
i
!" !!"
. 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 109 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Torsor da Quantidade de Aceleração 
;QA GQ Kτ
 
 
 
i!" !!"
 
0
Gx
Gx
a
Q m a
 
 =  
 
 
i!"
 
[ ]
0
0
xx XY XZ XZ
G G YX YY YZ YZ
ZX ZY ZZ ZZ
I P P P
H I P I P P
P P I I
ω
ω ω
ω ω
− − −     
    = × = − − × = −    
    − −     
!!" !"
 
2
2
0
0
XZ XZ YZ
XZ
G G G YZ YZ YZ XZ
ZZ
ZZ ZZ
P P PP
K H H P P P P
II I
ω ω ωω
ω ω ω ω ω
ω ωω ω
   − − +   −   
      = + × = − + × − = − +       
       
      
   
i i
i i i
i i
!!" !!" !" !!"
 
Retomando as equações de movimento (11) e (12), 
ext
x Gx
ext ext
G y Gx
ext
z
F a
F Ma F m a
F 0
   
   = ⇔ =   
   
  
!!!!" !!"
 
2
ext XZ YZ
Gx
ext ext 2
G G Gy YZ XZ
ext
Gz
ZZ
P PM
M k M P P
M I
ω ω
ω ω
ω
 − +  
  = ⇔ = − +   
   
   
 
i
i
i
!!!!" !!"
 
determinam-se as seguintes 6 equações escalares: 
ext
x GxF ma= 
ext
y GyF ma= (25) 
ext
zF 0= 
ext 2
Gx XZ YZM P Pω ω= − +
i
 
ext 2
Gy YZ XZM P Pω ω= − +
i
 (26) 
ext
Gz ZZM I ω=
i
 
110 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Se o plano de movimento [OXY] for um plano de simetria do corpo, então o eixo OZ 
é um eixo principal de inércia, pelo que PXZ e PYZ serão produtos de inércia nulos. 
Deste modo as 6 equações escalares de equilíbrio dinâmico ficarão reduzidas a: 
ext
x GxF ma= (27) 
ext
y GyF ma= (28) 
ext
Gz ZZM I ω=
i
 (29) 
 
 
5.2 Análise de sistemas de corpos rígidos em movimento plano 
Esta análise pode ser feita por dois caminhos: 
a) Considerando o sistema como um todo, traçando portanto um único diagrama de 
corpo livre e não considerando as forças interiores de ligação entre os diversos 
corpos; 
b) Dividindo o sistema em vários subsistemas, de modo análogo ao que fora feito na 
Estática, considerando as equações de movimento de cada um deles e resolvendo 
em conjunto os sistemas de equações assim obtidas. Estão obviamente 
consideradas, neste caso, as forças de ligação entre os corpos. 
Este 2º caminho é o mais utilizado, até porque é o único possível quando o número de 
incógnitas é superior a 3 (tal é o número de equações disponíveis numa análise de 
equilíbrio plano). 
 
 
5.3 Movimento plano vinculado 
A maioria das aplicações em engenharia trata de corpos rígidos que se movem sob 
determinados vínculos (rotação em torno de eixos fixos, rolamentos sem escorregamento, 
guiamentos, ...). 
Em todos estes casos existem relações definidas entre as componentes da aceleração 
do centro de massa G e a aceleração angular α$$ . 
A solução destes problemas exige uma análise cinemática prévia, após o que não 
introduzem particulares problemas na sua solução. 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 111 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6 PROBLEMAS PLANOS RESOLVIDOS 
 
6.1 Sólido animado de movimento de translação 
 
A figura 1 mostra uma placa animada de movimento de translação. Pretende 
determinar-se as forças de ligação que ocorrem nos pontos A e B, em que o corpo de 
massa M, indicado na figura, se articula com duas barras de massa desprezável, as quais o 
obrigam a deslocar-se em translação sobre um plano vertical 
(seja 00 =θ ). 
 
G
B
A
 •
%
O
θ
s
C
y
x
%
 
 
Figura 1 - Sólido animado de movimento de translação. 
 
Desprezada a massa das barras AO e BC, as forças que actuam em A e B terão de ter 
a direcção das próprias barras. A figura 2 mostra o diagrama de corpo livre do sistema, 
estando representadas as forças exteriores e a quantidade de aceleração da placa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Diagrama de corpo livre: forças exteriores e quantidade de aceleração. 
 
As equações (11) e (12), estabelecem o equilíbrio dinâmico do corpo: 
=
!!!!" !!"
ext
GF Ma =
!!!!" !!"
ext
G GM K 
 
 
B•
•
•
θ$$%
Mg
2θ$%
AR
BR
A
112 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Determinem-se cada um dos componentes das equações anteriores. 
θ
θ
+ − 
 = + + = − 
 
 
!!!!" !!" !!" "
sin
cos
0
A B
ext
A B
S
R R mg
F R R M g mg
 
θ
θ
 
 
= − 
 
 
$%
!!" $$%
2
0
G S
M a M
 









−
=
0
0OA
S
%
 










−=









−










+










=+==
••
0
0
0
0x0
0
0
0
0
OAxS
OAvOA A
S
θ
θ
ω $%
%
$
"
 










−=










−










+










−=+==
•
••
00
0
x0
0
0
0
vxS
vaOA
2
AAA
S
θ
θ
θ
θ
θω $$%
$%
$%
$
$$%"
 
O corpo está animado de um movimento de translação, designado por translação circular. 
Logo, 










−====
0
aaae0
2
GBAplaca θ
θ
ω $$%
$%""
 
A igualdade entre forças exteriores e quantidade de aceleração, conduz às 
seguintes duas equações 
 
θ θ
θ θ
 + − =

= ⇒ 
 − = −
$%!!!!" !!"
$$%
2sin
cos
A B
ext
G
R R M g M
F Ma
M g M
 (31) 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 113 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Igualdade de momentos exteriores e dinâmicos: 
θ θ
θ θ
−       
       = + = − +       
       
       
!!!!" !!!" !!" !!!" !!" sin sin1 1
cos 0 cos 0
2 2
0 0 0 0
A B
ext
G A B
S
s R s R
M GAx R GB x R s x s x
 
( )θ
 
 =  
 − 
!!!!" 01
0
2
cos
ext
G
S
A B
M
s R R
 
•
= GG HK
 
[ ] 00.IH placaplacaGSG
"""" =→== ωω 
0HK GSG
"
==
•
 
A igualdade entre momentos exteriores e momento dinâmico, conduz à seguinte 
equação 
 
θ θ= ⇒ − =
!!!!" !!"
cos cos 0
2 2
ext
G G A B
s s
M K R R (32) 
Das expressões (31) e (32) retiram-se as seguintes igualdades: 
θ θ
θ θ







$$
$2
A B
A B
g
= cos
l
R + R - M g sin = M l
R = R
 (33 – a, b, c)
 
A equação diferencial de movimento (33–a) pode ser desenvolvida do seguinte modo: 
θ
θ
θθθ
θ
θθθ cosg
d
d
dt
d
d
d
dt
d
%
$$$$$$ ====
 
fazendo a separação de variáveis, obtém-se 
θθθθ dcosgd
%
$$ =
 
 
 
114 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Integrando a equação diferencial, determina-se que 
.Constsing
2
1 2 += θθ
%
$ 
A determinação da constante de integração é obtida a partir das condições iniciais do 
problema, ou seja 
.Const0sing00,0,0t +=⇒===
%
$θθ 
logo 
0.Const = 
pelo que 
θθ sing22
%
$ = (34)
 
Substituindo a expressão anterior na equação (32 – b) e atendendo a (32 – c) 
( )θ θA B
1
R = R = M2 g sin +Mg sin
2
 
isto é 
θsingM
2
3RR BA == (35) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 115 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.2 Sólido animado de movimento de rotação 
 
A figura 3 mostra uma placa de massa m, que roda em torno de um ponto fixo O, 
efectuando um movimento de rotação no plano vertical (OXY). Pretende-se determinar as 
forças de ligação que ocorrem no ponto O. Admite-se a existência de simetria material em 
relação ao plano do movimento. 
 
θ
y
G
S x
 
 
Figura 3 - Sólido animado de movimento de rotação. 
 
A figura 4 mostra o diagrama de corpo livre da placa, onde estão representadas as 
forças e momentos exteriores e a quantidade de aceleração e momento dinâmico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - Diagrama de corpo livre: forças exteriores e quantidade de aceleração. 
 
As equações (11) e (12), estabelecem o equilíbrio dinâmico do corpo: 
=
!!!!" !!"ext
GF Ma 
=
!!!!" !!"
ext
O OM K 
 
y
G
xmgROX
O
θ
sθ$$
ROY
2sθ$
116 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Determine-se cada uma das componentes das equações anteriores. 
θ
θ
+ 
 = + = − 
 
 
!!!!" !!" " Oxext
O Oy
S
R mg sin
F R M g R mgcos
0
 
θ
θ
 
 
= − 
 
 
$$
!!" $2
0
G S
s
M a M s
 










=
0
s
0
OG
S
 










=




















−
+










=+==
••
0
0
s
0
s
0
x0
0
0
0
0
OGxS
OGvOG G
S
θ
θ
ω
$
$
"
 










−=




















−
+










=+==
•
••
0
s
s
0
0
s
x0
0
0
0
s
vxS
vaOG 2GGG
S
θ
θθ
θ
θ
ω $
$$$
$
$$
"
 
A igualdade entre forças exteriores e quantidade de aceleração, conduz às 
seguintes duas equações 
θ θ
θ θ
 + =

= ⇒ 
 − = −
$$
!!!!" !!"
$2
sin
cos
Ox
ext
G
Oy
R Mg M s
F Ma
R Mg M s
 (36) 
Igualdade de momentos exteriores e dinâmicos: 
θ
θ
θ
     
     = × = × − =     
     −     
!!!!!" !!!" "ext
O
S
0 mg sin 0
M OG m g s m g sin 0
0 0 ms g sin
 
•
= GG HK
 
[ ]










−
=










−









==
θθ
ω
$$
"
zzzz
yy
xx
placaGSG
I
0
0
0
0
.
I00
0I0
00I
.IH 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 117 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 










−
=










−








−
+










−
=+==
•
•
θθθθ
ω
$$$$$$
"
zzzzzz
G
G
GSG
I
0
0
I
0
0
x0
0
I
0
0
HxS
HHK 
( )
2
O GS
2
zz zz
m s0 0 0
K K OG Q 0 s m s 0
o 0I I ms
θ
θ
θ θ
•
               = + × = + × − =       
       −   − +        
$$
!!!" !!!" !!!" !" $
$$ $$
 
A igualdade entre momentos exteriores e momento dinâmico, conduz à seguinte 
equação 
 
( )θ θ= ⇒ − = − +
!!!!" !!" $$2sin
O
ext
O zzM K ms g I ms (37) 
Das expressões (35) e (36) retiram-se as seguintes igualdades: 
θθ sin
smI
gsm
2
zz +
=$$ 
θθ $$sMsingMROx =+
 (38 – a, b, c) 
2
Oy sMcosgMR θθ $−=−
 
A equação diferencial de movimento (38–a) pode ser desenvolvida do seguinte modo: 
 
θ
θ
θθθ
θ
θθθ sin
smI
gsm
d
d
dt
d
d
d
dt
d
2
zz +
====
$$$$$$
 
fazendo a separação de variáveis, obtém-se 
θθθθ dsin
smI
gsmd 2
zz +
=$$ 
Integrando a equação diferencial, determina-se que 
.Constcos
smI
gsm
2
1
2
zz
2 +
+
−= θθ$
 
 
 
 
 
 





118 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A determinação da constante de integração é obtida a partir das condições iniciais do 
problema, ou seja 
.Const0cos
smI
gsm200,0,0t 2
zz
+
+
−=⇒=== θθ $ 
logo 
2
zz smI
gsm2.Const
+
= 
pelo que 
( )θθ cos1
smI
gsm2 2
zz
2 −
+
=$ (39)
 
Substituindo a expressão anterior na equação (38-c) e substituindo a expressão 
(38-a) em (38- b), obtém-se 
 
θθ sin
smI
gsmsmsingmR 2
zz
Ox
+
=+ 
( )θθ cos1
smI
gsm2smcosgmR 2
zz
Oy −
+
−=− (40) 
pelo que, 
θ θ θ
 
−  
 
2
Ox 2 2
zz zz
msg ms
R = mg sin +ms sin = mg sin -1+
I +ms I +ms
 
( )θ θ
2
Oy 2
zz
2ms mg
R = mg cos - 1-cos
I +ms
 
isto é 
θsingm
smI
IR 2
zz
zz
Ox
+
−= 
( )








−
+
−= θθ cos1
smI
sm2cosgmR 2
zz
2
Oy (41) 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 119 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.3 Sólido em movimento mais complexo 
 
A figura 5 mostra uma placa de massa m, animada de um movimento plano 
complexo. Pretende-se determinar as forças de ligação que actuam sobre a placa. As 
ligações são consideradas perfeitas, pelo que as forças e momentos de atrito são nulos. 
Desprezam-se as massas e inércias dos restantes corpos do mecanismo. 
 
•
•
G
B
•
A
t/2
t/2
s
%
Ο θ
ϕ
X
Y
 
 
Figura 5 - Sólido animado de um movimento plano complexo. 
 
Geometria do sistema. 
 
A análise da figura 5 mostra que s. sin θθθθ + t sin ϕϕϕϕ = %%%% . Esta expressão e as suas 
primeira e segunda derivadas em ordem ao tempo, permitem obter ϕ , ϕ$ e ϕ$$ em função 
de θ , θ$ e θ$$ , que é o parâmetro cinemático escolhido: 
 
( ) ( )









=−+−
=+
=+
0sincostsincoss
0costcoss
sintsins
22 ϕϕϕϕθθθθ
ϕϕθθ
ϕθ
$$$$$$
$$
%
 
o desenvolvimento das expressões anteriores permite estabelecer que 
 
 
120 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )













+−=
−=





 −=
θθθθϕϕ
ϕ
ϕ
θ
ϕ
θϕ
θϕ
sinscosssint
cost
1
cost
coss
t
sinssinar
22 $$$$$$
$$
%
 (42) 
As equações (11) e (12), estabelecem o Equilíbrio Dinâmico do corpo: 
=
!!!!" !!"
ext
GF Ma 
=
!!!!" !!"
ext
G GM K 
 
Quantidade de aceleração. 
Admitindo rigidez na ligação OB, tem-se que 
10
sin0 cos
0 sin cos
0 0
B O
O
ss
v v x OB x s s
s
θ θθ
ω θ θ θ
θ
 −   
    = + = =     
     
    
$
!!" !!" !!!" !!!" $
$
 
2
10 10
2
2 2
sin cos0 cos cos
0 sin sin cos sin
0 0 0
B O
O
a a x OB xOB
s
s ss s
x s s s s
ω ω
θ θ θ θθ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ
•
= + − =
 − −     
      − = −       
       
      
!!" !!" !!!" !!!" !!!"
$$ $
$ $$ $
$$
 
No ponto G a velocidade e a aceleração são as seguintes: 
20
sin sin
cos 2sin 0 2
cos 0 sin cos cos2 2
0 0 0
G B
O
v v x BG
s
t
sts
tts x s
ω
θ θ ϕ ϕϕθ θ
θ θ ϕ θ θ ϕ ϕ
ϕ
= + =
 − +  − −            + = + +       
       −          
!!" !!" !!!" !!!"
$ $
$
$ $ $
$
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 121 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
•
2
G B 20 20
O
2
2 2
2
a a xBG xBG
s
t tcos coss sin s cos 0 2 2
t ts cos s sin 0 x sin sin2 2
0 0 0
t
s sin s cos sin
2
ω ω
ϕ ϕθ θ θ θ
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ
ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ
= + − =
   − − − −             = − + + − +       
       −         
− − + +
=
!!" !!" !!!" !!!" !!!"
$$ $
$$ $ $
$$
$$ $ $$ $
( )
( )
o
o
2
G x
2 2
G y
t
cos
2 a
t t
s cos s sin cos sin a
2 2
00
ϕ ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
 
       − + − =   
   
  
  
$$ $ $$ $
 (43) 
 
 
Momento dinâmico em G. 
[ ] { }20
2 2 2
0 0 0 0
. 0 0 . 0 0
0 0
xx
G G yy
zz zz
I
H I I
s s s
I I
ω
ϕ ϕ
     
    = = =    
     − −     
!!"
$ $
 
{ }2 2 0
00 2
0
. 0 //G G
zz
H H OZ OZ
s s
I ϕ
 
  = Τ =     − 
"!!"
$
 
0 0
0
0G G
zz
K H
s s
I ϕ
•   = =  
 − 
!!" !!"
$$
 (44)
 
 
 
Forças exteriores 
 
A figura 6 mostra o diagrama de corpo livre da placa, onde estão representadas as 
forças exteriores aplicadas. Note-se que, na ausência de atrito, RAx = 0 . 
 
θ
θ
− 
 = + + = − + 
 
 
!!!!" !!" !!" "
0
cos
sin
0
B
ext
A B AY B
S
R
F R R mg R R mg
 (45) 
122 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
s
%
θ
ϕ
•
•
B
•
A
G
O
mg
X
Y
X2
Y2 RAy
RB
 
 
Figura 6 - Diagrama de corpo livre: forças exteriores aplicadas. 
 
Momentos exteriores em G: 
ϕ ϕ θ
ϕ ϕ θ
= × + × =
− −       
       × + − × − =       
       
       
!!!!!" !!!" !!" !!!" !!"
0
ext
G A B
S
B
Ay B
M GA R GB R
t cos 0 t cos R cos
1 1
t sin R t sin R sin
2 2
0 0 0 0
 
ϕ ϕ θ ϕ θ
 
 =  
 − − − 
!!!!!"
0
ext
G
S
Ay B B
0
1
M 0
2
R tcos R tcos sin R t sin cos
 (45) 
Retomando as equações de Equilíbrio Dinâmico do corpo, 
=
!!!!" !!"
ext
GF Ma e =
!!!!" !!"
ext
GGM K 
pode-se escrever a equação de movimento do sistema e determinar as forças de ligação: 
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
θ
θ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
=
 − − + + 
−   
   − + = − + −   
   
   
  
!!!!" "
$$ $ $$ $
$$ $ $$ $
•
ext
0 O
2 2
B
2 2
AY B
F Q
s s
t t
s sin s cos sin cos
2 2R cos
t t
R R sin mg m s cos s sin cos sin
2 2
0 0 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 123 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
ϕ ϕ θ ϕ θ Ι ϕ
   
   = ⇒ =   
   − − − −  
!!!!!" "
$$
ext
G G
0 0
Ay B B zz
0 0
1
M K 0 0
s s 2
R tcos R tcos sin R t sin cos
 
isto é, 
( )
θ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
θ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ θ ϕ θ Ι ϕ
 − = − − + + 
 
 − + = − + − 
 
− − + = −
$$ $ $$ $
$$ $ $$ $
$$
2 2
B
2 2
AY B
Ay B zz
t t
R cos m s sin s cos sin cos
2 2
t t
R R sin mg m s cos s sin cos sin
2 2
R tcos R t cos sin sin cos 2
(46) 
 
As expressões (46) representam um sistema de equações, cuja resolução permitirá 
determinar as equações que definem RAy, RB e a equação de movimento do sistema 
mecânico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
124 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.4 Mecanismo manivela – biela – êmbolo 
 
O sistema biela, manivela, êmbolo, representado na figura 7, é composto por três 
corpos: 
Corpo 1 - 
a manivela, de massa m1 e comprimento R, 
animada de movimento de rotação em 
torno do ponto O fixo, com velocidade 
angular θ$ constante e submetida à acção 
de um momento resistente MR; 
Corpo 2 - 
a biela, de massa m2 e comprimento L, 
articula no ponto A com a manivela e no 
ponto B com o êmbolo; 
Corpo 3 – 
o êmbolo, de massa m3, animado de 
movimento de translação rectilínea 
segundo a direcção OY, e submetida à 
acção da força motora FM. 
Suponha conhecidas as matrizes de 
inércia dos três corpos em relação a eixos 
principais centrais de inércia. 
O movimento do sistema inicia-se na 
posição θθθθ = 0, com velocidade angular 
constante srad72.1040 =θ$ (1000 rpm). 
As características do sistema são 
apresentadas na tabela 1. 
Figura 7 – 
Geometria do sistema manivela, biela, êmbolo. 
 
X
B
Y
O
G1 
A 
G2 
1
2 
3
ϕϕϕϕ 
θθθθ 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 125 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Parâmetro Unidade Corpo 1 Corpo 2 Corpo 3 
comprimento m 035.0ROA == 090.0LAB == / 
posição do 
centro de massa m 015.0aOG1 == 045.0bAG2 == / 
massa kg m1 = 1.00 m2 = 0.75 m3 = 0.50 
momento de inércia Kg m2 3E225.1I1 zz 11 −= 3E075.6I
2
zz 22
−= / 
 
Tabela 1 – Características geométricas e cinemáticas do sistema manivela, biela, 
êmbolo. 
 
a) Geometria do sistema manivela – biela - êmbolo 
 
A análise do triângulo OAB permite afirmar que ϕθ sinLcosR = . Desenvolvendo 
esta expressão obtém-se 
 





=
=
θϕ
θϕ
cos
L
Rsinarc
cos
L
Rsin
 (47) 
 
b) Velocidade e aceleração angulares dos corpos 1, 2 e 3 
 
O corpo 1 parte do repouso com velocidade angular constante ωωωω0 rad/s e aceleração 
angular nula: 010 ωθω == $ 
A velocidade angular do corpo 2 pode ser obtida a partir da derivação em ordem ao 
tempo da equação (47), 
 
ϕ
θθϕ
θθϕϕ
cos
ins
L
R
ins
L
Rcos
$$
$$
−=
−=
 (48) 
 
 
 
 
126 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A aceleração angular do corpo 2 pode ser obtida a partir da derivação em ordem ao 
tempo da equação (48), 
θθϕϕϕϕ cos
L
Rsincos 22 $$$$ −=− 





 +−= ϕϕθθ
ϕ
ϕ sincos
L
R
cos
1 22 $$$$ (49) 
O corpo 3 tem movimento de translação rectilínea, pelo que as suas velocidade e 
aceleração angulares são nulas. 
A figura 8 mostra a variação de ϕϕϕ $$$ e, em função do ângulo de rotação θθθθ: O valor 
de θ$ está também representado. 
 
 
 
Figura 8 – Variação de ϕϕϕ $$$ e, em função do ângulo de rotação θθθθ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade e Aceleração Angulares do Corpo 2
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30
teta (rad/2*pi)
º, rad/s 
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
rad/s2
f (º) df/dt d2f/dt2
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 127 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
c) Trajectória do centro de massa de cada corpo 
 
A posição do centro de massa de cada 
um dos corpos que compõem o mecanismo 
é definida pelos seguintes vectores: 
 










=
0
sina
cosa
OG s1 θ
θ
, 
 









−
+










=
0
cosb
sinb
0
sinR
cosR
OG s2 ϕ
ϕ
θ
θ
, 
 










+=
0
cosLsinR
0
OG s3 ϕθ . 
 
A figura 9 representa a trajectória do 
centro de massa de cada corpo, dando uma 
ideia do movimento do mecanismo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Trajectória do centro de massa 
de cada corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
Trajectórias
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
OG1 OG2 OG3 OA BM
128 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
d) Equilíbrio dinâmico do corpo 1 
 
Torsor das forças exteriores do corpo 1 
 
O torsor das forças exteriores ao 
corpo 1 é definido por 
( )1G11FE 1M;F=τ . 
A figura 10 mostra o sistema de forças 
exteriores que actuam sobre o corpo 1, as 
quais são definidas por: 
 










−+
+
=
0
gmRR
RR
F 1AyOy
AXOX
S
1 
Os momentos exteriores que actuam 
sobre o corpo 1 são definidos por 
 
RA1O1
S
1
G MRAGROGM 1 +×+×= 
isto é 
( )
( )










−
+










×










−
−
+










×










−
−
=
R
AY
AX
OY
OX
S
1
G
M
0
0
0
R
R
0
sinaR
cosaR
0
R
R
0
sina
cosa
M
1
θ
θ
θ
θ
 
 
Figura 10 – Diagrama de corpo livre do corpo 1 
Forças e momentos exteriores. 
 
O resultado dos momentos exteriores é 
[
( ) ( ) ] kMRsinaRRcosaR
RsinaRcosaM
RAXAY
OXOY
S
1
G1
−−−−
++−=
θθ
θθ
 
X
B
Y
O
G1 
A 
G2 
1
2 
3
ϕϕϕϕ 
θθθθ 
ROX
RAX 
ROY
RAY 
m1g 
MR 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 129 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Torsor da quantidade de aceleração do corpo 1 
 
O torsor da quantidade de aceleração do corpo 1 é definido por 





 •
= 1G
11
QA 1K;Qτ . 
A quantidade de movimento é igual a 









−
===
•
0
cosa
sina
mOGmvmQ 111SG1S
1
1
θθ
θθ
$
$
. 
A quantidade de aceleração da manivela, corpo 1, é igual a, 










−
−
===
••
0
sina
cosa
mvmamQ 2
2
1G1G1
S
1
11
θθ
θθ
$
$
 
O momento cinético é igual a 
[ ]
1S
1
zz
1
zz
1
yy
1
xx
10
1
G
1S
1
G
1111
11
11
11
I
0
0
0
0
I00
0I0
00I
IH










=






















==
θθ
ω
$$
 
Atendendo a que o vector momento cinético do corpo 1, 1G1H , só tem componentes 
segundo a direcção Z1, e atendendo a que os eixos Z e Z1 são paralelos entre si, verifica-se 
que 
 
1S
1
G
S
1
G 11 HH = . 
O momento dinâmico da manivela é igual a 
0
I
0
0
HK
1
zz
1
G
S
1
G
11
11
"
$$
=










==
•
θ
, 
já que a aceleração angular do corpo 1 é nula. 
130 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Figura 11 – Variação da quantidade 
de aceleração da manivela 
durante o período 
correspondente à primeira 
rotação completa do corpo 1. 
 
Verifica-se que a quantidade de 
aceleração tem duas componentes 
segundo as direcções OX e OY, as 
quais poderiam ser decompostasnuma componente tangencial numa 
componente normal à trajectória. 
 
O equilíbrio dinâmico do corpo 
1 pode ser obtido igualando o torsor 
das forças exteriores ao torsor da 
quantidade de aceleração, isto é, 
1
QA
1
FE ττ = . 
Da igualdade entre os dois torsores resulta que 1G
1
G
11
11
KMeQF ==
•
. Logo 










−
−
=










−+
+
0
sina
cosa
m
0
gmRR
RR
2
2
11AyOy
AXOX
θθ
θθ
$
$
, e 
( ) ( )( ) 0kMRsinaRRcosaRRsinaRcosa RAXAYOXOY
"
=−−−−++− θθθθ 
obtendo-se as seguintes três equações escalares: 
( ) ( ) 0MRcosaRRsinaRRcosaRsina)3
sinamgmRR)2
cosamRR)1
RAYAXOYOX
2
11AyOy
2
1AXOX
=−−+−−−
−=−+
−=+
θθθθ
θθ
θθ
$
$
 
 
 
Quantidade de Aceleração do Corpo 1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
OG1 OG2 OG3 OA Q*1 BM
Q*1xQ*1y
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 131 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
e) Equilíbrio dinâmico do corpo 2 
 
Torsor das forças exteriores do corpo 2 
 
O torsor das forças exteriores ao 
corpo 2 é definido por 
 
( )22 2 2FE GF ;Mτ =
!!" !!!!"
. 
A figura 12 mostra o sistema de forças 
exteriores que actuam sobre o corpo 2, as 
quais são definidas por. 
 
AX BX
2
AY BY 2
S
R R
F R R m g
0
− + 
 = − + − 
 
 
!!"
 
Os momentos exteriores que actuam 
sobre o corpo 2 são definidos por, 
 
B2A2
S
2
G RBGRAGM 2 ×+×= , 
isto é 
( )
( )










×










−
−−
+










−
−
×










−=
0
R
R
0
cosbL
sinbL
0
R
R
0
cosb
sinb
M
BY
BX
AY
AX
S
2
G 2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
. 
O resultado dos momentos exteriores é 
( ) ( )
2
2
G AY AX BY BX
S
M b sin R b cos R L b sin R L b cos R kϕ ϕ ϕ ϕ= − − − − − −  
!!!!" "
 
 
 
 
X
B 
Y 
O
G1 
A 
G2 
1
2 
3
ϕϕϕϕ 
θθθθ 
RBX
-RAY 
RBY
-RAX
m2g 
Figura 12 – Diagrama de corpo livre do 
corpo 2: Forças exteriores. 
132 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Torsor da quantidade de aceleração do corpo 2 
 
O torsor da quantidade de aceleração do corpo 2 é definido por 





 •
= 2G
22
QA 2K;Qτ . 
A quantidade de movimento da biela é igual a 




















−
−
+









−
===
•
0
sinb
cosb
0
cosR
sinR
mOGmvmQ 222SG2S
2
2
ϕϕ
ϕϕ
θθ
θθ
$
$
$
$
, 
e a quantidade de aceleração é igual a, 










−−
+−
+










−
−
===
••
0
cosbsinb
sinbcosb
m
0
sinR
cosR
mvmamQ 2
2
2
2
2
2G2G2
S
2
22
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
θθ
θθ
$$$
$$$
$
$
. 
O momento cinético do corpo 2 é igual a 
[ ]
2S
2
zz
2
zz
2
yy
2
xx
20
2
G
2S
2
G
2222
22
22
22
I
0
0
0
0
I00
0I0
00I
IH










=






















==
ϕϕ
ω
$$
. 
Atendendo a que o vector momento cinético do corpo 2, 2G 2H , só tem componentes 
segundo a direcção Z2, e atendendo a que os eixos Z e Z2 são paralelos entre si, verifica-se 
que 
2S
2
G
S
2
G 22 HH = . 
O momento dinâmico é igual a 










==
•
ϕ$$2 zz
2
G
S
2
G
22
22
I
0
0
HK 
A figura 13 mostra a variação da quantidade de aceleração do corpo 2 durante o 
período de tempo correspondente à primeira rotação completa do corpo 1. 
O equilíbrio dinâmico do corpo 2 pode ser obtido igualando o torsor das forças 
exteriores ao torsor da quantidade de aceleração, isto é, 2QA
2
FE ττ = . 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 133 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Figura 13 – 
Variação da quantidade de aceleração 
da biela durante o período 
correspondente à primeira rotação 
completa do corpo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da igualdade entre os dois torsores 
resulta que 
 
2
G
2
G
22
22
KMeQF ==
•
. 
Logo, 










−−
+−
+










−
−
=










−+−
+−
0
cosbsinb
sinbcosb
m
0
sinR
cosR
m
0
gmRR
RR
2
2
2
2
2
22BYAY
XAX
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
θθ
θθ
$$$
$$$
$
$B
 e 
( ) ( )
2 2
2
AY AX BY BX z zb sin R b cos R L b sin R L b cos R k I kϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − − − − − =  
" "
$$ 
obtendo-se as seguintes três equações escalares: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕθθ
ϕϕϕϕθθ
$$
$$$$
$$$$
2
zzBXBYAXAY
2
2
2
22BYAY
2
2
2
2XAX
22
IRcosbLRsinbLRcosbRsinb)6
cosbsinbmsinRmgmRR)5
sinbcosbmcosRmRR)4
=−−−−−−
−−+−=−+−
+−+−=+− B
 
Quantidade de Aceleração do Corpo 2
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
OG1 OG2 OG3 OA Q*2 BM
Q*2
134 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
f) Equilíbrio dinâmico do corpo 3 
 
Torsor das forças exteriores do corpo 3 
 
O torsor das forças exteriores ao 
corpo 3 é definido por 
 
( )3G33FE 3M;F=τ . 
A figura 14 mostra o sistema de forças 
exteriores que actuam sobre o corpo 3, as 
quais são definidas por, 
 










−++−
+−
=
0
gmFFR
NR
F 3MatBY
X
S
3
B
 
Os momentos exteriores que actuam 
sobre o corpo 3 são nulos porque todos as 
forças são concorrentes no ponto B, logo, 
 
0M3G3 = . 
 
Torsor da quantidade de aceleração do 
corpo 3 
 
O torsor da quantidade de aceleração 
do corpo 3 é definido por 
 





 •
= 3G
33
QA 3K;Qτ . 
A quantidade de movimento é igual a 










−===
•
0
sinLcosR
0
mOGmvmQ 333G3
S
3
3
ϕϕθθ $$ . 
X
B
Y
O
G1 
A 
G2 
1
2 
3
ϕϕϕϕ 
θθθθ 
-RBX N 
-RBY
Fat
m3g 
Fm
Figura 14 – Diagrama de corpo livre 
do corpo 3: Forças exteriores. 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 135 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A quantidade de aceleração do êmbolo é igual a, 










−−+










−===
••
0
cosLsinL
0
m
0
sinR
0
mvmamQ 23
2
3G3G3
S
3
33
ϕϕϕϕθθ $$$$ . 
O momento cinético do corpo 3, definido no seu centro de massa, é nulo, já que o 
corpo está animado de movimento de translação rectilínea, 0H
S
3
G3 = . 
O momento dinâmico da biela é igual a 0HK 3G
S
3
G 33 ==
•
. 
A figura 15 mostra a variação da quantidade de aceleração do corpo 2 durante o 
período de tempo correspondente à primeira rotação completa do corpo 1. O vector 
quantidade de aceleração está representado segundo a direcção OX (e não OY como 
acontece na realidade) de modo a poder ser visualizado. 
 
Figura 15 - Variação da quantidade de aceleração do êmbolo durante o período 
correspondente à primeira rotação completa do corpo 1. 
Quantidade de Aceleração do Corpo 3
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
-0.14 -0.12 -0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
OG1 OG2 OG3 OA Q*3 BM
Q*3y
136 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O equilíbrio dinâmico do corpo 3 pode ser obtido igualando o torsor das forças 
exteriores ao torsor da quantidade de aceleração, isto é, 3QA
3
FE ττ = . 
Da igualdade entre os dois torsores resulta que 0KMeQF 3G
3
G
33
33
===
•
. 
Logo, 










−−+










−=










−++−
+−
0
cosLsinL
0
m
0
sinR
0
m
0
gmFFR
NR
2
3
2
33MatBY
X
ϕϕϕϕθθ $$$$
B
, 
obtendo-se as seguintes duas equações escalares: 
( ) ( )ϕϕϕϕθθ cosLsinLmsinRmgmFFR)8
0NR)7
2
3
2
33MatBY
BX
$$$$ −−+−=−++−
=+−
 
 
A força de atrito entre o êmbolo e o pistão Fat, é directamente proporcional à força 
normal e ao coeficiente de atrito sendo definida pela seguinte expressão: 
 
G3y
at
G3y
v (R cos L sin )
F N N
v R cos L sin
θ θ ϕ ϕµ µ
θ θ ϕ ϕ
−= − = −
−
$ $
$ $g) Determinação da equação de movimento e das forças de ligação 
 
Sistema de equações de equilíbrio dinâmico 
 
O sistema de equações de equilíbrio dinâmico do mecanismo manivela, biela, êmbolo 
é formado por 8 expressões (ver página seguinte). A resolução do sistema de equações 
permite determinar a equação de movimento, as forças de ligação 
(ROX, ROY, N) ao exterior e as forças de ligação interiores entre os vários corpos (RAX, RAY, 
RBX, RBY). 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 137 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )ϕϕϕϕθθ
ϕϕθθ
ϕϕθθµ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕθθ
ϕϕϕϕθθ
θθθθ
θθ
θθ
cosLsinLmsinRm
gmF
sinLcosR
)sinLcosR(NR)8
0NR)7
IRcosbLRsinbLRcosbRsinb)6
cosbsinbmsinRmgmRR)5
sinbcosbmcosRmRR)4
0MRcosaRRsinaRRcosaRsina)3
sinamgmRR)2
cosamRR)1
2
3
2
3
3MBY
BX
2
zzBXBYAXAY
2
2
2
22BYAY
2
2
2
2XAX
RAYAXOYOX
2
11AyOy
2
1AXOX
22
$$$$
$$
$$
$$
$$$$
$$$$
$
$
−−+−
=−+
−
−−−
=+−
=−−−−−−
−−+−=−+−
+−+−=+−
=−−+−−−
−=−+
−=+
B
 
 
O sistema de equações pode ser representado na seguinte forma: 
 
1 0 1 0 0 0 0 0 ROX Q*1X 
0 1 0 1 0 0 0 0 ROY Q*1Y + m1g 
a sinθθθθ -a cosθθθθ -(R-a) sinθθθθ (R-a) cosθθθθ 0 0 0 0 RAX MR 
0 0 - 1 0 1 0 0 0 x RAY = Q*2x 
0 0 0 -1 0 1 0 0 RBX Q*2y + m2g 
0 0 -b cosθθθθ -b sinθθθθ -(L-b) cosθθθθ -(L-b) sinθθθθ 0 0 RBY KG2 
0 0 0 0 -1 0 1 0 N 0 
0 0 0 0 0 -1 -µ∗µ∗µ∗µ∗ 1 FM Q*3Y + m3g 
 
(R cos L sin )
R cos L sin
θ θ ϕ ϕµ µ
θ θ ϕ ϕ
∗ −=
−
$ $
$ $
 
 
 
 
 
 
 
138 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.5 Mecanismo de accionamento do limador 
 
O mecanismo de accionamento do limador representado na figura 16, é composto por 
três corpos: 
Corpo 1 - a manivela, de massa 
m1 e comprimento 2r, animada de 
movimento de rotação em torno do 
ponto O fixo, com velocidade angular 
θ$ e aceleração angular θ$$ , e 
submetida à acção de um momento 
motor Mm; 
Corpo 2 - um cursor, de massa 
m2, articulado no ponto B com a 
manivela, e no interior do qual pode 
deslizar o corpo 3; 
Corpo 3 – um braço, de massa m3 
e comprimento 2%%%%, animado de 
movimento de rotação em torno do 
ponto A, e submetido à acção da 
força resistente FR. 
Suponha conhecidas as 
matrizes de inércia dos três corpos 
em relação a eixos principais centrais de inércia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2 
3
Y 
X 
O 
A 
B 
G3 
G1 
θθθθ 
ϕϕϕϕ a 
C 
Mm 
FR 
3 3
OB 2r
AG G C
AB s
=
= =
=
% 
Figura 16 – Geometria do sistema de 
accionamento do limador. 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 139 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
a) Geometria do mecanismo de accionamento do limador 
 
A análise do triângulo OAB permite afirmar que 
 
aoscscosr2
sinsinsr2
=+
=
ϕθ
ϕθ
. (50) 
Desenvolvendo estas expressões determina-se os valores de s e ϕϕϕϕ: 







−=
=







=+
=
θ
ϕ
ϕθ
ϕ
θ
ϕ
ϕ
θθ
ϕ
θ
cosr2a
sin
oscinsr2
sin
insr2s
aosc
sin
insr2cosr2
sin
insr2s
 







−
=
=







−=
=
θ
θϕ
ϕ
θ
θ
θϕ
ϕ
θ
cosr2a
insr2tg
sin
insr2s
insr2
cosr2agcot
sin
insr2s
 
isto é, 














−
=
=
θ
θϕ
ϕ
θ
cosr2a
insr2arctg
sin
insr2s
 (51) 
 
b) Variação de s e ϕϕϕϕ com o tempo 
 
As velocidades angulares dos corpos 2 e 3 são iguais, e podem ser obtidas a partir da 
derivação em ordem ao tempo das expressões (50) 
 
2r cos s sin s cos 0
2r sin s cos s sin 0
θ θ ϕ ϕ ϕ
θ θ ϕ ϕ ϕ
− − =
− + − =
$ $ $
$ $ $
; (52) 
140 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
multiplicando a primeira expressão da equação (52) por cosϕϕϕϕ e a segunda por senϕ ϕ ϕ ϕ , 
2
2
2r cos cos s sin cos s cos 0
2r sin sin s sin cos s sin 0
θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− − =
− + − =
$ $ $
$ $ $
, 
e somando-as, obtém-se que 
 
( )2r cos cos sin sin sθ θ ϕ θ ϕ ϕ− =$ $ 
( )ϕ θ θ ϕ θ ϕ= −$$ 2r cos cos sin sin
s
. (53) 
Multiplicando, agora, a primeira expressão da equação (52) por senϕϕϕϕ e a segunda por 
-cosϕϕϕϕ, 
 
2
2
2r cos sin s sin s sin cos 0
2r sin cos s cos s sin cos 0
θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− − =
− + =
$ $ $
$ $ $
, 
e somando-as, obtém-se a velocidade relativa do corpo 3 em relação a 2 (Vr3/2) 
 
( )2r cos sin sin cos sθ θ ϕ θ ϕ+ =$ $ 
( )s 2r cos sin sin cosθ θ ϕ θ ϕ= +$$ . (54) 
A aceleração angular dos corpos 2 e 3 pode ser obtida a partir da derivação em 
ordem ao tempo da expressão (53) 
( )
( )
s s 2r cos cos sin sin
2r sin cos cos sin cos sin sin cos
ϕ ϕ θ θ ϕ θ ϕ
θ θ θ ϕ θ θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕ
+ = − +
− − − −
$$$ $ $$
$ $ $ $ $
 
( ) ( )
( )
22r 2rcos cos sin sin sin cos cos sin
s s
2r s
cos sin sin cos
s s
ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ
= − + − − +
− − −
$$ $$$
$$ $ $
 (55) 
A aceleração relativa do corpo 3 em relação a 2 (ar3/2) é dada por 
( ) ( )
( )
θ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ
= + + − + +
−
$$ $$$
$ $
2s 2r cos sin sin cos 2r sin sin cos cos
2r cos cos sin sin
 (56) 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 141 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
c) Equilíbrio dinâmico do corpo 1 
 
O equilíbrio dinâmico do corpo 1 pode ser obtido igualando o torsor das forças 
exteriores ao torsor da quantidade de aceleração, isto é, 1QA
1
FE ττ = . 
 
Torsor das forças exteriores do corpo 
1 
 
O torsor das forças exteriores 
ao corpo 1 é definido por 
( )1O11FE M;F=τ . 
 
A figura 17 mostra o sistema de 
forças exteriores que actuam sobre o 
corpo 1, as quais são definidas por: 
 










++
+
=
0
gmRR
RR
F 1ByOy
BXOX
S
1 
Os momentos exteriores que 
actuam sobre o corpo 1 são definidos 
por 
1
O 1 1 B m
S
M OG m g OB R M= × + × +
!!!" !!!!" !!!" !!" !!!""
 
isto é 
1
O 1
S
BX
BY
m
r sin 0
M r cos m g
0 0
2 r sin R 0
2 r cos R 0
0 0 M
θ
θ
θ
θ
   
   = × +   
   
   
     
     × +     
     −     
!!!"
 
1 
2
3 
Y
XO
A
B 
G3 
G1 
θθθθ 
ϕϕϕϕ a 
C
Mm 
FR 
3 3AG G C
OB 2 r
= =
=
%
ROY 
ROX 
m1g 
RBY 
RBX 
Figura 17 – Diagrama de corpo livre do 
corpo 1: Forças e momentos 
exteriores. 
142 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O resultado dos momentos exteriores é 
[ ]1O 1 BX BY m
S
M r sin m g 2 r cos R 2 r sin R M kθ θ θ= − + −
!!!" "
 
 
 
Torsor da quantidade de aceleração do corpo 1 
 
O torsor da quantidade de aceleração do corpo 1 é definido por 





 •
= 1O
11
QA K;Qτ . 
O vector de posição do centro de massa do corpo 1 é definido por 










=
0
cosr
sinr
OG 1 θ
θ
. 
A quantidade de movimento é igual a 










−===
•
0
sinr
cosr
mOGmvmQ 111SG1S
1
1
θθ
θθ
$
$
. 
A quantidade de aceleração da manivela, corpo 1, é igual a, 
( )
( )










−−
−
===
••
0
cossinr
sincosr
mvmamQ 2
2
1G1G1
S
1
11
θθθθ
θθθθ
$$$
$$$
 
O momento cinético é igual a 
[ ]
1S
1
zz
1
zz
1
yy
1
xx
10
1
G
1S
1
G
1111
11
11
11
I
0
0
0
0
I00
0I0
00I
IH










−
=










−











==
θθ
ω
$$
 
Atendendo a que o vector momento cinético do corpo 1, 1G1H , só tem componentes 
segundo a direcção Z1, e atendendo a que os eixos Z e Z1 são paralelos entre si, verifica-se 
que 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 143 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
1S
1
G
S
1
G 11 HH = . 
O momento dinâmico do corpo 1 no centro de massa é igual a 










−
==
•
θ$$1 zz
1
G
S
1
G
11
11
I
0
0
HK . 
O momentodinâmico do corpo 1 no ponto O é igual a 
( )
( )










−−
−










+










−
=+=
•
0
cossinr
sincosr
mx
0
cosr
sinr
I
0
0
QxOGKK 2
2
1
1
zz
1
1
1
G
S
1
O
11
1
θθθθ
θθθθ
θ
θ
θ
$$$
$$$
$$
 
( )
( ) krmI
rmI
0
0
K 21
1
zz
2
1
1
zz
S
1
O 11
11
"$$
$$
θ
θ
+−=










+−
= 
Da igualdade entre os dois torsores resulta que = =
!!" !!" !!!" !!"•
1 1 1 1
O OF Q e M K . Logo 
( )
( )










−−
−
=










++
+
0
cossinr
sincosr
m
0
gmRR
RR
2
2
11ByOy
BXOX
θθθθ
θθθθ
$$$
$$$
 
[ ] ( ) krmIkMRsinr2Rcosr2gmsinr 211 zzmBYBX1 11
"$$θθθθ +−=−+− 
 
obtendo-se as seguintes três equações escalares: 
( )
( )
[ ] ( )θθθθ
θθθθ
θθθθ
$$
$$$
$$$
2
1
1
zzmBYBX1
2
11ByOy
2
1BXOX
rmIMRsinr2Rcosr2gmsinr)3
cossinrmgmRR)2
sincosrmRR)1
11
+−=−+−
−−−=++
−−=+
 
 
 
 
144 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
d) Equilíbrio dinâmico do corpo 2 
 
O equilíbrio dinâmico do corpo 
2 pode ser obtido igualando o torsor 
das forças exteriores ao torsor da 
quantidade de aceleração, isto é, 
2
QA
2
FE ττ = . 
 
Torsor das forças exteriores do corpo 
2 
 
O torsor das forças exteriores 
ao corpo 2 é definido por 
 
( )2G22FE 2M;F=τ . 
A figura 18 mostra o sistema de 
forças e momentos exteriores que 
actuam sobre o corpo 2, as quais são 
definidas por. 
 
 
BX at
2
BY at 2
S
R N cos F sin
F R N sin F cos m g
0
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− + − 
 = − + + + 
 
 
!!"
 
A força de atrito não é independente, dependendo da força normal, do coeficiente 
de atrito e da velocidade relativa entre os corpos 2 e 3: 
s
sNF
v
v
NF atrito
B
B
atrito
2
3
2
3
$
$
µµ −=⇔−= 
Os momentos exteriores que actuam sobre o corpo 2 são definidos por, 
kMM 32
S
2
G 2
"
−= , 
Figura 18 – Diagrama de corpo livre do 
corpo 2: Forças e momentos 
exteriores. 
1
2 
3
Y
X O
A
B
G3 
G1
θθθθ 
ϕϕϕϕ a 
C 
Mm 
3 3AG G C
OB 2r
= =
=
%
N 
Fatrito 
m2g 
-RBY 
-RBX 
M32 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 145 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Torsor da quantidade de aceleração do corpo 2 
 
O torsor da quantidade de aceleração do corpo 2 é definido por 




 •
= 2B
22
QA K;Qτ . 
O vector de posição do centro de massa do corpo 2 é definido por 










=
0
cosr2
sinr2
OG 2 θ
θ
. 
A quantidade de movimento é igual a 










−===
•
0
sinr2
cosr2
mOGmvmQ 222SG2S
2
2
θθ
θθ
$
$
. 
A quantidade de aceleração da manivela, corpo 2, é igual a, 
( )
( )










−−
−
===
••
0
cossinr2
sincosr2
mvmamQ 2
2
2G2G2
S
2
22
θθθθ
θθθθ
$$$
$$$
 
O momento cinético é igual a 
2 2
1 2 2 2
2
2 22 2
2
x x
2 2 2
G G 20 y y
S 22
z zz z S2
I 0 0 0 0
H I 0 I 0 0 0
I0 0 I
ω
ϕ ϕ
            = = =          
       
!!!" !!!!"
$ $
 
Atendendo a que o vector momento cinético do corpo 2, 2G 2H , só tem componentes 
segundo a direcção Z2, e atendendo a que os eixos Z e Z2 são paralelos entre si, verifica-se 
que 
2S
2
G
S
2
G 22 HH = . 
O momento dinâmico do corpo 2 no centro de massa é igual a 










==
•
ϕ$$2 zz
2
G
S
2
G
22
22
I
0
0
HK . 
146 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Da igualdade entre os dois torsores resulta que 
2
G
2
G
22
22
KMeQF ==
•
. 
Logo, 
( )
( )










−−
−
=










+++−
−+−
0
cossinr2
sincosr2
m
0
gmcosFsinNR
sinFcosNR
2
2
22atBY
atBX
θθθθ
θθθθ
ϕϕ
ϕϕ
$$$
$$$
 
kIkM 2 zz32 22
"
$$
"
ϕ=− 
obtendo-se as seguintes três equações escalares: 
( )
( )
θ
θθθθϕϕ
θθθθϕϕ
$$
$$$
$$$
2
zz32
2
12atBY
2
1atBX
22
IM)6
cossinr2mgmcosFsinNR)5
sincosr2msinFcosNR)4
=−
−−−=+++−
−−=−+−
 
 
 
e) Equilíbrio dinâmico do corpo 3 
 
O equilíbrio dinâmico do corpo 3 pode ser obtido igualando o torsor das forças 
exteriores ao torsor da quantidade de aceleração, isto é, 3QA
3
FE ττ = . 
 
Torsor das forças exteriores do corpo 3 
 
O torsor das forças exteriores ao corpo 3 é definido por ( )3 3 3FE AF ;Mτ = !!" !!!" . 
A figura 19 mostra o sistema de forças exteriores que actuam sobre o corpo 3, as 
quais são definidas por, 










+−−
−+−
=
0
gmcosFsinNR
FsinFcosNR
F 3atAY
RatAX
S
3 ϕϕ
ϕϕ
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 147 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
Figura 19 – Diagrama de corpo livre do corpo 3: Forças e momentos exteriores. 
 
Os momentos exteriores que actuam sobre o corpo 3 são definidos por 
( )= × + × − + × +
!!!" !!!!" !!!" !" !!!" !!" !!!""3
3 3 23A R
S
M AG m g AB N AC F M 
isto é 
3
A 3
S
R
23
sin 0 s sin N cos
M cos m g s cos N sin
0 0 0 0
2 sin F 0
2 cos 0 0
0 0 M
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
−       
       = − × + − × − +       
       
       
−     
     − × +     
     
     
%!!!"
%
%
%
 
1
2
3
Y
XO
A
B
G3 
G1
θθθθ 
ϕϕϕϕ a 
C
Mm 
3 3AG G C
OB 2 r
= =
=
%
 
-N 
-Fatrito 
m3g 
RAY 
RAX 
M23 
FR 
148 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O resultado dos momentos exteriores é 
[ ] kMFcos2NsgmsinM 23R3
S
3
A +−−= ϕϕ %% 
 
Torsor da quantidade de aceleração do corpo 3 
 
O torsor da quantidade de aceleração do corpo 3 é definido por 3 3 3QA AQ ;Kτ
•
=
 
  
 
!!!" !!!"
. 
O vector de posição do centro de massa do corpo 3 é definido por 










−=
0
cos
sin
AG 3 ϕ
ϕ
%
%
. 
A quantidade de movimento é igual a 










===
•
0
sin
cos
mAGmvmQ 333SG3S
3
3
ϕϕ
ϕϕ
$%
$%
. 
A quantidade de aceleração da manivela, corpo 3, é igual a, 
( )
( )










+
−
===
••
0
cossin
sincos
mvmamQ 2
2
3G3G3
S
3
33
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
$$$%
$$$%
 
O momento cinético no centro de massa é igual a 
[ ]
3S
3
zz
3
zz
3
yy
3
xx
30
3
G
3S
3
G
3333
33
33
33
I
0
0
0
0
I00
0I0
00I
IH










=






















==
ϕϕ
ω
$$
 
Atendendo a que o vector momento cinético do corpo 3, 3G 3H , só tem componentes 
segundo a direcção Z3, e atendendo a que os eixos Z e Z3 são paralelos entre si, verifica-se 
que 
3S
3
G
S
3
G 33 HH = . 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 149 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O momento dinâmico do corpo 3 no centro de massa é igual a 










==
•
ϕ$$3 zz
3
G
S
3
G
33
33
I
0
0
HK . 
O momento dinâmico do corpo 3 no ponto A é igual a 
( )
( )
ϕ ϕ ϕ ϕϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
 −          = + = + − +     
     
     
$$ $%%!!" !!!" !!!"!!!!"
$$ $% %
$$
3
3 3
2
•
3 3 3 2
A G 3 3
S
3
z z
cos sin0 sin
K K AG x Q 0 cos xm sin cos
I 0 0
 
( )
( )ϕ
ϕ
 
  = = + 
 +  
!!" "
$$%
$$%
3 3
3 3
3 3 2
A z z 3
S
3 2
z z 3
0
K 0 I m k
I m
 
Da igualdade entre os dois torsores resulta que 3 3 3 3A AF Q e M K
•
= =
!!" !!!" !!!" !!!"
. 
Logo, 
( )
( )










+
−
=










+−−
−+−
0
cossin
sincos
m
0
gmcosFsinNR
FsinFcosNR
2
2
33atAY
RatAX
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
$$$%
$$$%
 
[ ] ( ) kmIkMFcos2Nsgmsin 233 zz23R3 33
"
$$%%% ϕϕϕ +=+−− 
obtendo-se as seguintes três equações escalares: 
( )
( )
[ ] ( )ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
$$%%%
$$$%
$$$%
2
3
3
zz23R3
2
33atAY
2
3RatAX
mIMFcos2Nsgmsin)9
cossinmgmcosFsinNR)8
sincosmFsinFcosNR)7
33
+=+−−
+=+−−
−=−+−
 
 
 
 
 
 
 
150 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas VectoriaisDisciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
f) Equação de movimento e forças e momentos de ligação 
 
O sistema de equações de equilíbrio dinâmico do mecanismo inferior do limador é 
formado por 9 expressões. A resolução do sistema de equações permite determinar a 
equação de movimento, as forças de ligação (ROX, ROY, RAX, RAY) ao exterior e as forças e 
momentos de ligação interiores entre os vários corpos (RBX, RBY, N, M23) e também 
determinar a força de atrito. 
 
( )
( )
[ ] ( )
( )
( )
1 1
2
OX BX 1
2
Oy By 1 1
1 2
1 BX BY m z z 1
2
BX at 1
2
BY at 2 1
1) R R m r cos sin
2) R R m g m r sin cos
3) r sin m g 2r cos R 2r sin R M I m r
4) R N cos F sin m 2r cos sin
5) R N sin F cos m g m 2r sin cos
6
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
ϕ ϕ θ θ θ θ
ϕ ϕ θ θ θ θ
+ = − −
+ + = − − −
− + − = − +
− + − = − −
− + + + = − − −
$$ $
$$ $
$$
$$ $
$$ $
( )
( )
[ ] ( )
2 2
3 3
2
32 z z
2
AX at R 3
2
AY at 3 3
3 2
3 R 23 z z 3
) M I
7) R N cos F sin F m cos sin
8) R N sin F cos m g m sin cos
9) sin m g s N 2 cos F M I m
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
− =
− + − = −
− − + = +
− − + = +
$$
$$ $%
$$ $%
$$% % %
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 151 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
7 MECANISMO ESPACIAL 
 
O mecanismo tridimensional representado na figura 20 é constituído por: 
 
Corpo 1 - um prato de massa m1 e raio R, roda em torno do eixo vertical Z0 com 
velocidade angular θ$ e aceleração angular θ$$ , submetida à acção do momento 
motor M1; 
Corpo 2 - um braço em forma de T, de massa m2, que roda em torno do eixo horizontal 
Y1 com velocidade angular ϕ$ e aceleração angular ϕ$$ , submetido à acção do 
momento motor M2. 
O 
C 
D 
d 
R 
d 
G2 X1 
Y1 ≡≡≡≡ Y2 
X2 
Z0 ≡≡≡≡ Z1 
a 
a 
b A 
B 
θθθ $$$,, 
ϕϕϕ $$$ ,, 
%=2OG 
O 
G1 
M2 
1
2
M1 
X1 
Z2 
Figura 20 – 
Mecanismo espacial. 
152 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O corpo 1 está ligado ao exterior através dos apoios A e B; o apoio A não absorve 
esforços axiais. O corpo 2 está ligado ao corpo 1 através dos apoios C e D; o apoio C não 
absorve esforços axiais. 
Considere todas as ligações perfeitas, e suponha conhecidas as matrizes de inércia 
dos dois corpos em relação a eixos principais centrais de inércia. 
 
 
a) Equilíbrio dinâmico do corpo 1 
 
O equilíbrio dinâmico do corpo 1 pode ser obtido igualando o torsor das forças 
exteriores ao torsor da quantidade de aceleração, isto é, 1QA
1
FE ττ = . 
 
Torsor das forças exteriores do corpo 1 
 
O torsor das forças exteriores ao corpo 1 é definido por ( )1 1 1FE BF ; Mτ = !!" !!!" . 
A figura 21 mostra o sistema de forças exteriores que actuam sobre o corpo 1, as 
quais são definidas por: 
 










−++
++
+++
=
gmRRR
RRR
RRRR
F
1DZCZBZ
DYBYAY
DXCXBXAX
S
1
1
 
Os momentos das forças exteriores que actuam sobre o corpo 1, em relação ao ponto B, 
são definidos por 










+










−
×










+
+










×










+
−+










×










+
+










×










=
+×+×+×+×=
11
Dz
DY
DX
Cz
CX
AY
AX
S
1
B
111DCA
S
1
B
M
0
0
gm
0
0
ab
0
0
R
R
R
a2b
d
0
R
0
R
a2b
d
0
0
R
R
b
0
0
M
MgmBGRBDRBCRBAM
1
1
"
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 153 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O resultado dos momentos exteriores é 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 








=










+−−
++++
+−−+−
=
1
BZ
1
BY
1
BX
1DXCX
DXCXAX
DYDZCZAY
S
1
B
M
M
M
MRRd
Ra2bRa2bRb
Ra2bRRdRb
M
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 – Diagrama de corpo livre do corpo 1: Forças exteriores e de ligação, e 
momentos exteriores. 
O 
C 
D 
d
R
d
X1
Y1 ≡≡≡≡ Y2
Z0 ≡≡≡≡ Z1
a 
b A B 
O 
G1 
1
M1
X1RAX
RBX
RBZ 
RAY
RBY
m1 g 
RCX
RDX
RCZ 
RDZ 
RDY 
Y1
Z1 
, ,θ θ θ$ $$
Y1 
A 
O 
Z0≡≡≡≡Z1
X1
M1 
RDX 
B 
D 
C 
RDY 
RDZ 
RCZ 
RAX 
RBZ 
RBX 
RCX 
RAY 
RBY 
G1 m1g 
=
=
=
=
=
= %
OG a
G A a
AB b
OC d
OD d
OG
1
1
2
 
154 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Torsor da quantidade de aceleração do corpo 1 
 
O torsor da quantidade de aceleração do corpo 1 é definido por 





 •
= 1B
11
QA K;Qτ . 
O vector de posição do centro de massa do corpo 1 é definido por 










−
=
a
0
0
OG
1S
1 . 
A quantidade de movimento é igual a 
0OGxs
OGmOGmvmQ 110
1
1111SG1S
1
1
1
1
"
=










+===
•
•
ω . 
A quantidade de aceleração da manivela, corpo 1, é igual a, 
0Q
1S
1 "=
•
 
O momento cinético é igual a 
[ ]
1S
1
zz
1
zz
1
yy
1
xx
10
1
G
1S
1
G
1111
11
11
11
I
0
0
0
0
I00
0I0
00I
IH










=






















==
θθ
ω
$$
 
O momento dinâmico do corpo 1 no centro de massa é igual a 










=+










==
•
θ
ω
θ $$$$ 1 zz
1
G10
1
zz
1
G
S
1
G
11
1
11
1
1
1
I
0
0
Hx
I
0
0
HK . 
O momento dinâmico do corpo 1 no ponto O é igual a 
( )
0x
ba
0
0
I
0
0
QxBGKK
1
zz
1
1
1
G
S
1
B
11
1
"
$$ 








+−
+










=+=
•
θ
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 155 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
kI
I
0
0
K 1 zz
1
zz
S
1
B 11
11
"$$
$$
θ
θ
=










= 
 
Da igualdade entre os dois torsores resulta que 1B
1
B
11 KMeQF ==
•
. Logo 
 










=










−++
++
+++
0
0
0
gmRRR
RRR
RRRR
1DZCZBZ
DYBYAY
DXCXBXAX
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 








=










=










+−−
++++
+−−+−
θ$$1 zz
1
BZ
1
BY
1
BX
1DXCX
DXCXAX
DYDZCZAY
11
I
0
0
M
M
M
MRRd
Ra2bRa2bRb
Ra2bRRdRb
 
 
obtendo-se as seguintes seis equações escalares: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) θ$$1 zz1DXCX
DXCXAX
DYDZCZAY
1DZCZBZ
DYBYAY
DXCXBXAX
11
IMRRd)6
0Ra2bRa2bRb)5
0Ra2bRRdRb)4
0gmRRR)3
0RRR)2
0RRRR)1
=+−−
=++++
=+−−+−
=−++
=++
=+++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
156 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
b) Equilíbrio dinâmico do corpo 2 
 
O equilíbrio dinâmico do corpo 2 pode ser obtido igualando o torsor das forças 
exteriores ao torsor da quantidade de aceleração, isto é, 2QA
2
FE ττ = . 
 
Torsor das forças exteriores do corpo 2 
 
O torsor das forças exteriores ao corpo 2 é definido por ( )2D22FE M;F=τ . A figura 
22 mostra o sistema de forças e momentos exteriores que actuam sobre o corpo 2, as quais 
são definidas por. 
 










−−−
−
−−
=
gmRR
R
RR
F
2DZCZ
DY
DXCX
S
2
1
 
Os momentos das forças exteriores que actuam sobre o corpo 2, em relação ao ponto D, 
são definidos por 
( )










−
−−
=










−+










−
×










+










−
−
×










=
+×+−×=
CX
22
2CZ
S
2
D
2
2CZ
CX
S
2
D
222c
S
2
D
Rd2
Mgmcos
gmdRd2
M
0
M
0
gm
0
0
sin
d
cos
R
0
R
0
d2
0
M
MgmDGRDCM
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
%
%
%
"
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 157 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Torsor da quantidade de aceleração do corpo 2 
 
O torsor da quantidade de aceleração do corpo 2 é definidopor 




 •
= 2D
22
QA K;Qτ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 22 – Diagrama de corpo livre do corpo 2: Forças exteriores e de ligação, e momentos 
exteriores. 
O 
X2
Z0 ≡≡≡≡ Z1 
A 
B 
ϕϕϕ $$$ ,,
G1 
M2 
2 
X1
Z2 
C 
D 
d 
R 
d 
X1
Y1 ≡≡≡≡ Y2 
O 
-RCX 
-RDX 
-RCZ 
-RDZ 
-RDY 
Z1 
G2 
%=2OG
-m2g 
=
=
=
=
=
= %
OG a
G A a
AB b
OC d
OD d
OG
1
1
2
 
Y1 
A 
O
Z0 ≡≡≡≡ Z1
X1 
M2 
-RDX 
B 
D 
C 
-RDY
-RDZ
-RCZ 
-RCX
ϕ ϕ ϕ$ $$, , 
G1
m2g 
G2 
158 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O vector de posição do centro de massa do corpo 2 é definido por 










=
ϕ
ϕ
sin
0
cos
OG
1S
2
%
%
. 
A velocidade do ponto O é nula, porque o ponto é fixo (O ∈∈∈∈ Z0). Logo, a quantidade 
de movimento é igual a 









−
=






























+









−
=










+===
•
•
ϕϕ
ϕθ
ϕϕ
ϕ
ϕ
θϕϕ
ϕϕ
ω
cos
cos
sin
m
sin
0
cos
x0
0
cos
0
sin
m
OGxs
OGmOGmvmQ
22
210
1
2222SG2S
2
1
2
1
$%
$%
$%
%
%
$$%
$%
 
A quantidade de aceleração do corpo 2, é igual a, 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 








−
−
−+−
=
=






















−
−
+










−
−
+−
=





















−










+










−
−
+−
=










+===
•
•
••
ϕϕϕϕ
ϕϕθϕθ
ϕθϕϕϕϕ
ϕϕθ
ϕθ
ϕϕϕϕ
ϕϕθϕθ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕθ
ϕϕ
θϕϕϕϕ
ϕϕθϕθ
ϕϕϕϕ
ω
sincos
sin2cos
coscossin
mQ
0
sin
cos
sincos
sincos
cossin
m
cos
cos
sin
x0
0
sincos
sincos
cossin
m
vxs
v
mvmamQ
2
22
2
S
2
2
2
2
2
2
2
2
G10
1
G
2G2SG2
S
2
1
2
2
2
1
2
1
$$$%
$$%$$%
$%$$$%
$$%
$%
$$$%
$$%$$%
$$$%
$%
$%
$%
$$$$%
$$%$$%
$$$%
 
O momento cinético no centro de massa do corpo 2 é igual a 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
x x x x
2 2 2 2
G G 20 y y y y
S
2 2
z z z z
S2
I 0 0 I sinsin
H I 0 I 0 I
cos0 0 I I cos
θ ϕθ ϕ
ω ϕ ϕ
θ ϕ θ ϕ
            = = − = −                  
$$!!!!" !!!!"
$ $
$ $
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 159 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O momento cinético do corpo 2 está expresso em coordenadas do sistema de eixos 
S2, sendo necessário exprimi-lo em coordenadas do sistema de eixos S1 como todos os 
restantes vectores.,Assim, 
( )












+
−
−
=
=












−









 −
=





=
ϕθϕθ
ϕ
ϕϕθ
ϕθ
ϕ
ϕθ
ϕϕ
ϕϕ
22
z
22
x
2
y
2
z
2
x
S
2
G
2
zz
2
yy
2
xx
S
2
G12S
2
G
cosIsinI
I
cossinII
H
cosI
I
sinI
.
cos0sin
010
sin0cos
HTH
22
2
22
1
2
22
22
22
2
2
1
2
$$
$
$
$
$
$
. 
O momento dinâmico do corpo 2 no centro de massa é igual a 
( ) ( ) ( )
( )












−
−
+












−++
−
−−−+−
=












+==
•
•
0
cossinII
I
cossinI2cosIcossinI2sinI
I
sinIIcosIIcossinII
Hxs
H
HK
22
z
2
x
2
y
2
z
22
z
2
x
22
x
2
y
22
z
2
x
22
z
2
x
2
z
2
x
2
G10
1
2
G2
G
S
2
G
22
2
2222
2
222222
2
2
2
1
2
ϕϕθ
ϕθ
ϕϕϕθϕθϕϕϕθϕθ
ϕ
ϕϕθϕϕθϕϕθ
ω
$
$$
$$$$$$$$
$$
$$$$$$
. 
Isto é 
( ) ( ) ( )
( )












=












−++
−+−
−−−−+−
=
2
G
2
G
2
G
S
2
G
2
z
22
z
2
x
22
x
22
z
2
x
2
y
2
y
22
z
2
x
22
z
2
x
2
z
2
x
S
2
G
Z2
Y2
X2
1
2
2222
222
2222222
1
2
K
K
K
K
cossinI2cosIcossinI2sinI
cossinIII
IsinIIcosIIcossinII
K
ϕϕϕθϕθϕϕϕθϕθ
ϕϕθϕ
ϕθϕϕθϕϕθϕϕθ
$$$$$$$$
$$$
$$$$$$$$
 
 
160 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O momento dinâmico do corpo 2 no ponto D é igual a 
( )
( ) 








−
−
−+−










+












=+=
•
ϕϕϕϕ
ϕϕθϕθ
ϕθϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
sincos
sin2cos
coscossin
mx
sin
d
cos
K
K
K
QxDGKK
2
22
2
2
G
2
G
2
G
2
2
2
G
S
2
D
Z2
Y2
X2
2
1 $$$%
$$%$$%
$%$$$%
%
%
 












=
2
D
2
D
2
D
S
2
D
Z
Y
X
1 K
K
K
K 
Da igualdade entre os dois torsores resulta que 2D
2
D
22 KMeQF ==
•
. 
Logo, 
( )
( ) 








−
−
−+−
=










−−−
−
−−
ϕϕϕϕ
ϕϕθϕθ
ϕθϕϕϕϕ
sincos
sin2cos
coscossin
m
gmRR
R
RR
2
22
2
2DZCZ
DY
DXCX
$$$%
$$%$$%
$%$$$%
 












=










−
−−
2
D
2
D
2
D
CX
22
2CZ
Z
Y
X
K
K
K
Rd2
Mgmcos
gmdRd2
ϕ% 
obtendo-se as seguintes seis equações escalares: 
( )[ ]
( )
( )
2
DCX
2
D22
2
D2CZ
2
22DZCZ
2DY
22
2DXCX
Z
Y
X
KRd2)12
KMgmcos)11
KgmdRd2)10
sincosmgmRR)9
sin2cosmR)8
coscossinmRR)7
=
=−
=−−
−=−−−
−=−
−+−=−−
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕθϕθ
ϕθϕϕϕϕ
%
$$$%
$$%$$%
$%$$$%
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 161 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
c) Equações de movimento e forças e de ligação 
 
O sistema de equações de equilíbrio dinâmico do mecanismo espacial é formado por 
12 expressões. A resolução do sistema de equações permite determinar as equações de 
movimento dos sólidos 1 e 2, as forças de ligação ao exterior (RAX, RAY, RBX, RBY, RBZ) e as 
forças de ligação interiores entre os corpos 1 e 2 (RCX, RCZ, RDX, RDY, RDZ). 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )[ ]
( )
( )
2
DCX
2
D22
2
D2CZ
2
22DZCZ
2DY
22
2DXCX
1
zz1DXCX
DXCXAX
DYDZCZAY
1DZCZBZ
DYBYAY
DXCXBXAX
Z
Y
X
11
KRd2)12
KMgmcos)11
KgmdRd2)10
sincosmgmRR)9
sin2cosmR)8
coscossinmRR)7
IMRRd)6
0Ra2bRa2bRb)5
0Ra2bRRdRb)4
0gmRRR)3
0RRR)2
0RRRR)1
=
=−
=−−
−=−−−
−=−
−+−=−−
=+−−
=++++
=+−−+−
=−++
=++
=+++
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕθϕθ
ϕθϕϕϕϕ
θ
%
$$$%
$$%$$%
$%$$$%
$$
 
 
 
 
 
 
 
162 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 163 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
8 PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
 
Problema TVD1 
 
 
O mecanismo representado na figura 
é constituído por: 
Corpo 1, um disco de massa m1 e de raio R, 
que roda em torno do ponto O fixo, com 
velocidade angular θ$ e aceleração angular 
θ$$ , accionado pelo momento motor Mm, e 
estando articulado com uma barra no ponto 
A; 
Corpo 2, uma barra de massa e inércia 
desprezáveis, de comprimento L, articulada 
com um cursor no ponto B; 
Corpo 3, um cursor de massa m3, que desliza 
ao longo de uma guia vertical, e está ligado 
ao exterior por uma mola de rigidez k. 
No instante inicial, o ponto A está na 
posição mais baixa (� = 0) e a deformação da 
mola é nula. 
Suponha conhecida a matriz de inércia do corpo 1 em relação a eixos principais 
centrais de inércia, e que todas as ligações são perfeitas. 
Aplicando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica, determine: 
a) As forças de ligação entre o disco e a barra; 
b) As reacções no ponto O; 
c) As forças de ligação entre o cursor e a guia vertical; 
d) A equação diferencial de movimento do mecanismo; 
e) O momento motor necessário para garantir a velocidade angular constante do disco. 
LAB
rOA
=
=
 
k 
Y 
X
1 
2
3 B 
A
r 
O 
θ 
ϕ 
Mm 
164 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TVD2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O mecanismo representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 – Um braço de massa m1, que roda em torno do ponto O fixo com velocidade 
angular θ$ constante, accionado pelo momento motor Mm; 
Corpo 2 – Um outro braçode massa m2, articulado no ponto A com o corpo 1 e que 
desliza no interior do corpo 3, estando submetido à acção de uma mola de 
rigidez k; considere que para � = 0 a deformação inicial da mola é nula; 
Corpo 3 – Uma guia de massa m3, ligada ao exterior no ponto B por uma articulação fixa: 
Suponha conhecidas as matrizes de inércia dos três corpos em relação a eixos 
principais centrais de inércia. 
Considere a existência de atrito entre os corpos 2 e 3, sendo � o correspondente 
coeficiente de atrito. As restantes ligações são perfeitas. 
Aplicando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica, determine: 
a) As forças de ligação ao exterior e entre os vários corpos; 
b) A equação de movimento do sistema. 
ϕ 
C K
X 
3 
a
b
2
m M 
1
θ 
A 
R 
Y 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 165 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TVD3 
 
.bEB;ROE;2GBAG 22 ====
% 
 
 
O mecanismo representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 – Um braço de suporte, com massa e inércia desprezáveis, que roda em torno do 
eixo X1 com velocidade angular θ$ e aceleração angular θ$$ , accionado pelo 
momento motor M1; 
Corpo 2 – Um prisma quadrangular de massa m2 e comprimento �, que pode rodar em 
relação ao corpo 1 com velocidade angular ϕ$ e aceleração angular ϕ$$ , 
accionado pelo momento motor M2; 
Suponha conhecida a matriz de inércia do corpo 2 em relação a eixos principais 
centrais de inércia. 
Todas as ligações são perfeitas e os apoios B e D não absorvem esforços axiais. 
Aplicando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica, determine: 
a) As forças de ligação nos apoios A e B; 
b) O torsor das forças de ligação ao exterior no ponto O. 
z0 O
y0 
z1’≡ z2
 
y1≡y1’ 
B 
ϕ 
θ
M2 A
C 
D 
z0 
y0 
z1 
O 
θ 
θ 
E 
B 
G2 
A 
b 
x1
R 
G2 
ϕ
y1
y2
x1
x2
y1 
y2 M2 
M1 
 
x1≡ x0 
166 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TVD4 
 
 
 
O mecanismo representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 – Um braço de massa m1, que roda em torno do ponto eixo Z com velocidade 
angular θ$ e aceleração angular θ$$ , accionado pelo momento motor M1; 
Corpo 2 – Um cursor e um veio, de massa e inércia desprezáveis, que transladam 
relativamente ao corpo 1, e estão submetidos à acção de uma mola de rigidez 
k; 
Corpo 3 – Um disco de massa m3, que roda relativamente ao corpo 2 com velocidade 
angular ϕ$ e aceleração angular ϕ$$ , accionado pelo momento motor M2; 
A mola não apresenta deformação quando r(t) = a. 
Suponha conhecidas as matrizes de inércia dos corpos 1 e 3 em relação a eixos 
principais centrais de inércia. Todas as ligações são perfeitas. 
Aplicando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica, determine: 
a) O torsor das forças de ligação do sistema ao exterior no ponto O; 
b) O torsor das forças de ligação do corpo 3 ao corpo 2 no ponto G2. 
z1 
x1 
y1 
O 
r(t) 
a 
G1
G2 
G3 
b 
x1 
M1, θ(t) 
M2,ϕ(t) 
1 3 2 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 167 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TVD5 
 
( )1 3OG OA X t AG 2= = = %% 
O mecanismo representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 - Um braço de massa m1, que roda em torno do eixo vertical Z0 ≡≡≡≡ Z1 com 
velocidade angular constante θ$ , sob a acção do momento motor M1; 
Corpo 2 - Um garfo de massa desprezável, que translada relativamente ao corpo 1 segundo 
a direcção X1; 
Corpo 3 - Um braço em forma de T, de massa m3, que roda em torno do eixo Y2 com 
velocidade angular ϕ$ e aceleração angular ϕ$$ , sob a acção do momento motor 
M2. 
Suponha conhecidas as matrizes de inércia dos corpos 1 e 3, em relação a eixos 
principais centrais de inércia. Considere todas as ligações perfeitas. 
Aplicando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica, determine em S1: 
a) Torsor das Quantidades de Aceleração do corpo 3 no ponto A; 
b) Torsor das forças e momentos de ligação entre os corpos 2 e 3 no ponto A; 
c) Torsor das Quantidades de Aceleração do mecanismo no ponto O; 
d) Torsor das forças e momentos de ligação do sistema ao exterior, no ponto O. 
1 2
3
G1 G2 G3 
ZO 
O A 
Z2
X1 ≡≡≡≡ X2
Z3 
Z1 
X3
X(t)
K 
M3
M1 
XO 
G1 G2
A K G3 
X1
Y1 Y2 Y3 
M1 
O 
θ(θ(θ(θ(t)))) 
ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(t)))) 
θ(θ(θ(θ(t)))) 
168 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TVD6 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
Corpo 1: um prato de massa m1, que roda em torno do eixo vertical Z0 (braço OC fixo), 
com velocidade angular θ$ e aceleração angular θ$$ , accionados pelo Momento 
Motor M conhecido; 
Corpo 2: um cursor de massa m2, que roda e translada ao longo do braço fixo OC, estando 
ligado ao ponto C por uma mola de rigidez K; 
Corpo 3: um braço de massa m3, articulado em A com o corpo 2 e sendo o ponto B 
obrigado a transladar segundo a direcção OY1, e que roda em torno do eixo X1 
com velocidade angular ϕ$ e aceleração angular ϕ$$ . 
Suponha que todas as ligações são perfeitas. Quando ϕϕϕϕ = 0, a deformação da mola é nula. 
Considere a massa e a inércia dos três corpos, admitindo conhecidas as suas matrizes de 
inércia em relação a eixos principais centrais de inércia ( )III 3Z3y 33 == . 
a) Determine o torsor das quantidades de aceleração de cada corpo no respectivo centro 
de massa; 
b) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine o torsor das forças de ligação dos 
corpos 2 e 3 ao corpo 1, usando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica; 
c) Represente o Diagrama de Corpo Livre do corpo 3 e determine a lei de variação do 
parâmetro � em ordem ao tempo, usando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica. 
 
 1 
 2 
 3
O
A 
B 
G3 
X1 
Y1 
Z0 ≡ Z1 
ϕ M 
θ 
k a2AB
aAG
GA
GO
3
2
1
=
=
≡
≡
C
Z2 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 169 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TVD7 
 
 
 
 
O sistema mecânico 
representado na figura é 
constituído por: 
Corpo 1: um braço de secção 
recta quadrada e de massa m1, que 
roda em torno do eixo vertical z0 
com velocidade angular θ$ e 
aceleração angular θ$$ ��accionado 
pelo Momento Motor M1 conhecido; 
Corpo 2: Um cursor de massa m2, 
que translada ao longo do braço do corpo 1 com velocidade linear s$ e 
aceleração linear s$$ , e está ligado ao ponto A por uma mola de rigidez K; 
Corpo 3: um disco de massa m3 que roda em torno do eixo x3 com velocidade angular ϕ$ 
e aceleração angular ϕ$$ , accionado pelo momento Motor M3 conhecido; 
Suponha que todas as ligações são perfeitas, e que o apoio C não absorve esforços 
axiais. O comprimento não deformado da mola é a0 ====% . 
Considere a massa e a inércia dos três corpos, admitindo conhecidas as matrizes de 
inércia de cada corpo em relação a eixos principais centrais de inércia. Exprima todos os 
vectores no sistema S
2 (G2x2y2z2). 
a) Determine os torsores das Quantidades de Aceleração dos corpos 2 e 3 nos respectivos 
centros de massa; 
b) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine o torsor das Forças de Ligação do 
corpo 2 ao corpo 3 nos pontos B e C, usando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica; 
c) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine o torsor das Forças de Ligação do 
corpo 2 ao corpo 1 no ponto G2, usando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica. 
 
O
M1
x1
x2
x3
z2
G3
G2
B
C
M3
10 zz ≡
θθθ $$$,, ϕϕϕ $$$,,
2
A
1
3
α=constante
s,s,s $$$
aOG1 = sOG2 = a2OA = 
bGG 32 = cBG3 = cCG3 = 
170 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TVD8 
 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
Corpo 1: um braço em forma de “T” de massa m1, que roda em torno do eixo horizontal 
X0 com velocidadeangular constante θ$ , accionado pelo Momento Motor M1; 
Corpo 2: um disco de massa m2, que roda em torno do eixo Y1 com velocidade angular ϕ$ 
e aceleração angular ϕ$$ , accionado pelo Momento Motor M2, e translada 
segundo o mesmo eixo com velocidade e aceleração variáveis definidas pelo 
parâmetro r(t). 
A mola de rigidez K, não apresenta qualquer deformação quando r(t) = a. Suponha que 
todas as ligações são perfeitas, e que o apoio B não absorve esforços axiais. 
Considere a massa e a inércia dos dois corpos, admitindo conhecidas as matrizes de inércia 
de ambos os corpos em relação a sistemas de eixos principais centrais de inércia. 
Usando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica: 
a) Determine o torsor da quantidade de aceleração de cada corpo no respectivo centro de 
massa; 
b) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine o torsor das forças de ligação do 
corpo 2 ao corpo 1, no ponto G2, e a aceleração de G2 relativamente a 1, )t(r$$ ; 
c) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine as reacções nos apoios A e B e o 
momento motor M1. 
xo,x1 
zo 
z1 
yo 
y1,y2 
z2 
x2
M1 
M2
A
B
C
G1 
G2 
ϕ θ 
1 
2
)t(rCG
aCG
LAB
2
1
=
=
=
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 171 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TVD9 
 
O sistema mecânico representado na 
figura é constituído por: 
Corpo 1: um cilindro de massa m1, que 
roda em torno do eixo vertical Y0 ≡≡≡≡ Y1 
com velocidade angular constante θ$ , 
accionado pelo Momento Motor M1 
conhecido; 
Corpo 2: um cilindro hidráulico de 
massa m2, que roda em torno do eixo 
Z2 (paralelo a Z1) com velocidade 
angular constante ϕ$ , accionado pelo 
Momento Motor M2 conhecido; 
Corpo 3: um outro braço de massa m3, 
que translada em relação ao corpo 2 
segundo a direcção X2 com velocidade 
constante s$ , accionado pela Força 
Hidráulica F3 conhecida. 
 
Considere a massa e a inércia de todos os corpos, admitindo conhecidas as suas 
matrizes de inércia em relação a sistemas de eixos principais centrais de inércia. 
Suponha que todas as ligações são perfeitas. Usando os Teoremas Vectoriais da 
Dinâmica e representando todos os vectores no sistema S2 ≡≡≡≡ A, X2, Y2, Z2 : 
a) Determine o torsor da quantidade de aceleração de cada corpo no respectivo centro de 
massa; 
b) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine o torsor das forças de ligação do 
corpo 2 ao corpo 1 no ponto A. 
 
 
Z0 
h 
Z1
X1 
X0 
Z2
Y2 
Y0≡Y1 
h/2 
M2 
M1 
G1 
A 
G3
G2 
F3 
θθθθ
ϕ 
X2≡X3
B 
O 
%=
=
=
2
32
3
AG
sGG
tBG
172 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TVD10 
O sistema mecânico representado 
na figura é constituído por: 
Corpo 1: um braço de massa m1, 
que roda em torno do eixo 
vertical Z0 com velocidade 
angular constante θ$ , accionado 
pelo Momento Motor M1 
conhecido; Considere que o 
Centro de Massa G1 coincide com 
o ponto A; 
Corpo 2: um disco de massa m2 e de raio R, que roda livremente em torno do eixo Y2, 
com velocidade e aceleração variáveis definidas pelo parâmetro ( )tφ ; 
Corpo 3: um cursor de massa m3 e de dimensões desprezáveis, que translada segundo o 
eixo Z2 com velocidade e aceleração variáveis definidas pelo parâmetro r(t). 
As duas molas, iguais e de rigidez K, apresentam o seu comprimento natural para 
r(t)=R. As respectivas deformações iniciais, correspondem ao equilíbrio estático do corpo 
3. 
Considere a massa dos três corpos e a inércia dos corpos 1 e 2, admitindo 
conhecidas as respectivas matrizes de inércia em relação a sistemas de eixos principais 
centrais de inércia. Por motivos de simplificação, os momentos principais centrais de 
inércia do corpo 2, para os eixos paralelos a X2 e Z2 consideram-se iguais, 2222 ZZXX II = . 
Suponha que todas as ligações são perfeitas. Usando os Teoremas Vectoriais da 
Dinâmica: 
a) Determine o torsor da quantidade de aceleração de cada corpo no respectivo centro 
de massa; 
b) Represente o Diagrama de Corpo Livre do corpo 3 e determine o torsor das forças de 
ligação do corpo 3 ao corpo 2, no ponto G3. Defina os vectores no sistema de eixos S2; 
c) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine as equações diferenciais dos três 
movimentos definidos pelos parâmetros ( ) ( ) ( )trtt eφθ , . 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 173 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TVD11 
 
 
 
O sistema material representado na figura é constituído por dois corpos: 
Corpo 1 - Um suporte, de massa e inércia desprezáveis, que roda em torno de um eixo 
vertical Z0, com velocidade angular constante θ$ , mediante a acção de um 
momento motor M1; o corpo 1 está ligado ao exterior através dos apoios A e B, 
mas o apoio B não absorve esforços axiais. 
Corpo 2 - Um anel de raio médio R e de secção recta circular de raio r, massa m, 
animado de um movimento de rotação uniforme (ϕ$ = constante) relativamente 
ao corpo 1, em torno do eixo Y1, mediante a acção de um momento motor M2. 
Suponha conhecida a matriz de inércia do anel, em relação a eixos principais 
centrais de inércia. 
i. Considerando desprezável a espessura do suporte na secção que contém o ponto C, 
determine em S2, aplicando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica: 
a) O Torsor das Quantidades de Aceleração do sistema no centro de massa do corpo 2; 
b) Os Momentos Motor M1 e M2 ,necessários para garantir o movimento do sistema. 
ii. Supondo que o anel sofre uma rotura, que para efeitos de simplificação se considera ter 
ocorrido na secção que contém o ponto C, determine na secção D (secção oposta à de 
rotura) e em S2, aplicando os Teoremas Vectoriais da Dinâmica: 
c) A força de corte na direcção X2; 
d) O momento flector na direcção Y2. 
 
174 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Teoremas Vectoriais 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA do CORPO RÍGIDO 
 
 
TRABALHO e ENERGIA 
 
 
 
 
 
 
Jorge Humberto Oliveira Seabra 
Carlos Alberto Magalhães Oliveira 
José Fernando Dias Rodrigues 
Pedro Manuel Leal Ribeiro 
Pedro Manuel Ponces Camanho 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial – Secção de Mecânica Aplicada 
 
 
6ª Edição - Fevereiro de 2004 
 
ii DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia iii 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
ÍNDICE: 
 
1 INTRODUÇÃO 175 
2 CONCEITO DE TRABALHO 176 
2.1 Trabalho de uma força 176 
2.2 Trabalho de um sistema de forças concorrentes 177 
2.3 Trabalho de um binário 178 
2.4 Potência 179 
2.5 Unidades de trabalho e potência 180 
2.6 Trabalho de um sistema de forças aplicado a um sólido rígido 180 
2.7 Trabalho das forças interiores num sistema material 182 
2.8 Trabalho de forças conservativas 182 
2.8.1 Exemplos de forças conservativas 184 
2.8.2 Exemplos de forças não conservativas 187 
3 TRABALHO E ENERGIA 189 
3.1 Trabalho e energia cinética 189 
3.2 Trabalho e energia mecânica total 192 
3.2.1 Princípio da conservação da energia mecânica total 193 
3.3 Trabalho e energia em deslocamentos finitos 193 
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO TEOREMA DO TRABALHO E ENERGIA 194 
4.1 Corpo deslizando sobre um plano inclinado 194 
4.2 Cursor deslizando sobre uma guia circular 197 
5 TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS 200 
5.1 Conceito de deslocamento virtual 201 
5.2 Conceito de trabalho virtual 204 
5.3 Teorema dos trabalhos virtuais 204 
5.4 Aplicação do teorema dos trabalhos virtuais 206 
6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃODO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS 207 
6.1 Disco rolando sobre um plano inclinado 207 
6.2 Mecanismo simples 212 
6.2.1 Diagrama de corpo livre 213 
6.2.2 Equação de movimento 214 
6.2.3 Forças de ligação ao exterior no ponto O 218 
6.2.4 Velocidade angular do disco 221 
6.3 Sistema came - impulsor 224 
6.3.1 Geometria e cinemática do sistema came - impulsor 225 
6.3.2 Diagrama de corpo livre do sistema 228 
iv DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.3.3 Equação de movimento do sistema came - impulsor 228 
6.3.4 Forças de ligação entre os corpos 1 e 2 no ponto I 234 
6.3.5 Reacção no ponto O 239 
7 PROBLEMAS PROPOSTOS 243 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 175 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
 
 
TRABALHO E ENERGIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O movimento dos pontos materiais pode ser estudado por aplicação directa da 
equação fundamental amF
!!
= . Conhecida a força F
!
, esta equação fornece o valor da 
aceleração 
! 
a e, por posterior integração, é possível obter a velocidade e a posição em 
qualquer instante. 
Existem situações em que importa considerar os efeitos acumulados das forças em 
desequilíbrio que actuam nos pontos materiais. Estas situações envolvem uma integração 
em ordem ao tempo ou ao deslocamento. 
O resultado destas integrações permite obter versões transformadas das equações 
do movimento, cuja resolução não necessita de passar pelo cálculo explícito da 
aceleração. 
A integração em ordem ao deslocamento conduz ao aparecimento das equações do 
trabalho e energia, que são objecto do presente capítulo. 
176 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2 CONCEITO DE TRABALHO 
 
2.1 Trabalho de uma força F
!
 
 
A figura 1 mostra um ponto material P, movendo-se sob a acção de uma força F
!
, 
desde a posição P1 até à posição P2 infinitamente próxima. 
 
O
P1
P2
 
! 
F 
αs
 
! 
r 
 
! 
r + dr
→
dr
→
 
Figura 1 - Movimento de um ponto P sob a acção de dada força F
!
. 
 
O vector de posição r
!
 sofreu um acréscimo dr
!
, habitualmente designado vector 
deslocamento elementar do ponto P. 
Designa-se por trabalho elementar da força F
!
 sobre o deslocamento dr ao valor 
dW F dr=
! !
i (1) 
Fazendo 
x
y
z
F
F F
F
 
 =  
 
 
$!
 e 
dx
dr dy
dz
 
 =  
 
 
!
, então 
x
y x x y y z z
z
F dx
dW F dr F dy F d F d F d
F dz
   
   = = = + +   
   
   
! !
i i . (2) 
Por outro lado, atendendo a que 
dr dsτ=
! !
 (3) 
onde τ
!
 é o versor da direcção da tangente à trajectória S no ponto P, determina-se que 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 177 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
dW F ds F dsτ τ= =
! !! !
i i (4) 
dW F cos dsα= (5) 
O Trabalho Elementar dW é uma grandeza escalar numericamente igual ao produto 
da intensidade da força pela projecção do deslocamento na direcção daquela, ou ao 
produto do deslocamento pela projecção da força na sua direcção. 
No entanto, tendo em conta a definição da velocidade instantânea em coordenadas 
intrínsecas 
ds
v
dt
τ=
! !
, (6) 
logo 
v dt dsτ=
! !
, (7) 
e substituindo em (4) 
dW F ds F v dtτ= =
! !! !
i i (8) 
O trabalho da força F
!
 num deslocamento finito obter-se-á por integração da 
equação (1), isto é 
∫ •= 2
1
r
r
2
1 drFW
!
!
!
 (9) 
Pode-se igualmente escrever a partir das equações (2) e (5), 
2 2
1 1
s s2
t1 s sW F cos ds F dsα= =∫ ∫ (10) 
( )22 x x y y z z1 1W F d F d F d= + +∫ (11) 
 
 
2.2 Trabalho de um sistema de forças concorrentes 
 
Se várias forças actuam num mesmo ponto P, o respectivo trabalho elementar é 
igual à soma dos trabalhos elementares das várias forças, pelo que 
1 n 1 ndW dW ... dW F dr ... F dr= + + = • + + •
! !$$! $$!
 (12) 
 
178 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )1 ndW F ... F dr= + +! ! $$!i (13) 
dW F dr=
! $$!
i (14) 
Verifica-se assim, que o trabalho de um sistema de forças aplicadas num mesmo 
ponto, é igual ao trabalho da sua resultante. 
 
 
2.3 Trabalho de um binário 
 
A figura 2 mostra duas forças de igual intensidade mas de sentidos opostos, aplicadas 
nos pontos A e B de um mesmo corpo rígido. Sejam Adr
$$!
 e Bdr
$$!
 os deslocamentos desses 
dois pontos. 
Porque pertencem ao mesmo corpo rígido, estes deslocamentos estão relacionados 
do seguinte modo (equação de Mozzi) 
O
 
! 
F 
b
AA'
B
B' −
! 
F 
 
! 
r A 
! 
r B
 
Figura 2 - Movimento provocado pela acção de um binário. 
 
B Av v ABω= + ×
$$! $$! $! $$$!
, isto é 
B Adr dr d AB
dt dt dt
θ= + ×
$! $! ! $$$!
 (15) 
Da equação (15) resulta (multiplicando ambos os membros por dt): 
B Adr dr d ABθ= + ×
$$! $$! ! $$$!
 (16) 
Calculando agora o trabalho do binário pela soma dos trabalhos das duas forças que 
o constituem, obtém-se 
A BdW F dr F dr= −
! !$$! $$!
i i (17) 
dθ
$$!
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 179 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( ) ( )A A A AdW F dr F dr d AB F dr dr d ABθ θ= − + × = − − ×
! ! !$$! $$! ! $$$! $$! $$! ! $$$!
i i i (18) 
( ) ( ) AdW F d AB AB F d M dθ θ θ= − × = × =! !! $$$! $$$! ! $$$! !i i i (19) 
Porque o momento de um binário é o mesmo, qualquer que seja o ponto tomado 
para pólo, a expressão (19) permite obter que 
dW M dθ=
! !
i (20) 
No entanto, tendo em conta a definição da velocidade angular instantânea 
d
dt
ω θ=
$! !
, (21) 
logo 
dt dω θ=
$! !
, (22) 
e substituindo em (20) 
dW M d M dtθ ω= =
$! ! $! $!
i i (23) 
 
 
2.4 Potência 
 
Designa-se por potência o trabalho realizado por unidade de tempo. O seu cálculo é 
feito utilizando uma expressão que resulta da derivação em ordem ao tempo da expressão 
de cálculo do trabalho elementar. 
Assim, a potência de uma força será dada pela derivada em ordem ao tempo da 
expressão (8) 
dW
P F v
dt
= =
! !
i (24) 
e a potência de um binário será dada pela derivada em ordem ao tempo da expressão (23) 
dW
P M
dt
ω= =
! !i (25) 
 
 
 
180 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2.5 Unidades de trabalho e potência 
 
O trabalho 2 221 1 1W F dr M dθ= =∫ ∫
! $$! $! !
i i
 
corresponde ao produto de uma força por um 
deslocamento finito ou ao produto de um binário por uma rotação finita, pelo que no 
Sistema Internacional as suas unidades são J (Joule), 
J = N m = (kg m/s2) m = kg m2/s2. 
A potência 
dW
P F v M
dt
ω= = =
$! ! $! $!
i i
 
é igual à derivada do trabalho elementar em 
ordem ao tempo o que corresponde ao produto de uma força por uma velocidade 
instantânea ou ao produto de um binário por uma velocidade angular instantânea, pelo 
que no Sistema Internacional as suas unidades são W (Watt), 
W = N m/s = (kg m/s2) m/s = kg m2/s3. 
 
 
2.6 Trabalho de um sistema de forças aplicado a um sólido rígido 
 
A figura 3 mostra um sólido rígido submetido à acção de um sistema de forças. 
P i
o 
 
! 
F i
 
Figura 3 - Sólido rígido sob a acção de sistema de forças. 
 
O trabalho elementar desse sistema de forças será a soma dos trabalhos 
elementares de cada uma delas, obtendo-se que 
i i i
i i
dW dW F dr= =∑ ∑
$! $!
i . (26) 
Porque se trata de um sólido rígido, é possível relacionar a velocidade de cada um 
dos pontos de aplicação das forças com a de um determinado ponto O desse sólido. 
Sabendo que, 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 181 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro2004 
( )i Pi O i i O idr v v OP dr v OP dtdt ω ω= = + × ⇒ = + ×
$! $$$! $$! $! $$$! $! $$! $! $$$!
 
então, substituindo em (26) determina-se que 
( )i O i
i
dW F v OP dtω= + ×∑
$! $$! $$$!!i (27) 
( )i O i i
i i
dW F v F OP dtω
  = + ×  
  
∑ ∑
$! $$! $! $$$!!i i (28) 
Obtém-se finalmente a seguinte expressão 
( )i O i i
i i
dW F v OP F dtω = + × 
 
∑ ∑
$! $$! $$$! $! !i i (29) 
O OdW F v M dtω = + 
! $$! $$$! !i i (30) 
A expressão dentro do parêntesis recto na equação (30) designa-se habitualmente 
por momento relativo dos torsores das forças aplicadas ( )FE OF,Mτ
$! $$$!
 e do gerador do 
campo de velocidades contemporâneas ( )VC O,vτ ω
$! $$!
. 
Este momento relativo dos dois torsores permite o cálculo da potência devida ao 
referido sistema de forças, e consiste no produto escalar do vector principal de um dos 
torsores pelo vector momento do outro torsor, e vice-versa ,isto é 
( ) ( )FE O VC O O OF,M ,v F v Mτ τ ω ω  = + 
$! $$$! $! $$! $! $$! $$$! $!
% i i 
Da análise da expressão (30) resulta imediatamente o seguinte: 
1. Sistemas de forças equivalentes aplicados no mesmo sólido produzem o mesmo 
trabalho elementar (têm os mesmos elementos da redução num dado ponto). 
2. Um sistema de forças em equilíbrio produz, num sólido rígido, um trabalho 
elementar nulo FE 0 F 0 e M 0 dW 0τ = ⇒ = = ⇒ =
$! $! $! $!
. 
 
 
 
 
 
 
182 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2.7 Trabalho das forças interiores num sistema material 
O sistema de forças interiores, representadas na figura 4, está em equilíbrio, pelo 
que, se o sistema material for indeformável, o respectivo trabalho elementar será nulo. 
 
Pi
Pj
 
! 
F j i
 
! 
F i j
x i j
 
Figura 4 - Num sólido indeformável, as forças interiores não podem realizar trabalho, 
porque constituem um sistema de forças em equilíbrio. 
 
No caso de um sistema material deformável, porém, tal já não se verifica. 
Decompondo os deslocamentos dos diversos pontos em deslocamentos "relativos" mais 
deslocamentos "de transporte", obtém-se 
ab rel trdW dW dW= + (31) 
A parcela correspondente aos deslocamentos de transporte, porque no seu cálculo 
o sistema material é considerado rígido, será necessariamente nula. Mas havendo 
deslocamentos relativos dos vários pontos, haverá trabalho realizado. 
 
 
2.8 Trabalho de forças conservativas 
Uma força F
!
 diz-se conservativa quando existe uma função escalar U tal que 
F gradiente U U= − = −∇
!
 (32) 
T
U U U
F , ,
x y z
 ∂ ∂ ∂= − − − ∂ ∂ ∂ 
$!
 (33) 
A função U = U(x,y,z) é designada função potencial de F
!
. 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 183 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Se uma força F
!
 for conservativa, o trabalho elementar realizado por essa força é 
igual em grandeza, mas de sinal contrário, à variação elementar sofrida pela função 
potencial, num dado deslocamento. Com efeito 
U
x dx
U U UUdW F dr dy dx dy dzy x y z
dzU
z
 −∂
∂   
 ∂ ∂ ∂   −∂= = = − + +     ∂ ∂ ∂ ∂    
 −∂ ∂ 
! $$!
i i
 (34) 
= −dW dU (35) 
Da integração da equação (35) resulta imediatamente que o trabalho realizado num 
dado deslocamento finito do ponto de aplicação de força F
!
 é igual (e de sinal contrário) à 
variação finita da respectiva função potencial, 
( )∆= = − = − ⇒ = − −∫ ∫2 2 221 2 111 1W dW dU U W U U (36) 
Neste cálculo apenas intervieram os valores inicial (1) e final (2) da função 
potencial. Verifica-se portanto que o trabalho de uma força conservativa é 
independente do caminho percorrido pelo seu ponto de aplicação, como se mostra na 
figura 5. 
 
1
2
U = U2
U = U1
 
Figura 5 - Superfícies equipotenciais contendo os pontos inicial e final de aplicação de 
uma força conservativa. 
 
Resulta ainda da expressão (36) que o trabalho realizado por uma força 
conservativa num percurso fechado (regressando portanto ao ponto inicial) é 
necessariamente nulo. Logo 
( )= − − = = =∫ ! $$!i&21 2 1W U U 0 e W F dr 0 
184 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A função potencial U é usualmente designada por Energia. Esta, por sua vez pode 
ser entendida como uma capacidade de produzir trabalho, ou um “trabalho acumulado”. 
Assim, sendo 
( )2 22 1 2 11 1W U U U W U= − − ⇒ = − + , (37) 
logo se o trabalho realizado for positivo a energia diminui, 
2
2 11W 0 U U> ⇒ < 
e se o trabalho realizado for negativo a energia aumenta; 
2
2 11W 0 U U< ⇒ > 
 
 
2.8.1 Exemplos de forças conservativas 
 
a) Força constante 
Se uma força 
! 
F é constante, então 
( )dW F dr d F γ= • = •! !$$! ! (38) 
( )dV dW d F γ= − = − •! ! (39) 
A função potencial V resulta da integração da expressão (39). 
Na figura 6 mostra-se o exemplo das forças de gravidade sobre a superfície 
terrestre. Neste caso, 
dW mg dr=
! !
i , 
( )2 2 221 2 11 1 1W dW m g dr m g dr mg r r= = = = −∫ ∫ ∫
! ! ! ! ! $! $!
i i i , 
( )
2 1
22
1 2 1 2 11
0
0 0
x x
W dW m g r r mg y y
−   
   = = − = −   
   
   
∫
! $! $!
i i , 
( )221 2 11W dW m g y y m g h= = − − = −∫ , 
( )2 121 g g gW V V V m gh∆= − = − − = − , 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 185 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
Figura 6 - Força de gravidade, exemplo de força conservativa, e potencial das forças 
conservativas, 2 1g g gV V V m g h∆ = − = . 
 
( )2 1 2g g g 1V V V W m g h∆ = − = − = (40) 
onde gV∆ representa a variação do potencial das forças gravíticas (ou variação da 
energia potencial gravítica). 
 
b) Força central 
No caso de uma força central, como a representada na figura 7, obtém-se 
 
 
Figura 7 - Força central, exemplo de força conservativa. 
 
 
1 
2 
O 
rA 
rB 
P 
F 
αααα 
dr
!
1 
2 
h2 
h1 
X 
Y 
αααα 
O 
F m g=
$! !
 (constante) 
τ
!
 
( )
2 1
2
1 g g gW V V V= −∆ = − − 
( ) ( )
2 1 2 1g g g
V V V m g h h∆ = − = −
186 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )dW F dr F ds F ds cos F drτ α= = = =
! ! $! !
i i (41) 
2
2 1 1dV dW V V V F dr∆= − ⇒ = − = −∫ (42) 
No caso da força da gravidade (peso de um corpo), por exemplo, tem-se que: 
2 1g g2
M m M m
F G V V G
rr
= ⇒ − = (43) 
À superfície da terra a força da gravidade terrestre é F = mg, logo obtém-se que 
2
T
G Mg
R
= , pelo que substituindo em (43) se determina que 
2 1
2
g g T
m g
V V R
r
− = − (44) 
 
c) Força elástica 
Para o caso de uma força linear elástica, como representado na Figura 8, pode-se 
escrever que F = - k x (x = deslocamento da mola). 
 
F = - kx
0'
1'
2
e xk2
1V =
 
Figura 8 - Força linear elástica e potencial das forças elásticas, 
( ) ( )2 1 2 2e e e 2 1kV V V x x2∆ = − = − . 
Então, 
dW F dr k x i dxi k x dx= = − = −
$! ! ! !
i i (45) 
( )22 22 2 2 21 2 11 1 1
1 1
W dW k x dx k x k x x
2 2
 = = − = − = − − ∫ ∫ (46) 
( ) ( )2 12 2 21 e e e 2 11W V V V k x x2∆= − = − − = − − (47) 
( ) ( )2 1 2 2 2e e e 1 2 11V V V W k x x2∆ = − = − = − (48) 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 187 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
onde eV∆ representa a variação do potencial das forças elásticas (ou variação da 
energia potencial elástica). 
1 2
2
1 e e 2
1
se x 0 V 0 V k x
2
= ⇒ = ⇒ = 
 
d) Força de inércia 
Também as "forças de inércia" são forças conservativas. 
De facto jF mx i= −
$$! !
(( , 
j jdW F dr mx i dx i mx dx= = − = −
$$! ! ! !
(( ((i i (49) 
dx dx dx
x dx dx dx x dx
dt dx dt
= = =
( ((( ( (
 (50) 
jdW m x dx= − ( ( (51) 
( )22 2j 2 j 2 2 21 2 11 1 1
1 1
W W dW m x dx m x m x x
2 2
 = = = − = − = − − ∫ ∫ ( ( ( ( ( 
( ) ( ) ( )2 2j 2 j j j1 2 121 1 1W W V V V m x m x2 2∆
 = = − = − − = − − 
 
( ( (52) 
Como se conclui das expressões anteriores, a habitualmente designada energia 
cinética é afinal o potencial das forças de inércia, isto é 
( ) ( )2 2j j2 1 2 1
1
V W m x x
2
∆ ∆Τ Τ Τ  = = − = − = − 
( ( (53) 
 
2.8.2 Exemplo de força não conservativa – Força de atrito 
Para se verificar que uma força de atrito é não conservativa basta calcular o 
respectivo trabalho ao efectuar um percurso fechado. Analise-se o caso da figura 9. 
 
 
Figura 9 - Força não conservativa - Força de atrito. 
1 2 
ℓ 
X 
188 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
De facto, no percurso 1 2 2 1 1 1− + − = −
$$$$! $$$$! $$$$!
, uma força conservativa não realiza 
trabalho, enquanto que o trabalho realizado pela força de atrito não é nulo, isto é 
[ ] [ ]2 1 2 11 2 11 1 2 at at at at1 21 2W W W F dx F dx F x F x= + = − + = − +∫ ∫
$$$! $! $$$! $!
i i (54) 
( )1 2 11 1 2 at at atW W W F F 2F 0= + = − + − = − ≠' ' ' (55) 
A força de atrito é portanto uma força não conservativa e o trabalho por si 
realizado é negativo, já que implica sempre um dispêndio ou dissipação de energia. 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 189 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
3 TRABALHO E ENERGIA 
 
Ao definir força conservativa, introduziu-se o conceito de uma função escalar U, 
cujo gradiente permitia calcular o valor da força F
!
, e cuja variação era, a menos do 
sinal, igual ao trabalho realizado por essa força, em qualquer deslocamento. 
Esta função escalar é designada por potencial de 
! 
F , ou, mais habitualmente por 
energia. Repare-se que, quando a força realiza um trabalho positivo, a energia "diminui" 
de uma quantidade igual a esse trabalho. E quando realiza um trabalho negativo, a energia 
"aumenta". Pode-se assim, em certa medida, considerar a energia como a capacidade de 
produção de trabalho (devolução do "trabalho acumulado" sob a forma de energia 
potencial). 
 
 
3.1 Trabalho e energia cinética 
 
Usando a equação fundamental da dinâmica amF
!!
= , é possível calcular o trabalho 
elementar realizado pela força F
!
 num deslocamento dr (ver figura 10). 
 
dr
→
P
s
 
! 
F 
 
! 
F t
 
! 
τ 
 
! 
F n
 
! 
n 
 
Figura 10 - Trabalho elementar da forçaF
$!
, que actua num ponto P, quando sofre um 
deslocamento elementar dr
!
. 
 
Utilizando um sistema de coordenadas intrínsecas para representação da força F
!
, 
do deslocamento dr
!
 e da aceleração do ponto a
!
, pode-se escrever que: 
190 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
nFFF nt
!!! += τ (56) 
dr ds τ=
! !
 (57) 
2s
a s nτ
ρ
= +
(! !!(( (58) 
Retomando a Equação Fundamental da Dinâmica, =
! !
F ma , e multiplicando 
escalarmente por dr ds τ=
! !
 ambos os membros, obtém-se 
= =
! $$! ! $$!
i idW F dr ma dr , 
τ τ= =
! !! !i idW F ds ma ds . (59) 
e atendendo às expressões (56) e (58), 
( )τ τ τ τ
ρ
 
= + = +  
 
(! !! ! ! !((i i
2
t n
s
dW F F n ds m s m n ds 
tdW F ds ms ds= = (( (60) 
Repare-se que o primeiro membro é o trabalho elementar da força F
!
 e o segundo 
membro uma variação elementar da energia cinética do ponto material. De facto, 
atendendo a que 
ds ds ds ds
s ds ds ds sds sds
dt ds dt ds
= = = =
( ( ((( ( ( ( (61) 
a expressão (60) transforma-se em 
dW m sds= ( ( (62) 
21dW d ms
2
 =  
 
( (63) 
dW dΤ= (T = Energia Cinética) (64) 
A expressão (64) traduz o "Teorema da Energia Cinética", também designado por 
Teorema da Força Viva: 
"O trabalho elementar realizado por uma qualquer força que actua num ponto 
material é igual à variação da energia cinética (ou semi força-viva) que produz". 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 191 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Este teorema, aqui enunciado para um ponto material, é aplicável a um sistema de 
pontos materiais. Assim, no caso de um sistema discreto, tem-se 
i i i i
i i
dW m s ds dT= =∑ ∑( ( (65) 
No caso de um sistema contínuo a extrapolação ainda é válida. O cálculo de energia 
cinética de um sólido rígido é obtido através da aplicação do 3º Teorema de Koenig 
(Capítulo Cinemática das Massas), resultando: 
[ ]1 1
2 2
T
G G GT Mv v ω ω= + × ×
$$$!$$! $$! $!
i I (66) 
Para um sistema material constituído por vários (k) sólidos rígidos, teremos 
G G G
k k k kT k k
k
1 1
dW dT d M v v
2 2
ω ω  = = + × ×   
∑
$$! $$! $$$$! $$$!
i I (67) 
Como apresentado anteriormente, multiplicando escalarmente ambos os termos da 
Equação Fundamental da Dinâmica ( =
! !
F ma ) pelo deslocamento elementar ( τ!ds ), 
obtém-se a expressão (59) 
τ τ= =
! !! !i idW F ds ma ds . (59) 
Atendendo a que a Força de Inércia é definida por jF ma= −
$$! !
, verifica-se que 
j jdW ma ds F ds dWτ τ= = − = −
$$!! ! !i i 
isto é 
j j jdW dV F ds dWτ= = − = −
$$! !i , 
onde jdW representa o trabalho elementar das forças de inércia e jdV representa o 
Potencial das Forças de Inércia. 
Atendendo ao teorema da Energia Cinética, dW dT= (equação 60) verifica-se que 
j j jdW dT dV F ds dWτ= = = − = −
$$! !i , (68) 
o que significa que a variação da Energia Cinética é igual à variação do Potencial das 
Forças de Inércia e igual e de sinal contrário ao trabalho elementar das forças de inércia 
(ver expressão 53). 
 
 
192 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
3.2 Trabalho e energia mecânica total 
 
O teorema da energia cinética, relaciona o trabalho de todas as forças que actuam 
num ponto (ou sistema) material com a variação da energia cinética que esse trabalho 
produz. Podem separar-se, de todas as forças que actuam no ponto (ou sistema) material, 
as de gravidade e as elásticas, obtendo-se 
g edW dW dW dT+ + = (69) 
As forças de gravidade e as forças elásticas são conservativas, pelo que se pode 
afirmar que 
g edW dV dV dT− − = (70) 
Passando todas as variações de potencial para o 2º membro, a equação (70) tomará 
a forma 
dW dV dV dTg e= + + (71) 
( )g edW d V V T= + + (72) 
d W d Emt= (73) 
A função potencial obtida pela soma das três funções potenciais (gravítica + 
elástica + cinética) é designada por Energia Mecânica Total. A expressão (73) estabelece 
uma relação entre o trabalho das restantes forças e a variação da energia mecânica total 
que produzem. 
Note-se que, as considerações feitas para as forças de gravidade e elásticas seriam 
aplicáveis a todas as forças conservativas. Nos sistemas materiais correntes estas são as 
funções potenciais mais relevantes. Daí que, por tradição, na energia mecânica total 
apenas se considerem as três formas de energia (gravítica, elástica e cinética). 
A equação (73) traduz o chamado Teorema do Trabalho e Energia, o qual não é 
mais que uma transformação do teorema da energia cinética atrás introduzido (64), e 
estabelece que: 
O trabalho elementar realizado pelas forças exteriores, que não as gravíticas e 
elásticas, é igual à variação elementar da energia mecânica total, isto é, igual 
à variação das energias cinética, potencial elástica e potencial gravítica. 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 193 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
3.2.1 Princípio da conservação da energia mecânica total 
 
Como corolário do teorema do trabalho e energia surge a seguinte constatação: 
"Se nenhuma força, para além das de gravidade e elásticas, actua sobre um sistema 
material realizando trabalho, a energia mecânica total permanecerá constante". 
mt mtdW 0 d E 0 E Const.= ⇒ = ⇒ = (74) 
Este é o enunciado do princípio da conservação da energia mecânica total. 
 
 
3.3 Trabalhoe energia em deslocamentos finitos 
 
Até agora consideraram-se apenas deslocamentos infinitamente pequenos. 
Pode-se entretanto extrapolar para deslocamentos finitos (entre as posições A e B, 
ou entre as posições 1 e 2, ou ainda entre as posições inicial e final), por integração das 
expressões anteriores. Assim, o teorema do trabalho e energia passará a ter a seguinte 
forma 
2 2 22
g e1 1 1 1W dV dV dT= + +∫ ∫ ∫ (75) 
( ) ( ) ( )2 1 2 12 g g e e 2 11W V V V V T T= − + − + − (76) 
( ) ( )2 2 1 12 g e 2 g e 11W V V T V V T= + + − + + (77) 
12 tmtm
2
1 EEW −= (78) 
De igual modo o princípio da conservação da energia mecânica total tornará a 
forma 
12 tmtm
2
1 EE0W =⇒= (79) 
 
194 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO TEOREMA DO TRABALHO E ENERGIA 
 
4.1 Corpo deslizando sobre um plano inclinado 
 
Um corpo de massa m, desliza sobre um plano inclinado em relação à direcção 
horizontal, como se mostra na figura 11. O comprimento da rampa é '''' e a altura do ponto 
A é h. 
 
 
Figura 11 – Corpo deslizando sobre um plano inclinado. 
 
Pretende-se determinar a equação de movimento do sistema e as forças de 
contacto entre o corpo e o plano inclinado desprezando ou não o atrito entre o corpo e a 
rampa. 
A figura 12 mostra o diagrama de corpo livre de todas as solicitações que actuam 
sobre o corpo. 
 
 
Figura 12 – Diagrama de corpo livre do corpo, desprezando ou não o atrito. 
Y 
X 
h 
A ≡ 1 
B ≡ 2 αααα 
'=AB
x1 
αααα 
N
!
 
1ixm (( 
gm
!
 
αααα 
N
!
 
1ixm (( 
gm
!
 
atritof 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 195 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Aplicando o Teorema da Energia Mecânica Total pode-se estabelecer que 
dW dV dV dTg e= + + 
e portanto 
( ) ( )1eg2eg21 TVVTVVW 1122 ++−++= (77) 
Desprezando o atrito entre o corpo e a rampa, o termo 
0W 21 = 
podendo-se escrever que 
( ) ( )1eg2eg TVVTVV 1122 ++=++ 
Determine-se agora cada um dos termos da expressão anterior: 
2g 2
V = mg h 
.aplicadaselásticasforçashánão,0V
2e = 
2
2 2
1
T = mv
2 
1g 1
V mg h= 
.aplicadaselásticasforçashánão,0V
1e = 
.repousodopartecorpoo,0T1 = 
Substituindo na expressão 
( )22 2 1
1
m g h 0 mv m g h 0 0
2
 + + = + + 
  
isto é 
( ) 22 1 2
1
m g h h mv
2
− =− 
( )22 2 1v 2 g h h= − 
2v 2g h= 
196 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Verifica-se, que na ausência de atrito, a energia potencial gravítica é totalmente 
convertida em energia cinética. 
Considerando agora a existência de atrito entre o corpo e a rampa, o termo W12 não 
é nulo, sendo igual a 
2
1
B B
atrito atrito
A A
W f dx f dx= = ⋅∫ ∫
$$$$$! $$!
i
 
O equilíbrio de esforços na direcção vertical (ver figura 12) permite escrever que 
0cosgmN =− α
 
e supondo que o coeficiente de atrito entre o corpo e a rampa é constante, e igual a µ, 
pode-se escrever 
icosgmiNfatrito
!!
αµµ −=−=
 
Logo 
αµαµ cosgm dxcosgm dxfW
B
A
B
A
atrito
2
1 '−=•−=•= ∫∫
 
Os restantes termos são exactamente os mesmos: 
2g 2
V = mg h 
.aplicadaselásticasforçashánão,0V
2e = 
2
2 2
1
T = mv
2 
1g 1
V mg h= 
.aplicadaselásticasforçashánão,0V
1e = 
.repousodopartecorpoo,0T1 = 
Substituindo na expressão 
( )00hgmvm
2
10hgmcosgm A
2
BB ++−




 ++=− αµ ' 
isto é 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 197 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )22 2 1
1
mv mg h h mg cos
2
µ α= − − − ' 
( )22 1 2v 2g h h 2 g cosµ α= − − ' 
( )2v 2g h cosµ α= − ' 
Verifica-se, que na presença de atrito, a energia potencial gravítica é apenas 
parcialmente convertida em energia cinética, já que parte dessa energia é dissipada para 
vencer o atrito entre o corpo e a rampa. 
 
 
4.2 Cursor deslizando sobre uma guia circular 
 
O cursor de massa m, representado na figura 13, desliza sem atrito sobre uma guia 
circular posicionada na vertical, estando ligado ao exterior (ponto A) por uma mola de 
rigidez k. Quando o cursor passa no ponto B a deformação da mola é nula. 
Sabendo que o cursor passa no ponto D com uma velocidade vD (m/s), pretende-se 
determinar: 
a) A velocidade do cursor no ponto C; 
b) A velocidade do cursor em C para nas seguintes condições: m = 1 kg, 
g = 9.8 m/s, vD = 1.8 m/s, k = 250 N/m, R = 0.3 m e a = 0.125 m. 
 
A figura 14 mostra o diagrama de corpo livre de todas as solicitações que actuam 
sobre o cursor. Aplicando o Teorema da Energia Mecânica Total pode-se estabelecer que 
dW dV dV dTg e= + + 
e portanto 
( ) ( )1eg2eg21 TVVTVVW 1122 ++−++= (77) 
Como não há atrito entre o cursor e a guia, o termo W12 é nulo, podendo-se 
escrever que no percurso DC (posição inicial, 1 - ponto D, posição final, 2 - ponto C) 
( ) ( )1eg2eg TVVTVV 1122 ++=++ 
 
198 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
Figura 13 – Cursor deslizando sem atrito sobre uma guia circular. 
 
 
Figura 14 – Diagrama de corpo livre do cursor. 
 
Determine-se cada um dos termos da expressão anterior: 
Cg hgmV 2 = Dg
hgmV
1
= 
( )2Ce k2
1V
2
'∆=
 
( )
1
2
e D
1
V = k ∆l
2 
2
C2 vm2
1T =
 
2
1 D
1
T mv
2
=
 
O
A B 
C
D
Y 
X 
ramN −
!
 
tam
kF
gm
!
O
AB 
C
D
v 
a
k
Y
X
R
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 199 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Substituindo na expressão (64) 
( ) ( ) 




 ++=




 ++ 2D
2
DD
2
C
2
CC vm2
1k
2
1hgmvm
2
1k
2
1hgm '' ∆∆ 
isto é 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0vvm
2
1k
2
1hhgm 2D
2
C
2
D
2
CDC =−+−+− '' ∆∆ 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]2C2DCD2D2C m
khhg2vv '' ∆∆ −+−=−
 
( ) ( ) ( )[ ]2C2DCD2D2C m
khhg2vv '' ∆∆ −+−+=
 
( ) ( ) ( )[ ]2C2DCD2DC m
khhg2vv '' ∆∆ −+−+= 
onde 
( ) Rhh CD −=− 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 22220D2D a4aRaRABAD =−−+=−=−= '''∆ 
( ) ( ) ( ) ( ) 2222220C2C LaRaRABAC =


 −−+=−=−= '''∆ 
Logo 
( )222DC La4m
kRg2vv −+−= 
( ) ( ) ( ) 2
2
22
2
222
C 150.0125.03.0125.03.0aRaRL =


 −−+=


 −−+=='∆
 
( )222C 150.0125.041
2503.08.928.1v xxx −+−= 
s/m713.2vC = 
 
 
 
 
 
200 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
5 TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
 
A equação (64) dW dT= que relaciona o trabalho das forças aplicadas sobre cada 
ponto material com a variação de energia cinética que proporciona pode ser reescrita na 
forma 
dW dT 0− = , 
o que atendendo à expressão (68) é equivalente a 
r jdW dW 0+ = (80) 
sendo dWr o trabalho elementar das forças reais aplicadas ao ponto e dWj o trabalho 
elementar das forças de inércia. Isto, porque, de acordo com a expressão (53), a função 
potencial de que derivam as forças de inércia é a energia cinética e em consequência, e 
de acordo com a expressão (68), a variação infinitamente pequena dessa energia cinética 
é igual e de sinal contrário ao trabalho elementar dessas forças de inércia. 
A expressão (80) é válida para qualquer ponto material, isolado ou não. No caso de 
este ponto pertencer a um dado sistema material, podem dividir-se as forças que actuam 
nesse ponto em "exteriores" e "interiores" ao sistema material. Neste caso a expressão (80) 
dará origem a esta outra 
exteriores int eriores inerciadW dW dW 0+ + = 
isto é 
e i jdW dW dW 0+ + = (81) 
Constata-se que, qualquer que tenha sido o deslocamento infinitesimal utilizado no 
cálculo do trabalho de todas as forças aplicadas no ponto material, o trabalho elementar 
total é nulo. De facto o sistema de forças aplicadas no ponto material, incluindo as forças 
de inércia, é equivalente a zero. Em consequência,o trabalho elementar dessas forças 
(igual ao trabalho da respectiva resultante, visto serem forças concorrentes) terá de ser 
nulo, qualquer que seja o deslocamento. 
A expressão (81) é válida para qualquer um dos pontos de um sistema material. 
Considerando todos esses pontos, tem-se que 
( )e i jk k k
k 1
dW dW dW 0
=
+ + =∑ (82) 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 201 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
e i j
k k k
k 1 k 1 k 1
dW dW dW 0
= = =
     
+ + =          
     
∑ ∑ ∑ (83) 
e* i* j*dW dW dW 0+ + = (84) 
Note-se que a expressão (84) é formalmente idêntica à (81) mas em cada parcela 
aparece o trabalho elementar total de cada conjunto de forças (exteriores, interiores e de 
inércia). 
Importa agora pensar no seguinte pormenor. Para cada ponto material isolado, o 
deslocamento infinitesimal considerado é perfeitamente arbitrário. Mas num sistema 
material existem ligações entre os pontos que o integram, pelo que o deslocamento 
considerado variará de ponto para ponto, de acordo com as relações cinemáticas bem 
definidas. 
 
CA
B
dx
A
B
B'
C
C'
dθ
A C
C''
B''a) b) c)
 
Figura 15 - Exemplos de deslocamentos (linear e angular) compatíveis com as ligações de 
um sistema material. 
 
Por exemplo, a figura 15-b) mostra que ao deslocamento dx do ponto C 
corresponde um deslocamento diferente para outro qualquer ponto. O mesmo sucede 
quando se admite uma rotação elementar dθ
$$!
 para as barras AB e BC, como mostra a 
figura 15-c): os deslocamentos lineares dos diversos pontos são diferentes entre si. 
Apesar de ocorrerem deslocamentos elementares diferentes de ponto para ponto, a 
expressão (81) (que é referente a cada um dos pontos isoladamente) é válida, o que 
implica necessariamente a validade da expressão (84). 
 
 
5.1 Conceito de deslocamento virtual 
 
Diz-se que um sistema material sofre um deslocamento virtual, quando se afasta da 
configuração actual para uma outra infinitamente próxima. 
202 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Esta alteração de configuração ocorre respeitando as relações cinemáticas que as 
ligações reais, ou hipotéticas, permitem. 
Assim, um deslocamento virtual tem as seguintes características: 
• Deslocamento infinitesimal; 
• Real ou imaginário; 
• Respeita ou não as ligações mecânicas do sistema. 
A figura 15 mostra dois exemplos de deslocamento virtuais. Em 15-b) representa-se 
um deslocamento compatível com as ligações realmente existentes. Em 15-c) mostra-se 
um deslocamento virtual que só será possível se a ligação ao exterior em C, for substituída 
por uma outra, hipotética ou imaginária, que permita o deslocamento vertical deste 
ponto. 
Admitindo que a configuração do sistema material é definida por n parâmetros 
cinemáticos (n graus de liberdade), um deslocamento virtual ficará caracterizado por uma 
qualquer combinação de variações desses parâmetros 
A figura 16 mostra uma barra em movimento plano. 
 
A = A'''
B'''
B
δ α
A
B
A''
B''
δx
A'
B'
A
B
δy
yA
A
B
α
xA 
a) b) c) d) 
 
Figura 16 - Deslocamentos virtuais correspondentes à variação isolada de um parâmetro 
cinemático. 
 
A posição da barra fica completamente definida por 3 parâmetros, por exemplo 
XA, YA e αααα. Um deslocamento virtual poderia ser definido pela variação isolada de cada um 
destes parâmetros: 
Figura 16-b) 





=
≠
=
0
0y
0x
A
A
αδ
δ
δ
 Figura 16-c) 





=
=
≠
0
0y
0x
A
A
αδ
δ
δ
 Figura 16-d) 





≠
=
=
0
0y
0x
A
A
αδ
δ
δ
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 203 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Também poderia definir-se um deslocamento virtual por uma combinação de 
variações destes parâmetros. 
A figura 17 mostra um exemplo em que a mesma barra da figura 16 sofre uma 
rotação virtual em torno de um ponto diferente de A, daí resultando uma variação 
simultânea de XA, YA e αααα: 
 
A
B
α
B
A
B'
A'
+C
δβ
δxA = f1 δβ( )
δyA = f2 δβ( )
Deslocamento virtual:
δxA = f1 δβ( )
δyA = f2 δβ( )
δα = δβ
 
 
 
  
 
Figura 17 - À rotação virtual δβδβδβδβ (em torno de C), correspondem as variações simultâneas 
(dependentes) δαδαδαδα , δδδδXA e δδδδYA. 
 
Poder-se-ia ainda considerar um deslocamento virtual que resultasse da variação 
simultânea e independente de diversos parâmetros cinemáticos. No caso da figura 18, a 
barra sofre uma translação δδδδX e uma rotação δαδαδαδα, independentes entre si: 
 
A
B
α
B
A
B'
A'
B*
δ α
δx
Deslocamento virtual:
δxA = δx
δyA = 0
δα ≠ 0
 
 
 
  
 
 a) b) 
 
Figura 18 - Deslocamento virtual obtido por combinação de variações independentes de 
diversos parâmetros cinemáticos. 
 
204 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
5.2 Conceito de trabalho virtual 
 
Entende-se por trabalho virtual de uma força aplicada sobre um dado ponto 
material, o trabalho realizado por essa força quando o ponto se move em consequência de 
um deslocamento virtual do sistema a que esse ponto pertence. Assim, para uma força F
!
 
aplicada num dado ponto A, escreveríamos 
δ δ=
! $$$!
iW F A (85) 
sendo Aδ o deslocamento virtual do ponto A (deslocamento de A em consequência do 
deslocamento virtual do sistema material). 
 
 
5.3 Teorema dos trabalhos virtuais 
 
Pode enunciar-se este teorema do seguinte modo: 
"Num sistema material (em repouso ou em movimento), a soma dos trabalhos 
de todas as forças que actuam sobre ele num determinado instante, é nula, 
para qualquer deslocamento virtual desse sistema". 
 
Incluem-se, obviamente, as forças exteriores, interiores e de inércia. A expressão 
matemática deste teorema é 
e i jW W W 0δ δ δ+ + = (86) 
sendo eWδ ≡ Trabalho virtual de todas as forças exteriores aplicadas ao sistema 
material; 
 iWδ ≡ Trabalho virtual de todas as forças interiores; 
 jWδ ≡ Trabalho virtual de todas as forças de inércia 
(igual mas de sinal contrário à variação de energia cinética ocorrida 
durante o deslocamento virtual). 
A expressão (86) é equivalente à expressão (84). Com efeito, cada um dos pontos 
que constituem o sistema material está sob a acção de um sistema de forças concorrentes 
equivalente a zero (isto, se se incluírem as forças de inércia). 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 205 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Tal sistema de forças, estando em "equilíbrio", realizará trabalho nulo, qualquer 
que seja o deslocamento a que seja submetido. Em particular realizará trabalho nulo, num 
deslocamento virtual (real ou hipotético). E se é nulo o trabalho virtual correspondente às 
forças que actuam em cada ponto material, há-de ser nulo o trabalho virtual total, 
correspondente a todo o sistema material. 
No caso particular de o sistema material ser rígido, ou um conjunto de sistemas 
materiais rígidos com ligações perfeitas entre si, então o trabalho das forças interiores 
será nulo e o teorema dos trabalhos virtuais reduz-se a 
e jW W 0δ δ+ = (87) 
Chama-se "ligação perfeita" aquela em que as forças de ligação não realizam 
trabalho num qualquer deslocamento virtual. É o caso de um "escorregamento sem atrito", 
um "rolamento puro", etc., como se mostra na figura 19. 
No caso ainda mais restrito de um sistema material em repouso ou em translação 
rectilínea e uniforme, então também as forças de inércia não realizam trabalho, pelo que 
a expressão do teorema dos trabalhos virtuais passará a ser 
eW 0δ = (88) 
Esta é a forma que se utiliza na estática. 
Como é evidente, estas duas expressões (87) e (88) são casos particulares do 
Teorema dos Trabalhos Virtuais representado pela expressão (86). 
 
δ ω = 0
δ α δx
δω = 0
δ ω = fa .δx
δx
δx
 δ ω = M δ α
 
 a) b) c) d) 
 
Figura 19 - Exemplos de ligações "perfeitas" e "não perfeitas". 
 
 
 
206 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
5.4 Aplicação do teorema dos trabalhos virtuais 
 
A circunstância da equação (86) ser válida em qualquer deslocamento virtual dá a 
este teorema uma amplitude excepcional. De facto: 
• Impondo um deslocamento virtual a dado sistema definido pela variação, 
isolada ou conjunta, dos parâmetros cinemáticos "reais", permite obter as 
equações diferenciais do movimento (tantas quantos os parâmetros cinemáticos 
independentes que existam, também designados por graus de liberdade – 
g.d.l.); 
• Impondo um deslocamento virtual na direcção de uma força desconhecida, 
obtém-se uma equação que, em muitas situações permite calcular de imediato 
o valor desta força; 
• Substituindo as ligações que existem na realidade pelas forças que estas 
introduzem (o que mantém o "equilíbrio" do sistema material) e escolhendo 
convenientemente os deslocamentos virtuais, calculam-se de modo expedito 
essas forças de ligação. 
 
A grande vantagem deste método reside no facto de não ser necessário, em geral, 
resolver simultaneamente todas as equações que regem o movimento dos sistemas 
materiais. Podem-se formular e resolver quase sempre as equações parcelares 
estritamente necessárias para o problema. 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 207 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
 
6.1 Disco rolando sem escorregar sobre um plano inclinado 
 
A figura 20 mostra um disco de raio R que rola sem escorregar sobre um plano 
inclinado, sob a acção das forças de gravidade e da força elástica de uma mola linear, nas 
condições da figura. 
 
•
R
C
K
Aθ
xx
xx
x
 
 
Figura 20 - Disco que rola sem escorregar sobre um plano inclinado. 
 
Sabendo que o disco parte do repouso, de uma posição em que a mola não está 
deformada, pretende-se determinar: 
a) A máxima deformação da mola; 
b) A equação do movimento do disco; 
 
Para resolver o problema, deve-se começar por representar o diagrama de corpo 
livre do disco, colocando todas as forças, exteriores, interiores e de inércia, que nele 
actuam, como se mostra na figura 21. 
Quando o disco se move ao longo da rampa, as forças de ligação em A não realizam 
trabalho. Com efeito, a força N é sempre perpendicular ao deslocamento e a força de 
atrito está aplicada num ponto de velocidade nula, pelo que ambas não realizam 
trabalho. 
Trata-se de um movimento em que haverá Conservação da Energia Mecânica Total. 
 
208 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
Figura 21 - Diagrama de corpo livre do disco. 
 
Análise cinemática 
 
G Av v AGω= + ×
$$! $$! $! $$$!
, 
0 0
0 0 0 0
0 0 0
G
R x
v R
α
α
       
       = + × = =       
       −       
((
$$! !
(
, pelo que 
,x R x Rα α= =( ((( (( , 
,
dx d
R dx Rd
dt dt
α α= = . 
0 0
0 0
G G
R x
a v
α   
   = = =   
   
   
i (((($$! $$!
 
 
Torsor da quantidade de aceleração 
 
0 0
0 0
G
mR mx
Q ma
α   
   = = =   
   
   
i (((($! $$!
 
[ ]
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
XX
G G YY
ZZ ZZ
I
H I I
I I
ω
α α
     
    = × = =    
     − −     
$$$! $!
( (
 
 
X 
Y 
A 
C 
T 
N 
mg
FK 
mx((zz
I α((
α(
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 209 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
0
0G G
ZZ
k H
I α
 
 = =  
 − 
i$$! $$$!
((
 
a) Para responder à alínea a) basta estabelecer o balanço energético entre a posição 
inicial (velocidade e deformação da mola nulas) e a posição final (velocidade nula e 
deformação da mola máxima). Tem-se que 
( ) ( ) ( )2 1 2 1 2g g e e 2 1 1V V V V WΤ Τ− + − + − = 
( ) )
g
e
21M g sin x k x 0 0 0
2
WV V
θ
∆∆ ∆ Τ∆
− + + − =*+++,+++- *+,+-*+,+-
 
donde se obtém 
k
singM2x θ= ( x = deformação máxima da mola). 
 
b) Para se obter a equação do movimento do disco deve-se impor um deslocamento 
virtual real δδδδx do centro do disco, mantendo a condição de rolamento sem 
escorregamento no ponto A, como se mostra na figura 22. 
 
Figura 22 – Campo de deslocamentos virtuais (I). 
Aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais, obtém-se que 
e i jW W W 0δ δ δ+ + = 
e
KW mg x F x N A T Aδ δ δ δ δ= + + +
! $$! $$! $$! $! $$$! $! $$$!
i i i i 
X 
Y 
A 
C 
δδδδx
 
δαδαδαδα 
210 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
iW 0δ = 
j
GW Q x Kδ δ δα= − −
i$! $$! $$$! $$!
i i 
e i j
K GW W W mg x F x N x T x Q x K 0δ δ δ δ δ δ δ δ δα+ + = + + + − − =
i! $$! $$! $$! $! $$! $! $$! $! $$! $$$! $$!
i i i i i i 
ZZ
mg sin x Kx x 0 0 T 0 mx x 0 0
mgcos 0 0 0 N 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I
θ δ δ δ
θ
α δα
−                       
                       − + + + − − =                       
                       − −                       
((
i i i i i i
((
 
ZZmg sin x Kx x mx x I 0θ δ δ δ α δα− − − =(( (( 
ZZmx x I Kx x mg sin xδ α δα δ θ δ+ + =(( (( 
ZZ
x x
mx x I Kx x mg sin x
R R
δδ δ θ δ+ + =
((((
 
θ + + = 
 
((ZZ
2
I
m x Kx mg sin
R 
a qual representa a equação de movimento do sistema. 
Para determinar a reacção do plano inclinado sobre o disco (
$!
N ) pode-se aplicar um 
deslocamento virtual yδ
$$!
 segundo a direcção da normal ao plano inclinado e impedindo a 
rotação virtual do disco, como se mostra na figura 23, determinando-se o correspondente 
Trabalho Virtual realizado pelas solicitações aplicadas ao sistema. 
 
Figura 23 – Campo de deslocamentos virtuais (II). 
X 
Y 
A 
C 
δδδδy 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 211 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Assim, 
e i j
KW W W mg y F y N y T y Q y 0δ δ δ δ δ δ δ δ+ + = + + + − =
i! $$! $$! $$! $! $$! $! $$! $! $$!
i i i i i 
mg sin 0 Kx 0 0 0 T 0 mx 0
mgcos y 0 y N y 0 y 0 y 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
θ
θ δ δ δ δ δ
−                   
                   − + + + − =                   
                   
                   
((
i i i i i
 
mgcos y N y 0θ δ δ− + = 
θ=N mgcos 
Para determinar a força de atrito no ponto de contacto A (T
$!
),pode-se aplicar um 
deslocamento virtual xδ
$$!
 segundo a direcção do plano inclinado e impedindo a rotação 
virtual do disco, determinando-se o correspondente Trabalho Virtual realizado pelas 
solicitações aplicadas ao sistema, como se mostra na figura 24. 
 
Figura 24 – Campo de deslocamentos virtuais (III). 
 
Assim, 
e i j
KW W W mg x F x N x T x Q x 0δ δ δ δ δ δ δ δ+ + = + + + − =
i! $$! $$! $$! $! $$! $! $$! $! $$!
i i i i i , 
mg sin x Kx x 0 x T x mx x
mgcos 0 0 0 N 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
θ δ δ δ δ δ
θ
−                   
                   − + + + − =                   
                   
                   
((
i i i i i
, 
mg sin x Kx x T x mx x 0θ δ δ δ δ+ − + − =(( , 
T mx Kx mg sinθ= + −(( . 
X 
Y 
A 
C 
δδδδx
A’ 
C’ 
δδδδx
212 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.2 Mecanismo simples 
 
O sistema mecânico representado na figura 25 é constituído por dois corpos: 
 
 
 
 
 
 
Figura 25 - Mecanismo simplesCorpo1 - Um disco, de raio r e massa m1, que roda em torno do ponto O fixo, com 
velocidade angular θ( e aceleração angular θ(( , accionado pelo momento motor 
Mm cos ωωωωt; o disco está ligado à mola de rigidez k através de um cabo 
inextensível que se enrola sobre o próprio disco; 
Corpo 2 - Um braço, rigidamente ligado ao corpo 1, de comprimento 4r e de massa m2. 
Na ausência de momento motor (Mm = 0) o mecanismo atinge o estado de equilíbrio 
estático, quando o braço (corpo 2) se encontra na posição horizontal e a mola apresenta 
uma deformação inicial ∆∆∆∆. 
Considerando a massa e a inércia dos dois corpos, e recorrendo ao Teorema dos 
Trabalhos Virtuais, pretende-se determinar: 
a) A equação de movimento do sistema; 
b) A força de ligação ao exterior no ponto O; 
Usando o Teorema da Conservação da Energia Mecânica Total, determinar: 
c) A velocidade angular do disco quando, na ausência de momento motor, o braço 
é largado da posição vertical (θθθθ = -ππππ/2) e roda 90º no sentido contrário ao dos 
ponteiros do relógio; 
 
X0 
X1 
Y0 
k 
θ 
Mm cos ωt 
O A 
G2 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 213 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.2.1 Diagrama de corpo livre 
 
A figura 26-a mostra o diagrama de corpo livre do sistema, estando representadas 
as forças e momentos exteriores que actuam sobre o mecanismo: os pesos dos dois corpos, 
a força da mola, a força de ligação ao exterior no ponto O e o momento exterior aplicado, 
respectivamente: 
.ktcosMeR,F,gm,gm mOk21
!!!
ω 
 
 
 a) b) 
 
Figura 26 - Diagrama de corpo livre do mecanismo: a) Forças e momentos exteriores; b) 
Quantidades de aceleração e momentos dinâmicos. 
 
A figura 26-b mostra o diagrama de corpo livre do sistema, estando representadas 
as quantidades de aceleração e momentos dinâmicos dos vários corpos que compôem o 
mecanismo: momento dinâmico do corpo 1 em G1 , quantidade de aceleração do corpo 2 e 
o momento dinâmico do corpo 2 em G2, respectivamente: 
.KeQ,K 22G
21
1G
•
 
 
 
 
 
 
X0 
X1 
Y0 
k 
θ
Mm cos ωt 
O 
A 
m2 g 
m1 g 
Fk 
ROX 
ROY 
X0 
X1 
Y0 
k 
θ O
KG1 
KG2 •2Q 
214 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.2.2 Equação de Movimento 
 
Para se obter a equação de movimento deve ser imposto ao mecanismo um sistema 
de deslocamentos virtuais reais, que traduzam o movimento real do mecanismo. 
Considera-se uma rotação virtual real δθ em torno do ponto O, do qual resultam 
deslocamentos dos pontos A e G2. O ponto O permanece fixo como se mostra na Figura 27. 
A rotação virtual dos corpos 1 e 2 é igual. 
 
 
Figura 27 - Campo de deslocamentos virtuais (I). 
 
O trabalho virtual realizado pelas forças e momentos exteriores, pelas forças e 
momentos interiores e pelas forças e momentos de inércia, devido ao conjunto de 
deslocamentos e rotações virtuais aplicado, é representado pela seguinte expressão: 
e i jW W W 0δ δ δ+ + = 
a qual é equivalente a escrever: 
e
1 2 2 K m OW m g O m g G F A M cos tk R Oδ δ δ δ ω δθ δ= + + + +
!$$$! $$$$! $$! $$$! $$! $$! $$$!! !
i i i i i 
iW 0δ = 
j 1 2 2
G1 2 G2W K Q G Kδ δθ δ δθ= − − −
i$$$! $$$! $$$$!$$! $$$$! $$!
i i i 
Note-se que o trabalho virtual das forças e momentos de inércia é igual e de sinal 
contrário ao trabalho realizado pelas quantidades de aceleração e momentos dinâmicos. 
X0 
X1 
Y0 
k 
θO 
A� 
δθ 
X�1
A 
δy 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 215 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A soma das três parcelas tem por resultado: 
0KGQKOR
ktcosMAFGgmOgm
2
2G2
21
1GO
mK221
=•−•−•−•
+•+•+•+•
•
δθδδθδ
δθωδδδ
!!!
 
Tendo em atenção que para o sistema de deslocamentos e rotações virtuais imposto 
ao mecanismo o ponto permanece fixo e logo 0O
!
=δ obtém-se 
0KGQKktcosMAFGgm 22G2
21
1GmK22 =•−•−•−•+•+•
•
δθδδθδθωδδ
!!
 
 
a) Forças e momentos exteriores 
 
Os vectores que representam as forças e momentos exteriores envolvidos na 
expressão anterior devem agora ser determinados. 
( ) ( ) ( )










=










−=










+−−=










+−=










−=










−=
tcosM
0
0
ktcosM
0
RK
0
0
RK
0
0
YK
0
0
F
0
F
0
gm
0
gm
m
m
kK
22
ω
ω
∆θ∆θ∆
!
!
 
 
b) Quantidades de aceleração e momentos dinâmicos 
 
Os vectores que representam as quantidades de aceleração e momentos dinâmicos 
envolvidos na expressão anterior devem agora ser determinados. 
 
b.1 Momento dinâmico do corpo 1 no ponto G1 
[ ]
1 1
1 1
1 0
1 1 1 1
1
x x
1 1 1
G1 G1 10 y y G1
S S
1 1
z z z z
I 0 0 0 0
H I x 0 I 0 x 0 0 H
0 0 I I
ω
θ θ
   
   = = = =    
         
$$$! $$$!$$$!
( (
 
216 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
0
1 1
1
G1
S
1
z z
0
K 0
I θ
 
 
=  
 
 
$$$!
((
 
 
b.2 Quantidade de aceleração do corpo 2 










−
−−
=










−
−−
=









−
=










=
•
0
sincos
cossin
R2mQ
0
sincos
cossin
R2a
0
cos
sin
R2v
0
sinR2
cosR2
OG
2
2
2
2
2
2
2G
2G
S
2
0
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθ
θθ
θ
θ
(((
(((
(((
(((
(
(
 
 
b.3 Momento dinâmico do corpo 2 no ponto G2 
[ ]










=
=










=






















==
θ
θθ
ω
((
((
2
zz
S
2
2G
S
2
2G
2
zz
2
zz
2
yy
2
xx
202G
S
2
2G
22
0
0
2222
22
22
1
I
0
0
K
H
I
0
0
0
0
x
I00
0I0
00I
xIH
 
 
c) Sistema de deslocamentos e rotações virtuais 










=
δθ
δθ 0
0
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 217 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 









−
=




















+










=+=
0
cosR2
sinR2
0
sinR2
cosR2
x0
0
0
0
0
OGxOG 22 δθθ
δθθ
θ
θ
δθ
δθδδ 










−=









−










+










=+=
0
R
0
0
0
R
x0
0
0
0
0
OAxOA δθ
δθ
δθδδ 
Substituindo todas os vectores na equação de movimento 
0KGQKktcosMAFGgm 22G2
21
1GmK22 =•−•−•−•+•+•
•
δθδδθδθωδδ
!!
 
obtém-se 
( )
00
0
I
0
0
0
cosR2
sinR2
0
sincos
cossin
R2m
0
0
I
0
0
0
0
tcosM
0
0
*
0
R
0
0
RK
0
0
cosR2
sinR2
0
gm
0
2
zz
2
2
2
1
zzm
2
22
11
=










•










−









−
•










−
−−
−
−










•










−










•










+










−•










−+









−
•










−
δθθ
δθθ
δθθ
θθθθ
θθθθ
δθθδθω
δθ∆θδθθ
δθθ
((
(((
(((
((
 
isto é 
( )
( ) 0IR2R2mI
tcosMRRKcosR2gm
2
zz2
1
zz
m2
2211
=−−−
+−−−
δθθδθθδθθ
δθωδθ∆θδθθ
((((((
 
Simplificando a expressão anterior determina-se que 
( ) ( ) tcosMcosRgm2RRKRm4II m2222 zz1 zz 2211 ωθ∆θθ =+−+++ (( 
Neste mecanismo as oscilações dos corpos em torno da posição de equilíbrio são de 
muito pequena amplitude. Logo o valor do ângulo θθθθ é sempre muito pequeno. Nestas 
condições tem-se que: 
218 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
θθθθpequeno ⇔⇔⇔⇔ sin θθθθ ≈≈≈≈ θθθθ e cos θθθθ ≈≈≈≈ 1 . 
Aplicando esta simplificação à expressão anterior obtém-se: 
( ) ( ) tcosMRgm2RRKRm4II m2222 zz1 zz 2211 ω∆θθ =+−+++ (( 
Analisando a posição de equilíbrio estático, isto é quando o sistema se encontra em 
repouso, verifica-se que: 
0,0,0tcosMm === θθω (( 
e substituindo na expressão anterior determina-seque 
0Rgm2RK 2 =+− ∆ 
isto é 
K
gm2 2=∆ 
Deste modo a equação de movimento do mecanismo toma a seguinte forma final 
( ) tcosMRKRm4II m2222 zz1 zz 2211 ωθθ =+++ (( 
 
 
6.2.3 Forças de ligação ao exterior no ponto O 
 
Para se obter as reacções no ponto O, determinam-se as componentes segundo OX 
e OY separadamente. 
No que diz respeito à componente ROX, pode-se impor a todos os pontos do 
mecanismo um deslocamento virtual imaginário xδ , bloqueando o movimento real θθθθ do 
mecanismo, 0
!
=δθ , como se mostra na figura 28. 
O trabalho virtual realizado pelas forças e momentos exteriores, pelas forças e 
momentos interiores e pelas forças e momentos de inércia, devido ao sistema de 
deslocamentos e rotações virtuais aplicado, é representado pela seguinte expressão: 
e i jW W W 0δ δ δ+ + = 
a qual é equivalente a escrever: 
e
1 2 K m OW m g x m g x F x M cos tk R xδ δ δ δ ω δθ δ= + + + +
!$$! $$! $$! $$! $$! $$! $$!! !
i i i i i 
iW 0δ = 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 219 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
j 1 2 2
G1 2 G2W K Q G Kδ δθ δ δθ= − − −
i$$$! $$$! $$$$!$$! $$$$! $$!
i i i 
 
 
 
Figura 28 - Campo de deslocamentos virtuais (II). 
 
A soma das três parcelas tem por resultado: 
00KxQ0KxR
0ktcosMxFxgmxgm
2
2G
21
1GO
mK21
=•−•−•−•
+•+•+•+•
• !!
!!!!
δδ
ωδδδ
 
Tendo em atenção o sistema de deslocamentos e rotações virtuais imposto ao 
mecanismo, obtém-se 
( )
1 1
1 2
m
OX
OY
1
z z
0 x 0 x 0 x 0 0
m g 0 m g 0 K R 0 0 0
0 0 0 0 0 0 M cos t 0
R x 0 0
R 0 0 0
0 0 0I
δ δ δ
θ ∆
ω
δ
θ
               
               − + − + − +               
               
               
             + −       
      
      
i i i i
i i
((
2 2
2
2
2
2
z z
sin cos x 0 0
m 2R cos sin 0 0 0 0
0 0 0I
θ θ θ θ δ
θ θ θ θ
θ
   − −               − − − =       
        
         
(( (
(( ( i i
((
 
( ) 0xcossinR2mxR 22OX =−−− δθθθθδ ((( 
isto é 
( )θθθθ cossinR2mR 22OX ((( +−= 
 
X0 
X1 Y0 
k 
O 
O� 
X�1 
A 
δx 
220 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
No que diz respeito à componente ROY, podem-se impor a todos os pontos do 
mecanismo um deslocamento virtual imaginário yδ , bloqueando o movimento real θθθθ do 
mecanismo, 0
!
=δθ , como se mostra na figura 29. 
 
 
Figura 29 - Campo de deslocamentos virtuais (III). 
 
O trabalho virtual realizado pelas forças e momentos exteriores, pelas forças e 
momentos interiores e pelas forças e momentos de inércia, devido ao sistema de 
deslocamentos e rotações virtuais aplicado, é representado pela expressão: 
e i jW W W 0δ δ δ+ + = , a qual é equivalente a escrever: 
e
1 2 K m OW m g y m g y F y M cos tk R yδ δ δ δ ω δθ δ= + + + +
!$$! $$! $$! $$! $$! $$! $$!! !
i i i i i 
iW 0δ = 
j 1 2 2
G1 G2W K Q y Kδ δθ δ δθ= − − −
i$$$! $$$! $$$$!$$! $$! $$!
i i i 
A soma das três parcelas tem por resultado: 
00KyQ0KyR
0ktcosMyFygmygm
2
2G
21
1GO
mK21
=•−•−•−•
+•+•+•+•
• !!
!!!!
δδ
ωδδδ
 
Tendo em atenção o sistema de deslocamentos e rotações virtuais imposto ao 
mecanismo, obtém-se 
X0 
X1 
Y0 
k 
O 
O� 
X�1 
A 
δy 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 221 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )
1 1
1 2
m
OX
OY
1
z z
0 0 0 0 0 0 0 0
m g y m g y K R y 0 0
0 0 0 0 0 0 M cos t 0
R 0 0 0
R y 0 0
0 0 0I
δ δ θ ∆ δ
ω
δ
θ
               
               − + − + − +               
               
               
             + −       
      
      
i i i i
i i
((
2 2
2
2
2
2
z z
sin cos 0 0 0
m 2R cos sin y 0 0 0
0 0 0I
θ θ θ θ
θ θ θ θ δ
θ
   − −               − − − =       
        
         
(( (
(( ( i i
((
 
( ) 0ysincosR2myRy)R(kygmygm 22OY21 =−−+−+−− δθθθθδδ∆θδδ ((( 
isto é 
( ) ( )gmm)R(ksincosR2mR 2122OY ++−−−= ∆θθθθθ ((( 
 
 
6.2.4 Velocidade angular do disco 
 
A velocidade angular do disco, na ausência de momento motor, após o corpo 2 ter 
rodado de um ângulo θθθθ = ππππ/2, partindo do repouso da posição θθθθ0000 = -ππππ/2, pode ser 
determinada recorrendo ao Princípio da Conservação da Energia Mecânica Total: 
2 1
mt mt n cons.E E W= − 
Atendendo a que todas as forças e momentos aplicados ao mecanismo, na ausência 
do Momento Motor são conservativas, a expressão anterior reduz-se a: 
mt 2 mt1 2 g2 e2 1 g1 e1E E T V V T V V= ⇔ + + = + + 
A energia cinética de um corpo é definida, em qualquer instante, pela expressão 
[ ]ω ω= +
$$! $$! ! !1 1
.
2 2
T
G G GT Mv v I . 
Logo a energia cinética total do mecanismo é dada pela soma das energias cinéticas 
de cada corpo, isto é 
corpo1 corpo2 1 2T T T T T= + = + 
 
 
222 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
{ }
{ }
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
1
x x
1
1 y y
1
z z
2
x x
2
2 y y
2
z z
I 0 0 0
1 1
T m 0 0 0 0 0 I 0 0
2 2
0 0 I
2R sin 2R sin I 0 0 0
1 1
m 2R cos 2R cos 0 0 0 I 0 0
2 2
0 0 0 0 I
θ
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ
  
  = + × +  
     
   − −   
      + + ×      
            
! ! (i
(
( (
( ( (i
(
 
( ) 22 zz221 zz21 2211 IRm4I2
1TTT θ(++=+= 
A energia potencial gravítica de um corpo é definida, em qualquer instante, pela 
expressão hg YgmV = . Portanto, a energia potencial gravítica do mecanismo é dada por 
corpo1 corpo 2 1 2 1 2
g g g g g 1 h 2 hV V V V V m gY m gY= + = + = + 
A energia potencial elástica de uma mola é definida, em qualquer instante, pela 
expressão ( )2e XK2
1V ∆= . 
No instante inicial o sistema está em repouso 0=θ( , os corpos 1 e 2 estão na 
posição vertical 1 2h hY 0 e Y 2R= = − e a deformação da mola é igual a 




 −− ∆π
2
R , 
logo: 
1
g1 2
2
e1
T 0
V 2 m g R
1
V k R
2 2
π ∆
=
= −
 = − − 
 
 
No instante final o sistema está em movimento os corpos 1 e 2 estão na posição 
horizontal 1 2h hY 0 e Y 0= = e a deformação da mola é igual a ( )∆ , logo: 
( )
( )
1 1 2 2
1 2 2 2
2 z z 2 z z
g2
2
e2
1
T I 4m R I
2
V 0
1
V k
2
θ
∆
= + +
=
= −
(
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 223 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Substituindo todos os valores na expressão que estabelece a Conservação da 
Energia Mecânica Total obtém-se 
( ) ( )222 zz221 zz
2
2 k2
1IRm4I
2
1
2
Rk
2
1Rgm2
2211
∆θ∆π +++=




 −−+− ( 
isto é 
( )
( )
( )
( )2 zz221 zz
2
2
2
2
zz
2
2
1
zz
2
2
2
2
2211
2211
IRm4I
Rgm4
2
Rk
IRm4I
Rgm4
2
Rk
++
−








−




 −−
=
++
−








−




 −−
=
∆∆π
θ
∆∆π
θ
(
(
 
 
 
 
224 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.3 Sistema came – impulsor 
 
O sistema mecânico representado na figura 30 é constituído por: 
Corpo 1: Um disco de massa m1, 
que roda em torno do ponto O, 
com velocidade angular θ( 
constante, sob a acção do 
Momento motor Mm; 
Corpo 2: um rolete de massa m2, 
que roda em torno do ponto 
A ≡≡≡≡ G2, e rola sem escorregar 
sobre o corpo 1 no ponto I; 
Corpo 3: um impulsor de massa 
m3, que translada segundo o eixo 
OY, e está submetido à acção da 
mola de rigidez K e de uma força 
resistente FR. 
Para θθθθ=-ππππ/2 a deformação 
da mola é nula. 
Admite-se que todas as 
ligações são perfeitas e são 
consideradas as massas e as 
inércias dos três corpos. 
Pretende-se determinar a 
equação de movimento,as forças 
de ligação entre os corpos 1 e 2, 
e as reacções no apoio O. 
 
 
 
Figura 30 – Sistema mecânico Came – Impulsor. 
1
2 
3
O 
A 
B 
C 
I 
G1 
b 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
X 
R 
a 
Mm 
K 
e 
FR 
γγγγ 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 225 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.3.1 Geometria e cinemática cinemática do sistema came impulsor 
 
A análise do triângulo OG1A permite escrever as seguintes duas equações: 
ecos (R r) sin
OA e sin (R r)cos
θ ϕ
θ ϕ
= +
= + +
 (89, 90) 
A expressão (89) permite determinar o ângulo ϕϕϕϕ em função de θθθθ, isto é, 
ϕ θ =  + 
e
arc
r R
sin cos
( )
 
Derivando em ordem ao tempo a expressão (89) obtém-se 
ϕ
θθϕϕϕθθ
cos
sin
)Rr(
ecos)Rr(sine ((((
+
−=⇔+=− (91) 
Derivando em ordem ao tempo a expressão (918) determina-se que 
( ) ϕϕθθθθϕϕ
ϕϕϕϕθθθθ
sin)Rr(cossinecos)Rr(
sin)Rr(cos)Rr(cosesine
22
22
((((((
((((((
++−−=+
+−+=−−
 
( ) ϕϕθθθθ
ϕ
ϕ tgcossin
cos)Rr(
e 22 (((((( +−
+
−= 
As primeira e segunda derivadas em ordem ao tempo da expressão (90) permitem 
determinar a velocidade e aceleração do ponto A, isto é, 
 
( ) ( )ϕϕϕϕθθθθ
ϕϕθθ
cossin)rR(sincosea
sin)rR(cosev
22
A
A
((((((
((
++−−=
+−=
 (92, 93) 
 
O corpo 1 está submetido a um movimento de rotação em torno do ponto O, 
representado pelo parâmetro cinemático θθθθ, e o corpo 2 rola sem escorregar sobre o corpo 
1 no ponto I, sendo a sua rotação definida pelo parâmetro γγγγ. 
A velocidade e aceleração angulares do corpo 2 podem ser determinadas 
estabelecendo que 
226 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
I1 I2
t t
I1 I2
n n
I1 I2
O 10 A 20
pq.ocorre rolamento semecorregamento;
pq.ocorre permanentemente contacto;
v v
v v
v v
v OI v AI
0 0 ecos R sin
0 0 e sin Rcos
0 0
ω ω
θ ϕ
θ ϕ
θ
=
= →
= →
+ × = + ×
  −   
   + × +    
    
   
$$! $$$!
$$! $$$! $$! $$! $$$$! $$!
(
( )
( )
A
A
0 0 r sin
v 0 r cos
0 0
e sin R cos r cos
ecos R sin v r sin
0 0
ϕ
ϕ
γ
θ ϕ θ γ ϕ
θ ϕ θ γ ϕ
     
      = + × −      
      −      
 − +  −
   − = −   
   
  
(
( (
( (
 
isto é, 
( )
( )θϕθϕγ
θϕθϕγ
((
((
sinRcosesinrv
cosRsinecosr
A −=−
+−=−
 (94, 95) 
Simplificando as expressões anteriores obtém-se 
( )
( ) ϕγθϕθ
ϕθ
ϕ
θγ
sinrsinRcosev
cosRsine
cosr
A ((
(
(
+−=
+=
 
isto é, 
( ) ϕ
ϕ
θθθϕθ
ϕ
θθγ
sin
r
R
cos
sin
r
ersinRcosev
r
R
cos
sin
r
e
A 





++−=






+=
((
((
 
( )ϕθθθ
ϕ
θθγ
tgsincosev
r
R
cos
sin
r
e
A +=






+=
(
((
 (96, 97) 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 227 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
As expressões (92) e (97) deveriam ser iguais, o que pode ser obtido após adequada 
transformação. Assim retomando a definição de ϕ( apresentada em (91) 
ϕ
θθϕ
cos
sin
)Rr(
e ((
+
−= 
e substituindo-a na expressão de VA apresentada em (92) 
ϕϕθθ sin)rR(cosevA (( +−= 
obtém-se 
ϕ
ϕ
θθθθ sin
cos
sin
)Rr(
e)rR(cosevA 





+
−+−= (( 
o que simplificando permite obter 
ϕ
ϕ
θθθθ sin
cos
sinecosevA 





+= (( 
isto é, 






+=
ϕ
ϕθθθ
cos
sinsincosevA ( , c.q.d. 
A aceleração angular do corpo 2 pode ser obtida derivando em ordem ao tempo a 
expressão (94) 
( )θϕθϕγ (( cosRsinecosr +−=− 
isto é 
( )
( ) ϕγγγθθθϕθθϕγ
γγθθθϕθθϕγϕγ
sinrsinRcosecosRsinecosr
sinRcosecosRsinesinrcosr
22
22
((((((((
((((((((
−+−+−=−
+−+−=+−
 
( )[ ]ϕγγγθθθϕθθ
ϕ
γ sinrsinRcosecosRsine
cosr
1 22 (((((((( +−++= 
 
 
 
 
 
228 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.3.2 Diagrama de corpo livre do sistema 
 
A figura 31-a mostra o diagrama de corpo livre do sistema, estando representados 
as forças e momentos exteriores que actuam sobre o mecanismo: os pesos dos três corpos, 
a força da mola, as forças de ligação ao exterior nos pontos O, B e C e o momento exterior 
aplicado e a força resistente, respectivamente: 
.FeM,R,R,R,F,gm,gm,gm RmCBOK321
!!!
 
A figura 31-b mostra o diagrama de corpo livre do sistema onde são representadas 
as quantidades de aceleração e os momentos dinâmicos no centro de massa dos 3 corpos 
que constituem o mecanismo, respectivamente: 
.am,K,am,K,am 3G3
2
2G2G2
1
1G1G1 
 
 
6.3.3 Equação de movimento do sistema came-impulsor 
 
Para se obter a equação de movimento deve ser imposto ao mecanismo um sistema 
de deslocamentos virtuais reais, que traduza o movimento real do mecanismo. 
No caso do sistema came impulsor é imposta uma rotação virtual real δθ em torno 
do ponto O, do qual resulta um deslocamento dos pontos G1 e A. O ponto O permanece 
fixo. A rotação virtual do corpo 2 é δγ . 
O trabalho virtual realizado pelas forças e momentos exteriores, pelas forças e 
momentos interiores e pelas forças e momentos de inércia, devido ao conjunto de 
deslocamentos e rotações virtuais aplicado, é representado pela seguinte expressão: 
e i jW W W 0δ δ δ+ + = , isto é ( iW 0δ = , ligações perfeitas) 
e
1 1 2 2 3 3 K 3 R 3 m
O B C
W m g G m g G m g G F G F G M k
R O R B R C
δ δ δ δ δ δ δθ
δ δ δ
= + + + + +
+ + +
!$$$$! $$$$! $$$$! $$! $$$$! $$! $$$$! $$!! ! !
i i i i i i
$$! $$$! $$! $$! $$! $$!
i i i
 
j 1 1 2 2 3
1 G1 2 G2 3W Q G K Q G K Q Gδ δ δθ δ δγ δ
• • •
= − − − − −
$$! $$$! $$$! $$$$! $$$!$$$$! $$! $$$$! $$! $$$$!
i i i i i 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 229 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Note-se que o trabalho virtual das forças e momentos de inércia é igual e de sinal 
contrário ao trabalho realizado pelas quantidades de aceleração e momentos dinâmicos. 
 
 
 
a) b) 
 
Figura 31 - Diagrama de corpo livre do sistema came - impulsor: 
a) Forças e momentos exteriores; 
b) Quantidades de aceleração e momentos dinâmicos. 
 
O
A 
B 
C 
I 
G1 
b 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
R 
a 
KG1 
m3 aG3 
G3 
m2 aG2 
m1 aG1 
KG2 
O 
A 
B 
C 
I 
G1 
b 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
X 
R 
a 
Mm 
FK 
RB 
RC 
m3 g 
m2 g 
m1 g 
ROX 
ROY 
G3 
FR 
X 
230 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A soma das três parcelas tem por resultado: 
1 1 2 2 3 3 3 3
1 1 2 2 3
1 1 2 2 3 0
K R m O B
C G G
m g G m g G m g G F G F G M k R O R B
R C Q G K Q G K Q G
δ δ δ δ δ δθ δ δ
δ δ δθ δ δγ δ
• • •
+ + + + + + + +
− − − − − =
!$$$! $$$$! $$$$! $$! $$$$! $$! $$$$! $$! $$! $$$! $$! $$!! ! !
i i i i i i i i
$$! $$$! $$$! $$$! $$!$$! $$! $$$! $$! $$$$! $$! $$$$!
i i i i i i
 
a) Forças e momentos exteriores 
Os vectores que representam as forças e momentos exteriores envolvidos na expressão 
anterior devem agora ser determinados. 
1 1 2 2 3 3
0 0 0
; ;
0 0 0
m g m g m g m g m g m g= − = − = −
     
     
     
          
! ! !
 
( ) ( )
2
0
0 0
0 0
0
K kF F K y K OA OA πθ θ θ= =−
 
           = − = − ∆ = − −            
      
$$!
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )[ ]
0 0
sin cos cos 1 sin 1 cos
0 0
KF K e R r e R r K e R rθ ϕ ϕ θ ϕ= − + + − − + + = − + − + −
   
   
   
      
$$!
 
0 0
; 0 ; ; 0 ; 0
0 0 0 0
OX BX CX
R R m O OY B C
m
R R R
F F M k R R R R
M
= − = = = =
         
         
         
                  
!$! $$! $$! $$!
 
 
 
b) Quantidades de aceleração e momentos dinâmicos 
 
Os vectores que representam as quantidades de aceleração e momentos dinâmicos 
envolvidos na expressão anterior devem agora ser determinados. 
 
b.1 Quantidade de aceleração do corpo 1 
0
1 1
sincos
sin cos
00
GS
e
OG e v e
θ θθ
θ θ θ
 − 
  = =   
   
   
(
$$$$! $$$! ( 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 231 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2 2
•
2 1 2
1 1
sin cos sin cos
cos sin cos sin
0 0
Ga e Q m e
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
   − − − −
   
= − = −   
   
   
(( ( (( (
$$!$$$! (( ( (( ( 
b.2 Momento dinâmico do corpo 1 no ponto G1 
[ ]










=
=










=






















==
θ
θθ
ω
((
((
1
zz
S
1
1G
S
1
1G
1
zz
1
zz
1
yy
1
xx
101G
S
1
1G
11
0
0
1111
11
11
1
I
0
0
K
H
I
0
0
0
0
x
I00
0I0
00I
xIH
 
b.3 Quantidade de aceleração do corpo 2 
( ) ( )θ ϕ θ θ ϕ ϕ
  
  = = + + = − +   
   
   
$$$$! $$$! $$$! ( (GS SOG OA e R r v e R r0 02 2
00
sin cos cos sin
0 0
 
( ) ( )
( ) ( )
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
 
 
= − − + + 
 
 
 
 
= − − + + 
 
 
$$$! (( ( (( (
$$$!
(( ( (( (
Ga e R r
Q m e R r
2 2
2
•
2 2 2
2
0
cos sin ( ) sin cos
0
0
cos sin ( ) sin cos
0
 
b.4 Momento dinâmico do corpo 2 no ponto G2 
[ ]










−
=
=










−
=










−











==
γ
γγ
ω
((
((
2
zz
S
2
2G
S
2
2G
2
zz
2
zz
2
yy
2
xx
202G
S
2
2G
22
0
0
2222
22
22
1
I
0
0
K
H
I
0
0
0
0
x
I00
0I0
00I
xIH
 
232 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
b.5 Quantidade de aceleração do corpo 3 
A aceleração do ponto G3 é igual à aceleração do ponto G2. Logo 
( ) ( )










++−−=
•
0
cossin)rR(sincose
0
mQ 223
3 ϕϕϕϕθθθθ (((((( 
c) Campo de deslocamentos e rotações virtuais 
1 1
0 0
0 0
0
0 0 cos sin
0 0 sin cos
0 0 0
O
G O OG
e e
e e
δ δθ
δθ
δ δ δθ
θ θδθ
θ θδθ
δθ
= =
= + ×
−
= + × =
   
   
   
      
       
       
       
              
$$$$! $$$!
$$$! $$! $$! $$$! 
( )
( )
( )
2 3
0 0
0 0
sin
cos
0
cos sin
0
e
R r
G G B C OA
e tg
δγ
δγ θ δθ
ϕ
δ δ δ δ δ
δθ θ θ ϕ
 
       = =   
   −   −
+  
= = = =
 
 = + 
 
 
$$$$!
$$$$! $$$$! $$! $$! $$$!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 32 – Campo de deslocamentos virtuais (I). 
 
 
O 
G1 
δδδδθθθθ 
Y 
X 
G’1 
δδδδy 
A 
A’ 
δδδδγγγγ 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 233 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
d) Equação de movimento 
 
A equação de movimento pode ser simplificada, atendendo a que 
CBGG 32 δδδδ === 
e logo 
( )
1 2 3
O 1 1 2 3 K R B C 2
1 2
m G1 G2
R O m g Q G m g m g F F R R Q Q G
M k K K 0
δ δ δ
δθ δγ
• • •   
   + − + + + + + + − − +
   
   
+ − − =
$$! $$$! $$$!$$! $$$! $$$$! $$! $$! $$! $$! $$$$!! ! !
i i i
$$$! $$$$!! $$! $$!
i i
 
Substituindo todos os vectores na equação de movimento obtém-se 
( ) ( )( )
θ θ θ θθ δθ θ δθ
θ δθ θ θ θ θ θ δθ
θ ϕ
 − −− −                     + − − − +           
           
           
+
+ − − − − + − + − −   
(( (
(( (i i i
2
OX
2
OY 1 1
BX CX
2 3 R
sin cosR 0 0 e sin e sin
R 0 m g ecos m e cos sin ecos
0 0 0 0 0 0
R R
m g m g K e 1 sin R r 1 cos F
0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
δθ θ θ ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ δθ θ θ ϕ
δθθ γ
  
  + +  
   
   
   
    − + − − + + + +   
   
   
            −     
     − −     −   
i
(( ( (( ( i
i i
(( ((
1 1 2 2
2 2
2 3
1 2
m z z z z
0
e cos sin tg
0
0 0
m m e cos sin (R r) sin cos e cos sin tg
00
0 0 0 0
0 0 0 0
eM I I
R( )
θ δθ
ϕ
 
 
   = 
 
 
+  
0
sin
r cos
 
Executando os produtos escalares obtém-se a seguinte expressão 
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1 1 2 2
2
1 1 2 3
2 2
2 3
1 2
cos 1 cos sin
cos sin ( ) sin cos cos sin
sin
0
cos
R
m z z z z
m ge m e m g m g Ke sen F e tg
m m e R r e tg
e
M I I
R r
θδθ θδθ θ δθ θ θ ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ δθ θ θ ϕ
θθ δθ γ δθ
ϕ
− − − + + + + +
 − + − − + + + 
 
− − − = + 
((
(( ( (( (
(( ((
 
234 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Simplificando a expressão anterior determina-se que 
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1 1 2 2
2
1 1
2 3
2 2
2 3
1 2
cos
1 sin 1 cos cos sin
cos sin ( ) sin cos cos sin
sin
0
cos
R
m z z z z
m ge m e
m g m g K e R r F e tg
m m e R r e tg
e
M I I
R r
θ θ
θ ϕ θ θ ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ ϕ
θθ γ
ϕ
− − −
− + + + − + − + +  
 − + − − + + + 
 
− − − = + 
((
(( ( (( (
(( ((
 
Agrupando os termos obtém-se, finalmente, a equação de movimento do sistema 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )
1 1 2 2
1 2 2
1
2 2
2 3
2 3 1
sin
cos
cos sin ( ) sin cos cos sin
1 sin 1 cos cos sin cos
m z z z z
R
e
M I m e I
R r
m m e R r e tg
m g m g K e R r F e tg m ge
θθ θ γ
ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ ϕ
θ ϕ θ θ ϕ θ
= + − +
+
 + + − − + + + 
+ + + + − + − + + +  
(( (( ((
(( ( (( ( 
 
 
6.3.4 Forças de ligação entre os corpos 1 e 2 no ponto I 
 
As forças de ligação entre os corpos 1 e 2 no ponto ΙΙΙΙ são constituídas por: 
• uma componente N normal à tangente comum aos dois discos no ponto ΙΙΙΙ; 
• uma componente T segundo a direcção da tangente comum aos dois discos no 
ponto ΙΙΙΙ, responsável pela existência de rolamento sem escorregamento entre 
os dois corpos. 
De modo a ser possível determinar tais forças de ligação é necessário eliminar o 
corpo 1 e substituir as suas acções sobre o corpo 2 pelas componentes N e T atrás 
referidas, como se mostra na figura 33. 
Nesta figura estão representadas todas as forças e momentos que actuam sobre o 
“novo” sistema, quer sejam exteriores, interiores ou de inércia. 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 235 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 a) b) 
 
Figura 33 - Diagrama de corpo livre do rolete + impulsor: 
a) Forças e momentos exteriores; 
b) Quantidades de aceleração e momentos dinâmicos. 
O 
A 
B 
C 
I 
G1 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
X 
FK 
RB 
RC 
m3 g 
m2 g 
G3 
T 
N 
O 
A 
B 
C 
I 
G1 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
X 
R 
m3 aG3 
G3 
m2 aG2 
KG2 
FR 
236 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
a) Determinação da componente T 
 
A determinação da componente T pode ser obtida aplicando ao sistema o seguinte 
campo de deslocamentos virtuais (ver figura 34): 
• Imobilizar os corpos 2 e 3 impedindo a sua translação nas direcções X e Y; 
• Aplicar uma rotação virtual γδ em torno do ponto A ao corpo 2. 
 
O trabalho virtual realizado pelas forças e momentos exteriores, pelas forças e 
momentos interiores e pelas forças e momentos de inércia, devido ao conjunto de 
deslocamentos e rotações virtuais aplicado, é representado pela seguinte expressão: 
e i jW W W 0δ δ δ+ + = , isto é ( iW 0δ = ) 
e
2 2 3 3 K 3 R 3 B CW m g G m g G F G F G R B R C
N I T I
δ δ δ δ δ δ δ
δ δ
= + + + + +
+ +
$$$$! $$$$! $$! $$$$! $$! $$$$! $$! $$! $$! $$!! !
i i i i i i
! !$$! $$!
i i
 
j 2 2 3
2 G2 3W Q G K Q Gδ δ δγ δ
• •
= − − −
$$$! $$$$! $$$!$$$$! $$! $$$$!
i i i 
Note-se que o trabalho virtual das forças e momentos de inércia é igual e de sinal 
contrário ao trabalho realizado pelas quantidades de aceleração e momentos dinâmicos. 
A soma das três parcelas tem por resultado: 
0GQKGQITIN
CRBRGFGFGgmGgm
3
32
2G2
2
CB3R3K3322
=•−•−•−•+•+
•+•+•+•+•+•
••
δδγδδδ
δδδδδδ
!!
!!
 
 
a.1 Campo de deslocamentos e rotações virtuais 









−
−
=










−










−
+










=+=










====










−
=
0
sinr
cosr
0
cosr
sinr
x0
0
0
0
0
AIxAI
0
0
0
CBGG0
0
32
ϕδγ
ϕδγ
ϕ
ϕ
δγ
δγδδ
δδδδ
δγ
δγ
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 237 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Atendendo a que 0CBGG 32
!
==== δδδδ , 
a equação pode ser simplificada, obtendo-se 
0KITIN 22G =•−•+• δγδδ
!
 
2 2
2
sin cos
cos sin
0 0
cos cos 0 0
sin sin 0 0 0
0 0 z z
N r
N r
T r
T r
I
ϕ δγ ϕ
ϕ δγ ϕ
ϕ δγ ϕ
ϕ δγ ϕ
γ δγ
− −   
   − +   
   
   
 − −     
      + − − − =       
       − −      
i
i i
((
 
2 2
2
sin cos cos sin
cos cos sin sin
0z z
N r N r
T r T r
I
ϕ δγ ϕ ϕ δγ ϕ
ϕ δγ ϕ ϕ δγ ϕ
γδγ
− +
+ + −
− =((
 
γ((2 zz 22IrT = 
γ((
r
I
T
2
zz 22= 
 
 
 
 
 
Figura 34 – 
Campo de deslocamentos virtuais (II). 
 
 
 
 
b) Determinação da componente N 
A determinação da componente N pode ser obtida aplicando ao sistema o seguinte 
campo de deslocamentos virtuais (ver figura 35): 
• Imobilizar a rotação do corpo 2 em torno do ponto A; 
• Aplicar um deslocamento virtual imaginário yδ aos corpos 2 e 3. 
O 
A 
I 
G1 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
X 
δγδγδγδγ 
238 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
O trabalho virtual realizado pelas forças e 
momentos exteriores, pelas forças e momentos 
interiores e pelas forças e momentos de inércia, 
devido ao conjunto de deslocamentos e rotações 
virtuais aplicado, é representado pela seguinte 
expressão: 
e i jW W W 0δ δ δ+ + = , isto é ( iW 0δ = ) 
e
2 2 3 3 K 3
R 3 B C
W m g G m g G F G
F G R B R C N I T I
δ δ δ δ
δ δ δ δ δ
= + + +
+ + + + + +
$$$$! $$$$! $$! $$$$!! !
i i i
! !$$! $$$$! $$! $$! $$! $$! $$! $$!
i i i i i
 
j 2 2 3
2 G2 3W Q G K Q Gδ δ δγ δ
• •
= − − −
$$$! $$$$! $$$!$$$$! $$! $$$$!
i i i 
A soma das três parcelas tem por resultado: 
2 2 3 3 3 3
2
2
2 3
2 3 0
K R
B C
G
m g G m g G F G F G
R B R C N I T I Q G
K Q G
δ δ δ δ
δ δ δ δ δ
δγ δ
•
•
+ + + +
+ + + + − −
− − =
$$$$! $$$$! $$! $$$$! $$! $$$$!! !
i i i i
$$$!! !$$! $$! $$! $$! $$$$! $$$$! $$$$!
i i i i i
$$$! $$!$$! $$$$!
i i
 
 
b.1 Campo de deslocamentos e rotações 
virtuais 
 
2 3
0 0
0
0 0
G G B C I yδγ δ δ δ δ δ δ
   
   = = = = = =   
   
   
$$! $$$$! $$$$! $$! $$! $$!
 
 
 
Figura 35 – 
Campo de deslocamentos virtuais (III). 
 
Aplicando o campo de deslocamentos virtuais à equação dos Trabalhos Virtuais 
determina-se que 
O 
A 
I 
G1 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
X 
δδδδy 
A’ 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 239 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
0yQQTNRRFFgmgm 32CBRK32 =•








−−+++++++
••
δ
!!!!
 
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
ϕ
θ ϕ δ ϕ δ
ϕ
ϕ δ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
+ −       
       − − − + − + − − +         
       
       
 −   
      + − − + − − + +     
    
    
i i
(( ( (( (i
BX CX
2 3 R
2 2
2 3
R R 0 N sin 0
m g m g K e 1 sin R r 1 cos F y N cos y
0 0 0 0
0T cos 0
T sin y m m e cos sin (R r) sin cos
0 0 0
δ
 
  = 
  
 
i
0
y 0
0
 
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
ϕ ϕ θ ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
− − − − + − + − − −  
 − + − − + + = 
(( ( (( (
RN T m g m g K e R r F
m m e R r
2 3
2 2
2 3
cos sin 1 sin 1 cos
cos sin ( ) sin cos 0
 
( ) ( )( ){
( ) ( ) ( ) }
ϕ θ ϕ
ϕ
θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + + + − + − + +  
 + + − − + + 
(( ( (( (
RN T m g m g K e R r F
m m e R r
2 3
2 2
2 3
1
sin 1 sin 1 cos
cos
cos sin ( ) sin cos
 
 
 
6.3.5 Reacção no ponto O 
 
A reacção no ponto O tem duas componentes ROX e ROY. 
De modo a ser possível determinar tais componentes da reacção é necessário isolar 
o corpo 1 e substituir as acções do corpo 2 sobre o corpo 1 pelas componentes N e T 
calculadas no parágrafo anterior, como se mostra na figura 36. 
Nesta figura estão representadas todas as forças e momentos que actuam sobre o “novo” 
sistema, quer sejam exteriores, interiores ou de inércia. 
 
a) Determinação da componente ROX 
 
A determinação da componente ROX pode ser obtida aplicando à came o seguinte 
campo de deslocamentos virtuais (ver figura 37): 
• Imobilizar a rotação do corpo 1 em torno do ponto O; 
• Aplicar um deslocamento virtual imaginário xδ ao corpo 1. 
240 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
a) b) 
 
Figura 36 - Diagrama de corpo livre da a came: a) Forças e momentos exteriores; 
b) Quantidades de aceleração e momentos dinâmicos. 
 
O trabalho virtual realizado pelas forças e momentos exteriores, pelas forças e 
momentos interiores e pelas forças e momentos de inércia, devido ao conjunto de 
deslocamentos e rotações virtuais aplicado, é representado pela seguinte expressão: 
e i jW W W 0δ δ δ+ + = , isto é ( iW 0δ = ) 
e
1 1 O mW m g G R O T I N I Mδ δ δ δ δ δθ= + − − +
$$$$! $$! $$$! $! $$! $! $$! $$$! $$!!
i i i i i 
j 1 1
1 G1W Q G Kδ δ δθ
•
= − −
$$! $$$!$$$$! $$!
i i 
A soma das três parcelas tem por resultado: 
0KGQMINITORGgm 11G1
1
mO11 =•−•−•+•−•−•+•
•
δθδδθδδδδ
!
 
 
a.1 Campo de deslocamentos e rotações virtuais 










===










=
0
0
x
IGO
0
0
0
1
δ
δδδδθ . 
O 
- N 
I 
G1 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
X 
R 
Mm 
m1 g 
ROX 
ROY 
- T 
O 
A 
I 
G1 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
X 
R
KG1 
m1 aG1 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 241 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Aplicando o campo de 
deslocamentos virtuais à equação dos 
Trabalhos Virtuais determina-se que 
1
1 0Om g R T N Q xδ
• 
+ − − − =  
 
$$!$$! $! $! $$!!
i 
OX
1 OY
2
2
1
R N sin T cos
m g R N cos T sin
0 0 0
sin cos x
m e cos sin 0 0
0 0
ϕ ϕ
ϕ ϕ
θ θ θ θ δ
θ θ θ θ
     
      − + + − +     
          
 − −      − − =   
   
   
(( (
(( ( i
 
 
Figura 37 - Campo de deslocamentos virtuais (IV). 
 
( ) 0cossinemcosTsinNR 21OX =++++ θθθθϕϕ ((( 
( )θθθθϕϕ cossinemcosTsinNR 21OX ((( +−−−= 
 
b) Determinação da componente ROY 
 
A determinação da componente ROY pode ser obtida aplicando à came o seguinte 
campo de deslocamentos virtuais: 
• Imobilizar a rotação do corpo 1 em torno do ponto O; 
• Aplicar um deslocamento virtual imaginário yδ ao corpo 1. 
 
O trabalho virtual realizado pelas forças e momentos exteriores, pelas forças e 
momentos interiores e pelas forças e momentos de inércia, devido ao conjunto de 
deslocamentos e rotações virtuais aplicado, é representado pela seguinte expressão: 
e i jW W W 0δ δ δ+ + = , isto é ( iW 0δ = ) 
e
1 1 O mW m g G R O T I N I Mδ δ δ δ δ δθ= + − − +
$$$$! $$! $$$! $! $$! $! $$! $$$! $$!!
i i i i i 
j 1 1
1 G1W Q G Kδ δ δθ
•
= − −
$$! $$$!$$$$! $$!
i i 
O 
A 
I 
G1 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
X 
R
O’ δδδδx 
242 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
A soma das três parcelas tem por resultado: 
0KGQMINITORGgm 11G1
1
mO11 =•−•−•+•−•−•+•
•
δθδδθδδδδ
!
 
 
b.1 Campo de deslocamentos e rotações virtuais 
 
1
0
0
0
0
0
O G I y
δθ
δ δ δ δ
 
 =  
 
 
 
 = = =  
 
 
$$!
$$$! $$$! $$!
 
 
 
Figura 38 – 
Campo de deslocamentos virtuais (V). 
 
 
 
 
Aplicando o campo de deslocamentos virtuais à equação dos Trabalhos Virtuais 
determina-se que 
0yQNTRgm 1O1 =•








−−−+
•
δ
!
 
0
0
y
0
0
sincos
cossin
em
0
y
0
0
sinT
cosT
0
y
0
0
cosN
sinN
0
y
0
0
Rgm
R
2
2
1
OY1
OX
=









•










−
−−
−
−










•










+










•










−+










•










+−
δθθθθ
θθθθ
δϕ
ϕ
δϕ
ϕ
δ
(((
(((
 
( ) 0sincosemsinTcosNgmR 211OY =−−+−− θθθθϕϕ ((( 
( )θθθθϕϕ sincosemsinTcosNgmR 211OY ((( −+−+=
O 
A 
I 
G1 
θθθθ 
ϕϕϕϕ 
Y 
X 
R O’ 
δδδδy 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 243 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
7 PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
Problema : TE1 
A
B
K
F
D
l
1
θθθθ
E
l 2
 
 
A figura representa um mecanismo constituído por uma barra cuja extremidade 
superior A se desloca numa guia horizontal e cujo ponto intermédio B é forçado a 
deslocar-se na direcção vertical. 
A extremidade inferior D está permanentemente submetida à acção de uma mola 
de rigidez k constante. 
Ao ponto B está ligado o êmbolo de um cilindro hidráulico, o qual aplica uma força 
F, constante, durante o movimento de descida do êmbolo e uma força nula no seu 
movimento em sentido inverso. 
Considere apenas a massa da barra AD, suposta uniformemente distribuída ao longo 
do seu comprimento. Suponha que todas as ligações são perfeitas. 
Considere também a existência de uma deformação inicial da mola que estabelece 
o equilíbrio do sistema em repouso. 
Aplicando o Teorema do Trabalho e Energia, determine: 
a) A constante elástica da mola, de modo que no final do percurso de descida a 
velocidade angular da barra seja nula; 
b) A velocidade angular da barra, quando esta atingir novamente a posição inicial, 
definida por θθθθ = θθθθ0. 
244 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TE2 
 
k 
x 
1 
2 
3 
M m 
R 
θ 
A 
B r
β 
C 
y 
O 
 
O ≡≡≡≡ G1, B ≡≡≡≡ G3 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 - Um disco de massa m1, que roda em torno do eixo Z0 com velocidade angular 
θ( e aceleração angular θ(( , accionado pelo momento motor Mm constante. 
Corpo 2 - Um braço de comprimento ' , de massa e inércia desprezáveis, articulado em A 
com o corpo 1 e em B com o corpo 3. 
Corpo 3 - Um disco de raio r e massa m3, que rola sem escorregar sobre o plano 
horizontal, no ponto C, e está ligado ao exterior por uma mola de rigidez K; 
considere que para θθθθ = 0 a deformação da mola é nula. 
Suponha conhecidas as massas dos corpos 1 e 3, e as respectivas matrizes de inércia 
em relação a eixos principais centrais de inércia. 
a) Determine a equação de movimento do sistema, aplicando o Teorema dos Trabalhos 
Virtuais; 
b) Escreva as equações de trabalhos virtuais que permitem determinar as forças de 
ligação ao exterior no ponto O, e determine o campo de deslocamentos virtuais 
aplicado; 
c) Escreva as equações de trabalhos virtuais que permitem determinar as forças de 
ligação ao exterior no ponto C, e determine o campo de deslocamentos virtuais 
aplicado; 
d) Admitindo que o sistema parte do repouso, da posição θθθθ = 0, e aplicando o Teorema 
do Trabalho e Energia, determine a velocidade angular do corpo1 quando θθθθ = ππππ/2. 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 245 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TTV1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sistema mecânico 
representado na figura é 
constituído por: 
Corpo 1 - Um braço de massa m1, que roda em torno do ponto O fixo com velocidade 
angular θ( e aceleração angular θ(( , accionado pelo momento motor Mm 
conhecido. Suponha conhecida a matriz de inércia do corpo 1 em relação a 
eixos principais centrais de inércia. 
Corpo 2 - Uma corrediça, de massa m2, que translada horizontalmente sobre duas guias; 
a corrediça está ligada ao corpo 1 no ponto A através de um pino e ao exterior 
por duas molas iguais de rigidez K, estando submetida à acção da força 
resistente Fr conhecida. Considere que para θ θ θ θ = 0 a deformação inicial das 
molas ∆∆∆∆ é conhecida. 
Considere a existência de atrito entre o pino e o rasgo do corpo 2, sendo � o 
correspondente coeficiente de atrito. Considere as restantes ligações perfeitas. 
Determine: 
a) A equação de movimento do sistema, aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais; 
b) As forças de ligação ao exterior no ponto O, aplicando o Teorema dos Trabalhos 
Virtuais; 
c) A velocidade angular do corpo1 quando θθθθ = ππππ/2, admitindo que o sistema parte do 
repouso, da posição θθθθ = 0, e aplicando o Teorema do Trabalho e Energia (considere 
Mm e Fr constantes); 
x 
y 
K 
K 
L 
Mm 
r 
R 
θ 
H 
B 
C 
G2
G1
2
1 Fr 
A 
O 
246 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TTV2 
 
d
G4
O
a
A
G
Mm
2
C
G1
b
E
D
c
3G
θθθθ
P
B FR
 h2PG
hOG
2OC
OG
4
3
2
=
=
=
=
'
'
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 - Uma barra de massa m1, que translada horizontalmente e sobre a qual actua 
uma força resistente; a barra está ligada ao corpo 2 no ponto C através de 
um pino deslizante; 
Corpo 2 e 3 - Duas barras rigidamente ligadas entre si, respectivamente de massas m2 e 
m3, que rodam em torno do ponto O fixo com velocidade angular θ( e 
aceleração angular θ(( , sob a acção do momento motor Mm; a barra 3 está 
ligada ao corpo 4 no ponto P através de um pino deslizante; 
Corpo 4 - Uma barra de massa m4, que translada verticalmente. 
Suponha conhecida a matriz de inércia de cada corpo em relação a eixos principais 
centrais de inércia. Considere todas as ligações perfeitas. 
Aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais, determine: 
a) A equação de movimento do sistema; 
b) As forças de ligação ao exterior no ponto O; 
c) As forças de ligação ao exterior nos apoios D e E; 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 247 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TTV3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sistema mecânico (serrote mecânico) representado na figura é constituído por: 
Corpo 1: um disco, de raio R e massa m1, que roda em torno do ponto O fixo com 
velocidade angular θ( e aceleração angular θ(( , submetido à acção do momento 
motor constante M conhecido; 
Corpo 2: uma barra AB, de comprimento 2a e massa m2, articulada em A com o corpo 1 
e em B com o corpo 3; 
Corpo 3: um cursor de massa m3, com movimento imposto pela guia horizontal, e 
submetido à acção da força de corte constante FC conhecida. 
Considere a massa e a inércia de todos os corpos, admitindo conhecidas as 
matrizes de inércia de todos os corpos em relação a sistemas de eixos principais centrais 
de inércia. Suponha que todas as ligações são perfeitas. 
a) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine a equação de movimento do 
sistema aplicando o Teoremas dos Trabalhos Virtuais; 
b) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine as forças de ligação ao exterior 
no ponto O aplicando o Teoremas dos Trabalhos Virtuais; 
c) Determine a velocidade do ponto B quando θθθθ = ππππ/2, admitindo que o sistema parte 
do repouso a partir da posição θθθθ = 0, aplicando o Teorema do Trabalho e Energia; 
 
aAG
a2AB
rOA
GB
GO
2
3
1
=
=
=
≡
≡
 
r 
θ
X 
Y 
h
M
O
A 12
3 
B 
ϕ M
FC 
248 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TE3 
R
h0
A
P
B
Q I
3
R
1R
r
2
 
 
O sistema de elevação representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 um motor de massa e inércia desprezáveis, que desenvolve um binário motor 
constante Mm; no motor está montada uma roda dentada com um raio primitivo 
R1 que engrena com o corpo 2; 
Corpo 2 uma roda dentada de raio primitivo R2, que engrena com o corpo 1, acoplada aum tambor de raio r, com massa m2 e raio de giração Rg, sobre o qual se enrola 
um cabo inextensível que sustenta o corpo 3; 
Corpo 3 uma roldana móvel, de massa e inércia desprezáveis, com raio R3, que sustenta 
o corpo 4; 
Corpo 4 uma massa m4, que se pretende movimentar na vertical. 
Aplicando o Teorema do Trabalho e Energia, determine a velocidade do corpo 4, 
quando este parte do repouso, após ter subido uma altura h0. Calcule a velocidade do 
corpo 4 nas seguintes condições: 
Mm = 75 Nm m2 = 20 kg Rg = 0.12 m m4 = 15 kg 
R1 = 0.075 m R2 = 0.20 m r = 0.10 m R3 = 0.05 m h0 = 1.50 m 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 249 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TE4 
 
R
O
corpo 2 
corpo 1 
 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por : 
Corpo 1 - Um contrapeso de massa m1, que translada verticalmente com velocidade s( e 
aceleração s(( por acção da gravidade, e está suspenso de um cabo inextensível 
que contacta sem escorregar o corpo 2; 
Corpo 2 - Uma roldana móvel de raio R e massa m2, que roda em torno de um eixo 
horizontal com velocidade angular θ( e aceleração angular θ(( e pode 
transladar na vertical. 
Suponha conhecidas as matrizes de inércia de todos os corpos, em relação a eixos 
principais centrais de inércia. Aplicando Teorema dos Trabalhos Virtuais, determine: 
a) A equação diferencial do movimento do sistema, num qualquer instante do 
movimento de descida do contrapeso; 
b) A tensão em cada um dos tramos do cabo que contacta com o disco. 
 
 
 
 
250 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TE5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
Corpo 1: um braço de massa m1, que oscila em torno do ponto O com velocidade angular 
θ( e aceleração angular θ(( , sob a acção do momento motor MM; 
Corpo 2: um cursor de massa m2, que pode deslizar na guia radial do corpo 1 e rodar em 
relação ao corpo 3; 
Corpo 3: outro cursor de massa m3, com movimento imposto pela guia horizontal, e 
submetido à acção da mola de rigidez K; 
Considere a massa e a inércia dos três corpos, e suponha que todas as ligações são 
perfeitas, e que a deformação da mola é nula para θ θ θ θ = 0. Usando o Teoremas dos 
Trabalhos Virtuais, determine: 
a) A equação de movimento do sistema; 
b) As reacções no ponto O; 
O sistema está em repouso na posição vertical θ θ θ θ = 0, quando lhe é aplicado o 
momento motor Mm constante. Usando o Teorema da Energia Mecânica Total, determine: 
c) A velocidade do corpo 3 quando θ θ θ θ = 30º. 
 
 
 
 
 
 
A 
x0 
y0 
x1 
y2, y1 
x2 
G1 
B 
O 
θθθθ 
1 
2 
3
'''' 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 251 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TE6 
 
O sistema mecânico representado na figura é 
constituído por: 
Corpo 1: uma barra OA, de comprimento '''' e massa m1, 
que roda em torno do ponto O fixo com velocidade 
angular θ( e aceleração angular θ(( ; a mola de torção K 
(Nm/rad) exerce sobre a barra OA um momento de 
módulo k|θθθθ| (Nm). 
Corpo 2: uma barra AB, de comprimento '''' e massa 
m2, articulada em A com o corpo 1 e em B com o 
corpo 3; 
Corpo 3: um cursor de massa m3, com movimento 
imposto pela guia vertical, e submetido à acção da força 
motora constante FM; 
Considere a massa e a inércia de todos os corpos, admitindo conhecidas as matrizes 
de inércia de ambos os corpos em relação a sistemas de eixos principais centrais de 
inércia. 
Suponha que todas as ligações são perfeitas. O sistema inicia o movimento a partir 
da posição θθθθ = 0, posição em que a mola de torção não apresenta qualquer deformação, 
movendo-se o ponto A para a esquerda. 
a) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine a equação de movimento do 
sistema aplicando o Teoremas dos Trabalhos Virtuais; 
b) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine as forças de ligação ao exterior 
no ponto O aplicando o Teoremas dos Trabalhos Virtuais; 
c) Determine o módulo da velocidade angular da barra OA em função de θθθθ, admitindo 
que o sistema parte do repouso da posição θθθθ = 0, aplicando o Teoremas do 
Trabalho e Energia. 
 
 
 
O
A 
B G3 
FM 
x 
y
θ
k 
G2 
G1 
252 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TE7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
Corpo 1: um disco de massa m1, que roda em torno do ponto O fixo com velocidade 
angular θ( e aceleração angular θ(( ; accionado pelo Momento Motor M1 
conhecido; 
Corpo 2: uma barra AB, de comprimento 2b e massa m2, articulada em A com o corpo 1 
e em B com o corpo 3; 
Corpo 3: um cursor de massa m3, com movimento imposto pela guia vertical, e 
submetido à acção da força de uma mola de rigidez K (N/m); quando θθθθ = 0 a 
deformação da mola é nula. 
Considere a massa e a inércia de todos os corpos, admitindo conhecidas as suas 
matrizes de inércia em relação a sistemas de eixos principais centrais de inércia. Suponha 
que todas as ligações são perfeitas. 
a) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine a equação de movimento do 
sistema aplicando o Teoremas dos Trabalhos Virtuais; 
b) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine as forças de ligação ao exterior 
no ponto 0 e na ligação entre o cursor e a guia vertical, aplicando o Teoremas dos 
Trabalhos Virtuais; 
c) Determine o módulo da velocidade angular da barra AB quando θθθθ = ππππ/2 , admitindo 
que o sistema parte do repouso da posição θθθθ = 0º, aplicando o Teorema do 
Trabalho e Energia. 
O 
A 
B
M1 
G2 
ββββ 
θθθθ 
Y 
1
2 3
K
L X
1
3
2 2
O G
B G
OA a
AG G B b
≡
≡
=
= =
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 253 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TE8 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
Corpo 1: um disco de massa m e de raio R, que rola sem escorregar relativamente ao 
exterior, accionado pelo momento motor Mm ; 
Corpo 2: Um disco de massa m e de raio R, que rola sem escorregar relativamente ao 
exterior e que está ligado ao corpo 3, no ponto D, por uma articulação ; 
Corpo 3: Uma barra CD, de comprimento 2'''' e de massa M, articulada em C com o corpo 
1 e em D com o corpo 2 ; 
Considere a massa e a inércia de todos os corpos, admitindo conhecidas as matrizes 
de inércia em relação a sistemas de eixos principais centrais de inércia. 
Suponha que todas as ligações são perfeitas. O sistema inicia o movimento a partir 
da posição θ θ θ θ = 0, posição em que a mola não apresenta qualquer deformação, movendo-se 
o ponto A para a direita. 
a) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine a equação de movimento do 
sistema aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais; 
b) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine as forças de ligação entre o 
corpo 1 e o corpo 3 aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais; 
c) Considerando o momento motor constante, determine a velocidade angular do 
corpo 2, quando pela 1ª vez a barra, corpo 3, atingir a sua posição mais baixa, 
aplicando o Teorema do Trabalho e Energia; 
 
 
 
254 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Trabalho e Energia 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema TE9 
 
O sistema mecânico representado na figura é constituído por: 
Corpo 1: uma barra OA, de comprimento 2a e massa m1, que roda em torno do ponto O 
fixo com velocidade angular θ( e aceleração angular θ(( , accionada pelo 
momento motor constante M conhecido; 
Corpo 2: uma barra BC, de comprimento 8a e massa m2, articulada em A com o corpo 1 
e em B com o corpo 3; 
Corpo 3: um cursor de massa m3, com movimento impostopela guia horizontal, e 
submetido à acção da força da mola de rigidez K. 
Considere a massa e a inércia de todos os corpos, admitindo conhecidas as 
matrizes de inércia de todos os corpos em relação a sistemas de eixos principais 
centrais de inércia. 
Suponha que todas as ligações são perfeitas. O sistema inicia o movimento a partir 
da posição θθθθ = 0, posição em que a mola não apresenta qualquer deformação. 
a) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine a equação de movimento do 
sistema aplicando o Teoremas dos Trabalhos Virtuais; 
b) Represente o Diagrama de Corpo Livre e determine as forças de ligação na 
articulação A (ligação entre os corpos 1 e 2) aplicando o Teoremas dos Trabalhos 
Virtuais; 
c) Admitindo que o sistema parte do repouso da posição θθθθ = 0, determine o módulo da 
velocidade angular da barra OA quando 2
πθ = , aplicando o Teorema do Trabalho 
e Energia; 
B
A
k x
y
C
OG1=a
BG2=4a
G3=B
b
1
2
3
OA=2a
AB=3a
AC=5a
θθθ (((,, ϕϕϕ (((,,
M
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA do CORPO RÍGIDO 
 
 
IMPULSO e QUANTIDADE de MOVIMENTO 
 
 
 
 
 
 
Jorge Humberto Oliveira Seabra 
Carlos Alberto Magalhães Oliveira 
José Fernando Dias Rodrigues 
Pedro Manuel Leal Ribeiro 
Pedro Manuel Ponces Camanho 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial – Secção de Mecânica Aplicada 
 
 
6ª Edição - Fevereiro de 2004 
 
ii DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento iii 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
ÍNDICE: 
 
1 MOVIMENTO DE UM PONTO MATERIAL 255 
1.1 Impulso linear 255 
1.2 Impulso angular 256 
2 MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS 257 
2.1 Impulso linear 257 
2.2 Impulso angular 258 
3 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 258 
4 MOVIMENTO PROVOCADO POR UMA FORÇA IMPULSIVA 259 
4.1 Aplicação do teorema do impulso e da quantidade de movimento 259 
5 CHOQUE OU IMPACTO 261 
5.1 Choque central directo 261 
5.1.1 Modelização do choque central directo entre duas partículas materiais 262 
5.1.2 Coeficiente de restituição 264 
5.1.3 Choques perfeitamente elástico e perfeitamente plástico 266 
5.1.4 Formulação do problema de choque central directo 267 
5.2 Choque central oblíquo 268 
5.2.1 Formulação do problema de choque central oblíquo 268 
5.2.2 aplicação do modelo de choque central oblíquo 270 
5.3 Choque excêntrico 272 
5.3.1 Choque excêntrico de dois corpos livres 272 
5.3.2 Choque excêntrico de dois corpos ligados ao exterior 275 
6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 277 
6.1 Variação da quantidade de movimento linear 277 
6.2 Conservação da quantidade de movimento linear 278 
6.3 Conservação da quantidade de movimento angular numa direcção 280 
6.4 Choque central oblíquo 281 
6.5 Choque excêntrico de um corpo livre 283 
6.6 Choque excêntrico de um corpo com ligação ao exterior 287 
7 PROBLEMAS PROPOSTOS 291 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 255 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
 
 
IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 MOVIMENTO DE UM PONTO MATERIAL 
 
1.1 Impulso linear 
 
No capítulo anterior, fez-se uma aplicação directa da Equação Fundamental da 
Dinâmica (2ª lei de Newton), na sua forma diferencial. Há situações, porém, que são mais 
facilmente analisadas, utilizando a referida equação fundamental numa forma 
previamente integrada em ordem ao tempo. 
Efectuando tal integração, a Equação Fundamental toma a seguinte forma: 
vdmdtF
dt
vdmFamF
!!!!!!
=⇒=⇔= (1) 
∫ ∫=
t
t
v
vo o
vdmdtF
!
!
!!
 (2) 
( ) ( )0 0ot ttt F dt m v v m v v= − = −∫
"""! ""!""!! !
 (3) 
Da equação (3) resultam três equações escalares, 
( )
( )
( )
o
o
o
t 0
x x xt
t 0
y y yt
t 0
z z zt
F dt m v v
F dt m v v
F dt m v v
= −
= −
= −
∫
∫
∫ (4) 
256 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Designa-se por impulso linear de uma força F
!
, que actua durante o intervalo de 
tempo [ ]t,to sobre determinado ponto material, à grandeza vectorial definida por 
∫
t
to
dtF
!
. 
Da equação (3) resulta que esse impulso linear é sempre igual à variação sofrida 
nesse intervalo de tempo, pelo vector quantidade de movimento linear do ponto material 
sobre o qual actua a força. 
o
o
t
Im p q q q
t
∆
→
= − =
! ! !
 (5) 
 
1.2 Impulso angular 
 
Calculando o momento em relação a determinado ponto fixo, da força que actua 
num ponto material, obtém-se 
O
d
M OP ma OP mv
dt
→ = × = × 
 
"""! """! ! !
 (6) 
=
"""! ""!
O O
d
M h
dt
 (7) 
Integrando em ordem ao tempo a equação (6), determina-se que 
=∫ ∫
!
!
"""! ""!to
to
o o
t H
O Ot H
M dt d h (8) 
= −∫
""! ""!"""!
o
t t t
O O Ot
M dt h h 0 (9) 
Da equação (9) resultam três equações escalares, 
= −
= −
= −
∫
∫
∫
o
o
o
t 0
Ox Ox Oxt
t 0
Oy Oy Oyt
t 0
Oy Oz Ozt
M dt h h
M dt h h
M dt h h (10) 
Designa-se impulso angular de uma força, em relação a determinado ponto fixo, 
durante um intervalo de tempo [ ]t,to , à grandeza vectorial definida por dtMtt Oo∫ . 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 257 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Da expressão (9) resulta que o impulso angular é sempre igual à variação sofrida 
pelo vector momento cinético do ponto material em questão, calculado relativamente ao 
mesmo ponto usado para pólo no cálculo do momento da força. 
Designando o vector momento cinético por quantidade de movimento angular, é 
possível enunciar o princípio (generalizado) do impulso e quantidade de movimento. 
"O impulso, linear ou angular, de uma força (ou sistema de forças) que actua 
durante determinado intervalo de tempo sobre um ponto material, é sempre 
igual à variação da quantidade de movimento, linear ou angular, que produz". 
Se sobre o ponto material em questão actuar um sistema de forças, o impulso desse 
sistema será a soma dos impulsos das diversas forças que o constituem. 
 
 
 
2 MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS 
 
A generalização para um sistema de pontos materiais (discreto ou contínuo), é 
imediata. 
 
2.1 Impulso linear 
 
O Teorema do Movimento do Centro de Massa, estipula que 
( )ext G GdF M a M vdtΣ = =
"""""! ""! ""!
 (11) 
Por integração em ordem ao tempo, resulta 
G
00 G
t vext
Gt v
F dt M dvΣ =∫ ∫
""!
""!
"""""! ""!
 (12)
 
( )0t ext 0 0G Gt F dt M v v Q Q QΣ ∆= − = − =∫
"""""! ""! """!""! "! """!
 (13) 
Num sistema de pontos materiais, o impulso linear das forças a ele aplicadas, é 
igual à variação da quantidade de movimento linear que produz. 
 
 
258 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
2.2 Impulso angular 
 
Partindo agora da equação do Teorema do Momento Cinético, obtem-se, por 
integração no tempo 
ext
O O
d
M H
dt
Σ =
"""""! """!
 (ponto O fixo) (14) 
0 0
t text 0
O O O O Ot tM dt dH H H HΣ ∆= = − =∫ ∫
"""""! """! """!"""! """""!
 (15) 
Estabelece-se, assim, a igualdade entre o impulso angular das forças exteriores 
aplicadas e a variação do momento cinético que produzem. 
O princípio do impulso e quantidade de movimento, para um sistema de pontos 
materiais qualquer, exprime a igualdade entre o impulso (linear ou angular) de todas as 
forças exterioresaplicadas a esse sistema e a variação da quantidade de movimento 
(linear ou angular) que produz. 
 
 
 
3 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
Se nenhuma força actua, ou se é equivalente a zero, o sistema de forças que 
actuam sobre um ponto ou sistema de pontos materiais, o impulso dessas forças será 
necessariamente nulo. E, em consequência, será nula a variação da quantidade de 
movimento, 
Retomando as equações (13) e (15), obtém-se que 
0
0
t text t
t F dt 0 Q 0 Q QΣ ∆= ⇒ = ⇔ =∫
""""!"""""! ""!"! """! "!
 (16) 
0
0
t text t
O O O Ot M dt 0 H 0 H HΣ ∆= ⇒ = ⇔ =∫
"""!"""""! """!"! """""! "!
 (17) 
É então possível enunciar o princípio da conservação da quantidade de movimento: 
"Num ponto ou sistema material isolado ou submetido à acção de um sistema 
de forças equivalente a zero, a quantidade de movimento (linear e angular) 
permanece constante". 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 259 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
4 MOVIMENTO PROVOCADO POR UMA FORÇA IMPULSIVA 
 
Há situações em que uma força muito grande pode actuar durante um pequeno 
intervalo de tempo sobre um ponto material, produzindo variação considerável na 
respectiva quantidade de movimento. Tal força, é habitualmente designada força 
impulsiva. 
Em presença de forças impulsivas, o efeito das restantes forças pode, em geral, ser 
desprezado (caso do peso próprio, força exercida por uma mola, etc.). 
 
4.1 Aplicação do teorema do impulso e da quantidade de movimento 
 
A arma, representada na figura 1, tem uma massa de 1340 kg, está em repouso 
sobre o solo e não possui mecanismo de absorção do choque. 
 
Figura 1 – Disparo de um canhão. 
 
Quando é disparada a arma pode recuar livremente na direcção horizontal, 
lançando munições de 8 kg com uma velocidade inicial de 450 m/s e com uma inclinação 
de 30º em relação à horizontal. Após o disparo a munição demora 5 ms para abandonar a 
câmara de explosão. Determinar i) a velocidade de recuo da arma e ii) a resultante das 
forças verticais exercidas pela arma sobre o solo. 
Na figura 2 estão representadas as forças impulsivas que actuam sobre a arma e 
sobre a munição e as correspondentes quantidades de movimento. 
 
260 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Atendendo ao Princípio da Acção e Reacção a Força Impulsiva que actua sobre a 
munição é igual e de sinal contrário à Força Impulsiva que actua sobre a arma, isto é, 
= −
"! "!
F F
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Forças impulsivas e quantidades de movimento da arma e da munição. 
 
Por outro lado o Teorema do Impulso e Quantidade de Movimento estabelece que 
+ =∫
""! ""!"!t
B B B B
t
m v F dt m v
0
0 , 
mas =
""! !
Bv
0 0 , logo 
= ⇒ = ⇒ =∫ ∫
""!"!t t
B B B B B BF dt m v F dt m v F t m v
0 0
 
(a força impulsiva e a velocidade têm a mesma direcção), pelo que 
−
×= = = ×
×
B Bm vF N
t
3
3
8 450
720 10
5 10
 
Analisando o que acontece à arma e recorrendo novamente ao Teorema do Impulso 
e Quantidade de Movimento pode-se escrever que 
+ =∫
""! ""!"!t
A A A A
t
m v F dt m v
0
,0 
mas =
""! !
Av
0 0 , logo 
=∫
""!"!t
A AF dt m v
,
0
 
Como a força impulsiva é constante no intervalo de tempo considerado 
= ⇒ =∫
""! ""!"! "!t
A A A AdtF m v F t m v
, ,
0
, isto é 
""!
B Bm v 
Y 
X 
30º 
"!
F 
""!
A Am v 
Y 
X 
30º 
"!
F
,
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 261 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
−
   
   =   
   
   
A A
,
cos 30º
sin 30º
0
m v
F t 0
0
 
= ⇒ =
,
,
A A A
A
F tcos 30º
F tcos 30º m v v
m
 
−× × × ×= =
3 3
A
720 10 5 10 cos 30º
v 2.327 m/s
1350
 
A resultante das forças verticais exercidas sobre o solo é definida por 
= = × × = ×, 3 3R F sin30º 720 10 0.5 360 10 N 
 
 
5 CHOQUE OU IMPACTO 
 
Diz-se que há choque ou impacto entre dois corpos, quando, durante um intervalo 
de tempo muito curto, eles contactam entre si, exercendo um sobre o outro forças 
relativamente grandes. 
 
5.1 Choque central directo 
 
Diz-se que há choque directo entre dois corpos, quando eles se movem ao longo da 
normal à superfície que vai ser tangente comum, durante o choque. Esta normal é 
habitualmente designada linha de choque. 
A figura 3 exemplifica o caso do choque central directo entre duas partículas. 
Tangente comum
Linha de choque
G 1
G 2
 
! 
v 2
 
! 
v 1
G 1
G 2
 
! 
v 1
'
 
! 
v 2
'
 
 a) Antes do choque b) Após o choque 
 
Figura 3 - Choque central directo entre duas partículas. 
262 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Se os centros de massa desses dois corpos estão situados sobre linha de choque, 
este designa-se por choque central. Em contraposição ao choque directo, ocorre o choque 
oblíquo, e todo o choque que não é central, diz-se excêntrico. 
 
5.1.1 Modelização do choque central directo entre duas partículas materiais 
O choque central directo, como se mostra na figura 4, pode ser dividido em três 
fases: Antes do impacto, no instante de máxima deformação e após o impacto. 
 
Figura 4 – Modelização do choque entre duas partículas materiais. 
t0
1v
"""!
 e t02v
"""!
 são as velocidades imediatamente antes do choque, enquanto t11v
"""!
 e 
t1
2v
"""!
 representam as velocidades dos corpos 1 e 2 imediatamente após o choque. 
u
!
,representa a velocidade comum dos dois corpos no instante t*. 
Antes do impacto ou choque a quantidade de movimento do sistema formado pelas 
duas partículas materiais é definido por 
t0 t0 t0
1 1 2 2Q m v m v= +
""""! """! """!
 (18) 
O choque entre as duas partículas tem uma duração designada por tempo de 
colisão, definida por 
[ ]0 1t t ,t∆ = (19) 
sento *t ( *0 1t t t< < ), o instante em que a deformação das duas partículas é máxima e as 
suas velocidades iguais a u
!
. 
t0
1v
"""!
 t02v
"""!
 
t1
1v
"""!
 t12v
"""!
 
u
!
t<to, antes do choque 
t>t1, após o choque 
t=t*, instante de máxima 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 263 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Após o impacto e consequente (ou não) separação das duas partículas a quantidade 
de movimento do sistema é definida por 
t1 t1 t1
1 1 2 2Q m v m v= +
"""! """! """!
 (20) 
A análise do choque entre as duas partículas materiais é habitualmente baseada nas 
seguintes hipóteses: 
1º O sistema material formado pelas duas partículas materiais, sendo um sistema 
isolado, manterá constante a sua quantidade de movimento (global), 
t0 t1 t0 t0 t1 t1
1 1 2 2 1 1 2 2Q Q m v m v m v m v= ⇒ + = +
""""! """! """! """! """! """!
 (21) 
2º Durante o choque, cada um dos corpos sofre uma variação na sua quantidade 
de movimento, devida à acção do outro corpo; 
t0 t1 t0 t1
1 1 1 1 2 2 2 2m v m v m v m v≠ ≠
"""! """! """! """!
 (22) 
3º O tempo de colisão [ ]1o t,t , pode considerar-se dividido em duas partes: 
a) Fase de deformação [ ]*t,to , durante a qual a força de contacto aumenta 
desde zero até ao valor máximo; 
b) Fase de restituição [ ]1t,*t , durante a qual a força de contacto diminui, 
desde o valor máximo ocorrido no instante *t , até ao valor nulo que 
ocorre no instante 1t em que os corpos se separam; 
4º A força de contacto varia de forma diferente, durante estas duas fases, como 
se mostra na figura 5. Há perdas de energia durante o choque, pelo que nem 
toda a energia de deformação é restituída. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Evolução da força de contacto 
durante o choque. 
 A1 - Medida do impulso durante a fase 
de deformação; 
 A2 - Medida do impulso durante a fase 
de restituição; 
 A2 / A1 - Coeficiente de restituição. 
 
t o t 1 t 
* 
A 1 
A 2 
F 
t264 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
5º Designa-se por coeficiente de restituição e o parâmetro adimensional definido 
pelo cociente entre a medida do impulso recebido por cada um dos corpos 
durante a fase de restituição e a medida do impulso durante a de deformação, 
1
*
*
o
t
t
t
t
F dt
e
F dt
=
∫
∫
 (23) 
 
5.1.2 Coeficiente de restituição 
 
Atendendo ao princípio do impulso e quantidade de movimento atrás introduzido, 
pode-se dar um aspecto diferente à expressão de definição do coeficiente de restituição e. 
A figura 6 exemplifica a variação da quantidade de movimento da partícula material 1 
durante o período de colisão. 
 
 
Figura 6 – Variação da quantidade de movimento durante o tempo de colisão. 
 
Assim, durante o período de deformação, t0 < t < t*, a variação da quantidade de 
movimento da partícula material 1 pode ser definida por 
0
t*t0
1 1 21 1tm v F dt m u+ =∫
"""! """! !
. (24) 
 
a) t0 < t < t*, período de deformação 
t0
1 1m v
"""!
 *
0
t
21t F dt∫
"""! 1m u
!
+ =
*
t
21t F dt∫
"""! t1
1 1m v
"""!
1m u
!
+ =
b) t*< t < t, período de restituição 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 265 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Durante o período de restituição, t* < t < t1, a variação da quantidade de 
movimento da partícula material 1 pode ser definida por 
1t t1
1 21 1 1t*m u F dt m v+ =∫
"""!! """!
. (25) 
Podem-se definir expressões análogas para a partícula material 2, respectivamente 
0
t*t0
2 2 12 2tm v F dt m u+ =∫
"""! """! !
 (26) 
1t t1
2 12 2 2t*m u F dt m v+ =∫
"""!! """!
 (27) 
Combinado as expressões (24) e (25) pode-se escrever que 
0
t* t0
21 1 1 1t F dt m u m v= −∫
"""!"""! !
 (28) 
1t t1
21 1 1 1t* F dt m v m u= −∫
"""!"""! !
 (29) 
Dividindo a equação (29) pela equação (28), obtém-se para a partícula material 1 
1
*
*
o
t t1
21 1 1 1t
t0t
1 1 121t
F dt m v m u
e
m u m vF dt
−
= =
−
∫
∫
"""!! !
"""!!!
 (30) 
Para a partícula material 2 obtém-se uma expressão idêntica 
1
*
*
o
t t1
12 2 2 2t
t0t
2 2 212t
F dt m v m u
e
m u m vF dt
−
= =
−
∫
∫
"""!! !
"""!!!
 (31) 
Note-se que implicitamente se refere o choque de 2 duas partículas materiais 
(corpos de dimensões desprezáveis) pelo que faz sentido falar de velocidade de cada um 
deles (sem referir "campo de velocidades"). 
Das equações (30) e (31) resulta que 
t1 t0
1 1
t1 t0
2 2
v u e u v
v u e u v
 − = −

 − = −
"""! """!! !
"""! """!! !
 (32) 
isto é, 
266 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
t1 t0
1 1
t1 t0
2 2
v ev u(1 e)
v ev u(1 e)
 + = +

 + = +
"""! """! !
"""! """! !
 (33) 
A partir das duas expressões da equação (33) (subtraindo a primeira da segunda) é 
possível escrever uma nova expressão para definir o coeficiente de restituição e: 
t1 t1
2 1
t0 t0
1 2
v v
e
v v
−
=
−
"""! """!
"""! """! (34) 
A expressão (34) define o Coeficiente de Restituição como o cociente entre a 
medida da velocidade relativa de afastamento e a velocidade relativa de 
aproximação dos dois corpos (de dimensões desprezáveis) que chocam. 
Estas velocidades são consideradas nos instantes "imediatamente antes" e 
"imediatamente após" o choque, respectivamente. 
De modo a simplificar as expressões consideram-se as seguintes analogias: 
t1 ' t0 t1 ' t0
1 1 1 1 2 2 2 2v v , v v , v v , v v= = = =
"""! ""! """! ""! """! ""! """! ""!
 
' '
2 1
1 2
v v
e
v v
−
=
−
""! ""!
""! ""! 
 
5.1.3 Choques perfeitamente elástico e perfeitamente plástico 
 
O coeficiente de restituição é característico da natureza dos materiais que 
constituem os corpos e da forma destes. O seu valor varia desde zero (choque 
perfeitamente inelástico, em que não há qualquer restituição da energia de deformação) 
até 1 (choque perfeitamente elástico, em que há restituição total da energia de 
deformação). 
No caso do choque perfeitamente elástico o valor do coeficiente de restituição é 
igual a 1. Logo, atendendo à expressão (34) 
' '
2 1 1 2e 1 v v v v= ⇒ − = −
""! ""! ""! ""!
 (35) 
o que significa que a diferença de velocidades entre as partículas após o choque é igual à 
diferença de velocidades entre as partículas antes do choque, 'v v∆ ∆=
"""! """"!
. 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 267 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
No caso do choque perfeitamente plástico o valor do coeficiente de restituição é 
igual a 0. Logo, atendendo à expressão (34) 
' '
2 1e 0 v v 0= ⇒ − =
""! ""! "!
 (36) 
o que significa que a diferença de velocidades entre as partículas após o choque é nula, 
isto é, ' ' '2 1v v v= =
""! ""! ""!
. 
 
5.1.4 Formulação do problema de choque central directo 
 
Retomando o problema do choque central directo, representado na figura 3, 
constata-se que sobre o sistema material, constituído pelas duas partículas materiais, não 
actua nenhuma força exterior. Logo, haverá conservação da respectiva quantidade de 
movimento global. 
 
Tangente comum
Linha de choque
G 1
G 2
 
! 
v 2
 
! 
v 1
G 1
G 2
 
! 
v 1
'
 
! 
v 2
'
 
 a) Antes do choque b) Após o choque 
Figura 3 - Choque central directo entre duas partículas materiais (bis). 
 
Projectando a equação da conservação da quantidade de movimento global, 
equação (21), na direcção da linha de choque, tem-se que 
' '
1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v− = − + (37) 
Rescrevendo a expressão (34) de definição do coeficiente de restituição, também 
na direcção da linha de choque 
' '
2 1
1 2
v v
e
v v
+=
+
 (38) 
 
268 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
As equações (37) e (38) permitem calcular as incógnitas do problema (as 
velocidades '1v e
'
2v , imediatamente após o choque), conhecidas as velocidades antes do 
choque e o coeficiente de restituição e. Este último é também determinável 
experimentalmente, para cada geometria e conjunto de materiais em presença. 
 
 
5.2 Choque central oblíquo 
 
Neste tipo de choque, os centros de massa dos dois corpos estão na linha de 
choque enquanto estes estão em contacto. Porém, antes e após o choque, deslocam-se 
com trajectórias diferentes, não paralelas a essa linha, como se mostra na figura 7. 
 
 
! 
v 2
'
 
! 
v 1
'
 
! 
v 1
 
! 
v 2
θ2θ1
G1
G2
θ1
'
θ2
'
ˆ t 
ˆ n 
 
 
Figura 7 - Choque central oblíquo entre duas partículas. 
 
Note-se que, neste tipo de choque, a velocidade de cada corpo imediatamente 
após o choque, é desconhecida em direcção e grandeza. Tem-se então 4 incógnitas, pelo 
que é necessário obter 4 equações. 
 
5.2.1 Formulação do problema de choque central oblíquo 
 
1. Cada partícula material apenas recebe o impulso devido à força de contacto na 
direcção da linha de choque. Logo, na direcção da tangente (t) ao choque o 
impulso é nulo, pelo que a quantidade de movimento de cada partícula 
material na direcção tangencial permanece constante, o que permite escrever: 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 269 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
' '
1 1 1 1 1 1t t t t
' '
2 2 2 2 2 2t t t t
m v m v v v
m v m v v v
= ⇒ =
= ⇒ =
 
isto é 
' '
1 1 1 1 1 1m v cos m v cosθ θ= (39) 
' '
2 2 2 2 2 2m v cos m v cosθ θ= (40) 
2. O conjunto das duas partículas materiais não recebe qualquer impulso, pelo 
que a quantidade de movimento global, na direcção da linha de choque, 
mantêm-se constante, logo 
( ) ( ) ( ) ( )' '1 1 2 2 1 1 2 2n n n nm v m v m v m v+ = + 
isto é, 
' ' ' '
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2m v sin m v sin m v sin m vsinθ θ θ θ− = − + (41) 
3. Cada um dos corpos recebe um impulso na direcção da linha de choque. A 
alteração da quantidade de movimento é quantificável, a partir do 
conhecimento do movimento antes do choque e do coeficiente de restituição, 
( ) ( )
( ) ( )
' ' ' '
2 1 2 1n n
1 21 2 n n
v v v v
e
v vv v
− −
= =
−−
""! ""!
""! ""!
 
isto é 
( )' ' ' '1 1 2 2 1 1 2 2v sin v sin e v sin v sinθ θ θ θ+ = + (42) 
Conhecidos os valores de e e de 1 1 2 2v , ,v eθ θ , determinam-se as velocidades após 
o choque e respectivas direcções 
' ' ' '
1 1 2 2v , ,v eθ θ , usando as equações (39) a (42). 
 
 
 
 
 
 
 
 
270 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
5.2.2 Aplicação do modelo de choque central oblíquo 
 
O choque entre dois veículos ligeiros está esquematizado na figura 8. 
 
Figura 8 – Choque central oblíquo entre dois veículos. 
 
O veículo A circulava na direcção Sul-Norte quando ao passar num cruzamento foi 
abalroado pelo veículo B que circulava na direcção Oeste-Este. Ambos os condutores 
reclamam que circulavam com uma velocidade inferior ao limite de 55 km/h estabelecido 
para aquelas vias naquele local. 
O veículo A tem uma massa de 900 kg e o veículo B tem uma massa de 1600 kg. 
Após o choque, os dois veículos permaneceram “colados” um ao outro e deslizaram juntos 
segundo uma direcção que faz 40º com Este, para Norte, representada na figura 1. 
Determinar i) qual dos veículos efectivamente circulava à velocidade limite de 55 
km/h. ii) qual a velocidade do outro veículo. 
Na figura 9 estão representadas as quantidades de movimento dos veículos A e B 
antes e após o choque. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Forças impulsivas e quantidades de movimento da arma e da munição. 
A Am v
""!
Norte
Este 
40ºB Bm v
""!
 
Sul
Oeste
( ) 'A Bm m v+
""!
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 271 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento aplicado ao sistema 
permite estabelecer que 
' ' '
A A B B A A B BQ Q m v m v m v m v= ⇒ + = +
"""! ""! ""! ""! ""! ""!
. 
No entanto, após a colisão os dois veículos permaneceram “colados” tendo 
deslizado juntos. Tal permite afirmar que 
' ' '
A Bv v v= =
""! ""! ""!
, pelo que 
( ) 'A A B B A Bm v m v m m v+ = +
""! ""! ""!
 
O facto das velocidades dos dois veículos, após a colisão, serem idênticas significa 
que a diferença de velocidades entre os dois veículos após o choque é nula, que o 
coeficiente de restituição é nulo e que o choque é perfeitamente plástico. 
Isto é, 
' '
A B
A B A B
v v 0
e 0
v v v v
−
= = =
− −
""! ""!
"!
""! ""! ""! ""!
 
Retomando a equação vectorial de conservação da quantidade de movimento do 
sistema ( ) 'A A B B A Bm v m v m m v+ = +
""! ""! ""!
, determina-se que 
( ) '
0 cos40º
0 sin40º
0 0 0
B
A A B A B
v
m v m m m v
    
     + = +     
     
    
 
( )
( )
'
'
cos40º
sin40º
B B A B
A A A B
m v m m v
m v m m v
 = +


 = +
 
isto é 
( )
( )
'
'
cos40º
sin40º
A B
B
B
A B
A
A
m m v
v
m
m m v
v
m
 +
=


+ =
, 
( )
( )
'
'
'
'
900 1600 cos40º
1.197
1600
900 1600 sin40º
1.786
900
B
A
v
v v
v
v v
+
= =
+
= =





, 
272 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
pelo que, 
'
'
1.786
1.49
1.197
A
B
vv
v v
= = , 
concluindo-se que a velocidade do veículo B é cerca de 50% superior à do veículo A. 
Admitindo que a velocidade do veículo B era de 55 km/h, como reclama o seu 
condutor, então a velocidade do veículo A seria igual a 
1.49 1.49 55 82 /A Bv v km h= × = × = , 
 
 
5.3 Choque excêntrico 
 
5.3.1 Choque excêntrico de dois corpos livres 
 
No caso do choque excêntrico, as dimensões dos dois corpos não são desprezáveis e 
a linha de choque não contém os centros de massa. 
O campo de velocidades de cada um dos corpos sofre uma alteração durante o 
choque, em consequência da acção da força de contacto. O impulso desta força provocará 
uma variação do torsor das quantidades de movimento de cada um dos corpos. 
Sejam A e B, respectivamente, os pontos de contacto dos corpos 1 e 2 durante o 
choque, como se mostra na figura 10. No final do período de deformação (instante t* - 
figura 10, as velocidades destes dois pontos podem ser diferentes, mas as suas 
componentes na direcção da linha de choque serão necessariamente iguais. 
 
 
! 
ω 2
 
! 
v G2
 
! 
v G1
 
! 
ω 1
G1
G2
ˆ n 
ˆ t 
A B
 
Figura 10 - Choque excêntrico entre dois corpos livres. 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 273 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Analise-se o que se passa no corpo 1. Seja 
! 
F a força de contacto. Por integração 
em ordem ao tempo, durante as fases de deformação e restituição, obtêm-se os seguintes 
impulsos 
∫=
→ *
o
t
t
o
*
dtF
t
tpIm
!
 (43) 
∫=
→
1
*
t
t*
1 dtF
t
t
pIm
!
 (44) 
O coeficiente de restituição, e, é, por definição, igual ao cociente entre as 
intensidades dos impulsos de restituição e de deformação, isto é, 
∫
∫
=
*
o
1
*
t
t
t
t
dtF
dtF
e !
!
 (45) 
Note-se que, multiplicando, à esquerda, qualquer destes dois vectores por AG1 , o 
cociente das respectivas normas irá manter-se. Logo o coeficiente de restituição e 
também pode ser definido pela expressão 
∫
∫
=
*
o 1
1
* 1
t
t G
t
t G
dtM
dtM
e (46) 
sendo FxGAM 1G
!→
= o momento em G da força de contacto F
!
. 
De acordo com as expressões (3) e (9) é possível substituir em (45) e (46) os 
impulsos (linear ou angular), pela variação de quantidade de movimento (linear ou 
angular) que produzem, obtendo-se 
( )
( )
1 1
1 1
t1 *
1 G G
* t0
1 G G
m v v
e
m v v
−
=
−
! !
! ! (47) 
( )
( )
1 1 1
1 1 1
t1 * t1 *
G G G 10 10
* t0 * t0
G G G 10 10
H H
e
H H
ω ω
ω ω
− −
= =
− −
I
I
! ! ! !
! ! ! ! (48) 
Das equações (47) e (48) resulta 
274 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1
t1 * t1 *
G G 10 10
* t0* t0
10 10G G
v v
v v
ω ω
ω ω
− −
=
−−
! ! ! !
! !! ! (49) 
Multiplicando cada um dos vectores do segundo cociente da expressão (49) por 
AG1 e adicionando ao correspondente vector do cociente do primeiro membro, obtém-se 
o seguinte cociente equivalente angular: 
( )
( )
1 1
1 1
t1 * t1 *
G G 10 1 10 1
* t0 * t0
G G 10 1 10 1
v v G A G A
v v G A G A
ω ω
ω ω
− + × − ×
− + × − ×
"""! """!! ! ! !
"""! """!! ! ! ! 50)
 
ou seja 
t1 * ' *
A A A A
* t0 *
A A A A
v v v v
e
v v v v
− −
= =
− −
! ! ! !
! ! ! ! (51) 
Procedendo de modo idêntico em relação ao corpo 2, obter-se-ia uma expressão 
semelhante, relacionando o coeficiente de restituição com as velocidades do ponto B, isto 
é: 
' *
B B
*
B B
v v
e
v v
−
=
−
! !
! ! (52) 
Se projectarmos os vectores contidos nas expressões (51) e (52) na direcção n
!
 da 
linha de choque, surgirá em ambas uma parcela que é comum. De facto, as velocidades 
dos pontos A e B, no final da fase de deformação, têm componentes iguais segundo n
!
. 
Pode-se então escrever 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
' * *
A A A An nn n
' * *
B B B Bn nn n
v v e v e v
v v e v e v
 − = −


 − = −
! ! ! !
! ! ! ! (53) 
e eliminar, destas expressões, o valor comum ( ) ( )
n
*
Bn
*
A vv
!!
= 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
* '
A A An nn
* '
B B Bn nn
1 e v v e v
1 e v v e v
 + = +


 + = +
! ! !
! ! ! (54) 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 275 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
obtendo-se 
( ) ( )
() ( )
' '
B An n
A Bn n
v v
e
v v
−
=
−
! !
! ! (55) 
Note-se como também neste caso o coeficiente de restituição pode obter-se pelo 
cociente das medidas de velocidades relativas de afastamento e de aproximação dos dois 
pontos de contacto. 
Só que, agora, estão em causa as componentes das velocidades segundo a normal à 
superfície de contacto n
!
. 
 
5.3.2 Choque excêntrico de dois corpos ligados ao exterior 
 
Caso os dois corpos que chocam tenham ligações ao exterior, poderão surgir, nessas 
ligações, forças impulsivas que obviamente também condicionarão a alteração dos torsores 
das quantidades de aceleração durante o choque. 
A figura 11 mostra o choque entre dois corpos animados de movimento de rotação. 
 
G1
G2
n̂
t̂
A BC
ω 20
ω 10
+
+
D •
xxxxx
•
xxxxx
 
 
Figura 11 - Choque de dois corpos em rotação. 
 
Utilizando para polo do cálculo dos momentos exteriores aplicados a cada um dos 
corpos, o respectivo ponto de ligação ao exterior, as forças de ligação produzirão aí 
momento nulo. Neste caso a única força a considerar passará a ser a força de contacto F
!
. 
 
 
276 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Os impulsos angulares das forças de deformação e o coeficiente de restituição e são 
definidos por 
∫
∫
→
→
=
0
*
1
*
t
t
t
t
dtFxCA
dtFxCA
e !
!
 (56) 
O princípio do impulso e quantidade de movimento, estabelece para o corpo 1 que 
( )
( )
t1 *t1 * 10C 10C C
t0* t0 *
C C 10C 10
H H
e
H H
ω ω
ω ω
−−
= =
− −
I
I
"!! ! !
! ! "!! (57) 
( )
( )
' *
10 10
*
1010
e
ω ω
ω ω
−
=
−
"! !
"!! (58) 
Note-se que esta expressão, apesar de deduzida para o caso dos corpos 1 e 2 
estarem ligados ao exterior e movendo-se em rotação, é em tudo análoga à já deduzida 
para o caso de os corpos serem livres (expressão 49 - 2º membro). 
Multiplicando agora os vectores contidos no numerador e no denominador, pelo 
mesmo vector CA , obtém-se também uma expressão idêntica à (51), correspondente ao 
caso dos corpos serem livres. 
Tem-se pois, para este caso, o coeficiente de restituição definível a partir das 
componentes segundo a linha de choque, das velocidades relativas de afastamento e 
aproximação dos pontos de contacto A e B, imediatamente após e antes do choque 
( ) ( )
( ) ( )
' '
B An n
A Bn n
v v
e
v v
−
=
−
! !
! ! (59) 
Combinando a expressão anterior com uma das diversas expressões que resultam da 
aplicação do princípio da conservação das quantidades de movimento, é possível 
determinar os campos de velocidades dos dois sólidos, imediatamente após o choque. 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 277 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
 
6.1 Variação da quantidade de movimento linear 
 
Os corpos 1 e 2, representados na figura 12, movem-se ligados por um cabo 
inextensível e sem massa, o qual é conduzido por roldanas de inércia desprezável. 
Sabendo que, no instante inicial, o corpo 1 se move no sentido indicado, com 
velocidade v, calcular o tempo ao fim do qual a sua velocidade se anula. Calcular também 
o valor da força de tracção a que o cabo está submetido. 
 
1
2 m
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX X
X
X
X
X
X
X
X
X
v
y
x
 
 
Figura 12 - Variação da quantidade de movimento linear do sistema. 
 
Desprezando a inércia do cabo e das roldanas, os diagramas do corpo livre de cada 
um dos corpos estão representados na figura 13: 
 
Mg
v
F V
2
2 F
mg
 
 
Figura 13 - Diagramas de corpo livre de cada um dos corpos. 
 
Durante o período de tempo t que se pretende analisar, os corpos estão sob a acção 
de impulsos devidos às forças neles aplicadas, os quais são calculáveis em função das 
alterações na quantidade de movimento que produzem. 
Assim, para o corpo 1 determina-se que 
278 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )t t' '1 1 1 10 0Fdt Mv Mv F dt M v v= − = −∫ ∫
""! ""! ""! ""!! !
 
( )'1 1
F 0 v
Ft M v v 0 t M 0 0
0 0 0
 −      
      = − = −      
            
""! ""!!
 
F t = M v (60) 
e para o corpo 2, 
( ) ( ) ( )t t' '2 2 2 20 0mg 2F dt mv mv mg 2F dt m v v+ = − + = −∫ ∫
""! ""! ""! ""!! !! !
 
( ) ( )'2 2
00 0
vmg 2F t m v v mg 2F t m 0 2
0 0 0
          + = − − + = −      
             
""! ""!!!
 
(mg - 2F) t = m v/2 (61) 
A partir das expressões (60) e (61) é possível determinar os valores de F e t, 
obtendo-se 
2
mM2
gmMFev
2
mM2
mg
1t
+
=




 +=
 
 
 
6.2 Conservação da quantidade de movimento linear 
 
Um pequeno objecto, de massa m, entra com velocidade v (inclinação θθθθ) num carro 
transportador, inicialmente em repouso, como se mostra na figura 14. 
Calcular a velocidade do carro (com o objecto nele incluído), desprezando 
eventuais efeitos que o choque entre os dois corpos produziria. 
Considerando o sistema constituído pelos dois corpos, verifica-se que sobre eles 
apenas actua a força peso e as reacções nos apoios do carro, que a compensam. Será nula 
a soma destas forças na direcção horizontal, pelo que, nessa direcção, haverá conservação 
da quantidade de movimento. 
(Note-se que, considerando o efeito do choque este problema não poderá ser 
resolvido de forma tão simplista!). 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 279 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
M
m
vθθθθ
 
 
Figura 14 - Conservação da quantidade de movimento linear na direcção horizontal. 
 
Obtém-se então 
( ) ( )
( ) ( )
t ' ' '
X x x mx Mx mx Mx0
' '
mx Mx mx Mx
F dt Q Q Q Q Q Q
mv Mv mv Mv
= − = + − + =
= + − +
∫
 
Mas 
( ) ( )t ' 'x mx Mx mx Mx0 F dt 0 mv Mv mv Mv 0= ⇒ + − + =∫ (62) 
Sendo a velocidade inicial do carro transportador nula, então 0vMx = . 
Após o choque os dois corpos deslocam-se em conjunto e solidários pelo que 
' ' '
mx Mxv v v= =
 
Substituindo na expressão (62) obtém-se: 
( )
( )
'
m
'
m
m M v mv
m
v v
m M
+ =
=
+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
280 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.3 Conservação da quantidade de movimento angular numa direcção 
 
A figura 15 mostra duas esferas, que podem deslizar sem atrito sobre uma guia 
horizontal, animada de movimento de rotação em torno de um eixo vertical, com 
velocidade angular ω . As duas esferas são consideradas como duas massas concentradas. 
 
m m
ω
θ
R
r
 
 
Figura 15 - Conservação de movimento angular das duas esferas segundo eixo de rotação. 
 
Inicialmente são mantidas na posição definida por r, por meio de um cabo. Este, 
por hipótese, parte-se em dado instante, pelo que bruscamente as esferas se deslocam 
para os extremos da guia (posição definida por R). 
Calcular a velocidade angular de rotação da guia Ω , quando as esferas ocuparem 
esta última posição. 
Desprezar a inércia da guia horizontal e considerar as duas esferas como duas 
massas concentradas. 
 
Neste sistema material actuam as forças "peso" e as de ligação ao exterior, no 
apoio. Nenhuma delas produzem momento em relação ao eixo de rotação, pelo que o 
momento cinético, nessa direcção, vai permanecer constante. 
Então, 
o
t '
O O Ot
M dt H H= −∫
! !""!
 
mas 
o
t '
O O Ot
M dt 0 H H= ⇒ =∫
! ! !""!
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 281 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
' ' ' ' '
O O 1 1 2 2 1 1 2 2H H OP mv OP mv OP mv OP mv= ⇔ × + × = × + ×
""! ""! """! ""! """! ""! """"! ""! """"! ""!
 
isto é 
ωΩ
ωωΩΩ
ωωΩΩ
22
2222
rm2Rm2
rm
0
0
rm
0
0
Rm
0
0
Rm
0
0
0
r
0
mx
0
0
r
0
r
0
mx
0
0
r0
R
0
mx
0
0
R
0
R
0
mx
0
0
R
=










+










=










+




















−









−
+




















=










−









−
+




















 
ωΩ 2
2
R
r= 
 
 
6.4 Choque central oblíquo 
 
Um aro, de massa m e momento de inércia relativamente ao eixo geométrico de 
revolução, I, choca com um plano inclinado (fixo), nas condições da figura 16. 
 
A
G
t̂
θθθθ
θθθθ '
n̂
ωωωω
'v
 v
 
Figura 16 - Choque central oblíquo de um aro com um plano inclinado. 
 
282 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Sendo Gv
""!
 a velocidade do centro de massa G imediatamente antes do choque, 
calcular a velocidade 'Gv
""!
 do mesmo ponto, no instante imediatamente após, admitindo 
que não existe atrito entre o aro e a o plano inclinado (µµµµ = 0) e o coeficiente de 
restituição é e. 
Considerar as hipóteses: a) ωωωω = 0; b) ωωωω = ωωωω . 
 
Na hipótese de inexistência de atrito (µµµµ = 0), a força de atrito na direcção 
tangencial é nula, pelo que não provocará momento em relação a G. Logo o impulso 
angular é nulo, tanto no caso da alínea a) como da b). 
Então, em ambos os casos 
' ' '
G GH H ω ω ω ω= ⇒ = ⇒ =I I
"! "!
 
Não havendo força de atrito na direcção tangencial, então também não haverá 
impulso linear na direcção da tangente, t
!
. Assim, e em ambos os casos, 
m v cos θ = m v’ cos θ’ 
Na direcção da normal n
!
, surge uma força de contacto, cujo impulso provocará a 
alteração na quantidade de movimento, isto é 
' 'v sin
e
v sin
θ
θ
= 
As equações anteriores permitem obter os seguintes resultados: 
' '
' '
v cos v cos
ev sin v sin
θ θ
θ θ
=
= 
Estas duas expressões podem ser trabalhadas de modo a determinar vt1 e θθθθt1. 
( )
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
cos cos cosv v v v v vcos cos cos
cos e tg tg arctg e tge v sin v sin
cos
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ θ θθ θ
θ
  = = =  
    
  
  = =  =    
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 283 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 22 ' 2 '
2 2' 2 2 2
22 2 ' 2 '
v cos v cos
v v e sin cos
e v sin v sin
θ θ
θ θ
θ θ
=
 ⇒ = +

= 
 
' 2 2 2v v e sin cosθ θ= + 
Em conclusão: 
a) ( )' ' 2 2 2 '0 ; v v cos e sin ; arctg etgω θ θ θ θ= = + = 
b) ( )' t1 2 2 2 '; v v cos e sin ; arctg etgω ω θ θ θ θ= = + = 
Concretizando as expressões anteriores para os seguintes valores: 
θθθθ = 60º, v = 1 m/s, e e = 0.5, 
determina-se que, 
θθθθ’ = 40.9º, v’ = 0.66 m/s. 
 
 
6.5 Choque excêntrico de um corpo livre 
 
Uma barra prismática move-se em translação rectilínea, nas condições indicadas na 
figura 17. Em determinado instante, quando possui a velocidade v
!
, sofre um choque 
excêntrico (coeficiente de restituição e), que vai alterar significativamente o seu 
movimento. 
G
d 2
A
vh/2
θ
t̂
n̂
 
Figura 17 - Choque excêntrico de uma barra com movimento de translação. 
284 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Definir o campo das velocidades contemporâneas da barra, no instante 
imediatamente após o choque. 
As incógnitas do problema são: 
v' = velocidade de G imediatamente após o choque: 
θθθθ' = ângulo da velocidade 'v
!
 com a direcção t̂ ; 
ωωωω' = velocidade angular da barra após o choque. 
Como o coeficiente de restituição e é conhecido, e atendendo à expressão (57) é 
possível estabelecer que ( 0vv
n
B
n
'
B
!
=




=



 ) 
( )
( )
( )ω+ •
= =
•
""! ""! """!!
""!""!
A Gn
GA n
v v x GA n
e
v nv
' ˆ' '
ˆ' (63) 
θ
ω θ
ω
ωθ
θ ω
→
  −                 + • = + − • =                            
             = + − • =                   
""! !
G
h
v
dv x GA n v x
d vv
hv
' '
' ' '
'
' '
' '
' ' '
cos 0 2 0
ˆ' sin 0 12
0 00
coscos 02
sin 12
0 00
θ ω
θ ω
 +      − •   
   
   
d
hv
' '
' ' '
02
sin 12
00
 
ω θ ω
→ + • = − 
 
""! !
G
hv x GA n v' ' ' 'ˆ' sin 2
 
θ
θ θ
   
   • = − • = −   
   
   
""!
G
v
v n v v
cos 0
ˆ sin 1 sin
0 0 
Substituindo na expressão (63) obtém-se 
θωθ sinve
2
hsinv ''' =− (64) 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 285 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Na direcção t̂ há conservação de quantidade de movimento (admitindo que se 
despreza o atrito), pelo que se pode estabelecer que 
θθ cosvcosv '' = (65) 
Na barra prismática, durante o choque, actuam duas forças exteriores: o peso e a 
reacção impulsiva F
!
. Considerando os momentos destas forças em relação ao ponto A, 
verifica-se que a força peso produz momento, ao qual corresponderá durante o choque, 
um impulso angular em A perfeitamente desprezável. 
De facto o impulso angular será igual a 
( ) 0tkcosdsinhgm
2
1
t
0
singm
cosgm
x
0
2d
2h
tgmxAGtMdtM pesoA
t
0
peso
A
≅


 +−
=










−










===∫
∆θθ
∆θ
θ
∆∆
!
!
 
Durante o choque haverá, portanto, conservação da quantidade de movimento 
angular em relação ao ponto A. O estabelecimento desta condição fornece a terceira 
equação que permite resolver o problema. 
Então 
vmxAGHvmxAGHHH G
''
GA
'
A
!!!!!! →→
+=+⇔= 










−












+










=






















+










0
sinv
cosv
mx
0
2
d
2
h
0
0
0
0
sinv
cosv
mx
0
2
d
2
h
0
0
''
''
'
ZG
θ
θ
θ
θ
ωI
 
θθθθω cosvm
2
dsinvm
2
hcosvm
2
dsinvm
2
h ''''' −−=−+I (66) 
O sistema de equações representativo deste problema é: 
I
θ ω θ
θ θ
ω θ θ θ θ
− =
=
+ − = − −
h
v ev
v v
h d h d
mv m v mv mv
' ' '
' '
' ' ' ' '
sin sin
2
cos cos
sin cos sin cos
2 2 2 2
 
286 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Trabalhando as três equações anteriores, obtém-se 
( )
( ) ( ) 0cosvcosvm
2
dsinvsinvm
2
h
0cosvcosv
2
hsinve1sinvsinv
'''''
''
'''
=−−++
=−
++=+
θθθθω
θθ
ωθθθ
I
 (67, 68, 69) 
Introduzindo as expressões (67) e (68) em (69) determina-se o seguinte valor para ωωωω'. 
( )
( ) θω
ωθω
sinvm
2
he1'
4
hmI
0
2
hsinve1m
2
hI
2
'
''
+−=







+
=







+++
 
( ) ( )








+
++−
=
4
hmI
e1sinvm
2
he1
'
2
θ
ω 
Conhecido ωωωω’, as expressões (64) e (65) formam um sistema de duas equações em 
v' e θθθθ'. Assim 
'''
2
hsinvesinv ωθθ += 
θθ cosvcosv '' = 
cuja solução analítica é 
( )2
2
'' cosv
2
hsinvev θωθ +




 += 









 +
=
θ
ωθ
θ
cosv
2
hsinve
arctg
'
'
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 287 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
6.6 Choque excêntrico de um corpo com ligação ao exterior 
 
A figura 14 mostra o caso de uma barra prismática que roda em torno do ponto O. 
No caso da figura 18-a), no ponto O há uma ligação rígida ao exterior. No caso da figura 
18-b) há uma ligação elástica. 
 
G
c
A+
a
b
A
O
A
G
A+
 
 
Figura 18-a) 
Choque excêntrico de uma barra com uma 
ligação rígida ao exterior no ponto O. 
 Figura 18-b) 
Choque excêntrico de uma barra com uma 
ligação elástica ao exterior no ponto O. 
 
Admitindo que se conhece o valor da velocidade angular da barra (ωωωω), no instante 
imediatamenteanterior ao choque com o ponto A, calcular, em ambos os casos, o valor da 
velocidade angular ωωωω', correspondente ao instante imediatamente posterior ao choque. 
Suponha conhecida a massa m, o momento de inércia em relação ao eixo de 
rotação que passa por G , I�G , e o valor do coeficiente de restituição e. 
O caso da alínea a) é de resolução simples. De facto, o movimento de barra é 
alterado pelo aparecimento de duas forças impulsivas, uma no ponto de choque A e outra 
no ponto de ligação ao exterior O. Em todo o caso, antes e depois do choque, o 
movimento é de rotação em torno de um eixo que passa por O. 
A definição do coeficiente de restituição permite obter o valor de ωωωω' (velocidade 
angular da barra imediatamente após o choque), o único parâmetro necessário para 
caracterizar o movimento. Então, 
288 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
( )
( )










+−
−
=










−
+










−
+=+=
0
ba
c
0
c
ba
x0
0
0OAxvv OA ω
ω
ω
ω 
isto é 
( ) ( )
( )
( )
( ) ωωω
ω
ω
ω
e'
ba
ba
v
v
e
bav
bav
'
A
'
A
'
n
'
A
nA
=⇒
+
+=











=








+=




+−=
 
 
O caso da alínea b) é um pouco mais trabalhoso. Com efeito, o torsor das 
quantidades de movimento vai apenas ser alterado pelo aparecimento, durante o choque, 
de uma força impulsiva em A, como se mostra o diagrama de corpo livre da barra 
representado na figura 19. 
 
•O
A
 m
! 
v '
IG ω
'
ˆ n 
ˆ t 
 
! 
F dt
0
t
∫
 
Figura 19 - Diagrama de corpo livre da barra. 
 
Realmente, durante o tempo extremamente curto corresponde ao choque, o apoio 
O não chega a mover-se, pelo que não aparecerá aí qualquer força elástica impulsiva. A 
reacção em O é apenas igual à que correspondia ao instante antes do choque e função da 
deformação a que as molas aí colocadas então teriam. 
São agora incógnitas a velocidade 
'
Gv do centro de massa G e a velocidade angular 
ωωωω'. Podem-se escrever as seguintes equações: 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 289 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Coeficiente de restituição: 
n̂OAx
n̂GAx'v
v
v
e
'
G
n
A
n
'
A
•





•





+
=











=
→
→
ω
ω
! (70) 
Conservação da quantidade de movimento na direcção tangencial: 
t̂OGxmt̂vm 'G •





=•
→
ω! (71) 
Conservação do momento cinético no ponto A: 






+=+⇔
⇔=⇒≅
→→→
∫
OGxmxAGvmxAG'
HH0dtM
G
'
GG
A
'
A
t
o A
ωωω !!II (72) 
A equação (71) permite estabelecer que 
( )
( )'G
0 a b 1 0 1
ˆ ˆm v t m OG t m 0 0 0 m a b 0 0
0 0 0 0
ω ω
ω
→
 +        
            = × = × = + =            
            −         
""! !i i i i
 
isto é 'Gv só tem componente horizontal (direcção n
!
). 
O desenvolvimento da expressão (70) permite determinar que: 
( )
( )
'
G
'
G
ˆ ˆe OA n v ' GA n
00 a b 0 0 b 0
e 0 c 1 v 0 c 1
0 0 0 ' 0 0
c 0
e a b 1
0 0
ω ω
ω ω
ω
ω
→ →   × = + × ⇔   
   
   +          
              × − = + × − ⇔               
               −               
−  
  − +  
 
  
""! ""!! i i
i i
i 'G
c ' 0
v b ' 1
0 0
ω
ω
   
   = + ⇔    
     
   
i 
( )ωω bae'bv'G +=+ (73) 
290 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
O desenvolvimento da expressão (72) permite determinar que: 






+=+
→→→
OGxmxAGvmxAG' G
'
GG ωωω
!!II 










−









−
+










−
=




















+
−
+










+ 0
am
0
x
0
c
b
0
0
0
vm
0
x
0
c
b
0
0
G
'
G
'
G
ω
ωω II
 
bamvbm G
'
G
'
G ωωω +−=− II (74) 
A expressão (73) permite obter que 
( ) 'bbaev'G ωω −+= 
e substituindo na equação (74) obtém-se 
( )[ ] ωωωωω bam'bbaebm G'G +−=−+− II 
ωωωωωω bambmbembaem G
'22'
G +−=+−− II 
ωωωωωω 2G
'2'
G bembaembambm +++−=+ II 
( )
ωω 2
G
2
G'
bm
bembae1m
+
+++−
=
I
I
 
Substituindo o valor de ωωωω’ na equação (73), determina-se 
( ) ( ) ω







+
−+−
++= b
bm
bembae1m
baev 2
G
2
G'
G
I
I
 
 
 
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 291 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
7 PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
Problema IQM1 
 
O sistema de representado na figura é constituído por: 
Corpo 1 - uma barra de comprimento %%%% e massa m, a qual pode rodar em torno do ponto 
O com velocidade angular θ& ; 
Corpo 2 - um barra de comprimento %%%% e massa m, a qual pode rodar em torno do ponto A 
com velocidade angular ϕ& . 
Aplicando o Teorema do Impulso e Quantidade de Movimento, determine as 
velocidades angulares instantâneas das barras 1 e 2 quando, a partir do repouso, for 
aplicada uma força impulsiva horizontal F no ponto B. 
Determine o valor dessas velocidades angulares instantâneas nas seguintes 
condições: 
m = 4 kg %%%% = 1.2 m Ns14dtF
1
0
t
t
=∫ . 
X 
Y 
O 
1
2
G1
G2
θ 
ϕ 
∫
1
0
t
t
dtF
A 
B 
292 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO - Impulso e Quantidade de Movimento 
Disciplina de MECÂNICA III - SMAp – DEMEGI – FEUP 6ª Edição - Fevereiro 2004 
Problema IQM2 
 
 
O sistema de representado na figura é constituído por: 
Corpo A - um cursor de massa mA, obrigado a deslizar sem atrito sobre uma guia 
horizontal; 
Corpo 2 - um projéctil massa mB, animado de uma velocidade vB , o qual atinge a cursor. 
Aplicando o Teorema do Impulso e Quantidade de Movimento, determine os 
vectores velocidade do cursor e do projéctil, após o impacto, se o Coeficiente de 
Restituição do sistema cursor/projéctil for e. 
a) Determine os valores dessas velocidades nas seguintes condições: 
mA = 5 kg mB = 2.5 kg vA = 10 m/s e = 0.75. 
b) Represente a variação de intensidade e direcção do projéctil após impacto em 
função do Coeficiente de Restituição. 
 
 
 
 
 
A 
B
30º
10 m/s