Métodos Numéricos Computacionais

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QUESTÕES DISCURSIVAS	
PROVA AV1 – DISCIPLINA: MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS – 
Questão 1 (1,6 pontos)
Faça as conversões abaixo:
i) 0101001101102 para base octal.
Resposta:
 (010) (100) (110) (110) = (2466)8
 2 4 6 6
ii) 1AD16 para base decimal
Resposta:
1 x 16² + A x 16¹ + D x 
 256 + 160 + 13 = (429)10
iii) 1768 para base hexadecimal
Resposta:
1° Vamos passar para base 2
1 7 6 
001 111 110 = (001111110)2 
2° Vamos passar da base 2 para base 16
 (001111110)2 = (07E)16 ou (7E)16
 (0000) (0111) (1110) = (07E)16
 0 7 E
iv) 78616 para base decimal
Resposta:
7 x 16² + 8 x 16¹ + 6 x 
 1792 + 128 + 6 = (1926)10
Questão 2 (1,6 pontos)
Considere uma máquina cujo sistema de representação de número é definido por:
β=10, k=4,∈[−5,5].
Sejam os somatórios S1 = 42.450 + e S2 = + 42.450 
Obtenha 𝑆1 e 𝑆2 .
Resposta:
 (
Caso pedisse o maior e menor número desta máquina, teríamos: 
Menor 
 0,1000 x 
 
Maior 
 0,9999 x 
)
 (
Caso pedisse a soma a + b, teríamos:
a= 42450 b= 3
42450 + 3 =
0,4245 x 
 + 0,3 x 
 =
0,4245 x 
 + 0,00003 x 
 = 0,42453 x 
 =
0,4245 x 
 + 0,00003 x 
 =0,42453
 
x 
 = 0,4245 x 
 
)
Agora vamos obter a 𝑆1
S1 = 42.450 + 
S1 = 42450 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 
 30
S1 = 0,42450 x + 0,00003 x = 0,42453 x = 0,4245 x 
 0,42450 x + 0,00003 x = 0,42453 x = 0,4245 x 
 0,42450 x + 0,00003 x = 0,42453 x = 0,4245 x 
 0,42450 x + 0,00003 x = 0,42453 x = 0,4245 x 
 0,42450 x + 0,00003 x = 0,42453 x = 0,4245 x 
 0,42450 x + 0,00003 x = 0,42453 x = 0,4245 x 
 0,42450 x + 0,00003 x = 0,42453 x = 0,4245 x 
 0,42450 x + 0,00003 x = 0,42453 x = 0,4245 x 
 0,42450 x + 0,00003 x = 0,42453 x = 0,4245 x 
 0,42450 x + 0,00003 x = 0,42453 x = 0,4245 x 
Agora vamos obter a 𝑆2
S2 = + 42.450
S2 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 42450 
S2 = 0,3 x + 0,3 x = 0,6 x 
 0,6 x + 0,3 x = 0,9 x 
 0,9 x + 0,3 x = 1,2 x = 0,12 x 
 0,12 x + 0,03 x = 0,15 x 
 0,15 x + 0,03 x = 0,18 x 
 0,18 x + 0,03 x = 0,21 x 
 0,21 x + 0,03 x = 0,24 x 
 0,24 x + 0,03 x = 0,27 x 
 0,27 x + 0,03 x = 0,30 x 
S2 = 0,3 x + 42450
S2 = 0,0003 x + 0,4245 x = 0,42458 x 
S1 = 0,4245 x 
S2 = 0,42458 x 
Questão 3 (1,6 pontos)
Dada a equação f(x) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0, sabe-se que cada intervalo (-3;-2), (-2;-1), (0;1), (1;2) e (3;4) contém uma raiz.
Então obtenha a estimativa do número de iterações necessário para calcular a menor raiz positiva utilizando o método da Bisseção com precisão 0.040.
Resposta:
 (
Como falado no enunciado,sabemos que
 cada intervalo, a seguir, contém uma raiz: 
(-3, -2), (-2, -1), (0, 1), (1, 2) e (3, 4).
)
Então vamos calcular a estimativa do número de iterações necessárias para calcular a menor raiz positiva utilizando o método da Bisseção com precisão 0,040:
 
Calculo da menor raiz positiva
 (
OBS sobre o sinal: 
Quando
 (
+
) 
então a 
 
x
k
Quando 
(
-
)
 então b 
 
x
k
 = 
)
	k
	a
	b
	f(a)
	f(b)
	xk
	f(xk)
	b – a) 
	Sinal
	01
	0,000
	1,000
	- 6,000
	3,000
	0,500
	- 0,718
	1,000
	-
	02
	0,000
	0,500
	- 6,000
	- 9,000
	0,250
	- 3,553
	0,500
	+
	03
	0,250
	0,500
	- 3,553
	- 0,718
	0,375
	- 2,135
	0,250
	+
	04
	0,375
	0,500
	- 2,135
	- 0,718
	0,437
	- 1,426
	0,125
	+
	05
	0,437
	0,500
	- 3,901
	- 0,718
	0,468
	- 1,075
	0,063
	+
	06
	0,468
	0,500
	- 1,075
	- 0,718
	0,484
	- 0,896
	0,032
	+
	Caso tivesse a iteração 07 
	07
	0,484
	0,500
	- 0,896
	- 0,718
	0,492
	- 0,807
	0,016
	+
Cálculos:
01 –
f(a) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(a) = (0,000)5 – 2(0,000)4 -7(0,000)3 + 9(0,000)2 +8(0,000) – 6 = 
f(a) = - 6
f(b) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0 
f(b) = (3,000)5 – 2(3,000)4 -7(3,000)3 + 9(3,000)2 +8(3,000) – 6 =
f(b) = - 9
xk = 
xk = 
xk = 0,500/2
xk = 0,25
f(xk) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(xk) = (0,500)5 – 2(0,500)4 -7(0,500)3 + 9(0,500)2 +8(0,500) – 6 =
f(xk) = - 0,718
02 –
f(a) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(a) = (0,000)5 – 2(0,000)4 -7(0,000)3 + 9(0,000)2 +8(0,000) – 6 = 
f(a) = - 6
f(b) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0 
f(b) = (1,000)5 – 2(1,000)4 -7(1,000)3 + 9(1,000)2 +8(1,000) – 6 =
f(b) = 3
xk = 
xk = 
xk = ½
xk = 0,5
f(xk) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(xk) = (0,25)5 – 2(0,25)4 -7(0,25)3 + 9(0,25)2 +8(0,25) – 6 =
f(xk) = - 3,553 
03 - 
f(a) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(a) = (0,250)5 – 2(0,250)4 -7(0,250)3 + 9(0,250)2 +8(0,250) – 6 = 
f(a) = - 3,553
f(b) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0 
f(b) = (0,500)5 – 2(0,500)4 -7(0,500)3 + 9(0,500)2 +8(0,500) – 6 =
f(b) = - 0,718 
xk = 
xk = 
xk = 0,750/2
xk = 0,375
f(xk) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(xk) = (0,375)5 – 2(0,375)4 -7(0,375)3 + 9(0,375)2 +8(0,375) – 6 =
f(xk) = - 2,135
04 - 
f(a) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(a) = (0,375)5 – 2(0,375)4 -7(0,375)3 + 9(0,375)2 +8(0,375) – 6 = 
f(a) = - 2,135
f(b) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0 
f(b) = (0,500)5 – 2(0,500)4 -7(0,500)3 + 9(0,500)2 +8(0,500) – 6 =
f(b) = - 0,718 
xk = 
xk = 
xk = 0,875/2
xk = 0,437
f(xk) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(xk) = (0,437)5 – 2(0,437)4 -7(0,437)3 + 9(0,437)2 +8(0,437) – 6 =
f(xk) = - 1,426
05 - 
f(a) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(a) = (0,437)5 – 2(0,437)4 -7(0,437)3 + 9(0,437)2 +8(0,437) – 6 = 
f(a) = - 3,901
f(b) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0 
f(b) = (0,500)5 – 2(0,500)4 -7(0,500)3 + 9(0,500)2 +8(0,500) – 6 =
f(b) = - 0,718 
xk = 
xk = 
xk = 0,968/2
xk = 0,484
f(xk) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(xk) = (0,468)5 – 2(0,468)4 -7(0,468)3 + 9(0,468)2 +8(0,468) – 6 =
f(xk) = - 1,075
06 - 
f(a) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(a) = (0,468)5 – 2(0,468)4 -7(0,468)3 + 9(0,468)2 +8(0,468) – 6 = 
f(a) = - 1,075
f(b) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0 
f(b) = (0,500)5 – 2(0,500)4 -7(0,500)3 + 9(0,500)2 +8(0,500) – 6 =
f(b) = - 0,718 
xk = 
xk = 
xk = 0,937/2
xk = 0,468
f(xk) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(xk) = (0,484)5 – 2(0,484)4 -7(0,484)3 + 9(0,484)2 +8(0,484) – 6 =
f(xk) = - 0,896
Caso tivesse a iteração 07
07 - 
f(a) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(a) = (0,484)5 – 2(0,484)4 -7(0,484)3 + 9(0,484)2 +8(0,484) – 6 = 
f(a) = - 0,896
f(b) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0 
f(b) = (0,500)5 – 2(0,500)4 -7(0,500)3 + 9(0,500)2 +8(0,500) – 6 =
f(b) = - 0,718 
xk = 
xk = 
xk = 0,984/2
xk = 0,492
f(xk) = x5 - 2x4 -7x3 + 9x2 +8x – 6 = 0
f(xk) = (0,492)5 – 2(0,492)4 -7(0,492)3 + 9(0,492)2 +8(0,492) – 6 =
f(xk) = - 0,807
Respondendo a questão, a menor raiz positiva utilizando o método da Bisseção com precisão 0,040 será o valor do nosso xk na sexta iteração, nesse caso, xk = 0,484 , ou seja, o valor de x na função é igual a 0,484; A raiz é 0,484. 
Questão 4 (1,6 pontos)
Calcule a raiz de f(x) = x2 + x - 6, usando o método de Newton-Raphson, x0 = 3 como estimativa inicial e como critério de parada |f(xn)| ≤ 0,020.
 (
Formula: x
𝑛
+1 
= 
𝑥
𝑛
 – 
𝑓
(
𝑥
𝑛
)
 /
𝑓
′(
𝑥
𝑛
)
x
𝑛
+1
 = 
(
𝑥
𝑛
)
)Resposta:
f(x) = x2 + x – 6
estimativa Inicial x0 = 3
critério de parada |f(xn)| ≤ 0,020
onde: 
x𝑛+1 = 𝑥𝑛 – 𝑓(𝑥𝑛) /𝑓′(𝑥𝑛)
Derivada da função f(x) = 𝑓′(𝑥) = 2x + 1
Sabemos que:
 
x𝑛+1 = 𝑥𝑛 – 𝑓(𝑥𝑛) /𝑓′(𝑥𝑛)
Vamos lá:
x1 = 𝑥0 – 𝑓(𝑥𝑛)/𝑓′(𝑥𝑛)
x1 = 3 – 32 + 3 – 6/2(3) + 1
x1 = 3 – 6/7
x1 = 21 -6/7
x1 = 15/7
x1 = 2,1428571229
x2 = 𝑥1 – 𝑓(𝑥𝑛)/𝑓′(𝑥𝑛)
x2 = 2,1428571229 – 2,14285712292 + 2,1428571229 – 6/2(2,1428571229) + 1
x2 = 2,1428571229 – 0,7346938778/5,2857142858
x2 = 11,3265306127 - 0,7346938778 /5,2857142858
x2 = 10,5918367349/5,2857142858
x2 = 2,0038610039
x3 = 𝑥2 – 𝑓(𝑥𝑛)/𝑓′(𝑥𝑛)
x3 = 2,0038610039 – 2,00386100392 + 2,0038610039 – 6/2(2,0038610039) + 1
x3 = 2,0038610039 – 0,0193199269/5,0077220078 
(OBS1: Aqui já iria parar por acusa do criterio de parada |f(xn)| ≤ 0,020)
(OBS2: Eu só vou continuarpara fazer a conta)
x3 = 10,0347807833 – 0,0193199269/5,0077220078
x3 = 10,0154608564/5,0077220078
x3 = 2,0000003363
Como foi falado, como ele infromou o criterio de parada sendo |f(xn)| ≤ 0,020 , quando achamos um menor paramos e obtivemos a raiz de f(x) = 2,003861389
	xn
	𝑓(𝑥𝑛)
	f(x) = 𝑓′(𝑥)
	x𝑛+1 = (𝑥𝑛)
	3
	6
	7
	2,1428571429
	2,1428571429
	0,7346938778
	5,2857142858
	2,0038610039
	2,0038610039
	0,0193199269
	5,0077220078
	-
	
	
	
	
Questão 5 (1,6 pontos)
Seja a função f(x) = x2 + x - 6 com aproximações iniciais x0=1.5 e x1=1.7 e precisão igual a 0.01. Faça duas iterações do método de secantes.
 (
Formula: x
𝑛
+1 
= 
𝑥
k
 – 
𝑓
(
𝑥
n
) (𝑥
n – 
𝑥
n-1
)
 /
 
𝑓
(
𝑥
n
) - f(𝑥
n-1
)
)Resposta:
f(x) = x2 + x – 6
estimativas Iniciais x0 = 1.5 ; x1 = 1.7
critério de parada |f(xk)| ≤ 0,01
Vamos lá:
	Iteração
	𝑥n
	f(𝑥n)
	0
	x0 = 1,5
	- 2,25
	1
	x1 = 1,7
	- 1,41
	2
	x2 = 2,03571 
	0,17982
	3
	x3 = 1,99773 
	- 0,01134
	4
	x4 = 1,99997
	- 0, 00014
	
	
	
	Iteração
	 𝑥n – 𝑥n-1)
	0,01
	1
	x1 - x0 = 0,2
	0,2 > 0,01
	2
	x2 – x1 = 0,33571
	0,33571 > 0,01
	3
	x3 - x2 = 0,03798
	0,03798 > 0,01
	4
	x4 - x3 = 0,00224
	0,00224 < 0,01
	
	
	
Cálculos:
Temos as estimativas iniciais x0 e x1 então vamos achar os seus f(𝑥n)
f(x0) = (1,5)² + (1,5) – 6 
f(x0) = - 2,25
f(x1) = (1,7)² + (1,7) – 6 
f(x1) = - 1,41
1° Iterração para o critério de parada
 𝑥n – 𝑥n-1)=
 x1 - x0 = 1,7 – 1,5 = 0,2
Então:
0,2 > 0,01 
Vamos ao x2 
x2 = 𝑥1 – 𝑓(𝑥1) (𝑥1 – 𝑥0) / 𝑓(𝑥1) - f(𝑥0)
x2 = 1,7 – (- 1,41) (1,7 – 1,5) / (- 1,41) – (- 2,25)
x2 = 1,7 – (- 1,41) (0,2) / 0,84
x2 = 2,03571
f(x2) = (2,03571)² + (2,03571) – 6
f(x2) = 0,17982
2° Iterração para o critério de parada
 𝑥n – 𝑥n-1)=
 x2 - x1 = 2,03571 – 1,7 = 0,33571
Então:
0,33571 > 0,01 
Vamos ao x3 
x3 = 𝑥2 – 𝑓(𝑥2) (𝑥2 – 𝑥1) / 𝑓(𝑥2) - f(𝑥1)
x3 = 2,03571 – ( 0,17982) (2,03571 – 1,7) / (0,17982) – (- 1,41)
x3 = 2,03571 – (0,17982) (0,33571) / 1,58982
x3 = 1,99773
f(x3) = (1,99773)² + (1,99773) – 6
f(x3) = - 0,01134
3° Iterração para o critério de parada
 𝑥n – 𝑥n-1)=
 x3 - x2 = 1,99773 - 2,03571 = 0,03798
Então:
0,03798 > 0,01 
Vamos ao x4 
x4 = 𝑥3 – 𝑓(𝑥3) (𝑥3 – 𝑥2) / 𝑓(𝑥3) - f(𝑥2)
x4 = 1,99773 – (- 0,01134) (1,99773 – 2,03571) / (- 0,01134) – (0,17982)
x4 = 1,99773 – (- 0,01134) (- 0,03798) / - 0,19116
x4 = 1,99997
f(x4) = (1,99997)² + (1,99997) – 6
f(x4) = - 0,00014
4° Iterração para o critério de parada
 𝑥n – 𝑥n-1)=
 x4 - x3 = 1,99997 – 1,99773 = 0,00224
Então:
0,00224 < 0,01 
Raiz encontrada, valor convergido: 1,99997, número de iterações: 3. O valor de uma das raízes da função é 2 a convergência para o valor 1,99997 foi devido à precisão. Aumentando-se a precisão o valor convergido seria 2.