Winterle - 2000 - Vetores e Geometria Analítica-14

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12 Vetores e Geometria Analítica 
Exemplo - -Seja o vetor v -:t:- O . Determinar o vetor paralelo a v tal que 
-
a) tenha o mesmo sentido de v e módulo 5; 
b) tenha sentido contrário ao de v e módulo 10. 
Solução 
--V A partir de um vetor arbitrário v * O (Figura 1.23) é sempre 
-V 
• 
possível associar os dois vetores paralelos e unitários: 
-
V 
lv 1 
• 
V 
lvl 
- V 
(mesmo sentido de v) e - -=- (sentido contrário ao de v ) . 
Figura 1.23 
Logo, tem-se as soluções: 
-
lv 1 
-
a) 5_v e b) 
lvl 
-
10v 
lvl 
Se u e v são vetores quaisquer e a e p números reais, a multiplicação de número 
real por vetor admite as propriedades: 
- -I) (aP) v = a(P v) II) (a+ P)v = av + Pv - - - - -ill)a(u + v)=au +av IV)lv=v 
- -u+v 
A Figura 1.24 ilustra a propriedade III para a= 2, isto é, - - - -
2( U + V ) = 2 U + 2 V . 
Figura 1.24 
Exemplos 
1) Representados os vetores u , v e 
w como na Figura l.25(a), obter -graficamente o vetor x tal que 
- - - 1-
x =2u -3v + -w. 
2 
Solução: Figura 1.25(b) 
v 
(a) 
-3v 
~-
-w 
2 ,,, 
,.,• -
X 
(b) 
Figura 1.25 
Cap. 1 Vetores 13 
2) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um 
triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade. 
Solução 
Seja o triângulo ABC e M e N os pontos médios dos lados CA e CB, respectivamente (Fi-
gura 1.26). 
Pela figura, tem-se e 
MN=MC+CN 
1- 1-
=-AC+-CB 
2 2 
1 - -
=-( AC+CB) 
2 
1-
=-AB 
2 
A B 
Figura 1.26 
- - -
1 1-1 Portanto, MN li AB e IMN 1 = 2 AB. 
Ângulo de Dois Vetores 
B 
o 
Figura 1.27 
O ângulo entre os vetores não-nulos u e v é o ângulo 0 for-
mado por duas semi-retas OA e OB de mesma origem O (Figu-- - - -ra 1.27), onde u = OA , v = OB e O ~ 0 ~ 1t (0 em radianos) 
ou Oº~ 0 ~ 180º. 
Se u li v e ~ e ; têm o mesmo sentido, então 0 = O. É o - -que ocorre, por exemplo, com os vetores u e 2 u que têm o 
mesmo sentido (Figura 1.28(a)). 
Se u li v e u e v têm sentidos contrários, então 0 = 7t. É o caso de ~ e -3 ~ (Figu-
ra 1.28(b)). 
-+ -+ 
• u •. u • • 
2ü -3Ü 
(a) (b) 
Figura 1.28