Exercicio de Cálculo I - - RESOLVIDO

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1. Provaremos que dada duas bijeções: g : A → B e f : B →C então sua composta é bijeção. Para
tanto, mostraremos, que sua composta é injetiva e também é sobrejetiva, vamos aos passos:
(a) Como f e g são bijeções então cada uma é injetora então a função composta f ◦g : A →C
é injetora.
Solução
Se g, f são injetoras então ∀x1,x2 ∈ A, x1 ̸= x2 =⇒ g(x1) ̸= g(x2) e ∀y1,y2 ∈ B,y1 ̸= y2 ∈
B =⇒ f (y1) ̸= f (y2). Pondo y1 = g(x1) e y2 = g(x2) segue da injetividade da g e f que,
∀g(x1),g(x2) ∈ B,g(x1) ̸= g(x2) ∈ B =⇒ f (g(x1)) ̸= f (g(x2)) e portanto f ◦g é injetora.
(b) Se f e g são sobrejetora então a função composta f ◦g : A →C é sobrejetora.
Solução
Se f e g são sobrejetoras então, ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que y = g(x) e ∀z ∈ C ∃y ∈ B tal que
z = f (y). Da composta f ◦ g segue então que ∀z ∈ C, ∃x ∈ A tal que z = f (g(x)) e logo
composta é sobrejetora.
(c) Use os itens anteriores para concluir que se f e g são bijetoras então a composta f ◦ g é
bijetora.
Solução
Se f e g são bijetoras, ambas são injetoras e sobrejetoras. Da hipótese de que f e g são
injetoras segue do item (a) que a composta é injetora. Da hipótese de que f e g serem
sobrejetoras tem-se do item (b) que a composta é sobrejetora. Logo, a composta é injetora
e sobrejetora e portanto bijetora.
2) Analise a função abaixo:
f (x) =
(x+1)(3x2 −10x+21)
x2 +7x+10
(a) Note que:
x2 +7x+10 = (x+2)(x+5)
Logo temos que:
f (x) =
(x+1)(3x2 −10x+21)
(x+2)(x+5)
observe que a função não é definida para x = −2 e x = −5. Daí temos que domínio da
função é o conjunto D = {x ∈ R|x ̸=−2 e x ̸=−5}.
[(b)] Determinaremos o maior intervalo em que f (x) > 0. Perceba que a função g(x) = 3x2 −
10x+ 21 é uma parábola que toca o eixo vertical em y = 21 e x = 0, não só isso, mas sua
concavidade é para cima, visto que o coeficiente de x2 é positivo, de modo que esse termo
é sempre maior que zero, não é possível que este seja zero, dado que o discriminante é ∆ =
100−4 ·21 ·3 =−152 ou seja, a função não tem raízes reais. Então, analisar o intervalo onde
1
f (x)> 0 se resume a analisar:
(x+1)
(x+2)(x+5)
> 0
Assim podemos analisar os seguintes casos:
• Se x > −1 então temos que (x+ 2),(x+ 5) > 0 e (x+ 1) > 0. Logo segue que f (x) > 0
em [−1,∞).
• Se −2 < x ≤ −1, então temos que (x+ 1) < 0 enquanto que (x+ 2),(x+ 5) > 0 logo
f (x)< 0.
• Se −5 < x < −2 então temos que (x+ 1) < 0 e (x+ 2) < 0 e (x+ 5) > 0 logo f (x) > 0
em (−5,−2).
• Se −∞ < x <−5 então (x+1),(x+2),(x+3)< 0 e logo f (x)< 0 em (−∞,−5).
Portanto, o maior intervalo onde a f (x)> 0 é obtido em [−1,∞)
2. Questão 3. Olá amigo, tudo bem?. Bom sobre esta questão farei um comentário importante, esta
questão está errada!. Há um erro na sua construção, veja o enunciado afirma que a intersecção
das retas ocorre no ponto
(
24
5
,− 6
10
)
, todavia, isso é impossível!!, veja a reta: f (x)=−3
4
x+6,
observe que em x =
24
5
temos:
f
(
24
5
)
=−3
4
· 24
5
+6 =−18
5
+6 =
12
5
o que mostra a inconsistência da questão!. Todas as outras questões estão devidamente feitas e justi-
ficadas! com resolução completa, inclusive a bonus, como você havia pedido, abraços.
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