psicopedagogia

Prévia do material em texto

Curso de Pós-Graduação Lato Sensu a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
Psicopedagogia 
 
 
Pensamento Lógico 
Matemático – Recuperando 
o pensar 
 
 
 
 
Autor: Luciano Ferraz Servantes 
 
 
 
EAD – Educação a Distância 
Parceria Universidade Católica Dom Bosco e Portal Educação 
 
 
 
 
2 
www.eunapos.com.br 
SUMÁRIO 
 
 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 03 
UNIDADE 1 – DESMITIFICANDO O PENSAMENTO LÓGICO MATE MÁTICO .... 05 
1.1 Pensamento e raciocínio lógico matemático .................................................... 07 
1.2 Aplicações cotidianas do raciocínio .................................................................. 09 
1.3 Habilidades operatórias e matemáticas ........................................................... 11 
1.4 Aprendizagem de matemática .......................................................................... 13 
 
UNIDADE 2 – DA AQUISIÇÃO DA LINGUAGEM MATEMÁTICA À 
CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS ........................................................................ 22 
2.1 Comunicar e compreender ............................................................................... 22 
2.2 Resolver problemas ......................................................................................... 24 
2.3 Geometria na vida ............................................................................................ 28 
2.4 Cálculo mental ................................................................................................... 32 
 
UNIDADE 3 – CONTRIBUIÇÕES DE CONSTANCE KAMII ...... ............................ 36 
3.1 De quem estamos falando ................................................................................ 36 
3.2 Da anomia à autonomia do pensar e agir ......................................................... 37 
3.3 Os tipos de conhecimento ................................................................................. 39 
3.4 A importância do erro ....................................................................................... 42 
3.5 As construções necessárias .............................................................................. 46 
 
UNIDADE 4 – DO MEDO AO PRAZER .................... ............................................. 49 
4.1 Dificuldades em matemáticas ............................................................................ 49 
4.2 Em que residem as dificuldades ........................................................................ 51 
4.3 Postura psicopedagógica e didática frente ao aprendente ................................ 53 
 
 
 
 
3 
www.eunapos.com.br 
INTRODUÇÃO 
Nesta disciplina vamos fazer uma incursão bastante interessante no estudo 
da Matemática, mas não se preocupem, vamos conhecer teoricamente uma ciência 
fascinante e não a complexa matemática, tão temida como disciplina escolar e, de 
preferência, relegada apenas aos exames probatórios e concursos. 
Vamos compreender o quanto há de mítico em torno da ensinagem e da 
aprendizagem matemática, que se torna ciência dos gênios e tormento para os que 
não a entendem. 
A fobia da matemática tem sua origem no desencontro das partes que lidam 
com ela, ou seja, parte está inserida no como é apresentada ao aluno, em sua fase 
de escolaridade inicial e outra parte em como ela é ensinada, considerando seus 
fundamentos e sua didática. 
Podemos ler um texto sem a necessidade de entendê-lo ou de interpretá-lo 
como se exige, fazendo amplas relações dele com um contexto mais prático e 
menos teórico. Contudo, na matemática esse processo não é tão simples, porque 
não fazemos uma operação matemática sem que esteja logicamente centrado, já 
que além de usar do raciocínio lógico, o resultado será sempre exato. Por isso se a 
matemática é uma ciência exata – porque não importa as propriedades de uma 
operação, o que importa é o seu resultado. 
Mas, mais que atingir um resultado, a matemática exige um pensar focado 
nos números, na condição aritmética exigida – somar, subtrair, multiplicar e dividir – 
bem como saber interpretar o enunciado implica compreender e situar o processo 
matemático. Dessa forma, compreender, ensinar e aprender matemática implica em 
pensar – um ato que não é simples, mas marcadamente complexo. 
Por isso o nome desse módulo refere-se ao recuperar o pensar, porque temos 
receio do que é complexo e, na verdade, diria: do que é desconhecido. 
No entanto, assim como outras ciências, a matemática também está sujeita a 
amplas relações, já que não se situa fora da realidade das pessoas e das várias 
atividades humanas. O que precisa é ser didaticamente melhor apresentada aos 
alunos, fazendo-os entender que matemática é um campo de aplicação de supra 
necessidade para todos, basta vê-la nas relações pessoais (na idade, no número de 
nossas casas, no comércio, na industrialização de produtos que adquirimos, nos 
tamanhos das roupas e sapatos que usamos, nos processos históricos das 
 
 
 
 
4 
www.eunapos.com.br 
sociedades que antecederam a nossa atual), como também concebê-la nas relações 
de trabalho (arquitetura, engenharias, química, física, contabilidade, economia, etc.) 
e, um pouco além nas relações com as novas tecnologias, nas quais a matemática 
se aplica nos hardwares, softwares, microchips, etc. 
Desse modo é preciso introduzir a matemática como uma ciência aplicada e 
necessária e, só podemos continuar a temer uma matemática que não se associa a 
nada, que não auxilia e não facilita processos – o que desmente sua aplicação. 
Portanto, espero que este módulo, assim como os demais, seja de muita 
riqueza para a nossa aprendizagem e, sobretudo, de aplicação na prática 
psicopedagógica no atendimento dos alunos e professores que ainda fazem da 
matemática uma ciência do medo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
www.eunapos.com.br 
UNIDADE 1 – DESMITIFICANDO O PENSAMENTO LÓGICO 
MATEMÁTICO 
 
Quando se fala em matemática muitas formas de pensá-la nos assolam, 
sendo que na maioria das vezes não a retratamos como uma importante ciência, 
mas uma matéria escolar complicada, que em nosso percurso escolar, nos colocou 
muitas vezes em risco de reprovação. 
Porque miticamente matemática só pode ser 
aprendida por gênios, ou, matemática é complexa demais. 
É mais fácil temê-la do que imaginar que a matemática se 
insere em quase todas as atividades humanas de maneira 
simples e que se torna parte de sistemas que simplificam 
determinados processos como, por exemplo, preços, 
medidas, tamanhos, etc. 
Fonte: http://migre.me/5cluW 
Essa forma medonha de pontuar a matemática nos leva a algumas questões: 
• Por que a fobia toma conta da maioria dos alunos, com exceção dos 
“gênios”, quando se trata de aprender matemática? 
• Será que o problema se centra na matemática ou em quem a ensina, no 
caso, o professor? 
• Será que o problema se centra na forma como ela é ensinada, no caso, a 
didática exigida? 
• Por que é tão difícil relacionar a matemática com outras situações, 
acreditando que sua especificidade é sempre mais complexa? 
• Por que a matemática não é entendida como uma ciência, como qualquer 
outra, mas uma disciplina que avalia, seleciona e exclui? 
• Por que a matemática tem que ser apresentada como a mais difícil, sendo 
que todas possuem sua complexidade? 
• Afinal, por que se teme tanto a matemática? 
Vamos tentar responder cada uma destas questões, mas é imprescindível 
que refutemos a ideia mítica que está em torno da matemática e aceitemos a ideia 
de que tudo aquilo que nos obriga a pensar nos faz resistentes. 
 
 
 
 
6 
www.eunapos.com.br 
Há muito de mítico que se tornam crenças para nós sobre a matemática, pois 
desde como ela nos é apresentada, até a forma como ela nos é ensinada, 
influenciam no modo como vamos aprendê-la, aceitá-la e desenvolvê-lano percurso 
da escolaridade. 
Para entendermos um pouco essa minha premissa e mais sobre o mítico que 
cerca a matemática, cito Chacón (2003, p.20), a qual faz a seguinte observação: 
 
As crenças matemáticas são um dos componentes do conhecimento 
subjetivo implícito do indivíduo sobre a matemática, seu ensino e sua 
aprendizagem. Tal conhecimento está baseado na experiência. As 
concepções entendidas como crenças conscientes são diferentes 
das crenças básicas, que muitas vezes são inconscientes e têm o 
componente afetivo mais enfatizado. É definido, portanto, em termos 
de experiências e conhecimentos subjetivos do estudante e do 
professor. 
 
Em outras palavras, a autora explica que só absorvemos como crenças 
verdadeiras aquilo que nos é mostrado como verdade, porque o subjetivo está muito 
próximo do nosso estado afetivo. Então, se tenho alguém que me afirma, como 
verdade, que algo não é simples, ou mais diretamente, que algo é extremamente 
complexo, já foi contido em mim o temor por aquilo que nem vi e nem aprendi. 
E isso é facilmente compreendido quando lembramos o contexto familiar, em 
que a família como primeira ensinante afirma, para a criança que deixa o grupo da 
educação infantil para ingressar no primeiro ano do ensino fundamental, que agora 
não vai mais brincar e desenhar na escola, mas aprender português e, prestar muita 
atenção na matemática que é muito difícil (mítico). Bem, a criança subjetivamente já 
internalizou o seu medo (ansiedade); se já é difícil não conseguirá aprender 
(afetivamente). O que gostamos, nos afinamos, nos aproximamos – nos faz sentir 
mais seguros, nos torna mais abertos para aprender; o oposto disso, nos torna 
inseguros, incapazes de entender mesmo as coisas mais simples, pois o medo nos 
afasta do aprender. 
Para muitos, a matemática é um mito, mais que uma disciplina, por isso é 
tratada como uma disciplina complexa, sendo que tudo que exige é o rigor de 
informações, porque dois mais dois, sempre será quatro, nunca mais e nem menos 
que quatro. A questão é que: 
 
 
 
 
7 
www.eunapos.com.br 
• o número é uma convenção objetiva – já que números não existem, mas 
são historicamente utilizados – e entendermos que eles são elementos 
sequenciais e lógicos; 
• dependendo das operações aritméticas que utilizamos, ou métodos que os 
articulam – como na estatística, por exemplo – tornam-se fundamentais para 
responder quantitativamente às pesquisas; que fracionados correspondem a 
partes de um todo; 
• são essenciais para fazer aplicações algébricas ou outras operações que 
fazem funcionar os aviões, as máquinas de radioterapia, os motores dos 
foguetes, os chips de computador, etc. 
Por essas razões, a matemática parece-nos distante, porque na verdade não 
a associamos à real importância que tem para tantas atividades humanas. 
Mas, se não a virmos como um mito, mas como uma disciplina que traz 
importantes contribuições para a formação, não só curricular, mas de conhecimento 
e aplicação humana, considerando que sua maior exigência é o pensar de forma 
lógica, operacional e até mesmo mecânica, teremos uma matemática sem 
problemas. 
 
1.1 Pensamento e raciocínio lógico matemático 
 
O raciocínio é uma operação lógica discursiva e mental, pois trata-se de uma 
organização de dados, ou informações, sejam em números ou palavras, de modo 
que tenha um contexto, um significado e um resultado final (ou consequência). 
Nesse processo de organização e elaboração de um resultado, o intelecto humano 
utiliza uma ou mais proposições – ou hipóteses - para concluir, através de 
mecanismos de comparações, generalizações ou abstrações, quais são os dados 
que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Das premissas objetivas, 
ou exatas, ou ainda hipotéticas, chegamos ao resultado final ou conclusões. 
É pelo processo de pensamento ou do raciocínio lógico que ocorre o 
desenvolvimento do método matemático, bem como, as ciências como um todo, as 
quais evoluíram para uma crescente capacidade do intelecto humano em alavancar 
o pensamento matemático e organizar a própria lógica das atividades. 
 
 
 
 
8 
www.eunapos.com.br 
O pensamento ou raciocínio lógico-matemático é utilizado para analisar 
questões objetivas, ou isolar questões que deturpam a ordem exata de um resultado 
e, desenvolver métodos e resoluções nas mais diversas questões relacionadas à 
existência e sobrevivência humana, já que se aplica às várias atividades do 
cotidiano das pessoas, em todas as sociedades do mundo. Logo, o raciocínio deve 
ser considerado um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos 
superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do 
pensamento lógico dos indivíduos. 
Por isso, antes de qualquer educador empreender a tarefa de ensinar a 
matemática é preciso levar em consideração como as crianças refletem seu 
entendimento sobre as configurações que, mais tarde, serão apresentadas em forma 
de números. 
Aqui se desvela a importância dos materiais concretos, das formas, das 
quantidades moldáveis – massa de modelar, líquidos coloridos, lápis de cor, etc. -, 
assim como dos desenhos, dos pontinhos, etc., que trabalham as percepções das 
crianças. É do concreto que se trabalhará o abstrato, dando-se oportunidades das 
crianças explorarem os materiais concretos e, progressivamente, desenvolverem o 
raciocínio lógico matemático. Nesse sentido, Arribas (2004, p.282) afirma que: 
 
Proporcionar o material mais variado possível, apresentar situações 
interessantes, dar o justo valor às suas interpretações, criar conflitos 
superáveis, estimular o raciocínio são algumas propostas que 
ajudarão as crianças a avançar rumo à construção do conhecimento 
matemático. 
 
Como a citação indica, apresentar situações interessantes é o primeiro passo 
para fazer com que a criança conheça a matemática, dando-lhe oportunidade de 
adentrar esse conhecimento, sem se assustar com essa ciência, mas explorá-la 
através de interpretações que, progressivamente, constroem o conhecimento 
matemático. As diferentes formas de apresentar a matemática, as diferentes 
metodologias aplicadas para a aprendizagem e conhecimento dos números, a 
pertinente didática que fundamenta suas operações, são os elementos mais 
relevantes para que a criança aprenda, de maneira significativa, a desenvolver seu 
raciocínio lógico matemático. Nesse sentido, Arribas (2004, p.281) ainda afirma que: 
 
 
 
 
 
9 
www.eunapos.com.br 
Ao selecionar os conteúdos, isto é, o que pode ser ensinado e 
aprendido, é necessário mostrar um grande respeito pela coerência 
interna da linguagem matemática. A organização prévia dos 
conteúdos é o que vai permitir apresentar a matemática de forma 
ordenada, relacionada e acessível, de modo que sirva para estruturar 
o pensamento, para interpretar e intervir na vida cotidiana e para 
assentar as bases do conhecimento matemático posterior. 
 
Vejamos que não se trata de apenas o professor(a) apresentar um conteúdo, 
mas de estar bem fundamentado – em interpretação e argumentos – para responder 
ao que a ideia matemática desperta no momento exato de sua aprendizagem; em 
outras palavras, o docente ao ensinar a matemática, ao querer construir no aluno o 
raciocínio lógico, deve pautar-se nos seus fundamentos, tendo previamente uma 
organização dos conteúdos em acordo com a linguagem matemática. Isso significa 
não só dar um sentido ao que se aprende, mas ao porquê de sua aprendizagem, 
tendo em vista que a matemática está implícita na realidade dos alunos. Não estou 
falando aqui de contextualizar a matemática, estou falando que a criança na sua 
fase inicial de escolarização precisa conhecer uma matemática essencialmente real 
e próxima de sua vida. 
O contextualizar será uma metodologia interessante quando o aluno, além do 
raciocínio lógico, já estiver na fase das operações concretas, reconhecendo a 
aritmética processuale científica. 
 
1.2 Aplicações cotidianas do raciocínio 
 
A matemática não é apenas uma disciplina que nasce na sala de aula, mas 
bem antes dela porque, com já o disse antes, faz parte de muitas atividades 
humanas. 
Piaget foi um dos estudiosos que mais contribuiu para que viéssemos 
reconhecer que a lógica e a matemática podem ser tratadas como formas de 
organização da atividade intelectual humana (CARRAHER et. col., 2001). Enquanto 
atividade humana, a matemática é uma forma de organizar os objetos e eventos no 
mundo; basta nos lembrarmos das relações que estabelecemos com os objetos que 
nos cercam, quando os contamos, os medimos, os somamos e até os dividimos. 
Nesse sentido: 
 
 
 
 
10 
www.eunapos.com.br 
• cozinhamos de acordo com a quantidade de pessoas que vão se alimentar; 
• nos vestimos e nos calçamos de acordo com um tamanho e uma 
numeração; 
• fazemos convites a outras pessoas, para uma festa, de acordo com o 
tamanho de um espaço e a quantidade que um ambiente suporta. 
Até mesmo nosso biológico é regulável matematicamente, pois ingerimos 
determinada quantidade de alimentos e de bebida suportável ao organismo. Nos 
tratamentos de saúde, as doses de remédios que podemos ingerir estão em função 
do que suporta o organismo, do contrário a medicação não faz efeito. 
Dentre outros tantos exemplos, assim descobrimos a matemática em 
diferentes situações em que se agregam pessoas, objetos e eventos. Essa 
premissa, no segmento da proposta piagetiana é abordada por Carraher et. col. 
(2001, p.14), da seguinte forma: 
A proposta piagetiana envolve a noção de que é o próprio sujeito que 
organiza sua atividade e consegue, por meio da evolução dessa 
organização, chegar à mudança que chamamos de “desenvolvimento 
do pensamento”. Piaget propõe, então, a necessidade de sabermos 
como o desenvolvimento das estruturas lógico-matemáticas ocorre 
também fora da escola, considerando, ele próprio, como simples 
hipótese sua descrição do desenvolvimento cognitivo por estar 
baseada apenas em uma cultura e, ainda assim, restrita ao estudo 
de sujeitos escolarizados de uma forma particular. 
 
Desse modo, apreende-se que a proposta piagetiana não se centra apenas 
nos aspectos culturais que envolvem o sujeito e nem na particularidade da forma 
como os sujeitos são escolarizados, considerando que há outros fatores que 
promovem a formação do pensamento matemático, sendo estes encontrados além 
dos muros da escola. 
Há duas situações que precisamos lembrar: primeiro, aprender matemática 
não é diferente de aprender outras disciplinas, sejam quais forem as áreas de 
conhecimento, porque aprender é inerente a todo indivíduo; segundo, sem dúvida, 
Piaget não errou em suas hipóteses, pois a formação do pensamento matemático 
perpassa as questões culturais e a própria forma de escolarização dos educandos, 
pois em alguns segmentos sociais, a matemática é apresentada na sua 
informalidade. Na feira livre, por exemplo, a matemática está sendo utilizada o tempo 
todo, por pessoas de diferentes idades, condições sociais e culturais, sendo que 
algumas nunca foram à escola para estudar a matemática. Então, como conseguem 
 
 
 
 
11 
www.eunapos.com.br 
dar o troco certo frente a um certo valor em dinheiro? Como sabem e interpretam os 
pesos, quantidades e medidas? Como sabem o valor do dinheiro e que notas 
servem como troco? Como analisam os números de uma balança ou o número exato 
de pés de alface que deve ter numa bacia? A dúzia da banana ou número de limões 
que tem um pacote?1 Por isso essa matemática é informal, porque não são 
aplicados métodos científicos para sua operacionalização. 
 
1.3 Habilidades operatórias e matemáticas 
 
Na fase inicial da escolarização ou Educação Infantil, desperta-se na criança 
a capacidade de perceber as propriedades dos objetos e representar relações de 
cores, formas, sequências, tamanhos e espaços. O pensamento da criança é 
essencialmente intuitivo e está extremamente ligado à percepção e à representação 
simbólica, não apresentando as características de reversibilidade e anterioridade. 
Justamente nesse período, a criança começa então a perceber as relações 
espaciais ou temporais de uma configuração, sendo capaz de enumerar o que há de 
comum e de diferente nos objetos que ela observa, sendo de muita relevância ao 
educador na elaboração de ações pedagógicas para se estimular ainda mais a 
capacidade de observação da criança sobre os objetos e suas propriedades. 
Dessa forma, será interessante que o docente permita que as crianças 
explorem a sensibilidade tátil, percebendo as diferentes texturas, que a acuidade 
auditiva seja motivada pelos diferentes sons, a motricidade e a dinâmica de sua 
inteligência cinestésico-motora explore os espaços e ambientes, e por diferentes 
degustações aprimorem o paladar. Em conjunto, que ocorra gradualmente a 
alfabetização, permitindo que as crianças desenvolvam maneiras próprias de 
escrever as palavras, a partir de seus nomes, descobrindo as letras não só por suas 
habilidades fonológicas, mas a sequência como são escritas, formando as sílabas, 
as palavras, as frases e, finalmente, os textos. 
Desse modo, as habilidades a serem construídas, na fase inicial da 
escolarização ou na Educação Infantil, antes e durante o processo da alfabetização, 
 
1 Pesquisa feita por Carraher, sobre crianças que na escola apresentavam dificuldades em aprender 
a matemática, sendo que as mesmas auxiliavam os pais numa feira livre, sabendo usar a matemática 
de forma adequada e pertinente. Por isso o nome de sua obra: Na vida dez, na escola zero. 
 
 
 
 
12 
www.eunapos.com.br 
são: observar, conhecer, compreender, comparar, separar, reunir, consultar, conferir, 
sendo estas as habilidades operatórias básicas, as quais progressivamente serão 
desenvolvidas até que o educando alcance as operações concretas, fase na qual já 
interpreta a matemática formal. 
No entanto, Arribas (2004) nos alerta que se sabemos o que é preciso 
ensinar, o que devem aprender e em qual nível evolutivo se encontram, poderia ser 
levantado o falso dilema de que ensinamos cedo demais e, com isso, as crianças 
não dispõem dos esquemas que permitem interpretar os conteúdos matemáticos 
(ensinar os números e as operações antes de chegar ao estágio das operações 
concretas) ou que esperamos demais e já construíram os esquemas, portanto não é 
preciso ensinar (ensinar os números e as operações quando adquiriram o nível 
operatório). 
No primeiro caso, se constrói um falso conhecimento matemático e, na 
segunda o educador teria sua intervenção didática restringida (Arribas et. col., 2004, 
p.282). Então, eis a questão: qual o momento certo (ou idade certa) para ensinar a 
matemática. A própria autora, Arribas (2004, p.282), nos responde: 
 
Na matemática, não se “ensina” a passar estágios, ainda que para 
observar o nível intelectual se utilizem situações experimentais 
carregadas de conteúdo matemático. Conhecidas as etapas de 
desenvolvimento intelectual, trata-se de considerá-las no momento 
de planejar a seleção de conteúdos matemáticos que serão 
propostos para sua aprendizagem, mediante uma ação educativa 
intencionada, em um ciclo escolar determinado. 
 
Assim, depreende-se que não há um estágio definido, nem fase escolar mais 
correta, mas deve-se ter um planejamento que contemple a matemática de acordo 
com o desenvolvimento intelectual das crianças. Isso não implica compreender que 
deva existir uma linearidade no desenvolvimento intelectual, já que cada pessoa tem 
seu desenvolvimento em função de muitos aspectos e fatores (intrínsecos e 
extrínsecos), pelos quais cada pessoa aprende ao seu tempo, com um grau próprio 
de intensidade e compreensão. 
Portanto, as habilidades operatórias e matemáticas surgirão para cada 
aprendiz ao seu tempo, ao seu curso, incluindo suas experiências;o que deve ser 
diferente e gradual são as formas e metodologias que o educador assumirá, 
 
 
 
 
13 
www.eunapos.com.br 
respeitando-se cada etapa de escolarização e o nível exigido em cada etapa para o 
desenvolvimento do conhecimento matemático. 
Desse modo, é fundamental que o professor antes de elaborar situações de 
aprendizagem, investigue qual é o domínio que cada criança tem sobre o assunto 
que vai explorar, em que situações algumas concepções são mais instáveis, quais 
as possibilidades e as dificuldades de cada uma para enfrentar este ou aquele 
desafio (Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática, 2000, p.63). 
 
1.4 Aprendizagem de matemática 
 
Como dito anteriormente, a aprendizagem da matemática é tão importante 
quanto qualquer outra, já que não está à parte dos conhecimentos necessários a 
todo aprendiz. Nesse sentido, a relevância desse conhecimento deve ser concebida 
a partir das várias e amplas relações que a matemática tem com o próprio sujeito e a 
realidade em que está inserido. 
Ao mesmo tempo, o desenvolvimento desse conhecimento implica o senso de 
coerência, projeção, previsão, abstração, elementos tais que favorecem a 
construção de habilidades e desenvolvimento de percepções sobre as propriedades 
materiais e subjetivas (preço e compra, por exemplo), que formam o raciocínio 
lógico-matemático. Segundo os PCNs de Matemática (2000, p.19-20): 
 
A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à 
apreensão do significado; apreender o significado de um objeto ou 
acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos 
e acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em 
compartimentos estanques e numa rígida sucessão linear deve dar 
lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e 
destacadas. 
 
Como um dos princípios dos Parâmetros, compreende-se que a 
aprendizagem da matemática está articulada sempre a um contexto no qual o aluno 
pode abstrair o significado, pois cada conteúdo matemático é, em sua essência (ou a 
semiótica) uma parte da realidade que o aluno conhece. É como, por exemplo, 
ensinar fração com uso de uma pizza ou uma melancia partida em partes que 
representam os elementos fracionados enquanto que uma pizza ou melancia inteira 
representa o todo. Como esse exemplo será mais fácil para os alunos visualizarem o 
 
 
 
 
14 
www.eunapos.com.br 
que são frações do que aqueles retângulos desenhados no quadro com giz, mal 
divididos em partes e pintados com giz colorido. 
 
 
Fonte: http://migre.me/5cp5N 
 
Por outro lado, sabe-se que a matemática tem alguns conteúdos que nem 
sempre podem ser expressos da maneira do exemplo anterior porque tratam de 
conhecimentos que já ultrapassaram a base simples e estão num nível mais elevado 
de pesquisa, característica da matemática científica composta pela álgebra linear, 
pelas equações lineares, entre outros. Mas, quando os educandos já alcançaram 
esse nível de aprendizagem, já estão em processos formativos mais avançados, 
caminhando para a profissionalização. Enquanto que nosso foco, nesse módulo, é a 
base de aprendizagem da matemática, portanto, não vamos entrar nos méritos da 
matemática científica. 
Mas, como a aprendizagem matemática ocorre nessa base? Segundo Kamii 
(2003), Piaget estabeleceu uma distinção fundamental entre tipos de conhecimento 
considerando suas fontes básicas e seu modo de estruturação: conhecimento físico, 
conhecimento lógico-matemático e conhecimento social (convencional): 
• Conhecimento físico e lógico-matemático: trata-se do conhecimento 
dos objetos da realidade externa, dos quais podemos extrair e perceber 
certas peculiaridades. A cor e o peso de uma caneta são exemplos de 
propriedades físicas que estão nesse objeto na realidade externa. 
Contudo, quando temos uma caneta azul e uma vermelha, notamos a 
diferença – e isto é um exemplo de pensamento lógico-matemático, 
pois a diferença notada é uma percepção mental, pois as propriedades 
físicas são passíveis de observação, mas a diferença é algo criado na 
mente humana e não é passível de observação, porque nasce da 
 
 
 
 
15 
www.eunapos.com.br 
percepção. Por isso o número é uma relação criada mentalmente por 
cada pessoa e, sua progressão nesse conhecimento acontece quando 
faz as relações necessárias entre as diferenças, as relações de igual, 
diferente e mais, quando faz a dedução e coordenação de, por 
exemplo, dois e dois, tipo: 2 + 2 = 4 e que 2 x 2 = 4. 
• Conhecimento lógico-matemático - abstração reflexiva e empírica: 
nesse processo dispõem-se quatro lápis, quatro balões, quatro flores e 
cinco borrachas e, pede-se que a criança os agrupe de acordo com seu 
número de elementos. Nesse caso, trata-se de uma abstração simples 
centrada no número de elementos; não são as propriedades dos 
elementos as mais importantes, mas o número de objetos. Já, na 
abstração reflexiva, a criança irá construir uma relação entre os objetos 
e agrupá-los de acordo com o número e suas propriedades, 
considerando tudo aquilo que representam na realidade externa, 
incluindo o seu número. Assim, quatro lápis azuis, cinco canetas 
pretas, dois lápis amarelos, três canetas vermelhas, duas borrachas e 
quatro balões, serão reduzidos a seus grupos comuns: (seis) lápis, 
(oito) canetas, (duas) borrachas e (quatro) balões. Mas, Kamii (2003, 
p.17) afirma que em suas pesquisas Piaget assinalou que: 
 
No âmbito da realidade psicológica da criança, não é possível que 
um dos tipos de abstração exista sem a presença do outro. Por 
exemplo, a criança não poderia construir a relação diferente se não 
pudesse observar as propriedades de diferença entre os objetos. Da 
mesma forma, a relação dois seria impossível de ser construída se 
as crianças pensassem que os objetos reagem como gotas d’água 
(que se combinam e se transformam numa gota). 
 
• O conhecimento lógico-matemático e social (convenci onal): a 
origem fundamental do conhecimento social são as convenções 
construídas pelas pessoas, ou seja, as convenções permeiam a crença 
de que algo socialmente construído é permanente, basta que seja 
aceito. Então, por exemplo, todo dia 25 de dezembro é Natal; mas, esta 
convenção é arbitrária, porque nem todos os povos e culturas 
comemoram o Natal nesse dia. Trata-se, portanto, de uma convenção 
arbitrária, mas aceita. A criança se depara com esta convenção e a 
 
 
 
 
16 
www.eunapos.com.br 
aceita, mas fica confusa com sua arbitrariedade, quando é ensinada – 
isso compõe o pensamento matemático e a noção de número. Sabe-se 
que 2 + 3 = 5 é a mesma matemática em todas as culturas, mas o 
sistema matemático não é o mesmo para todas as culturas, porque o 
número é apenas uma convenção, ele não existe concretamente; mas, 
o cinco é um resultado de uma adição, um sistema matemático, mas o 
número é uma convenção social que explica o sistema. Para 
compreender a ideia de Piaget, a autora Kamii (2003, p.25), faz a 
seguinte menção à teoria piagetiana: 
 
Pode-se ensinar as crianças darem a resposta correta para 2 + 3, 
mas não será possível ensinar-lhes diretamente as relações que 
subjazem a esta adição. Da mesma forma, até as crianças de dois 
anos podem ver a diferença entre uma pilha de três blocos e uma de 
dez, mas isto não implica que o número esteja “lá fora”, no mundo 
físico, para ser aprendido através da abstração empírica. 
 
Sabemos, assim que as convenções sociais são aceitas no seu conjunto, mas 
a matemática apresenta sistemas concretos, números que só são aceitos numa 
relação com outros objetos, os quais possuem uma relação social concreta – mas, 
lembrando: é a relação concreta e não os números, já que estes não são reais, mas 
criados na mente da criança. 
Dessa forma, podemos afirmar que não é simples a aprendizagem da 
matemática, porque o educador deve dominar, além desses fundamentos que as 
pesquisas piagetianas mostram, todas as outras que demonstrama importância da 
matemática na vida dos educandos. 
 
Exercício 1 
 
1. A matemática é um mito, mais que uma disciplina, por isso é tratada: 
a) Como um elo entre o homem e suas atividades. 
b) Como uma ciência de loucos. 
c) Como um conteúdo comum. 
d) Como uma disciplina complexa. 
 
2. Enquanto atividade humana, a matemática é uma fo rma de organizar os 
objetos e eventos no mundo porque: 
a) Fazemos as relações com os objetos que nos cercam. 
 
 
 
 
17 
www.eunapos.com.br 
b) Fazemos sempre uma análise das propriedades da realidade. 
c) Fazemos uma organização dos objetos de forma correta. 
d) Fazemos as relações entre os objetos e as situações cotidianas . 
 
3. Qual o estágio ideal para ensinar matemática par a uma criança? 
a) Somente quando atingir o estágio operatório concreto. 
b) Não há um estágio definido, nem fase escolar mais correta. 
c) Quando a criança já souber o que é número. 
d) Não há uma fase ideal, mas um estágio adequado. 
 
 
 
1.4.1 A questão da memória e as outras competências 
Há muitas formas de desenvolver a memória das crianças no ensino da 
matemática, mas, é preciso que o educador tome cuidado para que a memorização 
não seja apenas uma mecanização do processo. Em outras palavras, não se pode 
permitir ensinar aos educandos que é preciso “decorar” as contas matemáticas, 
porque em sua essência a memória deve se referir ao contexto operatório para que 
se forme e desenvolva o pensamento e o conhecimento matemático. 
Sendo assim, enquanto que o raciocínio é uma operação lógica, discursiva e 
mental -sendo que são necessários mecanismos de proposições para uma 
conclusão, ou seja, é preciso comparar e abstrair elementos de uma operação para 
se chegar a um resultado-, a memória é a habilidade de aquisição, armazenamento 
e evocação dos elementos necessários à operação matemática. Por isso não pode 
ser utilizada para decorar apenas um resultado, mas o processo de construção que 
leva ao resultado. Dessa maneira, não se pode exigir que os alunos decorem a 
tabuada, mas que percebam o processo que nela está contido como, por exemplo: 
 
5 x 3 = 15 (o quinze é apenas um resultado que deriva de uma operação que 
possui processos semelhantes para se chegar num mesmo resultado) ou seja: 
– 3 vezes o número 5 é o mesmo que: 5 + 5 + 5 = 15 
– ou ainda: 5 x 3 = 15, é o mesmo que 5 vezes o número 3 (3 + 3 
+ 3 + 3 + 3) será igual a 15. 
Nesse sentido, Smole e Diniz (2001, p.15) indicam a comunicação 
matemática como um meio de construção do conhecimento matemático, pontuando 
que: 
 
 
 
 
18 
www.eunapos.com.br 
 
A predominância do silêncio, no sentido da ausência de 
comunicação, ainda é comum nas aulas de matemática. O excesso 
de cálculos mecânicos, a ênfase em procedimentos e a linguagem 
usada para ensinar matemática são alguns dos fatores que tornam a 
comunicação pouco frequente ou quase inexistente. No entanto, em 
matemática, a comunicação tem um papel fundamental para ajudar 
os alunos a construírem um vínculo entre suas noções informais e 
intuitivas e a linguagem abstrata e simbólica da matemática. 
 
Sendo assim, a comunicação nas aulas de matemática torna-se uma 
metodologia de ensino e de aprendizagem interessante porque provoca entre os 
alunos uma interação de seus produtos de conhecimento, ou seja, verbalizando 
como seus processos operatórios foram construídos, descobrem conjuntamente, não 
só as formas mais adequadas a essa operação, mas os diferentes processos que 
construíram essa operação. 
Por esse segmento, pode-se afirmar que os alunos não serão meros 
reprodutores do ensino, mas conhecedores do processo, tendo autonomia para 
ampliar seus conhecimentos matemáticos. Contudo, a comunicação não é a única 
metodologia que pode ser adotada pelo educador, mas a criatividade no uso dos 
materiais concretos, o incentivo à percepção das propriedades dos materiais e 
objetos, a análise das estruturas e espaços e, outras tantas relações passíveis da 
observação e de desenvolvimento de conceitos, permite que os alunos desenvolvam 
muitas outras habilidades a partir do conhecimento matemático. 
Tomando cada um dos princípios fundamentais do ensino da matemática na 
escola, segundo os PCN’s de Matemática (2000), analisamos que as habilidades 
matemáticas e outras competências só poderão ser desenvolvidas se o aluno: 
• Construir o significado do número natural a partir de seus diferentes 
usos no contexto social, explorando situações-problema que envolvam 
contagem, medidas e códigos numéricos. Isso implica ao aluno, 
sobretudo, identificar e perceber as relações que a matemática tem 
com as várias atividades e contextos em que o mesmo se insere. 
• Interpretar e produzir escritas numéricas, levantando hipóteses sobre 
elas, com base na observação de regularidades, utilizando-se da 
linguagem oral, de registros informais e da linguagem matemática. 
Nesse sentido, o aluno terá que desenvolver a competência de 
 
 
 
 
19 
www.eunapos.com.br 
comunicação e expressão de seu pensamento matemático conquistado 
pela observação da realidade. 
• Resolver situações-problema e construir, a partir delas, os significados 
das operações fundamentais, buscando reconhecer que uma mesma 
operação está relacionada a problemas diferentes e um mesmo 
problema pode ser resolvido pelo uso de diferentes operações. Agora, 
a competência do aluno se centra na gestão de situações que estão na 
realidade objetiva e a qual requer ações e soluções concretas com o 
uso do conhecimento matemático. 
• Desenvolver procedimentos de cálculo – mental, escrito, exato, 
aproximado – pela observação de regularidades de propriedades das 
operações e pela antecipação e verificação dos resultados. O cálculo 
implica na competência de pensar matematicamente abordando os 
processos que requerem uma lógica, entendendo, sobretudo, as 
operações e não apenas seu resultado. 
• Refletir sobre a grandeza numérica, utilizando a calculadora como 
instrumento para produzir e analisar escritas. A inserção no meio 
tecnológico se dá pela aprendizagem da importância da tecnologia e 
seu uso de maneira adequada; assim, é interessante que os alunos, 
em fase escolar adequada, desenvolvam a competência para 
operacionalizar com uso da calculadora. Mas, é importante ressaltar 
que esse uso só deve ser inserido quando o processo cognitivo for 
priorizado, do contrário, haverá uma 
tendência dos alunos a não quererem 
mais fazer cálculos mentais, mas usar da 
calculadora para os resultados, sem falar 
que isso já resulta em prejuízo para o 
desenvolvimento do processo operatório. 
 Fonte: http://migre.me/5cq6k 
• Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-se e 
deslocar-se no espaço, bem como identificar relações de posição entre 
objetos no espaço; interpretar e fornecer instruções, usando 
terminologia adequada. Uma das grandes implicações para a 
 
 
 
 
20 
www.eunapos.com.br 
aprendizagem da matemática é o não conhecimento pelos alunos da 
direcionalidade e das noções espaciais básicas que incluem o 
reconhecimento do próprio corpo num plano ou ambiente; então, as 
noções de esquerda e direita, os esquemas corporais, as noções de 
temporais, são elementos importantes para que o aluno saiba 
identificar seu corpo num espaço e suas relações com ele; geralmente, 
estas noções deveriam ser mais objetivadas na educação infantil. 
Contudo, sem generalizar, essas aprendizagens nem sempre são 
observadas pelos educadores dessa fase escolar. 
• Perceber semelhanças e diferenças entre os objetos no espaço, 
identificando formas tridimensionais ou bidimensionais, em situações 
que envolvam descrições orais, construções e representações. Como 
dito anteriormente, lembrando as pesquisas piagetianas, percepção de 
semelhante e diferente é um processamento mental, não concreto, mas 
que só se realiza pelas relações que o aluno faz entre as propriedades 
dos objetose seu número; tal competência se desenvolve no ensino ou 
educação do olhar, do perceber as estruturas dos objetos e suas 
relações com o meio. 
• Reconhecer grandezas mensuráveis, como comprimento, massa, 
capacidade e elaborar estratégias pessoais de medida. A competência 
de reconhecimento das medidas e sua importância aplicada aos 
objetos, espaços e situações, permite que o aluno tenha uma noção 
espacial e estrutural que lhe dará condições de aprender, de forma 
mais pertinente e eficaz, as formações geométricas, as quais compõem 
o conhecimento matemático. 
• Utilizar informações sobre tempo e temperatura. Nesse 
desenvolvimento, a competência sobre o tempo e 
a temperatura desenvolve as noções temporais, 
aquelas que dão, por exemplo, condições de um 
aluno ler um relógio analógico e, interpretar o 
estado de objetos segundo sua temperatura, 
incluindo as situações climáticas. 
Fonte: http://migre.me/5cqd2 
 
 
 
 
21 
www.eunapos.com.br 
• Utilizar instrumentos de medida, usuais ou não, estimar resultados e 
expressá-los por meio de representações não necessariamente 
convencionais. Talvez, aqui se encontre um desafio para o ensino, 
porque todo uso de instrumentos requer metodologias de ensino que 
façam o aluno não só entender como é um instrumento, mas como 
deve ser utilizado para dar uma medida. A pruma de medida usada 
pelos mestres de obras nas construções, por exemplo, ou o correto uso 
da régua simples. 
• Identificar o uso de tabelas e gráficos para facilitar a leitura e 
interpretação de informações e construir formas pessoais de registro 
para comunicar informações coletadas. É necessário desenvolver a 
competência de interpretação por imagens e análise de dados nos 
alunos, pois não há como se furtar 
das pesquisas que são muito 
empregadas na educação e nos 
projetos educativos, sendo 
práticas interessantes aos alunos 
para apresentarem seus 
resultados. 
 Fonte: http://migre.me/5ctcT 
 
Crê-se assim, que o desenvolvimento dessas várias competências poderá 
fazer com que os alunos aprendam matemática e, desenvolvam o pensamento 
matemático nas relações mais usuais que já são conhecidas por eles.2 Portanto, 
pode-se desmitificar o pensamento matemático quando os professores e alunos 
descobrirem que a matemática não está à margem de outras aprendizagens, mas 
inserida nas mais diversas situações que nos são comuns, basta percebê-la e 
relacioná-la no seu conjunto. 
 
 
 
2 A relevância do conhecimento prévio no desenvolvimento de novos conhecimentos é enfatizada em 
diferentes teorias sobre o desenvolvimento cognitivo. Por exemplo, Piaget propõe que o 
desenvolvimento de conceitos lógico-matemáticos ocorre quando a criança enfrente situações 
problemáticas e tenta resolvê-las, utilizando o conhecimento anterior de que dispõe (Schliemann e 
Carraher, 1998, p13). 
 
 
 
 
22 
www.eunapos.com.br 
UNIDADE 2 – DA AQUISIÇÃO DA LINGUAGEM MATEMÁTICA À 
CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS 
 
2.1 Comunicar e compreender 
 
A aquisição da linguagem matemática, como já vimos, tem uma relação direta 
com o meio em que o aluno se insere, sejam por objetos e suas propriedades, sejam 
por meio das situações e, até mesmo, pelas competências que, progressivamente, 
vão se formando conjuntamente com os conhecimentos matemáticos que são 
ensinados. 
Assim, aprender matemática está estreitamente ligado ao que se ensina e é 
compreendido pelo aluno, pois do contrário os conceitos matemáticos não são 
construídos. 
Todavia, a Matemática é a única ciência na qual pouco valor se dá à erudição, 
pois o valor de um matemático é avaliado não pelo que ele sabe, mas por sua 
capacidade de resolver problemas. E não é para menos: a matemática vive de 
problemas. 
Mas, no ensino da matemática, é necessário que os problemas façam sentido 
para o aluno, que tem que perceber e compreender o funcionamento de ferramentas 
matemáticas e o efeito que elas têm sobre a resolução destes problemas. 
Mas, comunicar o problema, simplesmente, não basta, sem que inicialmente 
sejam vivenciadas experiências concretas para que, gradativamente, o aluno possa 
chegar às abstrações. E essas experiências devem estar relacionadas ao conteúdo 
real do aluno e aos materiais concretos que conhece, tais como bolas, palitos, 
fichas, chapinhas, que devem estar à disposição para serem manipulados e 
organizados segundo a ordem que os compõe. 
Nesse segmento, a abstração será crescente, até chegar-se ao conceito 
matemático puro, sendo cuidadosamente dosada, de acordo com o nível de 
compreensão dos alunos. 
A capacidade de reconhecer, em situações novas, conceitos 
descontextualizados é o teste real da compreensão de um conceito matemático, pois 
é o momento em que o aluno se desliga da realidade para abstrair mentalmente as 
situações que um determinado problema exige – neste momento, duas situações 
 
 
 
 
23 
www.eunapos.com.br 
ocorrem: a compreensão operatória e a abstração mental pela qual se construirá o 
conceito matemático. 
Desta forma deve-se lidar com situações do cotidiano, utilizar material 
concreto, caminhar em direção aos conceitos matemáticos de forma abstrata, voltar 
a situações concretas onde os mesmos possam ser aplicados, reconhecendo em 
novas situações e conceitos descontextualizados. 
Nesse processo contínuo de desenvolvimento da aprendizagem, a linguagem 
matemática estará sendo despertada. Assim, deve-se entender o uso da linguagem 
matemática fazendo-se uma analogia desta com a Língua Portuguesa. Quando as 
crianças começam a se expressar usando sua própria língua fazem construções 
aparentemente ilógicas como “eu faz, eu di“. Ao procurar uma relação lógica no uso 
dos verbos, tentando regularizar os verbos irregulares, a criança comete erros já que 
a língua possui sua própria organização, nem sempre muito lógica, porém pertinente 
ao processo de aprendizagem. Gradativamente, as crianças passam a dominar a 
organização da língua materna, sem necessidade de correção, mas sabe-se que 
elas estarão atentas ao que os adultos falam para poderem se autocorrigir, o que faz 
acreditar que o próprio contato com a língua favorece seu uso adequado. 
Da mesma forma o uso correto da linguagem da matemática será adquirido 
pelo aluno a partir do contato com esta linguagem, sendo que o uso correto dos 
conceitos matemáticos desde os anos iniciais da escolarização, fará com que os 
alunos aprendam a lidar e usar tais conceitos nos momentos corretos. Mas, é 
importante ressaltar que não se deve exigir muito cedo que a criança domine a 
simbologia e a linguagem específica da matemática, mas sua expressão correta 
inicial auxiliará para que no futuro dominem essa linguagem. 
Os livros didáticos, nesse sentido, têm um importante papel, pois muitas 
vezes, determinados capítulos destes livros discutem conceitos desnecessários, sem 
relação uns com os outros, o que torna a aprendizagem da linguagem fragmentada 
e obsoleta. Um exemplo, até clássico, é o capítulo dedicado à Teoria dos Conjuntos, 
presente em todos os livros iniciais de matemática, como um capítulo estanque da 
chamada “Matemática Moderna”, que não tem relação com os demais conceitos. 
Aqui cabe lembrar o importante papel do educador nas relações que pode fazer 
permitindo que esta parte da aprendizagem da linguagem matemática não fique à 
deriva – estanque e desarticulado dos demais conceitos. Desse modo, há uma 
 
 
 
 
24 
www.eunapos.com.br 
enorme necessidade de renovação dos livros didáticos de matemática, modificando-
se a organização deles e até revendo-se conceitos ensinados de forma errônea – 
apesar de que muito já se modificou nesses últimos anos. 
Sendo necessário que a linguagem matemática seja desenvolvida e os 
conceitos matemáticos adequadamente desenvolvidos, a escola precisa incorporar 
as novas tecnologias que nos dias atuais são muito importantes na vidade todos os 
indivíduos. Mesmo porque, boa parte das crianças já chega à escola com uma 
bagagem de informações que precisa ser levada em conta e, essa bagagem só foi 
conquistada graças à tecnologia – sobretudo, televisão e computador, através da 
Internet. Então, a imagem tem um grande poder de sedução e pode ser usada, sob 
diferentes formas, basta que o educador seja criativo. A televisão, os vídeos e o 
computador podem apresentar de forma integrada um trabalho de imagens que 
venha a facilitar a construção de conceitos matemáticos. 
Problemas do cotidiano, desafios matemáticos que precisam ser vencidos, 
podem ser apresentados sob a forma de imagens em movimento. A própria 
Geometria (os movimentos das figuras, a comparação entre elas), se torna mais 
clara com o uso de imagens. Este trabalho, quando bem realizado, leva os alunos à 
descoberta de regras sem necessidade de memorização. Embora, sem dúvida, o 
trabalho com as novas tecnologias facilite o trabalho do professor, não há 
possibilidade de substituí-lo. Ao contrário, quanto mais as máquinas se 
desenvolvem, mais necessária se torna a figura do professor que cada dia mais terá 
que se preocupar com o desafios que deve lançar aos alunos para que estes se 
apropriem dos conceitos matemáticos. 
 
2.2 Resolver problemas 
Um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de 
informações matemáticas desconhecidas para que o aluno venha resolvê-lo. O 
fundamental é que o aluno tenha de inventar estratégias e criar ideias, sem perder a 
lógica exigida; ou seja: pode até ocorrer que o aluno conheça o objetivo a chegar, 
mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não tiver os meios lógicos para 
atingir tal objetivo. São várias características dos problemas que se resumem assim: 
• sem algoritmização : o caminho da resolução é desconhecido, ao 
menos em boa parte; 
 
 
 
 
25 
www.eunapos.com.br 
• complexos : precisam de vários pontos de vista exigentes; a solução 
só é atingida após intenso trabalho mental; embora o caminho possa 
ser curto, ele tende a ser difícil; 
• exigem lucidez e paciência : para na aparente desordem vermos as 
regularidades, os padrões que permitirão a construção do caminho até 
a solução; 
• nebulosos : pode ocorrer que nem todas as informações necessárias 
estejam aparentes; por outro lado, pode ocorrer que existam conflitos 
entre as condições estabelecidas pelo problema; 
• não há resposta única : além de normalmente ocorrer de existirem 
várias maneiras de se resolver um dado problema, pode ocorrer de não 
existir uma melhor solução e até de não existir solução; ao contrário do 
que a Escola ensina: resolver um problema não é o mesmo que achar 
"a" resposta.3 
 
Torna-se cada vez mais comum vermos nos livros de matemática 
elementares a inclusão de desafios matemáticos dirigidos. Tipicamente não 
correspondem diretamente ao material em ensino e, assim, muitos pensam que se 
tratam de problemas. Contudo, o mais adequado seria classificá-los como charadas 
ou quebra-cabeças, do tipo que apareciam no rodapé dos antigos almanaques, e 
que visam mais o entretenimento. 
Um bom problema matemático além de representar um desafio, tanto ao 
poder dos matemáticos como ao poder da disciplina por eles criada, também "mexe" 
com a matemática: faz com que a melhor entendamos, fertiliza-a e permite que 
possamos resolver outros problemas. Um bom problema de matemática é muito 
mais do que uma charada. Um ótimo exemplo é o chamado Problema de Fermat: 
Sendo n = 3, 4, 5, ..., mostrar que não há nenhuma trinca de inteiros positivos 
x, y e z verificando a equação: x n + y n = z n. 
Enunciado mais simples é difícil achar, contudo esse problema precisou de 
quase 400 anos de esforço até ser resolvido por A. Wilkes em 1995. Sua grandeza 
não está na dificuldade e também não está na utilidade desse resultado (que é 
 
3 Robert Resnick (11 de janeiro de 1923 -) é um respeitado educador e autor de livros didáticos de 
física; nasceu em Baltimore, Maryland em 11 de janeiro de 1923 e se formou na faculdade da cidade 
de Baltimore ensino médio em 1939. 
 
 
 
 
26 
www.eunapos.com.br 
praticamente inexistente); ela está no fato de que as tentativas de resolvê-lo 
produziram ideias e problemas que fertilizam inúmeros campos: Teoria dos 
Números, Geometria Algébrica, etc. 
Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, o 
grande matemático George Polya (1977) o dividiu em quatro etapas, mas antes de 
passarmos a elas, é muito importante enfatizar que ele nunca pretendeu que sua 
divisão correspondesse a uma sequência de etapas a serem percorridas uma depois 
da outra, sem que nunca seja conveniente ou necessário voltar atrás; também não 
pretendeu que funcionasse como uma poção mágica. 
A resolução de problemas na educação infantil segue caminhos diferentes 
daqueles formais na abordagem tradicional da matemática nas séries mais 
avançadas. É necessário elaborar um ou vários processos de resolução, realizando, 
por exemplo, simulações, fazendo tentativas, formulando hipóteses, procurando 
resolver problemas mais simples para depois comparar os resultados com o objetivo 
de alcançar e controlar, desse modo, a evolução de seus processos de aprender. 
Para desenvolver as habilidades em resolução de problemas, é necessário 
que desde o início da escolaridade as crianças sejam desafiadas a buscar respostas 
para situações especialmente planejadas para isso. São as ideias matemáticas que 
as crianças desenvolvem na infância que formam as bases para toda a matemática 
que estudarão mais tarde. O sucesso da resolução de problemas depende das suas 
experiências iniciais. 
Normalmente a resolução de problemas não é abordada de maneira 
sistemática. Somente a partir do segundo ou terceiro ano da escolarização é que 
passam a constituir parte dos conteúdos ensinados; para os professores uma tarefa 
difícil e mal compreendida pelos alunos porque, na verdade, não são estudados 
como se deveria. 
Algumas crenças podem ser vistas com o trabalho da resolução de problemas 
na educação infantil por parte dos professores. Por exemplo, eles acreditam que 
para resolver problemas adequadamente, a criança precisa ter conceitos numéricos, 
podendo ser refutados através da ideia de que resolvemos vários problemas do 
cotidiano sem que apresentem necessariamente números. Outra crença é que para 
resolver problemas é necessário que as crianças sejam leitoras. Todavia, posso 
afirmar que saber ler não é sinônimo de incapacidade de ouvir, falar, compreender e 
 
 
 
 
27 
www.eunapos.com.br 
pensar, pois as crianças resolvem várias situações no cotidiano com tranquilidade, 
basta que lhes sejam apresentadas de maneira correta. Isso porque nem sempre o 
educador(a) sabe formular perguntas de fácil compreensão, sobretudo, para as 
crianças. 
O professor pode ser o leitor para seu aluno, e também o desencadeador 
para a aquisição da leitura e escrita nos alunos em fase de letramento. Muitos 
professores acreditam que, para resolver problemas, as crianças precisam ter antes 
conhecimento sobre operações e sinais matemáticos, que na verdade serão 
ensinados pelo professor. 
Para Kamii (2003), a aritmética não nasce da técnica e sim da capacidade de 
pensar logicamente. Deveríamos considerar que os problemas são perguntas que as 
crianças tentam responder pensando por si mesmas, não exigindo nada além da 
capacidade natural que têm de se encantar por desafios. Não se trata de considerar 
a resolução de problemas um conteúdo isolado dentro do currículo. O trabalho com 
resolução de problemas é uma maneira pela qual os alunos são envolvidos a fazer 
matemática, porque geralmente tais problemas estão relacionados ao cotidiano. 
Sob esse enfoque, a resolução de problemas na educação infantil é um 
espaço para comunicar ideias, fazer colocações, investigar relações,adquirir 
confiança em suas capacidades de aprendizagem. É um momento para desenvolver 
noções, procedimentos e atitudes em relação ao conhecimento matemático, 
auxiliando as crianças a dar sentido aos conceitos, habilidades e relações que são 
essenciais no currículo de matemática na educação infantil. 
Isso exige planejamento e, assim, o professor deve utilizar muitas e variadas 
fontes de problematização, desde as que surgem do cotidiano até as elaboradas e 
propostas pelos livros. Podem ocorrer oralmente, por escrito, podendo utilizar 
dramatizações, jogos, materiais diversos, literatura infantil, desenhos, escrita, etc. 
O desenho pode ser um importante recurso que as crianças venham a utilizar 
para expressar a solução por elas encontrada, como também é um meio para que 
elas reconheçam e interpretem os dados que o professor apresenta. Neste sentido, 
o desenho representaria tanto o processo de resolução de problemas quanto a 
reescrita das condições propostas. 
É forte a crença de que antes de ingressar na escola a criança não 
desenvolveu nenhuma forma de raciocínio matemático, sendo poucas e ineficientes 
 
 
 
 
28 
www.eunapos.com.br 
as habilidades que possui para resolver problemas. Sendo assim, a escola é o lugar 
onde se desenvolve o raciocínio matemático da criança pela primeira vez, porque 
será trabalhado de forma sistematizada e não apenas contextual. 
Uma das formas para fazer a matemática avançar é a formulação e a 
resolução de problemas, e todos os processos essenciais da matemática, como 
descoberta de regularidades, formulação de conjecturas, refinamento de ideias e 
procedimentos, são atravessados por essa atividade de resolução de problemas. 
O equívoco é considerarmos como problemas matemáticos apenas aqueles 
apresentados nos livros didáticos, que envolvem operações aritméticas, pois as 
crianças resolvem muitos problemas fora da escola, adotam certos procedimentos 
orais para a resolução de problemas. 
Infelizmente, a retórica da Resolução de Problemas virou um dos modismos 
do Sistema Escolar nos últimos anos. O resultado é o esperado: os oportunistas de 
plantão e os ingênuos despreparados conseguiram deturpar de tal modo o assunto 
que hoje podemos encontrar as atividades mais ridículas rotuladas como resolução 
de problemas matemáticos. 
Portanto, é necessário ouvirmos quem tem o real direito de falar sobre o 
assunto: os matemáticos produtores, os cientistas e técnicos usuários de 
matemática e, não as crianças as quais precisam ainda desenvolver, através de 
seus prévios conhecimentos, a matemática mais básica. 
 
2.3 Geometria na vida 
A Geometria é um dos conteúdos mais perceptivos da matemática que, entre 
outras coisas, desenvolve mais o olhar do educando sobre as formas e as 
dimensões planas e espaciais. Mas, também é um dos conteúdos menos relegado 
ao aprofundamento, porque geralmente se configura como um ensino de segundo 
plano, ou, menos importante. 
Certo que nos últimos anos tem-se tentado modificar esta realidade do ensino 
de geometria, porém, ainda não se dá ênfase ao mesmo. Com uma introdução cada 
vez maior dos materiais concretos nos anos iniciais de escolarização, percebe-se 
que a geometria vem sendo ensinada, ainda de maneira muito tímida, já que 
também é muito exigente seu fundamento e, nem todo educador tem o domínio 
desse estudo. 
 
 
 
 
29 
www.eunapos.com.br 
Aos alunos costuma-se ensinar a matemática pelas operações mais simples 
passando, progressivamente, para as mais 
complexas, enquanto que na geometria ensinar os 
alunos a desenvolver a visão espacial e a 
percepção das formas é uma tarefa que fica à 
margem, aguardando que os educandos tenham 
todos os princípios norteadores da matemática para 
descobrirem, tardiamente, os conteúdos 
geométricos. Segundo Fainguelernt (1999, p.55), é 
analisado que: 
 Fonte: http://migre.me/5cui5 
 
A geometria na pré-escola e no primeiro grau inicia-se pela 
“percepção de” e “a ação sobre” os objetos no mundo exterior. Esses 
objetos são inicialmente percebidos no espaço, depois são 
observados e analisados, muitas propriedades são identificadas e 
descritas verbalmente, levando a uma classificação e mais tarde á 
conceituação. 
 
Apreende-se assim, que o estudo da geometria deve dar oportunidade aos 
alunos de explorar visual e perceptivamente as formas num espaço, desenvolvendo 
conhecimentos não só sobre o que são essas formas, mas os conceitos que nelas 
estão implicados. 
Desse modo, estudar a geometria implica na abordagem de situações 
relacionadas à forma, dimensão e direção. O objetivo de ensinar geometria aos 
alunos está ligado ao sentido de localização, reconhecimento de figuras, 
manipulação de formas geométricas, representação espacial e estabelecimento de 
propriedades. 
Uma base consolidada objetiva uma maior facilidade nos conteúdos, por isso, 
os profissionais das séries iniciais devem trabalhar de forma estruturada e planejada, 
levando em conta que os alunos podem questionar o porquê dos conteúdos 
geométricos serem depositados nas formas do material concreto. 
O grande problema desse ensino da matemática se divide em dois: 
• a sensação de que o conhecimento seja intuitivo; 
• e que as informações fazem parte do cotidiano do aluno. 
 
 
 
 
30 
www.eunapos.com.br 
A verdade não é bem essa, pois alguns alunos precisam ser direcionados aos 
aspectos perceptivos das formas espaciais e planas, pois não conseguem criar uma 
relação entre a geometria e o mundo ao seu redor. Afinal, é preciso lembrar-lhes que 
a geometria faz parte das construções, dos espaços internos e externos que compõe 
o nosso entorno; fazem parte das casas, prédios, ruas, paisagens urbanas e rurais, 
pois estão dentro de uma determinada forma, com dimensões que lhes dão 
regularidade, leveza e até elegância. 
Sem dúvida, lembraremos das esfinges 
e pirâmides do Egito, da Torre de Pisa, 
e de outros monumentos que, pelas 
mãos do homem, tomaram forma com 
uma assombrosa maravilha aos nossos 
olhos, sendo ela a própria geometria 
em sua forma estrutural. 
 Fonte: http://migre.me/5cunG 
Analisando pelo lado construtivista e de acordo com as metodologias de 
ensino empregadas, o aluno estabelece seu espaço na medida em que o 
pensamento cognitivo seja colocado em ação, pois a aprendizagem da geometria 
exige isso. Dessa forma, os alunos que possuem um maior grau de habilidade se 
destacam, relacionando a geometria com outros contextos, sendo este momento em 
que o professor deve aproveitar os diferentes pontos de vista e opinião dos alunos, 
criando um ambiente de discussão de ideias, debates e formulação de novas 
definições, já que alguns conteúdos possuem afinidade com a geometria, como os 
mapas, as figuras, os sólidos, as planificações, entre outros. Por essa perspectiva, 
segundo Almouloud (2003, p.126-127)4, compreende-se a apreensão do 
conhecimento geométrico por quatro maneiras, sendo elas: 
 
• sequencial : é solicitada nas tarefas de construção ou nas tarefas de 
descrição com o objetivo de reproduzir uma figura; 
• perceptiva : é a interpretação das formas da figura em uma situação 
geométrica; 
 
4 Registros de representação semiótica e compreensão de conceitos geométricos. in Machado, 2003, 
p.125-147. 
 
 
 
 
31 
www.eunapos.com.br 
• discursiva : é a interpretação dos elementos da figura geométrica, 
privilegiando a articulação dos enunciados, levando em consideração a 
rede semântica de propriedades do objeto; 
• operatória : está centrada nas modificações possíveis de uma figura de 
partida e na reorganização perceptiva que essas modificações 
sugerem. 
 
Com o auxílio dos mapas, por exemplo, o aluno utiliza formas bidimensionais 
no estudo de situações tridimensionais. O sentido de localização é colocado em 
prática e termos, como latitude, longitude e altitude, são relacionados àscoordenadas geográficas de países, estados e cidades. Por esse segmento de 
trabalho, Rangel (1992, p.55) já afirmava que: 
 
Não se trata, pois, de treinar “formas” em si mesmas para sustentar 
aprendizagens posteriores, mas apela para ação produtiva do sujeito, 
que, agindo sobre os fatos matemáticos e refletindo sobre as relações 
criadas em sua mente, torne-se capaz de postular coordenações 
novas em seu pensamento, melhorando e superando, portanto, suas 
formas atuais de conhecer, na medida em que reinventa o próprio 
saber matemático. 
 
Assim, pode-se dizer que as figuras e os sólidos são primordiais para o 
sucesso do aluno nas séries seguintes, pois todo sólido pode ser apresentado na 
forma de figura plana, denominada planificação, que possui como característica 
principal demonstrar o número de vértices, arestas e faces do sólido. Com isso a 
aluno está apto a classificar e nomear as figuras espaciais existentes e discutir os 
procedimentos a serem adotados na resolução de problemas. 
A junção de toda a estrutura do ensino, envolvendo os conceitos geométricos, 
será utilizada posteriormente na Geometria Analítica, na qual o aluno tomará 
conhecimento de que todas as formas possuem fundamentos e estruturação 
matemática. 
Por isso devemos incluir em nossos planos os temas relacionados ao ensino 
da geometria, com o objetivo de conscientizar o aluno de sua extrema importância 
curricular. A proposta deve ir além da manipulação de sólidos e da observação de 
figuras, a fim de acabar de vez com a ruptura que existe entre a aprendizagem de 
 
 
 
 
32 
www.eunapos.com.br 
representações planas e de sólidos tridimensionais, como se ambos não estivessem 
presentes simultaneamente na vida da criança. 
 
Exercício 2 
 
1. A capacidade de reconhecer, em situações novas, conceitos 
descontextualizados é: 
a) O teste real da compreensão de um conceito matemático. 
b) A maior finalidade da aprendizagem matemática. 
c) A forma como não aprendemos matemática. 
d) É a melhor forma de ensinar a matemática. 
 
2. Para resolver problemas, é necessário que as cri anças sejam leitoras. Isso 
é: 
a) Uma verdade do ensino, pois sem ler a criança não entenderá os enunciados. 
b) Uma ideologia de Piaget. 
c) Uma pesquisa que comprova a necessidade da leitura matemática. 
d) Uma crença, pois não é somente lendo que se aprende matemática. 
 
3. A Geometria é um dos conteúdos mais perceptivos da matemática que, 
entre outras coisas: 
a) Mais desenvolve a noção de matemática sequencial, pois as noções 
matemáticas estão nas formas. 
b) Mais desenvolve o olhar do educando sobre as formas e as dimensões planas e 
espaciais. 
c) Mais torna complexa a aprendizagem da matemática. 
d) Mais aproxima o aluno da matemática, já que é um dos estudos matemáticos 
mais aprofundados. 
 
 
2.4 Cálculo mental 
 
Nos dias atuais é imprescindível que as pessoas tenham o hábito do cálculo 
mental, pois como não utilizá-lo para prever os gastos de uma compra quando o 
valor estimado não pode ultrapassar o dinheiro em mãos? Como decidir entre uma 
compra a prazo ou à vista sem analisar os descontos sobre o produto, reconhecendo 
a vantagem da compra? Desse modo, percebe-se o quanto o cálculo mental é 
importante para as pessoas. 
A ideia do cálculo mental está associada à capacidade de estimar resultados 
ou, ainda, à rapidez na execução do cálculo. De acordo com os PCN’s de 
 
 
 
 
33 
www.eunapos.com.br 
matemática, “pode-se dizer que se calcula mentalmente quando se efetua uma 
operação, recorrendo-se a procedimentos confiáveis sem os registros escritos e sem 
a utilização de instrumentos” (2000, p.117). Neste sentido, parece que a questão 
central do cálculo mental pode ser compreendida na reflexão sobre a produção e 
utilização de procedimentos confiáveis. 
Contudo, não há porque afirmar que o cálculo feito com registros ou uso de 
instrumentos seja desconsiderado como cálculo mental. Pois os registros escritos 
podem, até mesmo, vir a facilitar esse processo, principalmente para a criança que 
ainda se encontra na fase do operatório concreto, pois ao anotar um resultado 
parcial pode ser que venha a facilitar a sua estratégia seguinte na busca do 
resultado final. Por exemplo, na soma de 32+15, o aluno pode adicionar 30+10 e 
registrar o resultado = 40 e, em seguida somar 2 + 5, registrando o seu resultado, = 
a 7; somando afinal os dois resultados para se chegar no resultado total, 47. 
O que importa é que cada registro seja coerente e confiável, ou seja, que seja 
pensado pelo sujeito que propõe esse ou aquele processo. 
É importante ressaltar que as estratégias e a rapidez do cálculo dependerão 
da idade do aluno e da qualidade das experiências matemáticas experimentadas ao 
longo de seu processo de aprendizagem. Sendo assim, o cálculo mental é um 
conjunto de estratégias de cálculo, na busca da solução de um problema 
matemático, sem recorrer aos procedimentos preestabelecidos do algoritmo. Trata-
se, portanto de um sistema flexível, no qual podem ser usadas estratégias diferentes 
na solução de um mesmo problema, de forma rápida e eficiente. 
O cálculo mental, porém não surge de forma gratuita só pelo fato de não 
registrarmos o algoritmo de forma tradicional, mas exige que o aluno tenha legítimas 
experiências matemáticas, participando da construção de conceitos matemáticos, 
compreendendo as possibilidades implicadas em cada operação. 
Se observarmos as aulas de matemática, perceberemos que o ensino 
matemático, na maior parte das vezes, ainda, traduz a forma de educação nos seus 
modelos tradicionais. Treina-se o aluno, mecanicamente, a encontrar a resposta 
certa, os resultados exatos, as operações lineares por processos decorados e não 
apreendidos. Cabe aos alunos executar prescrições fixadas nas regras e definições 
“dadas” pelo professor, o qual sabe a matemática, mas nem sempre dá conta de 
seus fundamentos básicos. O educando assume, assim, uma posição secundária e 
 
 
 
 
34 
www.eunapos.com.br 
marcadamente passiva, depositário de conteúdos e exaustivos exercícios que mais 
são reproduções que a necessária aprendizagem. E isso é tão sério que se trocar os 
números de uma mesma operação, os alunos já não sabem mais fazer o exercício 
porque deduzem que o professor não ensinou aquela conta. 
A excessiva preocupação pela representação formal na Matemática, 
destituída de sua relação com o cotidiano, leva à manipulação mecânica dos 
algoritmos e teoremas que, por sua vez levam ao fracasso, já que atitudes 
cognitivamente mecânicas pouco instrumentalizam o aluno para continuar sua 
jornada de aprendizagem na matemática. Para Piaget, “não é o conhecimento do 
teorema de Pitágoras que irá assegurar o livre exercício da inteligência pessoal: é o 
fato de haver redescoberto a sua existência e a sua demonstração” (1978, p.60). 
Na excessiva valorização do produto, desconsidera-se o processo, quando na 
verdade é esse que aponta a condição do educando e sua capacidade de resolução 
de problemas. Segundo Parra (2001, p.189): 
 
Para muitas pessoas, cálculo mental está associado a cálculo rápido. 
Na perspectiva que adotamos, a rapidez não é nem uma 
característica nem um valor, ainda que possa ser uma ferramenta em 
situações didáticas nas quais, por exemplo, permita aos alunos 
distinguir os cálculos que dispõem os resultados na memória dos que 
não dispõem. 
 
Sabe-se assim, que não é o produto final do cálculo que importa, mas o que 
seu processo desenvolve cognitivamente, pois o raciocínio está ligado ao pensar 
cada elemento que irá compor a operação matemática. Assim, o domínio dos 
recursos para o cálculo indica uma aproximação com o cálculo que torne os alunos 
capazes de escolher os procedimentos apropriados, encontrar resultados e julgar 
suas validades. Aponta para o caminho da descoberta, fazendo com que o aluno 
possa sentir a emoção de perceber-se produtivamente ao se deparar com a soluçãoencontrada numa estratégia ainda não reconhecida antes por ele e, agora, 
descoberta. 
O professor, enquanto mediador do processo de problematização deve ficar 
atento sobre os caminhos apresentados durante a solução dos problemas, porque 
nem sempre resultados objetivos são comprovados por operações adequadas, 
porque pode haver erro no processo e não no resultado. Por isso, o professor não 
 
 
 
 
35 
www.eunapos.com.br 
deve adiantar soluções e nem deixar o aluno entregue a si mesmo, e sim, a partir de 
seus pequenos avanços, levá-lo a observar, analisar, estabelecer relações, fazer 
conjecturas e comprovações, orientando-o para chegar à descoberta dos conceitos 
matemáticos envolvidos nas atividades propostas. 
Quanto maior o envolvimento do aluno, desde o levantamento do problema 
até sua resolução, maior a capacidade de sua compreensão dos conceitos 
envolvidos e maiores habilidades numéricas gera para si. Por isso, a participação do 
educando consiste em indagar, dialogar, analisar, levantar hipóteses, propor 
soluções, expor seus raciocínios, observar os raciocínios dos outros, compará-los 
concluir sobre os mesmos, sintetizar e recontextualizar os conhecimentos 
construídos, sendo um ativo aprendiz. 
Uma vez que um dos objetivos da educação reside no desenvolvimento da 
autonomia dos educandos, considero que a produção de resultados de cálculo 
mental é de extrema importância, uma vez que ele é o resultado e ao mesmo tempo 
gerador de qualidades e procedimentos característicos de um aprendiz autônomo, 
quais sejam: flexibilidade, criatividade, capacidade de argumentação, análise, 
interpretação, e de própria significação, etc. Neste sentido, destaco a 
problematização por meio de situações matemáticas contextualizadas como 
estratégia didática importante porque são adquiridas algumas habilidades e 
competências para a matemática, tais como: 
• media questões-problema que desafiam os alunos para validação dos 
resultados; 
• pode-se criar um ambiente positivo que os encoraja a levantar 
hipóteses; 
• justificam seu raciocínio; 
• propõem e discutem soluções; 
• validar e debatem suas próprias conclusões. 
 
Influem, assim, na capacidade de o aluno resolver problemas, favorecendo 
uma melhor relação com a matemática, ampliando a compreensão dos conceitos 
numéricos e suscitando o surgimento do cálculo mental em diferentes níveis de 
acordo com o avanço e o progresso nos estudos da matemática. 
 
 
 
 
36 
www.eunapos.com.br 
UNIDADE 3: CONTRIBUIÇÕES DE CONSTANCE KAMII 
 
3.1 De quem estamos falando 
Constance Kazuko Kamii, nascida em Genebra, Suíça, é uma psicóloga nipo-
americana, filha de pai japonês e mãe estadunidense, viveu no Japão até os 18 
anos, transferindo-se depois para os Estados Unidos, onde 
em 1955 bacharelou-se em Sociologia. 
Mestra em Educação e Doutora em Educação e 
Psicologia, pela Universidade de Michigan/EUA. Foi aluna e 
colaboradora de Jean Piaget, tendo feito diversos cursos 
de Pós-Doutorado nas universidades de Genebra e de 
Michigan, relacionados com a epistemologia genética e 
com outras áreas educacionais pertinentes tanto à teoria 
piagetiana como de outros pesquisadores. Atualmente é 
professora da Universidade do Alabama. 
 
Fonte: http://migre.me/5cvok 
Publicou diversos livros, entre os quais “Aritmética: Novas Perspectivas: 
Implicações da Teoria de Piaget”, “Conhecimento Físico na Educação O Pré-
Escolar”, “A Criança e o Número”, “Crianças Pequenas Reinventando a Aritmética”, 
“Desvendando a Aritmética: Implicações da Teoria de Piaget”, “Jogos em Grupo na 
Educação Infantil”, “Piaget para a Educação Pré-Escolar” e “Reinventando a 
Aritmética: Implicações da Teoria de Piaget” entre diversos outros5, sendo que 
alguns destes compõem esta disciplina. 
Por suas grandes contribuições, sobretudo, na área de conhecimento 
matemático, faremos nessa unidade uma incursão sobre as principais ideias e 
estudos de Kamii junto às pesquisas de Piaget, considerando que não estamos 
estudando a matemática para sermos matemáticos, mas, como psicopedagogos 
entendermos as relações de ensino e aprendizagem que se realizam no 
desenvolvimento do conhecimento do pensamento e do raciocínio lógico-
matemático. 
 
5 http://pt.wikipedia.org/wiki/constancekamii,acessado em março de 2011. 
 
 
 
 
37 
www.eunapos.com.br 
3.2 Da anomia à autonomia do pensar e agir 
 
Educação é isto: o processo pelo qual os nossos corpos vão ficando 
iguais às palavras que nos ensinam. Eu não sou eu: eu sou as 
palavras que os outros plantaram em mim. Como disse Fernando 
Pessoa: ‘Sou o intervalo entre o meu desejo e aquilo que os desejos 
dos outros fizeram de mim’. (Alves, 2009)6 
 
A disciplina de cada um existe quando aprendemos a colocar ordem em 
nossas atividades, e compromissos, e em qualquer tarefa com a qual estejamos 
envolvidos. Disciplina não é cumprimento de horários, ou obrigações, ou aceitação 
de certos padrões. Isso não passa de simples interesse pessoal, motivado, na 
maioria das vezes, pelo desejo se obter algum tipo de vantagem, ou evitar algum 
tipo de constrangimento, o que dá no mesmo. Esta ordem interna se aprende, 
quando explicamos à criança, por que deve fazer qualquer tarefa, por mais simples 
que possa inicialmente parecer. Mesmo que seja o calçar de uma meia, isso deve 
ficar claro para ela, o porquê está fazendo aquilo; qual a função, o que se espera 
como resultado, quais os benefícios daquela ação. Torna-se até um momento 
agradável, aquele saber, o conhecer do porquê das necessidades de realizarmos 
uma tarefa. Assim, a criança pratica a coisa sabendo por que o faz. Desse modo, 
tende a se autodisciplinar no futuro. 
Porém, quando se trata de aprender, seja aprender muitas coisas, seja para 
desenvolver competências e habilidades matemáticas, é importante saber dar 
autonomia ao aluno para que possa, por si só, construir os seus conhecimentos 
sabendo o valor dos conceitos e o que significam para sua formação e aplicação na 
realidade em que se insere. 
O indivíduo aprende basicamente através de suas próprias ações sobre os 
objetos do mundo, e constrói suas próprias categorias de pensamento ao mesmo 
tempo em que organiza seu mundo. A anomia, que acontece até os três anos de 
idade, faz com que a criança espere que suas necessidades sejam atendidas, não é 
um sujeito que espera que alguém que possui um conhecimento o transmita a ele 
por um ato de bondade, mas faça o que ele ainda não sabe como fazer. Embora o 
foco de Piaget não tenha sido o educacional, suas ideias contribuíram para a 
compreensão de como a criança constrói o conhecimento, são elas: 
 
6 http://umavezprofessoraprofessorasempre.blogspot.com, acessado em março de 2011. 
 
 
 
 
38 
www.eunapos.com.br 
• o objetivo de ensino deve centrar-se na criança e a partir das 
atividades da mesma; 
• a criança não aprende por repetição, mas por descoberta; 
• a aprendizagem é um processo construído internamente, depende do 
nível de desenvolvimento do sujeito e é um processo de reorganização 
cognitiva; 
• os conflitos cognitivos são importantes para o desenvolvimento da 
aprendizagem; 
• a interação social favorece a aprendizagem; 
• as experiências de aprendizagem devem privilegiar a colaboração, a 
cooperação e intercâmbio de pontos de vistas na busca conjunta do 
conhecimento e soluções. 
Portanto, o princípio de autonomia se desenvolve juntamente com o processo 
de desenvolvimento da autoconsciência. 
Autonomia é autogoverno, é “a submissão do indivíduo a uma disciplina que 
ele próprio escolhe e a constituição da qual ele elabora com sua personalidade” 
(Piaget, apud Kamii, 2001, p.95). Dessa forma, A pessoa autônoma não é aquela 
que faz tudo o que deseja, que se governa sem se importar com as pessoas à sua 
volta. Pelo contrário, o sujeito autônomosabe coordenar as regras, ideias, decisões 
e preferências de seu grupo social, agindo de forma harmônica. 
Já a disciplina é um comportamento, que corresponde ao necessário 
equilíbrio, organização e diálogo, para manutenção adequada das relações. 
Ser uma criança disciplinada, não é indicativo de criança quieta, silenciosa, 
atenta, centrada, sempre acessível; uma criança disciplinada brinca, corre, pula, 
grita, chora, briga, porque criança é criança e é assim que se comporta – tem 
energia para suas vivências. Mas esta criança sabe também respeitar as regras e 
limites que se impõem ao ambiente; sente-se segura para liberar suas energias, sem 
atrapalhar ou comprometer-se a si e aos demais no seu entorno. 
No entanto, para saber os limites e as regras, a criança requer que o adulto 
lhe ensine e oriente o seu processo e, isto, não reside apenas na informação que 
possa passar o adulto, mas nos modelos que ele expressa a partir de si, pois, a 
família é o modelo que a criança tem. 
 
 
 
 
39 
www.eunapos.com.br 
Por isso mesmo, sua energia precisa ser direcionada da forma correta, de 
forma disciplinada e equilibrada, para as coisas práticas, que lhe serão úteis, e com 
menor intensidade, às atividades destinadas apenas a ajudar a passar o tempo. 
Nessa etapa, dependendo do nível de conscientização do adulto, ela aprende a ser 
naturalmente disciplinada, pela correta distribuição das atividades que lhe trarão 
autonomia e independência, no futuro. 
Desse modo, o pensar deve ser autônomo e o aprendiz capaz de administrar 
seus conhecimentos, pois a matemática requer essa autonomia para que o aluno 
saiba agir com segurança e com criatividade sobre os processos operatórios. 
 
3.3 Os tipos de conhecimento 
 
O homem, desde sempre, se viu na necessidade de explicar o mundo que o 
rodeia. Porém, o próprio homem percebeu que para explicar o mundo teria que 
conhecê-lo. Assim, percebeu que o conhecer não era um estado, mas sim um 
processo e, como tal, estava necessariamente relacionado com a atividade prática 
do próprio homem. 
Assim, ao analisar a construção histórica do conhecimento matemático, 
percebe-se que o mesmo tem sido elaborado a partir da tentativa do homem de 
compreender e atuar em seu mundo. Como, na Grécia Antiga, berço da Matemática, 
somente alguns tinham acesso ao conhecimento formal, os escribas eram 
considerados homens especiais, dotados de inteligência acima da média, por serem 
os únicos capazes de decifrar e desfrutar dos conhecimentos geométricos e 
aritméticos da época, que muitas vezes eram complexos, como o sistema de 
numeração grego e egípcio. 
Dessa forma, conhecer não era só possuir uma representação mental do 
mundo, mas também atuar no mundo a partir da representação que dele tinha. 
Então, faço algumas questões para ampliar nossas análises: 
• Será que todo o conhecimento procede apenas da experiência? 
• Será que alguns dos nossos conhecimentos têm a sua origem na 
razão? 
• Ou, será que todo o conhecimento resulta de uma elaboração racional 
a partir dos dados da experiência? 
 
 
 
 
40 
www.eunapos.com.br 
Através de alguns estudiosos7, tratarei das repostas a estas questões 
analisando alguns dos conhecimentos que permeiam os estudos da matemática, 
não só como disciplina escolar, mas como uma ciência aplicada. Pois, meu objetivo 
é tornar claro que no passado para aprender matemática era preciso desenvolver 
estes conhecimentos, já que foram linhas de pensamento matemático-filósofico. 
O empirismo, por exemplo, considera como fonte de todas as nossas 
representações os dados fornecidos pelos sentidos. Assim, todo o conhecimento é a 
posteriori, ou seja, provém da experiência e à experiência se reduz. Segundo os 
empiristas, as noções matemáticas seriam cópias mentais estilizadas das figuras e 
objetos que se apresentam à percepção. 
Já, os racionalistas consideram que só é verdadeiro conhecimento aquele que 
for logicamente necessário e universalmente válido, isto é, o conhecimento 
matemático é o próprio modelo do conhecimento. Assim sendo, o racionalismo tem 
que admitir que há determinados tipos de conhecimento, em especial as noções 
matemáticas, que têm origem na razão. Não quer isso dizer que neguem a 
existência do conhecimento empírico. Admitem-no. Consideram-no, porém, como 
simples opinião, desprovido de qualquer valor científico. O conhecimento, assim 
entendido, supõe a existência de ideias ou essências anteriores e independentes de 
toda a experiência. 
Todavia, o conhecimento empírico-racionalismo ou intelectualismo defende 
que as nossas representações são construções «a posteriori» elaboradas pela razão 
a partir dos dados experimentais. Assim, o conhecimento tem a sua origem na 
experiência, mas a sua validade só pode ser garantida pela razão. Então, as noções 
matemáticas são construções racionais a partir da observação dos objetos e figuras 
que rodeiam o homem. Decorrem de processos de abstração e regularização 
relativamente à irregularidade das figuras reais. 
Mas, por um lado, o realismo afirma que no ato do conhecimento, o sujeito 
consegue apreender um objeto que é independente e distinto dele. E, por outro, o 
idealismo defende que não é o objeto em si que conhecemos, mas o objeto tal como 
se nos representa. Na verdade, não podemos saber sequer se há coisas reais, 
transcendentes ou exteriores ao espírito ou, se pelo contrário, tudo quanto existe 
está no espírito. 
 
7 Kamii (2001), Piaget (1946), Miorin (1998), Kohl (2000), Ribeiro e Silva (1973), entre outros. 
 
 
 
 
41 
www.eunapos.com.br 
Nesse sentido, a escola pitagórica muito contribuiu para esse pensamento, 
pois, formada por aristocratas, defendia o número como sendo a essência de tudo o 
que existe. Segundo Miorim (1998, p.14-15), “a escola pitagórica [...] foi responsável 
pela introdução da concepção, existente até hoje, de que os homens que trabalham 
com os conceitos matemáticos são superiores aos demais.” 
Hoje, percebe-se, ainda, a idéia de que poucos conseguirão apropriar-se do 
conhecimento matemático, que, ainda para muitos, é considerado difícil e complexo. 
O aluno, ao chegar à escola, já apresenta um certo temor a esse conhecimento, 
sentindo-se incapaz, e tal idéia é 
legitimada pela postura pedagógica e 
didática do professor, que não tem uma 
escuta às necessidades de seus alunos e 
faz questão de reforçar a heteronomia 
deles, não lhes propiciando um fazer, 
pois acredita que aprender é “saber na 
ponta da língua” o que foi ensinado. 
Fonte: http://migre.me/5cwIy 
Assim, sabendo que a Matemática surgiu da interação do homem com seu 
mundo, ao tentar compreendê-lo e atuar nele, é difícil aceitar que, conhecedoras 
desse percurso e de estudos como os de Piaget, os quais afirmam que a criança 
constrói o conhecimento através da interação com o outro e com o mundo, nossas 
escolas insistam em manter um ambiente “desmatematizador”. Esse ambiente é 
permeado pelas ideias da transmissão de conhecimentos e de que a criança, ao 
chegar na escola, não é dotada de saberes. 
Pois, se a Matemática foi elaborada a partir da atuação do homem no mundo, 
por que então nossas escolas não oferecem à criança a possibilidade de se 
apropriar do conhecimento elaborado por seus antepassados, na relação com o seu 
mundo? Se a Matemática é uma ciência simples e natural por que, então, considera-
se que somente alguns dão conta desse saber? Ao responder essas perguntas 
percebe-se que é emergente a necessidade de a escola contemporânea propiciar 
um ambiente matematizador. 
Segundo Kamii “o ambiente social e a situação que o professor cria são 
cruciais no desenvolvimento lógico-matemático.” (2003, p.63) Então, o aprender está 
 
 
 
 
42 
www.eunapos.com.br 
relacionado ao fazer, lembrando que o ser humano é movido por desejos e é capaz 
de aprender tudo o que está em seuentorno, inclusive a matemática, pois um 
ambiente estimulador seria aquele permeado por situações, desafios, construções, e 
inúmeras possibilidades. Assim, ele viverá e (re)descobrirá o conhecimento, 
construindo-o de forma ativa e significativa, posicionando-se como parte 
fundamental desse mundo, capaz de promover mudanças em si mesmo e no meio 
que está em seu entorno. 
 
3.4 A importância do erro 
 
O homem tem errado e continuará errando: porém, é sua capacidade 
para aprender com os erros, com os fracassos, o que o torna 
diferente das demais espécies. (La Torre et. al., 1994, p.11) 
 
O aprender com os erros é tão antigo quanto o próprio homem, mas quando 
se trata de escola e de aprendizagem, errar é sinônimo de fracasso, sendo que 
aquele que erra é fadado a não conseguir aprender, sendo marginalizado e excluído. 
Assim, culturalmente o erro assume o caráter de seletividade e de exclusão, pois 
errar não cabe aos melhores. 
O erro na matemática é uma dicotomia a ser analisada, porque se o resultado 
estiver errado, a operação está errada; mas, se o resultado estiver certo, a operação 
não pode estar nunca errada. Então, como julgar o certo e o errado na operação 
matemática. Segundo Pinto (2000, p.37): 
 
Diagnosticar e corrigir os erros não é suficiente para melhoria do 
ensino. Os erros contêm um potencial educativo que precisa ser mais 
bem explorado, não apenas pelos professores, como também pelos 
próprios alunos. 
 
Desse modo, a autora chama a atenção para que se analise o erro por sua 
base e não apenas por seus resultados. Para exemplificar a situação, lembrei-me de 
uma conversa que tive com um professor de matemática, há alguns anos atrás, 
quando me deparei com sua angústia na correção de avaliações de seus alunos. A 
questão que o deixava angustiado era: alguns alunos tinham chegado ao resultado 
que foi pedido no enunciado, mas a operação estava errada; por outro lado, alguns 
alunos tinham chegado ao resultado errado, mas a operação estava completamente 
 
 
 
 
43 
www.eunapos.com.br 
certa. Então, como proceder, já que se tratava de uma avaliação da aprendizagem 
matemática? 
Analisando juntos as questões, podia-se perceber que alguns alunos erraram 
as operações em razão, sobretudo, do excesso de informações que o enunciado do 
problema matemático trazia; então, havia erro de sinais e de sequência de sub-
resultados, que ao final, dava um resultado correto. Então, o erro era didático e não 
de aprendizagem, porque o enunciado não estava claro, mas indicava o resultado 
mais adequado. Quanto a isso é preciso que façamos uma análise mais rigorosa e, 
que me perdoem a crítica: mas, há educadores que não sabem escrever um 
enunciado de matemática corretamente. 
A situação perpassa dois contextos: um de formação, porque matemáticos 
são formados para fazer matemática e não para escrevê-la; o outro, é que a auto-
suficiência didática dos matemáticos é sua maior fraqueza, pois quantos são os 
educadores que dão aula voltados para o quadro, ou seja, eles fazem a matemática 
no quadro preto dialogando com eles mesmos e, não dão importância aos alunos 
presentes. Alguns professores se atrevem a “jogar perguntas no ar”, mas eles 
próprios respondem antes que algum aluno faça a besteira de responder. Portanto, 
que tipo de avaliação de aprendizagem matemática pode ser aplicada; a mais 
confusa, a copiada do livro, aquela que fez parte da lista de exercícios, só mudou os 
números, e assim por diante. 
A segunda questão é: alguns alunos erram os resultados, mas a operação 
estava correta, então o que aconteceu? Simplesmente os alunos tiveram uma maior 
preocupação em organizar os dados do que prever o resultado; mas, isso também é 
uma resposta ao excesso de informações que o enunciado trouxe. Sendo que agora, 
analiso esse tipo de enunciado da seguinte forma: a lógica é muito exigente, e os 
matemáticos também, pois na ânsia de se fazer entendido, o simples tornou-se 
complexo. Isso é muito comum se tomarmos aqueles educadores que se preocupam 
tanto em ser criativo, que se inspiram demais e complicam o conhecimento dos 
alunos. 
Bem, qualquer um dos casos merece solução, já que o meu colega 
matemático estava angustiado em como proceder com a correção dos erros de seus 
alunos. Fiz, então, a seguinte sugestão por etapas: 
 
 
 
 
44 
www.eunapos.com.br 
• faça seus apontamentos a parte das avaliações dos alunos, atribuindo-
lhes conceitos relativos; 
• na sala de aula, devolva para cada aluno sua avaliação e, de forma 
individualizada peça que cada um refaça sua avaliação, sem apagar 
dados da primeira – ou seja, peça para que o aluno transfira os dados 
corretos e corrija os dados incorretos; 
• depois, de forma conjunta, faça com a sala a correção da avaliação; 
• e, por último, peça que cada aluno mostre o seu erro, demonstrando 
qual foi o raciocínio empregado que o resultou incorreto (ou seja, o 
porque dele), já que agora tem o certo para comparar. 
Após essa experiência, com certo teor construtivista, fui informado que o 
resultado foi muito melhor, pois ao ouvir os alunos demonstrando sua forma de 
pensar o enunciado matemático, o meu colega descobriu que os mesmos sabiam 
muito de matemática, porém quanto ao emprego operatório e conceitual, precisavam 
de orientação. A partir disso, tomou mais cuidado na formulação dos enunciados e 
passou a fazer as correções em conjunto, após passar por seu crivo matemático. 
Nesse sentido, Pinto (2000, p.35) afirma que: 
 
Estudar os erros tendo em vista o êxito escolar requer, 
prioritariamente, uma análise mais fina de sua produção, a partir de 
uma reflexão que os considere como parte integrante do processo de 
ensino-aprendizagem. Ao contrário de uma pedagogia tradicional, 
centrada na assimilação do conhecimento que o professor transmite 
ao aluno, trata-se de conceber a aprendizagem como um processo 
dinâmico, que flui em ambas direções: do aluno para o professor e 
do professor para o aluno. 
 
Culturalmente, é preciso saber que o erro existe porque há opção para 
acertar, ou não; pois, se há duas vias de suposição, podemos acertar ou errar, por 
isso errar é um ato humano. Porém, devemos saber interpretar e aceitar o erro como 
parte de nossa responsabilidade, afinal foi feita uma opção consciente. Assim, 
didaticamente o aluno tem a possibilidade do acerto, mas erra, sendo que será 
importante que ele assuma a responsabilidade sobre isso; por outro lado, precisa ser 
orientado ao acerto. Nesse caso, o professor é o principal mediador que eleva seu 
 
 
 
 
45 
www.eunapos.com.br 
aluno ao conhecimento necessário, ou, ao mesmo tempo o ditador, que desestimula 
o seu aluno e o faz sentir fracassado diante do aprendizado. 
Então, o papel do erro no processo de aprendizagem depende de como ele 
ocorre nas resoluções de tarefas, pois se o aluno já tem condições de solucionar o 
problema proposto, pode errar por descuido ou pela falta de informações 
necessárias e, neste caso, a constatação de seu erro pode levá-lo, simplesmente, a 
refazer o procedimento. Se a estrutura de pensamento ainda não é suficiente para 
selecionar estratégias de resolução, a conscientização sobre o erro pode auxiliar o 
aluno, mediado pelo professor, a atingir um nível de desenvolvimento superior; neste 
caso, o erro é “construtivo”. Se, no entanto, o aluno sequer compreende o que lhe foi 
solicitado, a tentativa de apresentar alguma solução vai ser barrada pelos seus 
limites e os erros cometidos são sistemáticos, ou seja, vão se repetir em situações 
semelhantes, porque ele não se sente desafiado pela atividade proposta. 
Portanto, o erro precisa ser analisado de maneira que o educador conheça o 
processo pelo qual o aluno optou para resolver a questão, para que o professor 
possa descobrir que tipo de conhecimento matemático foi construído. 
 
Exercício 3 
 
1. A disciplina de cada um existe quando aprendemos : 
a) A sermosmais heterônomos, entendendo assim as regras e as normas que 
compõem a sociedade. 
b) A colocar ordem em nossas atividades, e compromissos, e em qualquer tarefa 
com a qual estejamos envolvidos. 
c) A cumprir horários, obrigações e a aceitação de certos padrões. 
d) A obedecer aos padrões, analisando o certo e o errado como convencionais. 
 
2. Empirismo, racionalismo, realismo e idealismo, s ão: 
a) Formas de aprender a matemática. 
b) Linhas de ensino da escola pitagórica. 
c) Linhas de pensamento filosófico-matemático. 
d) Princípios do conhecimento lógico. 
 
3. Culturalmente, é preciso saber que o erro existe porque: 
a) Não está certa a ação. 
b) Quem erra está sempre fracassado. 
c) Errar é humano. 
d) Há opção para acertar, ou não. 
 
 
 
 
 
46 
www.eunapos.com.br 
3.5 As construções necessárias 
 
Um dos grandes problemas com a aprendizagem da matemática é fazer com 
que o aluno seja convencido de que a ciência matemática é exata, mas não 
complexa quando se aprende. Segundo Parra (2001), três são os motores da 
aprendizagem: motivação, mecanismo e resignificação. 
A motivação como se sabe é uma autoatitude, ninguém pode dar motivação 
ao outro, pois todos nós nascemos com ela. Porém, há situações que implicam na 
condução para que o aluno se sinta motivado. O primeiro passo para isso é que o 
educador derrube a ideia que os pais colocam nos filhos que, ao entrar no primeiro 
ano de escola – ele ou ela – os filhos deixaram de ser crianças, porque agora a 
escola é coisa séria – vai se aprender a ler, escrever e, o mais difícil, aprender 
matemática. Essa ideia já vem preconcebida de casa – a matemática é mais difícil. 
Por outro lado, é preciso que os educadores se preocupem, desde a 
educação infantil, em identificar as experiências e conceitos matemáticos que as 
crianças já possuem, partindo do básico: sua idade, número de sua casa, quantos 
irmãos tem, qual dos irmãos é o mais velho e o mais novo (sequência); quantos dias 
tem a semana, qual o dia do mês, quantos dedos tem a mão, e os pés; enfim, 
notemos a infinidade de interrogações que podemos fazer às crianças e, assim, 
saber como lidam com os números e saber qual importância tem esses 
conhecimentos para sua formação. 
Desse modo, creio que a motivação (ou o despertar) para conhecer e 
aprender os números e, gradativamente, as operações aritméticas, se desenvolve de 
maneira que a criança já conheça a matemática sem complicações. Nessa 
perspectiva, Parra (2001, p.43), afirma que: 
 
Os conhecimentos não se empilham, não se acumulam, mas passam 
de estados de equilíbrio a estados de desequilíbrio, no transcurso 
dos quais os conhecimentos anteriores são questionados. Uma nova 
fase de equilíbrio corresponde então a uma fase de reorganização 
dos conhecimentos, em que os novos saberes são integrados ao 
saber antigo, às vezes modificado. 
 
Portanto, a construção do conhecimento ou do pensar matemático pelo aluno 
não se inicia pelo racionalismo, mas pelas experiências prévias, que desenvolveram 
 
 
 
 
47 
www.eunapos.com.br 
nas crianças seus conhecimentos matemáticos pelo senso comum, o que mais tarde 
será um viés necessário para conhecimentos mais sistematizados da matemática. 
O mecanismo , por sua vez, será incitado através de um aporte de 
conhecimentos matemáticos que serão construídos após os alunos terem aprendido 
além dos conceitos, as noções numéricas: a sequência, a reversibilidade, as 
seriações e permutas, estando já acostumados a lidar com as operações. Assim, os 
exercícios aplicados pelo educador têm a função de incitar o mecanismo matemático 
dos alunos. Mas, vale ressaltar que mecanismo matemático não é, e não pode se 
tornar, uma postura mecânica de aprendizagem; ou seja, na matemática os 
mecanismos de conhecimentos implicam na aprendizagem das operações no 
sentido de processo – é o porquê dos resultados, da ordem dos números, da 
exatidão; já a postura mecânica torna o aluno despreocupado com a 
operacionalização, porque o sentido é “decorar” a operação e o resultado, sem 
entender o processo no seu todo. 
É certo afirmar que tanto o mecanismo como a postura mecânica implica no 
uso pelo aluno da memorização. A memória é essencial para a aprendizagem, é por 
ela que se retêm as informações e, ao mesmo tempo, as organiza para que 
possamos utilizá-las da forma adequada, desde que as informações nos sejam 
comuns e cotidianas, do contrário, a memória armazenará a informação, mas o seu 
uso ficará em função da evocação. 
Porém, a diferença fundamental entre desenvolver (despertar) o mecanismo 
matemático e utilizar-se da memória mecânica é que, enquanto o primeiro é um 
processamento de aprendizagem, no qual se insere a necessidade de compreensão 
do processo, a segunda apenas mantém, temporariamente, as informações, para 
depois esquecê-las. Por isso muitos alunos, na maioria das vezes, esquecem 
determinados conteúdos após uma avaliação, pois apenas os decoraram para fazer 
a prova. 
Por fim, a resignificação trata-se da aprendizagem da matemática de 
maneira dinâmica e articulada, pois usa das situações e problemas que estão 
inseridas no cotidiano do aluno, porém, agora são conhecimentos que exigem 
maiores aprofundamentos e sistematização. A matemática agora é mais científica - 
operacional e racional – estou falando dos estudos das equações e inequações, dos 
 
 
 
 
48 
www.eunapos.com.br 
estudos das potências e raízes, da proporcionalidade em geometria, da 
interpretação de gráficos com informações cruzadas, etc. 
Para esse motor de aprendizagem, é importante que o aluno tenha condições 
de articular a matemática às situações reais e problematizadas, tendo o objetivo de 
solucionar o problema. 
Assim, resignificar implica aprender com mais sistematização, não 
abandonando o senso comum da realidade, mas dando a ela (e suas situações) um 
significado mais científico, de forma que agora não se trata de um tímida informação, 
mas de uma situação com propriedade de conhecimento. 
 
 
 
 
 
49 
www.eunapos.com.br 
UNIDADE 4 - DO MEDO AO PRAZER 
 
4.1 Dificuldades em matemáticas 
 
Nesta unidade vou fazer uma articulação entre teóricos, que nas unidades 
anteriores contribuíram para o nosso estudo, e, as práticas pedagógicas que muito 
deixam a desejar quando se trata da didática do ensino da matemática. 
Há alguns anos tive a oportunidade de ser convidado para fazer parte de uma 
banca examinadora de didática – em matemática. A minha tarefa era analisar a 
postura e o discurso de docentes que concorriam a uma vaga para lecionar no 
Ensino Fundamental II, como professor de matemática. Além da minha participação 
como mestre em educação, estavam presentes mais dois avaliadores – sendo um 
mestre em matemática e o outro mestre em didática, todos nós com o mesmo nível 
de formação, ou seja, habilitados para essa tarefa. 
A prova era composta pela apresentação de uma aula de matemática, sendo 
o conteúdo escolhido livremente pelo candidato, o qual tinha 40 minutos para fazer a 
regência de uma aula de matemática. 
Dos nove candidatos, apenas uma professora apresentava o perfil para 
compor vaga de docente de matemática. Nela, alguns diferenciais essenciais para 
lecionar matemática: sorriso nos lábios e nos olhos; empatia na fala; linguagem 
simples e objetiva; enfática no conteúdo e dominando seus fundamentos. As minhas 
reflexões ante os demais candidatos foram: por que professor de matemática é 
sempre “emburrado” (mal humorado)? Para se fazer respeitar, ou, para que os 
alunos temam a matemática? Aliás, essas questões foram partilhadas de forma 
recíproca na banca examinadora, porque chamou a atenção de todos. 
Dessa forma, posso sugerir que a postura do professor de matemática tem 
uma influência direta sobre como o aluno se comportará frente a aprendizagem da 
matemática, pois há condições afetivas que podem promover uma aproximação dos 
conteúdos, buscando as afinidadesnecessárias para o seu desenvolvimento no 
pensar ou raciocinar de forma lógica. Segundo Chacón (2003, p.23): 
 
A relação que se estabelece entre afetos – emoções, atitudes e 
crenças – e aprendizagem é cíclica: por um lado, a experiência do 
estudante ao aprender matemática provoca diferentes reações e 
influi na formação de suas crenças. Por outro, as crenças defendidas 
 
 
 
 
50 
www.eunapos.com.br 
pelo sujeito têm uma consequência direta em seu comportamento em 
situações de aprendizagem e em sua capacidade de aprender. 
 
Essa premissa pode ser assim representada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Diagrama do domínio afetivo em matemátic a 
Fonte: Chacón (2003, p.23) 
 
A partir dessa estrutura acima, a autora nos chama a atenção para o 
importante papel que deve desempenhar o professor, levando em conta que sua 
postura e sua didática (a forma como ensina) têm influência sobre o comportamento 
do aluno frente ao aprendizado da matemática. 
Gostar implica numa relação de afeto e tem ligação com prazer, e o inverso 
disso, com o medo e a resistência, pois é normal reagirmos com medo de tudo 
aquilo que não compreendemos, e que nos afasta por acharmos que somos 
incapazes de entender. Dessa forma, o prazer e o medo da matemática têm relação 
direta com o nosso afeto, o qual, por sua vez, está relacionado com a maneira de 
apresentar a matemática. 
Modificação das crenças 
individuais sobre a matemática e 
sobre si mesmo em relação à 
matemática. 
A 
Crenças sobre a 
matemática e 
sobre si mesmo em 
relação à 
matemática. 
C 
Atitudes positivas e/ou 
negativas para a 
matemática ou partes 
da matemática. 
COGNIÇÃO 
+ estabilidade resposta 
- intensidade resposta 
Limite “frio” 
de AFETO 
Limite “quente” 
de AFETO 
- estabilidade resposta 
+ intensidade resposta 
Respostas individuais a 
novos estímulos associados 
com a matemática: 
problemas, atuações do 
professor, etc.. 
B 
Reação EMOCIONAL 
positiva e/ou negativa 
para um novo estímulo 
 
O indivíduo encontra-
se, repetidamente, com 
situações similares 
 
 
 
 
51 
www.eunapos.com.br 
Façamos a seguinte analogia: vamos ser apresentados a alguém que não 
conhecemos; o nosso interlocutor não dá bons referenciais sobre a pessoa, ou, não 
sabe descrevê-la positivamente. Ao estarmos diante da pessoa desconhecida, a 
nossa reação primária é não sermos simpáticos e, imediatamente, nos afastamos 
para evitar conversa com ela. O que acontece? A matemática não foi bem 
apresentada, porque me disseram que ela é difícil, complexa; então, por que tenho 
que conhecê-la (aprendê-la)? É melhor não me aproximar, não vou conhecê-la 
mesmo! Percebem? 
A matemática é uma disciplina que, como qualquer outra, traz suas 
complexidades, até que possamos internalizá-la, sem medo, compreendendo seus 
processos, sem receio da operação, porque é o processo que nos leva ao resultado 
e não ao contrário. Porém, todo aprender depende de duas pessoas, numa relação 
de reciprocidade, pois, alguém tem que ensinar para outra aprender. Portanto, o 
professor é o melhor material didático de seu aluno quanto à aprendizagem da 
matemática, sendo o mediador mais pertinente, basta que ele próprio seja um 
aprendiz dessa ciência. 
 
4.2 Em que consistem as dificuldades 
As dificuldades residem no desconhecimento do educador quanto ao seu 
papel de mediador da aprendizagem, pois o aluno não sabe tudo quando chega à 
escola. O aluno tem muitas informações, mas não as conhece operacionalmente, ou 
seja, é fácil, por exemplo, afirmar que chove, mas por que chove? Se o aluno fosse 
detentor da operacionalização de todas as coisas à sua volta, a escola seria 
totalmente dispensável, inclusive o professor. 
Dessa forma, é ledo engano achar que o aluno vai aprender de maneira 
simples e rápida a matemática, mas ao seu turno, aprenderá em conformidade ao 
que lhe é ensinado. 
A problemática do ensino da matemática reside na formação dos professores, 
pois ainda é observável o número de alunos que procuram os cursos de licenciatura 
porque são de baixa renda, precisando trabalhar para seu sustento e, não podem se 
dedicar a cursos em outros horários, podendo estudar apenas no período noturno. 
Assim, deixam de ser médicos, engenheiros, odontólogos para serem professores, 
esquecendo que operam, constroem e mexem com o discurso dos alunos que 
 
 
 
 
52 
www.eunapos.com.br 
passarão por seus domínios. Outros adentram nos cursos de licenciatura porque não 
sabem o que querem, ou porque acham a licenciatura um “curso trampolim” – de 
mais fácil entrada na universidade e, assim, podem transferir para os cursos que lhe 
sejam mais convenientes. Porém, qual o tamanho ou dimensão da responsabilidade 
de quem ensina, seja matemática ou qualquer outra disciplina? A primeira é aceitar 
sua condição de mediador da aprendizagem. E nessa expectativa, Parra (2001, 
p.66), pontua que: 
Aceitar tornar-se responsável pelos meios individuais de 
aprendizagem do aluno (o sujeito cognitivo) exigiria: 
- uma modificação completa do papel do professor e de sua 
formação; 
- uma transformação do próprio conhecimento; 
- outros meios de controle individual e social do ensino; 
- uma modificação da epistemologia do professor, etc. 
 
Dessa forma, muitos ainda se tornam professores e, não sabem o que vão 
fazer com isso. Então, alguns professores se preocupam de que seus alunos 
aprendam a matemática e, outros, apenas de que saibam matemática. Há uma 
diferença entre essas duas perspectivas, pois os alunos que aprendem a 
matemática desenvolvem suas noções, aprofundam sua sistematização, 
reconhecem o seu valor e sua aplicação na realidade. Os alunos que apenas sabem 
a matemática, a interpretam como uma disciplina de seleção e exclusão, porque 
saber matemática não significa dar a ela o seu sentido na realidade, mas na 
seletividade social. 
Aprender matemática, então, implica em superação das dificuldades de 
aprendê-la, pois, como já foi dito, o aluno não chega à escola dominando a 
informação, mas é dominado por ela sem ter sentido aplicável. Assim, aprender 
matemática é superar a mera informação e dimensionar suas propriedades numa 
dada realidade. 
Saber matemática, então, implica em não superar as dificuldades, mas 
entendê-las como parte de tudo aquilo que é complexo e, ao mesmo tempo, 
necessário a uma seletividade – tais como os concursos e outros exames, nos quais 
a matemática é apontada como conteúdos classificatórios ou de eliminação. 
 
 
 
 
 
53 
www.eunapos.com.br 
4.3 Postura psicopedagógica e didática frente ao ap rendente 
 
A postura pedagógica é sempre norteada pelas organizações do ensino e se 
aplicam dentro de uma necessidade que o contexto escolar requer, pois os planos 
de ensino visam a aprendizagem objetivamente falando. A postura didática bem 
como a postura do ensinante e do aprendente compõem o que se caracteriza como 
relação do processo ensino-aprendizagem. Esse é o processo escolar. 
Todavia, a postura psicopedagógica não se centra unicamente numa 
organização e gestão do ensino e da aprendizagem, mas na educação do olhar e da 
escuta psicopedagógica, já que na relação de ensino e aprendizagem, ambos 
aprendem e ambos ensinam. Mas, esse já é outro processo que está não só no 
contexto da escola, mas acompanha tanto o educador como o educando, porque 
ambos se envolvem na relação de desenvolvimento do conhecimento – não se trata 
apenas de ensinar, nem de aprender – mas de elaborar reflexões, gerar suposições, 
incitar questionamentos, solucionar dúvidas e, ao mesmo tempo, gerar um ciclo 
contínuo de novas aprendizagens e novos conhecimentos. 
Se, os educadores tivessem mais postura psicopedagógica, na mesma 
dimensão e elaboração da pedagógica, com certeza, a educação estaria em outro 
patamar de discussão. Porque estaríamos falando de uma educação plural e 
perceptiva, ou seja, abrangente,envolvente e significativa – não apenas no seu 
discurso, mas em sua aplicação por todas as pessoas. 
Assim, ensinar matemática sem fragmentações e desarticulações não seria 
desafio, mas um hábito tão comum quanto para o aluno aprender matemática seria 
um contínuo de suas experiências. Macedo et. al (2000, p.33) já afirmaram que: 
Nossa hipótese é, portanto, a de que supostas aptidões 
diferenciadas dos “bons alunos” em Matemática ou Física, etc., em 
igual nível de inteligência, consistem principalmente na sua 
capacidade de adaptação ao tipo de ensino que lhes é fornecido; os 
“maus alunos” nessas matérias, que entretanto são bem-sucedidos 
em outras, estão na realidade, perfeitamente aptos a dominar 
assuntos que parecem não compreender, contanto que esses lhes 
cheguem através de outros caminhos: são as “lições” oferecidas que 
lhe escapam à compreensão, e não a matéria. 
 
Desse modo, pode-se apreender que ensinar conteúdos não implica em 
ensinar o que lhe é próprio para aprendizagem dos alunos. E, até onde se sabe, a 
 
 
 
 
54 
www.eunapos.com.br 
matemática sempre foi usada como matéria que agrega os bons alunos – os gênios 
– e, exclui os maus alunos – não gênios. Mas, como explicar que ambos podem 
chegar ao mesmo nível de formação e compreensão? 
O fracasso escolar, que tanto ouvimos e assistimos nas inúmeras pesquisas 
da área de educação, nada mais é que o separatismo entre o ensinar o conteúdo e o 
educar para a matéria, ou seja, nenhuma postura psicopedagógica, que não olha e 
não escuta o seu aluno. Não há, evidentemente, conhecimento novo que não seja, 
primeiramente, complexo, difícil e estranho. Ou alguém poderá me dizer que tudo o 
que nos é ensinado, aprendemos de imediato – isso não é verdade. Não 
aprendemos regras gramaticais de imediato – mesmo quando já tínhamos o domínio 
da linguagem; ouvimos o som do que falamos, mas temos que ir à escola para 
aprender a escrever as palavras de forma correta. Sabemos a nossa idade, o 
número de nossa casa, a quantidade de irmãos e de selos que colecionamos, o 
tamanho das roupas das bonecas, o tamanho dos carrinhos e quantas rodas 
precisam ter para estar inteiros e funcionar; mas, ainda assim nos surpreendemos 
ao conhecer a matemática. 
Sendo assim, o que nos falta como educadores é aprender a olhar para o que 
ensinamos, tendo a percepção necessária para compreender que a dificuldade do 
nosso aluno é o seu assombro, porque o desconhecido nos assombra. Isso não quer 
dizer que precisa ser difícil nem complexo o que se ensina e o que se aprende, mas 
criativo e natural. 
 
4.3.1 Matemática e as inteligências múltiplas 
Resumidamente, falaremos das inteligências múltiplas e de seu precursor, 
Howard Gardner, apenas para que possamos entender que as pessoas não 
possuem as mesmas habilidades e competências para a aprendizagem. Entendendo 
que cada pessoa desenvolve seus mecanismos de aprendizagem mediante suas 
afinidades e interesses, relacionados às suas capacidades cognitivas. 
Tendo em vista que inteligência, por muito tempo, foi sinônimo de genialidade 
mensurada por testes de QI, Gardner acreditava que deveriam ser abandonados os 
testes e suas correlações e partir para observar as fontes de informações mais 
naturalistas a respeito de como as pessoas desenvolvem capacidades importantes 
para seu modo de vida. Assim, Gardner procurou elaborar os blocos construtores 
 
 
 
 
55 
www.eunapos.com.br 
das inteligências utilizadas por diferentes pessoas que atuavam em diferentes 
situações e profissões, a fim de encontrar e estudar perfis cognitivos regulares ou 
circuitos irregulares em diferentes culturas e espécies. Desse modo, acabou 
reunindo uma grande quantidade de informações e, para organizá-las Gardner 
teorizou as sete inteligências: 
• Inteligência Linguística : característica dos poetas; 
• Inteligência Lógico-Matemática : capacidade lógica e matemática; 
• Inteligência Espacial : capacidade de formar um mundo espacial e de 
ser capaz de manobrar e operar utilizando esse modelo (marinheiros, 
engenheiros, cirurgiões, etc.); 
• Inteligência Musical : possuir o dom da música como Mozart; 
• Inteligência Corporal-Cinestésica : capacidade de resolver problemas 
ou elaborar produtos utilizando o corpo (dançarinos, atletas, artistas, 
etc.); 
• Inteligência Interpessoal : capacidade de compreender outras 
pessoas (vendedores, políticos, professores, etc.); 
• Inteligência Intrapessoal : capacidade correlativa, voltada para dentro. 
Capacidade de formar um modelo acurado e verídico de si mesmo e de 
utilizar esse modelo para operar efetivamente na vida. 
 
Através de suas pesquisas e estudos, Gardner começou a perceber e 
enfatizar que o propósito da escola deveria ser desenvolver essas inteligências e 
ajudar as pessoas a atingirem seus objetivos de ocupação pertinentes ao seu 
particular modo de inteligência ou o que hoje chamaremos de perfil. Então, esse 
pesquisador propõe uma escola centrada no indivíduo, voltada para um 
entendimento e desenvolvimento do perfil cognitivo de cada aluno. Dessa forma, a 
escola ideal baseia-se em algumas suposições: 
 
• nem todas as pessoas têm os mesmos interesses e habilidades, nem 
aprendem da mesma maneira; 
 
 
 
 
56 
www.eunapos.com.br 
• ninguém pode aprender tudo o que há para ser aprendido, porque há 
uma infinidade de conhecimentos que não são todos, universalmente, 
necessários a todos; 
• a tarefa, dos educadores e outros profissionais da educação, na 
avaliação seria tentar compreender as capacidades e interesses dos 
alunos; 
• a tarefa do agente de currículo para o aluno seria ajudar a combinar os 
perfis, objetivos e interesses dos alunos a determinados currículos e 
determinados estilos de aprendizagem; 
• a tarefa do educador e da escola, bem como da comunidade, seria 
encontrar situações determinadas pelas opções não disponíveis na 
escola, para as crianças que apresentam perfis cognitivos incomuns; 
• um novo conjunto de papéis para os educadores deveria ser construído 
para transformar as visões em realidade pautadas no conhecimento 
sobre as coisas, conforme cada um tem condições de aprender 
(abstrair). 
 
Gardner passa a se preocupar com as crianças que não brilham nos testes 
padronizados, e que, consequentemente, tendem a ser consideradas como não 
tendo nenhum tipo de talento. Para ele, os professores seriam liberados para fazer 
aquilo que deveriam fazer: ensinar o assunto de sua matéria, da forma como podem 
os alunos aprender – cada um a seu modo particular. Todavia, ele mesmo, Gardner 
(2000, p.17) afirma: 
Certamente, o que estou descrevendo é uma tarefa difícil; poderia 
inclusive ser chamado de utópico. E existe um grande risco nesse 
programa, do qual estou bem consciente. É o risco da destinação 
prematura – de dizer: ‘Bem Johnny está com quatro anos de idade, ele 
parece ser musical, então vamos mandá-lo para a Juilliard e 
suspender todas as outras coisas’. Entretanto, nada existe de inerente 
nesta abordagem descrita por mim que exija esta supradeterminação 
precoce – muito pelo contrário. 
 
Por essa afirmação podemos entender, então, que não há uma inteligência 
única em um aluno que desmereça todas as outras aprendizagens. E, não se pode 
afirmar com exatidão (e precocidade) a existência de uma que negue todas as 
 
 
 
 
57 
www.eunapos.com.br 
demais inteligências, lembrando que temos tempo certo de amadurecimento como 
aprendizes. Então, tudo em seu tempo e momento certo. Cabe ao educador estar 
atento ao que seu aluno desenvolve e como desenvolve. Todavia, estar atento não 
basta; é preciso estar bem planejado e atento aos objetivos da aprendizagem dos 
alunos. E, nesse sentido, faço uma observação (ou crítica?): muitos educadores 
estão sempre com seus planejamentos em dia, atentos aos conteúdos e suas 
evoluções, mas, poucos analisam se a cada dia seus alunos atingem os objetivos 
traçados para a aprendizagem.Para Armstrong (2001, p.66), pesquisador das ideias de Gardner, as 
inteligências múltiplas, não são apenas sete, mas oito, acrescentando a Naturalista, 
na qual acredita que há pessoas mais relacionadas ao meio ambiente natural, pelo 
qual aplicam seus conhecimentos por se identificarem com ele e sua dinâmica 
natural. Mas, este pesquisador salienta que para qualquer trabalho levando em 
conta as oito inteligências, o trabalho do professor requer planejamento, o qual pode 
ser representado da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Perguntas de planejamento das Inteligências Múltipl as 
Fonte: Armstrong, 2001 
 
Lógico -matemática : 
Como posso introduzir 
números, cálculos, lógica, 
classificações ou habilidades 
de pensamento crítico? Linguística: 
Como posso usar a 
palavra falada ou escrita? 
Naturalista: 
Como posso evocar 
sentimentos ou memórias 
pessoais, ou deixar os alunos 
escolherem? 
Intrapessoal: 
Como posso evocar 
memórias pessoais ou deixar 
os alunos escolherem? Interpessoal: 
Como posso fazer com que os alunos 
compartilhem coisas com os colegas, 
envolvam-se na aprendizagem 
cooperativa ou em simulações em grande 
grupo? 
Espacial: 
Como posso usar recursos 
visuais, visualização, cor, 
arte ou metáfora? 
Musical: 
Como posso introduzir a música ou 
os sons ambientais ou explicar 
pontos importantes numa estrutura 
rítmica ou melódica? 
Corporal -cinestésica: 
Como posso envolver todo o 
corpo ou usar experiências 
práticas? 
OBJETIVO 
 
 
 
 
58 
www.eunapos.com.br 
 
Tendo em vista que o professor não pode limitar ou restringir 
desenvolvimentos de conhecimentos, percebe-se, pela leitura e análise da figura 
anterior, que é de muita importância trazer para o contexto da sala de aula um 
planejamento que favoreça o desenvolvimento de todas as inteligências de seus 
alunos. Todavia, poderá perceber que cada aluno estará mais afinado com uma ou 
algumas, mas não com todas, o que demonstra que cada pessoa é atraída por seus 
interesses e conhecimentos de forma particular. A questão, então, é notar se os 
objetivos da aprendizagem foram atingidos. 
Mas, dentro do foco do nosso estudo, a inteligência lógico-matemática pode 
ter tarefas e/ou atividade interessantes para os alunos envolvendo, por exemplo: 
- atividades matemáticas no quadro para os alunos resolverem, sendo 
sempre um problema em forma de desafio; 
- questionamento socrático; 
- demonstrações científicas, de complexidade média; 
- exercícios de resolução de problemas lógicos; 
- exercícios matemáticos por percepção visual; 
- classificações, agrupamentos, seriações e categorizações; 
- criação de códigos ou criptografia; 
- enigmas e jogos lógicos; 
- quantificações e competição de cálculos mentais; 
- programação de linguagem matemática no computador; 
- pensamento científico e linhas do tempo; 
- apresentação de uma história que exija sequência lógica do assunto; 
- exercícios piagetianos; 
- teatro de matemática, com inserção de enigmas matemáticos; 
- heurística; 
- entre outros. 
 
Acredito que, para que essas atividades sejam prazerosas, é necessário que 
os professores elaborem bons planejamentos, tenham ótimos discursos, com uma 
dose de muita criatividade; assim a matemática pode ser aprendida sem medo, mas 
com prazer. 
 
 
 
 
 
59 
www.eunapos.com.br 
 
 
Exercício 4 
 
1. Gostar de matemática implica numa relação de afe to e tem ligação com 
prazer. O inverso disso: 
a) Com ansiedade e estranhamento. 
b) Com sabedoria e inteligência. 
c) Com o medo e a resistência. 
d) Com alegria e persistência. 
 
2. O fracasso escolar, que tanto ouvimos e assistim os nas inúmeras 
pesquisas da área de educação, nada mais é que: 
a) A desatenção dos alunos. 
b) O que a escola enfrenta na realidade. 
c) A falta de comprometimento dos professores. 
d) O separatismo entre o ensinar o conteúdo e o educar para a matéria. 
 
3. A tarefa dos educadores e outros profissionais da educação, na avaliação, 
deve ser: 
a) Refletir sobre a importância da matemática. 
b) Compreender as capacidades e interesses dos alunos. 
c) Reformular as formas de ensinar a matemática. 
d) Identificar os tipos de necessidade de cada aluno. 
 
 
 
4.3.2 A importância do jogo para as aprendizagens m atemáticas 
 
O lúdico tem sua origem na palavra latina "ludus", que quer dizer "jogo”, 
sendo que passou a ser reconhecido como traço essencial de psicofisiologia do 
comportamento humano, de modo que a definição deixou de ser o simples sinônimo 
de jogo. As implicações da necessidade lúdica extrapolaram as demarcações do 
brincar espontâneo, e passaram a ter uma conotação de experiência, pois as 
pessoas quando jogam expressam seu verdadeiro “eu”. Caso contrário, por 
exemplo, aquele programa de televisão, no qual as pessoas ficam confinadas por 
meses, para ganhar uma bolada em dinheiro (não tanto quanto a própria televisão 
ganha!), não faria tanto sucesso. Alguém já reparou que as pessoas, que ali estão 
confinadas, no início do jogo não se revelam? Mas, a cada dia na casa, elas vão 
 
 
 
 
60 
www.eunapos.com.br 
mostrando quem são, umas para outras. Portanto, o jogo implica na personalidade 
das pessoas. 
Outro exemplo: se quiser saber como a personalidade de uma criança está 
sendo desenvolvida, observe como brinca ou joga. Se ela for passiva, ativa, hostil, 
agitada, nervosa – será manifestado ao brincar ou jogar. Isso é fato. Assim, na idade 
infantil e na adolescência a finalidade do jogo é essencialmente pedagógica, porque 
se trata de aprender pelas experiências 
pessoais. E a criança se desenvolve 
através do jogo, de forma lúdica, e por 
esse segmento aprende as regras, as 
normas, as etapas, as sequências, que 
são elementos importantes dentro da 
aprendizagem matemática. Nessa 
perspectiva, Grando (2004, p.29) afirma 
que: 
Fonte: http://migre.me/5e3Ga 
 
O jogo propicia o desenvolvimento de estratégias de resolução de 
problemas na medida em que possibilita a investigação, ou seja, a 
exploração do conceito por meio da estrutura matemática subjacente 
ao jogo que pode ser vivenciada pelo aluno quando ele joga, 
elaborando estratégias e testando-as a fim de vencer o jogo. 
 
A ludicidade é tão importante para a saúde mental do ser humano que se 
torna um espaço que merece atenção dos pais e educadores, pois é o espaço para 
expressão mais genuína do ser, é o espaço e o direito de toda a criança para o 
exercício da relação afetiva com o mundo, com as pessoas e com os objetos. 
Dessa forma, o lúdico possibilita o estudo da relação da criança com o mundo 
externo, integrando estudos específicos sobre a importância do lúdico na formação 
da personalidade. Através da atividade lúdica e do jogo, a criança forma conceitos, 
seleciona ideias, estabelece relações lógicas, integra percepções, faz estimativas 
compatíveis com o crescimento físico e desenvolvimento e, o que é mais importante, 
se socializa. 
A convivência de forma lúdica e prazerosa com a aprendizagem 
proporcionará à criança estabelecer relações cognitivas com as experiências 
vivenciadas, bem como relacioná-las às demais produções culturais e simbólicas 
 
 
 
 
61 
www.eunapos.com.br 
conforme procedimentos metodológicos compatíveis a essa prática. Lembrando que 
essas relações são necessárias para o desenvolvimento do pensamento lógico, pois 
ela precisa se organizar, tanto em relação aos objetos quanto às situações em que 
estiver inserida, achando as soluções para as perspectivas mais complexas do seu 
cotidiano. Assim, a ludicidade é uma atividade que tem valor educacional intrínseco, 
por isso várias são as razões que levam os educadores a recorrer às atividades 
lúdicas no ensino da matemática e a utilizá-las como um recurso no processo de 
ensino-aprendizagem, pois: 
• correspondem a um impulso natural, e neste sentido, satisfazem uma 
necessidade interior, pois o ser humano apresentauma tendência 
lúdica; 
• apresentam dois elementos que o caracterizam: o prazer e o esforço 
espontâneo; prazeroso devido à sua capacidade de absorver o 
indivíduo de forma intensa, e é este aspecto de envolvimento 
emocional que o torna uma atividade com forte teor motivacional, 
capaz de gerar um estado de vibração e euforia. Em virtude desta 
atmosfera de prazer dentro da qual se desenrola, a ludicidade é 
portadora de um interesse intrínseco, canalizando as energias no 
sentido de um esforço total para consecução de seu objetivo. Portanto, 
as atividades lúdicas são excitantes, mas também requerem um 
esforço voluntário; 
• mobilizam esquemas mentais, sendo uma atividade física e mental, a 
ludicidade aciona e ativa as funções psicológicas superiores e 
neurológicas e as operações mentais, estimulando o pensamento, o 
raciocínio. 
 
Em geral, o elemento que separa um jogo pedagógico de outro de caráter 
apenas lúdico é este: desenvolve-se o jogo pedagógico com a intenção de provocar 
aprendizagem significativa, estimular a construção de novo conhecimento e 
principalmente despertar o desenvolvimento de uma habilidade operatória, ou seja, o 
desenvolvimento de uma aptidão ou capacidade cognitiva e apreciativa específica 
que possibilita a compreensão e a intervenção do indivíduo nos fenômenos sociais e 
culturais e que o ajude a construir conexões. 
 
 
 
 
62 
www.eunapos.com.br 
Também chamado de “faz-de-conta”, o jogo simbólico caracteriza-se por 
recriar a realidade usando sistemas simbólicos, ele estimula a imaginação e a 
fantasia da criança, favorecendo a interpretação e resignificação do mundo real. É 
considerado por diversos autores como fundamental para o desenvolvimento, 
favorecendo a interação com o outro e possibilitando a expressão das emoções e 
percepções vivenciadas na relação que a criança estabelece com o mundo real. 
Muitos autores acreditam que essa atividade estimula o desenvolvimento 
psicomotor, cognitivo, emocional, social e cultural das crianças. Entre outros, Piaget 
valoriza a contribuição do jogo simbólico para o desenvolvimento cognitivo e afetivo-
emocional. 
Lajonquière (2004) destaca a contribuição social proporcionada por essa 
atividade, afirmando que o jogo é "uma ação de uma atividade voluntária, realizada 
dentro de certos limites de tempo e de lugar, segundo uma regra livremente 
consentida, mas imperativa, provida de um fim em si (...)” (LAJONQUIÈRE, 2004, 
p.39). Enfim, o jogo é toda a ocupação sem qualquer outra finalidade que não seja a 
ocupação em si mesma, uma atividade fortuita e infinitamente flexível que nos brinda 
uma oportunidade para ampliar e reorientar tanto a mente como a forma de 
desenvolver o pensamento sobre as situações e o nosso entorno. 
 
4.3.3 Atividades que desafiam o pensar ou que trein am a memória 
 
O jogo surge na criança quando ela adquire a noção de representação e 
pretende ser uma cópia da realidade. Segundo as novas orientações curriculares, o 
faz de conta vai permitir à criança recriar experiências da vida cotidiana, situações 
imaginárias e utilizar os objetos livremente, atribuindo-lhes significados múltiplos. 
A adaptação das condições concretas existentes e o aproveitamento dos 
materiais disponíveis bem como as disponibilidades psicológicas da criança 
permitem conjunturalmente a materialização e evolução do jogo simbólico. A 
concretização deste tipo de jogo deriva necessariamente no jogo dramático. 
O jogo dramático, forma de expressão do real e do imaginário, ganha assim 
estatuto privilegiado na formação da criança no que diz respeito ao desenvolvimento 
de parâmetros psicomotores e sócio-afetivos não se sujeitando a comportamentos 
rígidos, facilitando o mundo da fantasia sem esperar em troca compensações nem 
 
 
 
 
63 
www.eunapos.com.br 
recear insucessos provocados por reforços positivos ou negativos e evitando 
aspectos competitivos ou de mero adestramento de outro tipo de jogos. 
Assim, o jogo simbólico será, por conseguinte, um jogo em que a criança faz 
de conta que é outrem, ou se imagina numa qualquer situação, ou atribui uma nova 
função a um objeto. 
É dos três aos seis anos que a criança 
torna esta estrutura de faz de conta cada vez 
mais complexa e cada vez mais durável, imagina 
o seu mundo preferido no qual pretende viver e 
simula o real modificando-o em função das suas 
necessidades. 
 Fonte: http://migre.me/5e4j5 
O jogo simbólico ocupa predominantemente a criança dos três aos seis anos. 
Com efeito, no período pré-operatório em que se encontra, a criança desenvolve a 
função simbólica que consiste na representação de um objeto ausente. Piaget 
considera que a criança em idade pré-escolar, ao realizar essa importante função, 
desenvolve adequadamente a assimilação (atividade da criança quando esta se 
apropria dos elementos da realidade de acordo com a percepção que deles tem), e a 
acomodação (influência que o meio exerce sobre a criança obrigando-a a modificar 
uma conduta a fim de se adaptar) o que a vai ajudar a adaptar-se no mundo. 
A evolução deste tipo de atividade está ligada ao desempenho do educador 
tornando-se mais ou menos complexa, mais ou menos intencional, consoante com 
os objetivos que tenha em vista, intervindo direta ou indiretamente e avaliando a 
todo o momento a dinâmica gerada, as ações e interações produzidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
www.eunapos.com.br 
 
 
REFERENCIAIS BIBLIOGRÁFICAS 
ARMSTRONG, Thomas. Inteligências múltiplas na sala de aula. 2 ed Porto 
Alegre/RS: Artmed Ed., 2001. 
ARRIBAS, Teresa LLeixá et. col. Educação infantil: desenvolvimento, currículo e 
organização escolar. 5 ed Porto Alegre/RS: Artmed Ed., 2004. 
BRASIL, Ministério da Educação e Cultura, Secretaria de Ensino Fundamental, 
Brasília, Parâmetros curriculares nacionais – Matemática. vol 3, 2 ed Rio de Janeiro: 
DP&A, 2000. 
CARRAHER, Terezinha; CARRAHER, David; SCHLIEMANN, Analúcia. Na vida dez, 
na escola zero. 12 ed São Paulo: Cortez, 2001. 
CHACÓN, Inés Maria Gómes. Matemática emocional: os afetos na aprendizagem 
matemática. Porto Alegre/RS: Artmed Ed., 2003. 
FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação matemática: representação e 
construção em geometria. Porto Alegre/RS: Artmed Ed., 1999. 
GARDNER, Howard. Inteligências múltiplas: a teoria na prática. Porto Alegre/RS: 
Artmed Ed., 2000. 
GRANDO, Regina Célia. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São 
Paulo: Ed. Paulus, 2004. 
KAMII, Constance. A criança e o número. 30. Ed. Campinas/SP: Papirus, 2003. 
_____. Desvendando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. 6. ed. 
Campinas/SP: Papirus, 2001. 
LAJONQUIÈRE, Leandro de. Para repensar as aprendizagens – de Piaget a Freud – 
a (psico)pedagogia entre o conhecimento e o saber. Petrópolis/RJ: Vozes, 2004. 
MIORIM, Maria Ângela. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: 
Atual Ed., 1998. 
PARRA, Cecília; SAIZ, Irmã (orgs.) Didática da matemática: reflexões 
psicopedagógicas. Porto Alegre/RS: Artmed Ed., 2001. 
PINTO, Neuza Bertoni. O erro como estratégia didática: estudo do erro no ensino da 
matemática elementar. Campinas/SP: Papirus Ed., 2000. 
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Ed. Interciência, 
1977. 
RANGEL, Ana Cristina S. Educação matemática e a construção do número pela 
criança: uma experiência em diferentes contextos sócio-econômicos. Porto 
Alegre/RS: Artmed Ed., 1992. 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Ler, escrever e resolver problemas: 
habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre/RS: Artmed Ed., 2001.