Aritmética: Números e Operações

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Há mais de uma década realizando sonhos e transformando vidas. 
 
Micael Justino 
ARITMÉRTICA 
É o ramo da matemática que lida com números e com as operações possíveis entre eles. É o ramo mais 
antigo e mais elementar da matemática, usado por quase todos, seja em tarefas do cotidiano, em cálculos 
científicos ou de negócios. 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
O sistema de numeração usado no nosso cotidiano é o sistema decimal posicional(ou de base 10). Tendo 
origem na Índia, por volta do século V, ele é chamado de decimal por serem dez os algarismos usados. 
Nesse sistema todo algarismo escrito à esquerda de outro vale dez vezes mais do que se ocupasse a 
posição à direita. 
Exemplo: o número 23.528, na base 10, é a representação de: 
 
Note que se o algarismo 3 (que representa 3.000 ) vale dez vezes mais que o 5 (que representa 500). 
Cada algarismo possui uma ordem que é contada da direita para a esquerda. Observe o número 6.754.328, 
cada terna de ordem forma uma classe: 
6 7 5 4 3 2 8 
… 
 
… … … … Dezenas Unidades 
 
 
 
 
 
 Classe das ……… Classe das unidades 
 
 
 
Obs: O algarismo zero “0”, é chamada não significativo enquanto os demais são algarismos significativos. 
 
Exemplo 1: Tiago trabalha em um grande depósito de materiais para construção. Ele recebeu quatro 
pedidos diferentes para compra de parafusos. Veja a quantidade de parafusos em cada pedido: 
PEDIDO 1 6 dezenas de milhar de parafusos 
PEDIDO 2 8 dezenas de parafusos 
PEDIDO 3 5 centenas de parafusos 
PEDIDO 4 9 parafusos 
 
Se considerarmos a quantidade total de parafusos dos quatro pedidos, deveremos chegar ao número: 
a) 6.589 b) 6.859 c) 60.589 d) 60.859 e) 65.089 
 
ARITMÉTICA DOS INTEIROS 
Múltiplos 
Um número a (Natural) é divisível por b (divisão exata), então dizemos que a é múltiplo de b. 
Exemplo 2: 42 é múltiplo de 6, por quê? 
 
Exemplo 3: Os múltiplos naturais de 4 são? 
 
Obs: O conjunto dos múltiplos é infinito; 
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O zero é múltiplo de todo número; 
Todo número é múltiplo de si mesmo. 
 
Divisores 
Um número a(Natural) é divisível por b(divisão exata), então dizemos que b é divisor de a. 
Exemplo 4: 4 é divisor de 28, por quê? 
 
Exemplo 5: Os divisores naturais de 42 são? 
 
Obs: O zero não é divisor de nenhum número; 
O zero possui infinitos divisores; 
O conjunto dos divisores de um número é finito; 
1 é divisor de todo número 
 
Números primos 
Um número natural é primo quando só é divisível por 1 e ele mesmo. 
P = { …} 
 
Números compostos 
Um número natural é composto quando possui outros divisores além do 1 e ele mesmo. 
 
Quantidade de divisores positivos 
1) Decomponha-o 
2) Tome os expoentes e some 1. 
3) Multiplique-os. 
 
Exemplo 6: Quantos divisores inteiros possui 72? 
 
Exemplo 7: O número de divisores naturais do produto 42 . 20 é: 
 
Exemplo 8: O número natural N = possui 700 divisores positivos ou naturais. Assim, temos que o valor 
de p é: 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
T.F.A. 
Um número natural diferente de 0 e de 1 ou é um número primo ou pode ser escrito como produto de 
números primos. 
Observe o 36, sabe-se que não é primo (pois tem mais de 2 divisores) mas pode ser escrito: 
 
 
m.m.c (Mínimo Múltiplo comum) 
Determine o mmc de entre 24, 36 e 60. 
 
m.d.c (Máximo Divisor comum) 
Determine o mdc entre 56 e 84. 
 
 
Exemplo 9: Determine o mdc entre 34 e 24. 
 
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Exemplo 10: (SSA-2015) Dois números inteiros diferentes são tais que 
● a soma deles vale 288; 
● o MDC entre eles vale 18; 
● um é múltiplo do outro. 
Nessas condições, quanto vale a diferença entre eles? 
a) 160 b) 216 c) 252 d) 270 e) 306 
EXTRAPOLE 
 
1) (ENEM) Os incas desenvolveram uma maneira 
de registrar quantidades e representar números 
utilizando um sistema de numeração decimal 
posicional: um conjunto de cordas com nós 
denominado quipus. O quipus era feito de uma 
corda matriz, ou principal (mais grossa que as 
demais), na qual eram penduradas outras cordas, 
mais finas, de diferentes tamanhos e cores 
(cordas pendentes). De acordo com a sua 
posição, os nós significavam unidades, dezenas, 
centenas e milhares. Na Figura 1, 
o quipus representa o número decimal 2 453. 
Para representar o “zero” em qualquer posição, 
não se coloca nenhum nó 
 
O número da representação do quipus da Figura 
2, em base decimal, é 
A) 364 
B) 463 
C) 3.064 
D) 3.640 
E) 4.603 
 
2) Chama-se persistência de um número inteiro e 
positivo o número de etapas necessárias para, 
através de operações sucessivas, obter-se um 
número de um único algarismo. Como é mostrado 
no exemplo seguinte, a persistencia do número 
1.642 é 3: 
 
Com base na definição e no exemplo dado, é 
correto afirmar que a persistência do número 
27.991 é: 
A) menor que 4 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) maior que 6 
 
3) Dois pilotos, em seus respectivos carros, 
percorrem uma pista circular no memo sentido e 
começando no mesmo ponto de partida. O 
primeiro piloto completa uma volta em 24 
minutos, e o outro em 30 minutos. Se os dois 
pilotos saíram no mesmo instante e mantém a 
mesma velocidade, em quanto tempo ele voltam 
a de encontrar no ponto de partida pela primeira 
vez ? 
A)1h B)1h2min C)1h30min D)1h40min E) 2h 
 
4) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a 
menor quantidade possível de gavetas para 
acomodar 120 frascos de um tipo de 
medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 
frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a 
mesma quantidade de frascos em todas as 
gavetas, e medicamentos de um único tipo em 
cada uma delas, quantas gavetas deverá usar? 
A) 33 B) 48 C) 75 D) 99 E) 165 
 
5) No alto de uma torre de uma emissora de 
televisão duas luzes “piscam” com frequências 
diferentes. A primeira, “pisca“ 12 vezes por 
minuto e a segunda, “pisca“ 15 vezes por minuto. 
Se num certo instante as luzes piscam 
simultaneamente, após quantos segundos elas 
voltarão a piscar simultaneamente? 
A) 12 B) 10 C) 20 D) 15 E) 30 
 
6) A quantidade de números naturais que são 
divisores do mínimo múltiplo comum entre os 
números a = 540, b = 720 e c = 1800 é igual a: 
A) 75 B) 18 C) 30 D) 24 E) 60 
 
7) Certo jogo utiliza um baralho comum, 
contendo 52 cartas, sendo que 40 dessas devem 
ficar no monte e o resto deve ser distribuído 
igualmente entre os jogadores sem que nenhuma 
carta fique de fora. Sabendo que cada jogador 
deve ter no mínimo 2 e no máximo 6 cartas na 
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mão, as partidas podem ser compostas por: 
a) 1, 2 e 3 jogadores 
b) 1, 2, 3, 4, 6 e 12 jogadores 
c) 2, 3, 4, e 6 jogadores 
d) 2, 3, 4, 6 e 12 jogadores 
e) 2, 3, 4, 5 e 6 jogadores 
 
8) (IFPE)A média aritmética entre o mdc de 50 e 
26 e o mdc de 26, 13 e 10, vale: 
a) 1,2 b) 1,3 c) 1,5 d) 2,6 e) 2,8 
 
9) Sabendo-se que 120 tem m divisores, 
podemos afirmar que m é: 
a) um múltiplo de 8 
b) um divisor de 4 
c) um número ímpar 
d) um divisor de 8 
e) um número primo 
 
10) (PM) Um sargento comanda dois pelotões, 
com 36 e outro com 48 soldados. Para certo 
treinamento, ele quer dividir cada pelotão em 
grupos com o mesmo número de soldados em 
cada pelotão; além disso, todos os grupos devem 
ter o mesmo número de soldados, e esse número 
deve ser o maior possível. Nessas condições, 
quantos grupos, ao todo, ele poderá formar? 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 
 
11) Em um terminal rodoviário, sabe-se que: 
• a cada 50 minutos parte um ônibus da 
linha Amarela; 
• a cada 30 minutos parte um ônibus da 
linha Verde; 
• a cada 40 minutos parte um ônibus da 
linha Branca. 
Considerando-seque às 8h houve uma partida 
simultânea de um ônibus de cada uma das três 
linhas, e considerando que o quadro de horários 
não sofrerá alterações, determinar a hora exata 
em que a próxima partida simultânea ocorrerá. 
a) 8h b) 10h c) 18h d) 20h e) 1,8h 
 
12) Um cubo tem aresta 2³ x 3². 
 
 
Para quantos naturais n este cubo pode ser 
dividido em (mais de um) cubos congruentes de 
aresta n? 
a) 7 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13 
 
13)(Enem) Durante a Segunda Guerra Mundial, 
para decifrarem as mensagens secretas, foi 
utilizada a técnica de decomposição em fatores 
primos. Um número N é dado pela expressão 
2x.5y.7z, na qual x, y e z são números inteiros 
não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e 
não é múltiplo de 7. 
O número de divisores de N diferentes de N, é 
a) x . y . z 
b) (x + 1) . (y + 1) 
c) x . y . z – 1 
d) (x + 1) . (y + 1) . z 
e) (x + 1) . (y + 1) . (z + 1 ) -1 
 
14) (Enem)O ciclo de atividade magnética do Sol 
tem um período de 11 anos. O início do primeiro 
ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se 
estendeu até o final de 1765. Desde então, todos 
os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido 
registrados. 
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013 
 
No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade 
magnética de número 
a) 32 b) 34 c) 33 d) 35 e) 31 
 
15)(Enem) Um arquiteto está reformando uma 
casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, 
decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas 
da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 
de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma 
largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro 
que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo 
comprimento, sem deixar sobras, e de modo que 
as novas peças ficassem com o maior tamanho 
possível, mas de comprimento menor que 2 m. 
Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro 
deverá produzir 
a)105 peças. 
b) 120 peças. 
c) 210 peças. 
d) 243 peças. 
e) 420 peças. 
 
16) Três funcionários fazem plantões nas seções 
em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a 
cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive 
aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 
18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima 
data em que houve coincidência no dia de seus 
plantões foi 
a) 18/11/02 
b) 17/09/02 
c) 18/08/02 
d) 17/07/02 
e) 18/06/02 
 
17) Um determinado restaurante de comida 
japonesa possui um calendário específico para o 
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recebimento de insumos dos seus fornecedores. 
Para não sobrecarregar o restaurante, sempre 
que todos os recebimentos coincidem em um 
mesmo dia, o gerente coloca mais de um 
funcionário para cuidar dessa tarefa. Sabe-se que 
as entregas de refrigerante são feitas a cada três 
dias, as de frutas são feitas a cada quatro dias, 
as de tempero são feitas a cada seis dias e as de 
peixe são feitas todos os dias. Considere que não 
há atrasos, que o restaurante recebe as entregas 
a qualquer dia da semana e que a última vez que 
as entregas coincidiram foi em um domingo. 
Qual o próximo dia da semana em que o gerente 
do restaurante deverá colocar mais de um 
funcionário para receber as entregas? 
A) Segunda-feira 
B) Terça-feira 
C) Sexta-feira 
D) Sábado 
E) Domingo 
 
18) Segundo recentes dados os Cometas 
Periódicos normalmente são divididos em 
cometas de Pequeno Período (esses com períodos 
de menos de 200 anos) e cometas de Longo 
Período (esses com períodos de mais de 200 
anos). Dos 155 cometas de Pequeno Período, 
foram observados 93 cometas com duas ou mais 
passagens pelo periélio. 
Fonte:https://www.enemvirtual.com.br/classificacao-dos-
cometas/ 
 
Três cometas veem sendo observados e 
identificou-se os seus respectivos períodos, em 
relação a Terra. O cometa Titã passa pela Terra 
de 4 em 4 anos, o cometa Andrômeda passa de 6 
em 6 anos e o cometa Stark passa de 7 em 7 
anos. Nesse caso em quanto tempo poderemos 
observa-los passando no mesmo ano? 
a) em 84 anos 
b) em 72 anos 
c) em 64 anos 
d) em 92 anos 
e) em 94 anos 
 
19)(Enem) Os maias desenvolveram um sistema 
de numeração vigesimal que podia representar 
qualquer número inteiro, não negativo, com 
apenas três símbolos. Uma concha representava 
o zero, um ponto representava o número 1 e uma 
barrinha horizontal, o número 5. Até o número 
19, os maias representavam os números como 
mostra a Figura 1: 
 
Números superiores a 19 são escritos na vertical, 
seguindo potências de 20 em notação posicional, 
como mostra a Figura 2. Ou seja, o número que 
se encontra na primeira posição é multiplicado 
por 200 = 1, o número que se encontra na 
segunda posição é multiplicado por 201 = 20 e 
assim por diante. Os resultados obtidos em cada 
posição são somados para obter o número no 
sistema decimal. Um arqueólogo achou o 
hieroglifo da Figura 3 em um sítio arqueológico: 
 
O número, no sistema decimal, que o hieroglifo 
da Figura 3 representa é igual a 
A) 279 B) 539 C) 2 619 D) 5 219 E) 7 613 
 
20) Certo botânico desenvolveu em laboratório 3 
variedades de uma mesma planta, V1, V2 e V3, 
que se desenvolvem cada uma a seu tempo, de 
acordo com a tabela a seguir. Plantando-se as 3 
variedades no mesmo dia, confiando-se na 
exatidão da tabela, não ocorrendo nenhum fato 
que modifique os critérios da experiência 
tabulada e levando-se em conta que, a cada dia 
de colheita, outra semente da mesma variedade 
será plantada, o número mínimo de semanas 
necessário para que a colheita das três 
variedades ocorra simultaneamente será 
 
https://www.enemvirtual.com.br/classificacao-dos-cometas/
https://www.enemvirtual.com.br/classificacao-dos-cometas/
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A) 24 B) 18 C) 16 D) 12 E) 8 
 
21)(Enem) Um marceneiro recebeu a encomenda 
de uma passarela de 14,935 m sobre um pequeno 
lago, conforme a Figura I. A obra será executada 
com tábuas de 10 cm de largura, que já estão 
com o comprimento necessário para a instalação, 
deixando-se um espaçamento de 15 mm entre 
tábuas consecutivas, de acordo com a planta do 
projeto na Figura II 
 
Desconsiderando-se eventuais perdas com cortes 
durante a execução do projeto, quantas tábuas, 
no mínimo, o marceneiro necessitará para a 
execução da encomenda? 
a) 60 
b) 100 
c) 130 
d) 150 
e) 598 
 
GABARITO 
1c; 2a; 3e; 4a; 5a;6e ; 8b; 9a; 10a; 11c; 12c; 13e; 
14a; 15e; 16d; 17a; 18a; 19d; 21c