CBMERJ - Álgebra - Módulo 01

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ÁLGEBRA MÓDULO 01 
 
1 
Todas os exercícios da apostila que tiverem essa câmera , estão 
gravados em vídeo para você. Nossos professores resolveram as 
questões, comentando cada detalhe para te ajudar na hora de estudar. 
Muitas questões trazem dicas preciosas. Não deixe de assistir aos 
vídeos dentro da plataforma on-line do Perspectiva e bons estudos! 
 
Sistema de Numeração Decimal 
 
Nossa forma de escrever números utiliza 10 símbolos para representar 
qualquer número, são eles: 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
Esses símbolos são o que chamamos de ALGARISMOS. Diferenciamos 
um número do outro colocando esses símbolos em posições diferentes, 
por isso nosso sistema é chamado de POSICIONAL. 
Exemplo: 
23 é diferente de 32, pois a posição dos algarismos 2 e 3 são 
diferentes. 
Agora, como determinar em que posição ficará um algarismo? 
Como utilizamos os algarismos de 0 a 9 em cada posição, devemos 
representar até uma quantidade de 9 elementos em cada posição, 
quando alcançamos a quantidade de 10 devemos agrupá-los na posição 
da frente. Assim, por exemplo, o número 23 representa que temos 3 
UNIDADES simples e formamos 2 grupos com 10 unidades (que vamos 
chamar de DEZENA), enquanto o 32 representa 2 UNIDADES simples e 
agrupamos 3 DEZENAS. Agora, se juntarmos 10 dezenas vamos formar 
uma CENTENA, afinal 10 grupos de 10 gera um grupo com 100 
unidades. Vamos ver dois exemplos contando bolinhas usando nosso 
sistema de numeração: 
 
 
 
Aqui temos 2 dezenas e sobram 4 unidades. 
 
 
Já aqui formamos 1 centena, e sobram 1 dezena e 5 unidades. 
- OPERAÇÕES 
 
1) Adição 
 
 
Ao somarmos 4 + 8 obtivemos 12, que é 1 dezena e 2 unidades, porém 
quando formamos uma dezena devemos somá-la com outras dezenas, 
sobrando apenas o 2 nas unidades, é isso que chamamos de “vai um”. 
 
2) Multiplicação 
Imagine agora que devemos fazer 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 +
13, vamos realmente escrever a adição de 13 sete vezes? Não, é muito 
mais fácil fazer: 
 
 
Quando fazemos 7 vezes o 3 obtemos 21 (duas dezenas e uma 
unidade). Então somamos as duas dezenas com as 7 dezenas que 
obtemos com 7 vezes 1. 
 
Propriedades: 
 
Comutatividade: 
a+𝒃 = 𝒃 + 𝒂 e a. 𝒃 = 𝒃. 𝒂 
Exemplo: 
3 + 4 = 4 + 3 = 7 
Associatividade: 
(𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄) e (𝒂. 𝒃). 𝒄 = 𝒂. (𝒃. 𝒄) 
Exemplo: 
(3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12 
3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12 
Distributividade: 
 a. (𝒃 + 𝒄) = 𝒂. 𝒃 + 𝒂. 𝒄 
Exemplo: 
3. (4 + 5) = 3.4 + 3.5 = 12 + 15 = 27 
 
Elementos Neutros: 
 𝒂 + 𝟎 = 𝒂 e b. 𝟏 = 𝒃 
Exemplo: 
3 + 0 = 3 𝑒 3.1 = 3 
 
Lei do Cancelamento: 
Se a. 𝒃 = 𝟎, então a= 𝟎 𝒐𝒖 𝒃 = 𝟎 
Exemplo: 
𝑥. (𝑦 + 1) = 0 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑦 = −1 
 
Inversos: 
 
(Aditivo) Se a ∈ ℝ , sempre vai existir um número b onde 𝒂 + 𝒃 = 𝟎 
(Multiplicativo) Se 𝒂 ∈ ℝ∗, sempre vai existir um número b onde 
𝒂. 𝒃 = 𝟏. 
Exemplo: 
4 + (−4) = 0 𝑒 4.
1
4
= 1 
 
3) Subtração 
Agora vamos fazer 87 – 29. 
 
 
Como é impossível retirar 9 de 7 vamos “abrir” uma das 8 dezenas em 
10 unidades. Agora temos 7 dezenas e 17 unidades, 17 – 9 = 8 e 7 – 2 = 
5, logo 58 é o resultado. Esse artifício de abrir uma dezena em unidades 
é o que chamamos de “pegar emprestado”. 
ÁLGEBRA MÓDULO 01 
 
 
2 
4) Divisão 
Quantas vezes conseguimos tirar 2 unidades de dentro do 123? 
 
12 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 = 1 
Então o 2 cabe 6 vezes dentro do 12, porém ainda sobra uma unidade. 
Podemos escrever isso de uma forma mais fácil: 
 
 
Podemos escrever que 13 = 2.6 + 1 
Dessa forma se tivéssemos: 
 
 
Onde D é o divisor, d é o dividendo, q é o quociente e r sendo o resto, 
teríamos: 
𝐷 = 𝑑. 𝑞 + 𝑟 
 
Múltiplos e Divisores 
 
 
 
Como o resto da divisão de 18 por 9 é 0, então dizemos que 9 divide 18, 
ou 9 é divisor de 18, ou ainda 18 é múltiplo de 9. Que podemos 
representar por: 
 
 
Que significa 9 divide 18. 
 
Agora, na divisão 
 
 
 
Vemos que o resto da divisão de 34 por 7 é 6, e não 0. 
 
Sendo assim, 7 não divide 34, ou apenas: 
 
 
. Propriedades 
 
• Se 𝑎 ∣ 𝑏 e 𝑏 ∣ 𝑎, então 𝑎 = ± 𝑏. 
Exemplo: 𝑆𝑒 3 | 𝑥 𝑒 𝑥 | 3, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = ±3 
• Se 𝑐 ∣ 𝑏, então 𝑐 ∣ 𝑎𝑏. 
Exemplo: 3 | 6, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 3 | 12 
• Se b ∣ 𝑎, então 𝑏𝑐 ∣ 𝑎𝑐. 
Exemplo: 3 | 6 , 6 |12 , 9 | 18 
• Se 𝑐 ∣ 𝑏 e 𝑏 ∣ 𝑎, então 𝑐 ∣ 𝑎. 
Exemplo: 3 | 6 𝑒 6 | 24, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 3 | 24 
• Se 𝑐 ∣ 𝑎 e 𝑐 ∣ 𝑏, então 𝑐 ∣ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦). 
Exemplo: 3 | 6 𝑒 3 | 9, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 3 | (6.2 + 9.5) 
 
 
Agora vamos ver quais são os divisores de 12: 
𝐷𝐼𝑉(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
 
E os de 15: 
𝐷𝐼𝑉(15) = {1,3,5,15} 
 
 
E por último, os de 19: 
𝐷𝐼𝑉(19) = {1, 19} 
 
Repare que, no caso do 19, apenas o 1 e ele mesmo são divisores. 
Quando um número possui apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo, o 
chamamos de número primo. 
 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 = {2,3,5,7,11,13,17,19,23, … } 
 
Teorema fundamental da aritmética 
 
Todo número pode ser escrito como o produto de números primos: 
 
6 = 2 × 3 
12 = 22 × 3 
30 = 2 × 3 × 5 
 
Fatoração de um Número 
 
Consiste em fazer uma divisão sucessiva de um número por seus 
divisores primos. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Logo 60 = 22 × 3 × 5 
 
Quantidade de divisores positivos de um número: 
 
Basta seguir os seguintes passos: 
• Somamos 1 a cada expoente da fatoração. 
• Multiplicamos os valores obtidos. 
Vejamos alguns Exemplos: 
 
 
 
Maior Divisor Comum (M.D.C.) 
 
Vamos olhar simultaneamente para os divisores de 30 e 40: 
 
 
 
Repare que 1, 2, 5 e 10 são divisores comuns de 30 e 40. Como o 10 é o 
maior divisor, então ele será o MDC entre eles. 
 
ÁLGEBRA MÓDULO 01 
 
3 
Podemos calcular o MDC de duas Formas: 
 
1- Fatoração 
 
Nesse caso, apenas o 1º número 2 e o 5 conseguiram dividir ambos os 
números ao mesmo tempo, então o MDC será: 
𝑀𝐷𝐶(30,40) = 2 × 5 = 10 
 
2- Método das divisões sucessivas 
 
 
 
Como 10 foi o último divisor antes do resto 0, então ele será o MDC. 
 
Menor Múltiplo Comum (M.M.C.) 
 
Agora vamos olhar os múltiplos de 30 e 40: 
 
 
Repare que 120, 240, 360, … são múltiplos comuns de 30 e 40. Como 
120 é o menor deles então 𝑀𝑀𝐶(30,40) = 120. 
Além disso repare que eles possuirão múltiplos comuns a cada 120 
números, que é, justamente o MMC. 
Vamos ver como calculamos o MMC: 
 
 
 
Agora basta multiplicar todos os valores: 
 
2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120 
 
Exercícios: 
 
1. Artur percebeu que os acessórios que seus filhos, Breno e 
Bianca, utilizavam em seus computadores estavam ultrapassados. 
Resolveu presentear cada um deles com um mouse, um fone de ouvido 
e um teclado. Durante a pesquisa de preços, selecionou as seguintes 
opções: 
 
Mouses Preços 
A 
 
B 
 
C 
 
Fones de 
ouvido 
Preços 
A 
 
B 
 
C 
 
 
 
Teclados Preços 
A 
135,80 
 
 
B 
 
 
 
 
Enquanto Bianca quer o fone de ouvido mais caro, Breno quer o mouse 
mais caro. Artur atenderá a esses pedidos de seus filhos, mas gastará o 
mínimo possível na compra dos outros acessórios. 
A diferença entre o gasto com os três acessórios para Bianca e o gasto 
com os três acessórios para Breno será igual a 
a) R$ 20,10. 
b) R$ 20,90. 
c) R$ 21,10. 
d) R$ 21,90. 
 
2. O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de 
divisores que 1800 está no intervalo: 
a) [1,16000] 
b) [16001,17000] 
c) [17001,18000] 
d) [18001,19000] 
e) 1900[ 1, ) 
 
3. Um estudante recebeu um kit para montagem de minirrobôs. 
Para a parte eletrônica, havia peças de três tipos diferentes, com as 
seguintes quantidades: 
 
 
 
O estudante distribuiu as peças em saquinhos, colocando um único tipo 
de peça em cada um deles, de modo que todos os saquinhos ficassem 
com a mesma quantidade de peças. 
Foram necessários para distribuir todas as peças, no mínimo, 
a) 17 saquinhos. 
b) 13 saquinhos. 
c) 9 saquinhos. 
d) 5 saquinhos. 
 
4. Considere as afirmações sobre números inteiros. 
I. Todo número primo é ímpar. 
II. Se a é um número múltiplo de 3, então 2a é múltiplo de 6. 
III. Se a é um número par, então 2a é um númeropar. 
 
Quais estão corretas? 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
 
 
ÁLGEBRA MÓDULO 01 
 
 
4 
5. Ana listou em ordem crescente os primeiros 30 números naturais 
N que satisfazem às três condições a seguir. 
1) N deixa resto 7 na divisão por 24 
2) N deixa resto 7 na divisão por 32 
3) N é maior que 20 
 
O primeiro número listado por Ana tem soma de algarismos igual a 
a) 4 
b) 9 
c) 11 
d) 12 
e) 15 
 
6. O transporte intermunicipal por ônibus é bastante comum na 
região de Limeira e há algumas empresas que disponibilizam o serviço 
para as mesmas rotas, mas em horários distintos. A empresa A possui 
ônibus de Limeira para Campinas a cada uma hora e vinte minutos 
(1h 20 min); já a empresa B faz esse mesmo itinerário de duas em 
duas horas (2 h). Sabendo-se que partem ônibus das duas empresas 
às 6 h da manhã, quantas vezes, ao longo do dia, partirão, ao mesmo 
tempo, ônibus das empresas A e B juntos, considerando-se que as 
viagens se encerram às 23 horas? 
a) 5 vezes 
b) 4 vezes 
c) 7 vezes 
d) 6 vezes 
 
7. Maria adora séries de televisão e pretende assistir, durante um 
ano, a todos os episódios (de todas as temporadas e sem pular nenhum 
episódio) das suas três séries preferidas. Para isso, ela assistirá a três 
episódios por dia, sendo um de cada série. Sabe-se que cada 
temporada da série A tem 20 episódios, da série B tem 24 episódios e 
da série C tem 18 episódios. Nenhuma das três séries tem mais que 
365 episódios ao todo. Ela decidiu que começará, hoje, a assistir ao 1º 
episódio da 1ª temporada de cada uma dessas três séries. Maria 
também sabe que haverá um certo dia X em que conseguirá, 
coincidentemente, assistir ao último episódio de alguma temporada das 
três séries. 
 
Ao final do dia X, Maria já terá assistido, ao todo, 
a) 12 temporadas completas das três séries. 
b) 15 temporadas completas da série A. 
c) 18 temporadas completas da série B. 
d) 20 temporadas completas da série C. 
 
8. Se o resto da divisão do número inteiro positivo b por 7 é igual a 
5, então, o resto da divisão do número 2b b 1+ + por 7 é igual a 
a) 2 
b) 4 
c) 3 
d) 5 
 
9. 
 
Maria e Paula são amigas de infância e, sempre que podem, saem para 
pedalar juntas em torno do Estádio do Maracanã. Um dia, empolgadas 
com a ideia de saberem mais sobre o desempenho da dupla, resolveram 
cronometrar o tempo que cada uma levava para dar uma volta completa 
em torno do estádio. Constataram que Maria dava uma volta completa 
em 6 minutos e 40 segundos, enquanto Paula demorava 8 minutos para 
fazer o mesmo percurso, ambas com velocidades constantes. 
Paula, então, questionou o seguinte: “Se sairmos juntas de um mesmo 
local, no mesmo momento, mas em sentidos contrários, em quanto 
tempo voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, no mesmo ponto 
de partida?” A resposta correta para a pergunta de Paula está presente 
na alternativa 
a) 48 minutos 
b) 40 minutos 
c) 32 minutos 
d) 26 minutos e 40 segundos 
e) 33 minutos e 20 segundos 
 
10. Os algarismos das unidades do produto do número 
n 1 3 5 2019=    formados só por fatores ímpares são 
a) 7 
b) 3 
c) 1 
d) 5 
e) 9 
 
11. Uma campanha de supermercado permite a troca de oito 
garrafas vazias, de qualquer volume, por uma garrafa de 1 litro cheia de 
guaraná. Considere uma pessoa que, tendo 96 garrafas vazias, fez 
todas as trocas possíveis. Após esvaziar todas as garrafas que ganhou, 
ela também as troca no mesmo supermercado. 
Se não são acrescentadas novas garrafas vazias, o total máximo de 
litros de guaraná recebidos por essa pessoa em todo o processo de 
troca equivale a: 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
 
12. O ano bissexto possui 366 dias e sempre é múltiplo de 4. O ano 
de 2012 foi o último bissexto. Porém, há casos especiais de anos que, 
apesar de múltiplos de 4 não são bissextos: são aqueles que também 
são múltiplos de 100 e não são múltiplos de 400. O ano de 1900 foi o 
último caso especial. 
A soma dos algarismos do próximo ano que será um caso especial é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
13. Na tabela abaixo, estão indicadas três possibilidades de 
arrumar n cadernos em pacotes: 
 
Nº de pacotes 
Nº de cadernos por 
pacotes 
Nº de cadernos que 
sobram 
X 12 11 
Y 20 19 
Z 18 17 
 
Se n é menor do que 1200, a soma dos algarismos do maior valor de n 
é: 
a) 12 
b) 17 
c) 21 
d) 26 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA MÓDULO 01 
 
5 
14. Para saber o dia da semana em que uma pessoa nasceu, 
podem-se utilizar os procedimentos a seguir. 
 
1. Identifique, na data de nascimento, o dia D e o mês M, cada um com 
dois algarismos, e o ano A, com quatro algarismos. 
2. Determine o número N de dias decorridos de 1º de janeiro até D/M. 
3. Calcule Y, que representa o maior valor inteiro que não supera 
A 1
.
4
−
 
4. Calcule a soma S = A + N + Y. 
5. Obtenha X, que corresponde ao resto da divisão de S por 7. 
6. Conhecendo X, consulte a tabela: 
 
X 
Dia da semana 
correspondente 
0 sexta-feira 
1 sábado 
2 domingo 
3 segunda-feira 
4 terça-feira 
5 quarta-feira 
6 quinta-feira 
 
O dia da semana referente a um nascimento ocorrido em 16/05/1963 é: 
a) domingo 
b) segunda-feira 
c) quarta-feira 
d) quinta-feira 
 
15. Campanha do governo de Dubai contra a obesidade oferece 
prêmio em ouro por quilogramas perdidos 
 
A campanha funciona premiando os participantes de acordo com a 
seguinte tabela: 
 
Massa perdida 
(kg) 
Ouro recebido 
(g/kg perdido) 
até 5 1 
6 a 10 2 
mais de 10 3 
 
Assim, se uma pessoa perder 4 kg, receberá 4 g de ouro; se perder 7 kg, 
receberá 14 g; se perder 15 kg, receberá 45 g. 
Adaptado de g1.globo.com, 18/08/2013. 
 
Considere um participante da campanha que receba 16 g de ouro pelo 
número inteiro de quilogramas perdidos. 
Sabendo que a massa dessa pessoa, ao receber o prêmio, é de 93,0 kg, 
determine o valor inteiro de sua massa, em quilogramas, no início da 
campanha. 
 
16. Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, 
é submetido aos procedimentos matemáticos descritos abaixo, quantas 
vezes forem necessárias, até que se obtenha como resultado final o 
número 1. 
 
Se X é múltiplo de 3, deve-se dividi-lo por 3. 
Se X não é divisível por 3, deve-se calcular X - 1. 
 
A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro 
vezes. Veja a sequência dos resultados obtidos: 
 
10 9 3 1 
 
Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são 
utilizados é igual a: 
a) 7 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
 
17. Um professor propõe a um aluno uma tarefa de matemática 
composta das etapas descritas a seguir. 
 
1ª) Escrever o número de quatro algarismos da data de seu aniversário, 
dois referentes ao dia e dois referentes ao mês. 
2ª) Misturar os quatro algarismos desse número formando um número 
N, de modo que a ordem das unidades de milhar não seja ocupada por 
zero. 
3ª) Subtrair 1001 do número N, tantas vezes quantas forem 
necessárias, até obter o primeiro valor menor do que 1001. 
4ª) Informar ao professor o valor obtido na 3ª etapa. 
5ª) Calcular o resto R da divisão do número N, obtido na 2ª etapa, por 
11. 
 
O professor consegue determinar o valor de R sem conhecer o valor de 
N. 
Sabendo que o valor obtido na 3ª etapa foi 204, determine R. 
 
18. Uma família deseja organizar todas as fotos de uma viagem em 
um álbum com determinado número de páginas, sem sobra de fotos ou 
de páginas. Para isso, foram testados dois critérios de organização. O 
primeiro critério, que consistia na colocação de uma única foto em cada 
página, foi descartado, uma vez que sobraram 50 fotos. Com a adoção 
do segundo critério, a de uma única foto em algumas páginas e de três 
fotos nas demais, não sobraram fotos nem páginas, e o objetivo da 
família foi alcançado. O número total de páginas em que foram 
colocadas três fotos é igual a: 
a) 15 
b) 25 
c) 50 
d) 75 
 
19. A soma de dois números naturais diferentes é 68. Ambos são 
múltiplosde 17. 
 
A diferença entre o maior número e o menor é: 
a) 35 
b) 34 
c) 33 
d) 32 
 
20. Tem-se que o número 123456 aaaaaa é divisível por 11 se o 
valor da expressão 654321 aaaaaa −+−+− também é 
divisível por 11. 
 
 
 
 
 
 
Considere a senha de seis dígitos 3894xy, sendo x e y pertencente ao 
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
Se essa senha forma um número divisível por 99, o algarismo y é igual 
a: 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
Por exemplo, 178409 é divisível por 11 
porque: 
(9 – 0 + 4 – 8 + 7 – 1 = 11) é divisível por 
11. 
 
ÁLGEBRA MÓDULO 01 
 
 
6 
21. Uma gerente de loja e seu assistente viajam com frequência 
para São Paulo e voltam no mesmo dia. A gerente viaja a cada 24 dias e 
o assistente, a cada 16 dias, regularmente. Em um final de semana, eles 
viajaram juntos. Depois de x viagens da gerente e y viagens do 
assistente, sozinhos, eles viajaram juntos novamente. 
 
O menor valor de x + y é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
22. Um homem com apenas R$ 20,00 comprou coco e abacaxi em 
uma feira. A unidade do coco custou R$ 2,00 e a do abacaxi, R$ 4,00. 
Com o dinheiro que possuía, a maior quantidade dessas frutas que ele 
pode ter comprado é: 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
 
23. Seis times de futebol disputaram um torneio no qual cada time 
jogou apenas uma vez contra cada adversário. A regra de pontuação 
consistia em marcar 0 ponto para o time perdedor, 3 pontos para o 
vencedor e, no caso de empate, 1 ponto para cada time. A tabela 
mostra a pontuação final do torneio. 
 
 
 
 
O número de empates nesse torneio foi igual a: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
24. Na igualdade (EU)2 = MEU, as letras E, M e U representam 
algarismos não nulos. Nessa expressão, EU é um número de dois 
algarismos, e MEU é um número de três algarismos. Qual é o valor de M 
+ E + U? 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
Gabarito 
 
1. B 
2. C 
3. B 
4. D 
5. A 
6. A 
7. D 
8. C 
9. B 
10. D 
11. B 
12. A 
13. B 
14. D 
15. 101 kg 
16. A 
17. 6 
18. B 
19. B 
20. D 
21. C 
22. A 
23. B 
24. D