UA 12 Matemática ATUALIZADA

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MATEMÁTICA 
Unidade de Aprendizagem 12 
 
 
 
Lógica Proposicional (Parte 2) 
 
 
 
 
 
 
 
Avançar nos estudos de Lógica incrementando conhecimentos 
da lógica proposicional, por meio do estudo de várias 
equivalências lógicas e também do estudo de mais dois 
conectivos lógicos: condicional e bicondicional. 
Desenvolver competências relativas à lógica de várias 
proposições e de suas negações. Especificamente, nesta 
unidade, aprender a identificar afirmações equivalentes, além de 
lidar corretamente com situações em que a condicionalidade 
está presente. 
Assim como na UA 11, aplicar corretamente, em seu cotidiano 
comum e de gestor de empresas, as ferramentas da lógica. 
Realizar isso também nas equivalências lógicas, nas leis de 
Morgan e com os conectivos condicionais. 
 
 
2 
 
 
Lógica Proposicional (Parte 2) 
 
 
Apresentação 
 
 
Na UA 11 você aprendeu o que é uma proposição, e entendeu que, 
segundo as diretrizes da Lógica Clássica, ela pode ter apenas uma de duas 
classificações: verdadeira ou falsa. Você também trabalhou com conjunções da 
linguagem que são, dentro da Lógica Matemática, conectivos que ligam 
proposições, gerando as proposições compostas. E você aprendeu também a 
trabalhar com as tabelas verdade, que são bons instrumentos para se analisar 
todos os casos de uma afirmação, em termos de veracidade ou não daquilo que 
se está afirmando. 
Nesta UA 12 avançaremos nesse estudo, em especial, em três momentos 
mais amplos: o primeiro lidará com proposições compostas (envolvendo 
conectivos e, ou e ou...ou...) e suas respectivas negações. Por exemplo, se 
Agripino (gerente de uma metalúrgica de médio porte) afirma que “a empresa 
diminuiu os custos e aumentou as receitas”, mas Lucrécio (outro gerente da 
mesma empresa) fala que isso não é verdade, temos que pensar no seguinte: se 
Lucrécio estiver certo, então o que terá sido falso na afirmação de Agripino? A 
parte dos custos? A parte das receitas? As duas coisas? Você verá que as tabelas 
verdade nos ajudarão a resolver esse dilema, que corresponde a um trabalho 
com as equivalências lógicas. 
 
 
3 
O segundo momento envolve conceitos associados a mais dois conectivos 
lógicos, completando o nosso estudo com eles, que já incluem o não, o ou, o e 
e o ou...ou.... Estudaremos o se... então... e também o se, e somente se. O 
conectivo se...então..., por exemplo, é bastante usado em nosso dia a dia, de 
forma intuitiva, mas sua importância nos levará a um estudo mais detalhado de 
seu uso. 
O terceiro e último momento desta UA tratará de expandir as ideias 
discutidas até então para proposições compostas que possam ter mais de duas 
proposições simples; veremos como construir suas tabelas-verdade. 
Bem, estas são linhas gerais desta unidade. Então... vamos começar! 
 
 
Para Começar 
 
 
Esta Unidade é uma continuação da Unidade 11, e por isso vamos 
recordar os conceitos principais nela estudados. É claro que, se você ainda 
possui várias dúvidas, não é demais uma releitura da UA 11, bem como ver os 
vídeos do “Navegando por aí” e “Palavras do Professor”. Mas vamos fazer um 
“resumão” para entrarmos aquecidos nesta UA 12: 
 Proposição simples é uma sentença declarativa, que pode ter apenas 
uma de duas classificações: verdadeira ou falsa. 
 A negação de uma proposição falsa é verdadeira; a negação de uma 
proposição verdadeira, é falsa. 
 Proposições compostas são conjuntos de proposições simples, ligadas por 
conectivos lógicos. Os conectivos são: “não”, “ou”, “e”, “ou...ou...” 
 
 
4 
(estes estudados na UA 11) e estudaremos, nesta UA 12, o “se... 
então...” e o “se, e somente se”. 
 Símbolos dos conectivos e associações com teoria dos conjuntos: 
 
Quadro 1: Conectivos, símbolos da Lógica e dos Conjuntos 
Conectivo Simbologia da 
Lógica 
Simbologia dos Conjuntos 
NÃO ~A A ̅ A’ ̅ 
E A B A B 
OU (inclusivo) A B A B 
OU (exclusivo), também 
usado como OU... OU... 
A B A B 
ou (A – B) (B – A) 
ou ainda (A B) – ( A B) 
 
 Tabelas verdade já estudadas: 
 
Quadros 2 e 3: tabelas-verdade do não, do e, do ou inclusivo 
e do ou exclusivo. 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, trabalharemos com a negação aplicada às proposições compostas 
que estudamos por meio do que chamaremos de equivalências lógicas. Mais 
adiante estenderemos todo esse estudo para proposições compostas com três ou 
mais proposições simples; antes disso, veremos também dois novos conectivos. 
 Muito bem, vamos então a mais Fundamentos! 
 
A B A B A B A B 
V V V V F 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F F 
A ~A 
V F 
F V 
 
 
5 
Fundamentos 
 
No nosso estudo, algumas palavras são importantes para indicar tabelas-
verdade famosas na Lógica. Aprecie esses casos (de 1.1 a 1.3) e verifique suas 
tabelas-verdade. 
 
1. Classificações famosas de proposições compostas 
 
1.1 Tautologia 
 
No dicionário da língua portuguesa de Francisco Silveira Bueno, tautologia 
é um “vício de linguagem que consiste em dizer a mesma coisa, por formas 
diferentes, repetidas vezes”. Em termos de lógica matemática, ocorre uma 
tautologia se a tabela verdade referente a uma fórmula lógica é constituída 
somente por conclusões verdadeiras, ou seja, “a última coluna” da tabela 
verdade é toda composta somente por V. 
Comecemos com um exemplo simples: “Juliana comeu repolho no almoço 
ou Juliana não comeu Repolho no almoço”. Você pensou: “que óbvio!”. Essa sua 
reação tem razão de existir, e isso mostra que você entendeu o que é uma 
Tautologia. Veja a tabela dessa proposição no quadro 4, chamando de J a 
proposição simples “Juliana comeu repolho no almoço”: 
 
Quadro 4: tabela-verdade de J ~J 
 
 
 
 
J ~J J ~J 
V F V 
F V V 
 
 
6 
Veja mais um exemplo de tautologia: (A ~B) ~A. 
 
Quadro 5: tabela-verdade de (A ~B) ~A 
 
 
 
 
 
 
Observe que, independentemente dos valores V ou F das proposições 
simples A e B, o valor da fórmula lógica dada é sempre verdadeiro. Exercite essa 
ideia fazendo agora os exercícios 1 e 2 do Momento da Verdade, ok? 
 
1.2 Contradição (Contra-tautologia) 
 
Ao contrário da Tautologia, a Contradição ocorre quando a conclusão na 
tabela verdade é constituída somente por F. Um exemplo: Cleide foi ao cinema 
ontem e Cleide não foi ao cinema ontem. Você pensou: “que absurdo!”. 
Novamente, essa sua reação tem razão de existir, e isso mostra que você 
entendeu o que é uma Contradição. Veja a tabela verdade dessa proposição no 
Quadro 6, chamando de C a proposição simples “Cleide foi ao cinema ontem”: 
 
Quadro 6: tabelas-verdade de C = Cleide foi ao cinema ontem 
 
 
 
 
Veja mais um exemplo de Contradição: se fizermos a negação da 
A B ~B (A ~B) ~A (A ~B) ~A 
V V F V F V 
V F V V F V 
F V F F V V 
F F V V V V 
C ~C C ~C 
V F F 
F V F 
 
 
7 
tautologia mostrada no item anterior, ou seja, a negação de (A ~B) ~A, 
teremos uma tabela com todos os valores F ao seu final, como mostra o Quadro 
7: 
Quadro 7: tabela-verdade de (A ~B) ~A e de sua negação 
 
 
1.3 Contingência 
 
Para fechar estas classificações, perceba que falta um caso: se a 
conclusão numa tabela verdade não é toda F e não é toda V, então ela terá a 
presença dos dois valores, V e F. A maioria das tabelas que inventamos 
aleatoriamente tem valores F e V na última coluna. Exemplo: (A ~B) ~A 
(veja Quadro 8): 
Quadro 8: tabela-verdade de (A ~B) ~A 
 
 
 
 
 
 
Muito bem, agora que aquecemos nosso pensamento lógico com essa 
classificação de proposições, vamos a exemplos mais “fortes” de proposições 
compostas. Estudaremos proposições originalmente “diferentes”, mas que 
A B ~B (A ~B) ~A (A ~B) ~A ~((A ~B) ~A) 
V V F V F V F 
V F V V F V F 
F V F F V V F 
F F V V V V F 
A B ~B (A ~B) ~A (A ~B) ~A 
V V F V F F 
V F V V F F 
F V F F V F 
F F V V V V 
 
 
8 
possuem a mesma tabela-verdade. E por issosão chamadas de equivalentes! 
 
2. Proposições Equivalentes 
 
Duas proposições, formadas a partir das mesmas proposições simples, são 
chamadas equivalentes se elas possuem os mesmos valores lógicos finais na 
tabela verdade. Isso significa que, apesar destas proposições serem escritas de 
formas diferentes, elas transmitem a mesma informação. 
Para exemplificar, vamos retomar a ideia da negação da negação de 
uma proposição P que equivale à própria proposição P. Acompanhe a tabela 
verdade: 
 
Quadro 9: tabela verdade de ~(~P) 
 
 
 
 
 
Veja outro exemplo: as proposições ~(A B) e ~A ~B são 
equivalentes. 
 
Quadro 10: valores lógicos de ~(A B) e ~A ~B 
 
 
 
 
 
 
P ~P ~(~P) 
V F V 
F V F 
A B A B ~(A B) ~A ~B ~A ~B 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
 
 
9 
 
 
Há, no mínimo, duas situações em que é necessário o conhecimento da 
equivalência entre duas proposições: se existe ordem de precedência entre 
operações envolvidas (calma, já iremos explicar) e nas situações em que se 
deseja fazer a negação de uma proposição composta (também iremos detalhar). 
 
 
Hmmm... sabe que essa dica nos deu a possibilidade de construir outra 
dica? Veja a importância de uma leitura correta do símbolo da negação: 
 
DICA 
Perceba que a proposição (~Q P) não é equivalente a ~(Q P): na 
primeira escrita ocorre a negação apenas da proposição Q, enquanto na 
segunda escrita ocorreu a negação da conjunção Q P, percebeu? 
DICA 
Para verificar se duas proposições formadas pelas mesmas proposições 
simples são equivalentes basta construir suas tabelas-verdade e verificar 
se possuem mesma conclusão (valores lógicos). 
CONCEITO 
Você viu que usamos a palavra EQUIVALENTES, para tabelas que tem a 
mesma conclusão, ao invés de IGUAIS? Explicado de modo razoavelmente 
informal, ficará fácil de entender: veja que a escrita ~(A ˅ B) não é idêntica à 
escrita ~A ∧ ~B, porém, como elas têm a mesma tabela verdade, então 
possuem valores lógicos iguais, ou seja, são proposições equivalentes. 
 
 
10 
Essa dica está relacionada com aquilo que chamamos de “precedência” 
das operações lógicas. No caso da escrita (~Q P) devemos primeiramente fazer 
a negação de Q, para depois construirmos a tabela do conectivo . Porém, 
quando escrevemos ~(Q P), devemos fazer primeiramente a tabela do 
conectivo para depois executar a negação. Faça agora os exercícios 3 e 4 do 
Momento da Verdade. Vale a pena! 
Caríssimo(a) estudante: é possível fazer um aprofundamento no tema 
“precedência dos conectivos lógicos”, mas isso fugiria um pouco dos objetivos 
desta aula. Caso deseje, você pode se aprofundar nesse tema consultando a 
literatura que consta nas referências, ou mesmo digitando expressões como 
“ordem de precedência de operações lógicas” ou “precedência de conectivos 
lógicos” em sites de busca; você verá que inúmeras opções serão oferecidas, 
mas boa parte delas focadas em estudos em linguagens da Informática. 
Para não haver dúvidas nas aplicações dos conectivos, usaremos os 
parênteses, quando necessário, embora algumas situações com a negação 
mereçam uma reflexão mais intensa (veja que no exemplo de ~Q P você deve 
usar a negação antes de pensar no conectivo “e”; em outras palavras, 
primeiramente se faz a negação, e depois se aplica o conectivo ). 
Bem voltemos ao tema desta seção, que são as equivalências. 
Mostraremos a você algumas equivalências importantes: 
 
(a) Propriedade Comutativa. 
Perceba que os conectivos e e ou gozam da propriedade comutativa, ou 
seja, tanto A B como A B tem suas formas equivalentes se trocarmos a 
posição de A com B. Assim: 
 A B é equivalente a B A. 
 A B é equivalente a B A. 
 
(b) Propriedade Associativa 
 
 
11 
Até agora trabalhamos bastante com proposições compostas de duas 
proposições simples. A partir de agora começaremos a falar de proposições com 
mais de duas, ok? E para começar, veja que não é difícil perceber a validade das 
afirmações a seguir: 
 (A B) C é equivalente a A (B C) 
 (A B) C é equivalente a A (B C) 
Mais adiante, neste texto, abordaremos as tabelas-verdade para o caso de 
mais de três proposições simples. 
 
(c) Propriedade Distributiva 
 
De modo similar ao já estudado e revisto nesse quadro “Conceito”, veja 
como é fácil associar essa ideia aos conectivos a seguir (preste muita atenção, 
pois há conectivos e e ou nas duas expressões): 
 A (B C) é equivalente a (A B) (A C). 
 A (B C) é equivalente a (A B) (A C). 
No texto 1 de nosso Antena Parabólica apresentaremos a você as tabelas 
verdade destas duas equivalências. Não apresentamos agora, nesta seção, 
porque mais adiante falaremos com mais calma sobre a forma de construir uma 
tabela-verdade com mais de duas proposições simples, ok? 
 
(d) As Leis de Morgan 
CONCEITO 
Note que você conhece a propriedade distributiva da multiplicação há muito 
tempo, para expressões numéricas e algébricas, as quais foram revisadas nas 
UAs 5 e 6: 
 ( ) = 
 
 
12 
Ahá! Você está com a sensação de que já viu esse nome antes? Muito 
bem, você está com a sensação correta! Em nossa UA 3, de conjuntos (página 
25 do nosso texto) você viu as possíveis igualdades entre certas operações entre 
conjuntos, que envolviam o complementar de um conjunto. Veja quais foram: 
(1ª) 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐵 
(2ª) 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐵 
Usando a linguagem corrente para explicitar essas leis podemos dizer que: 
(1ª) O complementar da UNIÃO entre dois conjuntos A e B é igual à 
INTERSECÇÃO entre os complementares desses dois conjuntos. 
(2ª) O complementar da INTERSECÇÃO entre dois conjuntos A e B é igual 
à UNIÃO entre os complementares desses dois conjuntos. 
Mas por que será que estamos falando dessas leis de Conjuntos? Para 
responder a essa pergunta, lembre-se do fato de que a negação das 
proposições está fortemente associada ao complementar de um conjunto. Na 
verdade, teremos as mesmas LEIS DE MORGAN agora, para as proposições 
compostas; elas nos fazem entender como fica a negação de uma proposição 
que tem os conectivos e e ou. Veja como ficará: 
 
(1ª) ~(A B) é equivalente a (~A) (~B) 
(2ª) ~(A B) é equivalente a (~A) (~B) 
 
Veja como ficam essas duas leis, expressas de modo mais informal: 
 
(1ª) a negação do “e” é equivalente ao “ou” das negações de A e de B. 
(2ª) a negação do “ou” é equivalente ao “e” das negações de A e de B. 
 
Vamos verificar isso por meio do seguinte exemplo: 
“Cláudia gosta do Museu do Ipiranga e caminha diariamente em seu 
parque”. Sejam as proposições: 
 
 
13 
A = Cláudia gosta do Museu do Ipiranga. 
B = Cláudia caminha diariamente no Parque da Independência (nome do 
parque do museu). 
 
Figura 1: Museu do Ipiranga (SP) e parque à sua frente 
 
Fonte: http://mundodasdicas.com.br/museu-do-ipiranga 
 
A proposição anterior tem o formato A B. Sua negação é ~(A B), 
certo? Pela lei de Morgan vamos aplicar, na linguagem da lógica e na Língua 
Portuguesa, as duas maneiras de fazer a negação dessas preferências de 
Cláudia. 
Linguagem da Lógica: ~(A B) é equivalente a (~A) (~B). 
Língua Portuguesa (atenção aos conectivos!) “Não é verdade que Cláudia 
gosta do Museu do Ipiranga e caminha diariamente em seu parque” é 
equivalente a “Cláudia não gosta do Museu do Ipiranga ou não caminha 
diariamente em seu parque”. 
Agora por meio de tabela-verdade mostraremos que essa proposição, ou 
seja, ~(A B), é equivalente a (~A) (~B). Veja o Quadro 11 (ele possui 
http://mundodasdicas.com.br/museu-do-ipiranga
 
 
14 
todas as passagens da construção, primeiramente para ~(A B), 
posteriormente para (~A) (~B): 
Quadro 11: tabela-verdade para a 1ª lei de Morgan 
 
 
 
 
 
 
Pronto! Agora está provado que ~(A B) é equivalente a (~A) (~B). 
Mas confessamos a você, querida(o) estudante, que acreditamosque muitos 
colegas seus imaginavam (talvez você também) que a negação de (A B) seria 
equivalente a (~A) (~B). 
Ou seja, muitos podem acreditar que a negação de “Cláudia gosta do 
Museu do Ipiranga e caminha diariamente em seu parque” seria “Cláudia não 
gosta do Museu do Ipiranga e não caminha diariamente em seu parque”. Seria! 
Mas não é, pois Cláudia pode não gostar do museu e (mas) gostar do parque! 
 Muito bem, agora temos duas propostas para você: primeiramente, 
construa as tabelas verdade para a 2ª lei de Morgan, ou seja, “~(A B) é 
equivalente a (~A) (~B)”; basta seguir o modelo que está no quadro 11 e, 
se tiver dificuldade, vá direto ao Fórum de dúvidas desta UA12, ok? 
Bem, eram duas propostas, e agora temos a segunda: vá ao Momento da 
Verdade e faça o exercício 5 para sedimentar bem esse conhecimento, ok? E 
pode fazer o exercício 6 também... Depois disso, volte aqui para fechar esta 
seção 2 com uma dica bem tranquila. 
 
A B (A B) ~(A B) ~A ~B (~A) (~B) 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
 
 
15 
 
Vamos então aprender mais dois conectivos? 
 
3. O condicional e o bicondicional 
 
3.1 CONDICIONAL: “se...então...” 
 
Querida(o) aluna(o), caso deseje, você pode assistir ao vídeo que está no 
link http://m3.ime.unicamp.br/recursos/107, que também está indicado em 
nosso Navegando por Aí, como forma de aquecimento para conhecer mais sobre 
essa expressão condicional, ok? 
O conectivo que estudaremos nesta seção tem uma natureza um pouco 
diferente do e e do ou que estudamos: por questões de linguagem, devemos 
“repartir” duas palavras desse conectivo, e colocar uma proposição entre elas, e 
outra proposição depois da palavra “então”. Veja o exemplo: 
DICA 
Há também algumas equivalências básicas (ou propriedades), que lhe serão 
fáceis de perceber: 
Idempotente: 
 A A é equivalente a A 
 A A é equivalente a A 
Proposições complementares: 
 A ~A é sempre verdadeira (tautologia) 
 A ~A é sempre falsa (contradição) 
Propriedade Elemento Neutro: 
 A (proposição falsa) resulta sempre o próprio valor de A. 
 A (proposição verdadeira) resulta sempre o próprio valor de A. 
 
http://m3.ime.unicamp.br/recursos/107
 
 
16 
“Se choveu agora a pouco, então a rua está molhada”. 
A simbologia dessa proposição começa pela nomenclatura das proposições 
simples, certo? Elas ficam assim: 
A = Choveu agora a pouco. 
B = A rua está molhada. 
E a forma como esse conectivo lógico “se...então...” é simbolizado fica 
assim: 
A → B (que se lê: se A, então B) 
 
Veja como é a sua tabela verdade: 
 
Quadro 12: tabela-verdade para A → B 
 
 
 
 
 
 
Embora esses resultados sejam uma definição em Lógica Matemática (e 
que você deverá adotá-los em seus exercícios), podemos realizar uma análise 
desses resultados perante o exemplo citado. Adotando os fatos de que A (choveu 
agora a pouco) é uma proposição VERDADEIRA e que B (a rua está molhada) 
também é VERDADEIRA, temos que: 
 A 1ª linha (V V  V) faz sentido, pois choveu e a rua está molhada, é 
uma conexão VERDADEIRA. 
 A 2ª linha (V F  F) também faz sentido, já que se é verdadeiro que 
choveu, e a rua não está molhada, temos uma situação FALSA. 
A B A → B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
17 
 A 3ª linha (F V → V) talvez seja a única que pode gerar dúvida em nossas 
intuições. No exemplo, podemos entender que não choveu, mas a rua 
está molhada. Isso quer dizer o seguinte: se chove, então a rua fica 
molhada, mas se a rua está molhada, isso não significa, necessariamente, 
que choveu. Uma pessoa (ou um carro de bombeiro) pode ter usado uma 
enorme mangueira e ter feito jorrar bastante água nessa rua. Ou seja, 
chover é uma condição que proporciona o fato da rua estar molhada, 
mas não é uma única condição. Na expressão A → B, B pode ser 
verdadeira mesmo se A não ocorreu, e por isso temos F V → V. 
 A 4ª linha (F F  V) faz sentido, pois se não choveu e a rua não está 
molhada, temos uma conexão VERDADEIRA. 
Resumindo essa tabela: A → B só é falsa para o caso V F. Os outros três 
casos resulta em V. 
Pode ser que a tabela-verdade da condicional tenha sido um pouco 
diferente da sua intuição. Mas isso não é exclusividade sua, ok? Provavelmente 
ocorre para a maioria das pessoas. 
Vários livros procuram exemplificar o uso de expressões da forma “se... 
então”, na busca da harmonia entre intuição e teoria. Isso decorre do fato de que 
pode haver significados diferentes para essa expressão, dependendo do contexto 
linguístico na qual esse conectivo está inserido. Sheinerman (2003) fornece a 
analogia a seguir para buscar a harmonia citada (adiantamos um quesito 
importante nessa analogia: ser mentiroso = falso, e cumprir promessa = 
verdadeiro): 
“(...) Imagine que eu seja um político concorrendo a um cargo eletivo e anuncie 
em público: ‘Se for eleito, diminuirei os impostos’. Sob que condições posso ser 
considerado mentiroso? 
 Suponha que eu seja eleito e reduza os impostos. Certamente eu não 
serei chamado de mentiroso – mantive minha promessa (V V → V). 
 
 
18 
 Suponha que eu seja eleito e não reduza os impostos. O cidadão terá todo 
direito de chamar-me mentiroso – não cumpri minha promessa (V F → F). 
 Suponha, agora, que eu não seja eleito, mas, mediante um lobby, consiga 
fazer com que os impostos sejam reduzidos. O povo certamente não me 
chamará de mentiroso – não quebrei minha promessa (F V → V). 
 Finalmente, suponha que eu não seja eleito e os impostos não sejam 
reduzidos. Novamente o povo não poderá acusar-me de mentir – apenas 
prometi reduzir os impostos se fosse eleito” (F F → V). 
 
 
 
Outra frase bastante interessante desse livro: 
“Se A, então B, significa: sempre que a condição A for verdadeira, a 
condição B também será. (...) Se 𝑥 e 𝑦 são pares, então 𝑥 𝑦 é par. Tudo 
quanto essa sentença assegura é que, quando 𝑥 e 𝑦 são ambos pares, 𝑥 
 𝑦 também é par. A sentença não exclui a possibilidade de 𝑥 𝑦 ser par apesar 
de 𝑥 ou 𝑦 não serem”. Veja que 𝑥 𝑦 pode ser par com 𝑥 e 𝑦 ambos ímpares. 
E, para fechar esta seção, veja mais uma equivalência, agora com o 
conectivo CONDICIONAL: 
A expressão PQ é equivalente à expressão ~𝑷 Q. 
Na escrita PQ, podemos vislumbrar algo como “Se estiver frio, então 
DICA 
Não há uma única maneira de enunciar o conectivo A → B (se A então B). 
Usaremos o exemplo anterior para mostrar expressões equivalentes. 
 Se for eleito, diminuirei os impostos. 
 Se for eleito, então diminuirei os impostos. 
 Diminuirei os impostos, se for eleito. 
 Quando for eleito, diminuirei os impostos. 
 
 
19 
tomarei um café”, que é equivalente a ~𝑷 Q: “Não está frio ou tomarei um 
café”. Pasme, mas são duas proposições equivalentes! 
Não pense duas vezes: vá agora ao Momento da Verdade e realize os 
exercícios 7, 8 e 9. E você verá que utilizaremos essa equivalência numa 
proposição maior, na parte final deste texto. 
Há mais uma característica a ser mencionada sobre o condicional: esse é 
o único conectivo, de toda a lista de conectivos que estamos estudando, em que 
a propriedade comutativa não vale. No Quadro 13 a seguir, perceba que A → B 
não tem a mesma tabela verdade que B → A: 
 
Quadro 13: tabelas-verdade de A → B e B → A 
 
 
 
 
 
 
Perceba que as proposições A → B e B → A não são equivalentes. Veja que 
há casos em que uma delas é verdadeira enquanto a outra não é. 
Definimos um termo comumente usado para as proposições A → B e B → 
A: dizemos que elas são recíprocas. Se A → B é verdadeira (falsa), sua 
recíproca B → A pode ser verdadeira (falsa) ou não. 
Contudo, A → B e ~B → ~A são equivalentes! Construa as tabelas verdade 
e verifique essa afirmação! Como exemplo, observe a proposição: “Se João é 
paulista então ele é brasileiro.” Esta proposição não é equivalente a “Se João é 
brasileiro então ele é paulista.”, mas é equivalentea “Se João não é brasileiro 
então ele não é paulista.”, percebeu? Ótimo! Então, como reforço, faça agora os 
exercícios 10 e 11 do Momento da Verdade. 
A B A → B B → A 
V V V V 
V F F V 
F V V F 
F F V V 
 
 
20 
 
3.2 BICONDICIONAL: se, e somente se 
 
Para você entender a ideia deste conectivo, propomos o seguinte 
exercício, aproveitando um exercício mencionado anteriormente. Dadas as 
seguintes proposições: 
M = 𝑥 e 𝑦 são números pares. 
N = 𝑥 𝑦 é um número par. 
Perceba que M → N é verdadeiro, mas não vale a recíproca, ou seja, N → 
M é uma proposição falsa. Mas nem sempre é dessa forma que ocorre, conforme 
veremos no exemplo a seguir: 
R = 𝑥 ou 𝑦 é um número par. 
S = 𝑥 ∙ 𝑦 é um número par. 
Perceba que, sendo o ou (inserido na proposição R) um conectivo 
inclusivo, tanto R → S quanto S → R são verdadeiras. Quando isso ocorre, 
significa que a bicondicionalidade foi satisfeita, e há um símbolo para isso: R 
↔ S, cuja tabela é apresentada no Quadro 14 a seguir, e podemos lê-la assim: “R 
se e somente se S”. No exemplo anterior temos “𝑥 ou 𝑦 é um número par se e 
somente se 𝑥. 𝑦 é um número par”. 
 
Quadro 14: tabela-verdade para R ↔ S 
 
 
 
 
 
 
R S R ↔ S 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
21 
Perceba que a veracidade do bicondicional R ↔ S significa que ambas as 
proposições simples devem ter o mesmo valor lógico (ambos V ou ambos F). 
E ainda: aqui vale a comutativa, ou seja, R ↔ S é equivalente a S ↔ R. 
Mas, se R ↔ S é equivalente a (R → S) (S → R), então podemos 
verificar essa equivalência por meio de uma... tabela verdade! 
 
Quadro 15: tabela-verdade para A ↔ B 
 
 
 
 
 
 
 
E que tal, depois de ler a “Dica” a seguir, fazermos o exercício 12 do 
Momento da Verdade? Vamos lá! 
 
 
4. Proposições compostas com mais de duas proposições simples 
 
E como ficará uma tabela verdade com uma proposição composta, com 
três proposições simples? Vamos fazer um exemplo completo, partindo de uma 
R S R → S S → R (R → S) (S → R) 
V V V V V 
V F F V F 
F V V F F 
F F V V V 
DICA 
Também não há uma única maneira de enunciar o conectivo A ↔ B. 
usaremos o exemplo anterior para mostrar expressões equivalentes. 
 A se e somente se B. 
 A se e só se B. 
 Se A então B e se B então A. 
 
 Se for eleito, diminuirei os impostos. 
 Se for eleito, então diminuirei os impostos. 
 Diminuirei os impostos, se for eleito. 
 Quando for eleito, diminuirei os impostos. 
 
 
22 
proposição escrita em nossa querida e amada Língua Portuguesa: 
“Se a empresa investiu em Marketing e diminuiu os custos totais, então 
ela aumentou seu lucro”. 
Primeiramente iremos simbolizar as três expressões simples que compõem 
essa frase declarativa composta. Teremos: 
A = A empresa investiu em Marketing. 
B = A empresa diminuiu os custos totais. 
C = A empresa aumentou seu lucro. 
Agora vamos reescrever a proposição composta, mas de maneira 
simbólica: 
(A B) → C 
Conforme combinamos neste texto, estamos usando os parênteses para 
evitar ambiguidades, mas se você pensou na escrita A B → C, tudo bem! Ela 
também está correta, pois o conectivo e precede o uso do condicional 
“se...então...”. 
Para construir a tabela-verdade dessa proposição, precisamos perceber 
que há um número maior de linhas do que as tabelas dos exemplos mencionados 
até aqui. Como A tem 2 possibilidades (V ou F), B também 2 possibilidades e C 
também 2, o total de permutações possíveis entre três resultados é 2.2.2 = 2³ = 
8 linhas. 
 
 
23 
 
Sempre colocaremos as proposições simples nas primeiras colunas da 
tabela, ou seja, uma coluna para A, outra para B e outra para C. Não há uma 
regra propriamente dita na ordem de apresentação dos 8 casos em linha, porém 
a vasta literatura sobre este tema geralmente coloca as 8 linhas numa 
determinada ordem, que você verá no Quadro 16 (na verdade, essa vasta 
literatura opta por uma de duas possibilidades: ou começa com VVV e termina 
com FFF, ou vice versa – faremos o que é mais usual, que é começar com VVV). 
É muito fácil montar essa tabela. Faremos assim: na 1ª coluna (da 
proposição A) escrevemos VVVVFFFF, na 2ª coluna (proposição B) escrevemos 
VVFFVVFF e na 3ª escrevemos alternadamente, ou seja, VFVFVFVF. 
Depois disso fazemos da mesma forma que trabalhamos anteriormente 
com duas proposições simples: montamos uma coluna para cada composição 
que existe na proposição composta; ou seja, depois de A, B e C, fazemos uma 
coluna para A B, para em seguida fechar com a coluna de (A B) → C. Não é 
necessária a repetição da coluna C, como fizemos no Quadro 16; apenas fizemos 
isso para facilitar o entendimento, e evitar que você se confunda com a ordem, 
ok? 
 
DICA 
Sabemos que cada proposição simples tem apenas dois valores lógicos (V ou 
F). Para n proposições simples combinadas numa proposição composta, há 
2n composições possíveis de resultados, ou seja, há 2n linhas da tabela-
verdade correspondente. Isso é mostrado através do Princípio Fundamental 
da Contagem (P.F.C.). Assim, o número de linhas da tabela verdade de uma 
proposição composta de duas proposições simples é 22 = 4 linhas; para 3 
proposições são 23 = 8 linhas; para 4 simples teremos 24 = 16 linhas, e 
assim por diante. 
 
 
 
 
24 
Quadro 16: tabela-verdade para a (A B) → C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: realize (simbolicamente) a negação da proposição que consta 
exemplo anterior (use os símbolos A, B e C e os conectivos), e construa a tabela 
verdade para verificar se a negação que você fez, de modo simbólico, 
corresponde ao contrário da tabela do Quadro 16. 
Resolução: para negar a expressão (A B) → C, vamos transformá-la em 
uma equivalente, que estudamos neste texto (para você se lembrar: M → J é 
equivalente a ~M J). Temos então: 
~ ((A B) → C) 
Usando a equivalência citada, dentro dos parênteses maiores, temos: 
~ (~(A B) C) 
Agora distribuiremos a negação nos parênteses, por meio de uma das leis 
de Morgan (para você lembrar: ~ (M J) equivale a (~M) (~J); lembrou?). 
Usaremos um truque para você não se perder: reescreveremos o que está dentro 
dos parênteses maiores em vermelho. 
~ (~(A B) C) 
 
~ (~(A B)) (~ C) 
A B C A B C (A B) → C 
V V V V V V 
V V F V F F 
V F V F V V 
V F F F F V 
F V V F V V 
F V F F F V 
F F V F V V 
F F F F F V 
 
 
25 
Lembre-se que a negação da negação equivale à afirmação. Assim, temos: 
(A B) (~ C). 
Pronto! A negação de (A B) → C ficou (A B) (~ C). Para escrever esse 
resultado, devemos prestar atenção à pontuação utilizada, pois ela permitirá que 
não haja dúvidas ou ambiguidades, em especial a expressões que estão entre 
parênteses. Portanto, a expressão (A B) (~ C) fica escrita assim: 
“A empresa investiu em Marketing e diminuiu os custos totais, e (ainda) 
não aumentou seu lucro.” 
Perceba que ela é a negação da proposição original (“Se a empresa 
investiu em Marketing e diminuiu os custos totais, então ela aumentou seu 
lucro”). Vamos confirmar isso com a tabela verdade de (A B) (~ C): veja que 
seu resultado final é exatamente o contrário do que ocorreu com (A B) → C. 
 
Quadro 17: tabela-verdade para expressão (A B) (~ C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que tal treinar um pouco o que você acabou de estudar nesta seção? Vá 
ao Momento da Verdade e finalize a lista, fazendo o exercício 13. E encerramos o 
texto desta UA (bem, não se esqueça que, além do Momento da Verdade, tem o 
A B C A B ~C (A B) (~ C) 
V V V V F F 
V V F V V V 
V F V F F F 
V F F F V F 
F V V F F F 
F V F F V F 
F F V F F F 
F F F F V F 
 
 
26 
Antena Parabólica, Navegando por Aí...) com um resumo de todos os conectivos 
que estudamos. 
 
Quadro 16: tabela-verdade com resumo dos conectivos. 
A B ~A ~B A B A B A B A → B A ↔ B 
V V F F V V F V V 
V F F V F V V F F 
F V V F F V V V F 
F F V V F F F V VGlossário 
 
Se... então...: conectivo condicional. 
Se e somente se: conectivo bicondicional. 
 
 
 
Antena Parabólica 
 
 
Texto 1: Demonstrando a propriedade distributiva do “e” e do “ou”. 
Conforme prometemos, seguem as demonstrações da propriedade distributiva 
para os conectivos “e” e “ou” em duas sentenças: 
(a) A (B C) é equivalente a (A B) (A C). 
 
 
27 
 
(b) A (B C) é equivalente a (A B) (A C). 
 
Texto 2: você já ouviu falar de “falácia”? 
Poderíamos usar uma aula toda somente para falar das falácias e da sua 
utilização pela mídia e às vezes por pessoas ou grupos dominantes, para enganar 
ou confundir muita gente. Falácia tem a ver com conclusões erradas (ou 
A B C B C A (B C) 
V V V V V 
V V F V V 
V F V V V 
V F F F F 
F V V V F 
F V F V F 
F F V V F 
F F F F F 
A B C A B A C (A B) (A C) 
V V V V V V 
V V F V F V 
V F V F V V 
V F F F F F 
F V V F F F 
F V F F F F 
F F V F F F 
F F F F F F 
A B C B C A (B C) 
V V V V V 
V V F F V 
V F V F V 
V F F F V 
F V V V V 
F V F F F 
F F V F F 
F F F F F 
A B C A B A C (A B) (A C) 
V V V V V V 
V V F V V V 
V F V V V V 
V F F V V V 
F V V V V V 
F V F V F F 
F F V F V F 
F F F F F F 
 
 
28 
enganosas), que podem, inclusive, partir de premissas verdadeiras; propagandas 
políticas ou discursos preparados para vender um produto possuem, muitas 
vezes, exemplos de falácias. 
Sugerimos a você que entre num site qualquer de busca e coloque a 
palavra falácia: você ficará surpreso com a quantidade de informações que se 
pode colher a esse respeito, e verá que um debate sobre esse tema tem a ver 
com Lógica. É muito fácil de observar falácias no uso inadequado da condicional 
“se… então…”. 
Boas leituras! 
 
 
 
E agora José? 
 
 
Muito bem, querido(a) estudante, esta UA deu uma boa apertada nos 
conceitos de Lógica, não é mesmo? A boa notícia é que a UA 13, última deste 
bloco da Lógica, será mais leve e mostraremos algumas ideias derivadas destas 
UAs 11 e 12. 
Continuemos nossa jornada! Bons estudos e até a próxima! 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Referências 
 
 
GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da 
Computação – Um tratamento moderno de Matemática Discreta. 5 ed. 
Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2004. 
DE MAIO, Waldemar. O Raciocínio Lógico-Matemático, sua estrutura 
neurofisiológica. São Paulo: Arte e Ciência, 2004. 
___________________. Estruturas Algébricas e Matemática Discreta. Rio 
de Janeiro: LTC, 2009. 
SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta – Uma Introdução. São 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.