Questão resolvida - 5 Questão_ Resolva as seguintes integrais por substituição_ Letras e) e f) - Cálculo II - UFBA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Resolva as seguintes integrais por substituição:
 
e) x + 1 dx∫ 2 x - 2
 
Resolução:
 
Vamos fazer uma substituição para retirar a raiz;
 
x - 2 = u dx = 2udu2 →
 
e temos que : x - 2 = u x = u + 22 → 2
Substituindo na integral, fica;
 
u + 2 + 1 2udu = u + 4u + 4 + 1 u ⋅ 2 ⋅ udu = 2 u + 4u + 5 u du∫ 2 2 u2 ∫ 4 2 ∫ 4 2 2
 
= 2 u + 4u + 5u du∫ 6 4 2
 
Agora, temos uma expressão polinomial cuja integral tem solução simples;
 
2 u + 4u + 5u du = 2 + + 5 + c∫ 6 4 2 u
7
7 4u
5
5 u
3
3
Vamos isolar u na relação ;x - 2 = u2
 
x - 2 = u u = x - 2 u =2 → 2 → x - 2
 
Substituindo, o resultado da integral fica;
 
x + 1 dx = 2 + + 5 + c∫ 2 x - 2
7
x - 2
7
4
5
x - 2
5
3
x - 2
3
Vamos reescrever o resultado da integral de uma forma mais "enxuta";
 
 
 
2 + + 5 + c = 2 + + 5 + c
7
x - 2
7
4
5
x - 2
5
3
x - 2
3
x - 2
7
( )
1
2
7
4 x - 2
5
( )
1
2
5
x - 2
3
( )
1
2
3
 
2 + + 5 + c = 2 + + 5 + c
x - 2
7
( )
1
2
7
4 x - 2
5
( )
1
2
5
x - 2
3
( )
1
2
3
x - 2 x - 2
7
( )
1
2
6
( )
1
2
1
4 x - 2 x - 2
5
( )
1
2
4
( )
1
2
1
x - 2 x - 2
3
( )
1
2
2
( )
1
2
1
 
= 2 + + 5 + c = 2 + + 5 + c
x - 2
7
( )
6
2 x - 2 4 x - 2
5
( )
4
2 x - 2 x - 2 x - 2
3
( )
2
2 ( )
1
2
1
x - 2
7
( )3 x - 2 4 x - 2
5
( )2 x - 2 x - 2
3
( )1 x - 2
 
 
x + 1 dx = 2 x - 2 + + 5 + c ∫ 2 x - 2 ( ) x - 2
7
( )2 x - 2 4 x - 2
5
( ) x - 2
3
x - 2
 
 
f) dx∫ sec x
1 - tan x
2( )
( ( ))3
 
Resolução:
 
Vamos fazer a seguinte substituição;
 
u = 1 - tan x du = -sec x dx -du = sec x dx( ) → 2( ) → 2( )
 
Com isso, a integral fica;
 
dx = sec x dx = - du = - du = - u du∫ sec x
1 - tan x
2( )
( ( ))3
∫ 1
1 - tan x( ( ))3
2( ) ∫ 1
u( )3
∫ 1
u3
∫ -3
 
Agora, temos uma integral simples de resolver;
 
- u du = - + c = - + c = - - + c = + c∫ -3 u
-3 + 1
-3+1( ) u
-2
-2 1
2u2
1
2u2
 
 
 
 
 
 
(Resposta )
 
Mas , então, a solução final da integral é:u = 1 - tan x( )
 
dx = + c∫ sec x
1 - tan x
2( )
( ( ))3
1
2 1- tan x( ( ))2
 
 
(Resposta )