Questão resolvida - 5 Questão_ Resolva as seguintes integrais por substituição_ Letras g) e h) - Cálculo II - UFBA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Resolva as seguintes integrais por substituição:
 
g) dx∫ sen x
2 + 3 x
( )
( cos( ))2
 
Resolução:
 
Vamos fazer uma substituição para possibilitar a integração;
 
u = 2 + 3 x du = -sen x dx -du = sen x dxcos( ) → ( ) → ( )
Substituindo na integral, fica;
 
dx = sen x dx = - du = - du = - u du∫ sen x
2 + 3 x
( )
( cos( ))2
∫ 1
2 + 3 x( cos( ))2
( ) ∫ 1
u2
∫ 1
u2
∫ -2
 
Agora, temos uma integral cuja solução é simples;
 
- u du = + c = + c = - + c∫ -2 u
-2 + 1
-2+1( )
( )
u
-1
-1 1
u
 
Como ; o resultado final da integração é;u = 2 + 3 xcos( )
 
dx = - + c∫ sen x
2 + 3 x
( )
( cos( ))2
1
2 + 3 xcos( )
 
 
 
h) dx
4
1
∫ 1
+ 1x x
2
 
Resolução:
 
Primeiro, resolvemos a integral indefinida. Vamos fazer a seguinte substituição;
 
 
 
x = u dx = 2udu2 →
 
Com isso, a integral fica;
 
dx = 2udu = 2 udu = 2 du∫ 1
+ 1x x
2
∫ 1
+ 1u2 u2
2
∫ 1
u u + 1( )2
∫ 1
u + 1( )2
 
Fazemos, então, uma nova substituição;
 
t = u + 1 dt = du→
Assim, a integral fica;
 
2 du = 2 dt = 2 t dt∫ 1
u + 1( )2
∫ 1
t2
∫ -2
 
Agora, temos uma integral simples de resolver;
 
2 t dt = 2 + c = 2 + c = - 2 + c∫ -2 t
-2 + 1
-2+1( )
( )
t
-1
-1 1
t
 
Mas , então;t = u + 1
 
dx = - + c∫ 1
+ 1x x
2
2
u + 1
Temos também que;
 
x = u u = x u =2 → 2 → x
 
Substituindo, temos o resultado final da integral;
 
dx = - + c∫ 1
+ 1x x
2
2
+ 1x
 
 
 
Agora, podemos resolver a integral definida;
dx = - = - - - = - - -
4
1
∫ 1
+ 1x x
2
2
+ 1x
4
1
2
+ 14
2
+ 11
2
2 + 1
2
1 + 1
 
dx = - + = - + 1 =
4
1
∫ 1
+ 1x x
2
2
3
2
2
2
3
-2 + 3
3
 
dx =
4
1
∫ 1
+ 1x x
2
1
3
 
 
(Resposta )