Apostila-Algebra-Linear.-1

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
1 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 4 
2 DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES ............................................ 5 
2.1 Matriz retangular ........................................................................................... 6 
2.2 Matriz quadrada ............................................................................................ 6 
2.3 Matriz coluna ................................................................................................ 6 
2.4 Matriz linha ................................................................................................... 7 
2.5 Matriz diagonal ............................................................................................. 8 
2.6 Matriz triangular ............................................................................................ 8 
2.7 Matriz escalar ............................................................................................... 9 
2.8 Matriz identidade .......................................................................................... 9 
2.9 Matriz transposta .......................................................................................... 9 
2.10 Matriz simétrica ........................................................................................... 10 
2.11 Matriz nula .................................................................................................. 10 
3 OPERAÇÕES COM MATRIZES ..................................................................... 11 
4 IGUALDADE ................................................................................................... 11 
5 ADIÇÃO .......................................................................................................... 12 
5.1 Propriedade comutativa .............................................................................. 12 
5.2 Propriedade associativa.............................................................................. 13 
5.3 Subtração ................................................................................................... 13 
6 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR ............................. 14 
7 MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES ........................................................... 15 
7.1 Propriedade associativa.............................................................................. 17 
7.2 Propriedade distributiva .............................................................................. 17 
 
2 
 
8 EQUAÇÃO MATRICIAL .................................................................................. 19 
9 APLICAÇÕES COM MATRIZES ..................................................................... 19 
10 INVERSA DE UMA MATRIZ .......................................................................... 21 
10.1 Propriedade 1 ............................................................................................. 25 
10.2 Propriedade 2 ............................................................................................. 25 
10.3 Propriedade 3 ............................................................................................. 26 
11 MATRIZ ORTOGONAL .................................................................................. 27 
12 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ....................................................... 34 
13 SISTEMAS HOMOGÊNEO E NÃO HOMOGÊNEO ....................................... 37 
14 SISTEMAS LINEARES COM UMA EQUAÇÃO MATRICIAL ......................... 40 
15 SISTEMAS LINEARES COM MATRIZ INVERSA .......................................... 41 
16 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ........................... 44 
17 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS ....................................................... 44 
18 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN ........................................ 47 
19 DETERMINANTES E SUAS PROPRIEDADES .............................................. 48 
19.1 Expansão em cofatores .............................................................................. 50 
20 DETERMINANTES DA MATRIZ INVERSA .................................................... 52 
21 AUTOVALORES E DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES ............................... 54 
22 ESPAÇOS VETORIAIS: EXEMPLOS E PROPRIEDADES BÁSICAS ........... 57 
22.1 Subespaços vetoriais .................................................................................. 60 
22.2 Subespaços gerados .................................................................................. 61 
22.3 Um conjunto como espaço vetorial ............................................................. 62 
23 UM SUBCONJUNTO COMO SUBESPAÇO VETORIAL ................................ 63 
24 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR .............................................. 64 
25 GERADOR E MATRIZ INVERSA ................................................................... 65 
 
3 
 
26 COMBINAÇÕES LINEARES E GEOMETRIA ................................................ 67 
27 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 70 
27.1 Bibliografia Básica ...................................................................................... 70 
27.2 Bibliografia Complementar .......................................................................... 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1 INTRODUÇÃO 
Prezado aluno! 
 
 O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante ao 
da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um aluno 
se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma pergunta, para 
que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça 
a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço virtual, 
é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser direcionadas ao 
protocolo de atendimento que serão respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância 
exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um 
horário destinado à leitura do texto base e à execução das avaliações propostas. A 
vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A 
organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos 
definidos para as atividades. 
 
 Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2 DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES 
Para que você desenvolva uma intuição inicial sobre matrizes, considere o 
seguinte exemplo hipotético: você e uma amiga são agentes autônomos e atuam em um 
escritório ofertando produtos financeiros a clientes que queiram investir na formação de 
poupança. Os produtos financeiros são: fundos de renda fixa (RF), fundos multimercado 
(M) e planos de previdência (P). Para o mês de janeiro, você e sua amiga elaboraram um 
quadro com o quantitativo (Quadro 1) que cada um ofertou desses produtos (SILVA, 
2012). 
 
 
Os números apresentados nesse quadro podem ser representados como: 
 
 
O arranjo acima corresponde a uma matriz, e cada número desse arranjo é 
denominado de elemento da matriz. Cada linha representa o quanto de cada produto 
financeiro você e sua amiga ofertaram por exemplo, na segunda linha, é visto que sua 
amiga ofertou 20 fundos de renda fixa, 8 fundos multimercado e 16 planos de previdência. 
Já cada coluna representa o quanto você e sua amiga ofertaram de cada tipo de produto 
financeiro por exemplo, a primeira coluna mostra que você ofertou 14 fundos de renda 
fixa, e sua amiga ofertou 20 fundos desse mesmo tipo. 
Dessa forma, uma matriz é simplesmente um agrupamentoretangular de 
números dispostos regularmente em linhas e colunas. 
 
6 
 
O tamanho de uma matriz é definido pelo número de linhas e colunas que ela 
contém. Assim, uma matriz é dita ser do tipo (leia-se m por n) quando ela tem 
m linhas e n colunas. No exemplo anterior, a matriz que representa 
o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro 
é do tipo 
Consequentemente, pode-se desenvolver uma classificação de diferentes tipos 
de matrizes baseada no tamanho delas (SILVA, 2012). 
2.1 Matriz retangular 
É aquela na qual o número de linhas e colunas é diferente, isto é 
A matriz a seguir é retangular, pois é do tipo 2 × 3: 
 
Outro exemplo desse tipo de matriz seria o seguinte, que é uma matriz do tipo 3 
× 2: 
 
2.2 Matriz quadrada 
É aquela que contém o mesmo número de linhas e colunas, isto é, 
Esse é o caso de uma matriz do tipo 2 × 2: 
 
2.3 Matriz coluna 
É um caso particular de matriz retangular, composta por uma única coluna. Por 
isso, é do tipo 
O exemplo a seguir mostra uma matriz coluna do tipo 3 × 1. 
 
7 
 
 
2.4 Matriz linha 
É outro caso particular de matriz retangular, pois é composta por uma única linha 
e, por isso, do tipo 
O exemplo a seguir mostra uma matriz linha do tipo 1 × 2. 
 
Outra classificação importante de matrizes envolve os elementos da matriz. 
Considere a matriz A dada por: 
 
 
O elemento que aparece na intersecção da primeira linha com a 
segunda coluna é o número 0. Assim, ele pode ser representado de forma mais 
geral como. Dessa maneira, cada elemento da matriz é representado por 
uma “coordenada de localização” na matriz dada por em que o índice i indica a 
linha, e o índice i indica a coluna em que se pode localizar um determinado elemento da 
matriz (SILVA, 2012). 
Neste exemplo, os elementos da matriz são identificados como: Ou 
seja: 
 
 
Para a matriz do tipo 2 × 3 dada por: 
 
 
 
8 
 
Os elementos da matriz são identificados como: 
 
 
2.5 Matriz diagonal 
Os elementos da diagonal principal de uma matriz são aqueles em que i = j, ou 
seja, etc. 
Uma matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal principal são todos 
nulos, isto é, para é dita ser diagonal (SILVA, 2012). 
No exemplo a seguir, a matriz B é diagonal, pois os elementos são 
nulos. 
 
2.6 Matriz triangular 
Há dois tipos de matriz triangular: a superior, em que os elementos abaixo da 
diagonal principal são nulos, ou seja: 
 
 
 
E a inferior, em que os elementos acima da diagonal principal são nulos, ou seja: 
 
 
9 
 
2.7 Matriz escalar 
É uma matriz diagonal em que todos os elementos são iguais. 
 
2.8 Matriz identidade 
É um caso particular da matriz escalar, pois todos seus elementos da diagonal 
principal são iguais à unidade, isto é, para 
Uma notação convencional para a matriz identidade é rotulá-la por 
(SILVA, 2012). 
A matriz identidade do tipo 3 × 3 é: 
 
 
E a matriz identidade do tipo 2 × 2 é: 
 
2.9 Matriz transposta 
Dada uma matriz A: 
 
 
Do tipo 2 × 3, a matriz transposta de A, denotada por, é obtida pela 
transposição entre a primeira linha e a primeira coluna, e entre a segunda linha e a 
segunda coluna, resultando em uma matriz do tipo 3 × 2: 
 
10 
 
 
 
2.10 Matriz simétrica 
Uma matriz quadrada é simétrica quando o que implica na seguinte 
relação entre os elementos da matriz fora da diagonal principal: 
Por exemplo, a matriz a seguir é simétrica, uma vez que 
 
Em contrapartida, uma matriz quadrada é antissimétrica se Por 
exemplo, A=[
0 1
−1 0
] são antissimétrica, pois: 
 
2.11 Matriz nula 
É aquela matriz em que todos os elementos são nulos, isto é, para 
qualquer valor de (SILVA, 2012). 
 
11 
 
 
3 OPERAÇÕES COM MATRIZES 
Depois de conhecidos os diferentes tipos de matrizes, você aprenderá como 
efetuar algumas operações importantes com matrizes, tais como: adição, subtração, 
multiplicação por um escalar e, finalmente, multiplicação entre matrizes (SILVA, 2012). 
4 IGUALDADE 
Duas matrizes são iguais quando elas têm o mesmo tamanho, e seus elementos 
são todos iguais. Se as matrizes quadradas A e B do tipo 2 × 2 são iguais, então 
 
 
 
12 
 
5 ADIÇÃO 
A operação de adição entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é realizada 
por meio da soma direta dos elementos de cada matriz, que estão localizados em uma 
mesma linha e uma mesma coluna, ou seja, 
 
 
 
A operação de adição tem duas propriedades importantes, descritas a seguir 
(SILVA, 2012). 
5.1 Propriedade comutativa 
Dadas duas matrizes A e B, o resultado das somas A + B e B + A é igual. 
 
 
 
13 
 
5.2 Propriedade associativa 
Dadas três matrizes A,B e C, o resultado da soma (A + B) com C é igual ao da 
soma de A com B + C (SILVA, 2012). 
 
 
5.3 Subtração 
A operação de subtração entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é 
realizada por meio da subtração direta dos elementos de cada matriz, que estão 
localizados em uma mesma linha e uma mesma coluna, ou seja, 
 
 
14 
 
6 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR 
Um escalar é simplesmente um número puro (que também pode ser visto 
como uma matriz 1 × 1). Então, a multiplicação de uma matriz A por um escalar qualquer 
implica que cada elemento da matriz será multiplicado pelo escalar. (SILVA, 2012). 
Por exemplo, se c = 2, então: 
 
 
 
Observe que, nesse processo de multiplicação, a matriz resultante tem o mesmo 
tamanho da matriz original A. 
A operação de multiplicação de uma matriz por um escalar apresenta algumas 
propriedades, que são descritas a seguir (SILVA, 2012). 
 
 Dadas duas matrizes A e B e um escalar c, o resultado da multiplicação 
do escalar pela soma das matrizes, é igual à soma das 
matrizes já multiplicadas individualmente pelo escalar, 
 
 
 Dada uma matriz A e dois escalares c e d, o resultado da soma dos 
escalares multiplicado pela matriz, é igual à soma da matriz 
multiplicada individualmente por cada um dos escalares, 
 
 
 Dada uma matriz A e dois escalares c e d, o resultado da multiplicação de 
um escalar pela matriz já multiplicada pelo outro escalar, é igual ao produto 
dos escalares multiplicado pela matriz, 
 
 
15 
 
7 MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES 
A multiplicação entre matrizes exigirá de você um pouco mais de atenção. A única 
condição necessária para que se possa multiplicar duas matrizes, A e B, é que o número 
de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. Assim, se a matriz A 
é do tipo m × n, e a matriz B é do tipo p × q, então o produto AB entre as matrizes somente 
ocorre se n = p. 
Além disso, o resultado final dessa multiplicação entre as matrizes A e B será 
uma nova matriz do tipo m × q, ou seja, com o mesmo número de linhas da matriz A, mas 
com o mesmo número de colunas da matriz B. Em particular, para o caso de duas 
matrizes quadradas de mesmo tamanho, a matriz resultante do produto entre elas será 
do mesmo tamanho que elas. 
A existência dessa relação entre o número de colunas de uma matriz com o 
número de linhas da outra decorre da necessidade de se envolver um mesmo número de 
elementos para multiplicação entre as matrizes (SILVA, 2012). 
Considere o seguinte exemplo: uma matriz A do tipo 2 × 3, dada por: 
 
 
E uma matriz B do tipo 3 × 1, dada por: 
 
 
Como o número de colunas de A, que é 3, é igual ao número de linhas de B, que 
também é 3, essa multiplicação é possível. Observe também que a multiplicação de uma 
matriz do tipo 2 × 3 (A) por uma matriz do tipo 3 × 1 (B) resulta em uma matriz do tipo 2 
× 1 (AB). 
Operacionalmente, a multiplicação ocorre da seguinte maneira: multiplica-se a 
primeira linha da matriz A pela coluna da matriz B, elemento por elemento na ordem que 
estão dispostos o primeiro elemento da primeira linha de A, 1, com o primeiro elemento 
 
16 
 
da coluna de B, 2, segundo elemento da primeira linha de A, 1, com o segundo elementoda coluna de B, 3, e assim por diante somando-se os produtos individuais desses 
elementos, 1 ∙ 2 + 1 ∙ 3 + 2 ∙ 1 = 7, cujo resultado será o primeiro elemento da matriz 
coluna resultante do produto entre A e B. Repete-se o mesmo procedimento para a 
segunda linha da matriz A, multiplicando-a com a primeira coluna da matriz B, cujo 
resultado, 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 13, corresponderá ao segundo elemento da matriz coluna 
resultante do produto entre A e B (SILVA, 2012). 
Veja: 
 
 
Agora, considere uma nova matriz A do tipo 1 × 2, dada por: 
 
 
E uma nova matriz B do tipo 2 × 2, dada por: 
 
 
Nesse caso, o resultado da multiplicação da matriz A pela matriz B será uma 
matriz do tipo 1 × 2. Agora, para você calcular o produto AB, deve multiplicar a linha da 
matriz A pela primeira coluna da matriz B, 1 ∙ 2 + 3 ∙ 2 = 8, cujo resultado fornece o 
primeiro elemento da matriz linha resultante do produto entre A e B. O segundo elemento 
dessa matriz é obtido pela multiplicação da linha da matriz A com a segunda coluna da 
matriz B, 1 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 6. Veja: 
 
 
O último tipo de multiplicação de matrizes relevante é a multiplicação entre duas 
matrizes quadradas. Considere duas matrizes do tipo 2 × 2, dadas por: 
 
17 
 
 
 
A matriz resultante do produto AB também será uma matriz quadrada do tipo 2 × 
2 e é operacionalmente obtida como: 
 
Logo: 
 
A operação de multiplicação entre matrizes apresenta algumas propriedades 
importantes. Considere três matrizes A, B e C, cujos tamanhos permitem realizar as 
operações de soma e multiplicação para cada situação de interesse (SILVA, 2012). 
7.1 Propriedade associativa 
O resultado da multiplicação da matriz A pelo produto das matrizes B e C é igual 
ao produto das matrizes A e B multiplicado pela matriz C: 
 
7.2 Propriedade distributiva 
À direita: o resultado da multiplicação da soma das matrizes A e B pela matriz C 
é igual à soma dos produtos das matrizes A com C e B com C: 
 
 
À esquerda: o resultado da multiplicação da matriz A pela soma das matrizes B 
e C é igual à soma dos produtos das matrizes A com B e A com C: 
 
18 
 
 
 
Contudo, vale a pena observar que, em geral, o produto entre duas matrizes não 
é comutativo, isto é, AB ≠ BA (note que o produto entre dois escalares é sempre 
comutativo, ou seja, 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2 = 6). 
Para que você entenda isso, considere duas matrizes quadradas do tipo 2 × 2. 
 
O produto AB é dado por: 
 
 
O produto BA é dado por: 
 
 
Logo, quando você compara elemento por elemento em cada uma das matrizes 
resultantes de AB e BA (por exemplo, você percebe 
que eles são todos diferentes (SILVA, 2012). 
No entanto, a partir desse tratamento geral para o produto de duas matrizes, é 
possível extrair algumas condições particulares que possibilitam gerar AB = BA. Uma 
primeira condição surge quando uma das matrizes é a matriz identidade. Por exemplo, 
se B = I, então o produto entre A e I será comutativo: 
 
 
 
(Faça nos resultados acima de AB e BA.) 
 
19 
 
A segunda condição particular é aquela em que as duas matrizes são diagonais, 
ou seja, A= [
𝑎11 0
0 𝑎22
] e B= [
𝑏11 0
0 𝑏22
]. Nesse caso, o produto entre as duas matrizes é 
comutativo, pois: 
 
 
(Faça nos resultados acima de AB e BA.) 
 
8 EQUAÇÃO MATRICIAL 
Uma equação matricial é uma relação de igualdade entre duas ou mais matrizes, 
assim como ocorre com os escalares por exemplo, 2x – 4 = 0. 
Algumas equações matriciais típicas são A + B = C; A – 2B = 3C; AX = B; A² = X 
e assim por diante (SILVA, 2012). 
9 APLICAÇÕES COM MATRIZES 
Reconsidere o exemplo discutido no início deste capítulo, em que você e sua 
amiga são agentes autônomos. A matriz que representa o quantitativo de produtos 
financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro é: 
 
Para o mês de fevereiro, o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você 
e sua amiga é: 
 
 
20 
 
Portanto, a quantidade de diferentes produtos financeiros que vocês ofertaram 
nesses dois meses é: 
 
 
Logo, você ofertou 24 fundos de renda fixa e fundos multimercado, enquanto sua 
amiga ofertou 30 fundos de renda fixa e 22 fundos multimercados (SILVA, 2012). 
Agora, considere que vocês recebem uma comissão para cada produto financeiro 
ofertado. Para fundos de renda fixa, a comissão é de R$ 100,00 por produto ofertado. Já 
para os fundos multimercados e os planos de previdência, as comissões são, 
respectivamente, de R$ 120,00 e R$ 150,00 por produto ofertado. Para saber o valor total 
que cada um de vocês receberá de comissão ao final desses dois meses, basta primeiro 
criar uma matriz do tipo 3 × 1, em que cada elemento será o valor da comissão para cada 
produto. Assim: 
 
Depois, você pode multiplicar o resultado da soma das matrizes A e B, ou seja, 
A + B, com a matriz C: 
 
 
Portanto, nesses dois meses, você receberá um total de R$ 9.330,00 de 
comissão, e sua amiga receberá um total R$ 9.840,00 (SILVA, 2012). 
 
21 
 
 
10 INVERSA DE UMA MATRIZ 
Uma operação simples na álgebra de escalares é a divisão de um número por 
ele mesmo, cujo resultado é igual à unidade. Assim, se N é um número qualquer 
e então: 
 
 
Por exemplo, para N = 3: 
 
 
Aqui, o número representa o inverso do número de modo que 
qualquer número multiplicado por seu inverso será igual à unidade (SILVA, 2012). 
 
22 
 
Esse conceito também pode ser estendido para as matrizes com a devida 
adaptação. Com efeito, se A for uma matriz quadrada, e B for outra matriz quadrada de 
mesmo tamanho, então, a verificação de uma relação do tipo: 
 
 
Onde a matriz identidade, implica necessariamente que B é a matriz 
inversa de A. Desse modo, você pode fazer a seguinte identificação: 
Logo: 
 
 
No entanto, vale a pena fazer a seguinte ressalva: diferentemente dos escalares, 
não existe a relação para matrizes, ou seja, não é possível dividir algo 
(um escalar ou mesmo uma matriz) por uma matriz. (SILVA, 2012). 
Para exemplificar como o conceito de matriz inversa pode ser visto, considere a 
matriz A dada por: 
 
 
Cuja matriz inversa é a B: 
 
 
Pois: 
 
 
 
 
23 
 
Para o caso de uma matriz quadrada do tipo 2 × 2, é possível desenvolver uma 
solução geral para se determinar sua inversa (SILVA, 2012). 
Sejam a, b, c e d os elementos de uma matriz A: 
 
 
E sejam x, y, z e t os elementos da matriz inversa de A: 
 
Que são, em princípio, desconhecidos. A fim de se determinar os elementos 
dessa matriz inversa, a partir do conhecimento dos elementos de A, é necessário que a 
seguinte relação seja verificada: 
 
 
A relação anterior conduz a um conjunto de quatro equações a quatro variáveis, 
x, y, z e t, pois os elementos a,b, c e d são supostamente conhecidos a partir de uma 
dada matriz A. Logo: 
 
 
 
A partir das duas primeiras equações, determina-se x e y (por exemplo, basta 
isolar a variável x na primeira equação, e substituir na segunda, 
 
Obtendo-se a variável y, que, depois, pode ser substituída na primeira equação, 
a fim de se obter x). Desse modo: 
 
24 
 
 
A partir das duas últimas equações, determinam-se z e t (por exemplo, basta 
isolar a variável z na terceira equação, e substituir na quarta, 
Obtendo-se a variável t, que, depois, pode ser substituída na terceira equação, a 
fim de se obter z). Desse modo: 
 
 
Como o fator é comum a todos os elementos da matriz inversa, 
 
Você pode fatorá-lo na montagem da matriz inversa, de maneira que: 
 
 
No exemplo inicial proposto, os elementos da matriz A eram: 
 
 
E portanto, pelo resultado anterior, a matriz inversa ficaria: 
 
 
Que é exatamente a matriz B, inicialmente considerada como sendo a matriz 
inversa de A (SILVA, 2012). 
Uma consequência direta desse resultado para uma matriz do tipo 2 × 2 é que a 
matriz inversa existe somente se o denominador (ad – bc) for diferente de 0. Observe que 
a quantidade (ad – bc) nada mais é queo determinante da matriz A. Caso contrário, se 
(ad – bc) = 0, a matriz inversa não existe, pois, todos os elementos da matriz inversa 
estariam divididos por 0. Nesse sentido, diz-se que a matriz é invertível. 
 
25 
 
Existem algumas propriedades envolvendo as matrizes inversas que valem a 
pena ser conhecidas. 
10.1 Propriedade 1 
Se uma matriz A contém uma inversa, então, a inversa da matriz inversa é 
a própria matriz A: 
 
 
No exemplo apresentado, você viu que: 
 
 
Então, calculando a inversa dessa matriz 
 
 
Que é exatamente a matriz A. 
10.2 Propriedade 2 
Considere duas matrizes A e B, ambas invertíveis, então, a inversa do produto 
entre elas, AB, será igual ao produto das inversas de (SILVA, 2012). 
 
 
Por exemplo, para as matrizes: 
 
 
 
26 
 
As respectivas matrizes inversas são: 
 
Já o produto entre as matrizes A e B é: 
 
Então, a matriz inversa desse produto é: 
 
 
Mas o produto da matriz inversa de com a matriz inversa de 
Também resulta em: 
 
 
Logo, nesse exemplo, verifica-se a validade da expressão 
(SILVA, 2012). 
10.3 Propriedade 3 
Se A é uma matriz quadrada, então, o produto de n vezes 
ela mesma. Será igual a 
Além disso, se a matriz inversa de A existe, então, a matriz também contém uma 
inversa, que é dada por: 
 
 
Por exemplo, para e a matriz: 
 
 
Cuja inversa é: 
 
27 
 
 
 
Você tem que o quadrado de A é: 
 
 
E a inversa dessa matriz é dada por: 
 
 
No entanto, o quadrado da matriz é: 
 
 
Que é exatamente igual a Logo, verifica-se explicitamente que 
 
11 MATRIZ ORTOGONAL 
Uma matriz A é dita ortogonal se sua matriz transposta é igual à sua matriz 
inversa: 
 
Assim como para uma matriz ortogonal, vale também: 
 
 
Um bom exemplo de matriz ortogonal surge na física, envolvendo a rotação de 
corpos rígidos ou sistemas de referência no plano (SILVA, 2012). 
Nesse caso, a matriz de rotação é dada por: 
 
28 
 
 
A matriz transposta de R (obtida trocando a primeira linha pela primeira coluna, 
e a segunda linha pela segunda coluna) é: 
 
 
Então, efetuando o produto entre você tem: 
 
 
Em que se empregou a identidade trigonométrica 
Similarmente: 
 
 
Embora o resultado obtido para encontrar a matriz inversa de uma matriz do tipo 
2 × 2: 
 
 
Seja muito útil e relativamente fácil de ser construído, desenvolver o mesmo 
procedimento que conduziu a esse resultado para obter a matriz inversa de matrizes de 
tamanhos maiores pode ser algo extremamente trabalhoso. 
Outro método que você pode utilizar para encontrar a matriz inversa de matrizes 
de qualquer tamanho envolve apenas operações elementares sobre linhas (SILVA, 
2012). 
A ideia básica é perfilar, lado a lado, uma matriz A que se quer determinar a 
inversa, e a matriz identidade I, ambas de mesmo tamanho, da seguinte maneira: 
 
29 
 
 
 
Se você multiplicar essa relação por pela esquerda, você tem: 
 
Observe atentamente que essa operação fez com que, no lado esquerdo, 
aparecesse a matriz identidade, mas, principalmente, do lado direito, surge a matriz 
inversa de A (SILVA, 2012). 
Portanto, se você executar operações elementares entre linhas, tal como 
multiplicar uma linha por uma constante ou somar uma linha com outra linha, de modo a 
transformar a matriz A do lado esquerdo em uma matriz identidade, então, a matriz 
resultante que aparece no lado direito após esse processo é essencialmente a matriz 
inversa de A: 
 
 
Como um primeiro exemplo sobre esse método, considere novamente a matriz A 
dada no exemplo inicial deste capítulo: 
 
 
Fazendo o perfilamento entre A e I, você tem: 
 
 
Agora, você deve efetuar algumas operações elementares sobre essa "matriz 2 
× 4", a fim de transformar o bloco 2 × 2 do lado esquerdo em uma matriz identidade. 
Para isso, multiplique toda a segunda linha por –3: 
 
 
30 
 
 
E a nova segunda linha fica: 
 
 
Então, some os elementos da primeira linha com os da segunda, um a um, 
mantendo a mesma ordem: 
 
 
Esses resultados vão compor a nova segunda linha: 
 
 
Multiplique a segunda linha por –1: 
 
 
E a nova segunda linha fica: 
 
 
Note que a segunda linha do lado esquerdo já tem a aparência da segunda linha 
de uma matriz identidade (SILVA, 2012). 
Agora, multiplique a segunda linha por –5 e, depois, some com a primeira linha: 
 
 
 
E a nova primeira linha fica: 
 
 
 
31 
 
Por fim, dívida toda a primeira linha por: 
 
E a nova primeira linha fica: 
 
 
Observe que, do lado esquerdo, apareceu a matriz identidade. Portanto, do lado 
direito dessa relação, você tem exatamente a matriz inversa de A: 
 
 
Esse resultado para a matriz inversa de certamente já era esperado, pois ele já 
foi obtido de outra maneira no início desta seção. No entanto, exatamente por já ser um 
resultado conhecido, você pode desenvolver a aplicação desse método de obtenção da 
matriz inversa com mais segurança. 
A partir deste ponto, você já tem condições de empregar o método de inversão 
de matrizes para matrizes maiores que uma do tipo 2 × 2. Essa é a grande vantagem 
desse método (SILVA, 2012). 
Então, para um segundo exemplo de uso do método, considere a seguinte matriz 
quadrada do tipo 3 × 3: 
 
 
Para você encontrar é necessário perfilar a matriz C com a matriz 
identidade de mesmo tamanho: 
 
 
 
32 
 
Multiplique a primeira linha por –1 e some com a última linha: 
 
 
E a nova terceira linha fica: 
 
 
Agora, multiplique a primeira linha por –2 e some com a segunda linha: 
 
 
E a nova segunda linha fica: 
 
 
Multiplique a segunda linha por 2 e some com a terceira linha: 
 
 
E a nova terceira linha fica: 
 
 
Multiplique a última linha por –1: 
 
 
E a nova terceira linha fica: 
 
 
33 
 
 
Aqui, você já conseguiu obter a última linha de uma matriz identidade do tipo 3 × 
3 do lado esquerdo (SILVA, 2012). 
Agora, o próximo passo é transformar a segunda linha do lado esquerdo na 
segunda linha de uma matriz identidade. Então, multiplique a terceira linha por 3 e some 
com a segunda linha: 
 
 
E a nova segunda linha fica: 
 
 
Que, no lado esquerdo, já corresponde à segunda linha da matriz identidade do 
tipo 3 × 3. Agora, resta transformar apenas a primeira linha. Para isso, multiplique a última 
linha por –3 e some com a primeira linha: 
 
 
E a nova primeira linha fica: 
 
 
Por fim, multiplique a segunda linha por –2 e some com a primeira linha: 
 
 
E a nova primeira linha fica: 
 
 
 
34 
 
Observe que, finalmente, a matriz que aparece do lado esquerdo é a matriz 
identidade do tipo 3 × 3. Portanto, a matriz inversa de C é dada por: 
 
 
Em princípio, você pode obter a matriz inversa, desde que ela exista de uma dada 
matriz quadrada de qualquer tamanho, por meio desse método (SILVA, 2012). 
12 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Talvez a primeira questão que lhe venha à mente ao iniciar o seu estudo sobre o 
conteúdo deste capítulo é: o que é uma equação linear? Então respondemos: uma 
equação linear pode ser uma equação da reta no plano (que tem duas dimensões 
bidimensional), que pode ser escrita como: 
 
Em que a e b são duas constantes. Por exemplo, 
Assim, sabendo o valor da variável x, é possível determinar o valor de y e, com 
essas duas informações, localizar um ponto qualquer no plano. Nesse exemplo, se então, 
Se uma reta no plano é descrita por uma equação linear, duas 
retas nesse mesmo plano serão descritas por duas equações lineares. Pronto! Agora 
você tem um sistema de duas equações lineares. O sistema seguinte exemplifica isso 
(SILVA,2012). 
 
 
O esboço do gráfico dessas duas retas aparece na Figura 1a. Observe que essas 
duas retas contêm um ponto P em comum, demarcando o local no plano onde elas se 
encontram. Encontrar os valores das variáveis x e y desse ponto P significa resolver esse 
sistema de duas equações lineares. Essa tarefa é simples nesse exemplo. Igualandoas 
 
35 
 
duas equações de reta, você encontra o valor de 4 para a variável x. Logo, substituindo 
esse valor de x em qualquer uma das duas equações de reta, você 
obtém o valor de 
Será que sempre é possível resolver um sistema de equações lineares? A 
resposta é dada na Figura 1b. Veja que se trata de duas retas 
paralelas, ou seja, um sistema de duas equações lineares. E, por isso, elas não se 
encontram para nenhum valor de x (ou y). Logo, não há solução para esse sistema. 
 
 
 
De modo geral, uma reta no plano pode ser escrita como: 
 
 
Em que a, b e c são constantes. Já a equação geral de um plano no espaço 
tridimensional (comprimento × largura × altura) pode ser escrita como: 
 
 
Em que a, b, c e d são constantes (SILVA, 2012). 
Com efeito, uma equação linear de n variáveis é uma equação do 
tipo: 
 
 
36 
 
 
Em que os coeficientes e b são todos constantes (SILVA, 2012). 
Para uma reta no plano, são as variáveis, e a equação 
linear fica por outro lado, equações do tipo: 
 
 
Não são lineares, pois, nas equações lineares, as variáveis aparecem apenas na 
potência 1 (lembre-se de que 
E multiplicadas apenas por coeficientes constantes. As variáveis não estão 
multiplicadas entre si nas equações lineares. Dessa maneira, o conjunto de mais de uma 
equação linear constitui um sistema de equações lineares (SILVA, 2012). 
Um exemplo de sistema de equações lineares do tipo 2 × 2 (são duas equações 
para duas variáveis) é: 
 
 
A solução desse sistema pode ser obtida da seguinte maneira. Resolvendo a 
primeira equação para y, você obtém. 
Substituindo esse resultado na segunda equação, você terá uma equação 
apenas para a variável 
Agora, um exemplo de sistema de equações lineares do tipo 3 × 3 (são três 
equações para três variáveis) é: 
 
A solução desse sistema demanda um pouco mais de trabalho. Resolvendo a 
primeira equação para y, você obtém 
Assim, você pode reescrever a segunda equação para z como uma função 
apenas da variável 
 
37 
 
Substituindo esses dois resultados para y e z, como funções de x, na terceira 
equação, você encontra o valor da variável x que satisfaz esse sistema: 
 logo, 
Com efeito, 
É possível que dois sistemas lineares contenham o mesmo conjunto de soluções, 
e, por isso, eles são denominados de sistemas lineares equivalentes. Como exemplo, 
dois sistemas de equações lineares equivalentes são: 
 
 
Pois é a mesma solução para ambos. Contudo, perceba que é 
mais simples resolver o segundo sistema, que já fornece diretamente o valor de uma das 
variáveis, do que resolver o primeiro (SILVA, 2012). 
13 SISTEMAS HOMOGÊNEO E NÃO HOMOGÊNEO 
Os sistemas de equações lineares podem ser de dois tipos: não homogêneo e 
homogêneo. Um sistema de equações lineares não homogêneo do tipo 3 × 3 é dado por: 
 
 
Onde os coeficientes são constantes. 
Um olhar mais atento para esse sistema de equações lineares indica que ele 
apresenta naturalmente uma estrutura matricial, ou seja, você pode reescrevê-lo como 
um produto entre matrizes. De fato, ele pode ser visto como uma matriz coluna do tipo 3 
× 1, que resulta do produto entre uma matriz dos coeficientes, do tipo 3 × 3, pela matriz 
coluna das variáveis, do tipo 3 × 1. Veja: 
 
 
38 
 
Onde: 
 
 
É a matriz dos coeficientes que aparecem multiplicando as variáveis. 
Agora, quando a matriz coluna das constates for nula (SILVA, 2012). 
 
 
O sistema de equações lineares resultante é denominado de homogêneo: 
 
Ou seja: 
 
 
E como a matriz dos coeficientes não é nula em geral, então uma possível 
solução é aquela em que: 
 
Ou seja, que também é conhecida como solução trivial, pois 
todas as variáveis são nulas. Por exemplo, um sistema linear homogêneo do tipo 2 × 2 
pode ser: 
 
Cuja representação matricial é: 
 
 
39 
 
 
Aqui, é solução do sistema. Observe atentamente que essas duas 
equações lineares representam retas que passam pela origem; que é exatamente o ponto 
onde elas se cruzam (SILVA, 2012). 
Além da solução trivial, um sistema linear homogêneo pode admitir infinitas 
soluções. Esse é o caso quando o número de variáveis é maior que o de equações. Por 
exemplo, o sistema linear homogêneo: 
 
 
Cuja representação matricial é da forma: 
 
 
Contém duas equações e três variáveis: x, y e z. Resolvendo a primeira equação 
para z, você obtém: 
Substituindo esse resultado na segunda equação: 
 
Que resulta em: 
 
 
Portanto, uma vez escolhido um valor para a variável y, você encontra os valores 
correspondentes das variáveis x e z. Exatamente por haver infinitas possibilidades de 
escolha de valor para y, que o sistema contém infinitas soluções. Por exemplo, se: 
 
 
 
40 
 
14 SISTEMAS LINEARES COM UMA EQUAÇÃO MATRICIAL 
Todo sistema de equações lineares contém naturalmente uma estrutura matricial. 
Para que você perceba isso, considere um sistema do tipo 2 × 2 qualquer: 
 
 
A estrutura do lado esquerdo dessas duas equações lineares é tipicamente igual 
àquela que envolveria o produto entre duas matrizes: uma matriz quadrada do tipo 2 × 2 
para os coeficientes em que e outra matriz coluna do tipo 2 × 1 para 
as variáveis em que j = 1, 2. Dessa forma, você pode escrever (SILVA, 2012).
 
 
Similarmente, as constantes 𝑏𝑖 em que que aparecem do lado direito 
das equações lineares anteriores, também podem ser postas em um formato matricial 
mais especificamente, como uma matriz coluna do tipo 2 × 1: 
 
 
Com efeito, o sistema de equações lineares pode ser substituído por uma 
representação em forma de equação matricial do tipo: 
 
Em que a matriz A: 
 
 
É denominada de matriz dos coeficientes, a matriz X 
 
 
41 
 
 
É a matriz das variáveis, e a matriz B: 
 
 
É a matriz das constantes. 
Uma vez estabelecida a relação entre sistemas de equações lineares e 
matriciais, você pode encontrar a solução de tais sistemas por meio das matrizes. 
(SILVA, 2012). Veja como isso é possível: se a matriz dos coeficientes A é quadrada e 
admite a existência de uma inversa então, você pode determinar a matriz das 
variáveis por multiplicar a equação matricial do sistema por pela esquerda: 
 
 
Em que I é a matriz identidade. 
Portanto, a solução do sistema será dada pela matriz das variáveis X , calculada 
por meio da relação: 
 
Assim, torna-se necessário saber calcular a matriz inversa associada à matriz 
dos coeficientes, a fim de se obter a solução do sistema. 
15 SISTEMAS LINEARES COM MATRIZ INVERSA 
Para que você coloque em prática os resultados da seção anterior e, portanto, 
consiga resolver um sistema de equações lineares por meio da matriz inversa dos 
coeficientes, considere o seguinte sistema do tipo 2 × 2: 
 
 
 
42 
 
Nesse caso, é fácil reconhecer a matriz dos coeficientes: 
 
 
Enquanto que a matriz das variáveis é: 
 
 
E a matriz das constantes é: 
 
 
Afim de se determinar X por meio da equação matricial 
É necessário calcular a matriz inversa de A (SILVA, 2012). 
Então, perfilando a matriz A e a matriz identidade do tipo 2 × 2, você obtém: 
 
 
Primeiro, multiplique a primeira linha por 3 e some com a segunda linha: 
 
 
E a nova segunda linha fica: 
 
Divida a segunda linha por 5: 
 
E a nova segunda linha fica: 
 
Agora, multiplique a segunda linha por –1 e some com a primeira linha: 
 
43 
 
 
 
E a nova primeira linha fica: 
 
 
Multiplique a primeira linha por –1: 
 
 
E a nova primeira linha fica: 
 
 
Observe que você já tem, do lado esquerdo, uma matriz identidade do tipo 2 × 2. 
Logo, a matriz inversa de A é dada por: 
 
 
Por fim, para você determinar a matriz X, basta calcular o produto matricial 
 
 
Logo, a solução desse sistema é dada por: 
 
 
Em que: 
 
 
44 
 
16 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Em situações envolvendo sistemas com apenas duas equações lineares de duas 
variáveis, a solução pode ser obtida de formadireta (SILVA, 2012). 
A partir de uma das equações, escreve-se uma relação que define uma variável 
em função da outra e, então, substitui-se essa relação na segunda equação, o que 
permite determinar uma das variáveis e, depois, a outra. Esse método foi empregado na 
resolução dos sistemas apresentados acima. No entanto, já para um sistema do tipo 3 × 
3 e sistemas de equações lineares maiores, esse método é mais trabalhoso e, por 
conseguinte, suscetível a erros de cálculo nas diversas passagens (SILVA, 2012). 
Com efeito, torna-se necessária a utilização de um método que forneça um 
procedimento operacional bem-definido, a fim de que a obtenção da solução para 
qualquer tipo de sistema seja padronizada. A chave para isso você já viu no final da 
primeira seção deste capítulo: dado um sistema, é interessante encontrar um sistema 
equivalente que forneça a mesma solução para o sistema original, mas que seja mais 
fácil de ser resolvido. Você verá, a seguir, dois métodos importantes para a resolução de 
sistemas de equações lineares. 
17 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
O método de eliminação de Gauss consiste em substituir um dado sistema de 
equações lineares por outro equivalente, que seja mais simples de ser solucionado e que 
tenha a mesma solução do sistema original. Isso pode ser feito por meio de três tipos de 
operações matemáticas que visam a eliminar variáveis. 
Para que você entenda quais são essas operações que mantêm inalterada a 
solução do sistema original, considere novamente o sistema do tipo 2 × 2: 
 
 
Cuja solução é 
As três operações elementares sobre linhas são as seguintes: 
 
45 
 
1) Multiplicar uma equação por uma constante 
Se você multiplicar a primeira equação desse sistema por, então, o novo sistema 
será: 
 
 
Resolvendo a primeira equação para y, você obtém ou seja, 
Substituindo esse resultado na segunda equação: 
 Então A solução original não foi alterada por essa operação elementar 
 
2) Trocar de posição duas equações entre si. 
Isso significa passar a primeira equação para o lugar da segunda, e vice-versa. 
O novo sistema fica: 
 
 
Daí, resolvendo a segunda equação para Substituindo esse 
resultado na primeira equação: logo, 
A solução original não foi alterada por essa operação elementar (SILVA, 2012). 
 
3) Somar um múltiplo de uma equação a uma outra equação 
Essa operação é menos óbvia. Primeiramente, construa um novo sistema, 
multiplicando a primeira equação por 3 (operação i): 
 
 
Agora, construa outro sistema no qual a segunda equação será igual à soma das 
duas equações do sistema acima; ou seja, soma-se a primeira linha com a segunda do 
sistema: 
 
46 
 
 
 
A segunda linha já fornece diretamente o valor da variável y: y = 5. Substituindo 
esse resultado na primeira equação: então 
Portanto, novamente a solução original não foi alterada por essa operação elementar 
(SILVA, 2012). 
Note que a aplicação das três operações fornece sistemas equivalentes, pois 
conduz a soluções iguais. Contudo, é a operação (iii) que representa a essência do 
método de eliminação de Gauss, pois, a partir dela, é possível obter um sistema 
equivalente em que uma das equações tenha apenas uma variável. Como você já deve 
ter percebido, as três operações acima agem apenas nos coeficientes e constantes 
Por isso, é mais conveniente escrever a matriz aumentada do sistema para 
aplicar o método da eliminação de Gauss. Uma vez que a matriz dos coeficientes 
e a matriz da constantes é para o exemplo discutido acima, então, a matriz 
aumentada fica sendo: 
 
 
Agora, você executa as mesmas operações elementares sobre as linhas dessa 
matriz aumentada. 
 
Primeiro passo: multiplique a primeira linha por 3. 
 
A primeira linha da nova matriz aumentada fica: 
 
Segundo passo: some essa nova primeira linha com a segunda. 
 
 
A segunda linha da nova matriz aumentada fica: 
 
47 
 
 
Observe que apareceu um zero no primeiro elemento da segunda linha 
(destacado na cor verde). Se você restabelecer o formato de sistema novamente: 
 
 
Note que, pela segunda linha, então 
Substituindo esse resultado na primeira equação: 
como você já esperava. 
Nessa configuração, a matriz aumentada está em sua forma escalonada por 
linhas, ou simplesmente forma escalonada, pois a estrutura da matriz assemelha-se à de 
uma escada (SILVA, 2012). 
Portanto, o método de eliminação de Gauss consiste em escalonar a matriz 
aumentada, que essencialmente significa escalonar o sistema de equações lineares, de 
modo a obter um novo sistema equivalente cuja resolução é mais simples e possui a 
mesma solução do sistema original. 
18 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN 
Embora, nesse ponto, você já possa resolver o sistema como anteriormente a 
partir do restabelecimento da forma usual do sistema, a representação escalonada lhe 
permite avançar um pouco mais em direção à solução direta do sistema, sem a 
necessidade de substituição do valor de uma variável em outra equação para determinar 
mais uma variável, e assim por diante. A ideia básica é continuar a fazer operações 
elementares sobre linhas. 
Terceiro passo: Divida a primeira equação por 3, e a segunda por 5. 
 
 
 
48 
 
A primeira e segunda linhas da nova matriz aumentada ficam: 
 
 
Quarto passo: multiplique a primeira equação por –1, e depois some a segunda 
a ela. 
 
 
A primeira linha da nova matriz aumentada fica: 
 
 
Nessa nova configuração, a matriz aumentada está na forma escalonada 
reduzida por linhas. 
Quinto e último passo: restabeleça a forma usual do sistema 
 
 
Você já tem a solução diretamente: esse arranjo final do sistema 
(ou da matriz aumentada), em que os valores das variáveis são obtidos diretamente sem 
cálculos adicionais, é conhecido como método de eliminação de Gauss-Jordan (SILVA, 
2012). 
19 DETERMINANTES E SUAS PROPRIEDADES 
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Antes de 
introduzir sua definição precisa, apresentaremos alguns exemplos de casos particulares, 
que podem ajudar na compreensão do caso geral. Seguiremos uma linha semelhante à 
apresentada em Nicholson (2006). 
 
Caso 2 × 2: 
 
49 
 
Consideremos a seguinte matriz: 
 
 
O determinante da matriz A será denotado por det(A) e pode ser calculado da 
seguinte maneira. 
 
 
Como, em resumo, o produto dos elementos da diagonal principal (a da esquerda 
para a direita) menos o produto dos elementos da diagonal secundária (a da direita para 
a esquerda (Nicholson, 2006). 
Essa propriedade é válida para matrizes dois por dois em geral, isto é, você 
poderá utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
 
Um fato importante para se considerar em matrizes, de maneira geral, é que uma 
matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente 
de zero. Assim, os exemplos anteriormente apresentados são de uma matriz invertível a 
matriz A e da matriz B , que não possui inversa (JUNIOR, 2006). 
Para matrizes 2 × 2, cujo determinante seja não nulo, podemos ainda trabalhar 
com a seguinte fórmula: 
 
 
50 
 
 
Caso 3 × 3 
 
Para matrizes de tamanho 3 × 3, você poderá calcular o determinante utilizando 
determinantes menores e cofatores (SILVA, 2012). 
 
 
A partir dos cofatores, podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada 
utilizando a expansão do determinante em cofatores. 
19.1 Expansão em cofatores 
Seja uma matriz quadrada de números reais, a expansão em cofatores do 
determinante da matriz a partir da k-ésima linha é dada por: 
 
 
Essa fórmula permite calcular o determinante de matrizes de qualquer tamanho, 
mas observe que o número de operações cresce de maneira muito rápida (JUNIOR, 
2006). 
 O determinante de uma matriz 3 × 3 implica três determinantes de matrizes 2 × 
2 na sua expansão em cofatores. Já o determinante de uma matriz 4 × 4 implica quatro 
 
51 
 
determinantes de matrizes 3 × 3, sendo que cada um dessesimplica três determinantes 
de matrizes 2 × 2, gerando um total de 12 determinantes 2 × 2. 
Um ponto a ser destacado é que a expansão pode ser feita a partir de qualquer 
uma das linhas. Não existe nenhuma restrição, mas, a fim de reduzir o número de 
cálculos, é comum escolher a linha com a maior quantidade de zeros. 
A seguir, apresentamos algumas das propriedades mais importantes do 
determinante de uma matriz, que podem ser de muita utilidade no cálculo de 
determinantes. 
 
4) P1: o determinante da matriz nula é igual a zero. 
5) P2: o determinante da matriz identidade é igual a um. 
6) P3: o determinante é uma função linear de cada linha isto é, se multiplicarmos uma 
linha por k, o determinante da matriz é multiplicado por k. 
7) P4: se duas linhas (ou colunas) da matriz são iguais, ou múltiplo não nula uma da 
outra, o determinante da matriz é igual a zero. 
8) P5: se uma das linhas (ou colunas) for formada apenas por elementos nulos, o 
determinante da matriz é igual a zero. 
9) P6: se a matriz for triangular ou diagonal, o determinante é igual ao produto dos 
elementos da diagonal da matriz (JUNIOR, 2006). 
 
 
 
Veja, agora, um exemplo sobre matrizes triangulares. 
 
 
52 
 
 
 
Como dito anteriormente, a expansão em cofatores pode ser utilizada para 
matrizes de qualquer dimensão, não apenas 2 × 2 ou 3 × 3 (JUNIOR, 2006). 
20 DETERMINANTES DA MATRIZ INVERSA 
 Uma matriz possui inversa se, e somente se, seu determinante é diferente de 
zero. Além disso, você também aprendeu a calcular a matriz inversa de uma matriz 2 × 
2, utilizando o determinante. 
Agora, verá como utilizar a fórmula de expansão em cofatores para encontrar a 
inversa de uma matriz quadrada de qualquer dimensão. Para tal, você precisará do 
seguinte resultado (JUNIOR, 2006). 
 
Teorema: seja uma matriz cujo determinante é diferente de zero, e então 
sua matriz inversa pode ser calculada desta forma: 
 
 
Em palavras, a matriz inversa de A é igual ao inverso do determinante de A 
multiplicado à transposta da matriz de cofatores de A. 
O resultado foi enunciado no caso 3 × 3, para facilitar a compreensão, mas pode 
ser utilizado para matrizes de qualquer dimensão. 
 
53 
 
Um importante resultado sobre matrizes inversas é enunciado a seguir. 
 
Teorema: dada uma matriz as afirmações listadas a seguir são 
equivalentes. 
1. é invertível. 
2. det(A) ≠ 0 
3. As n linhas de são linearmente independentes. 
 
Outro fato importante sobre matrizes inversas é que elas são fortemente 
relacionadas aos sistemas lineares. Considere um sistema de equações lineares 
homogêneo, cuja forma matricial seja: 
 
Fato: o sistema linear homogêneo anterior tem apenas a solução trivial se, e 
somente se, a matriz A é invertível. 
Esse fato nos fornece uma maneira simples e prática de verificar se a solução 
trivial (vetor nulo) é a única de um sistema linear homogêneo (JUNIOR, 2006). 
Concluímos esta seção com uma importante relação entre o determinante de 
uma matriz e o determinante de sua inversa. 
Teorema: seja uma matriz invertível, então: 
 
 
Veja, a seguir, um exemplo de aplicação desse resultado. 
 
 
54 
 
 
Observe que a exigência de o determinante ser diferente de zero, A invertível é 
necessária, uma vez que não se pode ter divisão por zero. 
21 AUTOVALORES E DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES 
Nesta seção, você verá como calcular os autovalores de uma matriz e como 
utilizá-los no processo de diagonalização de matrizes, essencial na resolução de 
sistemas lineares (SILVA, 2006). 
Um número é um autovalor de uma matriz se existe algum vetor 
v, tal que: 
 
 
Em palavras é um autovalor de se existir um vetor v , tal que, ao 
aplicarmos sobre v obtemos Nesse caso, a operação de aplicar uma 
transformação linear foi capsulada no produto por um número. Diremos, também, que v 
é um autovetor de associado ao autovalor 
 
55 
 
Isso é equivalente a dizer que é um autovalor de se existir solução 
para o sistema linear homogêneo 
Outra maneira de procurar pelos autovalores de uma matriz é por meio do 
polinômio característico. Dada uma matriz seu polinômio característico é definido 
por: 
 
 
 
Agora, você verá um resultado apresentado por Nicholson (2006), que nos 
permite relacionar autovalores e autovetores com o processo de diagonalização de 
matrizes (JUNIOR, 2006). 
 
Teorema: seja uma matriz, então: 
1. a é diagonalizável se, e somente se, ela possui autovetores tais que a 
matriz é invertível; 
 
56 
 
2. quando esse for o caso, temos 
onde é o autovalor associado ao autovetor 
 
Veja um último exemplo sobre a diagonalização de matrizes (JUNIOR, 2006). 
 
 
 
Um último resultado, extremamente interessante e relacionado ao polinômio 
característico de uma matriz, é o Teorema de Cayley-Hamilton. Esse resultado, atribuído 
aos matemáticos Arthur Cayley e William Hamilton, diz que uma matriz 
é um zero de seu próprio polinômio característico. De maneira mais precisa, quer 
dizer o seguinte 
 
Teorema(Cayley-Hamilton): considere a matriz é o polinômio 
característico da matriz então: 
´ 
 
57 
 
Esse teorema fornece um excelente teste para verificar se o cálculo do polinômio 
característico foi efetuado de maneira correta (JUNIOR, 2006). 
22 ESPAÇOS VETORIAIS: EXEMPLOS E PROPRIEDADES BÁSICAS 
Um espaço vetorial E é um conjunto de vetores, no qual estão definidas 
operações de soma e de multiplicação por um número real, de modo que dados vetores 
 
 
Quando as condições anteriores são satisfeitas, podemos dizer que o conjunto E 
é fechado em relação às operações de soma e multiplicação por número real. 
Adicionalmente, essas operações devem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ ℝ e u, v, w ∈ 
E, as seguintes condições, ditas axiomas do espaço vetorial (DANESI, 2018). 
 
a) Comutatividade: 
b) Associatividade: 
c) Vetor nulo: existe dito vetor nulo, tal que, para todo 
 
d) Inverso aditivo: para cada existe dito inverso aditivo 
de u, tal que: 
 
e) Distributividade: 
f) Identidade por 1: para todo 
 
Uma curiosidade é reparar que usamos o símbolo “0” tanto para o número real 
zero quanto para o vetor nulo. Isso não será problema, pois uma consequência desses 
axiomas é que 
 
58 
 
O exemplo trivial que poderíamos citar é o caso que e os vetores u 
são as n-uplas de números reais. Ao invés dele, falaremos de um espaço vetorial muito 
similar, mas que mostra uma flexibilidade da definição para outros tipos de conjuntos 
(DANESI, 2018). 
 
 
 
Esse exemplo não é muito diferente do porque existe uma identificação entre 
os polinômios de grau n de coeficientes reais, definidos em ℝ, e as n-uplas de números 
reais na medida em que: 
 
 
 
59 
 
Contudo, é válido imaginar o significado de um produto interno nesse espaço 
vetorial, o que seriam polinômios ortogonais e as transformações lineares sobre esses 
elementos (DANESI, 2018). 
Antes de prosseguir com essas questões, vamos explorar um exemplo: 
 
 
 
Esse exemplo é mais distante do porque uma função é definida pelas imagens 
dos infinitos 
Isso nos dá abertura para imaginarmos o conceito de dimensão aplicado a esse 
conjunto. Como será que podemos definir uma base? Novamente, antes de falarmos 
dessas questões mais avançadas, seguiremos com a próxima definição natural (DANESI, 
2018). 
 
60 
 
22.1 Subespaços vetoriais 
Seja E um espaço vetorial. Um subespaço vetorial (ou apenas subespaço) de E 
é um subconjunto que ainda é um espaço vetorial em relação às operações de 
E. Isto é, F apresenta as seguintes propriedades. 
 
 
São considerados subespaços triviais de E o conjunto {0} que contém apenas o 
vetor nulo e o próprio E. Aproveitando os exemplos anteriores, podemos dar os seguintes 
subespaços não triviais (DANESI, 2018). 
 
 
 
O espaço vetorial definido pelas funções contínuas em também nos dá 
um exemplo de subespaço. 
 
 
61 
 
 
22.2 Subespaços geradosDado um conjunto de vetores contido no espaço vetorial E, 
existem dizemos que u ∈ E é combinação linear de se 
 
 
O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de B é dito gerado de B 
(DANESI,2018). 
 
 
Esse conjunto é subespaço vetorial de E, pois: 
 
 
 
62 
 
 
 
Dessa maneira, os vetores u + v e αu também são combinações lineares de B, 
pois, para todo α ∈ ℝ: 
 
 
Isso quer dizer que é fechado em relação às operações de E. 
22.3 Um conjunto como espaço vetorial 
Pelo que foi definido anteriormente, um conjunto E dotado de uma operação de 
soma e uma operação de multiplicação por um número real é um espaço vetorial, se E 
satisfaz as condições (i) e (ii) de fechamento das operações e as condições de (a) até (f) 
das propriedades necessárias às operações (DANESI, 2018). 
Podemos reescrever essa definição como um algoritmo, a fim de verificar se um 
determinado conjunto E com duas operações é espaço vetorial. 
 
1) Identificar o conjunto E de elementos que serão os vetores. 
2) Identificar as operações de soma e multiplicação por escalar 
3) Verificar as condições (i) e (ii), isto é, se as operações de soma e multiplicação 
por escalar são fechadas em E. 
4) Verificar as propriedades (a) até (f). 
Exemplo de espaços que são comuns nas aplicações (DANESI, 2018). 
 
63 
 
 
23 UM SUBCONJUNTO COMO SUBESPAÇO VETORIAL 
Como foi definido, dado E espaço vetorial, um subespaço vetorial (ou subespaço) 
de E é um subconjunto que ainda é um espaço vetorial em relação às 
operações de E. Isto é, F precisa ser fechado em relação às operações de E. 
Confirmamos isso se verificarmos o seguinte. 
 
 Se então 
 Se então, para todo 
 
A tarefa de determinar se um subconjunto é subespaço depende de um número 
menor de condições por F herdar as operações do espaço E. Essas operações trazem, 
de forma implícita, as propriedades (a) até (f), necessitando apenas mostrar que F é 
fechado em respeito a essas operações (DANESI, 2018). 
 
64 
 
24 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
Dado um conjunto de vetores em diremos que o vetor 
É uma combinação linear desses, se existirem em 
tais que: 
 
 
Veja, a seguir, um exemplo de combinação linear (DANESI, 2018). 
 
 
 
Consideremos, agora, um conjunto de vetores que 
diremos que é linearmente independente, se os únicos valores de 
que tornam a combinação verdadeira, são 
 
 
Em outras palavras, um conjunto de vetores é linearmente independente se, e 
somente se, a única combinação deles, que resulta no vetor nulo, for a que apresenta 
todos os coeficientes iguais a zero (JUNIOR, 2006). 
 
65 
 
Diremos que um conjunto é linearmente dependente se existirem coeficientes 
tais que: 
 
 
Isto é, existe uma combinação não nula que resulta no vetor nulo. Uma 
interpretação importante de um conjunto linearmente dependente é que qualquer um dos 
vetores desse conjunto pode ser escrito como combinação linear dos demais. 
Um importante teorema sobre esse assunto é apresentado em Nicholson (2006). 
 
Teorema: se é um conjunto linearmente independente, 
então, todo vetor tem uma escrita única como combinação linear dos 
vetores 
Em palavras, se um conjunto de geradores é linearmente independente, cada 
vetor do espaço gerado é escrito de maneira única, a menos da ordenação, como 
combinação linear dos vetores geradores. 
25 GERADOR E MATRIZ INVERSA 
O último exemplo da seção anterior nos fornece uma bela ideia de como 
conjuntos geradores estão relacionados com conjuntos linearmente independentes. 
Agora, você verá de perto essa relação e como matrizes inversas e determinantes podem 
ser utilizadas para auxiliar na identificação de conjuntos linearmente independentes de 
vetores. O método do exemplo anterior pode ser sumarizado da seguinte maneira 
(NICHOLSON, 2006). 
 
Teste para independência linear: para verificar que um conjunto de vetores
 é linearmente independente, proceda do seguinte modo. 
 
1) Escreva uma combinação linear dos vetores e iguale ao vetor nulo: 
 
 
66 
 
2) Mostre que a única maneira de isso ocorrer é trivialmente, ou seja, com todos 
os coeficientes iguais a zero. 
É claro que, se existir alguma solução não trivial, o conjunto de vetores é 
linearmente dependente (JUNIOR, 2006). 
 
O sistema linear associado ao problema poderia ser escrito em forma matricial, 
como: 
 
 
Observe, primeiramente, que o sistema é homogêneo. Portanto, se a matriz 
principal for invertível, ele admite como solução apenas o vetor nulo. Com efeito, a matriz 
principal do sistema tem determinante igual 36 e, portanto, é invertível. Segue que a única 
solução possível para esse sistema é a trivial. Resumindo o fato exposto, temos o 
seguinte teorema (NICHOLSON, 2015). 
Seja A uma matriz então as seguintes afirmações são equivalentes: 
 
1) A é invertível. 
2) As colunas de A são linearmente independentes em . 
3) As colunas de A geram o espaço 
4) As linhas de A são linearmente independentes em 
5) As linhas de A geram o espaço 
 
Esse método de verificar se a matriz é invertível para concluir sobre a 
independência de um conjunto de vetores pode ser muito útil. Veja o exemplo a seguir. 
 
67 
 
 
26 COMBINAÇÕES LINEARES E GEOMETRIA 
A geometria dos espaços e algumas de suas relações com conjuntos 
geradores, dependência e independência linear (NICHOLSON, 2015). 
 Em continuação ao tópico anterior, um corolário imediato daquele teorema pode 
ser enunciado como em Nicholson (2015). 
ou 2 , então: Corolário: sejam vetores não nulos em 
 
 
68 
 
 
Esse simples resultado pode nos ajudar a estabelecer alguns testes muito úteis 
para a compreensão de algumas propriedades geométricas. No plano euclidiano, por 
exemplo, é muito importante conhecer quando dois vetores são paralelos (JUNIOR, 
2006). 
Veja o exemplo a seguir: 
 
 
 
Uma consequência importante desse corolário é a possibilidade de determinar 
se duas retas em são paralelas ou não, com o simples cálculo de um 
determinante (NICHOLSON, 2015). 
Em temos algumas possibilidades quanto à geometria de espaços gerados. 
Conjuntos com um único vetor não nulo dão origem a retas em 
 
69 
 
Conjunto com dois vetores linearmente independentes geram, como subespaços, 
planos em 
Por fim, conjuntos com três vetores linearmente independentes geram o próprio 
espaço 
Unindo essa informação com a ideia de que, em transformações matriciais, as 
colunas geram o espaço imagem, podemos determinar a geometria do espaço imagem 
por meio da dependência ou independência linear dos vetores coluna da matriz da 
transformação. 
As relações de dependência e independência linear fornecem poderosas 
informações sobre conjuntos de vetores. Futuramente, você aprenderá sobre o 
importante papel que conjuntos geradores linearmente independentes exercem em 
álgebra linear (JUNIOR, 2006). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
27 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
27.1 Bibliografia Básica 
ANTON, Howard. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. 
LIPSCHUTZ, Seymour. 
 
Álgebra linear: teoria e problemas. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 2004. 647p. 
STRANG, Gilbert. Álgebra Linear e suas aplicações. São Paulo: Cengage, 2010. 
27.2 Bibliografia Complementar 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 
2006. 
 
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2003. 
 
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2012. 786 p. 
 
CRISPINO, M. L. 320 questões resolvidas de álgebra linear. Rio de Janeiro: Ciência 
Moderna, 2012. 
 
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006. 394 p 
 
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.