Questão resolvida - 6 Questão_ Use integração por parte para resolver as seguintes integrais_ Letras a) e b) - Cálculo II - UFBA

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Use integração por parte para resolver as seguintes integrais:
 
a) x - 5x - 2 e dx∫ 3 2 2x
 
Resolução:
 
Vamos aplicar integral por partes, a definição de integral por partes é;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
Temos que:
 
udv = x - 5x - 2 e dx∫ ∫ 3 2 2x
Assim;
 
u = x - 5x - 2 du = 3x - 5 ⋅ 2x dx du = 3x - 10x dx3 2 → 2 → 2
 
dv = e dx v = e dx; u = 2x du = 2dx 2dx = du dx =2x → ∫ 2x → → → du
2
 
v = e v = v =∫ u du
2
→
e
2
u
→
e
2
2x
Com isso, a integral fica;
 
x - 5x - 2 e dx = x - 5x - 2 - 3x - 10x dx∫ 3 2 2x 3 2 e
2
2x
∫e
2
2x
2
 
Vamos aplicar novamente, na integral que surgiu, a técnica de integração por partes;
 
3x - 10x dx = 3x - 10x e dx = udv∫e
2
2x
2
1
2
∫ 2 2x 1
2
∫
 
u = 3x - 10x du = 6x - 10 dx2 → ( )
 
 
 
dv = e dx v = e dx v =2x → ∫ 2x ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪ 
e
2
2x
 
Temos, então;
 
3x - 10x dx = 3x - 10x - 6x - 10 dx∫e
2
2x
2
1
2
2
e
2
2x
∫e
2
2x
( )
 
Com isso, a integral fica;
 
x -5x -2 e dx = x -5x -2 - 3x -10x - 6x-10 dx∫ 3 2 2x 3 2 e
2
2x 1
2
2 e
2
2x
∫e
2
2x
( )
 
= x -5x -2 - 3x -10x + 6x-10 dx = x -5x -2 - x - x e + e x- dx3 2
e
2
2x
2 e
4
2x
∫e
4
2x
( ) 3 2
e
2
2x 3
4
2 10
4
2x ∫ 2x 6
4
10
4
 
= x -5x -2 - x - x e + e x- dx3 2
e
2
2x 3
4
2 5
2
2x ∫ 2x 3
2
5
2
 
Aplicando, novamente, integral por partes na integral que surgiu:
 
e x - dx = x - e dx = udv∫ 2x 3
2
5
2
∫ 3
2
5
2
2x ∫
 
u = x - du = dx
3
2
5
2
→
3
2
 
dv = e dx v = e dx v =2x → ∫ 2x ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪ 
e
2
2x
 
Então;
 
6x - 10 dx = x - - dx = x - - e du∫e
2
2x
( )
3
2
5
2
e
2
2x
∫e
2
2x 3
2
e
2
2x 3
2
5
2
3
4
∫ 2x
 
e du∫ 2x ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪ 
e
2
2x
 
Então;
 
 
Já fizemos essa integral
Já fizemos essa integral
Já fizemos essa integral
 
6x - 10 dx = x - - ⋅ = e x - -∫e
2
2x
( )
3
2
5
2
e
2
2x 3
4
e
2
2x
2x 3
4
5
4
3e
8
2x
 
Finalmente, a integral fica:
 
x - 5x - 2 e dx = x - 5x - 2 - x - x e + e x - - + c∫ 3 2 2x 3 2 e
2
2x 3
4
2 5
2
2x 2x 3
4
5
4
3e
8
2x
 
Vamos distribuir os termos, agrupando os que forem similares, e reescrever o resultado da 
integral;
 
x - 5x - 2 e dx = x - 5x - 2 - x e + xe + xe - e - + c∫ 3 2 2x 3 e
2
2x
2 e
2
2x e
2
2x 3
4
2 2x 5
2
2x 3
4
2x 5
4
2x 3e
8
2x
 
x - 5x - 2 e dx = x e + + + + c∫ 3 2 2x 1
2
3 2x
-10x e - 3x e
4
2 2x 2 2x 10xe + 3xe
4
2x 2x -8e - 10e - 3e
8
2x 2x 2x
 
Por fim, temos que o resultado da integral é;
 
x - 5x - 2 e dx = x e - + -∫ 3 2 2x 1
2
3 2x
13x e
4
2 2x 13x e
4
2 2x 21e
8
2x
 
 
b) ln|x| dx∫( )2
 
Resolução:
 
Sabemos que a definição de integral por partes é;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
 
Devemos ter;
 
ln|x| dx = udv∫( )2 ∫
 
 
(Resposta )
 
Temos que : u = ln|x| du = 2ln|x| du = ln|x|dx( )2 →
1
x
→
2
x
 
dv = dx v = dx v = x→ ∫ →
Com isso, a integral fica;
 
ln|x| dx = ln|x| x - x ln|x|dx = ln|x| x - 2 ln|x|dx∫( )2 ( )2 ∫ 2
x
( )2 ∫
 
Vamos, novamente, aplicar a técnica de integração por partes na integral que apareceu;
 
2 ln|x|dx = 2 udv∫ ∫
 
Agora, temos que : u = ln|x| du = dx →
1
x
dv = dx v = dx v = x→ ∫ →
 
Então; 2 ln|x|dx = 2 ln|x|x - x dx = 2ln|x|x - 2 dx = 2ln|x|x - 2 1dx = 2ln|x|x - 2x∫ ∫ 1
x
∫x
x
∫
Dessa forma, a integral fica;
 
ln|x| dx = ln|x| x - 2ln|x|x - 2x + c = ln|x| x- 2 ln|x|x- x + c ∫( )2 ( )2 ( ) ( )2 ( )
 
 
(Resposta )