mma12_fichas_4

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Proposta de resoluções 
Proposta de resoluções 
1.	Estude a monotonia das sucessões definidas por:
	1.1.	 				1.2.	 
	1.3.	 				1.4.	 
	1.5.	 				1.6.	 
2.	Mostre que são limitadas as sucessões de termos gerais:
	2.1.	 					2.2.	 
3.	Prove, por indução matemática, que .
4.	Determine o termo geral da progressão aritmética sabendo que e .
5.	Seja uma progressão geométrica de razão e com .
	Calcule .
	Apresente o valor pedido na forma de dízima.
6.	Indique o limite de cada uma das sucessões definidas por:
	6.1.	 		6.2.	 			6.3.	 
Ficha de revisão 4
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
 Teste ∙ 90 minutos										P
	6.4.	 		6.5.	 			6.6.	 	
Ficha de revisão 4 – Domínio 4 – Página 7
7.	Calcule.
	7.1.	 				7.2.	 
	7.3.	 				7.4.	 
	7.5.	 			7.6.	 
	7.7.	 				7.8.	 
	7.9.	 				7.10.	 
	7.11.	 				7.12.	 
	7.13.	 				7.14.	 
8.	Escreva na forma de um produto.
	8.1.	 				8.2.	 
	8.3.	 					8.4.	 
	8.5.	 				8.6.	 
	8.7.	 					8.8.	 
	8.9.	 					8.10.	 
9.	Resolva, em , as inequações, apresentando o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.
	9.1.	 					9.2.	 
	9.3.	 				9.4.	 
Ficha de revisão 4
	9.5.	 				9.6.	 
1.	Foi efetuado um depósito de 7200 euros num banco à taxa anual de 2,7%, no regime de juros compostos.
	Calcule o capital disponível ao fim de um ano, em euros, arredondado ao cêntimo, com:
	1.1.	capitalizações trimestrais;
	1.2.	capitalizações diárias (considere um ano não bissexto).
2.	Foi efetuado um depósito de 4250 euros, no regime de juros compostos, a uma taxa nominal de , com capitalizações mensais.
	O capital acumulado decorrido um ano era de, aproximadamente, 4331,46 euros.
	Determine a taxa de juro aplicada.
	Apresente o valor pedido na forma de percentagem com duas casas decimais.
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Miniteste 4.1.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Miniteste 4.1. – Domínio 4 – Página 1
Item de seleção
Foi efetuado um depósito de 1000 euros num banco no regime de juro composto à taxa anual de 3%, com capitalizações semestrais.
Qual é o capital disponível, em euros, ao fim de 10 anos?
(A) 					(B) 
(C) 					(D) 
Item de construção
Calcule.
1.	 				2. 
3.	 				4. 
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Questão-aula 4.1.
4.7.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Questão-aula 4.1. – Domínio 4 – Página 1
Item de seleção
Foi efetuado um depósito de 1000 euros num banco no regime de juro composto à taxa anual de 3%, com capitalizações semestrais.
Qual é o capital disponível, em euros, ao fim de 10 anos?
(A) 					(B) 
(C) 					(D) 
Item de construção
Calcule.
1.	 				2. 
3.	 				4. 
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Miniteste 4.2.
4.7.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Miniteste 4.1. – Domínio 4 – Página 1
Item de seleção
Indique o número real que é solução da equação .
(A) 					(B) 
(C) 					(D) 
Item de construção
Seja a função, de domínio , definida por , onde e são números reais não nulos.
Sabe-se que o gráfico de passa pelos pontos e de coordenadas e , respetivamente.
Prove que .
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Questão-aula 4.2.
4.7.
Questão-aila 4.2. – Domínio 4 – Página 1
1.	Calcule.
	1.1.	 				
	1.2.	 
2.	Considere os números reais positivos e diferentes de 1 tais que e . Determine o valor de:
	2.1.	 
	2.2.	 
3.	Resolva, em , as seguintes equações.
	3.1.	 			
	3.2.	 
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Miniteste 4.3.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Miniteste 4.3. – Domínio 4 – Página 1
Item de seleção
Na figura, está representada, em referencial ortonormado , parte do gráfico da função , definida em , por .
Na mesma figura está também representado o triângulo isósceles . 
Sabe-se que:
• o ponto tem ordenada nula e pertence ao gráfico de ;
• o ponto tem abcissa igual a e pertence ao gráfico de ;
• o ponto tem ordenada nula;
• .
Qual das seguintes expressões representa a área do triângulo , em função de ?
(A) 					(B) 
(C) 					(D) 
Item de construção
Considere a função definida em por:
1.	Mostre que .
2.	Determine o(s) zero(s) de .
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Questão-aula 4.3.
4.7.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Questão-aula 4.3. – Domínio 4 – Página 1
1.	Resolva, em , as equações seguintes.
	1.1.	 
	1.2.	
2.	Seja a função definida em por:
	2.1.	Resolva, em , a inequação .
		Apresente as soluções usando a notação de intervalos de números reais.
	2.2.	Prove que .
3.	Sejam e as funções reais de variável real definidas por: 
	3.1.	Determine o domínio de cada uma das funções.
	3.2.	Determine o(s) zero(s) da função , caso exista(m).
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Miniteste 4.4.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Miniteste 4.4. – Domínio 4 – Página 1
Item de seleção
Seja a função real de variável real definida em por:
Qual das seguintes opções é o conjunto dos zeros da função ?
(A) 					(B) 
(C) 				(D) 
Item de construção
Considere a função , real de variável real, definida por:
						 
1.	Determine o domínio da função .
2.	Resolva, em , a condição .	
	Apresente as soluções recorrendo à notação de intervalos de números reais.
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Questão-aula 4.4.
4.7.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Questão-aula 4.4. – Domínio 4 – Página 1
1.	Calcule.
	1.1.	 				
	1.2.	 
	1.3.	 			
	1.4.	 
2.	Calcule.
	2.1.	 			
	2.2.	 
	2.3.	 					
	2.4.	 
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Miniteste 4.5.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Miniteste 4.5. – Domínio 4 – Página 1
Item de seleção
Indique o valor de .
(A) 						
(B) 
(C) 							
(D) 
Item de construção
Determine, nos pontos em que existe, uma expressão da função derivada de cada uma das funções definidas por: 
1.					
2.	
3.	 				
4.	 
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Questão-aula 4.5.
4.7.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Questão-aula 4.5. – Domínio 4 – Página 1
1.	Considere a função , de domínio , definida por:
				 
	1.1.	Verifique que a função é contínua no ponto de abcissa .
	1.2.	Estude a função quanto à existência de assíntotas horizontais ao seu gráfico.
		Na sua resposta, apresente as equações dessas assíntotas.
2.	Seja a função, real de variável real, definida por:
						 
	2.1.	Determine o domínio da função .
	2.2.	Estude a função quanto à existência de assíntotas verticais ao seu gráfico.
		Na sua resposta, apresente as equações dessas assíntotas.
	2.3.	Estude a função quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.
		Na sua resposta, apresente os intervalos de monotoniae o(s) valor(es) de para o(s) 	qual(ais) a função tem extremo(s), caso exista(m).
	2.4.	Indique o contradomínio de .
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Miniteste 4.6.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Miniteste 4.6. – Domínio 4 – Página 1
Item de seleção
Seja a função, de domínio , definida por:
Considere as proposições e tais que:
	 O gráfico de tem dois pontos de inflexão de abcissas 1 e 2.
	: A equação reduzida da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa é 		 .
Relativamente às proposições e podemos afirmar que:
(A) são ambas verdadeiras;
(B) é verdadeira e é falsa;
(C) é falsa e é verdadeira;
(D) são ambas falsas.
Item de construção
Considere a função definida em por . 
1.	Mostre que a taxa média de variação da função no intervalo é igual a .
2.	Seja a derivada de .
	Mostre, sem resolver a equação, que tem, pelo menos, uma solução em .
	Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a 	arredondamentos use duas casas decimais.
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Questão-aula 4.6.
4.7.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Questão-aula 4.6. – Domínio 4 – Página 1
1.	Admita que a área (em metros quadrados) da superfície corporal de uma pessoa pode ser expressa, aproximadamente, em função da sua massa (em quilogramas) por:
						 
1.1.	Determine a área da superfície corporal de uma criança que tem 9 kg de massa. Apresente o valor pedido em metros quadrados, arredondado às centésimas.
1.2.	Determine a massa de uma pessoa cuja área da superfície corporal é, aproximadamente, .
		Apresente o valor pedido em quilogramas, arredondado às unidades.
2.	O nível de um som, medido em decibéis, é função de uma intensidade , medida em watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade:
					, para 
	2.1.	Qual é a intensidade sonora, em watt por metro quadrado, que emite um aparelho de 	MP4 que gera 110 decibéis?
	2.2.	Seja a intensidade sonora, em watt por metro quadrado, quando o nível sonoro é decibéis e seja a intensidade sonora, em watt por metro quadrado, quando o 	nível sonoro é decibéis.
		Verifique que, para qualquer valor de , é constante.
		Determine um valor aproximado dessa constante, com duas casas decimais, e 	interprete esse valor no contexto da situação descrita.
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Miniteste 4.7.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Miniteste 4.7. – Domínio 4 – Página 1
Item de seleção
Admita que o número de indivíduos de uma determinada população é dado por: 
onde é o tempo decorrido, em anos, a partir de um certo instante inicial e e são constantes reais.
Suponha que a população inicial é de 1024 indivíduos e que decorridos 10 anos a população reduziu-se a metade da população inicial.
Quantos anos terão de decorrer, no mínimo, para que a população se reduza a da população inicial?
(A) 			(B) 			(C) 			(D) 
Item de construção
A acidez de uma solução é medida pelo valor do seu modelada pela seguinte função definida por:
							 
onde designa a concentração de iões , medida em .
Um engenheiro agrónomo analisou as condições de um dado solo para dar início a um plantio. O PH do solo tende a ser mais fértil quando este apresenta um valor entre 6 e 7. No entanto, após as análises efetuadas, a concentração de iões era de . Por outro lado, a produtividade máxima é obtida quando a concentração de iões apresenta um valor de .
Qual deverá ser a correção no PH para que este solo atinja a produtividade máxima?
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Questão-aula 4.7.
4.7.
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de revisão 1
Soluções
Questão-aula 4.7. – Domínio 4 – Página 1
1.	No dia do nascimento do seu filho, o António efetuou um depósito de 800 euros, numa certa conta num dado banco, no regime de juros compostos, a uma taxa anual nominal de 4,5%, com capitalização anuais.
	Admita que este depósito bem como as condições contratadas se mantêm até o seu filho atingir a maioridade, isto é, 18 anos.
	Qual é o capital acumulado durante esse período de tempo? 
	Apresente o valor pedido em euros, arredondado aos cêntimos. 
2.	Calcule. 
	2.1.	 				2.2.	 
	2.3.	 				2.4.	 
	2.5.	 				2.6.	 
3.	Resolva, em , sem recorrer à calculadora, as seguintes inequações, apresentando a sua resposta na forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos de números reais.
	3.1.	 					3.2.	 	
	3.3.	 		3.4.	 	
	3.5.	 				3.6.	 
4.	Sejam as funções e , de domínios e , respetivamente, definidas por:
 	e 	
	4.1.	Caracterize a função , inversa da função .
	4.2.	Mostre que o zero de é 10.
5.	Considere a função , de domínio , definida por:
				 
	Estude a função quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico.
	Determine uma equação para cada uma das assíntotas do gráfico de .
6.	Seja a função, de domínio , definida por .
	6.1.	Estude a função quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.
		Na sua resposta, apresente os intervalos de monotonia e o(s) extremo(s).
	6.2.	Estude a função quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e à 			existência de pontos de inflexão. Na sua resposta, apresente:
		▪ o(s) intervalo(s) onde o gráfico de tem concavidade voltada para baixo;
		▪ o(s) intervalo(s) onde o gráfico de tem concavidade voltada para cima;
		▪ a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de .
	6.3.	Escreva uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa 2.
	6.4.	Indique o contradomínio da função .
7.	O carbono-14 sofre desintegração radioativa de tal forma que a taxa de variação da 	massa existente no fim de anos é diretamente proporcional a , sendo a 	constante de proporcionalidade igual a .
7.1.	Prove que, a partir de uma massa inicial , a massa existente ao fim de anos é dada pela fórmula:
	7.2.	Uma amostra recolhida num fóssil contém apenas 20% do carbono-14 previsto em 		organismos vivos.
		Determine a idade dessa amostra, em anos, aproximada à unidade.
 Ficha de preparação para o teste de avaliação 4
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
 Teste ∙ 90 minutos										P
Ficha de preparação para o teste de avaliação 4
Ficha de preparação para o teste de avaliação 4 – Domínio 4 – Página 1
Ficha de preparação para o teste de avaliação 4 – Domínio 4 – Página 2
1.	Seja a função de domínio definida por .
	Qual é o conjunto-solução da inequação ?
	(A) 			(B) 		
	(C) 				(D) 
2.	Qual é o valor de ?
	(A) 			(B) 			(C) 			(D) 
3.	Seja a função de domínio definida por: 
				 
	Qual é a equação da assíntota horizontal ao gráfico de ?
	(A) 		(B) 			(C) 			(D) 
4.	Considere a função , real de variável real, de domínio , definida por:
 
	Qual das seguintes opções poderá ser o conjunto ?
	(A) 						(B) 		
	(C) 						(D) 
5.	Admita que num adulto saudável a quantidade de cafeína existente no sangue, após a ingestão de um café, decresce por hora, aproximadamente, 11,5%. Qual é o tempo, em horas, aproximado, que terá de decorrer para que a quantidade de cafeína seja metade da quantidade inicial?
	(A) 	(B) 		(C) 		(D) 
6.	Seja a função definida em por:
				 
	Verifique que a função é contínua em .
7.	Resolva, em , cada uma das seguintes condições.
	7.1.	 
	7.2.	 
8.	Considere a função , de domínio , definida por .
	8.1.	Estude a função quanto à existência deassíntotas ao seu gráfico.
		Na sua resposta, apresente uma equação para cada uma das assíntotas ao gráfico de.
	8.2.	Prove que a função tem um único mínimo relativo.
	8.3.	Resolva, em , a equação .
9.	Seja a função definida em por: 
	Na figura ao lado estão representados:
	▪ parte do gráfico da função ;
	▪ um segmento de reta em que:
	 • é o ponto do gráfico de cuja ordenada é um 	 máximo relativo;
	 • é o único ponto de inflexão do gráfico de .
Defina, por meio de uma condição, o segmento de reta .
 Teste de avaliação 4
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 12.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
 Teste ∙ 90 minutos										P
Teste de avaliação 4
Teste de avaliação 4 – Domínio 4 – Página 1
Teste de avaliação 4 – Domínio 4 – Página 2
Ficha de revisão 4					 Págs. 13 e 14
1.1.	 
 
 
	 e 
	Portanto:
	, isto é, , pelo que é monótona crescente.
1.2.	
 
	 e , portanto, , isto é, , pelo que é monótona crescente.
1.3.	
 
 
 
	 e 
	Portanto:
	, isto é, , pelo que é monótona decrescente.
1.4.	
 
	 e 
	Portanto:
	, isto é, , pelo que é monótona decrescente.
1.5.	
	 			
	
	Como e , conclui-se que a sucessão é não monótona.
1.6.	
 
 
 
 
	 e , Portanto:
	, isto é, , pelo que é monótona crescente.
2.1.	
	Utilizando enquadramentos, tem-se, para todo :
		
	Portanto, , ou seja, a sucessão é minorada por 1 e majorada por 6, logo, é limitada.
2.2.	
	
 
	
 
	
 
	3
	– 1
	
	Portanto, .
	Utilizando enquadramentos, tem-se, para todo :
		
		
		 
	Portanto, , ou seja, a sucessão é minorada por e majorada por 3, logo, é limitada.
3.	1.º A propriedade é verdadeira para .
		 (verdade)
	2.º A propriedade é hereditária.
	Hipótese: Para um dado (1)
	Vamos provar que . (2)
	
porque e pela propriedade transitiva da relação “maior que”. Portanto, conclui-se a hereditariedade da proposição.
	Logo, é uma propriedade verdadeira.
4.	Sabe-se que .
	Sendo e :
	
	Recorrendo, novamente, a e fazendo (por exemplo) e sendo :
	
			
	O termo geral da progressão aritmética é .
5.	A soma de termos consecutivos de uma progressão geométrica é dada por , onde é o primeiro termo, é a razão da progressão e n o número de termos a somar.
	
	Por outro lado: 
	Sendo :
	
	
		 
6.1.	
6.2.	
6.3.	
6.4.	
6.5.	
6.6.	
7.1.	
7.2.	
7.3.	
7.4.	
	
	
7.5.	
	
	
	
7.6.	
	
	
	
7.7.	
7.8.	
	
7.9.	
	
7.10.	
	
7.11.	
	
7.12.	
	
	
7.13.	
	
	
	
	
7.14.	
	
	
	
8.1.	
	
8.2.	
8.3.	
	
8.4.	
	
8.5.	
8.6.	
8.7.	
	
	
8.8.	
	
8.9.	
8.10.	
	
9.1.	
	 
	
9.2.	
		
	 
	
9.3.	
	
		
	 
	
9.4.	
		
	Zeros de denominador: 
		
	 Zeros de numerador: 	
	Recorrendo a uma tabela:
	
	
	0
	
	3
	
	4
	
	
	+
	0
	–
	–
	–
	0
	+
	
	–
	–
	–
	0
	+
	+
	+
	
	–
	0
	+
	n.d.
	–
	0
	+
	Portanto: 
9.5.	
		
		
		
	Zeros de numerador: 
		
	 Zeros de denominador:
		 
		
	Recorrendo a uma tabela:
	
	
	– 4
	
	– 2
	
	2
	
	
	+
	0
	–
	–
	–
	–
	–
	
	+
	+
	+
	0
	–
	0
	+
	
	+
	0
	–
	n.d.
	+
	n.d.
	–
	Portanto:
	
		
9.6.	
		
		
	Zeros do numerador:
	
	 Zeros do denominador: 
	
	Recorrendo a uma tabela:
	
	
	0
	
	1
	
	2
	
	
	+
	+
	+
	+
	+
	0
	–
	
	+
	0
	–
	0
	+
	+
	+
	
	+
	n.d.
	–
	n.d.
	+
	0
	–
	Portanto:
	
Miniteste 4.1.						 Pág. 15
1.1.	Aplicando a fórmula , onde , e :
	
	Ao fim de um ano o capital disponível com capitalizações trimestrais será de, aproximadamente, 7396,38 euros.
1.2.	Aplicando a fórmula , onde , e :
	 
	Ao fim de um ano o capital disponível com capitalizações diárias será de, aproximadamente, 7397,04 euros.
2.	Aplicando à fórmula , onde , e :
	
		
		
		 
	Portanto, .
	A taxa de juro aplicada é, aproximadamente, 1,90%.
Questão-aula 4.1. 					 Pág. 16
Item de seleção
Seja o capital acumulado ao fim de 10 anos, tem-se que , onde é o capital inicial, é a taxa anual, em percentagem, e é o número de capitalizações anuais correspondentes a períodos de tempo iguais em que se divide o ano e o número de anos.
 
Portanto, .
O capital disponível ao fim de 10 anos é, aproximadamente, igual a 1346,86 euros.
Resposta: (B)
Item de construção
1.	
2.	
3.	
 
4.	Recorrendo ao algoritmo da divisão:
	
 
	
 
	
 
	2
	2.
	
	 
	
	
	
	
	
	 
Miniteste 4.2.						 Pág. 17
1.1.	
	
	
1.2.	Recorrendo ao algoritmo da divisão:
	
 
	
 
	
	1
	
 
	
	 , pelo que:
	
	
	
2.1.	
	
2.2.	
	
	
	
2.3.	
	
	
	 
2.4.	
	
	
	
3.1.	
	Cálculo auxiliar:
		
		
		
		
		
		
		Recorrendo a uma tabela:
	
	
	– 1
	
	0
	
	
 
	–
	–
	–
	0
	+
	
 
	+
	+
	+
	+
	+
	
 
	–
	0
	+
	+
	+
	
 
	+
	0
	–
	0
	+
	Portanto: 
3.2.	
	Fazendo :
	
	Cálculo auxiliar:
	
	 	 
	
	Voltando à variável : 
	
 
	Portanto, .
3.3.	▪ Zeros do numerador:
	 
	 
	
	Fazendo :
	
		
	Voltando à variável , tem-se:
	
	Zeros do denominador:
	
		
	Recorrendo a uma tabela:
	
	
	
 
	
	2
	
	
	+
	+
	+
	0
	–
	
 
	+
	0
	–
	–
	–
	
	+
	n.d.
	–
	0
	+
	
Questão-aula 4.2						 Pág. 18
Item de seleção
Resposta: (C)
Item de construção
O gráfico de passa pelos pontos e , portanto, e .
	
	
	
	
	
	
	
Miniteste 4.3.						 Pág. 19
1.1.	
1.2.	
	Fazendo , se , então , pelo que:
	
2.1.	 
	
	
	
	
	Como e :
	
	
2.2.	
	
	
	
	Como e :
	
		
3.1.	
	
	
3.2.	
	
	
	
Questão-aula 4.3.						 Pág. 20
Item de seleção
 pertence ao gráfico de , portanto: 
Logo, . 
Como o triângulo é isósceles:
Por outro lado, pertence ao gráfico de , portanto, , logo, .
Assim, .
Resposta: (A)
Item de construção
Para :
		 
		
		
		
		
		
		 
2.	
 
 
	O zero de é .
Miniteste 4.4.						 Pág. 21
1.1.	
	
	Fazendo :
	
		
	Voltando à variável :
	
	
	
1.2.	
	
	
	
	
	 
	 
2.1.	
	
	Cálculo auxiliar: 
	
 
	Recorrendo a uma tabela:
	
	– 1
	
	0
	
	5
	
	
 
	n.d.
	–
	0
	+
	+
	+
	
 
	n.d.
	+
	+
	+
	0
	–
	
 
	n.d.
	–
	0
	+
	0
	–
	
2.2.	
	
	
	
	
3.1.	
		
		
		
		
	
		
				
		
				
		
		
3.2.	
	 
	
	
	
	
	 
	Portanto, a função não tem zeros.
Questão-aula 4.4						 Pág. 21
Item de seleção
	
	
	
O conjunto dos zeros de é .
Resposta: (D)
Item de construção
	
	
	
			 
	
	
	
2.	
	Tem-se que, , pelo que:
	
	
	
	
	
	
	 , portanto, .
Miniteste 4.5.						 Pág. 22
1.1.	
	
	Fazendo , se , então , pelo que:
	
1.2.	
=
1.3.	
	
	Fazendo , tem-se que , isto é, e se , então , pelo que:
	
	
1.4.	
, dado que
· 
· 
2.1.	
	
	Fazendo , tem-se que e se , então , pelo que:
	
	
	
	
	
	
2.2.	
	
	
	 
2.3.	
	
2.4.	
	 
	
	
	
	 
Questão-aula 4.5						 Pág. 22
Item de seleção
Tem-se que:	
	▪ 
▪ 
Portanto:
	
		
Resposta: (D)
Item de construção
1.	Para :
	
2.	Para :
	
 
3.	Para , tem-se:
	
 
 
 
 
4.	Para , tem-se:
	
Miniteste 4.6						 Pág. 23
1.1.	A função é contínua no ponto de abcissa quando e apenas quando .
	
	
	Fazendo e se , então , pelo que:
	
	
	
	Fazendo , tem-se que e se , então , pelo que:
	
	Por outro lado, . 
	Como , podemos concluir que a função é contínua no ponto de abcissa .
1.2.	Quando :
	 
	 
	A reta de equação é assíntota horizontal ao gráfico de quando .
	Quando :
	
	
	
	Fazendo , e se , então , pelo que:
	
	
	
	Portanto, a reta de equação é assíntota horizontal ao gráfico de quando .
2.1.	
	Cálculo auxiliar:
	
	
	
	Portanto, .
	Assim, 
2.2.	A função é contínua em pois é definida pela composta de duas funções contínuas, uma função logarítmica e uma função quadrática .
	Portanto, apenas as retas de equação e podemser assíntotas verticais ao gráfico da função .
	▪ 
	Portanto, a reta de equação é assíntota vertical ao gráfico de .
	▪ 
		Portanto a reta de equação é assíntota vertical ao gráfico de .
2.3.	Para :
	
	Zeros de 
	 
	 , pois 
	A função não tem zeros.
	Para e para , , portanto, a função é estritamente decrescente em e é estritamente crescente em . 
	A função não tem extremos.
2.4.	A função não tem extremos.
	Por outro lado:
	▪ 
 
	▪ (de modo análogo ao limite anterior)
	▪ e 
	Logo, .
Questão-aula 4.6						 Pág. 24
Item de seleção
Para :
 
 
 
 
 
▪	A reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa pode ser definida pela equação .
 
 
 
 	
A proposição q é verdadeira.
▪ 
	
	
	 
Portanto, os pontos de inflexão do gráfico de têm de abcissa 0 e 3. Assim, a proposição p é falsa.
Resposta: (C)
Item de construção
1.	A taxa média de variação da função no intervalo é dada por:
		
		
 
		
		
2.	Para , tem-se:
	
	A função é contínua em pois é definida pelo quociente de duas funções contínuas: uma é a diferença entre uma função afim e o produto de uma função afim por uma função logarítmica e a outra é o produto de uma função afim por uma função quadrática . 
	Portanto, e em particular, a função é contínua no intervalo já que .
	Por outro lado:
	
	
	Como é contínua em e , podemos afirmar, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, que tem, pelo menos, uma solução em .
Miniteste 4.7.						 Pág. 25
1.1.	. Substituindo em :
	
	A área da superfície corporal de uma criança que tem 9 kg de massa é, aproximadamente, .
1.2.	. Substituindo em :
	
	
	A massa de uma pessoa cuja área da superfície corporal é, aproximadamente, 1,96 m2, é, aproximadamente, 75 kg.
2.1.	. Substituindo em :
	
	
	
	A intensidade sonora emitida por este aparelho de MP4 é de 0,1 watt por metro quadrado.
2.2.	▪ 
		
		
		
	▪	
		
		
		
		Portanto:
	 
			 
		, ou seja, é constante, para qualquer valor de . 
	Se o nível sonoro for aumentado uma unidade, a intensidade sonora será 1,26 vezes, aproximadamente, superior.
Questão-aula 4.7						 Pág. 26
Item de seleção
Tem-se que e :
	
	 
Logo, 
Por outro lado, tem-se que , logo:
 
No mínimo, terão de decorrer 30 anos para que a população se reduza a da população mundial.
Resposta: (C)
Item de construção
▪ pH do solo antes da correção:
▪ pH do solo de produtividade máxima: 
Como , o pH deverá ser aumentado em duas unidades para que o solo atinja produtividade máxima.
Ficha de preparação para o teste de avaliação 4 Págs. 27 e 28
1.	Recorrendo à fórmula , onde ; e :
	
	Como , tem-se que o capital acumulado durante os 18 anos será, aproximadamente, de 966,78 euros.
2.1.	
	
	
2.2.	
	
	
2.3.	
	
	
2.4.	
	
	
2.5.	
	
	
	 
2.6.	 
	
	
3.1.	
	
	Cálculo auxiliar:
	▪ zeros de numerador: 
	▪ zeros de denominador: 
	Recorrendo a uma tabela:
	
	
	
 
	
	0
	
	
	
	
 
	+
	0
	–
	–
	–
	0
	+
	
	–
	–
	–
	0
	+
	+
	+
	
 
	–
	0
	+
	n.d.
	–
	0
	+
	
3.2.	 
	
	Cálculo auxiliar:
	
	
	
	 
	Portanto, .
3.3.	 
	
	 
	
	
	
	
	Assim, 
	Cálculo auxiliar:
	
		
		
	Portanto, .
3.4.	
	Como :
	
	Cálculo auxiliar:
	
	
	Assim, , portanto, .
3.5.	
	
	
	
	
3.6.	
	
	
	
	
	
4.1.	▪ , portanto, .
	▪ 
		 , portanto, .
	▪ 
		Cálculo auxiliar:
		 
		
		
		
		
	A função pode ser caracterizada da seguinte forma:
				
4.2.	
	
	
	
	Portanto, 10 é o zero de .
5.	A função é contínua no intervalo pois é definida pelo quociente de duas funções contínuas: uma é a soma de duas funções contínuas, uma função quadrática e uma função logarítmica e a outra é uma função afim .
	A função é contínua no intervalo pois é definida pelo produto de duas funções contínuas: uma função afim e a função composta de uma função exponencial com uma função afim .
	Portanto, apenas a reta de equação pode ser assíntota vertical ao gráfico de .
	
	
	 
	Assim, a reta de equação é a única assíntota vertical (unilateral) ao gráfico de .
	Assíntotas não verticais:
	Em :
	
	 
	Fazendo , tem-se que e se , então , pelo que:
	
	
	
	Portanto, a reta de equação é assíntota horizontal ao gráfico de , em .
	Em :
	
	
	Portanto, a reta de equação é assíntota oblíqua ao gráfico de , em .
6.1.	Para 
	
 
	Zeros de 
	 
	Recorrendo a uma tabela:
	
	0
	
	
 
	
	
Sinal de 
	n.d.
	–
	0
	+
	
Variação de 
	n.d.
	↘
	Mín.
	↗
	A função é estritamente decrescente em e é estritamente crescente em . 
	A função tem um mínimo relativo, igual a , isto é, igual a .
6.2.	Para : 
	
	
	Zeros de 
	
 
	Recorrendo a uma tabela:
	
	0
	
	1
	
	
Sinal de 
	n.d.
	+
	0
	–
	
Sentido da concavidade 
do gráfico de 
	n.d.
	
 
	P.I.
	
 
	O gráfico de tem concavidade voltada para cima em e tem concavidade voltada para baixo em . 
	A função tem um ponto de inflexão de abcissa .
6.3.	O declive da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa 2 é igual a .
	Assim, e, portanto, são as coordenadas de um vetor diretor desta reta.
	Determine-se as coordenadas do ponto de tangência, concretamente, .
	 
	Assim, as coordenadas desse ponto são .
	Portanto, .
6.4.	 
	
	
	
	Fazendo , tem-se que e se , então , pelo que:
	
	
	
	Por outro lado:
	
	
	Como é mínimo relativo de e e , pode-se concluir que é o mínimo absoluto de .
	Portanto, .
7.1.	Sabe-se que é diretamente proporcional a , sendo a constante de proporcionalidade igual a , pelo que .
	Por outro lado, .
	
	
	
	
	Logo, .
7.2.	Pretende-se determinar tal que .
	
	
	Esse fóssil, terá, aproximadamente, 13 412 anos.
Teste de avaliação 4					 Págs. 29 e 30
1.	Para :
	 
 
	Assim:
	
	 , pois 
	
	Cálculo auxiliar:
		
		
		 
		 
		Logo, . 
		Portanto, 
		Resposta: (B)
2.	
	
	
	Resposta: (C)
3.	 , portanto, vamos determinar .
	 
 → indeterminação
	
	
	
	Portanto, é a equação da assíntota horizontal do gráfico de .
	Resposta: (A)
4.	
	 , substituindo por :
	
	Cálculo auxiliar: 
	
	
	Portanto, . 
	Voltando à variável :
	, ou seja,
	 , pelo que
	
	Resposta: (B)
5.	A função que pode modelar a situação é:
	 , sendo a quantidade inicial de cafeína ingerida e o tempo decorrido desde o instante em que esta é ingerida.
	Assim, pretende-se determinar tal que .
	
	Portanto, horas.
	Resposta: (C)
6.	A função é contínua em quando e apenas quando
	existe .
	▪ 
	▪ 
		
	Fazendo , se , então , portanto:
	
	▪ 
		
		
		
		
	Fazendo , tem-se que e se , então , portanto:
		
		
	Como , podemos afirmar que existe , pelo que é contínua em .
7.1.	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	Portanto, .
7.2.	
	 
	
	
	 
	
	Como, , tem-se que:
	
	
	Fazendo , tem-se: 
	Cálculo auxiliar: 
	 
	Como , a equação é impossível em , pelo que: 
	(a parábola tem a concavidade voltada para baixo)
	Voltando à variável , tem-se que: 
	
	Portanto, .
8.1.	Assíntotas verticais:
	A função é contínua em pois é definida pelo produto de duas funções contínuas: uma é uma função afim e a outra é a composta de uma função exponencial por uma função racional .
	Portanto, a reta de equação é a única possível assíntota vertical ao gráfico de .
	
	 → indeterminação
	Fazendo , tem-se e se , então , pelo que:
	
	Portanto, a reta de equação é a única assíntota vertical (unilateral) ao gráfico de .
	Assíntotas não verticais
	Em :
		
 
		
 
	Fazendo , se , então , pelo que:
	
	Assim, a reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de quando .
	Em :
		
 
		
 
	Fazendo , se , então , pelo que:
	
	Portanto, a reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de quando .
8.2.	Para :
	 
	Zeros de 
	
			
	Recorrendo a uma tabela:
	
	
	0
	
	1
	
	
Sinal de 
	+
	n.d.
	–
	0
	+
	
Variação de 
	↗
	n.d.
	↘
	Mín.
	↗A função tem um único mínimo relativo igual a .
8.3.	 
	
	
	
	
	
	
	 , para todo o , portanto:
	 
	Fazendo :
	
	
	Voltando à variável , vem:
	
	
9.	Para , tem-se: 
	
	
	
	Zeros de 
	 
	
	
	Portanto, o ponto tem abcissa e como este pertence ao gráfico de , a sua ordenada é: 
	Logo, as coordenadas de são .
	Para :
	Zeros de 
		
			
			
			
	
	Portanto, a abcissa do ponto é e como este ponto pertence ao gráfico de , a sua ordenada é .
	
	Logo, as coordenadas do ponto são .
	Assim, o segmento de reta pode ser definido pela condição, .
Reta AB : 
Reta AB : 
Proposta de resolução – Domínio 4 – Página 1
Proposta de resolução – Domínio 4 – Página 19
1
5
n
n
u
+
=
22
33
21222
limlimlim0
2
nn
nnnn
+
=====
++¥
222
333
222
4343
limlimlim
27327327
nnnnn
nnn
-+-+
===
-+-+-
3
3
3
111
2733
æö
=-=-=-
ç÷
èø
2
2
2
2
1
1
9
9
91
limlimlim
626262
n
n
n
n
n
nnn
æö
+
+
ç÷
+
èø
===
+++
22
11
99
9031
limlim
2
2
6062
6
6
n
nn
n
n
n
++
+
=====
+
æö
+
+
ç÷
èø
(
)
12
3636
nn
nn
+
+´-´
2
2
2
2
31
32
limlim
2424
nn
n
nn
nn
æö
-+
ç÷
-+
èø
==
++
2
2
2
2
31
31
limlim
2
24
4
n
nn
n
n
n
n
n
æö
-+
ç÷
-+
ç÷
èø
===
+
æö
+
ç÷
èø
2
2
31
310
lim
2
04
4
311
42
n
n
-+
-+
===
+
+
-
==
(
)
(
)
(
)
321321
lim321lim
321
nnnn
nn
nn
-+++
-+==
++
(
)
(
)
(
)
2
2
2
321
941
limlim
321321
nn
nn
nnnn
-+
-é+ù
ëû
===
++++
2
2
2
44
9
944
limlim
321
21
3
n
nn
nn
nn
n
n
n
æö
--
ç÷
--
èø
===
æö
++
+
+
ç÷
ç÷
èø
22
2
4444
99
limlim
11
3232
nn
nnnn
nn
nn
æöæö
----
ç÷ç÷
èøèø
===
++
+´+´
(
)
2
2
44
9
900
lim
3
113200
32
n
nn
nn
æö
--
ç÷
+¥--
+¥
èø
====+¥
++
++
(
)
(
)
(
)
22122
lim343lim34433
n
nnn
++
´-=´´-´=
(
)
484
lim48439lim93
9
n
nnn
n
éù
æö
´
=´-´=-=
êú
ç÷
èø
ëû
¡
44
lim9483lim9lim483
99
nn
nn
éù
æöéù
æöæö
=´-=´´-=
êú
ç÷
êú
ç÷ç÷
ç÷
èøèø
êú
êú
èøëû
ëû
(
)
(
)
48033
=+¥´´´=+¥´-=-¥
(
)
111
1
525552555252
5
nnnnnn
---
æö
+´=´+´=+=+=
ç÷
èø
11
5
5
n
=´
(
)
(
)
(
)
2
2
242222212
n
nnnnnnn
-=-=-=-
(
)
1
122222
1644444444
n
nnnnnnn
+
++
-=-=-=´-=
(
)
(
)
2
416444161
=´-=´-
nnnn
(
)
(
)
2
1121
37493773777
---
´+=´+=´´+=
n
nnnnn
(
)
1
3
737777
7
nnnn
-
æö
=´+=+
ç÷
èø
(
)
1
2222222
+
-´=´-´=-
nnnnn
nnn
2
30
x
-<
(
)
(
)
(
)
2
2
963363363336
n
nnnnnnn
-´=-´=-´=-
(
)
3
3121261
422222
n
nnnnn
+
+++++
-=-=-=
(
)
2
26
222226422
nnnn
=´-´=´-´=
(
)
22642
nn
=´-
(
)
1
11222
1
255255555
5
n
nnnnnn
n
+
+-+--+
-=-=-=-=
(
)
32
515
nn
-+
=-
(
)
(
)
(
)
2
222222
933333333
n
nnnnnnnn
----
-=-=-=-
(
)
(
)
(
)
2
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36363666
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