02 - MII - Matemática Financeira v17 1

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Matemática 
 
Financeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 31 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Apresentação: 
 
Nos primórdios da civilização, o comércio era realizado à base de trocas de mercadorias, o 
chamado “escambo”. Ao longo do tempo, a moeda veio como meio de intermediação das transações 
comerciais. Nos dias atuais, com a moeda cada vez mais “virtual”, a Matemática Financeira aparece 
como uma ferramenta necessária e imprescindível em situações comerciais, no controle do capital no 
mercado financeiro, nas situações mais simples ou complexas do cotidiano. 
 
 Vamos analisar algumas situações, como a compra de um carro, por exemplo. Devemos ter 
consciência que aquele valor “x” colocado na propaganda tem muitas implicações, decaindo sobre ele 
alguns elementos que podem encarecer ou baratear o valor, de acordo com a frequência do 
pagamento. Na compra de uma casa, da mesma maneira, se o comprador tiver conhecimento de 
algumas regras básicas, com certeza ele conseguirá vantagens na sua ação. 
Essas regras são parte da Matemática Financeira, um ramo da matemática que utiliza as noções dela 
para gerir dados financeiros de modo geral. Ela é útil tanto para questões pessoais como a compra de 
um carro, o financiamento de uma casa, o empréstimo bancário, a compra com cartões de crédito e 
crediário, entre outros, até assuntos referentes a investimentos de empresas, negócios da bolsa de 
valores etc. 
 
A Matemática Financeira é fundamental para o auxílio de qualquer pessoa, independente da sua 
área de atuação, e é por isso que nosso curso vai trazer para você os principais conceitos dessa 
ciência, como utilizando para isso exemplos claros e simples. 
 
Para se ter uma ideia da importância do estudo dos conceitos de Matemática Financeira, 
observe abaixo o que diz um dos maiores cientistas dos últimos tempos. 
 
 
 
 “O juro composto é a maior força do universo. 
 Quem entende, ganha. Quem não entende, paga.” 
 
 Albert Einstein 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 1 – RAZÃO 
 
Razão de duas grandezas é definida como o quociente entre dois números, 
dizemos que a razão entre a e b, onde b ≠ 0, pode ser escrito na forma: 
 . 
 
Pode ser representada por uma fração ou um número na forma decimal, porcentagem ou até 
mesmo por uma divisão com o intuito de comparar grandezas. 
 
Nomenclatura: 
 Lê-se: “a está para b” 
 
Exemplo 1: 
 
 Qual a razão entre 2 e 5? 
 
 A razão será o quociente entre 2 e 5 
 
 = 2 : 5 = 0,4 
 
Exemplo 2: 
 
 Numa prova de matemática, a razão do número de questões certas para o total de questões foi de 3 
para 4. Sabendo-se que a prova era composta por 16 questões, quantas questões estavam certas? 
 
 Chamando de x o número de questões certas, e sendo a razão dos acertos para o total de 
questões 3 para 4, temos: 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: 12 questões estavam certas. 
 
SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS OU RAZÕES EQUIVALENTES 
 
Observe as razões: 
 
 
 
Podemos escrever: 
 
 pois = 2, = 2, = 2 
 
Então concluímos que é uma série de razões iguais. 
Aula 01 – Razão 
 
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RAZÕES ESPECIAIS 
 
Temos algumas razões especiais que utilizamos no nosso cotidiano, tais como: velocidade 
média, densidade demográfica, escala. 
 
a. Velocidade média 
 
 
 
É a razão entre a distância percorrida por um objeto e o tempo por ele gasto para percorrê-la. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 Uma certa pessoa percorreu 150 Km que ligam uma cidade à outra em 3 horas. Qual a velocidade 
média desenvolvida por ele? 
 
Velocidade média = = 50 km/h 
 
Resposta: A velocidade média foi de 50 quilômetros por hora. 
 
b. Densidade demográfica 
 
 
 
É a razão entre a quantidades de habitantes de uma região e a área dessa região. 
 
 
Exemplo: 
 
De acordo com o censo realizado pelo IBGE em 2010, o estado de São Paulo tem uma população de 
aproximadamente 41.262.200 habitantes e ocupa uma área aproximada de 248.220 km2. Qual era, 
então, a densidade demográfica do Estado? 
 
= 166,2 hab/km2 
 
Resposta: A densidade demográfica de São Paulo era de, aproximadamente, 166,2 habitantes por 
quilômetro quadrado. 
 
c. Valor do metro quadrado de construção 
 
 
 
 
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É a razão entre o valor do imóvel e a área construída desse imóvel. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 Calcule o preço do metro quadrado de uma casa no valor de R$ 800.000,00 com 200 m2 de área 
construída. 
 
 = 4.000 R$/m2 
 
Resposta: O valor é de R$ 4.000,00 por metro quadrado 
 
d. Taxa percentual 
 
É outro exemplo de razão, nesse caso chamada de razão centesimal ou percentual, pois o seu 
consequente (ou denominador) é 100. As taxas percentuais costumam ser indicadas pelo símbolo %, 
lê-se “por cento”. Pode ser representada utilizando o símbolo %, por uma fração ou um número decimal. 
 
Exemplos: 
 
a) 20% (vinte por cento) = = 0,2 
 
 b) 1% = = 0,01 
 
 c) 110% = = 1,1 
 
 
 
 
É a igualdade entre duas razões. 
 
Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, 
uma proporção se, e somente se, a razão a : b for igual à razão c : d. 
 
Indicamos esta proporção por: 
 
 ou a : b = c : d. 
 
Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios. 
 
Exemplo: 
 
 Lê-se: “Dois está para cinco assim como seis está para quinze” 
 
 
 
 
 
Aula 02 – Proporção 
 
 
 
 0,4 0,4 
 
 
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17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 35 
 
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃO 
 
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Essa propriedade é 
chamada também de multiplicação cruzada. 
 
 
 
 
 
 
 
Por exemplo: 
 
A proporção acima pode ser escrita da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que 5 e 6 são os meios e 2 e 15 são os extremos, logo, aplicando a propriedade 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do termo desconhecido 
 
Dados três termos de uma proporção, calcule o quarto termo. 
 
 
 
Aplicando a propriedade fundamental da proporção: 
 
 
 
2 ∙ x = 7 ∙ 4 
 
2 ∙ x = 28 
 
x = 
 
x=14 
 
 
 
 
5.6 = 2.15 
 
 
30 = 30 
 
 
 Extremos 
 
 
 
 
2/5 = 6/15 ou 2 : 5 = 6 : 15 
 
 
 Meios 
 produto dos meios 
 
 
 
 produto dos extremos 
 
 
 
 
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Grandeza é tudo que pode ser mensurado, isto é, tudo que pode ser medido. 
 
Grandezas escalares 
 
 São representadas por um valor numérico e uma unidade de medida. 
 
Exemplos: 
 
• Medida de tempo: h (horas); s (segundos) etc. 
 
 
 
• Medida de massa: 2 kg (quilos); 3 t (toneladas) etc. 
 
 
 
•Temperatura: 20oC (graus Celsius); 60o F (graus Fahrenheit) etc. 
 
 
 
• Comprimento: 10 km (quilômetros); 6 m (metros) etc. 
 
 
 
São alguns exemplos de grandezas escalares dentre muitas outras existentes. 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
São grandezas com o mesmo fator de proporcionalidade. Podemos dizer também que ao 
comparar duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma aumenta ou diminui, a outra 
aumenta ou diminui à mesma proporção. 
 Distância e tempo são exemplos de duas grandezas diretamente proporcionais, pois 
quanto maior a distância maior o tempo gasto para completá-la, ou quanto menor a distância 
menor o tempo necessário. 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
São as que variam à mesma proporção, porém inversamente, isto é, aumentando uma 
delas, a outra diminui à mesma intensidade ou vice-versa. 
 
 
Aula 03 – Grandezas 
 
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 Velocidade e tempo são exemplos de duas grandezas inversamente proporcionais. 
Quanto maior a velocidade menor o tempo gasto para completar um percurso, ou quanto menor 
a velocidade, maior será o tempo gasto. 
 
DIVISÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAL OU REGRA DE SOCIEDADE 
 
 Há várias propriedades da proporção, mas vamos nos ater a uma delas, pois será 
o suficiente para a aplicação da resolução da Regra de Sociedade ou Divisão Diretamente 
Proporcional. Em várias outras situações da Matemática Financeira a divisão proporcional é 
aplicada. 
 
Propriedade 
 
 Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes 
assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente. 
 
Veja o exemplo abaixo: 
 
 
 
Aplicando a propriedade acima, temos: 
 
 = = = 
 
 (k é a constante de proporcionalidade) 
Exemplo 
 
Imagine uma empresa com três sócios, eles compraram um terreno por R$180.000,00. Cada um 
colaborou com uma quantidade diferente, Carlos entrou com R$ 90.000,00, Marcos com R$ 60.000,00 e 
Fernando R$ 30.000,00. Depois de alguns anos venderam o terreno por R$ 270.000,00. Na hora da 
divisão de lucros, a divisão proporcional deve ser utilizada. 
 
Qual é a parte que cabe a cada um deles? 
 
Considerando x, y e z a parte que cabe a cada um dos sócios, temos: 
 
 
 
 
 
180 000 ∙ x = 270 000 ∙ 90 
000 
 
 
 
 
x = 135 000 
 
 
 
180 000 ∙ y = 270 000 ∙ 60 
000 
 
 
 
y = 90 000 
 
 
 
180 000 ∙ z = 270 000 ∙ 30 
000 
 
 
 
z = 45 000 
 
Resposta: Carlos receberá R$ 135.000,00; Marcos R$ 90.000,00 e Fernando R$ 45.000,00 
 
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Outro modo de cálculo: através da constante de proporcionalidade k 
 
 
 
 
 
 
 
x = 90 000 ∙ 1,5 
 
x = 135 000 
 
 
y = 60 000 ∙ 1,5 
 
y = 90 000 
 
 
z = 30 000 ∙ 1,5 
 
z = 45 000 
 
Resposta: Carlos receberá R$ 135.000,00; Marcos R$ 90.000,00 e Fernando R$ 45.000,00 
 
 
 
 
É o processo realizado em uma situação de proporcionalidade em que são dados três valores e 
deve-se calcular o quarto termo. 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETAMENTE PROPORCIONAL 
 
Uma regra de três é diretamente proporcional quando as razões formadas pelas grandezas 
consideradas no problema são diretamente proporcionais entre si. 
 
Exemplo: 
 
Para a construção de uma grande obra, foram necessários 14 caminhões para 
transportar 20 toneladas de material. Quantos caminhões seriam necessários para 
transportar 30 toneladas de material? 
 
Caminhões 
 
14 
x 
Toneladas 
 
20 
30 
 
Então montamos a seguinte proporção e aplicamos a propriedade fundamental da proporção: 
 
 
 
20 ∙ x = 14 ∙ 30 
20 ∙ x = 420 
x = 
x = 21 
 
Resposta: Seriam necessários 21 caminhões. 
 
Aula 04 – Regra de Três Simples 
Observação: 
As duas setas estão no mesmo sentido, indicam que as 
grandezas são diretamente proporcionais, pois se 
aumenta a quantidade a ser transportada, deve aumentar 
também o número de caminhões 
 
 
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REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
 
Uma regra de três é inversamente proporcional quando as razões formadas pelas grandezas 
consideradas no problema são inversamente proporcionais entre si. 
 
Exemplo: 
 
Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 
20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em quantos dias 
essa equipe realizaria o mesmo trabalho? 
 
 
 
Temos que a primeira razão é inversamente proporcional a segunda, então, montamos a 
proporção apenas invertendo uma das razões, assim: 
 
 
 
Aplicando a propriedade fundamental da proporção: 
 
 
 
 x = 8 ∙ 20 
 
x= 
 
x= 32 
 
Resposta: O trabalho seria realizado em 32 dias. 
 
 
 
 
O nome vem do latim “per centum” que significa “por cem”. Pode ser definida como 
uma razão centesimal. 
 
Como vimos anteriormente: 
 
 20% = = = 0,2 
 
 
Há diversas maneiras de calcular a porcentagem, veremos algumas delas. 
 
 
horas/dia 
 
8 
5 
dias 
 
20 
x 
Aula 05 – Porcentagem 
Observação: 
As duas setas estão em sentido contrários, indicam que as 
grandezas são inversamente proporcionais, pois se 
diminui a quantidade de horas trabalhadas por dia, deve 
aumentar o número de dias trabalhados. 
 
 
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17.0MATEMÁTICA FINANCEIRA 40 
1º Modo de resolução: 
 
Um corretor de imóveis vendeu um terreno no valor de R$ 130.000,00 e recebeu uma comissão 
de 6% sobre esse valor. Quanto recebeu de comissão? 
 
 6% de 130 000 = ∙ 130 000 = 0,06 ∙ 130 000 = 7 800 
 
 
 A preposição de é substituída pela multiplicação. 
 
Resposta: Ele recebeu R$ 7.800,00 de comissão. 
 
2º Modo de resolução – Regra de Três 
 
Um corretor de imóveis recebeu R$ 18.000,00 de uma comissão de 6% sobre a venda de um 
apartamento. Qual o valor total do imóvel? 
 
Utilizando regra de três, temos 
 
 % R$ 
 6 ........... 18.000 
 100 ........... x 
 
Considerando a proporção: 
 
 
 
E aplicando a propriedade fundamental da proporção temos: 
 
 6 ∙ x = 18 000 . 100 
 
 x = 
 
 x = 300 000 
 
Resposta: O valor total do imóvel é de R$ 300.000,00. 
 
3º Modo: através de FÓRMULAS 
 
Chamaremos: 
 
P → porcentagem C → capital, principal ou total i → taxa percentual(%) 
 
 
a) Cálculo de porcentagem (P) 
 
Sabemos que ou P = c ∙ i (utilizando o sinal de % na calculadora simples) 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
Um corretor de imóveis vendeu um terreno no valor de R$ 130.000,00 e recebeu uma comissão 
de 6% sobre esse valor. Quanto recebeu de comissão? 
 
C= 130.000 i = 6% p = ? 
 
P= c ∙ i 
 
P= 130000 ∙ 6% (utilizando a tecla % da calculadora comum ou multiplicar por 0,06) 
 
P= 7800,00 
 
Resposta: Ele recebeu R$ 7.800,00 de comissão. 
 
Tomando como base a fórmula P = c ∙ i, podemos calcular o total ou capital (c) ou a taxa 
percentual (i), isolando cada termo procurado. 
 
b) Cálculo do capital ou principal (C) 
 
Isolando o símbolo do capital (C) da fórmula P = c ∙ i, temos: 
 C = 
 
Exemplo: 
 
Uma pessoa comprou um produto com um desconto de R$ 300,00 que representava 10% do 
valor total. Qual o preço original do produto? 
 
P= 300,00 I= 10% C= ? 
 
Então usaremos a fórmula: 
 
C = 
 
C = ou C = 
 
C = 3 000 
 
Resposta: O valor do produto era de R$ 3.000,00 
 
c) Cálculo da taxa (i) 
 
Partindo da fórmula P= c . i e isolando o símbolo (i) da taxa, temos: 
 i = 
 
Exemplo: 
 
Uma mercadoria que custava R$ 500,00 foi vendida com um desconto de R$ 50,00. Qual a taxa 
percentual relativa ao desconto? 
 
 C = 500 P= 50 i = ? 
 
 
 
 
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17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 42 
Na fórmula: i = 
 
 i = 
 i= 0,1 = 
 
 i= 10% 
 
Resposta: O valor representa 10% do total. 
 
 
 
 
 
Vamos agora trabalhar com cálculos de lucro em compra ou venda de mercadorias. 
 
1. LUCRO 
 
O lucro pode ser calculado sobre o preço de custo ou sobre o preço da venda. 
 
a. Lucro sobre o preço de custo 
 
Sabemos que: Preço de venda = preço de custo + lucro, logo: 
 
 
 
Generalizando: 
 
V → preço de venda 
C → preço de custo 
L → lucro 
i → taxa do lucro 
 
Se: V = C + L e L = i ∙ C 
Teremos: 
 
V= C + L 
 
V= C + i ∙ C 
 
Logo, o preço da venda, conhecidos o custo e a taxa de lucro sobre o custo, será: 
 
V = C ∙ (1 + i) 
 
Exemplo: 
 
Uma mercadoria, que custou R$ 500,00, foi vendida com 6% de lucro. Qual o valor da venda? 
 
V= C + i ∙ C ou V = C ∙ (1 + i) 
V = 500 + 0,06 ∙ 500 V = 500 ∙ (1 + 0,06) 
V = 500 + 30 V = 500 ∙ 1,06 
V = 530 V = 530 
 
Logo, o preço de venda é de R$ 530,00 
Aula 06 – Operações Sobre Mercadorias 
Lucro = preço de venda – preço da custo 
 
 
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17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 43 
b. Lucro sobre o preço da venda 
 
Para o cálculo do preço de venda é necessário considerar o preço de custo e a taxa de lucro 
sobre o preço da venda. 
 
Preço da venda – Lucro = Preço da compra 
 
Generalizando: 
 
Se: V – L = C e L= i ∙ V 
 
 Então: V – i ∙ V = C 
 V ∙ (1 – i) = C 
 
Logo: V = 
 
Observe a situação abaixo: 
 
Uma pessoa comprou uma mercadoria por R$ 600,00, vai revendê-la e deseja ganhar 20% 
sobre o preço da venda. Qual deve ser este preço? 
 
 Como o lucro é de 20% sobre o preço da venda, então: 
Lucro = 0,20 do preço da venda 
 
Se: 
preço de venda – 0,20 x preço de venda = preço de custo 
 
(1 – 0,2) x preço da venda = preço de custo 
 
Então: 
preço da venda = = = 750 
 
O preço da venda deve ser de: R$ 750,00 
 
 
Podemos também colocar os dados do problema na fórmula: 
 
V = 
 
V = (pois: 20% = 20/100 = 0,2) 
V = (pois: 1 – 0,2= 0,8) 
V = 750,00 
 
Resposta: O valor da venda deverá ser de R$ 750,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 44 
TAXAS 
 
Taxa Efetiva 
 
Para a realização do cálculo de juros deve-se observar se o período em que a taxa está inserida 
é o mesmo em relação ao período de capitalização usada diretamente nos cálculos. 
 
Exemplos: 
 
Um capital aplicado a 8% ao ano em 3 anos. 
Um capital aplicado a 0,5% ao mês em 4 meses. 
 
 Taxa Nominal 
 
Na verdade, trata-se de uma taxa aparente, pois o período a que ela se refere é diferente do 
período de capitalização utilizado. Ela não pode ser utilizada diretamente nos cálculos, deve ser 
transformada. 
 
a) Exemplos: 
 
 Um capital aplicado a 6% ao ano retirado em 5 meses. 
 
Observe que as unidades de tempo são diferentes. Então antes de resolver deve-se transformá-
las para que fiquem iguais. 
 
6% ao ano = = 0,5 ao mês (pois um ano tem 12 meses) 
 
0,5% ao mês em 5 meses 
 
 Esses serão os valores utilizados nos cálculos. 
 
b) Outros exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JUROS 
 
São os rendimentos de um capital aplicado à uma determinada taxa 
percentual em um determinado intervalo de tempo. Como exemplo podemos citar 
uma remuneração paga a um investimento ou cobrada por uma dívida. Veremos a 
seguir os dois sistemas de capitalização: os juros simples e os juros compostos. 
 
 
 
 
Taxa Nominal Capitalização Período Taxa Efetiva 
9% a.a. mensal 
 
0,75% a.m. 
0,5% a.m. anual 0,5 x 12 6% a.a. 
Aula 07 – Juros Simples 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 45 
1) Juros Simples 
 
Quando o rendimento não compõe o capital para aplicação do próximo período. A taxa sempre 
incidirá no valor do capital inicial. 
 
Vamos observar a situação problema abaixo: 
 
Quais os juros que um capital de R$ 1.000,00 aplicados a uma taxa de 2% ao mês produz em 8 
meses, no regime de juros simples? E o montante? 
 
Vamos calcular a aplicação mês a mês através da tabela abaixo: 
 
Mês Capital (R$) Juros Montante (R$) M = C+J 
01 1 000,00 1000 x 2% = 20 1000 + 20 = 1020 
02 1 000,00 1000 x 2% = 20 1020 + 20 = 1040 
03 1 000,00 1000 x 2% = 20 1040 + 20 = 1060 
04 1 000,00 1000 x 2% = 20 1060 + 20 = 1080 
05 1 000,00 1000 x 2% = 20 1080 + 20 = 1100 
06 1 000,00 1000 x 2% = 20 1100 + 20 = 1120 
07 1 000,00 1000 x 2%= 20 1120 + 20 = 1140 
08 1 000,00 1000 x 2% = 20 1140 + 20 = 1160 
 
Resposta: Total dos juros=R$ 160,00 Montante= R$ 1.160,00 
 
Observe que o MONTANTE é a soma entre os juros e o capital inicial. 
 
M= c + j 
 
Para resolver mais rapidamente, podemos utilizar a seguinte fórmula para o cálculo total dos 
juros. 
 
 J = juros 
J = c ∙ i ∙ t onde: c = capital 
 i = taxa 
 t = tempo 
 
Aplicando a fórmula para resolução do problema acima, teremos: 
 
J = c.i.t J = ? C = 1.000,00 i = 2% t = 8 meses 
J = 1000 x 2% x 8 
J =160 
 
Como vimos no exemplo acima, o montante é igual capital mais juros. 
 
M= C + J 
M= 1000 + 160 
M= 1 160 Resposta: Os juros serão de R$ 160,00 e o montante R$ 1.160,00. 
 
CÁLCULO DO CAPITAL, TEMPO E TAXA PERCENTUAL 
 
Tomando como base a fórmula para o cálculo de juros (J = c ∙ i ∙ t), podemos deduzir as 
formulas para capital, tempo e taxa. 
 
 
 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 46 
a) Para o cálculo do capital (C 
 
Isolando o C (capital), na fórmula: j= c.i.t 
 
temos: C = 
 
Exemplo: 
 
Qual o valor do capital aplicado à uma taxa de 0,6% ao mês, que ao final de 4 meses 
rendeu R$ 3.000,00 de juros? 
 
C = ? i = 0,6% a.m. t = 4 meses j= 3.000 
 
C = 
 
C = (lembrando que 0,6% = 0,006) 
 
C = 
 
C = 125.000 
 
Resposta: O valor do capital aplicado era de R$ 125.000,00 
 
b) Para o cálculo do tempo (t) 
 
Isolando o t (tempo), na fórmula: j= c.i.t 
 
t = 
 
Exemplo: 
 
Em quanto tempo um capital de R$ 120.000,00 aplicado a 9% ao ano rendeu R$ 21.600,00 de 
juros? 
 
t = ? C = 120.000 i = 9% a. a. j = 21.600 
 
t = 
 (lembre-se que 9%=0,09) 
 
t = 
 
t = 2 Resposta: Resultado de uma aplicação em 2 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 47 
c) Para o cálculo da taxa percentual (i) 
 
Isolando o i, na fórmula: j= c.i.t 
i = 
 
Exemplo: 
 
Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a uma determinada taxa percentual mensal e rendeu R$ R$ 
600,00 em 3 meses. Qual foi a taxa percentual aplicada? 
 
i = ? C = 20.000 j = 600 t = 3 meses 
 
i = 
 
 
 
 => i = 0,01 x 100 => i= 1% 
 
Resposta: A taxa aplicada foi de 1%. 
 
CALCULANDO JUROS COM TAXA NOMINAL 
 
Exemplo: 
 
Quais os juros que um capital de R$ 1.000,00 aplicados a uma taxa de 6% ao ano produz em 8 
meses? E qual o montante? 
 
Observe que: 
 
i = 6% a.a. 
t = 8 meses 
 
6% é a taxa nominal que deve ser transformada em efetiva, assim: 
 
 (1 ano tem 12 meses) 
 
Então a taxa efetiva será de 0,5% a.m. 
 
Nas fórmulas: 
 
J = c ∙ i ∙ t J= ? c= 1.000 i= 0,5% a.m. t= 8 meses 
 
J = 1000 ∙ 0,5% ∙ 8 
J = 40 
 
M= c + j 
M= 1 000 + 40 
M= 1.040,00 
 
Resposta: Os juros serão de R$ 40,00 e o montante de R$ 1.040,00. 
 
 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 48 
 
 
 
No sistema de capitalização composta, o rendimento de cada período de 
aplicação é somado ao capital anterior para o cálculo dos juros do próximo 
período. 
 
Vamos tomar o mesmo exemplo trabalhado anteriormente, porém no 
sistema de capitalização composta. 
 
Qual o montante a ser produzido por um capital de R$ 1 000,00 aplicados a uma taxa de 2% ao 
mês durante 8 meses, no regime de juros compostos. 
Observe os dados colocados na tabela abaixo: 
 
Mês Capital (R$) Juros Montante (R$) M = C+J 
01 1 000,00 1000 x 2% = 20 1000 + 20 = 1020 
02 1 020,00 1020 x 2% = 20,40 1020 + 20 = 1040,40 
03 1 040,40 1040,40 x 2% = 20,81 1040 + 20 = 1061,21 
04 1 061,21 1061,21 x 2% = 21,22 1060 + 20 = 1082,43 
05 1 082,43 1082,43 x 2% = 21,65 1080 + 20 = 1104,08 
06 1 104,08 1104,08 x 2% = 22,08 1100 + 20 = 1126,16 
07 1 126,16 1126,16 x 2% = 22,52 1120 + 20 = 1148,68 
08 1 148,68 1148,68 x 2% = 22,97 1140 + 20 = 1171,65 
Total 171,65 1 171,65 
 
Resposta: Os juros são de R$ 171,65 e o montante R$ 1.171,65 
 
Generalizando: 
 
M = montante, C = capital, i = taxa, n = período 
M = C ∙ (1 + i) .......... 1 mês 
M = C ∙ (1 + i) ∙ (1 + i) .......... 2 meses 
M = C ∙ (1 + i) ∙ (1 + i) ∙ (1 + i) ....... 3 meses 
 
 
M = C ∙ (1 + i)n .......... n meses 
 
Se: M = C + J e M = C ∙ (1 + i)n 
 
Então: 
 
C + J = C ∙ (1 +i)n 
 
Isolando os juros: 
 
J = C ∙ (1+ i)n – C 
 
Logo: 
J= C ∙ [ (1 + i)n – 1)] 
 
Então deduzimos as fórmulas na capitalização composta para: 
 
• Montante Composto: M = C ∙ (1 + i)n 
• Juros Compostos: J = C ∙ [ (1 + i)n – 1)] 
Aula 08 – Juros Compostos 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 49 
 
Resolvendo o mesmo exemplo acima utilizando as fórmulas, teremos: 
 
Montante Composto 
 
M = C ∙ (1 + i) n 
M = 1000 ∙ (1 + 0,02 )8 
M = 1000 ∙ 1,1716593 
M = 1 171,65 
 
O montante composto será de R$ 1.171,65. 
 
Juros compostos 
 
J= C ∙ [ (1 + i) n – 1)] 
J= 1000 ∙ [(1 + 0,02 )8- 1] 
 (Como 2% = = 0,02) 
J= 1000 ∙ [(1,02)8 – 1] 
J= 1.000 ∙ [1,1716593 – 1] 
J= 1.000 ∙ [0, 1716593] 
J= 171,65 
 
Os juros compostos serão de R$ 171,65.COMPARANDO JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 
 
O gráfico ao lado ilustra a performance de 
um capital aplicado a juros simples que é 
representado por uma função linear e o mesmo 
capital aplicado a juros compostos é 0representado 
por uma função exponencial com um crescimento 
mais rápido que no primeiro caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, que é a diferença 
entre o valor nominal e o valor atual. 
 
DESCONTO SIMPLES 
 
Há diversas situações no mundo financeiro ou comercial, às quais uma pessoa pode observar 
aplicações de desconto. Pode ser um título de crédito com uma data prevista para o vencimento que 
alguém pode querer resgatá-lo antecipadamente, através de um abatimento em uma compra ou até 
mesmo negociações bancárias podem haver descontos financeiros. 
 
Então, nas operações de desconto podemos definir os termos abaixo como: 
 
Vencimento -> é o dia fixado para o pagamento. 
 
Valor nominal (ou valor futuro) -> é o valor a ser pago no dia do vencimento. 
 
Tempo ou prazo -> é o número de períodos de tempo compreendido entre o dia que se negocia 
o título até o dia de seu vencimento. 
 
Aula 09 – Desconto 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 50 
Exemplo: 
 
Um vestido custa R$ 150,00 em uma loja. No final de semana o dono da loja determinou que 
toda venda à vista teria 20% de desconto. Quanto uma pessoa pagou pelo vestido comprado à vista? 
 
1ª Modo de resolução: 
 
Devemos calcular 20% de R$ 150,00. 
20% x 150 → (20/100) x 150 
0,2 x 150 = 30 
 
Como se trata de um desconto, vamos subtrair R$ 30,00 de R$ 150,00. 
R$ 150,00 – R$ 30,00 = R$ 120,00 
 
2ª Modo de resolução: 
 
Se R$ 150,00 é o valor total, portanto vale 100%. Como o desconto será de 20% devemos subtrair a 
segunda taxa percentual da primeira. 
 
100% - 20% = 80% 
Agora, vamos calcular 80% de R$ 150,00 para encontrar o valor procurado. 
 
80% x 150 = 120 
 
 ou: 
 
 (80/100) x 150 
 
0,8 x 150= 120 
 
Utilizando a segunda maneira, descobrimos o valor do desconto diretamente. Como 
descobrimos anteriormente, o valor pago pela camisa à vista é R$ 120,00. 
 
DESCONTO COMERCIAL 
 
Quando o devedor tem o direito a um desconto por antecipar pagamentos de um 
determinado valor futuro, também chamado de desconto bancário ou por fora. É o cálculo do 
juro simples produzido pelo valor do título (nominal) à uma taxa fixada em um determinado 
período de tempo. 
 
Chamaremos de: 
 
d -> Desconto (valor do desconto comercial) 
N -> valor do título (valor nominal) 
I -> a taxa de desconto 
n -> o tempo (número de períodos) 
A -> valor atual comercial 
Por definição teremos: 
 
 d = N . i . n -> Valor do desconto comercial 
 
 
 
 
 
 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 51 
VALOR ATUAL COMERCIAL (A) 
 
O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por: 
A= N – d 
Substituindo d pelo seu valor: d= N x i x n 
A= N – N . i . n 
 
Então: 
 
A= N(1 – i . n) 
 
Exemplo: 
 
Uma pessoa deseja antecipar o pagamento de um título no valor de R$ 2.000,00 à taxa de 3% 
ao mês, 5 meses antes do vencimento. Utilizando o desconto comercial simples determine o valor do 
desconto e o valor atual comercial. 
 
Resolução: 
 
Temos 
N =2 000 
i = 3% a.m. = 0,03 
n = 5 m 
d = N . i . n 
d =2 000 . 0,03 . 5 
d = R$ 300 
 O desconto será de R$ 300,00 
 
Como: 
A= N – d 
 
Então: 
A= 2.000,00 – 300,00 
A= 1.700 
 
Isto é, o valor atual comercial é de R$ 1.700,00. 
 
DESCONTO COMPOSTO 
 
Descontos são abatimentos que recebemos pelo pagamento de algum título antes do seu 
vencimento. São muito utilizados em produtos do meio financeiro, como: financiamentos, consórcios, 
leasing, letras de câmbios, dentre outros. Podem ser simples ou compostos. Vamos estudar aqui os 
descontos compostos racionais. 
Para as situações de desconto, usamos a expressão: 
 
(1 + i)-n => Chamado fator de descapitalização 
 
Para o Valor Atual de um título usamos a expressão: 
 
A = N * (1 + i)–n => Valor Atual 
 
Em que: 
A = valor atual 
N = valor nominal 
i = taxa de desconto 
n = tempo (antecipação do desconto) 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 52 
Exemplo: 
 
Determine o valor atual de um título de crédito de R$ 10 000,00 que se deseja saldar 2 meses antes do 
seu vencimento, à taxa de desconto composto de 3% ao mês. 
 
i = 3% = 3/100 = 0,03 
n = 2 
A = ? 
 
A= N. (1 + i)-n 
 
A= 10 000 . (1 + 0,03)-2 
 
A= 10 000 . (1,03)-2 
 
A= 10 000 . 
 
A= 10 000 . 
 
A= 10 000 . 0,9426 
 
A= 9.426 
 
Resposta: Valor atual: R$ 9.426,00 
 
 
 
 
Financiar imóveis significa, no caso específico, emprestar dinheiro de uma 
instituição financeira para comprar um imóvel. É uma linha de crédito liberada para 
utilização na quitação de um bem. 
Há vários tipos de financiamentos para esse fim. O comprador deve firmar um 
contrato conforme o tipo de financiamento escolhido e os credores apresentam algumas formas de 
pagamento, apresentadas em tabelas, para amortização da dívida. O consumidor deve optar por um 
sistema de amortização. 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
Apresentaremos aqui alguns tipos de sistemas de amortização: 
 
Sistema de Amortização Constante – SAC 
Sistema Price 
Sistema Americano 
 
1) SAC: SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES 
 
É um sistema de financiamento em que as parcelas de amortização são iguais, mas as 
prestações e juros decrescem. 
 
Exemplo: 
 
Um empréstimo no valor de R$ 20. 000,00 reais deverá ser pago pelo SAC em 5 parcelas 
mensais com um juro mensal de 4%. Construa a planilha do pagamento dessa dívida. 
 
Aula 10 – Financiamento de Imóveis 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 53 
Determinando o valor das amortizações: 
 
20 000 / 5 = 4 000 
 
As amortizações constantes serão de R$ 4 000,00 
 
Para o cálculo das prestações: 
 
Calcular os juros sobre o saldo devedor: 20.000 x 4% = 800 
 
Somar à parcela de amortização: 4.000 + 800 = 4.800 (que será a Prestação) 
 
Repetir a operação a cada período indicado, como na tabela. 
 
Período Saldo 
Devedor 
Amortização juros Prestação 
 0 20.000 --------- ------- -------- 
 1 16.000 4.000 20.000 x 4%= 800 4.800,00 
 2 12.000 4.000 16.000 x 4%= 640 4.640,00 
 3 8.000 4.000 12.000 x 4%= 480 4.480,00 
 4 4.000 4.000 8.000 x 4%= 320 4.320,00 
 5 -------------- 4.000 4.000 x 4%= 205 4.205,00 
Total -------------- 20.000 2.445,00 22.445,00 
 
SISTEMA PRICE 
 
A Sistema PRICE é muito utilizado, pois permite o pagamento em parcelas iguais ao longo do 
prazo de financiamento. Os juros estão inclusos nas prestações e o saldo devedor é amortizado até a 
quitação total. 
No exemplo abaixo, vamos utilizar uma fórmula para o cálculo da prestação fixa que irá compor 
a tabela. 
Pode ser utilizada uma calculadora financeira, ou seguir o passo a passo da resolução 
apresentada. 
 
Exemplo 
 
1) Temos um financiamento no valor de R$ 20.000,00 a ser quitado em 5 meses, com uma taxa de juros 
de 4% ao mês. 
 
Devemos calcular o valor da prestação através da fórmula utilizando taxas de capitalização composta. 
(Sendo: PV= valor presente e PMT= valor da prestação) 
 
PMT= PV 
 
PMT= 20 000 
 
PMT= 20 000 
 
PMT= 20 000 . 
 
PMT= 20 000 . 0,2246271PMT= 4.492,54 => Este será o valor da prestação. 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 54 
 
Período Saldo Devedor Amortização no 
Saldo Devedor 
 Juros Valor da 
Prestação 
 0 20.000,00 ------------------- --------------- 
 1 16.307,46 3.692,54 800,00 4.492,54 
 2 12.467,22 3.840,24 652,30 4.492,54 
 3 8.473,37 3.993,85 498,69 4.492,54 
 4 4.319,75 4.153,61 338,93 4.492,54 
 5 0,00 4.319,75 172,79 4.492,54 
 
Veja que os juros são calculados de acordo com o saldo devedor, na parcela de número 1 
temos: 20.000 x 4% = 800. 
 
A amortização é calculada subtraindo o valor da prestação do valor do juro: 
 4.492,54 – 800 = 3.692,54 
 
O saldo devedor da parcela 1 é calculado subtraindo: 20.000 – 3.692,54 = 16.307,46 
E assim respectivamente, até a quitação total do financiamento. 
 
Observe que os juros são decrescentes e as amortizações são crescentes. 
 
2) SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO 
 
No Sistema de Amortização, o valor principal é pago através de uma única parcela, mas os juros 
devem ser pagos periodicamente ou junto com o capital dependendo do contrato firmado. 
 
Exemplo: 
 
Um empréstimo de R$ 20.000,00 será pago através do sistema americano no prazo de 5 meses, a juros 
mensais de 4% ao mês. Veja: 
 
De acordo com o modelo de amortização americana, a quitação do empréstimo ocorrerá no último mês, 
então nos meses anteriores a pessoa irá pagar somente o valor dos juros. 
 
Juros = 4% de 20.000 = 800 
 
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestações 
0 20.000,00 - - - 
1 20.000,00 - 800,00 800,00 
2 20.000,00 - 800,00 800,00 
3 20.000,00 - 800,00 800,00 
4 20.000,00 - 800,00 800,00 
5 - 20.000,00 800,00 20.800,00 
 Total - 20.000,00 4.000,00 24.000,00 
 
 
 
Esses foram apenas alguns dos conceitos que a Matemática Financeira oferece para você, mas 
são as células principais. 
 
Como já dissemos anteriormente, a Matemática Financeira é um elemento de grande auxílio 
para as mais variadas configurações pessoais, não importa o motivo ou se você é uma pessoa física ou 
jurídica, os conceitos que essa ciência traz só lhe servirão de auxílio. 
 
Não se esqueça de aprofundar mais sobre o assunto e treinar bastante. Bons estudos! 
Conclusão 
 
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TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS – MÓDULO II 
17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 55 
 
 
 
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: 5 edição: 
Pearson Prentice Hall, 2014. 
 
FARO, C. Fundamentos da Matemática Financeira: Uma introdução ao cálculo financeiro e à análise de 
investimentos de risco. São Paulo: Saraiva, 2002. 
 
http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/pdf/proeja/matematica_fin.pdf 
(Matemática Financeira – Roberto J. M. Junior) 
 
http://portal.mec.gov.br/component/tags/tag/35987-educacao-financeira 
(Ministério da Educação e Cultura – Projetos de educação financeira) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia e sites indicados para 
pesquisa 
http://redeetec.mec.gov.br/images/stories/pdf/proeja/matematica_fin.pdf
http://portal.mec.gov.br/component/tags/tag/35987-educacao-financeira
 
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17.0 MATEMÁTICA FINANCEIRA 56