Questão resolvida - Calcule o comprimento da curva xy^4_81_4y, para 1 _ y _ 2 - Comprimento de arco - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o comprimento da curva , para .x = +
y
8
4 1
4y²
1 ⩽ y ⩽ 2
Resolução:
 
A fórmula do comprimento de arco em função de y é dada por:
 
L = dy ou L = dy
b
a
∫ 1 + f' y[ ( )]2
b
a
∫ 1 + dx
dy
2
Assim, devemos encontrar a derivada da função;
dx
dy
 
x = + = x = + = 4 + -2 = -
y
8
4 1
4y²
y
8
4 y
4
-2
→
dx
dy
y
8
3
( )
y
4
-3 y
2
3 y
2
-3
 
substituimos, agora, em 1, ficamos com;
dx
dy
 
L = dy = dy
2
1
∫ 1 + -y
2
3 y
2
-3
2
2
1
∫ 1 + - 2 +y
2
3
2
y
2
3 y
2
-3 y
2
-3
2
 
= dy = dy
2
1
∫ 1 + - +y
2
3
2
1
2
y
2
-3
2
2
1
∫ + +
y
2
3
2
( )2
2 - 1
2
y
2
-3 2
( )2
 
= dy
2
1
∫ + +y
4
6 1
2
y
4
-6
 
Perceba que a expressão dentro da raiz é um quadrado perfeiro, pois;
 
+ + = + = + 2 ⋅ + = + +
y
4
6 1
2
y
4
-6 y
2
3 y
2
-3
2
y
2
3
2
y
2
3 y
2
-3 y
2
-3
2
y
4
6 1
2
y
4
-6
 
Substituindo, fica;
 
 
(1)
 
L = dy = dy = + dy
2
1
∫ + +y
4
6 1
2
y
4
-6 2
1
∫ +y
2
3 y
2
-3
2
2
1
∫ y
2
3 y
2
-3
 
Agora, temos uma integral de fácil solução;
 
L = dy + dy = + = ⋅ + - = -
2
1
∫ y
2
3 2
1
∫ y
2
-3
2
y
4
4
2
y
-2
-2
2
1
y
4
4 1
2
1
2
y
2
-2 2
1
y
8
4 y
4
-2 2
1
 
L = - - - = - - - = 2 - - -
2
8
( )4 2
4
( )-2 1
8
( )4 1
4
( )-2 16
8
2
4
( )2
-1
1
8
( )4 1
4
4
4
( )-1 1
8
1
4
 
L = 2 - - L = 2 - - = L = 2 - + = 2 + = 2 +
1
4 ⋅ 4
1 - 2
8
→
1
16
-1
8
1
16
1
8
-1 + 2
16
1
16
 
L = L = u. c.
32 + 1
16
→
33
16
 
 
(Resposta )