Questão 3. Uma partícula se moveu ao longo de uma curva definida pela função y = √(1− x2), onde x representa a posição horizontal da partícula e y ...

Para calcular o comprimento de arco de uma curva, podemos utilizar a fórmula: L = ∫a^b √(1 + [f'(x)]^2) dx Onde a e b são os limites de integração e f'(x) é a derivada da função f(x) que define a curva. No caso da questão, temos a função y = √(1 - x^2), então podemos calcular a derivada: y' = (-x) / √(1 - x^2) Substituindo na fórmula, temos: L = ∫-1^1 √(1 + [(-x) / √(1 - x^2)]^2) dx L = ∫-1^1 √(1 + x^2 / (1 - x^2)) dx L = ∫-1^1 √((1 - x^2 + x^2) / (1 - x^2)) dx L = ∫-1^1 √(2 / (1 - x^2)) dx L = √2 ∫-1^1 (1 - x^2)^(-1/2) dx Fazendo a substituição trigonométrica x = sin(t), temos: L = √2 ∫-π/2^π/2 cos(t) dt L = √2 [sen(t)]^-π/2_π/2 L = √2 [sen(π/2) - sen(-π/2)] L = √2 (1 - (-1)) L = √2 * 2 L = 2√2 Portanto, o comprimento de arco da curva no intervalo x ∈ [-1, 1] é 2√2.