Questão resolvida - Calcule o comprimento de r(t)=(cos^3(t),sen^3(t)) de t=0 até t=pi_2 - comprimento de arco de curvas em coordenadas paramétricas - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o comprimento de de até .r t = cos t , sen t( ) 3( ) 3( ) t = 0 t =
𝜋
2
 
Resolução: 
 
O comprimento de arco de uma curva em coordenadas paramétricas é dada pela expressão:
L = dt∫
𝛽
𝜃
x' t + y' t[ ( )]2 [ ( )]2
 Devemos, então, achar as derivadas e , passamos para a seguinte notação:x' t( ) y' t( ) r t( )
r t =( )
x t = cos t( ) 3( )
y t = sen t( ) 3( )
 
As derivadas são:
x t = cos t x' t = 3cos t ⋅ -sen t x' t = - 3cos t ⋅ sen t( ) 3( ) → ( ) 2( ) ( ( )) → ( ) 2( ) ( )
 
y t = sen t y' t = 3sen t ⋅ cos t y' t = 3sen t ⋅ cos t( ) 3( ) → ( ) 2( ) ( ( )) → ( ) 2( ) ( )
 
Substituindo na fórmula docomprimento de arco fica:
L = dt
0
∫
𝜋
2
-3cos t ⋅ sen t + 3sen t ⋅ cos t2( ) ( )
2
2( ) ( )
2
 
L = dt
0
∫
𝜋
2
9cos t ⋅ sen t + 9sen t ⋅ cos t4( ) 2( ) 4( ) 2( )
 
L = dt
0
∫
𝜋
2
9cos t ⋅ cos t ⋅ sen t + 9sen t ⋅ sen t ⋅ cos t2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( )
 
L = dt
0
∫
𝜋
2
9sen t ⋅ cos t ⋅ cos t + 9sen t ⋅ cos t ⋅ sen t2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( )
 
colocando 9sen t ⋅ cos t , fica;2( ) 2( )
 
L = dt
0
∫
𝜋
2
9sen t ⋅ cos t ⋅ cos t + sen t2( ) 2( ) 2( ) 2( )
 
 
 
cos t + sen t = 1 identidade fundamental trigonométrica2( ) 2( ) →
 
L = dt L = dt
0
∫
𝜋
2
9sen t ⋅ cos t ⋅ 12( ) 2( ) ( ) →
0
∫
𝜋
2
9sen t ⋅ cos t2( ) 2( )
 
L = ⋅ ⋅ L = 3sen t cos t dt
0
∫
𝜋
2
9 sen t2( ) cos t2( ) →
0
∫
𝜋
2
( ) ( )
 
Resolvendo a integral em sua forma indefinida :
 
3sen t cos t dt = 3 sen t cos t dt u = sen t du = cos t dt∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) → ( ) → ( )
 
Substituindo; 3 sen t cos t dt = 3 udu = 3 = sen t∫ ( ) ( ) ∫ u
2
2 3
2
2( )
 
Voltando para a integral definida;
 
L = 3sen t cos t dt = sen t L = sen - sen 0
0
∫
𝜋
2
( ) ( )
3
2
2( )
0
𝜋
2
→
3
2
2 𝜋
2
3
2
2( )
 
L = ⋅ 1 - ⋅ 0 L = ⋅ 1 - ⋅ 0 L = u. c.
3
2
( )2
3
2
( )2 →
3
2
3
2
→
3
2
 
 
(Resposta )