AOC-Material Complementar 6 - Algebra Booleana

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02/03/2022
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Organização de 
Computadores
Álgebra Booleana e 
Lógica Digital
Profa Ms. Adriane Ap. Loper
Contextualizando
Você é um engenheiro em um processo de criação
de PCI’s (placas de circuitos impressos).
As placas possuem um processo de fabricação, cada
placa de circuito impresso é feita de acordo com seu
diagrama, formando, assim, trilhas ou pistas.
As trilhas são responsáveis pela condução de
corrente elétrica pelos componentes eletrônicos que
podem compor a placa.
Conceitos
Expressões lógicas
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Contextualizando
Você deverá criar uma simplificação de uma
expressão booleana que será usada em uma placa de
circuito, usando as técnicas da álgebra booleana.
A expressão a ser simplificada é AB + A(B + C) + B(B +
C).
Para esta simplificação, você deverá usar as regras de
álgebra booleana e chegar ao menor número de
portas possíveis. Usando o menor número de portas
lógicas, diminuímos a quantidade de portas gerando
o mesmo resultado de expressões mais complexas.
As operações matemáticas das portas lógicas podem ser classificadas por 6 
formas mais conhecidas : 
Porta lógica Símbolo matemático Símbolo gráfico Tabela Verdade
AND (E) S = A . B
OR(OU) S = A + B
NOT (NÃO) S = inverso de A
NAND S = A . B
NOR S = A + B
XOR
]S = A  B
Negação
Negação
A
B
S
A
B
S
A
B S
A
B S
S
A
B
A
A
Portas Lógicas
Negação e adição Booleana
Para negação usaremos o símbolo " traço“
sobre a variável, por exemplo, se A = 0
então Ā= 1;
Adição booleana = OR = +;
Esta figura representa os dados da tabela-verdade OR:
Ex: A partir de A, B, C e D, determine os respectivos 
valores para o termo-soma seja igual a 0.
A = 0, B = 1, C = 0 e D = 1. B e D
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Multiplicação booleana
Estamos falando da porta AND.
Regra: Pela álgebra booleana, o termo-
produto é o produto de literais (aqui, o
símbolo • representa o AND e não a
multiplicação) (TOCCI, 2011).
Ex: Determine os valores para as literais A, B, C e D que 
transforme o resultado do termo-produto igual 
a 1. Aqui A=1 B=0 C=1 D=0
Para o termo-produto ser 1, sabemos pela tabela-
verdade AND que somente será verdadeira a expressão 
que tem dois valores verdadeiros.
Aqui é a aplicação. Aplicando no termo-produto temos:
Leis da Álgebra Booleana
Quando trabalhamos com as expressões lógicas,
temos as leis e regras que regem o uso da álgebra
booleana, assim como existem em outras áreas da
matemática (SHIMOKAWA, 2014).
i. Lei Comutativa da Adição : A+B = B+A
ii. Lei Comutativa da Multiplicação: AB = BA
iii. Lei Associativa da Adição: A + (B + C) = (A + B) + C
iv. Lei Associativa da Multiplicação: A(BC) = (AB)C
v. Lei Distributiva : A(B + C) = AB + AC
Regras da Álgebra Booleana
Fonte: Livro texto pg.197
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a. Regra 1 → A + 0 = A → Para qualquer valor de A (0 ou 1) com
a porta lógica OR, dará sempre o resultado do valor de A
(lembra da tabela verdade?).
b. Regra 5 → A + A = A → Para qualquer valor de A (0 ou 1)
dará sempre A. Note que se A = 0, teremos 0 + 0 = 0 e se A = 1,
teremos 1 + 1 = 1 (também da tabela verdade OR). =
c. Regra 9 → A = A → Se a variável A = 0, a primeira negação
transforma em A = 1 e a segunda negação transforma em A =
0, portanto, o primeiro valor de A, logo, quando tivermos
dupla negação, é a mesma coisa que não ter negação
nenhuma.
d. Regra 12 → (A + B)(A + C) = A + BC → Nesta colocamos o A
em evidência,ficando A + BC.
Teoremas de Morgan
• (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 . 𝑦 : A negação de uma soma (OR) 
de variáveis é igual ao produto (AND) dos 
complementos das variáveis.
• (𝑥 . 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 : A negação de um produto 
(AND) de variáveis é igual a soma(OR) dos 
complementos das variáveis.
Exemplos
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Resolução da SP
Simplificar 
expressão
Expressão a ser simplificada : AB + A(B + C) + B(B + C).
1º) Aplicar a lei da distributiva:
AB+ AB + AC + BB + BC 
2°) Aplicar a regra 5 (AB + AB= AB)
AB + AC + BB + BC
3º) Aplicar a regra 7 ( BB= B)
AB + AC + B + BC
4º) Aplicar a regra 10 (B + BC = B):
AB + AC + B 
5º) Aplicar a regra 10 (AB + B = B):
B + AC
A expressão simplificada é:B+ AC
Conceitos
Portas lógicas
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Contextualizando
Você deverá desenvolver o diagrama de um circuito 
impresso, utilizando as portas lógicas que forem 
necessárias, para abertura de uma porta automática. 
Para isso, você tem as seguintes informações:
a. Se o resultado da saída for igual a 1, a porta se 
abre.
b. Entradas:
p = 1 → pessoa detectada;
q = 1 → chave para forçar a abertura;
z = 1 → chave para forçar o fechamento;
Contextualizando
O diagrama deverá ser criado para a seguinte 
situação: a porta deverá ser aberta quando a 
entrada (q = 1 e z = 0) ou (q = 0 e p = 1 e z = 0)
Definições
• Dado – Um dado é um elemento quantificado ou quantificável.
Exemplo: altura de uma pessoa. Pode ser representado por
sinais analógicos ou digitais.
• Sinal analógico – é a representação de uma grandeza, podendo
assumir, através do tempo, um valor entre dois limites
determinados.
• Sinal digital – é representado por uma grandeza física. Essas
grandezas são representadas por meio de dois valores: 0 e 1.
São chamados também de grandezas binárias.
• Tabela-verdade – nessas tabelas representamos todas as
possíveis combinações lógicas de entrada e seus respectivos
valores lógicos de saída, conforme a operação da porta lógica.
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Portas lógicas
Inversor (negação) - haverá uma inversão ou negação 
da entrada lógica.
Expressão da Função: 
S = �̅�
Fonte: Livro texto pg.205
Portas lógicas
Porta OR - refere-se a uma adição.
Expressão da Função: 
S = A + B
Fonte: Livro texto pg.205
Portas lógicas
Porta AND - a multiplicação 
Expressão da Função: 
S = A ^ B
Fonte: Livro texto pg.206
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Portas lógicas
Porta NAND - negação da porta AND 
Expressão da Função: 
S = 𝐴 𝑥 𝐵
Fonte: : (Tangon,2016)
Fonte: Livro texto pg.207
Portas lógicas
Porta NOR negação da porta lógica OR.
Expressão da Função: 
S = 𝐴 + 𝐵
Fonte: : (Tangon,2016)
Fonte: : (Tangon,2016)
Resolução da SP
Diagrama
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• A expressão lógica é: 
𝑆 = 𝑞𝑧̅ +𝑞𝑝𝑧̅
Fonte: Livro texto pg.212
Compreenderam a 
importância da 
álgebra booleana