AOL 4 Cálculo Vetorial 20212 B

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Pergunta 1 -- /1
O teorema de Stokes pode ser dito que é uma versão de uma dimensão maior que o de Green. Lembrando 
que ambos relacionam uma integral de caminho com uma integral sobre uma superfície. Porém, eles não o 
fazem da mesma maneira.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, pode-se dizer que o 
teorema de Green e de Stokes são diferentes porque:
as superfícies de integração possuem orientações diferentes.
o teorema de Stokes é usado para campos escalares e o de Green campos vetoriais.
Resposta correta
a superfície do teorema de Stokes é uma superfície cuja projeção no plano do 
caminho é a superfície do teorema de Green.
o teorema de Green usa o operador rotacional e de Stokes o operador divergente.
o integrando da integral sobre a mesma superfície é diferente em cada um dos teoremas.
Pergunta 2 -- /1
O teorema de Stokes 
ϕ subscript c F times d r space equals space double integral subscript s nabla cross times F times d S é 
bastante utilizado para simplificar o problema da integral de um campo vetorial sobre uma superfície para 
uma integral de linha. Ou seja, é utilizado no sentido contrário (da direita para a esquerda) de como temos 
escrito ele. Para tanto, é necessário que o campo vetorial em questão possa ser escrito como o rotacional 
de um outro campo.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, ordene as etapas a 
seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os passos para a utilização do teorema no 
sentido 
double integral subscript S nabla cross times F times d S space equals space ϕ subscript c space F times 
d r
.
( ) Verificar se campo vetorial pode ser escrito como um rotacional e se ele e a superfície satisfazem os 
requisitos do teorema.
( ) Executar a integral de linha.
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( ) Parametrizar o caminho.
( ) Fazer a mudança de sistema de coordenadas convenientes.
( ) Projetar a superfície no plano XY para definir o caminho de integração.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta correta1, 5, 3, 4, 2.
4, 3, 5, 2, 1.
5, 4, 1, 3, 2.
2, 1, 3, 4, 5.
3, 4, 1, 2, 5.
Pergunta 3 -- /1
O teorema da divergência é bastante útil, pois consegue relacionar a integral de um campo vetorial sobre 
uma superfície com a integral de volume do divergente do campo vetorial. A princípio, pode não ser clara 
sua utilidade, porém, há diversos casos em que o problema é simplificado. Mas para utilizá-lo, há certos 
requisitos a serem atendidos. A definição é: 
double integral subscript s F times d S space equals space integral integral integral subscript v nabla 
times F d V
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, analise as 
afirmativas a seguir.
I. A superfície S deve ser fechada.
II. A superfície S deve ser orientada para dentro.
III. O campo vetorial F deve possuir derivadas parciais contínuas.
IV. O volume V deve ser maior que o definido pela superfície S.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e IV.
I e IV.
II e IV.
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I e II.
Resposta corretaI e III.
Pergunta 4 -- /1
Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o trabalho algébrico com as integrais 
de linha e superfície. Eles definem equivalências com outras integrais, de modo que não se calcule as 
integrais de linha e superfície por definição.É interessante, também, lançar um outro olhar sobre esses 
teoremas. Observar as diferenças e similaridades acerca de seus aspectos vetoriais também é 
fundamental. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas.
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, pode ser utilizada pelo 
Teorema de Green.
III. ( ) O Teorema de Gauss é pautado em um sólido delimitado por superfícies.
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, F, F, V.
V, V, F, F.
F, F, V, F.
Resposta corretaV, F, V, V.
F, F, V, V.
Pergunta 5 -- /1
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O conjunto de teoremas da divergência, de Green e de Stokes é um conjunto de ferramentas para nos 
auxiliam a resolver integrais em campos vetoriais que são difíceis ou impossível de resolver. Todos os 
teoremas fazem uma mudança de integral de um tipo para outro.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, de Green e 
Stokes, analise as afirmativas a seguir.
I. O teorema da divergência transforma uma integral sobre uma área para uma integral sobre um volume.
II. O teorema de Green transforma uma integral sobre um caminho para uma integral sobre uma área.
III. O teorema de Stokes transforma uma integral sobre um caminho para uma integral sobre um volume.
IV. Os teoremas podem fazer a transformação em um sentido ou outro.
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI, II e IV.
I e III.
I e II.
II e IV.
I e IV.
Pergunta 6 -- /1
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre uma região R. Para que 
seja válido o teorema, a curva C deve ser simples, ou seja 
r open parentheses c close parentheses space not equal to r open parentheses d close parentheses para 
todos os valores contidos no intervalo aberto da variação do parâmetro t. Somado a isso, a região R deve 
ser simplesmente conexa, ou seja, a curva C que delimita a região deve ser simples, e delimitar apenas 
pontos que pertencem a R.
Figura 6 – Regiões R2 e R3
Fonte: (LARSON; EDWARDS, 2009)
Cálculo Vetorial_BQ04- Questão20_v1(1).png
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Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, afirma-se que as 
regiões R2 e R3 são regiões não contempladas pelo teorema porque:
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário.
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário e anti-horário.
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R3 por conter furos e R2 
por sua fronteira cruzar ela mesma.
são regiões que se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos e R3 por 
sua fronteira cruzar ela mesma.
Resposta correta
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por 
conter furos e R3 por sua fronteira cruzar ela mesma.
Pergunta 7 -- /1
Uma das integrais de linhas mais importantes no Cálculo Vetorial é a integral de linha do trabalho (W) de 
uma partícula que se desloca ao longo de um campo vetorial (F). Essa integral é definida da seguinte 
forma:
W space equals space integral subscript c F times d r equals integral subscript a superscript b F open 
parentheses x open parentheses t close parentheses comma y open parentheses t close parentheses 
space left enclose space right enclose space end enclose comma space z open parentheses t close 
parentheses close parentheses times r to the power of l open parentheses t close parentheses d t
.
Existem, porém, inúmeras outras formas de se escrever essa integral, que podem variar conforma o 
contexto algébrico em que forem calculadas as integrais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a integral de linha do trabalho, analise as 
afirmativas a seguir.
I. W space equals integral subscript c M d x plus N d y é uma possível forma de se escrever essa 
igualdade.
II. W space equals space integral subscript c F times d t é uma possível forma de se escrever essa 
igualdade.
III. W space equals space integral subscript c F times d A é uma possível forma de se escrever essa 
igualdade.
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IV. W space equals space integral subscript c M d x plus N d y plus P d z é uma possível forma de se 
escrever essa igualdade.
Estácorreto apenas o que se afirma em:
I, II e IV.
Resposta corretaI e IV.
I e II.
I e III.
II e IV.
Pergunta 8 -- /1
Um dos requisitos do teorema de Green é que o caminho de integração seja fechado. Isto é, o ponto do 
começo da integração e do fim são o mesmo. Lembrando que o que está sendo somado são os vetores do 
campo, portanto o fato de ser fechado não torna a integral nula.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, pode-se dizer que o 
caminho deve ser fechado porque:
o caminho fechado faz a orientação ser anti-horário.
o caminho aberto poder ter singularidades.
Resposta corretasó é possível definir uma área de integração com uma superfície fechada.
a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho fechado.
o caminho fechada permite definir um volume.
Pergunta 9 /1
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Pergunta 9 -- /1
As integrais de linha retomam conceitos do Teorema Fundamental do Cálculo, possibilitando o cálculo de 
integrais em um contexto vetorial. Para isso, porém, deve-se encontrar maneiras algébricas para se 
trabalhar com os objetos matemáticos, de modo a tornar viável o cálculo de integrais e derivadas.
Uma das maneiras algébricas de se trabalhar com alguns objetos é efetuando a parametrização. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados, pode-se dizer que a parametrização é de 
extrema importância para o Cálculo Vetorial porque:
Resposta correta
a parametrização é uma representação de uma função, ou seja, torna o objeto 
matemático integrável.
a parametrização faz com que a integral de linha independa de limites integrativos.
a parametrização é uma estrutura algébrica nula.
a parametrização torna dispensável o trabalho com vetores.
a parametrização é uma maneira de se definir limites integrativos.
Pergunta 10 -- /1
O teorema da divergência 
double integral subscript s space F times d S space equals space integral integral integral subscript v 
nabla times F d V
 substitui a avaliação da integral de uma superfície com a integral sobre o volume englobado pela 
superfície fechada. É necessário fazer a operação com cautela para não ter um resultado que não 
represente a soma desejada.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, ordene as etapas 
a seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os passos para a utilização do teorema:
( ) Aplicar o operador divergente ao campo vetorial F.
( ) Definir o elemento de volume no sistema de coordenadas apropriados.
( ) Integrar sobre o volume V.
( ) Avaliar se a superfície S e o campo vetorial F satisfazem os requisitos do teorema.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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4, 3, 1, 2.
3, 4, 1, 2.
4, 1, 3, 2.
Resposta correta2, 3, 4, 1.
2, 1, 3, 4.