Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário - Cálculo Vetorial

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Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário
 Pergunta 1
 
 Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o trabalho algébrico
com as integrais de linha e superfície. Eles definem equivalências com outras integrais, de
modo que não se calcule as integrais de linha e superfície por definição.É interessante,
também, lançar um outro olhar sobre esses teoremas. Observar as diferenças e
similaridades acerca de seus aspectos vetoriais também é fundamental.
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e
Stokes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)
falsa(s).
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas.
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, pode ser
utilizada pelo Teorema de Green.
III. ( ) O Teorema de Gauss é pautado em um sólido delimitado por superfícies.
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. F, F, V, F.
2. F, F, V, V.
3. V, V, F, F.
4. V, F, F, V.
5. V, F, V, V.
 
 Pergunta 2
 
 Um dos requisitos do teorema de Green é que o caminho de integração seja fechado. Isto é,
o ponto do começo da integração e do fim são o mesmo. Lembrando que o que está sendo
somado são os vetores do campo, portanto o fato de ser fechado não torna a integral nula.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, pode-se
dizer que o caminho deve ser fechado porque:
1. o caminho fechada permite definir um volume.
2. a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho fechado.
3. o caminho aberto poder ter singularidades.
4. só é possível definir uma área de integração com uma superfície fechada.
5. o caminho fechado faz a orientação ser anti-horário.
 
 Pergunta 3
 
 Uma das integrais de linhas mais importantes no Cálculo Vetorial é a integral de linha do
trabalho (W) de uma partícula que se desloca ao longo de um campo vetorial (F). Essa
integral é definida da seguinte forma:
.
Existem, porém, inúmeras outras formas de se escrever essa integral, que podem variar
conforma o contexto algébrico em que forem calculadas as integrais.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a integral de linha do
trabalho, analise as afirmativas a seguir.
I. é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
II. é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
III. é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
IV. é uma possível forma de se escrever essa igualdade.
Está correto apenas o que se afirma em:
1. II e IV.
2. I e II.
3. I e IV.
4. I e III.
5. I, II e IV.
 
 Pergunta 4
 
 O teorema da divergência é bastante útil, pois consegue relacionar a integral de um campo
vetorial sobre uma superfície com a integral de volume do divergente do campo vetorial. A
princípio, pode não ser clara sua utilidade, porém, há diversos casos em que o problema é
simplificado. Mas para utilizá-lo, há certos requisitos a serem atendidos. A definição é:
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência,
analise as afirmativas a seguir.
I. A superfície S deve ser fechada.
II. A superfície S deve ser orientada para dentro.
III. O campo vetorial F deve possuir derivadas parciais contínuas.
IV. O volume V deve ser maior que o definido pela superfície S.
Está correto apenas o que se afirma em:
1. II e IV.
2. I e IV.
3. I, II e IV.
4. I e III.
5. I e II.
 
 Pergunta 5
 
 As funções parametrizadas são extremamente importantes para o cálculo integral, até
dentro do contexto vetorial. Elas conseguem representar expressões algébricas que muitas
vezes não são funções comuns, tornando possível o trabalho com integrais e derivadas.
Segue um exemplo de função parametrizada:
A derivada de uma função paramétrica, por exemplo, pode auxiliar a definir o trabalho de
uma partícula ao longo de um campo vetorial, pois se trata de um vetor tangente.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cálculo vetorial, dado o
exemplo supracitado, pode-se dizer que o vetor tangente dessa função é
, porque:
1. o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma:
2. o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma:
3. o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma:
4. o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma:
5. o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma:
 
 Pergunta 6
 
 Ao aplicar o teorema da divergência, é necessário resolver uma integral tripla. Para resolver
uma integral tripla, trata-se de fazer três integrais por vez, cujas variáveis são dependentes
uma das outras. Para tal, é necessário entender bem a região de integração para escrever
os limites de integração. Fora isso, as variáveis que não estão sendo integradas são
consideradas constantes.
Considerando essas informações e os estudos sobre divergente, analise as afirmativas a
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é
definido pela superfície do cilindro e .
II. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é a
esfera unitária .
III. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S
é o cubo definido pelos planos
IV. ( ) Dado o campo vetorial , a integral
onde S é .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. V, V, F, F.
2. F, F, V, F.
3. V, F, F, V.
4. V, F, V, V.
5. F, F, V, V.
 
 Pergunta 7
 
 Os teoremas de Green, Gauss e Stokes podem ser considerados facilitadores algébricos,
uma vez que transformam integrais complexas, tais como superfícies e linha, em integrais
de regiões, sólidos e afins. A manipulação dessas integrais é muito menos complexa do que
as outras. Porém, é necessário conhecer cada um dos elementos desses teoremas, pois
eles são definidos em espaços geométricos e contextos vetoriais diferentes.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os teoremas de Green,
Gauss e Stokes, analise as afirmativas a seguir
I. O teorema de Green pode ser escrito de uma forma que envolve o rotacional
II O teorema de Green pode ser escrito de uma forma que envolve o divergente
III. O Teorema de Gauss trabalha com superfícies não orientadas.
IV. A regra da mão direita é uma regra auxiliadora do Teorema de Stokes
Está correto apenas o que se afirma em:
1. I, II e IV.
2. I e II.
3. II e IV.
4. I e III.
5. I e IV.
 
 Pergunta 8
 
 Em um contexto com variáveis reais definidas em domínios e imagens de pontos, o cálculo
integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais. Já em um contexto
vetorial, o cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais de
linha.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se
afirmar que as integrais referentes ao teorema fundamental do cálculo e as integrais de
linhas, apesar de distintas, se relacionam porque:
1. as integrais do contexto vetorial podem ser escritas como integrais duplas e triplas,
referentes ao outro contexto integrativo.
2. as integrais de linha possuem integrandos que não são vetores.
3. as integrais triplas conseguem definir qualquer tipo de objeto matemático.
4. ambas são definidas no mesmo contexto, em um cenário onde domínio e
contradomínio representam conjuntos de pontos.
5. ambas conseguem tratar do mesmo objeto matemático sem que haja perda de
informações.
 
 Pergunta 9
 
 O campo conservativo é extremamente relevante para a integral de linha do trabalho (W).
Caso o campo seja conservativo, qualquer curva que une dois pontos pré-fixados no campo
vetorial tem o mesmo valor numérico do trabalho. Esse campo é definido em termos de um
gradiente de uma função escalar:
.
Em algumas situações nãose sabe sobre a função f, mas, mesmo assim, é possível
descobrir se um campo é ou não conservativo caso ele respeite as igualdades a seguir:
.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se
dizer que é um campo conservativo porque:
1. as igualdades serem válidas é uma condição necessária, mas não suficiente.
2. o divergente dessa função é nulo.
3. as igualdades supracitadas possuem diferenças entre seus termos.
4. se verificou todas as igualdades supracitadas e todas verdadeiras.
5. o gradiente dessa função é nulo.
 
 Pergunta 10
 
 Um campo conservativo (F) é definido com base na existência de uma função escalar f que
pode ter seu gradiente calculado. Em outras palavras, define-se um campo conservativo F
da seguinte forma:
Portanto, pode-se dizer que uma função f(x,y)=xy pode gerar um campo conservativo F,
porque:
1. é possível calcular o campo rotacional dessa função, e seu resultado é (y,x)
2. é possível calcular o campo gradiente dessa função, e seu resultado é (y,x)
3. é possível calcular o campo divergente dessa função, e seu resultado é (y,x)
4. é possível calcular o campo divergente dessa função, e seu resultado é (x,y)
5. é possível calcular o campo gradiente dessa função, e seu resultado é (x,y)