Questão resolvida - DESAFIO 10.2 A regra do quociente tem aplicação prática e de grande relevância para o ... você foi requisitado para realizar o estudo ... Com as informações que você recebeu do biólogo, busque respostas para as seguintes questões: a) A que taxa a ... - Cálculo I - UCL

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
 
• A regra do quociente tem aplicação prática e de grande relevância para o cotidiano 
das pessoas. Este Desafio propõe o estudo da variação de uma população com o 
tempo em que as análises são realizadas, por meio da aplicação da regra de 
derivação do quociente.
 
Você foi requisitado para realizar o estudo da variação de uma população com o tempo. 
Para isso, um biólogo modelou o efeito de uma tóxina em uma colônia de bactérias usando 
a função ao lado : 
 P t = ( )
t + 1
t + t + 42
 
Na qual P é o número de bactéria na colônia em milhões t horas após a toxina ser introduzida. ( )
Com as informações que você recebeu do biólogo, busque respostas para as seguintes 
questões:
 
a) A que taxa a população está variando no momento em que a toxina é introduzida?
 
b) Em que instante a população começa a diminuir?
 
Resolução:
 
a)
 
A taxa de variação da população de bactérias é dada pela primeira derivada da função P;
 
P t = P' t =( )
t + 1
t + t + 42
→ ( )
1 ⋅ t + t + 4 - 2t + 1 t + 1
t + t + 4
2 ( )( )
2
2
 
Desenvolvendo os termos e reescrevendo a derivada, ou a taxa de variação da população 
de bactérias em relação ao tempo, tempo;
 
P' t = P' t =( )
1 ⋅ t + t + 4 - 2t + 1 t + 1
t + t + 4
2 ( )( )
2
2
→ ( )
t + t + 4 - 2t + 2t + t + 1
t + t + 4
2 2
2
2
 
 
 
P' t = P' t =( )
t + t + 4 - 2t - 2t - t - 1
t + t + 4
2 2
2
2
→ ( )
-t - 2t- t+ 3
t + t+ 4
2
2
2
 
b)
 
A população começa a diminuir quando o coeficiente angular da reta tangente a P se torna 
menor que zero, o coeficiente angular da reta tengente a função P é definido pela derivada 
de P, assim, as retas tangentes a P começam a ser negativas quando;
 
P t < 0 ou < 0 ( )
-t - 2t - t + 3
t + t + 4
2
2
2
A solução da inequação vista acima é o mesmo que:
 
-t - 2t - t + 3 < 0 2
 
Já que o denominador não fornece números negativos quaquer que seja , com isso, R
devemos resolver a equação do 2° grau e verificar em quais intervalos a -t - 2t - t + 32
expressão se torna negativa;
t - 6t + 9 = 02
 
t = t' = = = = = - 3
- -2 ±
2 ⋅ -1
( ) -2 - 4 ⋅ -1 ⋅ 3( )2 ( ) ( )
( )
→
2 +
-2
4 + 12 2 +
-2
16 2 + 4
-2
6
-2
 
 t" = = = = = 1
2 -
-2
4 + 12 2 -
-2
16 2 - 4
-2
-2
-2
 
Assim, a solução da inequação na reta real é;
 
 
 
 
 
-3 0 1
Reta real
t
(Resposta )
 
 
Ou seja, a função P'(t) fica negativa quando ou , como não é possível o tempo t < -3 t > 1
ser negativo, a única resposta possível é: a população de bactérias começa a dimuir 
quando o tempo é superior a 1 hora.