Anotações da aula de teoria e aplicaçâo e cálculo

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NOTAS DE AULAS
TEORIA 
E
APLICAÇÕES 
DO
CÁLCULO
DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
Derivada da função constante
Derivada do produto de uma constante 
 pela função identidade 
Derivada da função identidade 
Derivada da potência
Determine a derivada das seguintes funções:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6)
7)
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
Derivada da soma (ou diferença)
Derivada do produto
Derivada do quociente
Derivada de uma função de expoente real
Determine a derivada das seguintes funções:
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
29) 
30) 
31) 
32) 
33) Dado 
. Mostre se 
 e calcule 
.
34) Dado 
. Mostre se 
 e calcule 
.
35) 
36) 
, com 
 constante.
37) 
38) 
Derivada da função composta (Regra da cadeia)
	
Derivada da função seno
Derivada da função cosseno
DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA
49) Sendo 
, calcule 
.
50) Sendo 
, calcule 
.
	
DERIVADAS SUCESSIVAS
Seja 
, chamamos de derivada primeira a função 
 obtida a partir da derivação de 
; se derivarmos 
 obteremos 
 ou Segunda derivada, e assim por diante, até 
 possível.
51) Dada a função 
, calcular 
.
52) Dada a função 
, resolver 
 
53) Se a função 
, resolver 
 
54) Calcule as duas primeiras derivadas de 
 . 	
55) Seja a função 
. Determine 
. 
	Integral Indefinida
Dada uma função
 primitiva de uma função 
 contínua e c uma constante real indeterminada, assim, denomina-se integral indefinida de 
e é indicada por:
 à função 
 que pronunciamos “ integral de f de x, dx” significando , devido ao dx que 
. Como o termo integração indefinida foi designado para o processo que nos leva a obter uma certa função 
 a sua integração indefinida podemos dizer, então, que esta integração indefinida é a operação inversa das operações de derivação ou diferenciação.
O símbolo 
chama-se sinal de integral, a função f(x) é a função integrada, ou simplesmente integranda e a constante c denomina-se constante de integração.
A integral indefinida possui propriedades operatórias que são:
P1 Integral da soma: 
P2 Integral da subtração: 
P3 Integral de uma constante 
 por uma função: 
E possui, também, fórmulas para a sua resolução:
F1: Fórmula da potência:
, para 
F2: Fórmula da constante:
Determine a integral das funções abaixo:
INTEGRAL INDEFINIDA – MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO
	O método de substituição é outra técnica de integração usada para a resolução de algumas integrais que não apresentam funções elementares tornando-se inviável a utilização direta das três propriedades e das duas fórmulas apresentadas anteriormente; por isso procura-se um artifício para cairmos em algumas das primitivas imediatas, as quais devemos conhecer de memória. 
	A técnica apresentada é muito simples chamada de integração por substituição que leva a uma expressão que lembra a regra da cadeia do cálculo das derivadas. O importante é verificar, se a integral pode ser colocada em função de certa expressão multiplicada pela derivada da mesma, eventualmente a menos de um fator multiplicativo constante. Substitui-se, então, a expressão em questão por uma nova variável. Seja 
 escrita na forma 
, em que 
, logo uma primitiva de 
 será obtida tomando-se uma primitiva de 
 e substituindo 
 por 
. 
	
Determine a integral das funções abaixo:
 66) 
67) 
68) 
69) 
70) 
71) 
72) 
 
INTEGRAL DEFINIDA
A integral definida é o processo de integração realizado entre dois valores da variável de integração, ou seja, dada uma função 
 contínua em um intervalo 
 chamados de extremos de integração denominamos a integral definida de 
entre os limites a e b como a diferença entre 
 onde 
é a primitiva da integral e, indicada simbolicamente por:
(lemos: integral de f de a até b)
	A diferença 
 costuma ser indicada pelo símbolo 
.
Determine:
73) 
74) 
75) 
76) 
77) 
78) 
INTEGRAL DEFINIDA - APLICAÇÕES
	Verificaremos o significado geométrico da integral definida que será representada pela área compreendida entre o gráfico de 
, o eixo 
 e as verticais que passam pelos pontos a e b onde 
 é uma função contínua definida em um intervalo 
. Esse significado se dá pela comparação da definição da integral de f de a e b, com a fórmula para calcular a área S da região limitada pela curva 
, concluindo que 
.
	
Caso a função f seja negativa no intervalo 
, isto é, 
 que é positiva no intervalo 
, teremos 
; logo 
. Devemos lembrar que a área é sempre positiva e, neste caso, a integral é negativa.
Calcule a área das figuras abaixo:
79) 
 
80)
 
81) 
 
82) 
 	
INTEGRAL DEFINIDA - APLICAÇÕES
Este é o caso em que f muda de sinal no intervalo 
, calculamos a área utilizando a diferença entre a área acima do eixo x e a área abaixo dele, assim, a integral será positiva se a área acima do eixo x for maior e a integral será negativa se a área abaixo do eixo x for maior. Portanto, temos que 
.
Calcule a área das figuras abaixo:
83)
84)
85)
86)
 
_1264238513.unknown
_1264238764.unknown
_1264238810.unknown
_1264238865.unknown
_1264240133.unknown
_1264240187.unknown
_1264240330.unknown
_1264240367.unknown
_1264240386.unknown
_1264240349.unknown
_1264240209.unknown
_1264240167.unknown
_1264239291.unknown
_1264239662.unknown
_1264239269.unknown
_1264238829.unknown
_1264238835.unknown
_1264238818.unknown
_1264238785.unknown
_1264238793.unknown
_1264238806.unknown
_1264238789.unknown
_1264238776.unknown
_1264238780.unknown
_1264238768.unknown
_1264238772.unknown
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_1264238730.unknown
_1264238737.unknown
_1264238740.unknown
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_1264238670.unknown
_1264238678.unknown
_1264238667.unknown
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_1264238548.unknown
_1264238552.unknown
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_1264238534.unknown
_1264238537.unknown
_1264238523.unknown
_1264237889.unknown
_1264238201.unknown
_1264238499.unknown
_1264238507.unknown
_1264238510.unknown
_1264238502.unknown
_1264238400.unknown
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_1264238374.unknown
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_1264237877.unknown
_1264237865.unknown
_1264237869.unknown
_1264237861.unknown
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_1264237854.unknown
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