CAP III - SÉRIES DE PAGAMENTO E INVESTIMENTOS

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CAP III - SÉRIES DE PAGAMENTO E 
INVESTIMENTOS
Profº Msc, Antônio Carlos da F. Sarquis
sarquis@uva.br ou profacsarquis@gmail.com
Cel: 999790642
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
ECONOMIA DA ENGENHARIA
mailto:sarquis@uva.br
mailto:profacsarquis@gmail.com
Conceito de Séries Uniformes
• Consistem em uma sequência de
recebimentos ou pagamentos, cujos
valores são iguais.
• Genericamente, as séries uniformes
podem ser representadas de acordo com
a figura seguinte.
Séries Uniformes
• Objetivos :
 discutir os principais
aspectos associados às
séries uniformes
 diferenciar séries ante-
cipadas, postecipadas e
diferidas
Classificações de Séries
Quanto ao número de prestações : Finitas : quando ocorrem durante um período pré-
determinado de tempo
Infinitas : ou perpetuidades, ocorrem quando ocorrem
de forma ad eternum. Isto é, quando os pagamentos ou
recebimentos duram de forma infinita.
Quanto à periodicidade dos pagamentos : Periódicas : quando os pagamentos ocorrem a
intervalos constantes
Não-periódicas : quando os pagamentos ou
recebimentos acontecem em intervalos irregulares de
tempo
Quanto ao valor das prestações : Uniformes : quando as prestações ou anuidades são
iguais.
Não-uniformes : quando os pagamentos ou
recebimentos apresentam valores distintos
Quanto ao prazo dos pagamentos : Postecipadas : quando as anuidades iniciam após o
final do primeiro período
Antecipadas : quando o primeiro pagamento ocorre na
entrada, do início da série
Quanto ao primeiro pagamento : Diferidas : ou com carência, quando houver um prazo
maior que um período entre a data do recebimento do
financiamento e data de pagamento da primeira
prestação
Não diferidas : quando não existir prazo superior a um
período entre o início da operação e o primeiro
pagamento ou recebimento.
		Quanto ao número de prestações :
		Finitas : quando ocorrem durante um período pré-determinado de tempo
Infinitas : ou perpetuidades, ocorrem quando ocorrem de forma ad eternum. Isto é, quando os pagamentos ou recebimentos duram de forma infinita.
		Quanto à periodicidade dos pagamentos :
		Periódicas : quando os pagamentos ocorrem a intervalos constantes
Não-periódicas : quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em intervalos irregulares de tempo
		Quanto ao valor das prestações :
		Uniformes : quando as prestações ou anuidades são iguais.
Não-uniformes : quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos
		Quanto ao prazo dos pagamentos :
		Postecipadas : quando as anuidades iniciam após o final do primeiro período
Antecipadas : quando o primeiro pagamento ocorre na entrada, do início da série
		Quanto ao primeiro pagamento :
		Diferidas : ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do financiamento e data de pagamento da primeira prestação
Não diferidas : quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou recebimento.
VP = Valor Presente
PMT = Prestações ou Pagamentos
0
n = número de pagamentos iguais
Carência
m +1
DFC genérico de série uniforme
Valor Presente
n Pagamentos Periódicos
Sem Entrada
0
Postecipada
Séries Postecipadas
PMT
O pagamento ocorre
ao final do primeiro
período
Valor Presente
N Pagamentos Periódicos
Com Entrada
0
Antecipada
Séries Antecipadas
PMT
O pagamento ocorre
no início do primeiro
período
10 2 3 4 5 n-1 n
P
M
T
P
M
T
P
M
T
P
M
T
P
M
T
P
M
T
P
M
T
P
CÁLCULO DAS SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO
1) CÁLCULO DO VALOR PRESENTE (P) DADA A PRESTAÇÃO (PMT)
Trazendo cada um dos termos para a data zero teremos:






+
++
+
+
+
=
+
++
+
+
+
=
n
n
iii
PMTP
i
PMT
i
PMT
i
PMTP
)1(
1......
)1(
1
)1(
1
)1(
.........
)1()1(
2
2
Soma dos “n” termos de uma P.G.






+
=






+
=
i
q
i
a
1
1
1
1
1
CÁLCULO DAS SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO






−
−
=
q
qaSn
n
1
1
1
























+
−
+
−
×
+
=
)1(
11
)1(
11
)1(
1
i
i
i
PMTP
n
























+
−+
+
−+
+
=
)1(
1)1(
)1(
1)1(
1
1
i
i
i
i
i
PMTP
n
n





 +
×
+
−+
×
+
=
i
i
i
i
i
PMTP n
n )1(
)1(
1)1(
)1(
1






×+
−+
=
ii
iPMTP n
n
)1(
1)1(
TABEL: P = PMT a 
n i Fator de valor atual das 
séries uniformes
CÁLCULO DAS SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO
2) CÁLCULO DA PRESTAÇÃO (PMT) DADO O VALOR PRESENTE (P)
1)1(
)1(
)1(
1)1(
)1(
1)1(
−+
+××
=⇒












×+
−+
=






×+
−+
=
n
n
n
n
n
n
i
iiPPMT
ii
i
PPMT
ii
iPMTP
CÁLCULO DAS SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO
3) CÁLCULO DO VALOR FUTURO (F OU M) DADA PRESTAÇÃO (PMT)
[ ]n
n
iiiPMTF
iPMTiPMTiPMTPMTF
)1(.....)1()1(1
)1(.....)1()1(
2
21
+++++++=
+++++++=
SPG






−
−
=
q
qaS
n
PG 1
1
1
)1(
11
iq
a
+=
=
[ ]





 −+
=






−
+−
=






+−
+−
=
i
iPMTF
i
iPMTF
i
iPMTF
n
n
n
1)1(
)1(1
)1(1
)1(11
CÁLCULO DAS SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO





 −+
=
i
iPMTF
n 1)1(
Fator de Valor Futuro 
das Séries Uniformes
F = PMT F
n i
4) CÁLCULO DA PRESTAÇÃO( PMTDADO O VALOR FUTURO (F ou M)
1)1(1)1( −+
=⇒
−+
= nn i
FiPMT
i
i
FPMT
CÁLCULO DAS SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO
INTERPOLAÇÃO
Uma calculadora é vendida à vista por $ 160,00 ou a prazo em 4
prestações mensais iguais de $ 45,49 cada uma, vencendo a
primeira um mês após a compra. Qual a taxa de juros do
financiamento?






×+
−+
=
ii
iPMTP n
n
)1(
1)1(
TABEL: P = PMT a 
n i
160 = 45,49 a 
4 i 4 i
a = 3,5173
Este valor não é encontrado na tabela, como proceder para 
acharmos i?
INTERPOLAÇÃO
Vamos interpolar para valores próximos, ou seja, i estará entre 
5% e 6%. 
n i
a
i
0,05 i 0,06
3,465106
3,5173
3,545951
3,5173
..%354,5
06,0
052194,0
05,0
028651,0
06,0
052194,0
06,0
465106,35173,3
05,0
028651,0
05,0
5173,3545951,3
2
1
21
21
mai
ii
ii
tg
ii
tg
tgtg
=⇒
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
−
−
=
=
=
α
α
αα
αα
INTERPOLAÇÃO
Conceito de Investimento
Aplicação de Capital ou Investimento é o fato de se
empregar recursos visando obter benefícios futuros.
 Abertura de uma nova fábrica
 Lançamento de um novo produto
 Compra de novos equipamentos
 Abertura de uma filial
 Projetos de redução de custos
 Aquisição de uma empresa
Conceito de Investimento
Permite avaliar alternativas diferentes de decisões de
alocação de recursos.
• Exemplos:
 Substituição de equipamentos - comprar uma máquina nova ou 
continuar com a antiga?
 Lançamento de um novo produto - lançar o produto "A" ou o "B“?
 Modernização - automatizar ou não departamentos 
administrativos?
 Aquisição - comprar ou não uma empresa concorrente?
Principal característica: é o fluxo de caixa (entradas menos saídas 
de recursos) que importa e não só o lucro
Análise de 
Investimento
Taxa de Desconto
Fluxo de Caixa
Fluxo de Caixa
FCL FCL FCL FCL FCL
Io
0 1 2 3 4 
Custo de Oportunidade
É a melhor remuneração que seria 
obtida em uso alternativo.
Taxa Mínima de Atratividade ( SELIC, CDI, IGP-M)
Custo Médio Ponderado de Capital (CMPC)
Como investir em um Projeto:
Comparação de alternativas de investimento
Utilização de uma taxa de juros adequada
Antes de iniciar a análise e comparação das
diferentes oportunidades de investimento
encontradas, deve-se determinar qual será o
custo do capital atribuído à empresa.
Viabilidade Econômica de Projetos
Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
taxa de juros praticada no mercado 
+
incerteza dos valores de fluxo de caixa
Viabilidade Econômica de Projetos
O método do valor presente líquido baseia-se no cálculo do valor 
presente de um fluxo de caixa que envolve saídas (investimento) e 
entradas (receitas geradas por este investimento).É a seguinte a 
fórmula que permite calcular o valor presente líquido (VPL) de um 
fluxo de investimento. Dado um fluxo de caixa do tipo, descontado a 
uma taxa i:
Valor Presente Líquido ou VPL
1 3 42
FC1 FC2 FC4FC3
0 n
FCn
FC0
O valor presente deste fluxo pode ser calculado como:
Valor Presente Líquido ou VPL
03
1
2
11
)1(
...
)1()1()1(
FC
i
FC
i
FC
i
FC
i
FCVPL n
n −





+
+
+
+
+
+
+
=
Para que um investimento seja economicamente viável, o 
valor presente do fluxo de caixa deve ser positivo, isto é o 
valor presente das entradas (receitas geradas por este
investimento) deve superar o valor presente das saídas
(investimentos e despesas relativas ao investimento).
Valor Presente Líquido ou VPL
Exemplo: Considere o fluxo de caixa abaixo, descontado a uma 
taxa de 10% a.a.: 
Descontando o fluxo de caixa FC(0) utilizando a equação 19, 
obtemos:
VPL = 300/(1,1) + 800 /(1,1)2 + 1000 /(1,1)3 + 1500 /(1,1)4 + 1600 /(1,1)5 -
1000= $ 2703,10
VPL Zero
>
<
Aceito!!!
Rejeito!!!
Valor Presente Líquido ou VPL
Exemplo 01:
Um investidor, prevendo a valorização dos imóveis em uma
certa região em decorrência da construção de uma futura
estrada, resolve investir $ 200.000,00 na compra de um
terreno e construção de um galpão. Ele estima alugar o
galpão por $ 12.000,00 por ano, durante três anos, e , em
seguida, vender o imóvel por $ 220.000,00, em
conseqüência da valorização. Considere que todos os
valores monetários estejam em valores reais (isto é, sem a
influência de aumento pela inflação), que sejam recebidos
com certeza, e que a taxa de atratividade (em termos reais)
seja de 6% a.a. Verificar se o investidor deve ou não aceitar
o investimento, pelo método do valor presente.
Valor Presente Líquido ou VPL
O Fluxo de Caixa do investidor é dado pela figura abaixo:
0
1 2 3
12.000
220.000
12.00012.000
200.000
792.216
)06,1(
12000
)06,1(
000.12
)06,1(
000.12
321
=
++=
V
V
Como V> 0, o investimento é aceitável e o VPL = 216792 
menos 200.000,00. Isso significa que ao realizar o 
investimento, há um ganho extra de $16.792,39 
relativamente à aplicação à taxa de 6% a.a.
Valor Presente Líquido ou VPL
Exemplo 02:
Uma empresa deve investir $ 180.000,00 em um projeto de ampliação 
da capacidade produtiva para obter benefícios das entradas de caixa 
de $ 40.000,00 por ano, durante os próximos 6 anos. Os valores 
monetários estão em termos de reais. Se a taxa de atratividade da 
firma for de 10% a.a. (taxa real), o projeto deve ou não ser aceito?
O Fluxo de Caixa do investimento é dado conforme abaixo:
0
1 2 3 4 5 6
180.000,00
40.000 40.000 40.000 40.000 40.000 40.000
Valor Presente Líquido ou VPL
43,210.174
)10,1(
000.40
)10,1(
000.40
)10,1(
000.40
)10,1(
000.40
)10,1(
000.40
)10,1(
000.40
65432
=
+++++=
V
V
Como V < 0, pois 174.210,43-180.000,00 = - $ 5.789,57, o 
investimento não deve ser aceito.. Portanto, é mais vantajoso 
aplicar à taxa de atratividade de 10% a.a.. Do que no projeto 
dado
Valor Presente Líquido ou VPL
Exemplo 03:
Verificar se o seguinte projeto de investimento deve ou não 
ser aceito, considerando a taxa de atratividade 10% a.a.
ANO FLUXO DE CAIXA (EM MILHARES DE $)
0 -100
1 -100
2 70
3 70
4 70
5 70
6 70
Valor Presente Líquido ou VPL
65432
1
)10,1(
70
)10,1(
70
)10,1(
70
)10,1(
70
)10,1(
70
91,190
)10,1(
10,1100
++++=
=+=
V
I
23,241=V
Como V > 0, o projeto pode ser aceito e o VPL = 241,23 – 190,91
VPL = 50,32
Valor Presente Líquido ou VPL
Exemplo 04:
Um investidor dispõe de um capital de $ 350.000,00 e
pode aplicá-lo em um empreendimento que lhe renderá
$ 90.000,00 em cada um dos próximos três anos e $
150.000,00 em cada um dos dois anos seguintes.
Uma outra alternativa para o investidor é aplicar os
mesmos $ 350.000,00 e receber $ 480.000,00 após dois
anos.
Sabendo-se que o investidor consegue aplicar seu
dinheiro à taxa de 15% a.a., qual a melhor alternativa de
investimento?
Valor Presente Líquido ou VPL
ALTERNATIVA 01
0
1 2 3 4 5
90.000 90.000 90.000 150.000 150.000
76,829.365
)15,1(
000.150
)15,1(
000.150
)15,1(
000.90
)15,1(
000.90
)15,1(
000.90
543211 =++++=V
VPL1 = 365.829,76 - 350.000,00 = 15.829,76
350.000,00
Valor Presente Líquido ou VPL
ALTERNATIVA 02
0
1 2
480.000
96,948.362
)15,1(
000.480
22 ==V
VPL2 = 362.948,96 – 350.000,00 = 12.948,96
350.000,00
Valor Presente Líquido ou VPL
Exemplo 05:
Uma empresa estuda a possibilidade de adquirir uma máquina nova
visando ao aumento da capacidade produtiva. O custo para adquirir a
máquina é de $ 150.000,00 e sua vida útil é de cinco anos. Após esse
período o equipamento terá valor igual a zero.
Os ganhos adicionais estimados com a introdução dessa nova máquina
são dados a seguir em termos reais:
ANO 1 2 3 4 5
FLUXO DE CAIXA 45.000,00 45.000,00 40.000,00 40000,00 38.000,00
Verifique se o projeto deve ou não ser aceito, considerando os 
seguintes valores para a taxa real de atratividade: a) 8% a.a. b) 15% a.a.
Valor Presente Líquido ou VPL
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
EXERCÍCIO 01
Uma gráfica estuda a possibilidade de adquirir um novo equipamento para ser
utilizado por oito anos. Tal investimento exigirá um desembolso inicial de $
25.000,00. Ao final de oito anos, o equipamento poderá ser vendido por $
3.000,00 como sucata.
A utilização do equipamento proporcionará um ganho líquido adicional de $
4.200,00 por ano (valores em termos reais), ao final de cada ano. Verifique se o
projeto deve ou não ser implantado pela empresa, considerando que ela pode
aplicar alternativamente seu dinheiro à taxa de 8%a.a. (taxa real)
EXERCÍCIO 02
Uma firma tem uma taxa de atratividade de 10% a.a. (taxa real). 
Supondo que os projetos a seguir são mutuamente exclusivos, 
qual deles deve ser escolhido?(os dados estão em milhares de $ e 
em valores reais)
PROJETO A: PROJETO B:
PROJETOBVPLaVPLb
VPLb
VPLa
Vb
Va
,
44,298044,109
08,310008,103
44,109
)1,01(
40
)1,01(
40
)1,01(
30
)1,01(
30
08,103
)1,01(
80
)1,01(
30
)1,01(
30
432
32
>
=−=
=−=
=
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
=
EXERCÍCIO 03
Uma gráfica está analisando duas alternativas (A e B) de
automação, mutuamente exclusivas. A alternativa A exige um
investimento inicial de $ 42.000,00, terá vida útil do
equipamento igual a quatro anos e proporcionará ganhos
líquidos anuais de $ 12.000,00 (em termos reais).
A alternativa B exige um investimento inicial de $ 40.000,00, terá
vida útil do equipamento igual a seis anos e proporcionará
ganhos líquidos anuais de $ 8.000,00 (em termos reais).
Admitindo que os valores residuais dos equipamentos após sua
vida útil sejam nulos e considerando um horizonte de
planejamento de 12 anos, bem como que, ao final da vida útil de
cada equipamento, será feito um novo investimento nas mesmas
condições iniciais, decida qual a melhor alternativa para a
empresa, sabendo-se que a taxa de atratividade é de 4% a.a.
(valores reais)
Você é o analista financeiro da empresa. O diretor responsável
pela elaboração do orçamento de capital pediu-lhe que analise
duas propostas de investimentos de capital, os Projetos X e Y.
Cada projeto tem um custo de $ 10.000 e o custo de capital
para cada projeto é de 12%. Os fluxos de caixa líquidos
esperados do projeto são os seguintes:
Ano Projeto X Projeto Y 
0 ($ 10.000) ($ 10.000) 
1 6.500 3.500 
2 3.000 3.500 
3 3.000 3.500 
4 1.000 3.500 
 
FLUXOS DE CAIXA LÍQUIDOS ESPERADOS
Calcule o VPL de cada projeto.
EXERCÍCIO 08
		Ano
		Projeto X
		Projeto Y
		0
		($ 10.000)
		($ 10.000)
		1
		6.500
		3.500
		2
		3.000
		3.500
		3
		3.000
		3.500
		4
		1.000
		3.500
EXERCÍCIO
c. Calcule o VPL de cada projeto.
01,966$
)12,01(
000.1
)12,01(
000.3
)12,1(
000.3
)12,1(
500.6)000.10( 432 =+
+
+
+
+
+
+
+=XVPL
72,630$
)12,01(
500.3
)12,01(
500.3
)12,1(
500.3
)12,1(
500.3)000.10( 432 =+
+
+
+
+
+
+
+=YVPL
EXERCÍCIOS
Exercício 02: A representação gráfica abaixo corresponde ao fluxo de 
caixa de um projeto de investimento com aescala horizontal em anos.
0
1 2 3
2.200,00
Y
X
10.000
Se a taxa interna de retorno referente ao projeto é 10% a.a. e (X+Y) = 
R$ 10.285,00, determine o valor de X
EXERCÍCIOS
A TIR é a taxa que “zera” o VPL, ou seja, as entradas de caixa 
(setas para cima) são equivalentes à saída de caixa (setas para 
baixo). Fazendo a equivalência na data focal 2, teremos:
I = TIR = 10% a.a. = 0,10
00,9680
10,1
0
10,1
00,420.200,100.12
0
10,1
10,100,200.221,100,000.10
0
)10,01(
)10,01(00,200.2)10,01(00,000.10 2
=+
=+++−
=++×+×−
=
+
+++×++×−
YX
YX
YX
YX
EXERCÍCIOS
Como X + Y = 10.285,00 → Y = 10.285,00 – X
00,630.3$
00,680.9
10,1
00,285.10
RX
XX
=
=
−
+
EXERCÍCIOS
Exercício 09: Uma Empresa deverá escolher um entre 
dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que 
apresentam os seguintes fluxos de caixa:
Ano Projeto X (R$) Projeto Y(R$)
0 - D - 40.000,00
1 10.800,00 16.200,00
2 11.664,00 17.496,00
A taxa Mínima de Atratividade é de 8% a.a. (capitalização 
anual) e verifica-se que os valores atuais líquidos 
referentes aos dois projetos são iguais. Determine o 
desembolso D referente ao Projeto X
EXERCÍCIOS
Fluxos de Caixa dos dois projetos:
0
1 2
D
0
1 2
17.49616.200
40.000
10.800 11.664
PROJETO X PROJETO Y
EXERCÍCIOS
CÁLCULO DO VPL PARA O PROJETO Y
00,000.30
1664,1
496.17
08,1
200.16
)08,01(
496.17
)08,01(
200.16
21
=
+=
+
+
+
=
Y
Y
Y
P
P
P
CÁLCULO DO VPL PARA O PROJETO X
00,000.20
1664,1
664.11
08,1
800.10
)08,01(
664.11
)08,01(
800.10
21
=
+=
+
+
+
=
X
X
X
P
P
P
00,000.10
000.40000.30
−=
−=−=
Y
Y
VPL
IPVPL
Do enunciado, temos VPLx = VPLy = - 10.000,00 
VPLx = Px – I 
-10.000,00 = 20.000,00 – D
D = R$ 30.000,00
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
Exercício 10: Considere o seguinte fluxo de caixa cuja 
taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano:
Ano Fluxo de Caixa (R$)
0 -25.000,00
1 0,00
2 X
3 17.303,00
Determine o valor de X
EXERCÍCIOS
00,520.14
21,100,000.12
00,000.13
)1,1(
00,000.25
)1,01(
00,303.17
)1,01(
00,000.25
:
2
22
=
×=
+=
+
+
+
=
X
X
X
X
Fluxo
	CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
	Conceito de Séries Uniformes
	Séries Uniformes
	Classificações de Séries
	DFC genérico de série uniforme
	Séries Postecipadas
	Séries Antecipadas
	Número do slide 8
	Número do slide 9
	Número do slide 10
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	INTERPOLAÇÃO
	Número do slide 15
	Número do slide 16
	Número do slide 17
	Número do slide 18
	Número do slide 19
	Número do slide 20
	Número do slide 21
	Viabilidade Econômica de Projetos
	Viabilidade Econômica de Projetos
	Valor Presente Líquido ou VPL
	Valor Presente Líquido ou VPL
	Valor Presente Líquido ou VPL
	Número do slide 27
	Número do slide 28
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