Limite e continuidade de funções complexas

Prévia do material em texto

Limite e continuidade de funções 
complexas
APRESENTAÇÃO
Os limites de funções consistem em uma das mais importantes ferramentas da Matemática. 
Devido à sua importância, este é um dos primeiros temas a ser estudado nos diferentes cursos da 
área de Exatas. No entanto, geralmente, nesse primeiro contato, o tema dos limites é visto para 
funções definidas no conjunto dos números reais. Posteriormente, avança-se para o contexto das 
funções de variáveis complexas.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá a definição formal para o limite de uma 
função de variável complexa, bem como suas propriedades operatórias. Também verá como 
calcular limites de funções quando estes tendem ao infinito e compreenderá como a 
continuidade de uma função de variável complexa está conectada com o cálculo de limites. Ao 
final, você terá aprendido os conceitos fundamentais que envolvem o cálculo do limite de uma 
função de variável complexa, bem como a investigação da continuidade desta.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir limites de funções complexas e seus teoremas.•
Calcular limites envolvendo o infinito.•
Identificar funções contínuas.•
DESAFIO
Na área da Matemática, os pesquisadores têm inúmeros desafios a serem superados, pois, para 
que os resultados de suas pesquisas sejam aceitos pela comunidade científica, eles devem ser 
demonstrados como verdadeiros.
Neste Desafio, você deverá empregar a definição de continuidade para funções de variáveis 
complexas, a fim de demonstrar se uma função de variáveis complexas é contínua. Para tanto, 
considere o cenário proposto a seguir.
INFOGRÁFICO
A Matemática se caracteriza por ser uma ciência formal. Seus avanços devem ser inicialmente 
demonstrados algebricamente para que, em um segundo momento, os pesquisadores possam 
validá-los. Nesse sentido, muito do conhecimento matemático é construído por meio do estudo 
de limites e continuidade de funções.
Neste Infográfico, veja como demonstrar a continuidade de uma função de variáveis complexas 
por meio de sua definição.
CONTEÚDO DO LIVRO
O estudo de funções e limites é fundamental para a Matemática, pois permite inúmeras 
aplicações nos mais diversos campos do conhecimento, seja modelando fenômenos de mecânica 
dos fluidos, seja na dinâmica populacional em Biologia.
No capítulo Limite e continuidade de funções complexas, da obra Variáveis complexas, base 
teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar o tema dos limites. Em um primeiro 
momento, será apresentada a definição formal de limite para uma função de variáveis 
complexas, bem como suas principais operações. Em seguida, você aprenderá a calcular limites 
de funções quando estes tendem ao infinito, podendo o resultado ser finito ou infinito. O 
capítulo se encerra com a definição de continuidade para funções de variáveis complexas, para 
que você compreenda como a continuidade de uma função de variáveis complexas está 
conectada com o cálculo de limites.
Boa leitura.
VARIÁVEIS 
COMPLEXAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Definir limites de funções complexas e seus teoremas.
 > Calcular limites envolvendo o infinito.
 > Identificar funções contínuas.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar alguns dos temas fundamentais das funções de 
variáveis complexas: os conceitos de limite e continuidade. Inicialmente, você 
vai conhecer a definição de limite, suas propriedades e algumas demonstrações.
Em um segundo momento, você vai ver como operacionalizar o cálculo 
de limites envolvendo o infinito. A fim de determinar tais limites, você pode 
empregar muitas das estratégias conhecidas para funções de variáveis reais.
Por fim, você vai estudar a continuidade de funções complexas. Você vai 
verificar quando uma função de variável complexa é contínua e como o conceito 
de continuidade está conectado ao cálculo de limite dessa função.
Limite e 
continuidade de 
funções complexas
Fabio Santiago
Limite de uma função complexa
As funções definidas em ℂ e as funções definidas em ℝ são semelhantes em 
suas propriedades e operações. A semelhança observada entre as funções 
reais e complexas também está presente na definição e na operacionalização 
do conceito de limites para funções complexas, objeto de estudo desta seção.
Para começar, você deve ter em mente a definição de função complexa, 
pois os conceitos de limite e continuidade estão relacionados a regiões de 
vizinhança no domínio e na imagem da função. Veja a definição de função 
complexa: considerando que D ⊂ ℂ é um subconjunto, uma função f: D → ℂ 
é chamada de “função de variáveis complexas” se para z ∈ D a aplicação f 
associa um único f(z) = w ∈ ℂ (COELHO, 2000).
Segundo Coelho (2000), as funções de variáveis complexas podem ser 
vistas como funções de ℝ2 em ℝ2 se z = x + y ∙ i e f(z) = u(z) + v(z) ∙ i = u(x, y) + 
v(x, y) ∙ i. Então, tem-se:
f: (x, y) → (u(x, y), v(x, y))
As funções u(x, y) e v(x, y) são as partes reais e imaginárias de f.
Como você pode observar, a definição de uma função complexa se baseia 
na aplicação entre conjuntos. A seguir, veja a definição do limite de uma 
função complexa, o qual também utiliza os conjuntos imagem e domínio de f.
Considere A um subconjunto aberto de ℂ e f: A → ℂ uma função de variáveis 
complexas. Dado z0 ∈ A, diz-se que w ∈ A é o limite de f quando z ∈ A tende a z0 
se para todo 𝜖 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que, se 0 < |z – z0| < 𝛿, então |f(z) – w0| < 𝜀. 
Escreve-se:
Como observam Brown e Churchill (2015), geometricamente, a existência 
do limite de uma função de variáveis complexas consiste no seguinte: dada 
qualquer vizinhança |w – w0| < 𝜖 de w0, existe uma vizinhança perfurada 
0 < |z – z0| < 𝛿 de z(0) tal que, para cada ponto desta última vizinhança, tem 
a imagem de z pela função f(z) = w na vizinhança de w0. Na Figura 1, veja a 
interpretação geométrica apresentada pelos autores.
Limite e continuidade de funções complexas2
Figura 1. Interpretação geométrica da definição de limite.
Fonte: Brown e Churchill (2015, p.58),
Para compreender melhor os conceitos que você estudou até aqui, 
veja alguns exemplos. Considerando a definição de limite, determine 
os valores de 𝜖 e 𝛿 de modo que:
A fim de satisfazer a definição de limite, basta tomar 𝛿 = 𝜖. Assim, sempre 
que |z – z0| < 𝛿, tem-se:
Agora, considerando a definição de limite, determine os valores de 𝜖 e 𝛿 de 
modo que:
A fim de satisfazer a definição de limite, basta tomar 𝛿 = 𝜖. Assim, sempre 
que |z – z0| < 𝛿, tem-se:
Limite e continuidade de funções complexas 3
Veja este teorema: se f(z) = u(x, y) + v(x, y)i, z = x + y ∙ i e z0 = x0 + y0 ∙ i, então 
o limite de f existe em z0 e é igual a u0 + v0 ∙ i se e somente se os limites de 
u e v existirem em (x0, y0) e forem iguais a u0 e v0, respectivamente. Ou seja:
Agora você vai ver a demonstração. Os passos desenvolvidos aqui são 
similares aos de Zani ([2011]). Assim, suponha que os seguintes limites existam:
Portanto, dado 𝜖 > 0, existem 𝛿1, 𝛿2 > 0, tal que:
 � |u(x, y) – u0| < 𝜖/2 sempre que ;
 � |v(x, y) – v0| < 𝜖/2 sempre que .
Considerando 𝛿 = min{𝛿1, 𝛿2}, tem-se:
De forma recíproca, se existe:
então para cada 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0 tal que |f(z) – L| < 𝜖 sempre que:
Limite e continuidade de funções complexas4
Colocando L = u0 + v0 ∙ i com u0 e v0 ∈ ℝ, tem-se:
e:
sempre que .
Agora veja um exemplo que utiliza a definição de limite e suas regiões 
de vizinhança nos conjuntos imagem e domínio. Demonstre pela 
definição de limite que:
Você quer mostrar que ∀ > 0, ∃𝛿 > 0, tal que:
0 < |z – 2i| < δ ⟹ |z2 + 3z – (–4 + 6i)| < ϵ
Assim, tem-se:
Limite e continuidade de funções complexas 5
Pode-se admitir que |z| < 3. Assim, tem-se:
8|z – 2i| < ϵ ⇒ |z – 2i| < ϵ/8 = δ
Por outro lado:
|z| = |z – 2i + 2i| ≤ |z – 2i| + |2i| < δ + 2 = 3 ∴ δ = 1
Assim, basta considerar 𝛿 = min{1, 𝜖/8}.
Neste ponto, você vai conhecer as principais propriedades operatóriasdos limites para as funções de variáveis complexas.
Veja esta proposição: considere A ⊂ ℂ um conjunto aberto; além disso, 
considere as funções complexas f1: A → ℂ e f2: A → ℂ. Fixe um ponto z0 ∈ A e 
considere que:
Então, são válidas as propriedades a seguir.
1. c ∙ f1(z) = c ∙ w1, c ∈ ℂ
2. [f1(z) + f2(z)] = [f1(z)] + [f2(z)] = w1 + w2
3. [f1(z) ∙ f2(z)] = [f1(z)] ∙ [f2(z)] = w1 ∙ w2
4. se w1 ≠ 0
5. Se w1 ≠ 0, então: 
A seguir, você vai ver como demonstrar a terceira propriedade. Os passos 
aqui apresentados são os mesmos percorridos por Zani ([2011]). As demonstra-
ções das demais propriedades também podem ser encontradas na obra citada.
Então, veja a demonstração de:
Limite e continuidade de funções complexas6
Se:
considerando a definição de limite, tem-se 𝛿1 > 0 tal que |f1(z) – w1| sempre 
que 0 < |z – z0| < 𝛿1. Segue-se que |11(z)| ≤ |f1(z) – w1| < 1 + |l|, sempre que 
0 < |z – z0| < 𝛿1. Considerando novamente a definição de limite, existe 𝛿2 > 0 
tal que:
sempre que 0 < |z – z0| < 𝛿2. Além disso, existe 𝛿3 > 0 tal que:
sempre que 0 < |z – z0| < 𝛿2. Considere 𝛿 = min{𝛿1, 𝛿2, 𝛿3}. Se 0 < |z – z0| < 𝛿, então:
A partir das propriedades para o cálculo dos limites anteriormente enun-
ciadas, é possível concluir que, dadas funções f e g, tais que os limites 
f(z) e g(z) existam, então, para quaisquer 𝛼 e 𝛽, tem-se:
Limite e continuidade de funções complexas 7
Calcule o limite:
Veja a solução:
Cálculo de limites envolvendo o infinito
Na seção anterior, você conheceu a definição formal de limite e suas proprie-
dades operatórias. Além disso, acompanhou o desenvolvimento de alguns 
cálculos. Uma característica importante dos limites calculados até aqui é 
que eles resultavam em um valor finito sempre que z ⟶ z0 (lê-se: z tendia a 
z0). Nesta seção, você vai ver como calcular o limite de funções complexas 
quando z ⟶ z0 e f(z) = ∞, quando z ⟶ ∞ e f(z) = L e, por fim, quando 
z ⟶ ∞ e f(z) = ∞.
A fim de compreender a definição formal de uma função complexa f(z) no 
contexto aqui estudado, você precisa ter em mente duas definições prelimi-
nares. A primeira delas se refere ao disco furado, e a segunda, a um ponto de 
acumulação em ℂ. Neste texto, as definições são as mesmas de Vieira (2011).
Veja a definição de disco furado: considerando z ∈ ℂ e r ∈ ℝ*, denota-se 
por 𝔻* (z, r) o disco furado centrado em z de raio r, ou seja, 𝔻* (z, r) = z ∈ ℂ; 
0 < |w – z| < r. Assim, pode-se dizer que o disco furado é o disco que tem seu 
centro removido. Agora veja a definição do ponto de acumulação: considerando 
A ⊂ ℂ, diz-se que um ponto z ⊂ ℂ é um ponto de acumulação de A se 𝔻* (z, r) 
∩ A ≠ ∅ ∀r > 0. Com essas duas definições, você está apto a compreender a 
definição de limite no infinito, enunciada a seguir.
Considere a função f: A ⟶ ℂ, sendo A ⊂ ℂ. Além disso, considere z0 ∈ ℂ um 
ponto de acumulação de A. Diz-se que o limite de f(z) quando z tende a z0 é 
infinito (∞) se para todo K > 0 existe 𝛿 > 0, tal que |f(z)| > K sempre que z ∈ A 
e |z – z0| < 𝛿 (VIEIRA, 2011). Matematicamente, tem-se:
∀ > 0, ∃ δ >0; z ∈ A; |z – z(0)| < δ ⟹ |f(z)| > k
Limite e continuidade de funções complexas8
Denota-se por:
As definições anteriores talvez se mostrem um tanto abstratas em 
um primeiro momento. Por isso, é importante que você conheça 
alguns casos práticos. Para começar, calcule:
Veja a solução a seguir.
A fim de calcular:
inicialmente considere f(z) = , uma vez que apenas:
Então:
Agora calcule:
Veja a solução a seguir.
A fim de calcular:
Limite e continuidade de funções complexas 9
inicialmente considere f(z) = , uma vez que apenas:
Então:
Limites no infinito
Agora você vai ver como calcular limites em que z ⟶ ∞ e:
sendo L finito. Assim, considere a função f: A ⟶ ℂ, sendo A ilimitada.
O limite de f(z) tende a L quando z tende ao infinito (z ⟶ ∞) se para todo 
𝜖 > 0 existir R > 0 tal que |f(z) – L| < 𝜖 sempre que z ∈ A e |z| > R (VIEIRA, 2011). 
Matematicamente, tem-se:
∀ϵ > 0, ∃R > 0, z ∈ A e |z| > R ⇒|f(z) – L| < ϵ
E denota-se por:
O exercício a seguir calcula o limite da função f(z) por meio da definição 
dada. A ideia é demonstrar que:
Limite e continuidade de funções complexas10
Inicialmente, considere:
Para a última igualdade, foi pressuposto que |z| > 1/3, o que será adotado 
daqui em diante. Observe:
Considere:
Assim, obtém-se o resultado desejado:
Calcule:
Realizando as manipulações algébricas adequadas, tem-se:
Agora calcule:
Limite e continuidade de funções complexas 11
Realizando as manipulações algébricas adequadas, tem-se:
Limites infinitos no infinito
Agora você vai estudar o caso em que, quando z ⟶ ∞, tem-se f(z) = ∞. 
Assim, faz-se necessário considerar a definição adequada, dada a seguir.
O limite de f(z) tende ao infinito quando z tende ao infinito (z ⟶ ∞) se 
para todo K > 0 existir R > 0 tal que |f(z)| < K sempre que z ∈ A e |z| > R (VIEIRA, 
2011). Matematicamente, tem-se:
∀K > 0, ∃R > 0, z ∈ A e |z| > R ⇒ |f(z)| > K
E denota-se por:
Calcule:
Veja a solução:
Calcule:
Limite e continuidade de funções complexas12
Veja a solução:
Continuidade para funções de variáveis 
complexas
Nesta seção, você vai conhecer um dos principais conceitos relativos às fun-
ções de variáveis complexas, o de continuidade. Assim, considere a definição 
a seguir, de Coelho (2000).
Considere A ⊂ ℂ um aberto de ℂ. Além disso, considere a função complexa 
f: A ⟶ ℂ. Essa função é contínua no ponto z0 ∈ A se f(z) = f(z0). De outra 
forma, diz-se que f(z) é contínua em z0 ∈ A se para todo 𝜖 > 0 existe 𝛿 > 0, tal que:
|z – z0| < δ ⇒ |f(z) – f(z0)| < ϵ
Considere a função:
Mostre, por meio da definição, que ela é contínua em ℂ. A seguir, veja a 
solução.
Dado 𝜖 > 0, tome 𝛿 = 4𝜖. Se |z – z0| < 𝛿, então tem-se:
Portanto, f(z) é contínua em ℂ.
Agora considere a função:
Mostre, por meio da definição, que a função dada é contínua em ℂ. A seguir, 
veja a solução.
Limite e continuidade de funções complexas 13
Dado 𝜖 > 0, tome δ = √π ϵ. Se |z – z0| < 𝛿, então tem-se:
Portanto, f(z) é contínua em ℂ.
Como observa Zani ([2011]), uma condição necessária e suficiente para 
que a função complexa f(z) seja contínua é que suas partes real e imaginária 
sejam contínuas. Ou seja:
A partir do que foi explanado por Zani ([2011]), tem-se que as partes real e 
imaginária das funções exponenciais, seno e cosseno, são contínuas. Assim, 
tem-se:
Logo, pode-se concluir que as funções complexas exp(z), sen(z) e cos(z) 
são funções contínuas.
A seguir, você vai estudar uma proposição que garante que, se as funções 
f1, f2 e g forem contínuas, então o produto, quociente e composição, quando 
bem definido, também será contínuo.
Considere A, B ⊂ ℂ abertos. Além disso, considere as funções de variáveis 
complexas f1: A ⟶ ℂ, f2: A ⟶ ℂ e g: B ⟶ ℂ, sendo que f1: A ⊂ B. Suponha que 
as funções f1 e f2 são ambas contínuas em z0 ∈ A e que a função g é contínua 
em f1(z0). Então:
1. as funções c ∙ f1: A ⟶ ℂ, f1 + f2: A ⟶ ℂ e f1 ∙ f2: A ⟶ ℂ são contínuas em z0 
onde c é um número complexo arbitrário, porém fixado;
2. se f1(z0) ≠ 0, então existe uma vizinhança de z0 tal que 1/ f1 restrita a 
essa vizinhança está definida e é contínua em z0;
3. a função g ∘ f1: A ⟶ ℂ é contínua em z0.
A seguir, veja a demonstração da terceira propriedade. As demais podem 
ser facilmente demostradas com o conteúdo exposto até aqui.
Limite e continuidade de funções complexas14
Considere que g(z) é contínua. Além disso, assume que 𝛾0 = f(z1). Você vai ver 
que g ∘ f D ⟶ ℂ também é contínua em z0. Para isso, considere 𝜖 > 0. Sendo a 
função g continua em z1, então existe 𝛿1, tal que |g(z) – g(𝛾0)| = |g(z) – g(f(z0))| < 𝜖 
sempre que |z – 𝛾0| < 𝛿1.
Por outro lado, existe 𝛿 > 0 tal que |f(z) – 𝛾0| = |f(z) – f(z0)| < 𝛿1 sempre 
que |z – 𝛾0| < 𝛿. Combinando as desigualdades, tem-se |g(f(z)) – g(f(z0))| < 𝜖 
sempre que |z – 𝛾0| < 𝛿.
Para compreender melhor a terceira propriedade, considere as funções f 
e g definidas como mostra a Figura2, a seguir.
Figura 2. Interpretação geométrica da definição de limite.
A seguir, veja o desenvolvimento analítico em forma de exercício. Considere 
as funções g(z) = z e f(z) = z2. É fácil mostrar que cada uma delas é contínua. 
Agora você vai ver como mostrar que a função composta f(g(z)) é igual a z2.
Considere que f(z) é contínua. Além disso, assuma que 𝜉0 = g(z1). Você vai 
verificar que a composição das funções (f ∘ g)(z): D → ℂ também é contínua 
em z1. Considere agora 𝜖 > 0. P. Sendo a função f continua em z1, existe 𝛿1, tal 
que |f(z) – f(𝜉0)| = |f(z) – f(g(𝜉0))| < 𝜖 sempre que |z – 𝛾0| < 𝛿1.
Por outro lado, existe 𝛿 > 0, tal que |g(z) – 𝜉0| = |g(z) – g(z1)| < 𝛿 sempre 
que |z – 𝛾0| < 𝛿. Combinando as desigualdades, tem-se |f(g(z)) – f(g(z0))| < 𝜖 
sempre que |z – 𝛾0| < 𝛿.
No Quadro 1, a seguir, veja as definições fundamentais deste capítulo, ou 
seja, as definições de limite, continuidade, limites no infinito e limites infinitos.
Limite e continuidade de funções complexas 15
Quadro 1. Principais definições de limite e continuidade de funções complexas
Definição Descrição
Definição de 
continuidade 
Considere A ⊂ ℂ um aberto de ℂ. Além disso, considere 
a função complexa f: A ⟶ ℂ. Essa função é contínua no 
ponto z0 ∈ A se f(z) = f(z0). De outra forma, diz-se que 
f(z) é contínua em z0 ∈ A se para todo 𝜖 > 0 existe 𝛿 > 0, 
tal que:
|z – z0| < δ ⇒ |f(z) – f(z0)| < ϵ
Definição de 
limite
Considere A um subconjunto aberto de ℂ e f: A → ℂ uma 
função de variáveis complexas. Dado z0 ∈ A, diz-se que 
w ∈ A é o limite de f quando z ∈ A tende a z0 se para todo 
𝜖 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que, se 0 < |z – z0| < 𝛿, então 
|f(z) – w0| < 𝜀
Definição de 
limite infinito
Considere a função f: A ⟶ ℂ, sendo A ⊂ ℂ. Além disso, 
considere z0 ∈ ℂ um ponto de acumulação de A. Diz-se 
que o limite de f(z) quando z tende a z0 é infinito (∞) se 
para todo K > 0 existe 𝛿 > 0, tal que |f(z)| > K sempre que 
z ∈ A e |z – z0| < 𝛿.
Definição de 
limite no infinito
O limite de f(z) tende a L quando z tende ao infinito 
(z ⟶ ∞) se para todo 𝜖 > 0 existir R > 0 tal que 
|f(z) – L| < 𝜖 sempre que z ∈ A e |z| > R.
Definição de 
limite infinito 
no infinito
O limite de f(z) tende ao infinito quando z tende ao 
infinito (z ⟶ ∞) se para todo K > 0 existir R > 0 tal que 
|f(z)| < K sempre que z ∈ A e |z| > R.
Referências
BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Funções analíticas. In: BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. 
Variáveis complexas: e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 37-82. 
COELHO, L. Funções complexas. 2000. 69 f. Monografia (Licenciatura em Matemática) 
– Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2000.
VIEIRA, E. Funções Holomorfas de uma Variável. [S.l.: s.n.], 2011. Disponível em: http://
emis.impa.br/EMIS/journals/em/docs/coloquios/NE-1.09.pdf. Acesso em: 5 dez. 2020.
ZANI, S. L. Funções de uma variável complexa. [S.l.: s.n., 2011]. Disponível em: https://
sites.icmc.usp.br/szani/complexa.pdf. Acesso em: 5 dez. 2020.
Limite e continuidade de funções complexas16
Leituras recomendadas
MATEMÁTICA: aula 27: números complexos e transformações de plano. Aula da disciplina 
Matemática. Curso de Engenharia da Universidade Virtual do Estado de São Paulo. Pro-
fessor ministrante: Walter Spinelli. São Paulo: [S. n.], 2014. 1 vídeo (21 min). Publicado pelo 
canal UNIVESP. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=_7et7XESOXU&ab_
channel=UNIVESP. Acesso em: 5 dez. 2020.
MATEMÁTICA: aula 28: números complexos e transformações de plano. Aula da dis-
ciplina Matemática. Curso de Engenharia da Universidade Virtual do Estado de São 
Paulo. Professor ministrante: Walter Spinelli. São Paulo: [S. n.], 2014. 1 vídeo (18 min). 
Publicado pelo canal UNIVESP. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=l
GU1qgkOpCU&list=TLPQMjIxMTIwMjCRyBH889_JNA&index=2&ab_channel=UNIVESP. 
Acesso em: 5 dez. 2020.
NÚMEROS complexos. Aula da disciplina Matemática MMB001. Curso de Engenharia 
- Turma 2016 - Universidade Virtual do Estado de São Paulo. Professor ministrante: 
Pedro L. Fagundes São Paulo: [S. n.], 2017. 1 vídeo (23 min). Publicado pelo canal UNIVESP. 
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ZKP8evESWcM&list=RDCMUCBL2t
frwhEhX52Dze_aO3zA&start_radio=1&ab_channel=UNIVESP. Acesso em: 5 dez. 2020.
PEREIRA, G. G. Uma proposta didática para o ensino de funções de variável complexa 
no ensino médio usando planilha eletrônica. 2017. 95 f. Monografia (Mestrado profis-
sional) – Instituto de Matemática, Estatística e Física, Universidade Federal do Rio 
Grande, Rio Grande, 2017.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos 
testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da 
publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas 
páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editores 
declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou 
integralidade das informações referidas em tais links.
Limite e continuidade de funções complexas 17
DICA DO PROFESSOR
Muitas vezes, o cálculo do limite para funções de variáveis complexas gera dúvidas entre os 
alunos, pois envolve saber manipular uma função que apresenta duas entradas reais, nem sempre 
compreendida.
Por isso, esta Dica do Professor apresentará formas de resolver o limite de funções de variáveis 
complexas, passo a passo, a fim de contribuir para o seu efetivo aprendizado. Acompanhe.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Sejam A um subconjunto aberto de C e f: A⟶C uma função de variáveis 
complexas. Dado z0 ∈ A, diz-se que w ∈ A é ________________ 
de f quando z ∈ A tende a z0, se para todo ϵ > 0 existe um δ > 0, tal que, 
se 0 < | z − z0 | < δ, então | f(z) − w0 | < ε.
Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna:
A) a perturbação.
B) o limite.
C) o ponto fixo. 
D) a derivada.
E) o coeficiente angular.
O cálculo dos limites envolvendo funções complexas se assemelha ao cálculo dos limites de 2) 
funções reais. No entanto, no primeiro caso, está-se trabalhando no corpo dos números 
complexos, e, no segundo, com o corpo dos números reais.
Após o cálculo, assinale a alternativa correta.
A) 2 + 2i.
B) 2 − 2i.
C) 4 − 4i.
D) 4 + 4i.
E) 1 − 4i.
Muitas estratégias empregadas para o cálculo dos limites de funções reais também podem 
ser empregadas para o caso das funções complexas.
3) 
Feito isso, assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas, de cima para baixo:
A) V – V – F – F.
B) V – F – V – F.
C) V – V – F – V.
D) V – F – V – V.
E) F – F – V – V.
O limite de f(z) tende a L quando z tende ao infinito, z→∞, se, para todo ϵ > 0, 
existir R > 0, tal que | f(z) − L | < ϵ sempre que z ∈ A e | z | > R. Assim, ∀ϵ > 
0, ∃R > 0, z ∈ A e | z | > R ⇒ | f (z) − L | < ϵ.
4) 
A respeito das asserções I e II, assinale a alternativa correta:
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da 
I.
C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E) As asserções I e II são proposições falsas.
Sejam A, B ⊂ C abertos, considere as funções de variáveis 
complexas f1: A→C, f2: A→C e g: B→C, sendo que f1: A ⊂ B. 
Suponha que as funções f1 e f2 são ambas contínuas em z0 ∈ A, e a 
função g é contínua em f1(z0).
5) 
Nesse contexto, julgue as afirmações que seguem:
I. Sejam f1(z), f2(z) como apresentados, então f1(z) + f2(z) = (f1 + f2)(z) é contínua. 
II. Seja f1 como apresentado, sendo f1(z) ≠ 0, então 1/f1(z) é contínua. 
III. Sejam f1(z), g(z) como apresentados, então g ∘ f1: A→C é contínua em z0. 
Está correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) I e II, apenas.
C) II e III, apenas.
D) I e III, apenas.
E) I, II e III.
NA PRÁTICA
O cálculo dos limites é fundamental para as funçõesde variáveis complexas, permitindo que se 
estude o comportamento de uma função na vizinhança de um ponto. Além disso, esse cálculo 
também possibilita compreender o comportamento da função quando sua variável independente 
tende ao infinito.
O estudo das funções de variáveis complexas é importante a diversas áreas do conhecimento, 
incluindo fenômenos relacionados à transferência de calor, à mecânica dos fluidos, à 
eletricidade, entre outros fenômenos em meios contínuos.
Neste Na Prática, a partir de três exemplos, aprenda a realizar o cálculo do limite de uma 
função, passo a passo, empregando algumas das principais estratégias algébricas necessárias ao 
seu desenvolvimento.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Variáveis complexas: limite e continuidade
Nesta videoaula, é introduzida a noção de limite e continuidade para funções de uma variável 
complexa. Além disso, são resolvidos alguns exercícios por meio da definição de limite.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Limites de funções complexas
Assista a este vídeo para rever os principais conceitos de limites para funções de variáveis 
complexas e também estudar a continuidade dessas funções.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Cálculo de limites de funções complexas: exercícios resolvidos
Neste vídeo, acompanhe um passo a passo de exercícios resolvidos sobre limites de funções 
complexas.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!