apx2(2021-2)

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
APX2 - Métodos Determinísticos II (2021-2) 
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco 
Código da disciplina EAD06077 
Atenção! 
• Identifique a prova, colocando nome completo, matrícula e polo em cadauma das folhas de respostas. 
• Escreva o total de folhas utilizadas e enumere cada página. 
• Todas as respostas devem apresentar TODOS os cálculos e justificativas. 
• Todas as respostas devem ser MANUSCRITAS de forma LEGÍVEL. Questões digitadas ou ilegíveis receberão nota ZERO. 
• Use APENAS canetas de cor AZUL ou PRETA. 
• Todos os arquivos devem estar no formato PDF. Arquivos que não estejam em formato PDF serão desconsiderados. 
• Arquivos enviados após o encerramento do prazo estipulado para a entrega da prova nãoserãoaceitos. 
 
Questão 1: [2,0 pts] O custo, em dólares, da produção de x metros de tecido é dado por: 
𝐶(𝑥) = 1200 + 12𝑥 − 0,1𝑥2 + 0,0005𝑥3. 
Faça o que se pede abaixo. 
a) [0,5 pts] encontre a função custo marginal. 
𝐶𝑚𝑔 =
𝐷[𝐶(𝑥)]
𝑑𝑄
= 12 + 2.0,1𝑥 + 3.0,0005𝑥2 
𝐶𝑚𝑔 = 12 + 0,2𝑥 + 0,0015𝑥2 
b) [1,5 pts] calcule o custo marginal da produção de 100 metros de tecido e compare 
este valor com o custo do centésimo primeiro metro de tecido. O que você conclui? 
𝐶𝑚𝑔(100) = 12 + 0,2.100 + 0,0015.1002 
𝐶𝑚𝑔(100) = 12 + 20 + 0,0015.10000 
 𝐶𝑚𝑔(100) = 12 + 20 + 15 = 47 
 𝐶𝑚𝑔(101) = 12 + 0,2.101 + 0,0015.1012 
 𝐶𝑚𝑔(101) = 12 + 20,2 + 15,3015 = 47,5015 
 Conclui-se que a diferença de custo marginal da produção de 100 metros para 101 
metros é bem pequena (0,5015), significando aproximadamente um aumento de 1,05%. 
Questão 2: [3,0 pts] sejam 𝑃(𝑥) = 𝐹(𝑥)𝐺(𝑥) e 𝑄(𝑥) =
𝐹(𝑥)
𝐺(𝑥)
 funções cujos gráficos de 𝐹 e 
de 𝐺 estão representados na figura abaixo. 
 
Faça o que se pede nos itens (a) e (b) a seguir, apresentando todos os cálculos efetuados. 
a) [1,0 pto] encontre 𝑃′(2). 
Para 𝑥 = 2: 
𝐹(𝑥) = (𝑥 − 2)2 + 3 = 𝑥2 − 2𝑥 + 4 + 3 
𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7 , 0 ≤ 𝑥 < 3 
𝐹′(𝑥) = 2𝑥 − 4 
𝐺(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝐴 = (0,1) 
𝐵 = (2,2) 
𝑎 =
2 − 1
2 − 0
=
1
2
 
𝐺(𝑥) =
1
2
𝑥 + 𝑏, 1 =
1
2
. 0 + 𝑏, 𝑏 = 1 
𝐺(𝑥) =
1
2
𝑥 + 1 , 0 ≤ 𝑥 < 4 
𝐺′(𝑥) =
1
2
 
 
𝑃′(𝑥) = 𝐹′(𝑥). 𝐺(𝑥) + 𝐹(𝑥). 𝐺′(𝑥) 
𝑃′(𝑥) = (2𝑥 − 4). (
𝑥
2
+ 1) +
1
2
. (𝑥2 − 4𝑥 + 7) = 𝑥2 + 2𝑥 − 2𝑥 − 4 +
𝑥2 − 4𝑥 + 7
2
 
𝑃′(𝑥) =
3𝑥2
2
− 2𝑥 −
1
2
 
𝑷′(𝟐) =
𝟑. 𝟐𝟐
𝟐
− 𝟐. 𝟐 −
𝟏
𝟐
= 𝟔 − 𝟒 −
𝟏
𝟐
=
𝟑
𝟐
 
b) [1,0 pto] calcule 𝑄′(7). 
Para 𝑥 = 7: 
𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝐴 = (3,4) 𝐵 = (7,5) 
𝑎 =
5 − 4
7 − 3
=
1
4
 
𝐹(𝑥) =
1
4
𝑥 + 𝑏 
𝑏 = 4 −
1
4
. 3 =
13
4
 
𝐹(𝑥) =
1
4
𝑥 +
13
4
 
𝐹′(𝑥) =
1
4
 
𝐺(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝐶 = (4,3) 𝐷 = (7,1) 
𝑎 =
1 − 3
7 − 4
= −
2
3
 
𝐺(𝑥) = −
2
3
𝑥 + 𝑏 
𝑏 = 3 +
2
3
. 4 =
17
3
 
𝐺(𝑥) = −
2
3
𝑥 +
17
3
 
𝐺′(𝑥) = −
2
3
 
𝑄′(𝑥) =
𝐹′(𝑥). 𝐺(𝑥) − 𝐺′(𝑥). 𝐹′(𝑥)
𝐺(𝑥)2
 
𝑄′(𝑥) =
1
4 (
−
2
3
𝑥 +
17
3 )
+
2
3 (
1
4
𝑥 +
13
4 )
(
−2𝑥 + 17
3 )
2 =
((−
2
12
𝑥 +
17
12)
+ (
2
12
𝑥 +
26
12))
(
−2𝑥 + 17
3 )
2 
𝑄′(𝑥) =
43
12
. (
3
−2𝑥 + 17
)
2
 
𝑸′(𝟕) =
𝟒𝟑
𝟏𝟐
. (
𝟑
−𝟐. 𝟕 + 𝟏𝟕
)
𝟐
=
𝟑𝟖𝟕
𝟏𝟎𝟖
 
c) [1,0 pto] é possível calcular 𝐺′(4)? Justifique sua resposta. 
Não, pois existe um ponto de bico na função em 𝒙 = 𝟒. 
Questão 3: [3,0 pts] considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑒4−𝑥 e faça o que se pede abaixo, 
justificando todos os cálculos realizados. 
a) [1,5 pts] encontre os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente. 
 
𝑑[𝑥2𝑒4−𝑥]
𝑑𝑥
= 2𝑥. 𝑒4−𝑥 + 𝑥2. −(𝑒4−𝑥) = 𝑒4−𝑥(−𝑥2 + 2𝑥) 
𝑒4−𝑥 é sempre positiva 
−𝑥2 + 2𝑥 = 0 
∆= 4 − (4. −1.0) = 4 
𝑥′ =
−2 + √4
−2
= 0 
𝑥′′ =
−2 − √4
−2
= 2 
Concavidade para baixo. 
---------- 0 +++++ 2 ---------- 
𝒇 é decrescente em: (−∞, 𝟎]𝑼[𝟐, +∞) e crescente em: (𝟎, 𝟐) 
 
 
a) [1,5 pts] encontre os pontos de máximo e de mínimo locais de f, caso existam. 
Máximos e mínimos →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
𝑒4−𝑥(−𝑥2 + 2𝑥) = 0 
A função exponencial nunca zera. Logo: 
−𝑥2 + 2𝑥 = 0 
𝑥(2 − 𝑥) = 0 
---------- 0 +++++ 2 ---------- 
-+ indica ponto mínimo 
+- indica ponto máximo 
0 é um mínimo local e 2 é um máximo local de 𝒇. 
Questão 4: [2,0 pts] calcule a área da região 𝑆, limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥), 𝑦 =
𝑥
𝑒2
+ 1 
e pelo eixo OX. 
Interseção: 
𝑥
𝑒2
+ 1 = ln(𝑥) 
Se 𝑥 = 𝑒2 temos que: 
𝑒2
𝑒2
+ 1 = ln(𝑒2) → 1 + 1 = 2 → 2 = 2 (𝑉) 
Logo, 𝑥 = 𝑒2 é interseção das funções. 
Pontos importantes para plotar o gráfico: 
0 = ln(𝑥), 𝑥 = 𝑒0, (1, 0) 
𝑥
𝑒2
+ 1 = 0 → 𝑥 = −𝑒2, (−𝑒2, 0) 
𝑦 =
𝑥
𝑒2
+ 1(𝑟𝑒𝑡𝑎), 
𝑦 = ln(𝑥) (𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙) 
 
∫ (
𝑥
𝑒2
+ 1) 𝑑𝑥 + ∫ (
𝑥
𝑒2
+ 1 − ln(𝑥)) 𝑑𝑥 =
𝑒2
1
1
−𝑒2
 
= (
𝑥2
2𝑒2
+ 𝑥)
−𝑒2
1
+ (
𝑥2
2𝑒2
+ 𝑥)
1
𝑒2
− ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑒2
1
= 
∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = ln(𝑥) 𝑥 − ∫ 𝑥.
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) − 𝑥 
𝑢 = ln(𝑥) 
𝑑𝑣 = 1 
 
=
1
2𝑒2
+ 1 − (
𝑒2
2
− 𝑒2) +
𝑒2
2
+ 𝑒2 − 2𝑒2 + 𝑒2 − (
1
2𝑒2
+ 1 − 0 + 1) = 
=
1
2𝑒2
−
1
2𝑒2
+ 1 − 1 −
𝑒2
2
+
𝑒2
2
+ 3𝑒2 − 2𝑒2 − 1 = 𝒆𝟐 − 𝟏 𝒖. 𝒂.