apostila matematica basica1

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59792
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-65-582-1004-7
9 7 8 6 5 5 8 2 1 0 0 4 7
Matemática 
Marina Vargas
IESDE BRASIL
2021
© 2021 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito da autora 
e do detentor dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: faridaillustrator/Shutterstock
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Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
V427m
Vargas, Marina
Matemática / Marina Vargas. - 1. ed. - Curitiba [PR] : Iesde, 2021. 
150 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-65-5821-004-7
1. Matemática - Estudo e ensino. I. Título.
21-68622 CDD: 510.7
CDU: 51(07)
Marina Vargas Pós-doutora, doutora e mestre em Métodos Numéricos 
em Engenharia pela Universidade Federal do Paraná 
(UFPR). Especialista em Educação Matemática pela 
Universidade Paranaense (Unipar). Licenciada em 
Matemática pela mesma instituição. Professora no 
ensino superior nas modalidades presencial e a 
distância, ministrando as disciplinas: Cálculo de funções 
de uma e mais variáveis, Álgebra Linear, Geometria 
Analítica, Métodos Numéricos, Teoria dos Números, 
Pesquisa Operacional, Matemática Aplicada, Estatística 
Aplicada e Métodos Quantitativos. Atua também como 
professora conteudista em diversas instituições e 
empresas. Atualmente desenvolve pesquisa na área de 
programação matemática, mecânica computacional, 
educação matemática e educação em engenharias.
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SUMÁRIO
1 Conjuntos e relações 9
1.1 Representação 9
1.2 Subconjuntos 16
1.3 Operações com conjuntos e propriedades 17
1.4 Conjuntos numéricos 27
2 Aritmética elementar 35
2.1 Potenciação e radiciação 35
2.2 Racionalização de denominadores 42
2.3 Notação científica 46
2.4 Sistemas de medidas 48
2.5 Logaritmos 53
3 Álgebra elementar 60
3.1 Expressões algébricas 60
3.2 Polinômios 62
3.3 Operações de polinômios com uma variável 70
3.4 Produtos notáveis 73
3.5 Fatoração 77
3.6 Expressões algébricas envolvendo raízes 80
4 Equações e funções do 1º e 2º graus 84
4.1 Equação do 1º grau 84
4.2 Função do 1º grau 89
4.3 Equação do 2º grau 95
4.4 Função do 2º grau 101
5 Proporcionalidade entre variáveis 109
5.1 Razão e proporção 109
5.2 Regra de três simples 118
5.3 Regra de três composta 122
5.4 Porcentagem 127
6 Matemática financeira 134
6.1 Equação exponencial 134
6.2 Equação logarítmica 140
6.3 Juros simples e aplicações 144
6.4 Juros compostos e aplicações 147
APRESENTAÇÃOVídeo
A matemática por trás das nossas ações do cotidiano é muitas vezes feita 
por processos intuitivos e automáticos, que servem para resolver problemas 
imediatos ou situações de planejamento a longo prazo, mas, em geral, sem 
aprofundamento em técnicas ou métodos.
É comum que sintamos falta de processos que nos permitam organizar 
determinadas situações e/ou problemas de maneira mais ágil e otimizada.
Além da percepção dessa necessidade natural, é essencial uma base 
matemática forte, com conceitos bem compreendidos, quando pretendemos 
aprender teorias avançadas na área das exatas e em áreas correlatas.
Pensando nessas exigências, esta obra tem por objetivo dar suporte, 
fazendo com que você relembre (ou até mesmo aprenda) conceitos que 
formam a base matemática, permitindo que possam ser aplicados em 
situações práticas e servindo de estrutura para novas técnicas, novas teorias 
e métodos comuns a estudantes universitários.
Assim, o primeiro capítulo apresenta a teoria de conjuntos, fazendo com 
que sejam percebidas as relações entre conjuntos e elementos, além do 
conceito de conjuntos numéricos, fundamental para o desenvolvimento 
cognitivo desde a educação infantil até o seu aperfeiçoamento nas fases 
mais avançadas da vida.
O segundo capítulo trabalha a aritmética elementar, permitindo que 
sejam retomados os conceitos de potenciação, radiciação, racionalização, 
sistemas de medidas e notação científica. Ainda, ao final do capítulo, 
é possível usar todas essas propriedades e definições aplicadas aos 
logaritmos, estabelecendo uma relação direta e necessária para uma melhor 
compreensão desses conceitos.
O terceiro capítulo trata da álgebra elementar e é nele que começam 
a aparecer as variáveis (letras representando números) e a necessidade 
de calcularmos seus valores. Nesse capítulo desenvolvemos o conceito 
de fatoração, produtos notáveis e polinômios, aplicados à necessidade do 
cálculo de raízes de equações.
O quarto capítulo aborda especificamente as equações e funções de 
1º e 2º graus. São elucidadas técnicas que permitem que se desenvolva o 
raciocínio lógico desses conceitos.
Já no quinto capítulo, começamos o estudo do que pode ser chamada 
de matemática financeira introdutória. É nele que aparecem os conceitos de 
razão e proporção, grandezas diretamente e inversamente proporcionais, 
regras de três e porcentagem.
O sexto e último capítulo ainda aborda a matemática financeira 
introdutória. Nele trabalhamos com as funções exponenciais e logarítmicas 
e os problemas que envolvem juros simples e compostos.
Em suma, este livro apresenta as informações básicas para a compreensão 
geral da matemática e destina-se tanto a estudantes de cursos na área de 
exatas quanto a entusiastas do raciocínio lógico, o qual está presente em 
nossas vidas.
Bons estudos!
Os automóveis são os elementos de um conjunto.
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ck
1
Conjuntos e relações
Será que existe um conteúdo que é importante em todos os anos letivos de 
estudo, seja no ensino fundamental, no médio ou no superior?
Sim, existe, e esse conteúdo chama-se conjuntos.
A teoria de conjuntos é riquíssima como embasamento teórico para as mais 
diversas áreas da matemática, mas não só para essa ciência. As aplicações da 
teoria de conjuntos estendem-se para as demais áreas das exatas, da tecnolo-
gia, das ciências biológicas, das ciências sociais e até mesmo das ciências huma-
nas, em que existe o mito de que não se estuda matemática.
Entender as relações entre conjuntos é fundamental para o desenvolvimen-
to cognitivo desde a educação infantil até o seu aperfeiçoamento nas fases 
mais avançadas da vida. Portanto, não poderíamos começar de outra forma. 
Seja bem-vindo à teoria dos conjuntos e suas relações.
1.1 Representação
Vídeo Conjunto é uma noção primitiva, podendo ser defini-
do como qualquer coleção, dentro de um todo de obje-
tos definidos e distinguíveis – chamados elementos 
– de nossa intuição ou pensamento. Essa definição 
baseia-se na teoria dos conjuntos, desenvolvida pelo 
matemático russo Georg Cantor em 1867.
Podemos citar diversos exemplos de conjuntos:
1. conjunto de automóveis;
2. conjunto de números;
3. conjunto de profissões etc.
Conjuntos e relações 9
 Wi
kim
ed
ia 
Co
m
m
on
s
Cantor em 1910.
10 Matemática
Mas como podemos representar todos esses conjuntos? Existem algumas for-
mas de representação. Vamos analisar na sequência algumas das mais utilizadas.
1.1.1 Listagem e Venn
Uma das maneiras mais visuais são os elementos den-
tro de curvas fechadas, como circunferências e outras 
poligonais.
Esse tipo de representação é chamada de diagra-
ma de Venn (Figura 1), e carrega esse nome porque o 
matemático e filósofo inglês John Venn foi o primei-
ro a formalizar esse método e adotá-lo em situações 
que exigiam generalização.
Venn em 1883.
M
aull & Fox. Studio/W
ikim
edia Commons
Figura 1Diagrama de Venn
Também foi ele quem transformou a representação, por meio de curvas fecha-
das, em um método simples e claro. Contudo, o seu uso em escolas só se deu a 
partir da década de 1960 com o movimento conhecido por Matemática Moderna.
Ficou curioso para saber mais sobre a Matemática Moderna? Então faça 
a leitura do artigo O Movimento da Matemática Moderna e as iniciativas de 
formação docente, de Antonio Flavio Claras e Neuza Bertoni Pinto. Os autores 
retratam uma parte importante da história da matemática e, consequente-
mente, de matemáticos que estiveram envolvidos no desenvolvimento de 
diversas teorias, como na teoria de conjuntos.
Acesso em: 12 jan. 2021. 
https://educere.bruc.com.br/arquivo/pdf2008/863_662.pdf
Artigo
https://educere.bruc.com.br/arquivo/pdf2008/863_662.pdf
Conjuntos e relações 11
Assim, um conjunto de profissões (engenheiro, designer, marceneiro etc.) pode 
ser representado da seguinte forma:
Figura 2
Conjunto de profissões
P
U
· Engenheiro
· Marceneiro
· Designer
Fonte: Elaborada pela autora.
Portanto, P é o conjunto de profissões. A letra grega U está sendo usada para 
representar um conjunto maior, que nomeamos de conjunto universo – esse con-
junto será melhor definido na sequência.
Uma outra forma de representação de conjuntos é feita por meio de listagens. 
Desse modo, podemos adotar o mesmo conjunto de profissões da Figura 2 e repre-
sentá-lo da seguinte maneira:
P = {Engenheiro, Marceneiro, Designer}
Ainda, é possível representar um conjunto usando a definição dos elementos 
que o compõem. Nesse caso, fazemos:
P = {x|x é uma profissão}
Algumas questões precisam ser levantadas para a correta representação de 
um conjunto.
Definimos que:
 • o nome de um conjunto será representado por letras maiúsculas;
 • os elementos de um conjunto serão representados por letras minúsculas, 
com exceção apenas dos casos em que nomeamos o elemento.
Dessa forma, podemos transformar os substantivos anteriormente usados para 
representar os elementos do conjunto profissões de modo simbólico por meio de 
letras minúsculas do nosso alfabeto. Portanto:
 • Engenheiro: e
 • Marceneiro: m
 • Designer: d
E, com isso, temos uma representação na seguinte forma:
12 Matemática
Figura 3
Conjunto P
P
U
· e
· m
· d
Fonte: Elaborada pela autora.
Com essa representação, podemos começar a trabalhar as relações entre ele-
mento e conjunto.
1.1.2 Pertinência
Elementos de um conjunto sempre “pertencem” ou “não pertencem” a ele. 
Assim, podemos dizer que:
 • Aveia (a) é um elemento que 
pertence (∈) ao conjunto dos 
cereais (C).
 • Carambola (c) é um elemento que 
não pertence (∉) ao conjunto das 
leguminosas (L).
 • Banana (b) é um elemento que 
pertence (∈) ao conjunto das 
frutas (F).
ifong/Shutterstock
Anna Sedneva/Shuttersto
ck
Iurii Kachkovskyi/Shuttersto
ck
Conjuntos e relações 13
Para representar essas expressões apenas com a simbologia matemática, respei-
tando a legenda adotada para os substantivos, podemos escrever respectivamente:
 • a ∈ C
 • c ∉ L
 • b ∈ F
A figura a seguir mostra esses três conjuntos representados pelo diagrama 
de Venn.
Figura 4
Conjuntos C, L e F
Aveia Feijão
Banana
Trigo Ervilha
Carambola
U
C
F
L
Fonte: Elaborada pela autora.
Mas por que podemos representar dessa forma? Qual é a lógica para essa re-
presentação e por que existem espaços em branco nessa representação dos con-
juntos no diagrama de Venn? Logo responderemos a essas questões.
No caso do conjunto de profissões, temos que e ∈ P; d ∈ P; m ∈ P. Portanto, po-
demos escrever:
P = {e, d, m}
Note que a correspondência que 
estamos apresentando se dá entre 
um elemento e um conjunto.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
A seguir, trazemos mais alguns exemplos da utilização da relação de pertinência 
entre elemento e conjunto:
 • 2 ∈ {2, 3, 4, {5}}
 • 1 ∉ {2, 3, 4, {5}}
 • {5} ∈ {2, 3, 4, {5}}
14 Matemática
Observe que nesse exemplo o conjunto {5} é um elemento do conjunto {2, 3, 4, {5}}.
Dessa forma, temos a ferramenta necessária para relacionar elemento e con-
junto. Em seguida, vamos expor alguns conjuntos ditos especiais.
1.1.3 Conjuntos especiais
Chamamos de conjuntos especiais aqueles que possuem características distintas 
e bem definidas com relação à quantidade de elementos que os compõem. Vamos 
entendê-los.
1.1.3.1 Vazio
Quando um conjunto não possui elementos, dizemos que esse conjunto é vazio 
e podemos representá-lo da seguinte forma:
 • A = {}
 • A = ∅
Note que {∅} é diferente de {}. 
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Ele também pode ser representado pelo diagrama de Venn, como mostra a 
figura a seguir.
Figura 5
Diagrama de Venn representando um conjunto vazio
A
U
Fonte: Elaborada pela autora.
1.1.3.2 Unitário
Um conjunto unitário é aquele que apresenta apenas um elemento. Por exem-
plo, o conjunto de estrelas do sistema solar – sabemos que no sistema solar temos 
apenas o Sol como estrela.
A relação de pertinência se dá 
entre elemento e conjunto. Os nú-
meros pares formam um conjunto 
numérico, em que cada elemento 
(cada número par) é um número 
pertencente a esse conjunto. 
Então, como podemos representar 
o conjunto dos números pares 
positivos?
Atividade 1
Conjuntos e relações 15
Exemplo 1
Conjunto de estrelas do sistema solar: E
Assumindo que o sistema solar possui uma única estrela, que é o próprio Sol, 
escrevemos:
s ∈ E (lê-se: o elemento s pertence ao conjunto E).
E = {s}
Portanto, E é um conjunto unitário.
1.1.3.3 Universo
O chamado conjunto universo é composto de todos os elementos que queiramos 
classificar segundo determinada necessidade.
Assim, o conjunto universo das frutas deve ser composto de todas as frutas 
existentes. Já o conjunto universo dos engenheiros deve ser composto de todas as 
categorias de engenheiros existentes.
Em geral, o conjunto universo é representado pela letra E, mas pode aparecer 
com outras nomenclaturas, dependendo da área em que está sendo aplicado.
1.1.3.4 Conjunto finito
Um conjunto é dito finito quando é possível contar a quantidade de elementos 
que o compõe.
Muitos são os conjuntos com essa característica ao nosso redor, por exemplo: 
conjunto de profissões, conjunto de frutas, conjunto de escolas etc.
1.1.3.5 Conjunto infinito
Um conjunto é dito infinito quando não é possível determinar a quantidade de 
elementos que o compõe. Dessa forma, podemos dar alguns exemplos de conjun-
tos com essa característica:
 • I = {i | i é ímpar}
 • P = {a│a é par}
 • Q = {s│s são os múltiplos de 3}
Vistos os conjuntos especiais e a relação de pertinência, já podemos aplicar 
esses conceitos em diversas situações. No entanto, ainda precisamos operar esses 
conjuntos. A seguir, vamos entender esse processo.
16 Matemática
1.2 Subconjuntos
Vídeo Relacionar conjuntos também pode ser interpretado como operar com conjun-
tos. Quando todos os elementos de um conjunto pertencem a um outro conjunto, 
temos uma relação de continência.
Se um conjunto (B) está contido em outro conjunto (A) (relação de continência), 
dizemos que B é um subconjunto de A. Portanto, a relação entre dois conjuntos se 
dá entre “estar contido” ou “conter” o outro conjunto.
Dessa forma, se todos os elementos de um conjunto B pertencem a um conjun-
to A, além de dizermos que B é um subconjunto de A, também podemos afirmar 
que B está contido em A.
Visualmente podemos entender esse conceito por meio do diagrama de Venn, 
como mostra a figura a seguir.
Figura 6
Subconjuntos
U
A
B
C
1
2
3
4
5
6
7
Fonte: Elaborada pela autora.
Analisando a Figura 6, podemos escrever:
 • A = {1, 2, 3, 4}
 • B = {2, 3, 4}
 • C = {5, 6, 7}
 • B ⊂ A. Lê-se: B está contido em A
 • A ⊃ B. Lê-se: A contém B
 • C ⊄ A. Lê-se: C não está contido em A
 • A ⊅ C. Lê-se: A não contém C
Conjuntos e relações 17
Note que a representação simbólica para 
as relações de continência é dada por: 
⊂ (está contido), ⊃ (contém), ⊄ (não está 
contido), ⊅ (não contém).
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ckObservações:
 • A ⊂ A – dizemos que todo conjunto está contido nele próprio, ou seja, é 
subconjunto dele mesmo.
 • {} ⊂ A – o conjunto vazio sempre está contido em qualquer conjunto. Portan-
to, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.
 • Se B ⊂ A, mas B ≠ A, dizemos que B é subconjunto próprio de A (esse é o caso 
em que A tem elementos que B não tem).
 • Se A é subconjunto de B e B é subconjunto de A, falamos que A e B são con-
juntos iguais, isto é, se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B.
Exemplo 2
Considere o conjunto A = {3, 4, 7} e o conjunto B = {3, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 7}.
Os elementos de A são os números 3, 4 e 7.
Os elementos de B são 3, 4 e 7.
Portanto, A ⊂ B e B ⊂ A. Logo, A = B.
Assim, podemos relacionar e verificar se um conjunto contém ou está contido 
em outros, fazendo com que também identifiquemos algumas relações de perti-
nência entre os elementos desses conjuntos.
1.3 Operações com conjuntos e propriedades
Vídeo
As operações realizadas com conjuntos fazem a relação, dois a dois, desses con-
juntos, tendo como resposta um novo conjunto. A esse tipo de relação damos o 
nome de relação binária ou operações binárias.
As operações que apresentaremos são: união, intersecção, diferença e comple-
mentariedade. Vamos entendê-las a seguir.
18 Matemática
1.3.1 União
A união entre dois conjuntos tem como resultado um novo conjunto com ele-
mentos que pertencem ao primeiro conjunto ou ao segundo conjunto. Aqui, cha-
mamos a atenção para a conjunção alternativa ou.
Desse modo, consideremos dois conjuntos A e B. Fazer a união desses dois 
significa que construiremos um novo conjunto com elementos que pertencem ao 
conjunto A ou ao conjunto B.
A notação para essa operação será dada por A∪B.
Podemos também representar essa operação por meio da expressão:
A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Onde x são os elementos.
Outra forma de representar a união entre conjuntos pode ser observada na 
figura a seguir.
Figura 7
União entre conjuntos
U
A B
A ∪ B
Fonte: Elaborada pela autora.
Um fato importante é que, quando desconhecemos quais são os elementos 
de um conjunto ou quando não queremos nomeá-los um a um, representamos a 
quantidade total de elementos por meio da notação n (nome do conjunto).
Desse modo, se um conjunto A possui 5 elementos, podemos escrever:
n(A) = 5
Se o conjunto união (A ∪ B) entre dois conjuntos A e B possui 7 elementos, 
escrevemos:
n(A∪B) = 7
Conjuntos e relações 19
Exemplo 3
De uma turma de 50 alunos, 
sabemos que 17 farão vestibular para 
Medicina e 11 farão vestibular para Di-
reito. Quantos alunos farão vestibular 
para Medicina ou Direito?
Aqui chamamos a atenção para a 
conjunção ou.
A interpretação do questionamento feito é: quantos alunos ao todo farão vesti-
bular para Medicina ou Direito?
Quando se coloca ao todo, já é possível perceber que teremos que somar algu-
ma coisa. Portanto, nesse exemplo, como não há alunos que farão vestibular para 
os dois cursos ao mesmo tempo, podemos apenas somar os dois grupos. 
Sendo M o conjunto dos alunos que farão vestibular para Medicina e D e conjun-
to dos alunos que farão vestibular para Direito:
n(M) = 17
n(D) = 11
Assim, temos:
n(M) + n(D) = 17 + 11 = 28
Resposta: 28 alunos farão o vestibular para Medicina ou Direito.
A figura a seguir representa esse exemplo por meio do diagrama de Venn.
Figura 8
União entre conjuntos
U
M
D
17
11
50
Fonte: Elaborada pela autora.
AV
N 
Ph
ot
o 
La
b/
Sh
ut
te
rs
to
ck
20 Matemática
A relação de união entre conjuntos possibilita encontrarmos o total de elemen-
tos em dois ou mais conjuntos.
1.3.2 Intersecção
O estudo da intersecção entre conjuntos nos auxiliará no entendimento tam-
bém de alguns exemplos que envolvem união.
A intersecção entre dois conjuntos tem como resultado um novo conjunto com 
elementos que pertencem ao primeiro conjunto e ao segundo conjunto. Aqui, cha-
mamos a atenção para a conjunção aditiva e.
Dessa maneira, sejam dois conjuntos A e B. Fazer a intersecção desses conjun-
tos significa que construiremos um novo conjunto com elementos que pertencem 
ao conjunto A e ao B ao mesmo tempo.
A notação para essa operação será dada por A∩B.
Podemos, ainda, representar essa operação por meio da expressão:
A∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Onde x são os elementos.
Outra forma de representar a intersecção entre conjuntos pode ser observada 
na figura a seguir.
Figura 9
Intersecção entre conjuntos
U
A B
A∩B
Fonte: Elaborada pela autora.
O princípio da inclusão-exclusão nos auxiliará a resolver exercícios envolvendo 
situações de intersecção entre conjuntos. Vamos entendê-lo a seguir.
1.3.3 Princípio da inclusão-exclusão
Dentro da teoria de conjuntos, e particularmente relacionando a união e a in-
tersecção, existe uma fórmula para calcularmos o número de elementos de um 
conjunto união. Essa equação é conhecida como princípio da inclusão-exclusão.
Assista ao vídeo Intersecção 
e união de conjuntos da pla-
taforma da Khan Academy. 
Como a plataforma é 
gamificada e adaptativa, 
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acompanhar seu próprio 
desenvolvimento e partici-
par de outras atividades da 
plataforma.
Disponível em: https://pt-pt.khanaca-
demy.org/math/statistics-probability/
probability-library/basic-set-ops/v/
intersection-and-union-of-sets. 
Acesso em: 12 jan. 2021.
Vídeo
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/intersection-and-union-of-sets
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/intersection-and-union-of-sets
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/intersection-and-union-of-sets
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/intersection-and-union-of-sets
Conjuntos e relações 21
Para isso, temos a seguinte notação:
 • n(A) = número de elementos do conjunto A
 • n(B) = número de elementos do conjunto B
 • n(A∪B) = número de elementos da união entre os conjuntos A e B
Assim, podemos escrever:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Note que o número de elementos de um 
conjunto intersecção pode ser direta-
mente deduzido da expressão. Assim:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B)
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Vamos analisar esse processo voltando ao nosso exemplo dos estudantes que 
farão vestibular.
Exemplo 4
De uma turma de 50 alunos, sabemos que 17 farão vestibular para Medicina, 
11 farão para Direito e 5 farão para Medicina e Direito. Quantos alunos farão vesti-
bular apenas para Medicina?
A Figura 10 representa o exemplo por meio do diagrama de Venn.
Figura 10
Intersecção entre conjuntos
U
M
D
17 – 5
50
11 – 5
5
Fonte: Elaborada pela autora.
22 Matemática
Observe na Figura 10 que conhecemos o número de estudantes que prestarão 
vestibular para os dois cursos ao mesmo tempo. Nesse caso, precisamos subtraí-
-los do total de alunos que prestará vestibular para Medicina e, também, subtrair 
do número total de alunos que prestará vestibular para Direito.
A intersecção entre os conjuntos M e N é dada pelos 5 alunos que prestarão 
vestibular para ambos os cursos.
Mas a pergunta do enunciado do exemplo é: quantos alunos prestarão vestibu-
lar apenas para Medicina?
Assim, precisamos exatamente daquela parte do conjunto onde não estão pre-
sentes os alunos que prestarão vestibular para Direito (Figura 11).
Figura 11
Apenas Medicina
U
M
D
17 – 5
50
11 – 5
5
Fonte: Elaborada pela autora.
Resposta: apenas 12 alunos farão vestibular só para Medicina.
Percebemos que a teoria de conjuntos está muito presente em situações co-
tidianas. Vamos ver uma situação que retrata conjuntos de profissões. Observe a 
imagem a seguir:
Figura 12
Conjunto das áreas de atuação das profissões
MOVELARIA
DESIGN
ENGENHARIA 
VEICULAR
DESIGN DE 
MÓVEIS
DESIGN DE 
VEÍCULOS
?
VEÍC
U
LO
S 
ES
PE
CI
AI
S
Fonte: Hellmeister, 2011, p. 34.
O conjunto mostrando a 
intersecção entre diferen-
tes profissões, que traz 
a pergunta “qual seria a 
profissão que é uma inter-
secção entre os conjuntos 
‘movelaria’, ‘engenharia 
veicular’ e ‘design’?", foi 
apresentado na disserta-
ção de mestrado de Victor 
Hellmeister, para obtenção 
de título na área de design. 
Você pode conferir a 
dissertação na íntegra 
acessando o link a seguir.
Disponível em: https://acervodigital.
ufpr.br/handle/1884/28443. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Saiba mais
https://acervodigital.ufpr.br/handle/1884/28443
https://acervodigital.ufpr.br/handle/1884/28443
Conjuntos e relações 23
Transformando essa imagem em uma estrutura matemática, percebemos que 
ela é semelhante à situação apresentada na figura a seguir. Desse modo, visuali-
zamos na Figura 13 que a intersecção entre os três conjuntos (A, B e C) pode ser 
representada por A∩B∩C.
Figura 13
Intersecção entre os conjuntos A, B e C
U
A
C
B
A∩B
A ∩B∩C
A∩C B∩C
Fonte: Elaborada pela autora.
Mas, além disso, ainda temos uma área onde a intersecção está apenas entre 
os conjuntos A e B.
A Figura 14 representa a intersecção entre os conjuntos A e B por meio do dia-
grama de Venn.
Figura 14
Intersecção entre A e B
U
A
C
B
A∩B
A ∩B∩C
A∩C B∩C
Fonte: Elaborada pela autora.
Ainda, existe uma intersecção apenas entre os conjuntos B e C e outra intersecção 
apenas entre os conjuntos A e C. Essas estão representadas nas figuras a seguir por 
meio do diagrama de Venn.
24 Matemática
U
A
C
B
A∩B
A ∩B∩C
A∩C B∩C
Figura 15
Intersecção entre B e C
Figura 16
Intersecção entre A e C
Fonte: Elaborada pela autora.
U
A
C
B
A∩B
A ∩B∩C
A∩C B∩C
Fonte: Elaborada pela autora.
É importante lembrar que quando a intersecção entre dois conjuntos é nula, ou 
seja, é um conjunto vazio, dizemos que esses conjuntos são disjuntos.
1.3.4 Diferença
A diferença entre dois conjuntos A e B é definida assumindo-se os elementos 
que pertencem a A e não pertencem a B.
A notação para essa operação é dada por A – B ou CB
A .
Podemos também representar essa operação por meio da expressão:
A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Onde x são os elementos.
A figura a seguir representa a diferença entre os conjuntos A e B por meio do 
diagrama de Venn.
Figura 17
Diferença entre A e B
U
A B
A – B
Fonte: Elaborada pela autora.
Conjuntos e relações 25
A mesma ideia poderia ser aplicada se quiséssemos conhecer a diferença (B – A) 
entre os conjuntos A e B. Desse modo, teríamos como resposta os elementos que 
pertencem a B e não pertencem a A.
1.3.5 Complementar
O complementar de dois conjuntos é obtido por meio de uma operação de dife-
rença, como vimos anteriormente. Assim, se desejamos encontrar o complementar 
de A em U, fazemos U – A.
A notação, nesse contexto, é dada por A =C =U AC U
A − . Também é comum encon-
trarmos a notação A . Nesse último caso, dizer que x ∈ A é o mesmo que dizer que 
x ∉ A. Portanto, temos uma operação conhecida por operação de negação – esse 
termo é recorrente em aplicações, como em circuitos lógicos e sistemas digitais.
O diagrama de Venn a seguir representa o conjunto complementar de A em 
relação ao conjunto universo.
Figura 18
Complementar de A em U: A U A�= C = C U
A−
A
U
U A�= C = AU
A C−
Fonte: Elaborada pela autora.
Para representar o complementar de um conjunto B em relação ao conjunto 
universo, fazemos:
B =U B=CC U
B−
Existe um conjunto de propriedades conhecidas por Leis de Morgan que nos 
auxilia na resolução de situações entre conjuntos que envolvam complementares. 
São elas:
 • A B = A B
C C C�� � � 
 • A B A B�� � �C C C= 
1.3.6 Propriedades
Nesta seção, trabalharemos algumas propriedades importantes da teoria de 
conjuntos.
Qual conjunto é complementar do 
conjunto universo?
Atividade 2
Para reforçar o conceito 
de conjunto universo e 
de complemento de um 
conjunto, assista ao vídeo 
Universo e complementar de 
um conjunto, da plataforma 
da Khan Academy, que 
traz exemplos justamente 
dessa teoria.
Disponível em: https://pt-pt.khanaca-
demy.org/math/statistics-probability/
probability-library/basic-set-ops/v/
universal-set-and-absolute-comple-
ment. Acesso em: 30 nov. 2020.
Vídeo
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement
26 Matemática
 • Transitividade
Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C. 
Demonstração:
Se x ∈ A, então x ∈ B, porque A ⊂ B.
Se x ∈ B, então x ∈ C, porque B ⊂ C.
Logo, x ∈ A, x ∈ B e x ∈ C.
Assim, temos que:
Se x ∈ A, então x ∈ C.
 • Associatividade
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
 • Comutatividade
A∩B = B∩A
A∪B = B∪A
 • Distributividade
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
A figura a seguir representa o passo a passo para a construção da proprieda-
de distributiva A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) por meio do diagrama de Venn.
Figura 19
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A A A
AAA
A
B B B
BBB
C C C
CCC
A∩B A∩C
A∩(B∪C)
(A∩B)∪(A∩C)
B∪C
Fonte: Elaborada pela autora.
Vimos que é possível representar as propriedades entre conjuntos por meio 
do diagrama de Venn. Que tal você tentar montar um esquema semelhante ao da 
Figura 19 para todas as propriedades?
Já sugerimos vídeos da pla-
taforma da Khan Academy 
e agora destinamos esse 
espaço para sugerir ativida-
des que podem ser resolvi-
das também na plataforma. 
Como nosso tema são as 
operações com conjuntos, 
indicamos as atividades 
disponíveis no link a seguir. 
Dessa forma, você poderá 
reforçar e fixar o conteúdo 
de maneira gamificada e 
divertida.
Disponível em: https://pt-pt.khanaca-
demy.org/math/statistics-probability/
probability-library/basic-set-ops/e/
basic_set_notation. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Saiba mais
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/e/basic_set_notation
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/e/basic_set_notation
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/e/basic_set_notation
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/e/basic_set_notation
Conjuntos e relações 27
1.4 Conjuntos numéricos
Vídeo Um conjunto numérico é um conjunto composto de números. Mas que núme-
ros são esses?
A divisão dos conjuntos numéricos é realizada por meio de algumas caracterís-
ticas importantes, como: se os números são inteiros, se os números são positivos 
etc. Temos uma divisão clássica na literatura, que pode ser observada na figura 
a seguir.
Figura 20
Conjuntos numéricos
Fonte: Elaborada pela autora.
Podemos montar uma relação de inclusão utilizando o conceito de subconjun-
tos numéricos. Assim, temos:
N Z Q R C⊂ ⊂ ⊂ ⊂
I R⊂
Q I R� �
Vamos analisar cada um desses conjuntos. Suprimimos apenas o conjunto dos 
números complexos (N Z Q R C⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ) por se tratar de tema para outra obra.
1.4.1 Naturais
Números naturais () são os elementos numéricos, inteiros e positivos de 
um conjunto.
Entendemos que essa definição de conjunto natural se enquadra no conceito 
de sistema de numeração indo-arábico, o qual tem base decimal e caráter posicio-
nal. Dessa forma, o valor de cada algarismo depende diretamente da posição que 
esse ocupa.
 = 0,1, 2, 3... � � 
28 Matemática
A seguir é apresentado um conjunto dos números naturais sem o elemento zero:
* � �� �1 2 3, , ,
1.4.2 InteirosNúmeros inteiros () são os elementos numéricos, inteiros, positivos e negati-
vos de um conjunto.
 � � � � �� �, , , , , , 2 1 0 1 2
Exemplo 5
Defina A como sendo o conjunto dos números inteiros maiores do que 1 e me-
nores do que ou iguais a 50.
Sendo assim:
A = {2, 3, 4, …, 50}
Subconjuntos especiais dos inteiros:
 • Conjunto dos inteiros não nulos: * � � � � �� �, , , , ,2 1 1 2
 • Conjunto dos inteiros não negativos: � � �� �0 1 2 3, , , , 
 • Conjunto dos inteiros não positivos: � � � �� �= ..., 3, 2, 1, 0
 • Conjunto dos inteiros positivos: � � �� �* 1 2 3, , ,
 • Conjunto dos inteiros negativos: � � � � � �� �* , , ,3 2 1
Como é possível observar, o conjunto dos números naturais é um subconjunto 
dos números inteiros.
1.4.3 Racionais
O conjunto dos números racionais ( ) é escrito como:
Q Z�= p
q
�|�p�e�q�� �e�q�� 0 �.�� �
�
�
�
�
�
�
Ou seja, sempre que conseguimos escrever um número em forma de fração 
(divisão de dois inteiros), estamos trabalhando com um número que pertence ao 
conjunto dos racionais.
Conjuntos e relações 29
Dessa forma, dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos racionais, pois po-
dem ser escritas como fração.
Exemplo 6
Seja o número decimal escrito como 2,321212, ele também pode ser escrito na 
forma 2 298
990
. .
Os números racionais podem, ainda, seguir a notação com *, + e –, vista ante-
riormente para o conjunto dos números inteiros. Assim:
 • * = conjunto dos números racionais sem o elemento zero
 • � �  conjunto dos números racionais não negativos
 • � �  conjunto dos números racionais não positivos
 • � �
* � conjunto dos números racionais positivos
 • � �
* � conjunto dos números racionais negativos
Quando falamos de números racionais, estamos falando também de frações. 
Dessa forma, veremos alguns conceitos importantes que serão necessários para 
um completo entendimento desta e de outras disciplinas.
 • Frações equivalentes
Sejam duas frações escritas como p
q
= a e 
r
s
= b.
Onde p, q, r, s são números inteiros, com q, s ≠ 0 e a, b ∈ .
As frações p
q
 e r
s
 serão equivalentes se a = b.
Exemplo 7
As frações a seguir são equivalentes:
1
2
2
4
3
6
25
50
0 5= = = = ,
 • Inverso de um número racional
30 Matemática
O inverso de um número racional (fração) é a troca do numerador pelo denomi-
nador e vice-versa, desde que o denominador seja diferente de zero.
Exemplo 8
Sejam os números 2,
1
2
,� 7,�−− −− 3
4 , seus inversos são respectivamente:
1
2
2 1
7
4
3
, , ,� � �− −
Os números racionais podem estar expressos em formato de fração ou de nú-
mero decimal. Na sequência, vamos entender essa relação.
1.4.3.1 Números decimais
A representação decimal dos números racionais e irracionais está muito presen-
te no nosso dia a dia.
Na matemática financeira, por exemplo, trabalha-se muito mais com a repre-
sentação decimal do que com as frações (percentuais, taxas de juros e o próprio 
valor do dinheiro).
Calculadoras simples (não científicas) são facilmente utilizadas quando se co-
nhece a representação decimal de determinada fração.
Exemplo 9
Poderíamos ficar aqui dando muitos outros exemplos, mas vamos focar as ope-
rações que podemos realizar com os números decimais e algumas propriedades 
importantes.
 •
1
2
0 5= ,
 • � � �
7
2
3 5,
 • 6
7
0 857142� �,
 • 1
3
0 333� �,
1.4.4 Números irracionais
Existem importantes números irracionais na história da Matemática e, para en-
tendermos um pouco da estrutura de um número irracional, vamos tratar de um 
desses números. 
Conjuntos e relações 31
O número de ouro (φ) é derivado do que chamamos de razão áurea. Como o 
próprio nome remete, temos uma razão (fração) entre dois números (a e b), cujo 
resultado é um número com infinitas casas decimais não periódicas.
Figura 21
Razão áurea
Ko
lo
nk
o/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Portanto, daqui já podemos extrair uma definição: um número irracional é o re-
sultado de uma razão entre dois valores que têm como resultado um número com 
infinitas casas decimais não periódicas.
Exemplo 10
O número de ouro pode ser extraído da razão entre os termos de uma sequên-
cia de Fibonacci 1 , dada por 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 
Assim:
13
8
8
5
5
3
1 618≈ ≈ ≈ , ...
Figura 22
Sequência de Fibonacci
M
ic
ro
On
e/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Descrita no final do século XII 
pelo italiano Leonardo Fibonacci, 
é uma sequência infinita de 
números inteiros, na qual cada 
número subsequente correspon-
de à soma dos dois anteriores.
1
O conjunto dos números irracio-
nais é composto de elementos que 
são números reais, mas não são 
números racionais, ou seja, não 
podem ser escritos no formato de 
fração. Escreva pelo menos quatro 
exemplos de números irracionais.
Atividade 3
32 Matemática
1.4.5 A reta real
Quando trabalhamos com o conjunto dos números reais (I R⊂ ), podemos imagi-
nar a representação por meio de uma reta. Temos um conjunto ordenado, ou seja, 
conseguimos identificar, quando comparamos dois a dois números dessa reta, 
quem é maior e quem é menor. Contudo, entre dois números reais, representados 
em uma reta, existem infinitos outros números.
Exemplo 11
Entre os números 1 e 2 existem vários números reais, como:
1,01; 1,001; 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999...
Podemos chamar esse conceito de reta real. Observe a reta da figura a seguir.
Figura 23
Reta real
BaMic_illustrations/Shutterstock
Observando a reta numérica, podemos entender as propriedades operatórias 
que representam o conjunto dos reais.
Dessa forma, para todo a,�b,�c∈ , temos:
 • Propriedade comutativa da soma: a + b = b + a
 • Propriedade associativa da soma: a + (b + c) = (a + b) + c
 • Elemento neutro da soma: a + 0 = 0 + a = a
 • Elemento oposto da soma: –a + a = a + (–a) = 0
 • Propriedade comutativa do produto: a · b = b · a
 • Propriedade associativa do produto: a · (b · c) = (a · b) · c
 • Elemento identidade (ou neutro) do produto: a · 1 = 1 · a = a
 • Elemento inverso: a 1
a
= 1
a
a = 1⋅ ⋅
 • Distributiva do produto em relação à soma: a · (b + c) = a · b + a · c
A aplicação da teoria 
de conjuntos é vista 
em diversas áreas do 
conhecimento, seja pela 
simples representação 
de conceitos por meio de 
conjuntos ou mesmo pela 
necessidade de operar 
esses conjuntos. Um tema 
muito interessante que usa 
diretamente essa teoria 
são os sistemas digitais. 
Para ver de perto esse tipo 
de aplicação, acesse os 
links indicados a seguir.
Organização estruturada 
de computador: nível da 
lógica digital.
Disponível em: http://www.dpi.inpe.
br/~carlos/Academicos/Cursos/
ArqComp/aula_5bn1.html. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Apostila de teoria para 
circuitos digitais.
Disponível em: http://www.telecom.
uff.br/~delavega/public/CircDig/
apostila_teo_cd.pdf. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Saiba mais
http://www.dpi.inpe.br/~carlos/Academicos/Cursos/ArqComp/aula_5bn1.html
http://www.dpi.inpe.br/~carlos/Academicos/Cursos/ArqComp/aula_5bn1.html
http://www.dpi.inpe.br/~carlos/Academicos/Cursos/ArqComp/aula_5bn1.html
http://www.telecom.uff.br/~delavega/public/CircDig/apostila_teo_cd.pdf
http://www.telecom.uff.br/~delavega/public/CircDig/apostila_teo_cd.pdf
http://www.telecom.uff.br/~delavega/public/CircDig/apostila_teo_cd.pdf
Conjuntos e relações 33
Note que o número zero não 
possui inverso multiplicativo, 
pois não existe solução para 1
0
.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Perceba que o conjunto dos números reais engloba todos os outros conjuntos 
que trabalhamos. Além disso, a maior parte dos problemas do nosso dia a dia en-
volvem elementos do conjunto dos números reais.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Falamos da importância da teoria de conjuntos na introdução e agora podemos 
fechar com maior propriedade, pois passamos não só pela teoria, como também por 
exemplos teóricos e aplicados.
Reforçando o que já trouxemos, a teoria de conjuntos está presente direta ou in-
diretamente em outras áreas da matemática. Por isso, acreditamos que, mesmo que 
você já entenda bastante o conceito e não sintadificuldades em desenvolver as rela-
ções entre conjuntos, é importante reler, refazer exemplos e aplicar a teoria por meio 
de exercícios, visto que esse tema será base não só para conceitos deste capítulo, 
como também para qualquer outro conceito matemático (e de muitas outras áreas da 
ciência) que você queira aprender.
REFERÊNCIAS
HELLMEISTER, V. Estudo comparativo de sistema construtivo de móveis para aplicação veicular. 2011.
Dissertação (Mestrado em Design) – Programa de Pós-Graduação em Design, Universidade Federal do 
Paraná, Curitiba. Disponível em: https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/28443/R%20-%20
D%20-%20VICTOR%20HELLMEISTER.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 12 jan. 2021.
GABARITO
1. Vimos que temos algumas formas de representação e vamos escolher a mais clássica para esse tipo 
de pergunta. Assim, um número par pode ser representado por (2 · n), onde n = 1, 2, ..., pois sabemos 
que um número par tem como característica ser divisível por 2 (ou múltiplo de 2). Portanto, um con-
junto de números pares positivos pode ser escrito como:
 A = {2n|n = 1, 2, ...}
 A = {2, 4, 6, ...}
2. Por definição, o complementar do conjunto universo, representado por UC, é o conjunto vazio (∅). 
Logo, UC � � .
 Com a mesma ideia, temos que o complementar do conjunto vazio é o conjunto universo, ∅C = U .
https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/28443/R%20-%20D%20-%20VICTOR%20HELLMEISTER.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/28443/R%20-%20D%20-%20VICTOR%20HELLMEISTER.pdf?sequence=1&isAllowed=y
34 Matemática
3. Alguns irracionais famosos são:
• O número pi: �= 3,14�
• A constante de Euler, ou constante de Neper: e=2,7182...
• A relação entre os termos da sequência de Fibonacci, ou número de ouro: φ = 1,61803399...
• As raízes quadradas de números primos: 2 1 4142 3 1 732 5 2 236 7 2 645� � � � � � � � �, ;� , ;� , ;� , �; �
Aritmética elementar 35
2
Aritmética elementar
As operações de potenciação e radiciação são comumente encontra-
das no nosso cotidiano, seja por meio de análises financeiras ou pela sim-
ples necessidade de realizarmos multiplicações com repetição.
Na matemática financeira, por exemplo, precisamos dessas duas 
operações quando realizamos cálculos que envolvam juros compostos, 
funções exponenciais, entre outros. Nesse contexto, ainda podemos 
incluir o uso dos logaritmos, que fazem o papel inverso das operações 
exponenciais.
Além de questões financeiras, na notação científica, a potenciação e, 
consequentemente, sua operação inversa, a radiciação, são fundamentais, 
possibilitando representações adequadas e simplificadas para estudos 
em todas as áreas (exatas, humanas, sociais, tecnológicas etc.). A esse ce-
nário podemos incluir os sistemas de medidas, inevitáveis na maior parte 
das análises quantitativas. Ao tratar dos sistemas de medidas, novamente 
voltamos nossa necessidade ao conhecimento adequado das operações 
e propriedades de potenciação.
Portanto, este capítulo nos dará base para trabalhar com esses exem-
plos e muitos outros que utilizem operações de potenciação, radiciação, 
logaritmos, notação científica e sistemas de medidas.
2.1 Potenciação e radiciação
Vídeo Nesta seção, vamos relembrar as operações de potenciação e radiciação e suas 
principais propriedades aplicadas ao conjunto dos números reais.
2.1.1 Potência de expoente natural
Usamos como referência para as definições do capítulo as obras de Dante (2011) 
e Paiva (2009). Outros materiais serão indicados ao longo do texto.
Uma potência de grau n ∈ ℕ de um número a é o produto de n fatores iguais a a.
an = (a · a · a · a ··· a)
(n vezes)
Nesse caso, a é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina 
seu grau.
36 Matemática
Exemplo 1
Calculando as potências a seguir, temos:
83 = 8 · 8 · 8 = 512
(–1)2 = (–1) · ( –1) = +1
Portanto, uma potência de expoente natural pode ser interpretada como uma 
multiplicação repetida n vezes.
2.1.2 Potência de expoente inteiro negativo
Considere uma base a, com a ≠ 0, elevada a um expoente negativo. O resultado 
dessa operação será o inverso de a elevado ao mesmo expoente com o sinal positivo.
a = 1
a
n
n
� �
�
�
�
�
�
Exemplo 2
Calculando as potências e frações a seguir, temos:
 • 5
1
5
1
5
1
1
� �
�
�
�
�
�
� �
 • 2
3
3
2
9
4
2 2
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
 • 1
8
1
2
2
3
3� � �
Observe que o sinal do expoente não altera o sinal resultante para a potência. 
O sinal do expoente gera uma inversão na base.
2.1.3 Operações com potências
Nesta seção, iremos trabalhar algumas operações, mas para isso precisamos 
estar com suas definições bem internalizadas.
2.1.3.1 Multiplicação de potências de mesma base
Repetimos a base e somamos os expoentes.
am · an = am+n
Aritmética elementar 37
Exemplo 3
Fazendo o seguinte cálculo, temos:
52 · 5–4 = 5(2+(–4)) = 5–2
2.1.3.2 Divisão de potências de mesma base
Repetimos a base e subtraímos os expoentes.
a
a
= a
m
n
m n−
Exemplo 4
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 5
5
5 5 5
2
4
2 4 2 4 6
�
� �� �� � �� � �
2.1.3.3 Expoente nulo
Seja uma potência de base diferente de zero, com expoente igual a zero. O re-
sultado dessa operação é igual à unidade.
Exemplo 5
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 50 = 1
 • (–4)0 = 1
 • 1
5
1
0
�
�
�
�
�
� �
38 Matemática
Cuidado!
00 é uma indeterminação matemática.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
2.1.3.4 Multiplicação de potências de mesmo grau
Multiplicamos as bases e conservamos o expoente comum.
an · bn = (a · b)n
Exemplo 6
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 32 · 72 = (3 · 7)2 = (21)2 = 441
 • 1
5
1
3
1
5
1
3
1
15
15 3 375
3 3 3 3
3�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
� � � �
.
2.1.3.5 Divisão de potências de mesmo grau
Dividimos as bases e conservamos o expoente comum.
a
b
= a
b
n
n
n
�
�
�
�
�
�
Exemplo 7
Fazendo o cálculo a seguir, temos:
 • 15
5
15
5
3 27
3
3
3
3
�
�
�
�
�
�
� � � � �
2.1.3.6 Potência de potência
Elevamos a base ao produto dos expoentes.
(an)m = an · m
Aritmética elementar 39
Exemplo 8
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • (22)3 = 26 = 64
 • 1
2
1
2
2 64
2 3
1
6
6�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
��
Cuidado!
(22)3 ≠ 223
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
No primeiro caso, temos a resposta no exemplo. Já no segundo caso, temos que 
realizar a potência da potência. Assim, teremos 223 = 28 = 256.
2.1.4 Raiz enésima aritmética
Da mesma forma que conseguimos calcular a raiz quadrada de um número, po-
demos pensar em uma generalização para que possamos calcular uma raiz enésima.
Ao calcularmos 9 , estamos procurando um número, inteiro positivo, de modo 
que ele vezes ele mesmo, isto é, ele ao quadrado, seja igual a 9. Nesse caso, temos 
3 · 3 = 9, logo 9 3= .
A raiz enésima de um número qualquer b ∈ ℝ, com n ∈ ℝ, pode ser expressa por:
a = bn
Onde:
n: índice
b: radicando
a: raiz
Portanto, precisamos encontrar um número a que n vezes ele mesmo será igual 
ao valor b.
Como sugestão de ativi-
dade de fixação, indicamos 
o material disponibilizado 
pela plataforma da Khan 
Academy. Com ele, você 
poderá reforçar os concei-
tos vistos até o momento 
por meio de atividades.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-exponent-properties/a/
exponent-properties-review. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Para auxiliar nesse desafio, 
indicamos também o vídeo 
Propriedades da potência 
com parênteses, da mesma 
plataforma.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-exponent-properties/v/
products-and-exponents-raised-to-
-an-exponent-properties. Acesso em: 
12 jan. 2021. 
Saiba mais
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-reviewhttps://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
40 Matemática
Vamos exemplificar.
Exemplo 9
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 64 4 4 4 43 3 � � � �
 • 243 3 3 3 3 3 35 5� � � � � �
 • � � �� � � �� � � �� � � �1 1 1 1 13 3
 • � �14 
Como percebemos no Exemplo 9, é necessário verificar algumas condições para 
que o resultado a = bn seja possível.
Assim, se n é par, b precisa ser um valor positivo; caso contrário, a solução não 
pertencerá ao conjunto dos números reais.
2.1.5 Relação entre potenciação e radiciação
Seja a, b, n ∈ ℝ, então: 
a = bn se e somente se an = b
Onde:
 n: índice
 b: radicando
 a: raiz
n: expoente
b: potência
a: base
Exemplo 10
Seja a3 = 64, calcule o valor de a:
A primeira propriedade apresentada para a potenciação e radiciação nos permi-
te relacionar essas duas operações. Assim:
a = 64 a = 643 3↔
Resposta:
a = 4
O canal da Professora 
Angela Matemática dis-
ponibiliza diversos vídeos 
na área de matemática, 
com a intenção de ajudar 
os alunos a se preparem 
para vestibulares, Enem 
e concursos. Para o tema 
radiciação, ela propõe uma 
aula cheia de exemplos, 
intitulada Propriedades dos 
radicais – Professora Angela.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=XNIgElPK2qM. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=XNIgElPK2qM
https://www.youtube.com/watch?v=XNIgElPK2qM
Aritmética elementar 41
2.1.6 Potência de expoente racional
Seja a, m, n ∈ ℝ, onde a é uma base, temos:
a = a
m
n mn , se m
n
> 0
ou
a = 1
a
m
n
mn
, se m
n
< 0
Dessa forma, conseguimos utilizar todas as definições vistas na potenciação 
também na radiciação.
É importante observar que, mesmo tendo a definição como válida para todos 
os números reais, temos que tomar alguns cuidados com o índice que compõe o 
radical (n) e com a base (radicando).
Vamos usar o seguinte exemplo para enunciar algumas propriedades da 
radiciação.
Seja a = b b = amn
m
n⇔ , com n ≥ 2, então:
 • |a| = a2
 • a b = a bn n n⋅ ⋅
 • a = amn n
m� �
 •
a = ann
 • a = am p
n p mn⋅⋅
 •
a
b
= a
b
n
n
n
 •
a = a
n
p
mn
m
p
 • a = akn
m
kmn�
�
�
�
�
�
 • a = anm m n⋅
Como leitura complementar a esta seção, sugerimos o artigo intitulado Uso de materiais 
concretos para o ensino de potenciação, de Carlos Adriano da Costa Gomes, Flávio de Ligório 
Silva e Marcelo Simplício de Lyra. Nele é possível compreender outras maneiras de interpretar 
o conceito de potenciação por meio de objetos concretos.
Acesso em: 12 jan. 2021. 
http://www.sbembrasil.org.br/enem2016/anais/pdf/4696_4123_ID.pdf
Artigo
Temos muitas propriedades, é bem verdade, mas precisamos lembrar que sem-
pre é possível transformar uma radiciação em uma potência, caso você se sinta 
mais confortável.
Exemplo 11
Fazendo o cálculo a seguir, temos:
4
36
4
36
4
36
4
36
2
6
1
3
4
8
14
2 4 2�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � � �
�
��
42 Matemática
2.2 Racionalização de denominadores
Vídeo A racionalização de denominadores é um procedimento que auxilia na simplifi-
cação de frações e, em muitos casos, nos processos operacionais necessários para 
resolver algumas situações-problema.
Ao se racionalizar denominadores, o que se consegue é a transformação de um 
denominador composto por um número irracional em um denominador composto 
por um número racional.
Exemplo 12
Considere a fração 2
3
. Podemos racionalizá-la, ou seja, transformar seu deno-
minador em um número racional da seguinte forma:
2
3
2 3
3 3
2 3
9
2 3
3
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
� �
3
3
�
�
Observe que, ao multiplicarmos a fração 2
3
 por 3
3
, não alteramos o seu valor 
final, pois:
3
3
1=
Caso tenha curiosidade, use a calculadora para verificar a igualdade:
2
3
2 3
3
=
Veremos algumas maneiras e casos especiais de racionalização de 
denominadores.
2.2.1 Racionalização baseada nas propriedades de potências 
e raízes
Existem alguns métodos de racionalização. Os dois primeiros que iremos apre-
sentar estão baseados nas propriedades de potências e raízes. Dessa forma, é mui-
to importante que a manipulação das propriedades esteja bem fixada.
2.2.1.1 Racionalização de denominadores compostos por uma raiz 
quadrada
Seja um número representado pela fração 1
a
, com a > 0.
Quando fazemos uma raciona-
lização, alteramos o valor final 
da fração que foi racionalizada? 
Discorra sobre isso.
Atividade 1
Aritmética elementar 43
Observe que o denominador dessa fração apresenta uma raiz quadrada. Para 
racionalizar esse denominador, fazemos:
1
a
a
a
=
a
a a
= a
a
= a
a2
�
� �
� � �
É fácil verificar que a escolha de racionalizar usando a fração a
a
 deve-se ao 
resultado que obtemos ao fazermos:
a a
=
a
=
a
Fator�racionalizante
2
�
� �
Exemplo 13
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 10
10
10 10
100
10 10
10
10= = = �
 • 3
5
3
5
5
5
3 5
5 5
3 5
5�
� � �
�
�
2.2.1.2 Racionalização de denominadores compostos por uma raiz 
não quadrada
Para esse método, vamos assumir que a fração que será racionalizada possui 
denominador da forma apn .
Para racionalizar esse denominador, precisamos multiplicar por � an pn ��
�
�
�
�
� , pois, 
desse modo, o denominador ficará a a = a apn n pn p n pn�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � .
Aplicando as propriedades de potência (produto de mesma base), temos:
a = ap+n pn nn−
Agora, aplicando a relação entre potência e raiz, escrevemos:
a = a = a
n
n 1
O que acontece com o numerador é consequência da escolha feita para raciona-
lizar o denominador. Assim, seja 1
apn
, então:
1
a
a
a
= a
apn
n pn
n pn
Fator�racionalizante
n pn
�
�
�
�
���
44 Matemática
Exemplo 14
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 2
2
2
2
2
2
2 4
2 2
2 4
2
2 4
2
4
3 3
23
23
3
23
3
33
3
3� � �
�
� �
� �
�
 • 3
5
3
5
5
5
3
5
5
5
3 125
5
3 125
525 25
5 25
5 25 25
35
35
5
2 35
5
� � � � � �
�
� �
Portanto, a racionalização é uma ferramenta que usa dos conceitos de poten-
ciação e radiciação para simplificar denominadores. Vamos ver mais alguns casos.
2.2.2 Racionalização baseada em relações
Ao falar em racionalização baseada em relações, o que precisamos para conse-
guir manipular nossas frações são algumas relações de produtos notáveis e fatora-
ção. Vamos entender a seguir.
2.2.2.1 Denominador composto por soma ou subtração entre 
raízes quadradas
Para esse método, vamos assumir que o denominador é composto por uma 
adição ou subtração entre raízes quadradas.
Desse modo, considere um denominador do tipo a + b� �. Nesse caso, o fator 
racionalizante é dado por a b�� � .
Portanto, seja uma fração da forma:
1
a + b �
= 1
a + b �
a b
a b=
a b
a b� � � �
�
� �
� �
� ��
�
�
�
Agora, seja um denominador do tipo a b�� �. O fator racionalizante para esse 
caso será dado por a + b� �. Assim:
1
a b
= 1
a b
a + b �
a + b �
=
a + b �
a b� � �� � � �
�
� �
� �
� �
Pareceu muito difícil? Vamos trabalhar alguns exemplos numéricos para escla-
recer esses dois casos gerais.
Aritmética elementar 45
Exemplo 15
Fazendo os cálculos a seguir, obtemos:
 •
1
1 3
1
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
2�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
� �
��
�
��
�
�
��
 • 1
2 3
1
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
1
3 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
� �
 •
1
1 3
1
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
��
�
��
�
�
��
( )
 •
1
2 3
1
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
1
3 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
� � �
2.2.2.2 Denominador composto por soma ou subtração entre 
raízes cúbicas
Para esse método, vamos assumir que o denominador é composto por uma 
adição ou subtração entre raízes cúbicas.
Para sua correta racionalização, é necessário que lembremos as propriedades 
de fatoração para:
 • (a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
 • (a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)
Considere uma fração da seguinte forma:
1
a b3 3−
Nesse caso, é necessário racionalizar o denominador utilizando 
(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
Assim:
46 Matemática
1
a b
= 1
a b
a + ab + b
a + ab + b
=
a + ab + b
3 3 3 3
23 3 23
23 3 23
23 3
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
223
33 33
23 3 23
a b
=
a + ab + b
a b
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Exemplo 16
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
• 
1
2 2
1
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 43 3
23 3 2
23 3 2
23 3 2
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
� �
�
��
� �
�
� �
� ��
�
��
�
�
��
4 2 2 4
2
4 2 2 4
2
3 3 3 3
• 
1
2 3
1
2 3
2 6 3
2 6 3
4 6 9
2 33 3 3 3
23 3 23
23 3 23
3 3 3
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
� �
�
�� � � �� �4 6 93 3 3
Desse modo, o que precisamos, para qualquer um dos métodos enunciados, é 
procurar uma forma de eliminar a raiz do denominador sem alterar a fração.
2.3 Notação científica
Vídeo Uma notação científica depende do conhecimento do conceito de potências de 
base 10. Esse tipo de potência é adotado para abreviar múltiplos de dez.
Exemplo 17
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 109 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1.000.000.000
 • (–10)2 = (–10) · ( –10) = 100. É importante nos lembrarmos dos sinais!
 • 0 1 1
10
1
1 000
0 0013
3
,
.
,� � � � �
 • 10 1
10
1
1 000 000 000
9
9
� � �
. . .
A notação científica, ou notação em forma exponencial, é utilizada para que 
possamos reduzir a maneira como um número muito grande – por exemplo, a 
massa da Via Láctea – ou um número muito pequeno – como a massa de um pró-
ton – é denotado.
Portanto, escrever em notação científica é converter esse número de modo que 
sua apresentação esteja simplificada.
Assista ao vídeo Racio-
nalização de denomina-
dores – Professora Angela, 
publicado pelo canal da 
própria professora. Nele, 
a docente resolve vários 
exercícios que podem ser 
refeitos para fixação do 
conteúdo.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=9CfzJ-LWytM. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Vídeo
No vídeo Introdução à 
notação científica, da plata-
forma da Khan Academy, 
é possível observar muitos 
exemplos usando os 
conceitos apresentados 
nesta seção.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-scientific-notation/v/
scientific-notation-old. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Para praticar, a plataforma 
disponibiliza uma lista de 
exercícios on-line que 
pode ser acessada no link 
a seguir.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-scientific-notation/e/
scientific_notation. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Saiba mais
https://www.youtube.com/watch?v=9CfzJ-LWytM
https://www.youtube.com/watch?v=9CfzJ-LWytM
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/v/scientific-notation-old
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/v/scientific-notation-old
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/v/scientific-notation-old
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/v/scientific-notation-old
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/v/scientific-notation-old
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
Aritmética elementar 47
Assim, utilizando a notação científica, podemos escrever:
 • 1.000.000.000 = 1 · 109
 • 0,0000000001 = 1 · 10–9
 • 0,273 = 2,73 · 10–1
 • 27,3 = 2,73 · 10
De maneira geral:
a · 10n, com 1 ≤ a < 10
A massa da Via Láctea é de 1 · 1041 kg.
A massa de um elétron em repouso é de 
9,109389 · 10–31 kg.
A notação científica pode ser encontrada nos livros de física, biologia, química e 
matemática e é usada para comparar ordens de grandeza. Uma ordem de grande-
za fornece uma ideia aproximada da dimensão de um objeto, sendo representada 
pela potência de 10 mais próxima da ordem do objeto.
Figura 1
Prefixos e nomenclatura usando potência de 10
T (Tera) 1012
G (Giga) 109
M (Mega) 106
K (Quilo) 103
m (Mili) 10–3
μ (Micro) 10–6
n (Nano) 10–9
p (Pico) 10–12
Fonte: Elaborada pela autora.
NA
SA
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Ol
eh
 S
ve
tiu
kh
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Ainda, no contexto da 
notação científica, é 
possível exercitar o uso 
de operações com esse 
tipo de notação. Para esse 
fim, sugerimos o material 
a seguir da plataforma da 
Khan Academy. Com ele, 
você pode não só resolver 
exercícios, mas também 
verificar seus erros e acer-
tos e praticar até que não 
restem mais dúvidas.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-computing-scientific-
-notation/e/multiplying_and_divi-
ding_scientific_notation. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Para auxiliar nessa tarefa, 
sugerimos o vídeo intitu-
lado Multiplicação e divisão 
em notação científica, da 
mesma plataforma.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-computing-scientific-
-notation/v/multiplying-and-dividin-
g-in-scientific-notation. Acesso em: 
12 jan. 2021. 
Saiba mais
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notationhttps://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
48 Matemática
A notação científica também é encontrada nas linguagens de programação. Por 
exemplo:
 • Python: 1,2 · 103 = 1.2e3
 • Fortran: 1,2 · 103 = 1.2E3
Observe que na linguagem de programação Python, ao invés de representar-
mos a notação científica utilizando a base 10, ela é substituída pela letra e. Contu-
do, isso é uma questão apenas de representação, pois usar e facilita a legibilidade 
da comunicação textual, minimiza as teclas digitadas, fornece uma exibição concisa 
e mais simples, entre outras questões. Além disso, é possível encontrar nas lin-
guagens de programação a base decimal sendo representada pelo E maiúsculo, 
como pode ser observado na linguagem Fortran. Outros exemplos de linguagens 
de programação que seguem o mesmo padrão são: ALGOL, Ada, Analytica, C/C ++, 
MATLAB, Scilab, Perl, Java, Lua e JavaScript.
2.4 Sistemas de medidas
Vídeo A necessidade de padronizar, que remete ao desenvolvimento do ser humano 
desde épocas mais remotas, fez com que convergíssemos para o que hoje chama-
mos de sistema de medidas padrão. Assim, o sistema internacional de unidades 
(SI) define:
Figura 2
Medidas padrão de acordo com o SI
K Kelvin (temperatura)
m metro (comprimento) 
A ampère (corrente elétrica) 
s segundo (tempo) 
mol mol (quantidade de matéria) 
kg quilograma (massa) 
cd candela (intensidade luminosa)
Fonte: Elaborada pela autora com base em Thompson e Taylor, 2008.
Entre essas medidas, vamos aprofundar aquelas que mais usamos no nosso dia 
a dia. Desse modo, falaremos das unidades de comprimento (m), de massa (kg) e de 
tempo (s). Acompanhadas a elas, também apresentaremos a unidade de medida de 
área (que usa como padrão m2) e a unidade de medida de volume (m3).
https://pt.qwe.wiki/wiki/Ada_(programming_language)
https://pt.qwe.wiki/wiki/Analytica_(software)
https://pt.qwe.wiki/wiki/C_(programming_language)
https://pt.qwe.wiki/wiki/C%2B%2B
https://pt.qwe.wiki/wiki/MATLAB
https://pt.qwe.wiki/wiki/Scilab
https://pt.qwe.wiki/wiki/Perl
https://pt.qwe.wiki/wiki/Java_(programming_language)
https://pt.qwe.wiki/wiki/Lua_(programming_language)
https://pt.qwe.wiki/wiki/JavaScript
Aritmética elementar 49
2.4.1 Medida padrão de comprimento
A medida padrão de comprimento é o metro (m). As medidas que o antecedem 
e que o precedem estão representadas na figura a seguir.
Figura 3
Unidades de comprimento
km quilômetro
hm hectômetro
dam decâmetro
m metro
dm decímetro
cm centímetro
mm milímetro
Fonte: Elaborada pela autora.
Para realizar a conversão, devemos multiplicar (ou dividir) por 10 (Figura 4).
Figura 4
Conversão de unidades de comprimento
km hm dam m dm cm mm
x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
Fonte: Elaborada pela autora.
Decâmetro, hectômetro e quilômetro são múltiplos do metro:
 • dam → equivale a 10 vezes a grandeza padrão m
 • hm → equivale a 100 vezes a grandeza padrão m
 • km → equivale a 1.000 vezes a grandeza padrão m
Decímetro, centímetro e milímetro são submúltiplos do metro:
 • dm → equivale a 0,1 vezes a grandeza padrão m
 • cm → equivale a 0,01 vezes a grandeza padrão m
 • mm → equivale a 0,001 vezes a grandeza padrão m
50 Matemática
Outras medidas de comprimento são:
1 polegada (in) = 2,54 cm
1 pé (ft) = 30,48 cm
1 jarda (yd) = 91,44 cm
1 milha terrestre = 1.609 m 
1 milha marítima = 1.852 m
1 ano-luz = 9,5 · 1012 m
2.4.1.1 Medida padrão de superfície ou área
A medida padrão de superfície ou área é a medida em metros quadrados (m2). 
Consideramos uma unidade derivada do metro. 
Para realizar a conversão, devemos multiplicar (ou dividir) por 100 (Figura 5).
Figura 5
Unidades de área
x 100
÷ 100
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Fonte: Elaborada pela autora.
Exemplo 18
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 4 m2 = 40.000 cm2
 • 1 dam2 = 100 m2
 • 1 m2 = 0,01 dam2
O are é uma medida de área deri-
vada da medida padrão (metro). 
Um are é calculado usando a área 
de um quadrado de 10 metros de 
lado. Dessa forma, quantos metros 
quadrados tem um are?
Atividade 2
Aritmética elementar 51
2.4.1.2 Medida padrão de volume ou capacidade
A medida de volume padrão é o metro cúbico (m3), derivado do metro.
Para realizar a conversão, devemos multiplicar (ou dividir) por 1.000 (Figura 6).
Figura 6
Unidades de volume
x 1.000
÷ 1.000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Fonte: Elaborada pela autora.
Exemplo 19
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 4 m3 = 400.000 cm3
 • 1 dam3 = 1.000 m3
 • 1 m3 = 0,001 dam3
Algumas unidades de medida são aceitas pelo SI por serem muito utilizadas no 
dia a dia das pessoas. Entre elas, estão inclusos o litro (L), os graus – quando se 
trata de ângulos (º) – e a massa em toneladas (t).
Curiosidade:
•1 dm3 = 1 L (1 litro) 
•1 m3 = 1.000 L (1.000 litros)
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
2.4.2 Medida padrão de massa
A medida padrão de massa é o quilograma (kg). As medidas que o antecedem e 
o sucedem estão descritas na Figura 7.
52 Matemática
Figura 7
Unidades de massa
kg quilograma
hg hectograma
dag decagrama
g grama
dg decigrama
cg centigrama
mg miligrama
Fonte: Elaborada pela autora.
Para realizar a conversão, devemos multiplicar (ou dividir) por 10 (Figura 8).
Figura 8
Conversão de unidades de massa
x 10
÷ 10
kg hg dag g dg cg mg
Fonte: Elaborada pela autora.
Curiosidade:
• 1 tonelada (1 t) = 1.000 kg
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Portanto, o processo de conversão é bastante simples, mas requer atenção.
2.4.3 Medidas de tempo
A medida de tempo padrão é o segundo (s). Observe que a representação corre-
ta é feita por meio da letra s e não seg.
Para realizar a conversão, devemos multiplicar (ou dividir) por 60:
Como temos feito ao longo 
da obra e, ainda, pensando 
em fixar o conteúdo 
aprendido até o momento, 
sugerimos dois materiais 
da plataforma da Khan 
Academy, em que é possí-
vel rever conceitos e fazer 
alguns exercícios.
Revisão das unidades de 
comprimento do sistema 
métrico (mm, cm, m e km).
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/6-ano-matematica/
grandezas-e-medidas/conversao-de-
-unidades/a/metric-units-of-length-
-review. Acesso em: 12 jan. 2021.
Revisão das unidades de 
massa do sistema métrico 
(g e kg). 
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/6-ano-matematica/
grandezas-e-medidas/conversao-de-
-unidades/a/metric-units-of-mass-
-review. Acesso em: 12 jan. 2021.
Saiba mais
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-length-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-length-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-length-review
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https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-length-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-mass-reviewhttps://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-mass-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-mass-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-mass-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-mass-review
Aritmética elementar 53
Figura 9
Unidades de tempo
hora minuto segundo
x 60
÷ 60
Fonte: Elaborada pela autora.
Com relação à medida de tempo, é comum realizarmos diversos tipos de con-
versão. Por exemplo, ano em dias, dias em horas, horas em minutos e minutos em 
segundos (assim como o inverso):
 • 1 dia = 24 horas = 1.440 minutos.
 • 1 minuto = 60 segundos; 60 minutos = 1 hora; 1 hora = 3.600 segundos.
Para fixar o conteúdo 
sobre medidas de tempo, 
sugerimos o conteúdo, 
da plataforma da Khan 
Academy, intitulado Revisão 
da conversão de unidades de 
tempo (segundos, minutos 
e horas).
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/6-ano-matematica/
grandezas-e-medidas/conversao-de-
-unidades/a/converting-units-of-ti-
me-review. Acesso em: 12 jan. 2021.
Saiba mais
2.5 Logaritmos
Vídeo Considere dois números a, b ∈ +
* (reais positivos diferentes de zero) e 
b ≠ 1. O número x, dado por x = logba, é chamado logaritmo de a na base b 
(LIMA et al., 2016).
Nomenclatura:
 • a é o logaritmando
 • b é a base
 • x é o logaritmo
Podemos relacionar uma forma logarítmica com uma forma exponencial, obten-
do logb a = x ⇔ bx = a, desde que a, b > 0 e b ≠ 1. A condição de existência para essas 
equações está em a, b > 0 e b ≠ 1.
Exemplo 20
Fazendo o cálculo a seguir para encontrar o valor de x, temos:
logx256 = 4
x4 = 256
x � � 2564
A condição de existência para a base do logaritmo respeita x > 0 e x ≠ 1, logo:
x � � 2564
x = 284
Resposta:
x = = =2 2 4
8
4 2
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/converting-units-of-time-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/converting-units-of-time-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/converting-units-of-time-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/converting-units-of-time-review
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54 Matemática
Exemplo 21
O logaritmo de 729 em certa base é 6. Qual é essa base?
Aqui recaímos no mesmo caso do exemplo anterior, mas agora temos:
logx729 = 6
Logo:
x6 = 729
x6 = 36
Resposta: x = 3
A consequência imediata dessa definição nos permite escrever:
 • logb1 = 0 ⇔ b0 = 1
 • logbb = 1 ⇔ b1 = b
 • logbb
m = m
 • b =logbm m
Exemplo 22
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
a) log2 256
log log2 2
8256 2 8= =
b) log1
3
243
log log1
3
5
1
3
5
3 1
3
5� �
�
�
�
�
� � �
�
c) log5
3
27
125
log log5
3
3
5
3
33
5
5
3
3�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
d) log2
3
729
64
log log2
3
6
2
3
63
2
2
3
6�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
Aritmética elementar 55
e) log
2 2
32
log log
.2 2
1
2
5
2
3
2
52 2x =
2 2
3
2 5
x
=
x = 10
3
f) log ,10 0 001
log
.
log10 10
31
1 000
10 3� � ��
2.5.1 Propriedades operatórias
As propriedades operatórias respeitam a definição e, dessa forma, são direta-
mente relacionadas à possibilidade de transformação de um logaritmo em uma 
exponencial.
2.5.1.1 Logaritmo de um produto
Se b > 0, b ≠ 1, p > 0 e q > 0, então logb (p · q) = logb p + logb q
Exemplo 23
Fazendo o cálculo a seguir, temos:
log2 4 = log2 2 · 2 = log2 2 + log2 2 = 1 + 1 = 2
Observe que, nesse exemplo, também poderíamos usar:
log2 4 = log2 2
2 = 2
Exemplo 24
Sabendo que log 2 ≈ 0,3 e log 3 ≈ 0,477, calcule log 6.
log 6 = log 2 · 3 = log 2 + log 3 = 0,3 + 0,477 = 0,777
56 Matemática
Antes de resolver o Exemplo 24, é importante notar que a base não está aparen-
te nessa representação. Sempre que isso ocorre, temos um logaritmo decimal, ou 
seja, um logaritmo na base 10.
Os logaritmos decimais têm grande importância devido ao uso das tábuas de 
logaritmos e ao fato de que muitas calculadoras trabalham com essa base. Isso 
se dá porque o nosso sistema de numeração possui a base decimal como padrão.
Para saber mais sobre as tábuas logarítmicas, sugerimos a leitura do artigo Gauss e a tábua 
dos logaritmos. Nele, o autor Gert Schubring apresenta um pouco da história da matemática e 
relaciona o uso dos logaritmos às aplicações na área da geometria, o que auxiliou no desen-
volvimento dessa área.
Acesso em: 12 jan. 2021. 
http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-24362008000300004
Artigo
2.5.1.2 Logaritmo de um quociente
Se b > 0,�b 1,�p > 0�e�q > 0≠ , então:
log log logb b b
p
q
p q� �
Exemplo 25
Fazendo o cálculo a seguir, temos:
log log log log log2 2 2 2
4
2
16
2
16 2 2 2 4 1 3� � � � � � �
Aqui, poderíamos ainda ter resolvido da seguinte forma:
log log log2 2 2
316
2
8 2 3= = =
Exemplo 26
Sabendo que log 2 = 0,3, calcule log 5.
Para isso, usaremos log .10
2
Assim:
log log log log , , 5 10
2
10 2 1 0 3 0 7� � � � � �
http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-24362008000300004
Aritmética elementar 57
2.5.1.3 Logaritmo de uma potência
Se b > 0, b ≠ 1, a > 0, m ∈ ℝ, então logbam = m ⋅ logba
Exemplo 27
Fazendo o cálculo a seguir, temos:
log3 9
4 = log3 (3
2)4 = log3 3
8 = 8 log3 3 = 8 ⋅ 1 = 8
Esse exemplo também poderia ser feito da seguinte maneira:
log3 9
4 = x
3x = 94
3x = (32)4
3x = 38
x = 8
Observe que as propriedades apresentadas são reformulações da própria defini-
ção e manipulação desse conceito. Por esse motivo, fazemos questão de apresentar 
outras maneiras de resolver alguns dos exemplos, visto que as propriedades podem 
ser formatadas de acordo com a necessidade e agilidade no processo de cálculo.
2.5.2 Mudança de base
Considere b, c > 0; b, c ≠ 1; a > 0. Então:
log
log
logb
c
c
a
a
b
=
A propriedade de mudança de base pode, ainda, ser reescrita como:
log log logb c ca b a� �
A escolha pela mudança de base se dá quando há necessidade de resolver um 
problema em que não conhecemos o valor de determinado logaritmo naquela 
base informada, mas, por meio da mudança de base, podemos recair em um 
valor conhecido.
É muito comum usar a mudança de base para transformar logaritmos em ba-
ses quaisquer para a base decimal. Isso se dá pela possibilidade de utilização de 
calculadoras simples que, muitas vezes, não permitem o cálculo de logaritmos em 
outras bases.
Os logaritmos são muito usados 
como ferramenta para a resolução 
de problemas (equações) na 
forma 2x = 5. Nesse caso, 
fazemos log
2
2x = log
2
 5. Para essa 
situação, qual é a propriedade dos 
logaritmos que podemos usar para 
calcular o valor de x?
Atividade 3
58 Matemática
Exemplo 28
Se desejamos calcular o valor de log ,,0 9 0 2 usando uma calculadora simples, 
fazemos:
log ,
log ,
log ,
,,0 9
10
10
0 2
0 2
0 9
15 2755= =
Aqui, caso tivéssemos informado no enunciado os valores de log , �2 0 3= e 
log ,3 0 477= , poderíamos escrever:
log ,
log ,
log ,
log
log
log log
log lo,0 9
10
10
2
0 2
0 2
0 9
2
10
9
10
2 10
3
� � �
�
� gg �
,
,
,
,
,
10
0 3 1
2 0 477 1
0 7
0 046
15 217� �� � � �
�
�
�
Observe que a diferença dos valores após a segunda casa decimal se dá pelo 
ajuste (arredondamento) nos valores para log 2 e log 3.
2.5.3 Logaritmo neperiano (ou natural)
Um logaritmo natural nada mais é do que um logaritmo cuja base vale
e � �2 71828, Os logaritmos naturais também são chamados de neperianos ou de 
Napier e sua base, o número e, é um número irracional, conhecido como número de 
Euler. Representamos por:
ln(x) = loge x
Para saber mais sobre a história do número de Napier