apostila matematica basica1

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59792
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-65-582-1004-7
9 7 8 6 5 5 8 2 1 0 0 4 7
Matemática 
Marina Vargas
IESDE BRASIL
2021
© 2021 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito da autora 
e do detentor dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: faridaillustrator/Shutterstock
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Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
V427m
Vargas, Marina
Matemática / Marina Vargas. - 1. ed. - Curitiba [PR] : Iesde, 2021. 
150 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-65-5821-004-7
1. Matemática - Estudo e ensino. I. Título.
21-68622 CDD: 510.7
CDU: 51(07)
Marina Vargas Pós-doutora, doutora e mestre em Métodos Numéricos 
em Engenharia pela Universidade Federal do Paraná 
(UFPR). Especialista em Educação Matemática pela 
Universidade Paranaense (Unipar). Licenciada em 
Matemática pela mesma instituição. Professora no 
ensino superior nas modalidades presencial e a 
distância, ministrando as disciplinas: Cálculo de funções 
de uma e mais variáveis, Álgebra Linear, Geometria 
Analítica, Métodos Numéricos, Teoria dos Números, 
Pesquisa Operacional, Matemática Aplicada, Estatística 
Aplicada e Métodos Quantitativos. Atua também como 
professora conteudista em diversas instituições e 
empresas. Atualmente desenvolve pesquisa na área de 
programação matemática, mecânica computacional, 
educação matemática e educação em engenharias.
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SUMÁRIO
1 Conjuntos e relações 9
1.1 Representação 9
1.2 Subconjuntos 16
1.3 Operações com conjuntos e propriedades 17
1.4 Conjuntos numéricos 27
2 Aritmética elementar 35
2.1 Potenciação e radiciação 35
2.2 Racionalização de denominadores 42
2.3 Notação científica 46
2.4 Sistemas de medidas 48
2.5 Logaritmos 53
3 Álgebra elementar 60
3.1 Expressões algébricas 60
3.2 Polinômios 62
3.3 Operações de polinômios com uma variável 70
3.4 Produtos notáveis 73
3.5 Fatoração 77
3.6 Expressões algébricas envolvendo raízes 80
4 Equações e funções do 1º e 2º graus 84
4.1 Equação do 1º grau 84
4.2 Função do 1º grau 89
4.3 Equação do 2º grau 95
4.4 Função do 2º grau 101
5 Proporcionalidade entre variáveis 109
5.1 Razão e proporção 109
5.2 Regra de três simples 118
5.3 Regra de três composta 122
5.4 Porcentagem 127
6 Matemática financeira 134
6.1 Equação exponencial 134
6.2 Equação logarítmica 140
6.3 Juros simples e aplicações 144
6.4 Juros compostos e aplicações 147
APRESENTAÇÃOVídeo
A matemática por trás das nossas ações do cotidiano é muitas vezes feita 
por processos intuitivos e automáticos, que servem para resolver problemas 
imediatos ou situações de planejamento a longo prazo, mas, em geral, sem 
aprofundamento em técnicas ou métodos.
É comum que sintamos falta de processos que nos permitam organizar 
determinadas situações e/ou problemas de maneira mais ágil e otimizada.
Além da percepção dessa necessidade natural, é essencial uma base 
matemática forte, com conceitos bem compreendidos, quando pretendemos 
aprender teorias avançadas na área das exatas e em áreas correlatas.
Pensando nessas exigências, esta obra tem por objetivo dar suporte, 
fazendo com que você relembre (ou até mesmo aprenda) conceitos que 
formam a base matemática, permitindo que possam ser aplicados em 
situações práticas e servindo de estrutura para novas técnicas, novas teorias 
e métodos comuns a estudantes universitários.
Assim, o primeiro capítulo apresenta a teoria de conjuntos, fazendo com 
que sejam percebidas as relações entre conjuntos e elementos, além do 
conceito de conjuntos numéricos, fundamental para o desenvolvimento 
cognitivo desde a educação infantil até o seu aperfeiçoamento nas fases 
mais avançadas da vida.
O segundo capítulo trabalha a aritmética elementar, permitindo que 
sejam retomados os conceitos de potenciação, radiciação, racionalização, 
sistemas de medidas e notação científica. Ainda, ao final do capítulo, 
é possível usar todas essas propriedades e definições aplicadas aos 
logaritmos, estabelecendo uma relação direta e necessária para uma melhor 
compreensão desses conceitos.
O terceiro capítulo trata da álgebra elementar e é nele que começam 
a aparecer as variáveis (letras representando números) e a necessidade 
de calcularmos seus valores. Nesse capítulo desenvolvemos o conceito 
de fatoração, produtos notáveis e polinômios, aplicados à necessidade do 
cálculo de raízes de equações.
O quarto capítulo aborda especificamente as equações e funções de 
1º e 2º graus. São elucidadas técnicas que permitem que se desenvolva o 
raciocínio lógico desses conceitos.
Já no quinto capítulo, começamos o estudo do que pode ser chamada 
de matemática financeira introdutória. É nele que aparecem os conceitos de 
razão e proporção, grandezas diretamente e inversamente proporcionais, 
regras de três e porcentagem.
O sexto e último capítulo ainda aborda a matemática financeira 
introdutória. Nele trabalhamos com as funções exponenciais e logarítmicas 
e os problemas que envolvem juros simples e compostos.
Em suma, este livro apresenta as informações básicas para a compreensão 
geral da matemática e destina-se tanto a estudantes de cursos na área de 
exatas quanto a entusiastas do raciocínio lógico, o qual está presente em 
nossas vidas.
Bons estudos!
Os automóveis são os elementos de um conjunto.
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ck
1
Conjuntos e relações
Será que existe um conteúdo que é importante em todos os anos letivos de 
estudo, seja no ensino fundamental, no médio ou no superior?
Sim, existe, e esse conteúdo chama-se conjuntos.
A teoria de conjuntos é riquíssima como embasamento teórico para as mais 
diversas áreas da matemática, mas não só para essa ciência. As aplicações da 
teoria de conjuntos estendem-se para as demais áreas das exatas, da tecnolo-
gia, das ciências biológicas, das ciências sociais e até mesmo das ciências huma-
nas, em que existe o mito de que não se estuda matemática.
Entender as relações entre conjuntos é fundamental para o desenvolvimen-
to cognitivo desde a educação infantil até o seu aperfeiçoamento nas fases 
mais avançadas da vida. Portanto, não poderíamos começar de outra forma. 
Seja bem-vindo à teoria dos conjuntos e suas relações.
1.1 Representação
Vídeo Conjunto é uma noção primitiva, podendo ser defini-
do como qualquer coleção, dentro de um todo de obje-
tos definidos e distinguíveis – chamados elementos 
– de nossa intuição ou pensamento. Essa definição 
baseia-se na teoria dos conjuntos, desenvolvida pelo 
matemático russo Georg Cantor em 1867.
Podemos citar diversos exemplos de conjuntos:
1. conjunto de automóveis;
2. conjunto de números;
3. conjunto de profissões etc.
Conjuntos e relações 9
 Wi
kim
ed
ia 
Co
m
m
on
s
Cantor em 1910.
10 Matemática
Mas como podemos representar todos esses conjuntos? Existem algumas for-
mas de representação. Vamos analisar na sequência algumas das mais utilizadas.
1.1.1 Listagem e Venn
Uma das maneiras mais visuais são os elementos den-
tro de curvas fechadas, como circunferências e outras 
poligonais.
Esse tipo de representação é chamada de diagra-
ma de Venn (Figura 1), e carrega esse nome porque o 
matemático e filósofo inglês John Venn foi o primei-
ro a formalizar esse método e adotá-lo em situações 
que exigiam generalização.
Venn em 1883.
M
aull & Fox. Studio/W
ikim
edia Commons
Figura 1Diagrama de Venn
Também foi ele quem transformou a representação, por meio de curvas fecha-
das, em um método simples e claro. Contudo, o seu uso em escolas só se deu a 
partir da década de 1960 com o movimento conhecido por Matemática Moderna.
Ficou curioso para saber mais sobre a Matemática Moderna? Então faça 
a leitura do artigo O Movimento da Matemática Moderna e as iniciativas de 
formação docente, de Antonio Flavio Claras e Neuza Bertoni Pinto. Os autores 
retratam uma parte importante da história da matemática e, consequente-
mente, de matemáticos que estiveram envolvidos no desenvolvimento de 
diversas teorias, como na teoria de conjuntos.
Acesso em: 12 jan. 2021. 
https://educere.bruc.com.br/arquivo/pdf2008/863_662.pdf
Artigo
https://educere.bruc.com.br/arquivo/pdf2008/863_662.pdf
Conjuntos e relações 11
Assim, um conjunto de profissões (engenheiro, designer, marceneiro etc.) pode 
ser representado da seguinte forma:
Figura 2
Conjunto de profissões
P
U
· Engenheiro
· Marceneiro
· Designer
Fonte: Elaborada pela autora.
Portanto, P é o conjunto de profissões. A letra grega U está sendo usada para 
representar um conjunto maior, que nomeamos de conjunto universo – esse con-
junto será melhor definido na sequência.
Uma outra forma de representação de conjuntos é feita por meio de listagens. 
Desse modo, podemos adotar o mesmo conjunto de profissões da Figura 2 e repre-
sentá-lo da seguinte maneira:
P = {Engenheiro, Marceneiro, Designer}
Ainda, é possível representar um conjunto usando a definição dos elementos 
que o compõem. Nesse caso, fazemos:
P = {x|x é uma profissão}
Algumas questões precisam ser levantadas para a correta representação de 
um conjunto.
Definimos que:
 • o nome de um conjunto será representado por letras maiúsculas;
 • os elementos de um conjunto serão representados por letras minúsculas, 
com exceção apenas dos casos em que nomeamos o elemento.
Dessa forma, podemos transformar os substantivos anteriormente usados para 
representar os elementos do conjunto profissões de modo simbólico por meio de 
letras minúsculas do nosso alfabeto. Portanto:
 • Engenheiro: e
 • Marceneiro: m
 • Designer: d
E, com isso, temos uma representação na seguinte forma:
12 Matemática
Figura 3
Conjunto P
P
U
· e
· m
· d
Fonte: Elaborada pela autora.
Com essa representação, podemos começar a trabalhar as relações entre ele-
mento e conjunto.
1.1.2 Pertinência
Elementos de um conjunto sempre “pertencem” ou “não pertencem” a ele. 
Assim, podemos dizer que:
 • Aveia (a) é um elemento que 
pertence (∈) ao conjunto dos 
cereais (C).
 • Carambola (c) é um elemento que 
não pertence (∉) ao conjunto das 
leguminosas (L).
 • Banana (b) é um elemento que 
pertence (∈) ao conjunto das 
frutas (F).
ifong/Shutterstock
Anna Sedneva/Shuttersto
ck
Iurii Kachkovskyi/Shuttersto
ck
Conjuntos e relações 13
Para representar essas expressões apenas com a simbologia matemática, respei-
tando a legenda adotada para os substantivos, podemos escrever respectivamente:
 • a ∈ C
 • c ∉ L
 • b ∈ F
A figura a seguir mostra esses três conjuntos representados pelo diagrama 
de Venn.
Figura 4
Conjuntos C, L e F
Aveia Feijão
Banana
Trigo Ervilha
Carambola
U
C
F
L
Fonte: Elaborada pela autora.
Mas por que podemos representar dessa forma? Qual é a lógica para essa re-
presentação e por que existem espaços em branco nessa representação dos con-
juntos no diagrama de Venn? Logo responderemos a essas questões.
No caso do conjunto de profissões, temos que e ∈ P; d ∈ P; m ∈ P. Portanto, po-
demos escrever:
P = {e, d, m}
Note que a correspondência que 
estamos apresentando se dá entre 
um elemento e um conjunto.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
A seguir, trazemos mais alguns exemplos da utilização da relação de pertinência 
entre elemento e conjunto:
 • 2 ∈ {2, 3, 4, {5}}
 • 1 ∉ {2, 3, 4, {5}}
 • {5} ∈ {2, 3, 4, {5}}
14 Matemática
Observe que nesse exemplo o conjunto {5} é um elemento do conjunto {2, 3, 4, {5}}.
Dessa forma, temos a ferramenta necessária para relacionar elemento e con-
junto. Em seguida, vamos expor alguns conjuntos ditos especiais.
1.1.3 Conjuntos especiais
Chamamos de conjuntos especiais aqueles que possuem características distintas 
e bem definidas com relação à quantidade de elementos que os compõem. Vamos 
entendê-los.
1.1.3.1 Vazio
Quando um conjunto não possui elementos, dizemos que esse conjunto é vazio 
e podemos representá-lo da seguinte forma:
 • A = {}
 • A = ∅
Note que {∅} é diferente de {}. 
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Ele também pode ser representado pelo diagrama de Venn, como mostra a 
figura a seguir.
Figura 5
Diagrama de Venn representando um conjunto vazio
A
U
Fonte: Elaborada pela autora.
1.1.3.2 Unitário
Um conjunto unitário é aquele que apresenta apenas um elemento. Por exem-
plo, o conjunto de estrelas do sistema solar – sabemos que no sistema solar temos 
apenas o Sol como estrela.
A relação de pertinência se dá 
entre elemento e conjunto. Os nú-
meros pares formam um conjunto 
numérico, em que cada elemento 
(cada número par) é um número 
pertencente a esse conjunto. 
Então, como podemos representar 
o conjunto dos números pares 
positivos?
Atividade 1
Conjuntos e relações 15
Exemplo 1
Conjunto de estrelas do sistema solar: E
Assumindo que o sistema solar possui uma única estrela, que é o próprio Sol, 
escrevemos:
s ∈ E (lê-se: o elemento s pertence ao conjunto E).
E = {s}
Portanto, E é um conjunto unitário.
1.1.3.3 Universo
O chamado conjunto universo é composto de todos os elementos que queiramos 
classificar segundo determinada necessidade.
Assim, o conjunto universo das frutas deve ser composto de todas as frutas 
existentes. Já o conjunto universo dos engenheiros deve ser composto de todas as 
categorias de engenheiros existentes.
Em geral, o conjunto universo é representado pela letra E, mas pode aparecer 
com outras nomenclaturas, dependendo da área em que está sendo aplicado.
1.1.3.4 Conjunto finito
Um conjunto é dito finito quando é possível contar a quantidade de elementos 
que o compõe.
Muitos são os conjuntos com essa característica ao nosso redor, por exemplo: 
conjunto de profissões, conjunto de frutas, conjunto de escolas etc.
1.1.3.5 Conjunto infinito
Um conjunto é dito infinito quando não é possível determinar a quantidade de 
elementos que o compõe. Dessa forma, podemos dar alguns exemplos de conjun-
tos com essa característica:
 • I = {i | i é ímpar}
 • P = {a│a é par}
 • Q = {s│s são os múltiplos de 3}
Vistos os conjuntos especiais e a relação de pertinência, já podemos aplicar 
esses conceitos em diversas situações. No entanto, ainda precisamos operar esses 
conjuntos. A seguir, vamos entender esse processo.
16 Matemática
1.2 Subconjuntos
Vídeo Relacionar conjuntos também pode ser interpretado como operar com conjun-
tos. Quando todos os elementos de um conjunto pertencem a um outro conjunto, 
temos uma relação de continência.
Se um conjunto (B) está contido em outro conjunto (A) (relação de continência), 
dizemos que B é um subconjunto de A. Portanto, a relação entre dois conjuntos se 
dá entre “estar contido” ou “conter” o outro conjunto.
Dessa forma, se todos os elementos de um conjunto B pertencem a um conjun-
to A, além de dizermos que B é um subconjunto de A, também podemos afirmar 
que B está contido em A.
Visualmente podemos entender esse conceito por meio do diagrama de Venn, 
como mostra a figura a seguir.
Figura 6
Subconjuntos
U
A
B
C
1
2
3
4
5
6
7
Fonte: Elaborada pela autora.
Analisando a Figura 6, podemos escrever:
 • A = {1, 2, 3, 4}
 • B = {2, 3, 4}
 • C = {5, 6, 7}
 • B ⊂ A. Lê-se: B está contido em A
 • A ⊃ B. Lê-se: A contém B
 • C ⊄ A. Lê-se: C não está contido em A
 • A ⊅ C. Lê-se: A não contém C
Conjuntos e relações 17
Note que a representação simbólica para 
as relações de continência é dada por: 
⊂ (está contido), ⊃ (contém), ⊄ (não está 
contido), ⊅ (não contém).
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ckObservações:
 • A ⊂ A – dizemos que todo conjunto está contido nele próprio, ou seja, é 
subconjunto dele mesmo.
 • {} ⊂ A – o conjunto vazio sempre está contido em qualquer conjunto. Portan-
to, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto.
 • Se B ⊂ A, mas B ≠ A, dizemos que B é subconjunto próprio de A (esse é o caso 
em que A tem elementos que B não tem).
 • Se A é subconjunto de B e B é subconjunto de A, falamos que A e B são con-
juntos iguais, isto é, se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B.
Exemplo 2
Considere o conjunto A = {3, 4, 7} e o conjunto B = {3, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 7}.
Os elementos de A são os números 3, 4 e 7.
Os elementos de B são 3, 4 e 7.
Portanto, A ⊂ B e B ⊂ A. Logo, A = B.
Assim, podemos relacionar e verificar se um conjunto contém ou está contido 
em outros, fazendo com que também identifiquemos algumas relações de perti-
nência entre os elementos desses conjuntos.
1.3 Operações com conjuntos e propriedades
Vídeo
As operações realizadas com conjuntos fazem a relação, dois a dois, desses con-
juntos, tendo como resposta um novo conjunto. A esse tipo de relação damos o 
nome de relação binária ou operações binárias.
As operações que apresentaremos são: união, intersecção, diferença e comple-
mentariedade. Vamos entendê-las a seguir.
18 Matemática
1.3.1 União
A união entre dois conjuntos tem como resultado um novo conjunto com ele-
mentos que pertencem ao primeiro conjunto ou ao segundo conjunto. Aqui, cha-
mamos a atenção para a conjunção alternativa ou.
Desse modo, consideremos dois conjuntos A e B. Fazer a união desses dois 
significa que construiremos um novo conjunto com elementos que pertencem ao 
conjunto A ou ao conjunto B.
A notação para essa operação será dada por A∪B.
Podemos também representar essa operação por meio da expressão:
A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Onde x são os elementos.
Outra forma de representar a união entre conjuntos pode ser observada na 
figura a seguir.
Figura 7
União entre conjuntos
U
A B
A ∪ B
Fonte: Elaborada pela autora.
Um fato importante é que, quando desconhecemos quais são os elementos 
de um conjunto ou quando não queremos nomeá-los um a um, representamos a 
quantidade total de elementos por meio da notação n (nome do conjunto).
Desse modo, se um conjunto A possui 5 elementos, podemos escrever:
n(A) = 5
Se o conjunto união (A ∪ B) entre dois conjuntos A e B possui 7 elementos, 
escrevemos:
n(A∪B) = 7
Conjuntos e relações 19
Exemplo 3
De uma turma de 50 alunos, 
sabemos que 17 farão vestibular para 
Medicina e 11 farão vestibular para Di-
reito. Quantos alunos farão vestibular 
para Medicina ou Direito?
Aqui chamamos a atenção para a 
conjunção ou.
A interpretação do questionamento feito é: quantos alunos ao todo farão vesti-
bular para Medicina ou Direito?
Quando se coloca ao todo, já é possível perceber que teremos que somar algu-
ma coisa. Portanto, nesse exemplo, como não há alunos que farão vestibular para 
os dois cursos ao mesmo tempo, podemos apenas somar os dois grupos. 
Sendo M o conjunto dos alunos que farão vestibular para Medicina e D e conjun-
to dos alunos que farão vestibular para Direito:
n(M) = 17
n(D) = 11
Assim, temos:
n(M) + n(D) = 17 + 11 = 28
Resposta: 28 alunos farão o vestibular para Medicina ou Direito.
A figura a seguir representa esse exemplo por meio do diagrama de Venn.
Figura 8
União entre conjuntos
U
M
D
17
11
50
Fonte: Elaborada pela autora.
AV
N 
Ph
ot
o 
La
b/
Sh
ut
te
rs
to
ck
20 Matemática
A relação de união entre conjuntos possibilita encontrarmos o total de elemen-
tos em dois ou mais conjuntos.
1.3.2 Intersecção
O estudo da intersecção entre conjuntos nos auxiliará no entendimento tam-
bém de alguns exemplos que envolvem união.
A intersecção entre dois conjuntos tem como resultado um novo conjunto com 
elementos que pertencem ao primeiro conjunto e ao segundo conjunto. Aqui, cha-
mamos a atenção para a conjunção aditiva e.
Dessa maneira, sejam dois conjuntos A e B. Fazer a intersecção desses conjun-
tos significa que construiremos um novo conjunto com elementos que pertencem 
ao conjunto A e ao B ao mesmo tempo.
A notação para essa operação será dada por A∩B.
Podemos, ainda, representar essa operação por meio da expressão:
A∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Onde x são os elementos.
Outra forma de representar a intersecção entre conjuntos pode ser observada 
na figura a seguir.
Figura 9
Intersecção entre conjuntos
U
A B
A∩B
Fonte: Elaborada pela autora.
O princípio da inclusão-exclusão nos auxiliará a resolver exercícios envolvendo 
situações de intersecção entre conjuntos. Vamos entendê-lo a seguir.
1.3.3 Princípio da inclusão-exclusão
Dentro da teoria de conjuntos, e particularmente relacionando a união e a in-
tersecção, existe uma fórmula para calcularmos o número de elementos de um 
conjunto união. Essa equação é conhecida como princípio da inclusão-exclusão.
Assista ao vídeo Intersecção 
e união de conjuntos da pla-
taforma da Khan Academy. 
Como a plataforma é 
gamificada e adaptativa, 
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acompanhar seu próprio 
desenvolvimento e partici-
par de outras atividades da 
plataforma.
Disponível em: https://pt-pt.khanaca-
demy.org/math/statistics-probability/
probability-library/basic-set-ops/v/
intersection-and-union-of-sets. 
Acesso em: 12 jan. 2021.
Vídeo
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/intersection-and-union-of-sets
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/intersection-and-union-of-sets
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/intersection-and-union-of-sets
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/intersection-and-union-of-sets
Conjuntos e relações 21
Para isso, temos a seguinte notação:
 • n(A) = número de elementos do conjunto A
 • n(B) = número de elementos do conjunto B
 • n(A∪B) = número de elementos da união entre os conjuntos A e B
Assim, podemos escrever:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Note que o número de elementos de um 
conjunto intersecção pode ser direta-
mente deduzido da expressão. Assim:
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B)
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Vamos analisar esse processo voltando ao nosso exemplo dos estudantes que 
farão vestibular.
Exemplo 4
De uma turma de 50 alunos, sabemos que 17 farão vestibular para Medicina, 
11 farão para Direito e 5 farão para Medicina e Direito. Quantos alunos farão vesti-
bular apenas para Medicina?
A Figura 10 representa o exemplo por meio do diagrama de Venn.
Figura 10
Intersecção entre conjuntos
U
M
D
17 – 5
50
11 – 5
5
Fonte: Elaborada pela autora.
22 Matemática
Observe na Figura 10 que conhecemos o número de estudantes que prestarão 
vestibular para os dois cursos ao mesmo tempo. Nesse caso, precisamos subtraí-
-los do total de alunos que prestará vestibular para Medicina e, também, subtrair 
do número total de alunos que prestará vestibular para Direito.
A intersecção entre os conjuntos M e N é dada pelos 5 alunos que prestarão 
vestibular para ambos os cursos.
Mas a pergunta do enunciado do exemplo é: quantos alunos prestarão vestibu-
lar apenas para Medicina?
Assim, precisamos exatamente daquela parte do conjunto onde não estão pre-
sentes os alunos que prestarão vestibular para Direito (Figura 11).
Figura 11
Apenas Medicina
U
M
D
17 – 5
50
11 – 5
5
Fonte: Elaborada pela autora.
Resposta: apenas 12 alunos farão vestibular só para Medicina.
Percebemos que a teoria de conjuntos está muito presente em situações co-
tidianas. Vamos ver uma situação que retrata conjuntos de profissões. Observe a 
imagem a seguir:
Figura 12
Conjunto das áreas de atuação das profissões
MOVELARIA
DESIGN
ENGENHARIA 
VEICULAR
DESIGN DE 
MÓVEIS
DESIGN DE 
VEÍCULOS
?
VEÍC
U
LO
S 
ES
PE
CI
AI
S
Fonte: Hellmeister, 2011, p. 34.
O conjunto mostrando a 
intersecção entre diferen-
tes profissões, que traz 
a pergunta “qual seria a 
profissão que é uma inter-
secção entre os conjuntos 
‘movelaria’, ‘engenharia 
veicular’ e ‘design’?", foi 
apresentado na disserta-
ção de mestrado de Victor 
Hellmeister, para obtenção 
de título na área de design. 
Você pode conferir a 
dissertação na íntegra 
acessando o link a seguir.
Disponível em: https://acervodigital.
ufpr.br/handle/1884/28443. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Saiba mais
https://acervodigital.ufpr.br/handle/1884/28443
https://acervodigital.ufpr.br/handle/1884/28443
Conjuntos e relações 23
Transformando essa imagem em uma estrutura matemática, percebemos que 
ela é semelhante à situação apresentada na figura a seguir. Desse modo, visuali-
zamos na Figura 13 que a intersecção entre os três conjuntos (A, B e C) pode ser 
representada por A∩B∩C.
Figura 13
Intersecção entre os conjuntos A, B e C
U
A
C
B
A∩B
A ∩B∩C
A∩C B∩C
Fonte: Elaborada pela autora.
Mas, além disso, ainda temos uma área onde a intersecção está apenas entre 
os conjuntos A e B.
A Figura 14 representa a intersecção entre os conjuntos A e B por meio do dia-
grama de Venn.
Figura 14
Intersecção entre A e B
U
A
C
B
A∩B
A ∩B∩C
A∩C B∩C
Fonte: Elaborada pela autora.
Ainda, existe uma intersecção apenas entre os conjuntos B e C e outra intersecção 
apenas entre os conjuntos A e C. Essas estão representadas nas figuras a seguir por 
meio do diagrama de Venn.
24 Matemática
U
A
C
B
A∩B
A ∩B∩C
A∩C B∩C
Figura 15
Intersecção entre B e C
Figura 16
Intersecção entre A e C
Fonte: Elaborada pela autora.
U
A
C
B
A∩B
A ∩B∩C
A∩C B∩C
Fonte: Elaborada pela autora.
É importante lembrar que quando a intersecção entre dois conjuntos é nula, ou 
seja, é um conjunto vazio, dizemos que esses conjuntos são disjuntos.
1.3.4 Diferença
A diferença entre dois conjuntos A e B é definida assumindo-se os elementos 
que pertencem a A e não pertencem a B.
A notação para essa operação é dada por A – B ou CB
A .
Podemos também representar essa operação por meio da expressão:
A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Onde x são os elementos.
A figura a seguir representa a diferença entre os conjuntos A e B por meio do 
diagrama de Venn.
Figura 17
Diferença entre A e B
U
A B
A – B
Fonte: Elaborada pela autora.
Conjuntos e relações 25
A mesma ideia poderia ser aplicada se quiséssemos conhecer a diferença (B – A) 
entre os conjuntos A e B. Desse modo, teríamos como resposta os elementos que 
pertencem a B e não pertencem a A.
1.3.5 Complementar
O complementar de dois conjuntos é obtido por meio de uma operação de dife-
rença, como vimos anteriormente. Assim, se desejamos encontrar o complementar 
de A em U, fazemos U – A.
A notação, nesse contexto, é dada por A =C =U AC U
A − . Também é comum encon-
trarmos a notação A . Nesse último caso, dizer que x ∈ A é o mesmo que dizer que 
x ∉ A. Portanto, temos uma operação conhecida por operação de negação – esse 
termo é recorrente em aplicações, como em circuitos lógicos e sistemas digitais.
O diagrama de Venn a seguir representa o conjunto complementar de A em 
relação ao conjunto universo.
Figura 18
Complementar de A em U: A U A�= C = C U
A−
A
U
U A�= C = AU
A C−
Fonte: Elaborada pela autora.
Para representar o complementar de um conjunto B em relação ao conjunto 
universo, fazemos:
B =U B=CC U
B−
Existe um conjunto de propriedades conhecidas por Leis de Morgan que nos 
auxilia na resolução de situações entre conjuntos que envolvam complementares. 
São elas:
 • A B = A B
C C C�� � � 
 • A B A B�� � �C C C= 
1.3.6 Propriedades
Nesta seção, trabalharemos algumas propriedades importantes da teoria de 
conjuntos.
Qual conjunto é complementar do 
conjunto universo?
Atividade 2
Para reforçar o conceito 
de conjunto universo e 
de complemento de um 
conjunto, assista ao vídeo 
Universo e complementar de 
um conjunto, da plataforma 
da Khan Academy, que 
traz exemplos justamente 
dessa teoria.
Disponível em: https://pt-pt.khanaca-
demy.org/math/statistics-probability/
probability-library/basic-set-ops/v/
universal-set-and-absolute-comple-
ment. Acesso em: 30 nov. 2020.
Vídeo
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement
26 Matemática
 • Transitividade
Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C. 
Demonstração:
Se x ∈ A, então x ∈ B, porque A ⊂ B.
Se x ∈ B, então x ∈ C, porque B ⊂ C.
Logo, x ∈ A, x ∈ B e x ∈ C.
Assim, temos que:
Se x ∈ A, então x ∈ C.
 • Associatividade
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
 • Comutatividade
A∩B = B∩A
A∪B = B∪A
 • Distributividade
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
A figura a seguir representa o passo a passo para a construção da proprieda-
de distributiva A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) por meio do diagrama de Venn.
Figura 19
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
A A A
AAA
A
B B B
BBB
C C C
CCC
A∩B A∩C
A∩(B∪C)
(A∩B)∪(A∩C)
B∪C
Fonte: Elaborada pela autora.
Vimos que é possível representar as propriedades entre conjuntos por meio 
do diagrama de Venn. Que tal você tentar montar um esquema semelhante ao da 
Figura 19 para todas as propriedades?
Já sugerimos vídeos da pla-
taforma da Khan Academy 
e agora destinamos esse 
espaço para sugerir ativida-
des que podem ser resolvi-
das também na plataforma. 
Como nosso tema são as 
operações com conjuntos, 
indicamos as atividades 
disponíveis no link a seguir. 
Dessa forma, você poderá 
reforçar e fixar o conteúdo 
de maneira gamificada e 
divertida.
Disponível em: https://pt-pt.khanaca-
demy.org/math/statistics-probability/
probability-library/basic-set-ops/e/
basic_set_notation. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Saiba mais
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/e/basic_set_notation
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/e/basic_set_notation
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/e/basic_set_notation
https://pt-pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/e/basic_set_notation
Conjuntos e relações 27
1.4 Conjuntos numéricos
Vídeo Um conjunto numérico é um conjunto composto de números. Mas que núme-
ros são esses?
A divisão dos conjuntos numéricos é realizada por meio de algumas caracterís-
ticas importantes, como: se os números são inteiros, se os números são positivos 
etc. Temos uma divisão clássica na literatura, que pode ser observada na figura 
a seguir.
Figura 20
Conjuntos numéricos
Fonte: Elaborada pela autora.
Podemos montar uma relação de inclusão utilizando o conceito de subconjun-
tos numéricos. Assim, temos:
N Z Q R C⊂ ⊂ ⊂ ⊂
I R⊂
Q I R� �
Vamos analisar cada um desses conjuntos. Suprimimos apenas o conjunto dos 
números complexos (N Z Q R C⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ) por se tratar de tema para outra obra.
1.4.1 Naturais
Números naturais () são os elementos numéricos, inteiros e positivos de 
um conjunto.
Entendemos que essa definição de conjunto natural se enquadra no conceito 
de sistema de numeração indo-arábico, o qual tem base decimal e caráter posicio-
nal. Dessa forma, o valor de cada algarismo depende diretamente da posição que 
esse ocupa.
 = 0,1, 2, 3... � � 
28 Matemática
A seguir é apresentado um conjunto dos números naturais sem o elemento zero:
* � �� �1 2 3, , ,
1.4.2 InteirosNúmeros inteiros () são os elementos numéricos, inteiros, positivos e negati-
vos de um conjunto.
 � � � � �� �, , , , , , 2 1 0 1 2
Exemplo 5
Defina A como sendo o conjunto dos números inteiros maiores do que 1 e me-
nores do que ou iguais a 50.
Sendo assim:
A = {2, 3, 4, …, 50}
Subconjuntos especiais dos inteiros:
 • Conjunto dos inteiros não nulos: * � � � � �� �, , , , ,2 1 1 2
 • Conjunto dos inteiros não negativos: � � �� �0 1 2 3, , , , 
 • Conjunto dos inteiros não positivos: � � � �� �= ..., 3, 2, 1, 0
 • Conjunto dos inteiros positivos: � � �� �* 1 2 3, , ,
 • Conjunto dos inteiros negativos: � � � � � �� �* , , ,3 2 1
Como é possível observar, o conjunto dos números naturais é um subconjunto 
dos números inteiros.
1.4.3 Racionais
O conjunto dos números racionais ( ) é escrito como:
Q Z�= p
q
�|�p�e�q�� �e�q�� 0 �.�� �
�
�
�
�
�
�
Ou seja, sempre que conseguimos escrever um número em forma de fração 
(divisão de dois inteiros), estamos trabalhando com um número que pertence ao 
conjunto dos racionais.
Conjuntos e relações 29
Dessa forma, dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos racionais, pois po-
dem ser escritas como fração.
Exemplo 6
Seja o número decimal escrito como 2,321212, ele também pode ser escrito na 
forma 2 298
990
. .
Os números racionais podem, ainda, seguir a notação com *, + e –, vista ante-
riormente para o conjunto dos números inteiros. Assim:
 • * = conjunto dos números racionais sem o elemento zero
 • � �  conjunto dos números racionais não negativos
 • � �  conjunto dos números racionais não positivos
 • � �
* � conjunto dos números racionais positivos
 • � �
* � conjunto dos números racionais negativos
Quando falamos de números racionais, estamos falando também de frações. 
Dessa forma, veremos alguns conceitos importantes que serão necessários para 
um completo entendimento desta e de outras disciplinas.
 • Frações equivalentes
Sejam duas frações escritas como p
q
= a e 
r
s
= b.
Onde p, q, r, s são números inteiros, com q, s ≠ 0 e a, b ∈ .
As frações p
q
 e r
s
 serão equivalentes se a = b.
Exemplo 7
As frações a seguir são equivalentes:
1
2
2
4
3
6
25
50
0 5= = = = ,
 • Inverso de um número racional
30 Matemática
O inverso de um número racional (fração) é a troca do numerador pelo denomi-
nador e vice-versa, desde que o denominador seja diferente de zero.
Exemplo 8
Sejam os números 2,
1
2
,� 7,�−− −− 3
4 , seus inversos são respectivamente:
1
2
2 1
7
4
3
, , ,� � �− −
Os números racionais podem estar expressos em formato de fração ou de nú-
mero decimal. Na sequência, vamos entender essa relação.
1.4.3.1 Números decimais
A representação decimal dos números racionais e irracionais está muito presen-
te no nosso dia a dia.
Na matemática financeira, por exemplo, trabalha-se muito mais com a repre-
sentação decimal do que com as frações (percentuais, taxas de juros e o próprio 
valor do dinheiro).
Calculadoras simples (não científicas) são facilmente utilizadas quando se co-
nhece a representação decimal de determinada fração.
Exemplo 9
Poderíamos ficar aqui dando muitos outros exemplos, mas vamos focar as ope-
rações que podemos realizar com os números decimais e algumas propriedades 
importantes.
 •
1
2
0 5= ,
 • � � �
7
2
3 5,
 • 6
7
0 857142� �,
 • 1
3
0 333� �,
1.4.4 Números irracionais
Existem importantes números irracionais na história da Matemática e, para en-
tendermos um pouco da estrutura de um número irracional, vamos tratar de um 
desses números. 
Conjuntos e relações 31
O número de ouro (φ) é derivado do que chamamos de razão áurea. Como o 
próprio nome remete, temos uma razão (fração) entre dois números (a e b), cujo 
resultado é um número com infinitas casas decimais não periódicas.
Figura 21
Razão áurea
Ko
lo
nk
o/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Portanto, daqui já podemos extrair uma definição: um número irracional é o re-
sultado de uma razão entre dois valores que têm como resultado um número com 
infinitas casas decimais não periódicas.
Exemplo 10
O número de ouro pode ser extraído da razão entre os termos de uma sequên-
cia de Fibonacci 1 , dada por 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 
Assim:
13
8
8
5
5
3
1 618≈ ≈ ≈ , ...
Figura 22
Sequência de Fibonacci
M
ic
ro
On
e/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Descrita no final do século XII 
pelo italiano Leonardo Fibonacci, 
é uma sequência infinita de 
números inteiros, na qual cada 
número subsequente correspon-
de à soma dos dois anteriores.
1
O conjunto dos números irracio-
nais é composto de elementos que 
são números reais, mas não são 
números racionais, ou seja, não 
podem ser escritos no formato de 
fração. Escreva pelo menos quatro 
exemplos de números irracionais.
Atividade 3
32 Matemática
1.4.5 A reta real
Quando trabalhamos com o conjunto dos números reais (I R⊂ ), podemos imagi-
nar a representação por meio de uma reta. Temos um conjunto ordenado, ou seja, 
conseguimos identificar, quando comparamos dois a dois números dessa reta, 
quem é maior e quem é menor. Contudo, entre dois números reais, representados 
em uma reta, existem infinitos outros números.
Exemplo 11
Entre os números 1 e 2 existem vários números reais, como:
1,01; 1,001; 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999...
Podemos chamar esse conceito de reta real. Observe a reta da figura a seguir.
Figura 23
Reta real
BaMic_illustrations/Shutterstock
Observando a reta numérica, podemos entender as propriedades operatórias 
que representam o conjunto dos reais.
Dessa forma, para todo a,�b,�c∈ , temos:
 • Propriedade comutativa da soma: a + b = b + a
 • Propriedade associativa da soma: a + (b + c) = (a + b) + c
 • Elemento neutro da soma: a + 0 = 0 + a = a
 • Elemento oposto da soma: –a + a = a + (–a) = 0
 • Propriedade comutativa do produto: a · b = b · a
 • Propriedade associativa do produto: a · (b · c) = (a · b) · c
 • Elemento identidade (ou neutro) do produto: a · 1 = 1 · a = a
 • Elemento inverso: a 1
a
= 1
a
a = 1⋅ ⋅
 • Distributiva do produto em relação à soma: a · (b + c) = a · b + a · c
A aplicação da teoria 
de conjuntos é vista 
em diversas áreas do 
conhecimento, seja pela 
simples representação 
de conceitos por meio de 
conjuntos ou mesmo pela 
necessidade de operar 
esses conjuntos. Um tema 
muito interessante que usa 
diretamente essa teoria 
são os sistemas digitais. 
Para ver de perto esse tipo 
de aplicação, acesse os 
links indicados a seguir.
Organização estruturada 
de computador: nível da 
lógica digital.
Disponível em: http://www.dpi.inpe.
br/~carlos/Academicos/Cursos/
ArqComp/aula_5bn1.html. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Apostila de teoria para 
circuitos digitais.
Disponível em: http://www.telecom.
uff.br/~delavega/public/CircDig/
apostila_teo_cd.pdf. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Saiba mais
http://www.dpi.inpe.br/~carlos/Academicos/Cursos/ArqComp/aula_5bn1.html
http://www.dpi.inpe.br/~carlos/Academicos/Cursos/ArqComp/aula_5bn1.html
http://www.dpi.inpe.br/~carlos/Academicos/Cursos/ArqComp/aula_5bn1.html
http://www.telecom.uff.br/~delavega/public/CircDig/apostila_teo_cd.pdf
http://www.telecom.uff.br/~delavega/public/CircDig/apostila_teo_cd.pdf
http://www.telecom.uff.br/~delavega/public/CircDig/apostila_teo_cd.pdf
Conjuntos e relações 33
Note que o número zero não 
possui inverso multiplicativo, 
pois não existe solução para 1
0
.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Perceba que o conjunto dos números reais engloba todos os outros conjuntos 
que trabalhamos. Além disso, a maior parte dos problemas do nosso dia a dia en-
volvem elementos do conjunto dos números reais.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Falamos da importância da teoria de conjuntos na introdução e agora podemos 
fechar com maior propriedade, pois passamos não só pela teoria, como também por 
exemplos teóricos e aplicados.
Reforçando o que já trouxemos, a teoria de conjuntos está presente direta ou in-
diretamente em outras áreas da matemática. Por isso, acreditamos que, mesmo que 
você já entenda bastante o conceito e não sintadificuldades em desenvolver as rela-
ções entre conjuntos, é importante reler, refazer exemplos e aplicar a teoria por meio 
de exercícios, visto que esse tema será base não só para conceitos deste capítulo, 
como também para qualquer outro conceito matemático (e de muitas outras áreas da 
ciência) que você queira aprender.
REFERÊNCIAS
HELLMEISTER, V. Estudo comparativo de sistema construtivo de móveis para aplicação veicular. 2011.
Dissertação (Mestrado em Design) – Programa de Pós-Graduação em Design, Universidade Federal do 
Paraná, Curitiba. Disponível em: https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/28443/R%20-%20
D%20-%20VICTOR%20HELLMEISTER.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 12 jan. 2021.
GABARITO
1. Vimos que temos algumas formas de representação e vamos escolher a mais clássica para esse tipo 
de pergunta. Assim, um número par pode ser representado por (2 · n), onde n = 1, 2, ..., pois sabemos 
que um número par tem como característica ser divisível por 2 (ou múltiplo de 2). Portanto, um con-
junto de números pares positivos pode ser escrito como:
 A = {2n|n = 1, 2, ...}
 A = {2, 4, 6, ...}
2. Por definição, o complementar do conjunto universo, representado por UC, é o conjunto vazio (∅). 
Logo, UC � � .
 Com a mesma ideia, temos que o complementar do conjunto vazio é o conjunto universo, ∅C = U .
https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/28443/R%20-%20D%20-%20VICTOR%20HELLMEISTER.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/28443/R%20-%20D%20-%20VICTOR%20HELLMEISTER.pdf?sequence=1&isAllowed=y
34 Matemática
3. Alguns irracionais famosos são:
• O número pi: �= 3,14�
• A constante de Euler, ou constante de Neper: e=2,7182...
• A relação entre os termos da sequência de Fibonacci, ou número de ouro: φ = 1,61803399...
• As raízes quadradas de números primos: 2 1 4142 3 1 732 5 2 236 7 2 645� � � � � � � � �, ;� , ;� , ;� , �; �
Aritmética elementar 35
2
Aritmética elementar
As operações de potenciação e radiciação são comumente encontra-
das no nosso cotidiano, seja por meio de análises financeiras ou pela sim-
ples necessidade de realizarmos multiplicações com repetição.
Na matemática financeira, por exemplo, precisamos dessas duas 
operações quando realizamos cálculos que envolvam juros compostos, 
funções exponenciais, entre outros. Nesse contexto, ainda podemos 
incluir o uso dos logaritmos, que fazem o papel inverso das operações 
exponenciais.
Além de questões financeiras, na notação científica, a potenciação e, 
consequentemente, sua operação inversa, a radiciação, são fundamentais, 
possibilitando representações adequadas e simplificadas para estudos 
em todas as áreas (exatas, humanas, sociais, tecnológicas etc.). A esse ce-
nário podemos incluir os sistemas de medidas, inevitáveis na maior parte 
das análises quantitativas. Ao tratar dos sistemas de medidas, novamente 
voltamos nossa necessidade ao conhecimento adequado das operações 
e propriedades de potenciação.
Portanto, este capítulo nos dará base para trabalhar com esses exem-
plos e muitos outros que utilizem operações de potenciação, radiciação, 
logaritmos, notação científica e sistemas de medidas.
2.1 Potenciação e radiciação
Vídeo Nesta seção, vamos relembrar as operações de potenciação e radiciação e suas 
principais propriedades aplicadas ao conjunto dos números reais.
2.1.1 Potência de expoente natural
Usamos como referência para as definições do capítulo as obras de Dante (2011) 
e Paiva (2009). Outros materiais serão indicados ao longo do texto.
Uma potência de grau n ∈ ℕ de um número a é o produto de n fatores iguais a a.
an = (a · a · a · a ··· a)
(n vezes)
Nesse caso, a é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina 
seu grau.
36 Matemática
Exemplo 1
Calculando as potências a seguir, temos:
83 = 8 · 8 · 8 = 512
(–1)2 = (–1) · ( –1) = +1
Portanto, uma potência de expoente natural pode ser interpretada como uma 
multiplicação repetida n vezes.
2.1.2 Potência de expoente inteiro negativo
Considere uma base a, com a ≠ 0, elevada a um expoente negativo. O resultado 
dessa operação será o inverso de a elevado ao mesmo expoente com o sinal positivo.
a = 1
a
n
n
� �
�
�
�
�
�
Exemplo 2
Calculando as potências e frações a seguir, temos:
 • 5
1
5
1
5
1
1
� �
�
�
�
�
�
� �
 • 2
3
3
2
9
4
2 2
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
 • 1
8
1
2
2
3
3� � �
Observe que o sinal do expoente não altera o sinal resultante para a potência. 
O sinal do expoente gera uma inversão na base.
2.1.3 Operações com potências
Nesta seção, iremos trabalhar algumas operações, mas para isso precisamos 
estar com suas definições bem internalizadas.
2.1.3.1 Multiplicação de potências de mesma base
Repetimos a base e somamos os expoentes.
am · an = am+n
Aritmética elementar 37
Exemplo 3
Fazendo o seguinte cálculo, temos:
52 · 5–4 = 5(2+(–4)) = 5–2
2.1.3.2 Divisão de potências de mesma base
Repetimos a base e subtraímos os expoentes.
a
a
= a
m
n
m n−
Exemplo 4
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 5
5
5 5 5
2
4
2 4 2 4 6
�
� �� �� � �� � �
2.1.3.3 Expoente nulo
Seja uma potência de base diferente de zero, com expoente igual a zero. O re-
sultado dessa operação é igual à unidade.
Exemplo 5
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 50 = 1
 • (–4)0 = 1
 • 1
5
1
0
�
�
�
�
�
� �
38 Matemática
Cuidado!
00 é uma indeterminação matemática.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
2.1.3.4 Multiplicação de potências de mesmo grau
Multiplicamos as bases e conservamos o expoente comum.
an · bn = (a · b)n
Exemplo 6
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 32 · 72 = (3 · 7)2 = (21)2 = 441
 • 1
5
1
3
1
5
1
3
1
15
15 3 375
3 3 3 3
3�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
� � � �
.
2.1.3.5 Divisão de potências de mesmo grau
Dividimos as bases e conservamos o expoente comum.
a
b
= a
b
n
n
n
�
�
�
�
�
�
Exemplo 7
Fazendo o cálculo a seguir, temos:
 • 15
5
15
5
3 27
3
3
3
3
�
�
�
�
�
�
� � � � �
2.1.3.6 Potência de potência
Elevamos a base ao produto dos expoentes.
(an)m = an · m
Aritmética elementar 39
Exemplo 8
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • (22)3 = 26 = 64
 • 1
2
1
2
2 64
2 3
1
6
6�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
��
Cuidado!
(22)3 ≠ 223
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
No primeiro caso, temos a resposta no exemplo. Já no segundo caso, temos que 
realizar a potência da potência. Assim, teremos 223 = 28 = 256.
2.1.4 Raiz enésima aritmética
Da mesma forma que conseguimos calcular a raiz quadrada de um número, po-
demos pensar em uma generalização para que possamos calcular uma raiz enésima.
Ao calcularmos 9 , estamos procurando um número, inteiro positivo, de modo 
que ele vezes ele mesmo, isto é, ele ao quadrado, seja igual a 9. Nesse caso, temos 
3 · 3 = 9, logo 9 3= .
A raiz enésima de um número qualquer b ∈ ℝ, com n ∈ ℝ, pode ser expressa por:
a = bn
Onde:
n: índice
b: radicando
a: raiz
Portanto, precisamos encontrar um número a que n vezes ele mesmo será igual 
ao valor b.
Como sugestão de ativi-
dade de fixação, indicamos 
o material disponibilizado 
pela plataforma da Khan 
Academy. Com ele, você 
poderá reforçar os concei-
tos vistos até o momento 
por meio de atividades.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-exponent-properties/a/
exponent-properties-review. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Para auxiliar nesse desafio, 
indicamos também o vídeo 
Propriedades da potência 
com parênteses, da mesma 
plataforma.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-exponent-properties/v/
products-and-exponents-raised-to-
-an-exponent-properties. Acesso em: 
12 jan. 2021. 
Saiba mais
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-reviewhttps://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/v/products-and-exponents-raised-to-an-exponent-properties
40 Matemática
Vamos exemplificar.
Exemplo 9
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 64 4 4 4 43 3 � � � �
 • 243 3 3 3 3 3 35 5� � � � � �
 • � � �� � � �� � � �� � � �1 1 1 1 13 3
 • � �14 
Como percebemos no Exemplo 9, é necessário verificar algumas condições para 
que o resultado a = bn seja possível.
Assim, se n é par, b precisa ser um valor positivo; caso contrário, a solução não 
pertencerá ao conjunto dos números reais.
2.1.5 Relação entre potenciação e radiciação
Seja a, b, n ∈ ℝ, então: 
a = bn se e somente se an = b
Onde:
 n: índice
 b: radicando
 a: raiz
n: expoente
b: potência
a: base
Exemplo 10
Seja a3 = 64, calcule o valor de a:
A primeira propriedade apresentada para a potenciação e radiciação nos permi-
te relacionar essas duas operações. Assim:
a = 64 a = 643 3↔
Resposta:
a = 4
O canal da Professora 
Angela Matemática dis-
ponibiliza diversos vídeos 
na área de matemática, 
com a intenção de ajudar 
os alunos a se preparem 
para vestibulares, Enem 
e concursos. Para o tema 
radiciação, ela propõe uma 
aula cheia de exemplos, 
intitulada Propriedades dos 
radicais – Professora Angela.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=XNIgElPK2qM. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=XNIgElPK2qM
https://www.youtube.com/watch?v=XNIgElPK2qM
Aritmética elementar 41
2.1.6 Potência de expoente racional
Seja a, m, n ∈ ℝ, onde a é uma base, temos:
a = a
m
n mn , se m
n
> 0
ou
a = 1
a
m
n
mn
, se m
n
< 0
Dessa forma, conseguimos utilizar todas as definições vistas na potenciação 
também na radiciação.
É importante observar que, mesmo tendo a definição como válida para todos 
os números reais, temos que tomar alguns cuidados com o índice que compõe o 
radical (n) e com a base (radicando).
Vamos usar o seguinte exemplo para enunciar algumas propriedades da 
radiciação.
Seja a = b b = amn
m
n⇔ , com n ≥ 2, então:
 • |a| = a2
 • a b = a bn n n⋅ ⋅
 • a = amn n
m� �
 •
a = ann
 • a = am p
n p mn⋅⋅
 •
a
b
= a
b
n
n
n
 •
a = a
n
p
mn
m
p
 • a = akn
m
kmn�
�
�
�
�
�
 • a = anm m n⋅
Como leitura complementar a esta seção, sugerimos o artigo intitulado Uso de materiais 
concretos para o ensino de potenciação, de Carlos Adriano da Costa Gomes, Flávio de Ligório 
Silva e Marcelo Simplício de Lyra. Nele é possível compreender outras maneiras de interpretar 
o conceito de potenciação por meio de objetos concretos.
Acesso em: 12 jan. 2021. 
http://www.sbembrasil.org.br/enem2016/anais/pdf/4696_4123_ID.pdf
Artigo
Temos muitas propriedades, é bem verdade, mas precisamos lembrar que sem-
pre é possível transformar uma radiciação em uma potência, caso você se sinta 
mais confortável.
Exemplo 11
Fazendo o cálculo a seguir, temos:
4
36
4
36
4
36
4
36
2
6
1
3
4
8
14
2 4 2�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � � �
�
��
42 Matemática
2.2 Racionalização de denominadores
Vídeo A racionalização de denominadores é um procedimento que auxilia na simplifi-
cação de frações e, em muitos casos, nos processos operacionais necessários para 
resolver algumas situações-problema.
Ao se racionalizar denominadores, o que se consegue é a transformação de um 
denominador composto por um número irracional em um denominador composto 
por um número racional.
Exemplo 12
Considere a fração 2
3
. Podemos racionalizá-la, ou seja, transformar seu deno-
minador em um número racional da seguinte forma:
2
3
2 3
3 3
2 3
9
2 3
3
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
� �
3
3
�
�
Observe que, ao multiplicarmos a fração 2
3
 por 3
3
, não alteramos o seu valor 
final, pois:
3
3
1=
Caso tenha curiosidade, use a calculadora para verificar a igualdade:
2
3
2 3
3
=
Veremos algumas maneiras e casos especiais de racionalização de 
denominadores.
2.2.1 Racionalização baseada nas propriedades de potências 
e raízes
Existem alguns métodos de racionalização. Os dois primeiros que iremos apre-
sentar estão baseados nas propriedades de potências e raízes. Dessa forma, é mui-
to importante que a manipulação das propriedades esteja bem fixada.
2.2.1.1 Racionalização de denominadores compostos por uma raiz 
quadrada
Seja um número representado pela fração 1
a
, com a > 0.
Quando fazemos uma raciona-
lização, alteramos o valor final 
da fração que foi racionalizada? 
Discorra sobre isso.
Atividade 1
Aritmética elementar 43
Observe que o denominador dessa fração apresenta uma raiz quadrada. Para 
racionalizar esse denominador, fazemos:
1
a
a
a
=
a
a a
= a
a
= a
a2
�
� �
� � �
É fácil verificar que a escolha de racionalizar usando a fração a
a
 deve-se ao 
resultado que obtemos ao fazermos:
a a
=
a
=
a
Fator�racionalizante
2
�
� �
Exemplo 13
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 10
10
10 10
100
10 10
10
10= = = �
 • 3
5
3
5
5
5
3 5
5 5
3 5
5�
� � �
�
�
2.2.1.2 Racionalização de denominadores compostos por uma raiz 
não quadrada
Para esse método, vamos assumir que a fração que será racionalizada possui 
denominador da forma apn .
Para racionalizar esse denominador, precisamos multiplicar por � an pn ��
�
�
�
�
� , pois, 
desse modo, o denominador ficará a a = a apn n pn p n pn�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � .
Aplicando as propriedades de potência (produto de mesma base), temos:
a = ap+n pn nn−
Agora, aplicando a relação entre potência e raiz, escrevemos:
a = a = a
n
n 1
O que acontece com o numerador é consequência da escolha feita para raciona-
lizar o denominador. Assim, seja 1
apn
, então:
1
a
a
a
= a
apn
n pn
n pn
Fator�racionalizante
n pn
�
�
�
�
���
44 Matemática
Exemplo 14
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 2
2
2
2
2
2
2 4
2 2
2 4
2
2 4
2
4
3 3
23
23
3
23
3
33
3
3� � �
�
� �
� �
�
 • 3
5
3
5
5
5
3
5
5
5
3 125
5
3 125
525 25
5 25
5 25 25
35
35
5
2 35
5
� � � � � �
�
� �
Portanto, a racionalização é uma ferramenta que usa dos conceitos de poten-
ciação e radiciação para simplificar denominadores. Vamos ver mais alguns casos.
2.2.2 Racionalização baseada em relações
Ao falar em racionalização baseada em relações, o que precisamos para conse-
guir manipular nossas frações são algumas relações de produtos notáveis e fatora-
ção. Vamos entender a seguir.
2.2.2.1 Denominador composto por soma ou subtração entre 
raízes quadradas
Para esse método, vamos assumir que o denominador é composto por uma 
adição ou subtração entre raízes quadradas.
Desse modo, considere um denominador do tipo a + b� �. Nesse caso, o fator 
racionalizante é dado por a b�� � .
Portanto, seja uma fração da forma:
1
a + b �
= 1
a + b �
a b
a b=
a b
a b� � � �
�
� �
� �
� ��
�
�
�
Agora, seja um denominador do tipo a b�� �. O fator racionalizante para esse 
caso será dado por a + b� �. Assim:
1
a b
= 1
a b
a + b �
a + b �
=
a + b �
a b� � �� � � �
�
� �
� �
� �
Pareceu muito difícil? Vamos trabalhar alguns exemplos numéricos para escla-
recer esses dois casos gerais.
Aritmética elementar 45
Exemplo 15
Fazendo os cálculos a seguir, obtemos:
 •
1
1 3
1
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
2�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
� �
��
�
��
�
�
��
 • 1
2 3
1
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
1
3 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
� �
 •
1
1 3
1
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
2�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
��
�
��
�
�
��
( )
 •
1
2 3
1
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
1
3 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
� � �
2.2.2.2 Denominador composto por soma ou subtração entre 
raízes cúbicas
Para esse método, vamos assumir que o denominador é composto por uma 
adição ou subtração entre raízes cúbicas.
Para sua correta racionalização, é necessário que lembremos as propriedades 
de fatoração para:
 • (a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
 • (a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)
Considere uma fração da seguinte forma:
1
a b3 3−
Nesse caso, é necessário racionalizar o denominador utilizando 
(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
Assim:
46 Matemática
1
a b
= 1
a b
a + ab + b
a + ab + b
=
a + ab + b
3 3 3 3
23 3 23
23 3 23
23 3
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
223
33 33
23 3 23
a b
=
a + ab + b
a b
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Exemplo 16
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
• 
1
2 2
1
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 43 3
23 3 2
23 3 2
23 3 2
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
� �
�
��
� �
�
� �
� ��
�
��
�
�
��
4 2 2 4
2
4 2 2 4
2
3 3 3 3
• 
1
2 3
1
2 3
2 6 3
2 6 3
4 6 9
2 33 3 3 3
23 3 23
23 3 23
3 3 3
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
� �
�
�� � � �� �4 6 93 3 3
Desse modo, o que precisamos, para qualquer um dos métodos enunciados, é 
procurar uma forma de eliminar a raiz do denominador sem alterar a fração.
2.3 Notação científica
Vídeo Uma notação científica depende do conhecimento do conceito de potências de 
base 10. Esse tipo de potência é adotado para abreviar múltiplos de dez.
Exemplo 17
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 109 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1.000.000.000
 • (–10)2 = (–10) · ( –10) = 100. É importante nos lembrarmos dos sinais!
 • 0 1 1
10
1
1 000
0 0013
3
,
.
,� � � � �
 • 10 1
10
1
1 000 000 000
9
9
� � �
. . .
A notação científica, ou notação em forma exponencial, é utilizada para que 
possamos reduzir a maneira como um número muito grande – por exemplo, a 
massa da Via Láctea – ou um número muito pequeno – como a massa de um pró-
ton – é denotado.
Portanto, escrever em notação científica é converter esse número de modo que 
sua apresentação esteja simplificada.
Assista ao vídeo Racio-
nalização de denomina-
dores – Professora Angela, 
publicado pelo canal da 
própria professora. Nele, 
a docente resolve vários 
exercícios que podem ser 
refeitos para fixação do 
conteúdo.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=9CfzJ-LWytM. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Vídeo
No vídeo Introdução à 
notação científica, da plata-
forma da Khan Academy, 
é possível observar muitos 
exemplos usando os 
conceitos apresentados 
nesta seção.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-scientific-notation/v/
scientific-notation-old. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Para praticar, a plataforma 
disponibiliza uma lista de 
exercícios on-line que 
pode ser acessada no link 
a seguir.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-scientific-notation/e/
scientific_notation. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Saiba mais
https://www.youtube.com/watch?v=9CfzJ-LWytM
https://www.youtube.com/watch?v=9CfzJ-LWytM
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/v/scientific-notation-old
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/v/scientific-notation-old
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/v/scientific-notation-old
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/v/scientific-notation-old
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/v/scientific-notation-old
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-scientific-notation/e/scientific_notation
Aritmética elementar 47
Assim, utilizando a notação científica, podemos escrever:
 • 1.000.000.000 = 1 · 109
 • 0,0000000001 = 1 · 10–9
 • 0,273 = 2,73 · 10–1
 • 27,3 = 2,73 · 10
De maneira geral:
a · 10n, com 1 ≤ a < 10
A massa da Via Láctea é de 1 · 1041 kg.
A massa de um elétron em repouso é de 
9,109389 · 10–31 kg.
A notação científica pode ser encontrada nos livros de física, biologia, química e 
matemática e é usada para comparar ordens de grandeza. Uma ordem de grande-
za fornece uma ideia aproximada da dimensão de um objeto, sendo representada 
pela potência de 10 mais próxima da ordem do objeto.
Figura 1
Prefixos e nomenclatura usando potência de 10
T (Tera) 1012
G (Giga) 109
M (Mega) 106
K (Quilo) 103
m (Mili) 10–3
μ (Micro) 10–6
n (Nano) 10–9
p (Pico) 10–12
Fonte: Elaborada pela autora.
NA
SA
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
Ol
eh
 S
ve
tiu
kh
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Ainda, no contexto da 
notação científica, é 
possível exercitar o uso 
de operações com esse 
tipo de notação. Para esse 
fim, sugerimos o material 
a seguir da plataforma da 
Khan Academy. Com ele, 
você pode não só resolver 
exercícios, mas também 
verificar seus erros e acer-
tos e praticar até que não 
restem mais dúvidas.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-computing-scientific-
-notation/e/multiplying_and_divi-
ding_scientific_notation. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Para auxiliar nessa tarefa, 
sugerimos o vídeo intitu-
lado Multiplicação e divisão 
em notação científica, da 
mesma plataforma.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-exponents-radicals/
pre-algebra-computing-scientific-
-notation/v/multiplying-and-dividin-
g-in-scientific-notation. Acesso em: 
12 jan. 2021. 
Saiba mais
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/e/multiplying_and_dividing_scientific_notationhttps://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-computing-scientific-notation/v/multiplying-and-dividing-in-scientific-notation
48 Matemática
A notação científica também é encontrada nas linguagens de programação. Por 
exemplo:
 • Python: 1,2 · 103 = 1.2e3
 • Fortran: 1,2 · 103 = 1.2E3
Observe que na linguagem de programação Python, ao invés de representar-
mos a notação científica utilizando a base 10, ela é substituída pela letra e. Contu-
do, isso é uma questão apenas de representação, pois usar e facilita a legibilidade 
da comunicação textual, minimiza as teclas digitadas, fornece uma exibição concisa 
e mais simples, entre outras questões. Além disso, é possível encontrar nas lin-
guagens de programação a base decimal sendo representada pelo E maiúsculo, 
como pode ser observado na linguagem Fortran. Outros exemplos de linguagens 
de programação que seguem o mesmo padrão são: ALGOL, Ada, Analytica, C/C ++, 
MATLAB, Scilab, Perl, Java, Lua e JavaScript.
2.4 Sistemas de medidas
Vídeo A necessidade de padronizar, que remete ao desenvolvimento do ser humano 
desde épocas mais remotas, fez com que convergíssemos para o que hoje chama-
mos de sistema de medidas padrão. Assim, o sistema internacional de unidades 
(SI) define:
Figura 2
Medidas padrão de acordo com o SI
K Kelvin (temperatura)
m metro (comprimento) 
A ampère (corrente elétrica) 
s segundo (tempo) 
mol mol (quantidade de matéria) 
kg quilograma (massa) 
cd candela (intensidade luminosa)
Fonte: Elaborada pela autora com base em Thompson e Taylor, 2008.
Entre essas medidas, vamos aprofundar aquelas que mais usamos no nosso dia 
a dia. Desse modo, falaremos das unidades de comprimento (m), de massa (kg) e de 
tempo (s). Acompanhadas a elas, também apresentaremos a unidade de medida de 
área (que usa como padrão m2) e a unidade de medida de volume (m3).
https://pt.qwe.wiki/wiki/Ada_(programming_language)
https://pt.qwe.wiki/wiki/Analytica_(software)
https://pt.qwe.wiki/wiki/C_(programming_language)
https://pt.qwe.wiki/wiki/C%2B%2B
https://pt.qwe.wiki/wiki/MATLAB
https://pt.qwe.wiki/wiki/Scilab
https://pt.qwe.wiki/wiki/Perl
https://pt.qwe.wiki/wiki/Java_(programming_language)
https://pt.qwe.wiki/wiki/Lua_(programming_language)
https://pt.qwe.wiki/wiki/JavaScript
Aritmética elementar 49
2.4.1 Medida padrão de comprimento
A medida padrão de comprimento é o metro (m). As medidas que o antecedem 
e que o precedem estão representadas na figura a seguir.
Figura 3
Unidades de comprimento
km quilômetro
hm hectômetro
dam decâmetro
m metro
dm decímetro
cm centímetro
mm milímetro
Fonte: Elaborada pela autora.
Para realizar a conversão, devemos multiplicar (ou dividir) por 10 (Figura 4).
Figura 4
Conversão de unidades de comprimento
km hm dam m dm cm mm
x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
Fonte: Elaborada pela autora.
Decâmetro, hectômetro e quilômetro são múltiplos do metro:
 • dam → equivale a 10 vezes a grandeza padrão m
 • hm → equivale a 100 vezes a grandeza padrão m
 • km → equivale a 1.000 vezes a grandeza padrão m
Decímetro, centímetro e milímetro são submúltiplos do metro:
 • dm → equivale a 0,1 vezes a grandeza padrão m
 • cm → equivale a 0,01 vezes a grandeza padrão m
 • mm → equivale a 0,001 vezes a grandeza padrão m
50 Matemática
Outras medidas de comprimento são:
1 polegada (in) = 2,54 cm
1 pé (ft) = 30,48 cm
1 jarda (yd) = 91,44 cm
1 milha terrestre = 1.609 m 
1 milha marítima = 1.852 m
1 ano-luz = 9,5 · 1012 m
2.4.1.1 Medida padrão de superfície ou área
A medida padrão de superfície ou área é a medida em metros quadrados (m2). 
Consideramos uma unidade derivada do metro. 
Para realizar a conversão, devemos multiplicar (ou dividir) por 100 (Figura 5).
Figura 5
Unidades de área
x 100
÷ 100
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Fonte: Elaborada pela autora.
Exemplo 18
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 4 m2 = 40.000 cm2
 • 1 dam2 = 100 m2
 • 1 m2 = 0,01 dam2
O are é uma medida de área deri-
vada da medida padrão (metro). 
Um are é calculado usando a área 
de um quadrado de 10 metros de 
lado. Dessa forma, quantos metros 
quadrados tem um are?
Atividade 2
Aritmética elementar 51
2.4.1.2 Medida padrão de volume ou capacidade
A medida de volume padrão é o metro cúbico (m3), derivado do metro.
Para realizar a conversão, devemos multiplicar (ou dividir) por 1.000 (Figura 6).
Figura 6
Unidades de volume
x 1.000
÷ 1.000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Fonte: Elaborada pela autora.
Exemplo 19
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
 • 4 m3 = 400.000 cm3
 • 1 dam3 = 1.000 m3
 • 1 m3 = 0,001 dam3
Algumas unidades de medida são aceitas pelo SI por serem muito utilizadas no 
dia a dia das pessoas. Entre elas, estão inclusos o litro (L), os graus – quando se 
trata de ângulos (º) – e a massa em toneladas (t).
Curiosidade:
•1 dm3 = 1 L (1 litro) 
•1 m3 = 1.000 L (1.000 litros)
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
2.4.2 Medida padrão de massa
A medida padrão de massa é o quilograma (kg). As medidas que o antecedem e 
o sucedem estão descritas na Figura 7.
52 Matemática
Figura 7
Unidades de massa
kg quilograma
hg hectograma
dag decagrama
g grama
dg decigrama
cg centigrama
mg miligrama
Fonte: Elaborada pela autora.
Para realizar a conversão, devemos multiplicar (ou dividir) por 10 (Figura 8).
Figura 8
Conversão de unidades de massa
x 10
÷ 10
kg hg dag g dg cg mg
Fonte: Elaborada pela autora.
Curiosidade:
• 1 tonelada (1 t) = 1.000 kg
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Portanto, o processo de conversão é bastante simples, mas requer atenção.
2.4.3 Medidas de tempo
A medida de tempo padrão é o segundo (s). Observe que a representação corre-
ta é feita por meio da letra s e não seg.
Para realizar a conversão, devemos multiplicar (ou dividir) por 60:
Como temos feito ao longo 
da obra e, ainda, pensando 
em fixar o conteúdo 
aprendido até o momento, 
sugerimos dois materiais 
da plataforma da Khan 
Academy, em que é possí-
vel rever conceitos e fazer 
alguns exercícios.
Revisão das unidades de 
comprimento do sistema 
métrico (mm, cm, m e km).
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/6-ano-matematica/
grandezas-e-medidas/conversao-de-
-unidades/a/metric-units-of-length-
-review. Acesso em: 12 jan. 2021.
Revisão das unidades de 
massa do sistema métrico 
(g e kg). 
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/6-ano-matematica/
grandezas-e-medidas/conversao-de-
-unidades/a/metric-units-of-mass-
-review. Acesso em: 12 jan. 2021.
Saiba mais
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-length-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-length-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-length-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-length-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-length-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-mass-reviewhttps://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-mass-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-mass-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-mass-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/metric-units-of-mass-review
Aritmética elementar 53
Figura 9
Unidades de tempo
hora minuto segundo
x 60
÷ 60
Fonte: Elaborada pela autora.
Com relação à medida de tempo, é comum realizarmos diversos tipos de con-
versão. Por exemplo, ano em dias, dias em horas, horas em minutos e minutos em 
segundos (assim como o inverso):
 • 1 dia = 24 horas = 1.440 minutos.
 • 1 minuto = 60 segundos; 60 minutos = 1 hora; 1 hora = 3.600 segundos.
Para fixar o conteúdo 
sobre medidas de tempo, 
sugerimos o conteúdo, 
da plataforma da Khan 
Academy, intitulado Revisão 
da conversão de unidades de 
tempo (segundos, minutos 
e horas).
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/6-ano-matematica/
grandezas-e-medidas/conversao-de-
-unidades/a/converting-units-of-ti-
me-review. Acesso em: 12 jan. 2021.
Saiba mais
2.5 Logaritmos
Vídeo Considere dois números a, b ∈ +
* (reais positivos diferentes de zero) e 
b ≠ 1. O número x, dado por x = logba, é chamado logaritmo de a na base b 
(LIMA et al., 2016).
Nomenclatura:
 • a é o logaritmando
 • b é a base
 • x é o logaritmo
Podemos relacionar uma forma logarítmica com uma forma exponencial, obten-
do logb a = x ⇔ bx = a, desde que a, b > 0 e b ≠ 1. A condição de existência para essas 
equações está em a, b > 0 e b ≠ 1.
Exemplo 20
Fazendo o cálculo a seguir para encontrar o valor de x, temos:
logx256 = 4
x4 = 256
x � � 2564
A condição de existência para a base do logaritmo respeita x > 0 e x ≠ 1, logo:
x � � 2564
x = 284
Resposta:
x = = =2 2 4
8
4 2
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/converting-units-of-time-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/converting-units-of-time-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/converting-units-of-time-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/converting-units-of-time-review
https://pt.khanacademy.org/math/6-ano-matematica/grandezas-e-medidas/conversao-de-unidades/a/converting-units-of-time-review
54 Matemática
Exemplo 21
O logaritmo de 729 em certa base é 6. Qual é essa base?
Aqui recaímos no mesmo caso do exemplo anterior, mas agora temos:
logx729 = 6
Logo:
x6 = 729
x6 = 36
Resposta: x = 3
A consequência imediata dessa definição nos permite escrever:
 • logb1 = 0 ⇔ b0 = 1
 • logbb = 1 ⇔ b1 = b
 • logbb
m = m
 • b =logbm m
Exemplo 22
Fazendo os cálculos a seguir, temos:
a) log2 256
log log2 2
8256 2 8= =
b) log1
3
243
log log1
3
5
1
3
5
3 1
3
5� �
�
�
�
�
� � �
�
c) log5
3
27
125
log log5
3
3
5
3
33
5
5
3
3�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
d) log2
3
729
64
log log2
3
6
2
3
63
2
2
3
6�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
Aritmética elementar 55
e) log
2 2
32
log log
.2 2
1
2
5
2
3
2
52 2x =
2 2
3
2 5
x
=
x = 10
3
f) log ,10 0 001
log
.
log10 10
31
1 000
10 3� � ��
2.5.1 Propriedades operatórias
As propriedades operatórias respeitam a definição e, dessa forma, são direta-
mente relacionadas à possibilidade de transformação de um logaritmo em uma 
exponencial.
2.5.1.1 Logaritmo de um produto
Se b > 0, b ≠ 1, p > 0 e q > 0, então logb (p · q) = logb p + logb q
Exemplo 23
Fazendo o cálculo a seguir, temos:
log2 4 = log2 2 · 2 = log2 2 + log2 2 = 1 + 1 = 2
Observe que, nesse exemplo, também poderíamos usar:
log2 4 = log2 2
2 = 2
Exemplo 24
Sabendo que log 2 ≈ 0,3 e log 3 ≈ 0,477, calcule log 6.
log 6 = log 2 · 3 = log 2 + log 3 = 0,3 + 0,477 = 0,777
56 Matemática
Antes de resolver o Exemplo 24, é importante notar que a base não está aparen-
te nessa representação. Sempre que isso ocorre, temos um logaritmo decimal, ou 
seja, um logaritmo na base 10.
Os logaritmos decimais têm grande importância devido ao uso das tábuas de 
logaritmos e ao fato de que muitas calculadoras trabalham com essa base. Isso 
se dá porque o nosso sistema de numeração possui a base decimal como padrão.
Para saber mais sobre as tábuas logarítmicas, sugerimos a leitura do artigo Gauss e a tábua 
dos logaritmos. Nele, o autor Gert Schubring apresenta um pouco da história da matemática e 
relaciona o uso dos logaritmos às aplicações na área da geometria, o que auxiliou no desen-
volvimento dessa área.
Acesso em: 12 jan. 2021. 
http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-24362008000300004
Artigo
2.5.1.2 Logaritmo de um quociente
Se b > 0,�b 1,�p > 0�e�q > 0≠ , então:
log log logb b b
p
q
p q� �
Exemplo 25
Fazendo o cálculo a seguir, temos:
log log log log log2 2 2 2
4
2
16
2
16 2 2 2 4 1 3� � � � � � �
Aqui, poderíamos ainda ter resolvido da seguinte forma:
log log log2 2 2
316
2
8 2 3= = =
Exemplo 26
Sabendo que log 2 = 0,3, calcule log 5.
Para isso, usaremos log .10
2
Assim:
log log log log , , 5 10
2
10 2 1 0 3 0 7� � � � � �
http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-24362008000300004
Aritmética elementar 57
2.5.1.3 Logaritmo de uma potência
Se b > 0, b ≠ 1, a > 0, m ∈ ℝ, então logbam = m ⋅ logba
Exemplo 27
Fazendo o cálculo a seguir, temos:
log3 9
4 = log3 (3
2)4 = log3 3
8 = 8 log3 3 = 8 ⋅ 1 = 8
Esse exemplo também poderia ser feito da seguinte maneira:
log3 9
4 = x
3x = 94
3x = (32)4
3x = 38
x = 8
Observe que as propriedades apresentadas são reformulações da própria defini-
ção e manipulação desse conceito. Por esse motivo, fazemos questão de apresentar 
outras maneiras de resolver alguns dos exemplos, visto que as propriedades podem 
ser formatadas de acordo com a necessidade e agilidade no processo de cálculo.
2.5.2 Mudança de base
Considere b, c > 0; b, c ≠ 1; a > 0. Então:
log
log
logb
c
c
a
a
b
=
A propriedade de mudança de base pode, ainda, ser reescrita como:
log log logb c ca b a� �
A escolha pela mudança de base se dá quando há necessidade de resolver um 
problema em que não conhecemos o valor de determinado logaritmo naquela 
base informada, mas, por meio da mudança de base, podemos recair em um 
valor conhecido.
É muito comum usar a mudança de base para transformar logaritmos em ba-
ses quaisquer para a base decimal. Isso se dá pela possibilidade de utilização de 
calculadoras simples que, muitas vezes, não permitem o cálculo de logaritmos em 
outras bases.
Os logaritmos são muito usados 
como ferramenta para a resolução 
de problemas (equações) na 
forma 2x = 5. Nesse caso, 
fazemos log
2
2x = log
2
 5. Para essa 
situação, qual é a propriedade dos 
logaritmos que podemos usar para 
calcular o valor de x?
Atividade 3
58 Matemática
Exemplo 28
Se desejamos calcular o valor de log ,,0 9 0 2 usando uma calculadora simples, 
fazemos:
log ,
log ,
log ,
,,0 9
10
10
0 2
0 2
0 9
15 2755= =
Aqui, caso tivéssemos informado no enunciado os valores de log , �2 0 3= e 
log ,3 0 477= , poderíamos escrever:
log ,
log ,
log ,
log
log
log log
log lo,0 9
10
10
2
0 2
0 2
0 9
2
10
9
10
2 10
3
� � �
�
� gg �
,
,
,
,
,
10
0 3 1
2 0 477 1
0 7
0 046
15 217� �� � � �
�
�
�
Observe que a diferença dos valores após a segunda casa decimal se dá pelo 
ajuste (arredondamento) nos valores para log 2 e log 3.
2.5.3 Logaritmo neperiano (ou natural)
Um logaritmo natural nada mais é do que um logaritmo cuja base vale
e � �2 71828, Os logaritmos naturais também são chamados de neperianos ou de 
Napier e sua base, o número e, é um número irracional, conhecido como número de 
Euler. Representamos por:
ln(x) = loge x
Para saber mais sobre a história do número de Napiere sua aplicação, sugerimos a leitura 
do artigo História do número e: gênese e aplicações. Nele, Juliana Conceição Precioso e 
Hermes Antonio Pedroso tratam do desenvolvimento no percorrer da história e, também, 
de sua aplicabilidade no contexto da matemática financeira.
Acesso em: 12 jan. 2021. 
http://www.seer.ufu.br/index.php/matematicaeestatisticaemfoco/article/view/13913/12528
Artigo
Na matemática financeira, o uso do logaritmo natural é muito comum, tanto 
que, nas calculadoras financeiras, é padrão encontrar a função ln x ao invés da 
função log x.
Aritmética elementar 59
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo, percorremos temas da matemática básica que se correlacionam 
e servem como base de muitos outros conceitos da própria matemática básica, os 
quais também são necessários para a dita matemática avançada, ensinada no ensino 
superior e pós-graduações.
Sugerimos que os textos indicados para leitura, os vídeos e as atividades sejam 
contemplados para que a técnica de cada tema possa ser aprimorada a fim de que, 
com isso, se ganhe agilidade nos cálculos e no raciocínio sobre aplicações.
REFERÊNCIAS
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. v. 1. São Paulo: Ática, 2011. 
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2016.
PAIVA, M. Matemática. v. 1-3. São Paulo: Moderna, 2009.
THOMPSON, A.; TAYLOR, B. N. Guide for the use of the international system of units (SI). Gaithersburg: NIST 
Special Publication, 2008. Disponível em: https://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf. Acesso em: 12 jan. 
2021.
GABARITO
1. O processo de racionalização não altera o resultado. A ideia é encontrar um número que possa mo-
dificar o denominador de modo que não tenhamos mais uma raiz nessa parte da fração; contudo, 
esse número será multiplicado também pelo numerador. Dessa forma, temos uma fração que é mul-
tiplicada pelo número 1, sendo que esse está escrito no formato de fração, não alterando o valor da 
fração racionalizada.
2. Se um are é calculado por meio da área de um quadrado de 10 metros de lado, então um are terá 
10 m ⋅ 10 m = 100 m2.
3. Quando 2x = 5, não é possível igualar as bases na tentativa de encontrar o valor de x. Por esse motivo, 
usamos log2 2
x = log2 5.
 A propriedade que pode ser usada na sequência é:
 Seja b > 0 e b ≠ 1, então logb bm = m. Assim:
log2 2
x = log2 5
x = log2 5
 Para resolver esse problema utilizando uma calculadora simples, ou uma tábua logarítmica, usare-
mos uma mudança de base, convertendo para uma base decimal. Logo:
x = log2 5
x � � �log
log
log log
log
 
 
 
 
5
2
10 2
2
 Sabendo que log 2 ≈ 0,3, temos:
x �
�� �
� �
1 0 3
0 3
0 7
0 3
7
3
,
,
,
,
�
60 Matemática
3
Álgebra elementar
Este capítulo foi especialmente pensado para auxiliar na manipulação 
de expressões algébricas. 
É comum ouvir estudantes expondo dificuldade em aprender mate-
mática quando têm contato com a álgebra e o início das expressões com 
letras e números. “Comecei a não entender matemática quando começa-
ram a aparecer mais letras do que números”, relatam.
Então, vamos usar este capítulo para desmistificar esse conceito. 
Letras? Sim, muitas letras, mas todas elas representam um determina-
do valor que, em geral, precisa ser calculado. 
Em outros momentos, essas expressões só precisam ser simplificadas 
ou reorganizadas para que sejam utilizadas em outros contextos, como 
nas disciplinas de cálculo, álgebra linear, física, química, entre outras.
Dessa forma, mesmo que você seja aquela pessoa que não tem 
dúvidas sobre o assunto, sugerimos que resolva os exercícios e 
exemplos indicados. Afinal, a prática é uma importante ferramenta 
de aprendizado.
3.1 Expressões algébricas
Vídeo Uma expressão algébrica é uma expressão matemática composta por números, 
letras, operações e sinais indicativos de prioridade (parênteses, colchetes e chaves). 
Um monômio e um polinômio são expressões algébricas. Uma função é ex-
pressa como uma função algébrica. Quando precisamos determinar uma medida e 
a representamos por uma letra, isso se trata de uma expressão algébrica.
Assim, os comprimentos das formas geométricas que aparecem na figura a 
 seguir são expressões algébricas.
Figura 1
Representação geométrica do comprimento de figuras planas
a a
aa
a a
a a
a
b b
r
h h
w
w
a a
3a 4a 2 (a + b) C = 2πr 2 (w + h)
b
2a + b
Álgebra elementar 61
Exemplo 1
Na expressão –5x2y + 4xyz – 1, temos que –5x2y, 4xyz e –1 são os termos da 
 expressão algébrica. Podemos ver cada um desses termos na tabela a seguir.
Tabela 1
Representação termo a termo de uma expressão algébrica
Termo Coeficiente Parte literal Variáveis
–5x2y –5 x2y x e y
4xyz 4 xyz x, y e z
–1 –1
Fonte: Elaborada pela autora.
Toda expressão algébrica pode ser transformada em uma expressão numérica. 
Para isso, precisamos conhecer os valores de cada uma das variáveis. Com essa 
informação, também podemos encontrar o valor numérico da expressão. 
Exemplo 2
Seja uma esfera com volume 
4
3
3π r e área da superfície 4πr2, conforme figura a 
seguir.
Figura 2
Volume e área da esfera e de metade de uma esfera
La
nd
sc
ap
ef
ac
t.s
to
ry
/S
hu
tte
rs
to
ck
Área da superfície = 4 πr2
Área da superfície = 2 πr2
Circunferência
Raio
Raio
Volume = 4 πr
2
3
Volume = 2 πr
3
3
Supondo que o raio dessa esfera seja igual a 2, ou seja, r = 2, podemos escrever:
Volume = 
4
3
2 32
3
3
� �� � �
Área da superfície = 4π(2)2 = 16π
A plataforma da Khan 
Academy traz muitos 
vídeos e exercícios na área 
de matemática, para todos 
os níveis de ensino. Assista 
ao vídeo intitulado Para 
que todas aquelas letras em 
álgebra?, que traz, de uma 
maneira intuitiva, o uso de 
letras nas expressões que 
chamamos de algébricas.
Disponível em: https://pt.khanaca-
demy.org/math/algebra/introduc-
tion-to-algebra/overview-hist-alg/v/
why-all-the-letters-in-algebra. 
Acesso em: 12 jan. 2021..
Vídeo
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview-hist-alg/v/why-all-the-letters-in-algebra
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview-hist-alg/v/why-all-the-letters-in-algebra
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview-hist-alg/v/why-all-the-letters-in-algebra
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview-hist-alg/v/why-all-the-letters-in-algebra
62 Matemática
Exemplo 3
Observe a imagem a seguir:
Figura 3
Relação entre circunferência, círculo e esfera
Pe
te
r H
er
m
es
 F
ur
ia
n/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Circunferência
C = 2πr
Área do círculo
A = πr2
Superfície 
esférica 
A = 4πr2
Volume
V = 
4
3 πr
3
Note que as quatro estruturas apresentadas na imagem estão relacionadas 
com a mesma variável r. Assim, se conhecemos (ou conseguimos calcular) o seu 
valor, transformamos as fórmulas do comprimento da circunferência, da área do 
círculo, da superfície esférica e do volume da esfera – todas expressões algébricas 
– em expressões numéricas. Quando resolvidas, as expressões numéricas dão um 
número representativo para cada medida.
Portanto, uma expressão algébrica, assim como uma expressão numérica, re-
presenta um número. Quando conhecemos o valor das variáveis, podemos escre-
ver essa expressão por meio do seu valor numérico. 
Ainda usando a plataforma 
da Khan Academy, reco-
mendamos que assista ao 
vídeo intitulado O que é 
uma variável?. Ele auxiliará 
na compreensão não só 
desta seção, mas também 
da matemática como um 
todo.
Disponível em: https://pt.kha-
nacademy.org/math/pt-7-ano/
algebra-equacoes-7ano/partes-de-
-expressoes-algebricas/v/what-is-a-
-variable. Acesso em: 12 jan. 2021.
Após assistir ao vídeo, 
também é possível resolver 
alguns exercícios on-line.
Disponíveis em: https://pt.kha-
nacademy.org/math/pt-7-ano/
algebra-equacoes-7ano/partes-de-
-expressoes-algebricas/e/identifyin-
g-parts-of-expressions. Acesso em: 
12 jan. 2021..
Saiba mais
3.2 Polinômios
Vídeo Uma classe importante dentro das expressões algébricassão os monômios. A 
soma de uma quantidade finita de monômios é denominada polinômio.
Por se tratar de uma expressão algébrica, um monômio apresenta uma parte 
literal e uma parte numérica.
Observe no exemplo a seguir alguns monômios.
Exemplo 4
São monômios: ax3, 34ay2b e 
1
2
 xy. Podemos ver cada um desses termos na 
tabela a seguir.
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/algebra-equacoes-7ano/partes-de-expressoes-algebricas/v/what-is-a-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/algebra-equacoes-7ano/partes-de-expressoes-algebricas/v/what-is-a-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/algebra-equacoes-7ano/partes-de-expressoes-algebricas/v/what-is-a-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/algebra-equacoes-7ano/partes-de-expressoes-algebricas/v/what-is-a-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/algebra-equacoes-7ano/partes-de-expressoes-algebricas/v/what-is-a-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/algebra-equacoes-7ano/partes-de-expressoes-algebricas/e/identifying-parts-of-expressions
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/algebra-equacoes-7ano/partes-de-expressoes-algebricas/e/identifying-parts-of-expressions
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/algebra-equacoes-7ano/partes-de-expressoes-algebricas/e/identifying-parts-of-expressions
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/algebra-equacoes-7ano/partes-de-expressoes-algebricas/e/identifying-parts-of-expressions
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/algebra-equacoes-7ano/partes-de-expressoes-algebricas/e/identifying-parts-of-expressions
Álgebra elementar 63
Tabela 2
Representação termo a termo de alguns monômios
Monômio Coeficiente Parte literal Variáveis
ax3 1 ax3 a e x
34ay2b 34 ay2b a, y e b
1
2
xy 1
2
xy
 
xy x e y
Fonte: Elaborada pela autora.
Vamos entender na sequência como verificar o grau de um monômio e de 
um polinômio.
3.2.1 Grau de um polinômio
Nesta seção, vamos basear as definições na obra de Domingues, Bento e 
Silva (2016).
O grau de um monômio é a soma dos expoentes das variáveis, ou seja, a soma 
dos expoentes da parte literal. Essa também é a maneira de se verificar o grau de 
qualquer expressão algébrica. 
Exemplo 5
Seja 7x3y2. O grau desse monômio é dado pela soma dos expoentes dos fatores 
literais. Assim:
3 + 2 = 5 
Então, o monômio 7x3y2 é do 5º grau.
Exemplo 6
Qual é o grau do monômio –8a2bc?
Somando os expoentes dos fatores literais, temos:
2 + 1 + 1 = 4 
Resposta: é do 4º grau.
64 Matemática
Exemplo 7
7x3y2 é do 3º grau com relação a x e do 2º grau com relação a y.
Se queremos um binômio, precisamos reunir dois monômios. Um binômio é a 
reunião de dois monômios, um trinômio é a reunião de três parcelas e um polinô-
mio é uma reunião de quatro ou mais monômios.
O grau de um polinômio é representado pelo grau do seu maior monômio.
Exemplo 8
Seja 7x3y2 + xy2. O grau desse binômio será igual a 5 e é obtido por meio do grau 
do primeiro monômio (primeira parcela do binômio).
Exemplo 9
Seja 5x5 + 3x2 + x + 1. O grau desse polinômio será igual a 5 e é obtido por meio 
do grau do primeiro monômio (primeira parcela do polinômio).
Note que no Exemplo 9 o polinômio é composto de quatro parcelas. Já no 
Exemplo 8 temos duas parcelas, podendo denominar a junção desses dois monô-
mios de binômio.
3.2.2 Operações com polinômios
Nesta seção, vamos entender e exercitar as operações realizadas entre 
polinômios. 
3.2.2.1 Adição ou subtração
Para realizar a adição de um polinômio, precisamos primeiramente verificar se 
este apresenta termos iguais na sua parte literal.
Álgebra elementar 65
Exemplo 10
Como todos os termos do polinômio 2xy + 7xy – 10xy têm a parte literal exata-
mente igual (xy), podemos juntar os três termos de modo a obter –1xy.
Exemplo 11
No caso do polinômio 2xy + 7x – 10y, a parte literal em cada termo não é exa-
tamente igual. É o mesmo que dizermos que queremos juntar bananas, maçãs e 
peras. Ou seja, não podemos simplificar a expressão mais do que já está. 
Exemplo 12
E no caso do polinômio 2x2 + 3x + 5x2? Precisamos respeitar o grau de cada mo-
nômio. Ou seja, x2 só pode ser unido com outro x2. Assim, podemos realizar a soma:
(2x2 + 5x2) + 3x = 7x2 + 3x
Por último, vamos mostrar como organizar uma expressão algébrica quando 
temos parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }. Nesses casos, a regra é a mesma 
usada nas expressões numéricas.
Exemplo 13
Seja 8y + {4y – [6x – y – (4x – 3y) – y] – 2x}. Então:
8y + 4y – [6x – y – 4x + 3y – y] – 2x =
8y + 4y – [2x + y] – 2x =
8y + 4y – 2x – y – 2x =
11y – 4x 
66 Matemática
Dessa forma, podemos concluir que, para somar ou subtrair polinômios, basta 
somar ou subtrair os coeficientes dos termos correspondentes (com a parte literal 
igual e de mesmo grau).
3.2.2.2 Multiplicação de polinômios
Já na multiplicação, não é necessário que a parte literal seja igual ou tenha o 
mesmo grau; basta multiplicar cada termo pelo valor desejado. Esse valor pode ser 
outra expressão algébrica. Ao final desse produto, devemos efetuar a redução dos 
termos semelhantes. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 14
1. (a – x) · 2 = 2a – 2x 
2. 5(x2 – 3y)z = 5x2z – 15yz 
3. (x – 1)(x + 1) = x · x + x · 1 – 1 · x – 1 · 1 = x2 + x – x – 1 = x2 – 1 
4. (x2 + y2)(x3 – z5) = x2 · x3 + x2(–z5) + y2 · x3 + y2(–z5) = x5 – x2z5 + x3y2 – y2z5
Desse ponto em diante, não há mais o que fazer. As expressões já estão reduzidas.
Antes de trabalharmos a divisão de polinômios, precisamos compreender 
 alguns conceitos, que serão trabalhados na sequência.
3.2.3 Polinômios com uma variável 
Um polinômio P é toda expressão algébrica na forma: 
P(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a2x
2 + a1x
1 + a0x
0
Onde an, an-1, ... , a2, a1, a0 são os coeficientes de P. As parcelas anx
n, an-1x
n-1, ..., a2x
2, 
a1x
1, a0x
0 são chamadas de termos do polinômio. 
A seguir são apresentados exemplos de polinômios de uma variável.
Exemplo 15
1. 7x – 1 
2. 8x2 – 4x + 5 
3. P(t) = t3 + 2t + 1 
Portanto, a variável não precisa necessariamente ser representada pela letra x, 
podendo assumir nomes e valores de acordo com o contexto de sua aplicação.
Para auxiliar em um me-
lhor entendimento sobre 
esse tema, sugerimos 
o vídeo Como escrever 
expressões com variáveis e 
com parênteses, da platafor-
ma da Khan Academy. Nele 
é possível trabalhar com 
mais alguns exemplos que 
envolvem o agrupamento 
de expressões algébri-
cas quando apresentam 
parênteses.
Disponível em: https://pt.kha-
nacademy.org/math/algebra/
introduction-to-algebra/alg1-writing-
-expressions/v/writing-expressions-2. 
Acesso em: 12 jan. 2021.
Vídeo
No vídeo Cálculo de ex-
pressões com uma variável, 
da plataforma da Khan 
Academy, você conseguirá 
perceber a aplicação desse 
tipo de expressão e alguns 
exemplos resolvidos. Para 
assisti-lo, acesse o link a 
seguir. 
Disponível em: https://pt.kha-
nacademy.org/math/algebra/
introduction-to-algebra/alg1-intro-
-to-variables/v/variables-and-expres-
sions-1. Acesso em: 12 jan. 2021.
Vídeo
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/alg1-writing-expressions/v/writing-expressions-2
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/alg1-writing-expressions/v/writing-expressions-2
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/alg1-writing-expressions/v/writing-expressions-2
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/alg1-writing-expressions/v/writing-expressions-2
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/alg1-intro-to-variables/v/variables-and-expressions-1
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/alg1-intro-to-variables/v/variables-and-expressions-1
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/alg1-intro-to-variables/v/variables-and-expressions-1
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/alg1-intro-to-variables/v/variables-and-expressions-1
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/alg1-intro-to-variables/v/variables-and-expressions-1Álgebra elementar 67
3.2.4 Valor numérico de um polinômio
O valor numérico de um polinômio segue o mesmo princípio que usamos para 
encontrar o valor numérico de qualquer expressão algébrica. 
Exemplo 16
Para obter o valor numérico para o polinômio P(x) = x2 + 4x + 1 para cada valor 
de x dado, fazemos:
Se x = 15 ⇒ (15)2 + 4(15) + 1 = 286. Portanto, P(15) = 286
Se x = –1 ⇒ (–1)2 + 4 (–1) + 1 = –2. Portanto, P(–1) = –2
Note que, a partir desse ponto, começamos a denotar os polinômios por P(x) e, 
conhecendo o valor de x, podemos calcular o valor numérico de cada polinômio.
3.2.5 Raiz de um polinômio
Quando um determinado valor x ∈  faz com que P(x) = 0, dizemos que x é raiz 
desse polinômio.
x ∈ 

 é raiz P ⇔ P(x) = 0
Exemplo 17
Seja P(x) = x2 + 4x + 4, sendo x = 2 teremos P(2) = 22 + 4 · 2 + 4 = 16. Portanto, 
x = 2 não é raiz de P(x).
Agora, se x = –2, teremos P(–2) = (–2)2 + 4(–2) + 4 = 0. Portanto, x = –2 é raiz de P(x).
Observe a figura a seguir:
Figura 4
Representação gráfica para 
P(x) = –x3 + x2 + x + 1
2.5
1.5
0.5
B
C
x
y
–0.5
–0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5–1.5–2.5 –2 –1
–1
0
2
1
1 2
A=(1.839,0)
P(x) = –x3 + x2 + x + 1
3 4 5
Fonte: Elaborada pela autora. 
68 Matemática
Um polinômio escrito em função de uma variável pode ser representado em um 
plano cartesiano bidimensional. Nesse caso, os valores de x serão representados 
em relação ao eixo das abscissas, e os valores obtidos para P(x) (que dependem de 
x) serão representados em relação ao eixo das ordenadas. O conceito geométrico 
da raiz para esse polinômio pode ser entendido como o valor que x assume quan-
do P(x) = y = 0, ou seja, quando a curva definida pelo polinômio intercepta o eixo x 
em um ponto (x,P(x)). 
No caso da Figura 4, a raiz de P(x) é x = 1,839.
3.2.6 Polinômio nulo
Dizemos que um polinômio P é identicamente nulo (ou simplesmente nulo) 
quando ele assumir valor numérico zero ∀x ∈  (lê-se "para todo x pertencente ao 
conjunto dos números reais").
 P = 0 ⇔ P(x) = 0 ∀x ∈ 

Para que um polinômio seja nulo, é necessário que todos os seus coeficientes 
também sejam nulos.
3.2.7 Igualdade entre polinômios
Dois polinômios P e Q são denominados iguais (ou idênticos) quando assumem 
valores iguais para todo valor de x. 
 P = Q ⇔ P(x) = Q(x) ∀ x ∈ 
Também é possível provar que a igualdade entre P e Q acontece se, e somente 
se, os coeficientes desses polinômios forem ordenadamente iguais. Matematica-
mente, isso significa que: 
 se P(x) = anx
n+ ··· + a1 x
1 + a0 x
0 e Q(x) = bnx
n + ··· + b1x
1 + b0x
0
 então,
P = Q ⇔ an = bn; … ; a1 = b1 e a0 = b0
Exemplo 18
Seja P(x) = ax2 + 3x + 1 e Q(x) = –3x2 + bx – c. Sabendo que P(x) = Q(x), calcule os 
valores para a, b e c.
Nesse caso, como os polinômios P e Q são iguais, podemos igualar cada uma 
das parcelas (monômios) que os compõem.
Dessa forma:
ax2 = –3x2
3x = bx
1 = –c
Assim, a = –3, b = 3 e c = –1.
Um polinômio na forma P(x) = x2 
– 4x + 4 é também chamado de 
função do segundo grau. Assumin-
do x = 2, podemos encontrar o 
valor para P(2). Calcule e discorra 
sobre esse resultado. 
Atividade 1
Álgebra elementar 69
Note que fazemos uma comparação dita dois a dois, mas é possível usar esse re-
sultado para comparar com outros polinômios, e assim sucessivamente, podendo 
realizar comparações entre n polinômios.
3.2.8 Grau de um polinômio de uma variável
O grau de um polinômio é indicado pelo maior expoente da variável.
Exemplo 19
8x2 – 4x + 5 é um polinômio do 2º grau.
4x5 – 2x3 + 8x2 – x + 7 é um polinômio do 5º grau.
Em geral, os polinômios são ordenados segundo as potências decrescentes da 
variável.
Exemplo 20
1. 8x2 – 4x + 5 (polinômio ordenado)
2. 8x2 + 7 + 4x5 – 2x3 – x (polinômio não ordenado) 
Quando um polinômio estiver ordenado e estiver faltando uma ou mais po-
tências, dizemos que os coeficientes desses termos são zeros e que o polinômio é 
incompleto.
Exemplo 21
• 4x5 – 2x3 + 8x2 – x + 7 (polinômio incompleto)
• 4x5 – 0x4 + 2x3 + 8x2 – x + 7 (polinômio completo ou forma completa)
Chamamos a atenção, neste momento, para a igualdade de polinômios. Quan-
do queremos comparar dois polinômios incompletos, precisamos escrevê-los da 
forma completa e comparar os monômios de mesmo grau.
70 Matemática
3.3 Operações de polinômios com uma variável 
Vídeo Nesta seção falaremos das operações de adição, subtração, multiplicação e divi-
são entre polinômios com uma variável. Vamos entendê-las a seguir.
3.3.1 Adição de polinômios
A adição de polinômios é a adição de todos os seus monômios. 
Exemplo 22
(3x2 – 4x + 3) + (x2 + 7x – 9) = 3x2 + x2 – 4x + 7x + 3 – 9
= 4x2 + 3x – 6
Observe que podemos somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau.
3.3.2 Subtração de polinômios
Para subtrair um polinômio de outro, basta somar o primeiro com o oposto 
do segundo.
Exemplo 23
(3x2 – 4x + 3) – (x2 + 7x – 9) =
3x2 – 4x + 3 – x2 – 7x + 9 =
2x2 – 11x + 12
Observe que podemos subtrair os coeficientes dos monômios de mesmo grau.
3.3.3 Multiplicação de polinômios
Na multiplicação de monômio por polinômio, multiplicamos o monômio por to-
dos os termos do polinômio.
Exemplo 24
2x (3x2 – 2x) = 2x · 3x2 + 2x · (–2x) =
= 6x3 – 4x2
Álgebra elementar 71
Na multiplicação de polinômio por polinômio, multiplicamos cada termo do pri-
meiro polinômio por todos os termos do segundo e, a seguir, reduzimos os termos 
semelhantes.
Exemplo 25
(x – 2)(x2 + 3x – 4) =
x · x2 + x · 3x + x · (–4) – 2 · x2 – 2 · 3x + –2 · (–4) =
x3 + 3x2 – 4x – 2x2 – 6x + 8 =
x3 + x2 – 10x + 8
3.3.4 Divisão de polinômios
Quando falamos em divisão de polinômios, podemos também escrever que es-
tamos trabalhando com a divisão entre polinômios. Vamos entender esse processo.
Na divisão de um polinômio por um monômio, dividimos cada termo do polinô-
mio pelo monômio.
Exemplo 26
24 20 4 24
4
20
4
6 56 5 2
6
2
5
2
4 3x x x x
x
x
x
x x�� � � � � � � � �
Na divisão de polinômio por polinômio, vamos mostrar, por meio de exemplos, 
uma regra prática para efetuar a divisão.
Exemplo 27
Seja A(x) um polinômio dado por x4 + x3 – 7x2 + 9x – 1 e B(x) outro polinômio 
dado por B(x) = x2 + 3x – 2. A divisão entre A(x) e B(x), ou seja, o quociente, pode ser 
calculado da seguinte maneira:
1. Os polinômios devem estar em ordem decrescente em relação à variável.
(x4 + x3 – 7x2 + 9x – 1)/(x2 + 3x – 2)
2. Dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do 
divisor. O resultado será um termo do quociente.
Adoramos indicar ferra-
mentas computacionais, 
e, no caso das raízes de 
um polinômio, temos o 
GeoGebra on-line. Além da 
possibilidade de programar 
seu próprio polinômio e 
descobrir quais são as 
raízes para ele, também 
podemos usar algumas 
ferramentas que já estão 
prontas e disponíveis na 
internet. Sugerimos que 
acesse o endereço eletrô-
nico a seguir e se divirta 
com a ferramenta criada 
por Luciana Brito. Com ela 
você poderá montar seu 
próprio polinômio, alterá-lo 
quantas vezes desejar e 
rapidamente encontrar 
as raízes para essas alte-
rações. 
Disponível em: https://www.
geogebra.org/m/Fewn5qyb. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
É possível, ainda, construir 
seu polinômio usando 
a ferramenta criada por 
Nuno Santos. Com ela tam-
bém é possível encontrar 
raízes para os polinômios 
idealizados. Acesse o en-
dereço eletrônico indicado 
a seguir.
Disponível em: https://www.
geogebra.org/m/cQt6NQyE. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Saiba mais
https://www.geogebra.org/m/Fewn5qyb
https://www.geogebra.org/m/Fewn5qyb
https://www.geogebra.org/m/cQt6NQyE
https://www.geogebra.org/m/cQt6NQyE
72 Matemática
Na figura a seguir apresentaremos a divisão entre os polinômios A(x) e B(x).
Figura 5
Divisão de A(x) por B(x)
x x x x x x
x x x
x x x
4 3 2 2
4 3 2
3 2
7 9 1 3 2
3 2
2 5 9 1
� � � � � �
� � �
� � � �
x2
x x x x x x
x x x
4 3 2 2
4 3 2
7 9 1 3 2
3 2
� � � � � �
� � �� � x2 =
Fonte: DIVISÃO..., 2020.
3. Repetimos todo o procedimento com o resto parcial obtido até que o resto 
tenha graumenor que o divisor.
Na figura a seguir, apresentamos esse processo até a obtenção do quociente da 
divisão, ou seja, o resultado da divisão de A(x) por B(x).
Figura 6
Continuação da divisão de A(x) por B(x)
=
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x
4 3 2 2
4 3 2
3 2
3 2
7 9 1 3 2
3 2
2 5 9 1
2 6 4
� � � � � �
� � �� �
� � � �
� �
22
2
5 1
3 2
� �
� � �
x
x x( )
x2–2x+1
resto: R(x)
(o grau do resto é menor 
que o do divisor)
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x
4 3 2 2
4 3 2
3 2
3 2
2
7 9 1 3 2
3 2
2 5 9 1
2 6 4
� � � � � �
� � �
� � � �
� �
�55 1
3 22
x
x x
�
� � �
x2–2x+1
quociente: Q(x)
2x+1
Fonte: DIVISÃO..., 2020.
Ao final do processo, obtemos o quociente: x2 – 2x + 1 e o resto: 2x + 1.
Caso você ainda tenha 
dúvida sobre como realizar 
o método da chave para 
divisão de dois polinômios, 
assista ao vídeo Divisão de 
polinômios: passo-a-passo 
(método da chave), publi-
cado pelo canal Estude 
Matemática.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=X4YFOpuqBEU. Acesso 
em: 12 jan. 2021..
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=X4YFOpuqBEU
https://www.youtube.com/watch?v=X4YFOpuqBEU
Álgebra elementar 73
3.3.5 Algoritmo da divisão de polinômios (dispositivo prático 
de Briot-Ruffini)
O dispositivo prático de Briot-Ruffini, ou algoritmo da divisão polinomial, auxilia 
na agilidade do processo de divisão entre dois polinômios. 
Para que entendamos esse dispositivo, vamos enunciar o teorema de 
D’ Alembert.
Teorema 1: Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0.
O dispositivo prático de Briot-Ruffini é utilizado para determinar o quociente e o 
resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a).
Exemplo 28
Queremos encontrar o resultado da divisão de 2x3 – x2 + 3x + 2 por x – 1. Apli-
cando Briot-Ruffini temos:
1 2 –1 3 2
2 1 4 6
 Dessa forma, obtemos um quociente igual a 2x2 + x + 4, e resto dessa divisão é 
igual a 6.
Sugerimos a leitura do artigo Uma generalização de Briot-Ruffini, de Lenimar Nunes de 
 Andrade, publicado na Revista do Professor de Matemática. Trata-se de um material bem 
exemplificado sobre esse tema.
Acesso em: 12 jan. 2021. 
http://rpm.org.br/cdrpm/34/3.htm
Artigo
Busto do matemático Paolo 
Ruffini, criador do método de 
divisão de polinômios.
G.steph.rocket/ Gikimedia Gommons
Pelo teorema de D´Alembert, 
vimos que (x – a) divide P(x) se 
P(a) = 0. Partindo desse princípio, 
discorra sobre como podemos 
usar o dispositivo prático de 
Briot-Ruffini para a divisão de 
um polinômio Q(x) por (bx – a), 
sabendo que (bx – a) divide Q(x).
Atividade 2
O vídeo Polinômios – Algo-
ritmo de Briot-Ruffini, publi-
cado pelo canal Me Salva!, 
traz o passo a passo, com 
exemplos diferentes, do 
uso do dispositivo prático 
de Briot-Ruffini. Assista ao 
vídeo e tire suas dúvidas.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=nZ6wTYKCP6E. Acesso 
em: 12 jan. 2021..
Vídeo
3.4 Produtos notáveis
Vídeo Toda vez que falamos em produto, na verdade estamos falando 
em multiplicação. O produto é o resultado da multiplicação entre fa-
tores. No entanto, ao falarmos de produtos notáveis, estamos tratan-
do do produto entre expressões algébricas. 
Vamos estudar os principais produtos entre expressões algébri-
cas, chamados produtos notáveis.
http://rpm.org.br/cdrpm/34/3.htm
https://www.youtube.com/watch?v=nZ6wTYKCP6E
https://www.youtube.com/watch?v=nZ6wTYKCP6E
74 Matemática
3.4.1 Quadrado da soma de dois termos
Muitas são as formas de apresentar os produtos notáveis, mas talvez a repre-
sentação geométrica (Figura 7) seja a que nos leva mais rapidamente a entender 
esse conceito. 
ab
a
(a + b)2 = a² + 2ab + b² 
a
b
b
a2 ab
b2
Figura 7
Representação geométrica do quadrado da soma
Dn
 B
r/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Logo, o quadrado da soma nada mais é do que a área de um quadrado de lado 
(a + b), que é igual à soma das áreas de um quadrado de lado a, um quadrado de 
lado b e dois retângulos de base a e altura b.
O quadrado da soma de dois termos a e b é igual ao “quadrado do primeiro 
termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado 
do segundo termo” (DANTE, 2011, p. 35).
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
Observe:
A = (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a2 + 2ab + b2
O que encontramos é exatamente a equação exposta no cálculo do quadrado 
da soma. 
3.4.2 Quadrado da diferença de dois termos
Geometricamente, podemos representar o quadrado da diferença por meio da 
figura a seguir. 
a
a
(a – b)2 = a2 – 2ab +b2 
(a – b)2 
a – b
a – b
b
b
b2
Figura 8
Representação geométrica do 
quadrado da diferença
Fonte: Elaborada pela autora. 
Álgebra elementar 75
O quadrado da diferença entre dois termos a e b é igual ao quadrado do pri-
meiro termo, menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o 
quadrado do segundo termo.
3.4.3 Produto da soma pela diferença de dois termos
No caso a seguir, queremos calcular a área de um retângulo de base (a + b) e 
altura (a – b). Observe a decomposição geométrica para a obtenção do retângulo 
desejado. Note que partimos de um quadrado de lado a, do qual retiramos um pe-
queno quadrado de lado b. Trabalhando sobre os retângulos obtidos, chegamos a 
um retângulo de lados (a + b) e (a – b) e, portanto, área igual a (a – b) (a + b) = a2 – b2. 
Figura 9
Representação geométrica do produto da soma pela diferença
Vs
b/
G
ik
im
ed
ia
 G
om
m
on
s
a a
a–b a–b a–b
a a a a a
b b a – b
b b b
b
Assumindo a como o primeiro termo de uma expressão algébrica e b como o 
segundo termo da mesma expressão, o produto da soma pela diferença é também 
uma expressão algébrica obtida pelo quadrado do primeiro termo menos o qua-
drado do segundo termo. 
Vamos exemplificar.
Exemplo 29
(x – 3)(x + 3) = x · x + x · 3 – 3 · x – 3 · (3) = x2 – 9
Portanto, o produto da soma pela diferença é uma multiplicação de fatores que 
pode ser representada geometricamente e analisada por meio do cálculo de áreas.
3.4.4 Cubo da soma de dois termos
No caso a seguir, estamos calculando o volume de um cubo de arestas (a + b). A 
figura mostra a representação geométrica para o cubo da soma. 
76 Matemática
Figura 10
Representação geométrica do cubo da soma
Dr
in
i/G
ik
im
ed
ia
 G
om
m
on
s
a3
b3
ab2
a2b
a b
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
Exemplo 30
• (2 + x)3 = 8 + 12x + 6x2 + x3
• (x ± 1)3 = x3 + 3x² + 3x + 1
3.4.5 Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença de dois termos é calculado pelo cubo do primeiro termo, 
menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, somado 
a três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, menos o cubo 
do segundo termo. Ele também utiliza a potenciação para elevar ao expoente 3 a 
subtração de dois termos.
A figura a seguir mostra a representação geométrica para o cubo da diferença 
de dois termos. 
Figura 11
Cubo da diferença de dois termos
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
b
a
a
a
b
b
b a–b
a–b
a–b a2b
b(a – b)2
b(a2 – 2ab + b2)
a2 b – 2ab2 + b3 
ab(a – b)
a2b – ab2
Com a intenção de melho-
rar a visualização geomé-
trica do cubo da soma, é 
possível usar o GeoGebra 
on-line, mais especifi-
camente uma atividade 
desenvolvida por Aroldo 
Eduardo Athias Rodrigues. 
Nela você poderá enxergar 
onde se encaixam os 
cubos e os paralelepípedos 
que compõem o cubo 
maior de lado (a + b).
Disponível em: https://www.
geogebra.org/m/KbYhXPDg. Acesso 
em: 12 jan. 2021. 
Saiba mais
O vídeo Produtos Notáveis 
- Brasil Escola, publicado 
pelo canal Brasil Escola, 
traz não só a teoria, mas 
também alguns exemplos 
resolvidos de produtos 
notáveis. 
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=D-kqUKfEXCQ. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Vídeo
https://www.geogebra.org/m/KbYhXPDg
https://www.geogebra.org/m/KbYhXPDg
https://www.youtube.com/watch?v=D-kqUKfEXCQ
https://www.youtube.com/watch?v=D-kqUKfEXCQ
Álgebra elementar 77
Exemplo 31
Fazendo o cálculo das alternativas a seguir, temos:
a. Formalonga sem uso do produto notável: (x – 3)3 = (x – 3)(x – 3)(x – 3) = 
(x – 3)2 (x – 3) = (x2 – 6x + 9)(x – 3) = x2 · x + x2 (–3) – 6x · x – 6x · (–3) + 9 · x + 9 · 
(–3) = x3 – 3x2 – 6x2 + 18x + 9x – 27 = x3 – 9x2 + 27x – 27
b. Usando o produto notável: (x – 3)3 = (x)3 – 3x2 · 3 + 3x · (3)2 – (3)3 = x3 – 9x2 + 
27x – 27 
c. (2x – 1)3 = (2x)3 – 3 · (2x)2 (1) + 3 · (2x) · 13 – 13 = 8x3 – 12x2 + 6x – 1
3.5 Fatoração 
Vídeo Fazer uma fatoração é encontrar os fatores que, quando multiplicados, dão ori-
gem a um produto. 
Por exemplo, fatorar o número 8 em múltiplos de 2 é escrever:
2 · 2 · 2 = 8
fator fator fator produto
Contudo, nosso interesse é a fatoração de expressões algébricas, e para isso 
vamos estudar alguns métodos que facilitam essa manipulação dependendo da 
expressão que possuímos.
3.5.1 Fator comum 
Fatores são as partes de uma multiplicação, portanto queremos identificar os 
fatores comuns para que possamos colocá-los em evidência.
Exemplo 32
Observe os seguintes polinômios:
cxy + cyz
Ambos os termos apresentam o fator cy em comum.
Assim, podemos colocá-lo em evidência, obtendo com isso a forma fatorada:
cxy + cyz = cy (x + z)
Para verificar se realizamos a fatoração de modo correto, basta multiplicar:
cy (x + z) = cyx + cyz
cy.x
cy.z
78 Matemática
Lembre-se de que a ordem dos fatores 
não altera o produto!
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
A figura a seguir mostra geometricamente o processo de fatoração por meio do 
fator comum.
cxy + cyz = cy (x + z)
cxy
cy
x z
cyz
Figura 12
Fator comum
Fonte: Elaborada pela autora.
É muito comum usar processos de fatoração quando precisamos simplificar 
uma expressão algébrica.
Vejamos mais alguns casos de fatoração.
3.5.2 Diferença entre dois quadrados
A diferença entre dois quadrados também é um método de fatoração que tem 
como base um produto notável. Assim, devemos transformar as expressões em 
produtos da soma pela diferença, extraindo a raiz quadrada de cada quadrado 
(DANTE, 2011).
Exemplo 33
A diferença entre dois quadrados pode ser decomposta em dois fatores:
a2 – b2 = (a – b) (a + b)
Ao relacionar a estrutura algébrica com a estrutura geométrica, podemos 
 entender que a diferença entre dois quadrados nada mais é do que a subtração 
entre as áreas de dois quadrados. 
Usando o Exemplo 33, o que temos é uma subtração entre um quadrado de 
área A1 = a
2 e um outro quadrado de área A2 = b
2.
Álgebra elementar 79
É possível entender o processo geométrico da diferença entre dois quadrados 
por meio da figura a seguir.
Figura 13
Diferença entre dois quadrados
a
b
b a a
b2
a2(a+b) (a–b)
3.5.3 Trinômio do quadrado perfeito
Quando elevamos um binômio ao quadrado, como nos casos vistos na seção 
de produtos notáveis (por exemplo: (a + b)2), o termo encontrado recebe o nome 
de trinômio do quadrado perfeito. É possível relacionar o trinômio do quadrado 
perfeito geometricamente por meio da área do quadrado com um lado conhecido.
Veja alguns exemplos de trinômios:
(a2 + 2ab + b2) = (a + b)2
(a2 – 2ab + b2) = (a – b)2
Esses trinômios são considerados perfeitos porque são obtidos, respectivamen-
te, quando as expressões (a + b) e (a – b) são elevadas ao quadrado.
Exemplo 34
Seja a área de um quadrado dada por A = 9x2 + 30x + 25. Para calcular o lado 
desse quadrado, utilizamos a regra do trinômio do quadrado perfeito. 
O trinômio do quadrado perfeito para o quadrado de área 9x2 + 30x +25 pode 
ser observado geometricamente na figura a seguir.
Figura 14
Quadrado de lado (3x + 5)
(3x+5)
(3x+5)
Fonte: Elaborada pela autora.
Dr
in
i/G
ik
im
ed
ia
 G
om
m
on
s
80 Matemática
Portanto, podemos dizer que 9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2, e dessa forma, observa-
mos que o lado do quadrado é dado por (3x + 5).
3.6 Expressões algébricas envolvendo raízes
Vídeo O processo de organização de uma expressão algébrica que envolve raízes é 
o mesmo realizado nas expressões que acabamos de ver, mas agora precisamos 
inserir mais uma operação, que é a de radiciação.
Assim, por exemplo, se temos um termo de uma expressão algébrica do tipo 
x , só podemos organizá-lo (juntá-lo) a outros termos iguais a ele, nos casos de 
soma ou subtração (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 2013).
Já na multiplicação, o procedimento deverá ser realizado da mesma maneira 
que fizemos anteriormente. Podemos optar por transformar uma radiciação em 
uma potência e, dessa forma, conseguimos usar as operações usuais da potência 
de um número. Vamos entender com os exemplos a seguir.
Exemplo 35
1. x x x� �2 3
2. 5 2 4 2 2x x x� �
3. 5 5 2x x− (Essa expressão já está reduzida)
Exemplo 36
x x x x x. �� � � �1
Podemos deixá-la assim ou transformar a raiz em potência da seguinte forma:
x x x x x.
1
2
1
2
3
2
1
2� � �
Nesse ponto, temos a expressão reduzida, mas apresentada em forma de po-
tência. Ainda poderíamos fazer assim:
x x x x x x
3
2
1
2 32 1 3� � � � �
As três respostas estão corretas e reduzidas. A escolha por uma ou por outra 
dependerá diretamente de onde utilizaremos esse resultado.
Álgebra elementar 81
Exemplo 37
1. 
x
x �� �1 (Esse exemplo já apresenta uma expressão reduzida)
2. x
x
x
x
x x x
53
84
5
3
8
4
5
8
8
4
1
13 3� � � �
� � ��
Note que o procedimento depende do bom conhecimento das propriedades de 
potenciação e radiciação. Assim, caso tenha alguma dúvida nesse tema, sugerimos 
que faça uma recapitulação rápida para não carregar dúvidas sobre este capítulo.
3.6.1 Simplificação de expressões algébricas
Já vimos diversos exemplos de expressões algébricas, mas nesta seção vamos 
entender como realizar simplificações nessas expressões quando elas aparecem 
em forma de fração. 
Segue um passo a passo para analisarmos uma fração algébrica. Na sequência 
veremos exemplos desse processo.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Para simplificar frações algébricas 
• Se os termos forem monômios, cancelamos os fatores 
comuns.
• Se forem polinômios, fatoramos o numerador e/ou o de-
nominador e, depois, cancelamos os fatores comuns.
• Para fatorar o numerador e/ou o denominador, usamos a 
seguinte ordem:
1. Primeiramente, colocamos o(s) fator(es) comum(ns) em 
evidência.
2. Depois:
a. Se obtivermos um binômio, verificamos se é uma 
diferença de dois quadrados e o fatoramos;
b. Se for um trinômio, verificamos se é um trinômio do 
quadrado perfeito e o fatoramos;
c. Se houver quatro termos ou mais, verificamos se é 
possível realizar o agrupamento.
Fonte: Iezzi; Dolce; Murakami, 2013.
82 Matemática
É importante analisar o denominador de uma fração algébrica, pois ele deve ser 
sempre diferente de zero. 
Uma fração que não admite mais simplificação é chamada de irredutível.
Exemplo 38
x yx
y
x y
y
x x
2 2 2 2
2
1
1
1 1
�
�
�
�� �
�� � � �
x x
x
x
x
x
2 22 1
1
1
1
1� �
�
�
�� �
�
� �
x
x
x x
x
x
2 4
2
2 2
2
2�
�
�
�� � �� �
�
� �
Dessa forma, conseguimos manipular expressões algébricas simplificando, fato-
rando ou aplicando outras operações de maneira que sejam aplicáveis em diversos 
contextos dentro e fora da matemática.
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Como você pode ter percebido, tanto as expressões algébricas como os casos par-
ticulares que as envolvem – como os polinômios – estão presentes em diversas situa-
ções do nosso cotidiano. Se uma situação-problema possui algum valor desconhecido, 
podemos representá-lo por uma variável, fazendo com que nossa situação-problema 
logo se transforme em uma expressão algébrica.
Falamos muito em agilidade, em simplificação e em organização de expressões. 
Para quem está começando a estudar agora, pode parecer desnecessário (“perda de 
tempo”), mas todos esses processos serão fundamentais em disciplinas mais avan-
çadas de cursos de matemática, física, química, engenharias, cursos da área de tec-
nologia e até mesmo nas áreas de ciências sociais, humanas e biológicas, nas quais 
simplificações, fatorações e conceitos vistos neste capítulo se enquadram no que cha-
mamos de matemática básica e, dessa forma, dão suporte paraoutras disciplinas. 
REFERÊNCIAS
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. São Paulo: Ática, 2011. v. 1.
DIVISÃO de polinômios. Só Matemática, 2020. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/emedio/
polinomios/polinomios5.php. Disponível em: 12 jan. 2021.
DOMINGUES, J. S.; BENTO, F. S.; SILVA, T. H. Introdução à álgebra elementar. Formiga: IFMG Campus 
Formiga, 2016. Disponível em: https://formiga.ifmg.edu.br/documents/2019/Cursos/Matematica/Livro_
algebra-revisado.pdf. Acesso em: 12 jan. 2021.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Fundamentos da matemática elementar. São Paulo: Atual, 2013. v. 6. 
Vimos que é importante analisar 
o denominador de uma fração 
algébrica, sendo que o seu valor 
numérico deve ser diferente de 
zero. O que ocorre se (x
2 – 4)
x – 2
, 
com x = 2?
Atividade 3
https://www.somatematica.com.br/emedio/polinomios/polinomios5.php
https://www.somatematica.com.br/emedio/polinomios/polinomios5.php
https://formiga.ifmg.edu.br/documents/2019/Cursos/Matematica/Livro_algebra-revisado.pdf
https://formiga.ifmg.edu.br/documents/2019/Cursos/Matematica/Livro_algebra-revisado.pdf
Álgebra elementar 83
GABARITO 
1. Temos que P(x) = x2 – 4x + 4. Sabendo que x = 2, podemos fazer P(2) = 22 – 4 · 2 + 4 = 0. Portanto, P(2) = 0. 
Esse resultado pode ser interpretado como uma raiz da função ou do polinômio, pois temos um valor 
de x que faz com que P(x) = 0, ou seja, valores onde a curva polinomial intercepta o eixo das abscissas.
2. Sabendo que (bx – a) divide Q(x) e conhecendo a técnica de usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini, 
precisaremos aplicar no dispositivo o fato de que (bx – a) = (x – a/b). Dessa forma, podemos escrever 
Q(a/b) = 0.
3. Sabendo que 
x
x
2 4
2
�� �
�
, com x = 2, se substituirmos diretamente o valor de x = 2 na expressão algébrica, 
obteremos uma indeterminação matemática da forma 0
0
.
Como o próprio nome diz, em uma indeterminação matemática, nada podemos concluir sobre essa 
expressão em x = 2.
84 Matemática
4
Equações e funções 
do 1º e 2º graus
De maneira ampla, funções e equações são utilizadas em muitas situa-
ções do nosso cotidiano. Das mais simples, compostas de uma variável, às 
mais complexas, compostas de múltiplas variáveis, podemos apresentar 
exemplos de problemas do dia a dia sendo modelados e resolvidos por 
meio de uma função ou uma equação.
As equações e funções do 1º e 2º graus são o nosso primeiro contato 
com esse mundo, quando ainda estamos no ensino fundamental.
Este é o tema deste capítulo: queremos trazer não só a conceituação 
teórica das equações e funções do 1º e 2º graus, mas também a resolução 
de problemas.
Ao final deste capítulo, esperamos que não restem dúvidas sobre a 
teoria e que muitos questionamentos sejam gerados com a possibilidade 
de aplicação desses conceitos.
4.1 Equação do 1º grau
Vídeo É dito pela sabedoria popular que um homem deve plantar uma árvore, ter um 
filho e escrever um livro. Vamos supor que um grupo de X pessoas deseja realizar 
esses três atos. Para transformarmos essa ideia em um modelo matemático, po-
demos relacionar a variável quantidade de pessoas com a variável três atos (plantar 
uma árvore, ter um filho e escrever um livro). Dessa forma, a quantidade total de 
atos realizados depende diretamente da quantidade de pessoas que os realizarão. 
Podemos escrever isso matematicamente como:
x = quantidade de pessoas
y = quantidade de atos
Podemos, ainda, escrever uma equação para essa relação: “cada pessoa realiza 
3 atos”. Portanto:
y = 3x (modelo matemático)
Equações e funções do 1º e 2º graus 85
Figura 1
Gráfico do modelo matemático
Y
X
1
5
10
15
y = 3x
20
25
A
0–1–2–3–4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que a quantidade de pessoas é 
diretamente proporcional à quantidade 
de atos.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Assim, assumindo valores para x, obteremos os respectivos valores para y = 3x, 
de acordo com a tabela a seguir.
Tabela 1
Modelo matemático y = 3x
x y = 3x
0 3 · 0 = 0
1 3 · 1 = 3
2 3 · 2 = 6
3 3 · 3 = 9
4 3 · 4 = 12
5 3 · 5 = 15
Fonte: Elaborada pela autora.
Vamos agora inverter a situação e supor que 15 atos foram realizados. Dessa 
forma, precisamos calcular quantas pessoas estavam presentes nesse grupo que 
realizou esses 15 atos. Considerando que o modelo matemático para esse proble-
ma foi definido por y = 3x e as pessoas foram identificadas pela variável x, podemos 
escrever:
15 = 3x (1)
Dessa forma, x = 5, ou seja, 5 pessoas participaram da efetivação dos 15 atos.
86 Matemática
Definição:
Uma expressão algébrica da forma 
ax1 + b = 0 com a ≠ 0 e a, b ∈ ℝ é dita 
uma equação do 1º grau.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
A equação (1) pode ser escrita de acordo com a definição e, desse modo, temos:
3x – 15 = 0
Onde a = 3 e b = –15.
Note que 3 ⋅ 5 – 15 = 0.
A figura a seguir representa a equação 3x = 15 para x = 5.
Figura 2
Representação de uma equação por meio de uma balança
Ge
ar
st
d/
Sh
ut
te
rs
to
ck
5 5 5
15
4.1.1 Solução de uma equação
A solução de uma equação do 1º grau dependerá do número de variáveis que 
ela apresenta. Quando trabalhamos com equações do 1º grau com apenas uma 
incógnita, esta apresentará uma solução numérica única.
Assim, assumindo a equação do 1º grau dada por ax + b = 0, podemos analisar 
dois casos possíveis:
1º Caso 2º Caso
b ≠ 0 b = 0
ax = –b ax = 0
x b
a
� � x = 0
Equações e funções do 1º e 2º graus 87
Exemplo 1
Seja uma equação do 1º grau dada por 1
3
4
5
0x � � . Queremos encontrar a solu-
ção para essa equação.
Assim, temos a primeira situação, em que b ≠ 0, e podemos escrever:
x � �
�
4
5
1
3
Logo, x � � �4
5
3
1
12
5
O processo aqui é o de isolar a variável que desejamos e, ao fazê-lo, encontra-
mos a solução para a equação do 1º grau.
4.1.2 Resolução de uma equação do 1º grau
Seja ax + b = 0, então ax = – b. Logo, x b
a
� � , com a ≠ 0, é a solução da equação 
do 1º grau.
Vamos aplicar esse processo resolutivo a seguir, usando a mesma equação do 
Exemplo 1.
Exemplo 2
Seja uma equação do 1º grau dada por � x1
3
4
5
0� � . Queremos encontrar a solu-
ção para essa equação. Assim: 1
3
4
5
0x � � . Então, 1
3
4
5
x = .
Isolando a variável x, teremos x =
4
5
1
3
. Logo:
x � � �4
5
3
1
12
5
Portanto:
x=12
5
Dessa forma, para modelar e resolver um problema, podemos seguir os seguin-
tes passos:
Complementando o con-
teúdo visto até o momento 
e já antecipando alguns 
conceitos sobre equações 
do 1º grau, sugerimos o ví-
deo Equações - Aula 30, pu-
blicado pelo canal Portal da 
Matemática OBMEP. Nele, 
o professor Sandro Vinicius 
mostra uma abordagem de 
modelagem e solução para 
uma aplicação do nosso 
cotidiano.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=yj3pvWVe4c4&-
feature=emb_logo. Acesso em: 12 
jan. 2021.
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=yj3pvWVe4c4&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=yj3pvWVe4c4&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=yj3pvWVe4c4&feature=emb_logo
88 Matemática
1 Encontrar o modelo matemático que representa uma situação enunciada. 
3 Encontrar uma solução numérica para essa expressão.
2 Organizar a expressão algébrica deixando variáveis de um lado da igualdade e termos independentes do outro lado da igualdade.
4 Verificar se essa solução pertence ao conjunto de soluções possíveis.
5 Apresentar o conjunto solução com o valor encontrado para o modelo matemático que resolve a situação concreta (de maneira exata ou aproximada).
Quando não temos uma aplicação que necessite ser modelada, passamos dire-
tamente para o segundo passo, que pode envolver operações de adição, subtração, 
multiplicação e potenciação, entre outras.
4.1.3 Conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação 
do 1º grau
Seja ax + b = 0, com x b
a
� � , então o conjunto solução é dado por:
S x x b
a
a� � � � ���
�
�
�
�
| �, 0
Podemos apresentar o conjunto solução utilizando a reta numérica como se 
segue:
Figura 3
Conjunto solução de ax+ b = 0 na reta real
–b/a
a ≠ 0
ℝ
Fonte: Elaborada pela autora.
Assumindo o Exemplo 1, para que possamos encontrar a solução para a equa-
ção, precisamos representar o conjunto solução para a expressão 1
3
4
5
0x � � . 
Nesse caso, temos:
S= x |x� ���
�
�
�
�
 12
5
Sugerimos, como comple-
mento ao tema, um vídeo 
muito interessante publica-
do pelo canal Portal da Ma-
temática OBMEP, chamado 
Resolução de equações 
1 - Aula 32, que mostra 
uma aula ministrada pelo 
professor Sandro Vinicius. 
Nele, o professor trata o 
conceito de equação fa-
zendo uma analogia a uma 
balança equilibrada. Tal 
conceito pode ser usado 
tanto em equações de 1º 
grau como em outros tipos 
de equações. Para assistir 
ao vídeo, basta acessar o 
endereço a seguir.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=bRL2fjTdIJ8&fea-
ture=emb_logo. Acesso em: 12 
jan. 2021.
Se você tiver interesse em 
ir mais a fundo nesse tema, 
pode também assistir aos 
demais vídeos de resolu-
ção de exercícios do canal.
Disponíveis em: https://portaldaob-
mep.impa.br/index.php/modulo/
ver?modulo=44#. Acesso em: 12 
jan. 2021.
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=bRL2fjTdIJ8&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=bRL2fjTdIJ8&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=bRL2fjTdIJ8&feature=emb_logo
https://portaldaobmep.impa.br/index.php/modulo/ver?modulo=44#
https://portaldaobmep.impa.br/index.php/modulo/ver?modulo=44#
https://portaldaobmep.impa.br/index.php/modulo/ver?modulo=44#
Equações e funções do 1º e 2º graus 89
Adotamos x ∈ ℝ, pois o nosso problema não estava contextualizado (não tínha-
mos uma situação-problema). Assim, a variável x está bem definida para todos os 
reais, tal que 1
3
4
5
0x � � .
Note que, se adotarmos a equação 3x = 15, apresentada no início do capítulo, 
onde x é o número de pessoas que realizaram os atos, percebemos que x deve ser 
um número inteiro e positivo. Nesse caso, teremos:
S x x� � �� ��*| 5
Onde +
*

 representa o conjunto dos números inteiros positivos, sem o zero.
4.2 Função do 1º grau
Vídeo Pensando nas relações binárias que podemos escrever por meio de uma re-
gra de dependência entre duas variáveis, pode-se imaginar que existem muitas 
possibilidades.
Para que consigamos estudar essas regras, dividimos esses conjuntos em gru-
pos bem específicos, de acordo com o tipo de função que a regra representa.
Vamos apresentar um grupo de funções denominado afim ou do 1º grau.
Se voltarmos aos dados apresentados na Tabela 1, em que modelamos e resol-
vemos o problema dos três atos, podemos escrever o modelo na forma f(x) = 3x ⇒ 
f(x) = 3x + 0. Essa função pode ser generalizada por meio da equação:
f(x) = ax + b (2)
onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 
O coeficiente linear também é reconhecido por ser a intersecção com o eixo y 
no plano cartesiano.
A equação (2) é a expressão geral de uma função afim. Esse tipo de função tam-
bém é conhecida como função do 1º grau, pois, como podemos ver, o maior grau 
para a variável x presente em ax + b é 1.
Dentro desse grupo de funções que chamamos de afim, ainda podemos identi-
ficar três subgrupos:
 • Funções lineares: uma função é dita linear quando b = 0 para a ≠ 0 1 . A regra 
geral para função linear é:
f(x) = y = ax
 • Funções identidade: uma função é dita identidade quando a = 1 e b = 0. A 
regra geral para função identidade é:
f(x) = y = x
 • Funções constantes: uma função é dita constante quando a = 0. A regra ge-
ral para função constante é:
f(x) = y = b
Observe 
que a 
função f(x) 
= 3x per-
tence a esse 
subgrupo.
1
90 Matemática
Na figura a seguir, é possível visualizar a função apresentada na Tabela 1, sendo 
que, nesse caso, a = 3 e b = 0.
Figura 4
Representação da função f(x) = 3x
Y
X
1
5
10
15
f (x) = 3x
A = (5, 15)
20
0–1–2–3–4–5
–5
B
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Fonte: Elaborada pela autora.
Com a inserção desse gráfico, começamos a perceber a importância da visuali-
zação das funções. Por meio dela, podemos não só identificar alguns valores pon-
tuais, mas também ter uma noção mais ampla a respeito do comportamento da 
função para todos os reais.
4.2.1 Gráficos de funções do 1º grau
A representação gráfica de uma função pode auxiliar na interpretação do mo-
delo e no entendimento do comportamento da função. Além disso, pode ajudar na 
apresentação de resultados que desejamos informar.
De modo geral, um gráfico de uma função do 1º grau dada por f(x) = ax + b é da 
seguinte forma:
Figura 5
Gráfico de uma função genérica do 1º grau
x
y
(0, b)
�
�
�
�
�
�
�
b
a
,0
Fonte: Elaborada pela autora.
Baseando-se em um modelo 
linear como o apresentado na 
seção, desenvolva um modelo 
matemático para a seguinte 
situação:
Nas festas de final de ano, quando 
a família se reúne, é comum que 
as pessoas façam um cálculo 
rápido para saber a quantidade 
de comida que deverá ser feita. 
Sabendo que para uma salada de 
batatas conta-se uma batata por 
pessoa, represente essa situação 
por meio de um modelo matemá-
tico que possa ser usado para n 
pessoas presentes nessa data.
Atividade 1
Equações e funções do 1º e 2º graus 91
Note que existem dois pontos destacados nesse gráfico. Um deles, (0,b), repre-
senta a intersecção da função com o eixo y e pode ser determinado pelo coeficiente 
linear. O outro, ��
�
�
�
�
�
b
a
,0 , é a intersecção da função com o eixo x. Falaremos mais 
sobre esse ponto a seguir.
4.2.2 Raiz ou zero da função
A raiz de uma função de uma variável é o valor obtido quando calculamos 
f(x) = 0.
Voltando ao exemplo dos três atos, temos que se f(x) = 3x, então:
3x = 0 ⇒ x = 0
Dessa forma, a raiz (ou zero da função) da função linear dada por f(x) = 3x é 
x = 0.
Também podemos encontrar a raiz de uma função de maneira gráfica. Basta 
analisar qual é o ponto da função que intercepta o eixo x.
Analisando a Figura 5, vemos que f(x) = 0 quando ax + b = 0. Logo, x b
a
� � .
4.2.3 Taxa de variação (coeficiente angular)
Vejamos outro exemplo que nos auxiliará no entendimento desta seção.
Exemplo 3
Seja a função linear dada por g(x) = – x + 3. Essa função tem coeficiente an-
gular (a) dado por a = –1 e coeficiente linear (b) dado por b = 3 (IEZZI; DOLCE; 
 MURAKAMI, 2013).
Graficamente, temos:
Figura 6
Gráfico de g(x) = – x + 3
B
A
–1
–1
–2
–2–3 0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6
g(x) = – x + 3
Fonte: Elaborada pela autora.
92 Matemática
Identificamos que a raiz da função está em x = 3. O coeficiente linear (b = 3) pode 
ser encontrado graficamente no ponto de intersecção da função com o eixo y.
Mas o que significa a = –1? Podemos tirar alguma conclusão a respeito do sinal 
do coeficiente angular?
O coeficiente angular é a relação entre a variação em y sobre a variação em x. 
Também podemos entendê–lo como a tangente do ângulo alfa (α), como pode ser 
observado na figura a seguir.
a CO
CA
y y
x x
� � �
�
�
tan� 2 1
2 1
Figura 7
Coeficiente angular
y2
x2x1
y
f
α
y1
y2
x1 x2 x
f
α
y1
y
x
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que compreender a taxa de variação entre as variáveis x e y nos permite 
analisar o crescimento da função. Vamos entender esse conceito complementar 
a seguir.
4.2.4 Crescimento e decrescimento de uma função
Dizemos que uma função é crescente quando x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Nesse caso, o 
coeficiente angular é um ângulo α do primeiro quadrante (círculo trigonométrico), 
ou seja, o valor dessa tangente será positivo.
Já quando temos uma função decrescente, ou seja, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2), temos 
um ângulo α pertencente ao segundo quadrante e, nesse caso, o valor da tangente 
será negativo.
Com essa informação, podemos definir que (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 2013):
 • Quando o coeficiente angular é positivo, temos uma função linear crescente.
 • Quando o coeficiente angular é negativo, nossa função linear é decrescente.
Equações e funções do 1º e 2º graus 93
Exemplo 4
Um atleta da modalidade olímpi-
ca corrida com barreiras tem que ul-
trapassar 15 obstáculosna prova de 
400 metros. O recorde dessa prova é do 
atleta americano Kevin Young, atingido 
nas Olimpíadas de Barcelona (1992), 
quando o corredor alcançou a marca de 
46,78 segundos.
Pergunta–se:
a. Quantos metros um atleta corre em 3 horas se mantiver a velocidade de 
Kevin Young?
b. Quantos metros um sujeito (não atleta) corre em 3 horas se mantiver como 
velocidade média 8 km/h?
c. É possível montar uma função afim que relacione tempo e distância? 
Apresente esse resultado para as alternativas a e b.
d. Apresente, em um mesmo plano cartesiano, as duas funções desenvolvidas.
Para responder a essas questões, precisamos organizar alguns dados:
 • Se Kevin Young corre 400 metros em 46,78 segundos, então a velocidade dele 
é de v
m
s
m
s1
400
46 78
8 55� �
,
, .
 • Um não atleta corre com uma velocidade de 8 km/h os mesmos 400 metros, 
então essa pessoa corre 8.000 metros em 1 hora. Também podemos dei-
xar essa relação em segundos. Sendo assim, a média de velocidade de uma 
pessoa é de 8.000 metros em 3.600 segundos. Portanto, a velocidade média 
de uma pessoa (não atleta) é de 8 km
h
 ou v m
s
m
s2
2 2
9
2 22� � , �
a. Quantos metros um atleta corre em 3 horas se mantiver a velocidade de 
Kevin Young?
Em 3 horas (10.800 segundos), se a performance for mantida, o atleta correrá:
x metros1
10 800 400
46 78
=
. ·
,
 �
x1 92 347 157= . , �metros�
Também poderíamos ter escrito 46,78 segundos como 2.339/180.000 horas, 
ou aproximadamente 0,0129944 hora. 
Lu
m
ija
gu
aa
ri/
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
94 Matemática
Nesse caso, calcularíamos:
x �metros1
400 3
0 01244
�
�
,
x metros1 92 347
367
2 339
92 347 157� �.
.
. , �
b. Quantos metros um sujeito (não atleta) corre em 3 horas se mantiver como 
velocidade média 8 km/h?
x2 = 8.000 · 3 metros
x2 = 24.000 metros
c. É possível montar uma função afim que relacione tempo e distância? 
Apresente esse resultado para as alternativas a e b.
Adotando f(t) referente à função do item a e g(t) referente à função do item b, 
temos:
Para f t t� � � �·�
,
400
46 78
, onde t está em segundos e f(t) é o resultado em metros, 
ou f t
t� � � �·�
,
400
0 01244 , onde t está em hora e f(t) é o resultado em metros.
Para g(t) = t · 8.000, onde t está em hora.
d. Para montar um único gráfico com as duas funções, estas precisam estar 
escritas com a mesma unidade de medida.
Assim, usaremos f t
t� � � �·�
,
400
0 01244 e g(t) = t · 8000.
Figura 8
Gráfico de f(t) e g(t). Pontos A = (3,f(3)) e B = (3,g(3)).
y
T
10–1–2–3–4–5
A
B
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
100000
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
Fonte: Elaborada pela autora.
Portanto, temos várias maneiras de compreender, representar e calcular infor-
mações de funções do 1º grau. A escolha será feita de acordo com a necessidade 
da aplicação.
Equações e funções do 1º e 2º graus 95
4.3 Equação do 2º grau
Vídeo Uma equação da forma anx
n + a(n–1)x
(n–1) + ⋯ + a1x + a0x0 = 0 é chamada de equa-
ção polinomial de grau n, pois a variável x tem como maior potência o número 
natural n.
Se n = 1, temos uma equação linear ou equação do 1º grau.
Se n = 2, temos uma equação de grau 2, ou seja, uma equação do 2º grau.
As equações do 2º grau possuem sempre duas raízes, isto é, existem dois valo-
res (iguais, diferentes, reais ou complexos) que, quando substituídos na variável x, 
fazem com que essa expressão respeite a igualdade imposta.
De acordo com Lima et al. (2016, p. 119), “problemas que recaem numa equa-
ção do 2º grau estão entre os mais antigos da Matemática”. Os textos babilônicos 
(textos cuneiformes) escritos por volta de 1700 a.C. retratam essa questão sendo 
modelada pela necessidade de determinar os lados de um retângulo, sendo seu 
perímetro 2s e sua área p.
Assim, se a área de um retângulo pode ser calculada pela expressão “A = base 
x altura”, assumindo que um dos lados mede x o outro deverá medir s–x, então 
teremos:
p = x (s – x)
p = sx – x²
x² – sx + p = 0
Essa expressão algébrica do 2º grau pode assumir diversos valores, dependendo 
do valor admitido para x.
Exemplo 5
Vamos supor uma expressão do 2º grau dada por x² – x – 6.
Tabela 2
Valores de x para x² – x – 6
x x2 – x – 6 f(x)
–2 (–2)2 – (–2) – 6 = 0 f(–2) = 0
–1 (–1)2 – (–1) – 6 = –4 f(–1) = –4
0 02 – 0 – 6 = –6 f(0) = –6
1 12 – 1 – 6 = –6 f(1) = –6
2 22 – 2 – 6 = –4 f(2) = –4
3 32 – 3 – 6 = 0 f(3) = 0
Fonte: Elaborada pela autora.
Observe que, para cada valor de x, temos um valor numérico diferente. Essa 
relação pode ser interpretada usando-se a seguinte simbologia:
f(x) = x2 – x – 6
Ficou curioso sobre os 
textos cuneiformes? Suge-
rimos a leitura do artigo A 
equação do segundo grau, 
de Elon Lages Lima, publi-
cado pela Revista Professor 
de Matemática (RPM), que 
pode ser acessado no en-
dereço eletrônico a seguir.
Disponível em: http://www.rpm.org.
br/cdrpm/13/5.htm. Acesso em: 12 
jan. 2021.
Também é possível assistir 
ao vídeo PAPMEM – Julho de 
2017 – Equação do segundo 
grau, em que o mesmo 
professor aparece contan-
do a história dos textos 
cuneiformes.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=Ihnp2Ad7Ql8. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Saiba mais
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/5.htm
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/5.htm
https://www.youtube.com/watch?v=Ihnp2Ad7Ql8
https://www.youtube.com/watch?v=Ihnp2Ad7Ql8
96 Matemática
Assumindo que podemos gerar um gráfico para essa tabela usando o plano 
cartesiano ortogonal bidimensional e fazendo o eixo horizontal sendo x e o eixo 
vertical sendo y, teremos a seguinte representação:
Figura 9
Gráfico para f(x) = x2 – x – 6
y
x
1
1
2
3
0–1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
D
C
–2–3–4–5–6–7–8 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f(x) = x2 – x – 6
B = (3, 0)A = (-2, 0)
Fonte: Elaborada pela autora.
Dessa forma, é possível observar que para cada valor de x ∈ ℝ teremos uma 
resposta em y = f(x), mas existem dois valores de x que nos dão uma resposta 
particularmente interessante e fazem com que a nossa expressão possa ser escrita 
como x2 – x – 6 = 0, que são os pontos x1 = –2 e x2 = 3. Esses valores são chamados 
de raízes da equação.
O valor x0 de uma equação polinomial de grau n anx
n + a(n–1)x
(n–1) + ⋯ + a1x + 
a0x
0 = 0 é chamado de raiz dessa equação se a x a x a x a xn
n
n
n
0 1 0
1
1 0 0 0
0 0� ��� � ��
� . Ou 
ainda, o valor x0 de uma função f(x) é chamado de raiz da função (ou zero da função) 
se f(x0) = 0.
Geometricamente, se assumirmos o plano cartesiano bidimensional – como su-
gerido na Figura 9 –, as raízes de uma equação do 2º grau são os pontos onde a 
parábola intercepta o eixo das abscissas (eixo horizontal ou eixo x).
Existem algumas maneiras de encontrar as raízes de uma equação do 2º grau.
Aprende–se no ensino fundamental a utilização da fórmula resolutiva para 
equações do 2º grau, conhecida como fórmula de Bhaskara.
x b b ac
a
�
� � �2 4
2
É comum adotarmos, para a equação (3), a seguinte representação:
x b b ac
a
b
a
�
� � �
�
� �2 4
2 2
�
Você sabia que a famosa 
fórmula para encontrar-
mos as raízes de uma 
equação do 2º grau, como 
é aprendida aqui no nosso 
país, não é exatamen-
te ensinada com esse 
formato em outras partes 
do mundo e que o indiano 
Bhaskara não foi o seu 
idealizador? Para saber 
mais sobre esse assunto, 
sugerimos dois materiais 
que explicam essa história 
e se complementam.
Bhaskara (1114-1185)
Disponível em: http://ecalculo.if.usp.
br/historia/bhaskara.htm. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Método de Viète para 
Resolução de Equações do 
2.° Grau
Disponível em: http://www.rpm.
org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:tex-
t=M%C3%A9todo%20de%20
Vi%C3%A8te%20para%20Reso-
lu%C3%A7%C3%A3o%20de%20
Equa%C3%A7%C3%B5es%20
do%202.%C2%B0%20
Grau&text=O%20m%C3%A-
9todo%20fornece%20as%20
solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%-
C3%A1%20a%20f%C3%B3rmu-
la%20de%20Bhaskara. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Saiba mais
(3)
http://ecalculo.if.usp.br/historia/bhaskara.htm
http://ecalculo.if.usp.br/historia/bhaskara.htm
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskarahttp://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/4.htm#:~:text=M%C3%A9todo%20de%20Vi%C3%A8te%20para%20Resolu%C3%A7%C3%A3o%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20do%202.%C2%B0%20Grau&text=O%20m%C3%A9todo%20fornece%20as%20solu%C3%A7%C3%B5es,fornecer%C3%A1%20a%20f%C3%B3rmula%20de%20Bhaskara
Equações e funções do 1º e 2º graus 97
Logo:
x b
a1 2
�
� � � x b
a2 2
�
� � �
Mais à frente veremos como encontrar as raízes de uma equação do 2º grau por 
meio de outros métodos.
4.3.1 Interpretação do sinal do discriminante
Por meio da análise do discriminante, Δ = b2 – 4ac, podemos identificar caracte-
rísticas dessas raízes:
 • Se Δ > 0, teremos duas raízes reais e distintas. O gráfico da função intercepta 
o eixo das abscissas em dois pontos distintos.
 • Se Δ = 0, teremos duas raízes reais e iguais. Nesse caso, x x
b
a1 2 2
� � � e o grá-
fico da função intercepta o eixo das abscissas em um único ponto.
 • Se Δ < 0, teremos duas raízes complexas conjugadas. O gráfico da função não 
intercepta o eixo das abscissas.
Na figura a seguir, podemos analisar geometricamente o sinal para os diferentes 
discriminantes.
Figura 10
Análise do discriminante Δ = b2 – 4ac
x1 x2
x
∆ > 0
∆ < 0
∆ = 0
x1 = x2
x x x
Fonte: Elaborada pela autora.
Ao observar as parábolas, vemos que existe um eixo de simetria paralelo ao 
eixo da variável dependente (y). O ponto de intersecção entre o eixo de simetria 
e a parábola é denominado vértice da parábola. Vamos entender esse conceito 
a seguir.
4.3.2 Concavidade e vértice da parábola
Seja uma equação do 2º grau na forma ax2 + bx + c. A concavidade da parábola 
é determinada pelo coeficiente a. Assim:
 • Para a > 0, temos uma parábola com concavidade voltada para cima.
 • Para a < 0, temos uma parábola com concavidade voltada para baixo.
A seguir, é possível analisar geometricamente a concavidade da parábola de 
acordo com o coeficiente a.
A análise do discriminante permite 
que identifiquemos como são as 
raízes da equação. Sabendo que 
uma equação do 2º grau será uma 
parábola com concavidade para 
baixo ou para cima, podemos dizer 
que se Δ = 0 teremos o vértice 
da parábola no mesmo ponto 
que essas raízes? Justifique sua 
resposta.
Atividade 2
98 Matemática
Figura 11
Concavidade da parábola de acordo com o coeficiente a
y
V = (xv, yv)
 a < 0
yv
c
e
xv x2x1
x
y
V = (xv, yv)
 a > 0
yv
e
c
xv
x1 x2
x
Fonte: Elaborada pela autora.
Podemos encontrar o ponto do vértice (xV, yV) por meio das seguintes equações:
x b
aV
� �
2
y
aV
� �
�
4
Exemplo 6
Seja a equação do 2º grau dada por 0 = x2 + 4x – 12. Vamos analisar a concavidade 
dessa parábola, as raízes e o vértice.
Temos a = 1, b = 4 e c = –12. Portanto, a > 0, logo temos concavidade voltada 
para cima.
Δ = b2 – 4a · c = 42 – 4 · 1 · (–12) = 16 + 48 = 64
Assim, Δ > 0, portanto temos duas raízes reais e diferentes (x1 ≠ x2).
x b b ac
a
�
� � �2 4
2
Isso nos permite escrever:
x1
24 4 4 1 12
2 1
4 16 48
2
�
� � � �� �
�
� � ��·� �·�
�·�
�
x1
4 8
2
2� � � �
x �2
24 4 4 1 12
2 1
4 16 48
2
�
� � � �� �
�
�
� � ��·� �·�
��
x2
4 8
2
6� � � � �
Logo, as raízes são x1 = 2 e x2 = –6.
Por fim, vamos calcular o ponto de vértice:
x b
aV
� � � � � �
2
4
2
2 y
aV
� � � � � �
�
4
64
4
16
Graficamente teremos:
Equações e funções do 1º e 2º graus 99
Figura 12
Representação gráfica (concavidade voltada para cima)
y
x
1
2
0–1–2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–3–4–5–6–7–8–9–10–11–12–13 2 3 4
4
5 6 7 8
A = (–6, 0) B = (2, 0)
D = (0, –12)
f(x) = x2 + 4x – 12
C = (–2, –16)
Fonte: Elaborada pela autora.
Dependendo do comportamento da equação do 2º grau, as raízes podem ser 
extraídas de maneira simples, sem que necessitemos do uso de uma fórmula reso-
lutiva. Veremos alguns processos de fatoração na sequência.
4.3.3 Forma fatorada e relações de Girard
Como mencionamos na seção anterior, alguns processos podem simplificar bas-
tante a compreensão das raízes de uma equação do 2º grau. Tais processos depen-
dem diretamente de como a equação está sendo apresentada. Vamos entendê-los.
4.3.3.1 Equação do 2º grau completa
Seja uma equação do 2º grau na forma ax2 + bx + c = 0. Ao fatorá-la, teremos 
 a (x – x1)(x – x2), com a ≠ 0, onde x1 e x2 são as raízes dessa equação.
Assim, se temos uma equação da forma x2 – x – 6 = 0, podemos fatorá-la de 
modo que x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) = 0. Desse modo, é possível extrair as raízes dessa 
expressão, sendo x1 = 3 e x2 = – 2.
Existem algumas formas diferentes de como essas raízes podem ser obtidas. 
Uma delas é a já vista fórmula resolutiva para equações do 2º grau, comumente 
denominada fórmula de Bhaskara.
4.3.3.2 Equação do 2º grau incompleta
Se c = 0, ou seja, ax2 + bx = 0, dizemos que essa é uma equação incompleta e Δ = b2.
Quando c = 0, podemos colocar x em evidência e escrever a equação fatorada 
da seguinte forma:
x1 (ax2 + b) = 0
Assim, teremos duas raízes, sendo elas x1 = 0 e (ax2 + b) = 0, logo x
b
a2
� � .
100 Matemática
Se b = 0, também temos uma equação do 2º grau incompleta e Δ = – 4ac. Nesse 
segundo caso, teremos ax2 + c = 0.
Assim:
ax² = – c
x c
a
2 � �
x c
a
� � �
Logo, x c
a1
� � � � e x =-
c
a2
− .
Portanto, sua forma fatorada é escrita como:
x c
a
x c
a1 2
0� �
�
�
��
�
�
�� � �
�
�
��
�
�
�� �
4.3.3.3 Relações de Girard
As relações de Girard são também relações de soma e produto entre as raízes 
de uma equação do 2º grau.
Seja uma equaçãoda forma ax2 + bx + c = 0, podemos fatorá-la usando as rela-
ções de Girard:
x x b
a1 2
� � �
x x c
a1 2
� �
Exemplo 7
Seja x2 – x – 6, temos a = 1, b = –1 e c = – 6. Logo:
x x b
a1 2
1
1
1� � � � � � �
x x c
a1 2
6
1
6�.� �� � � � �
Analisando as raízes encontradas pela fatoração, x1 = 3 e x2 = –2, concluímos que 
elas estão devidamente representadas pelas relações de Girard.
Assim, nem sempre é necessário adotar a fórmula de Bhaskara para encontrar 
a solução de uma equação do 2º grau. É possível encontrá-la usando as relações de 
modo que consigamos pensar em:
 • dois números multiplicados que sejam iguais a c
a
Equações e funções do 1º e 2º graus 101
 • esses mesmos dois números somados devem ser iguais a −b
a
Quando a = 1 , esse processo torna-se bem simples.
Exemplo 8
 • x2 – 8x + 16 = (x – 4)(x – 4) = 0 Logo x1 = x2 = 4
 • x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0 Logo x1 = –2 e x2 = –3
 • 2x2 + 5x – 3 = (2x – 1)(x + 3) = 0 Logo x1 = 
1
2
 e x2 = –3
Na seção a seguir, vamos tratar das funções do 2º grau. Será possível compreen-
der o comportamento da função de acordo com o posicionamento de suas raízes 
no plano cartesiano e como o valor do discriminante influencia a representação 
gráfica desse tipo de função.
4.4 Função do 2º grau
Vídeo Uma situação muito comum no mundo de áreas financeiras (economia, admi-
nistração, ciências contábeis etc.) é a necessidade de fazer análises sobre gráficos 
de funções. Uma função recorrente nessa área é a função do 2º grau.
Você consegue imaginar por quê?
Pense em como poderia ser calculado o lucro máximo de uma empresa, ou mesmo 
a quantidade de matéria-prima mínima para se produzir determinado produto de ma-
neira que se obtenha o maior lucro possível.
Agora vamos acoplar esse contexto financeiro a questões de saúde.
O desenvolvimento de uma vacina para uma doença grave é animador, mas 
também sabemos que as empresas que desenvolvem tal vacina pretendem lucrar 
com a venda.
Vamos supor que uma empresa A produzirá uma vacina ao custo de R$ 150,00 a 
dose. Estima-se que, se cada dose for vendida por x reais, então o laboratório ven-
derá por mês (10.000 – x) doses da vacina, com 0 ≤ x ≤ 1.000, ou seja, tem-se que o 
lucro mensal é uma função do preço de venda.
Qual deveria ser o preço de venda para que esse laboratório tenha lucro men-
sal? E qual deveria ser o preço de venda para que esse laboratório tenha lucro 
mensal máximo?
O lucro de uma empresa é a venda ou receita menos o custo. Assim, a expressão 
que representa o lucro para essa empresa que retratamos é dada por:
L(x) = V(x) – C(x)
102 Matemática
Dessa forma:
 • Custo: valor de produção de cada vacina vezes o número de vacinas fabricadas.
C(x) = 150(10.000 – x)
 • Venda: número de doses vendidas no mês multiplicado pelo valor de venda x.
V(x) = (10.000 – x)x
Assim, o lucro mensal é dado por:
L(x) = [(10.000 – x) x] – [150(10.000 – x)]
L(x) = –x2 + 10.150x – 1.500.000
A expressão encontrada para o lucro é uma função do 2º grau que relaciona o 
quanto deve custar a vacina, x, com o lucro obtido pela empresa, L(x).
Para calcular o lucro máximo, é necessário compreender como esse conceito 
pode ser extraído da teoria que envolve uma função do 2º grau, seu comportamen-
to, seu gráfico e outros pontos importantes que podem ser analisados por meio 
desse tipo de função.
Uma função do tipo f(x) = an x
n + an–1 x
n–1+ ⋯ + a1 x1+a0 x0 para n = 2 é uma 
função do 2º grau, ou função quadrática, e pode ser representada na forma 
f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0.
Ao analisarmos uma função, é importante que entendamos o que ocorre com 
essa função quando f(x) = 0. O que se pretende ao analisá–la sob esse ângulo é en-
contrar as raízes ou zeros da função, ou seja, valores para x quando f(x) = 0.
Ao fazermos isso, trazemos nossos cálculos para a teoria sobre equações do 2º grau.
4.4.1 Fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau
O valor x0 de uma função f(x) é chamado de raiz da função, ou zero da função, 
se f(x0) = 0.
Para uma função do 2º grau, temos que as raízes ou zeros da função podem ser 
encontradas por meio da expressão:
ax2 + bx + c = 0
Logo, calcular os zeros de uma função do 2º grau nos faz recair no conceito de raí-
zes para equações do 2º grau, sendo que, geometricamente, isso representa encon-
trar a intersecção entre a parábola formada pela função f(x) e o eixo das abscissas.
be
nj
am
in
ec
/S
hu
tte
rs
to
ck
Raízes 
de uma 
equação do 
2º grau.
Equações e funções do 1º e 2º graus 103
Dessa forma, é possível utilizar a fórmula resolutiva apresentada pela equação (3) 
e, com isso, obteremos os valores para as duas raízes, x1 e x2.
4.4.2 Gráfico de uma função de 2º grau
Observe a seguinte tabela:
Tabela 3
Pontos no plano cartesiano de A até G
Pontos x y = L(x)
A 150 0
B 300 1.455.000
C 1.000 7.650.000
D 4.500 23.925.000
E 5.000 24.250.000
F 7.500 18.375.000
G 10.000 0
Fonte: Elaborada pela autora.
Encontrar os pontos A, B, ..., G no plano cartesiano é encontrar a relação entre 
o valor adotado para a coordenada x e o valor obtido para a coordenada y, ou seja, 
B = (300, L(300)) = (300, 1.455.000).
Ao localizarmos esses pontos no plano cartesiano, obtemos uma estrutura 
em que, interligando os pontos, conseguimos enxergar o gráfico de uma função 
do 2º grau.
Figura 13
Interpolação dos pontos por uma função do 2º grau
D
C
B
A
E
F
G x
5.000.000
1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000 11.000
10.000.000
15.000.000
20.000.000
25.000.000
30.000.000
Fonte: Elaborada pela autora.
104 Matemática
A tabela e a função adotadas para a representação gráfica na Figura 13 foram 
baseadas na função L(x) = –x2 + 10.150x – 1.500.000, ou seja, a função lucro tra-
balhada anteriormente. Lembremos que a função lucro foi obtida pela subtração 
entre as funções venda e custo. O gráfico a seguir mostra o vértice da função L(X).
Figura 14
Função L(x)
IH x
y
5.000.000
–5.000.000
1.000–1.000 0 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000 11.000 12.000
10.000.000
15.000.000
20.000.000
25.000.000 J = (5.075, 24.255.625)
L(x) = 10.000x – x2 – 150(10.000 – x)
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que a função L(x) é uma parábola obtida por pontos que relacionam a 
variável x (valor para a vacina) com a variável y = L(x) (lucro mensal obtido pela 
empresa).
O gráfico de uma função do 2º grau 
sempre dará origem a uma parábola.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
L(x) tem concavidade voltada para baixo e raízes reais distintas em x1 = 150 e 
x2 = 10.000. Além disso, tem um ponto no vértice ou extremo da parábola dado por 
J = (5.075, 24.255.625). Vamos entender o que essas estruturas representam para 
esse problema e para as funções do 2º grau de maneira geral.
4.4.3 Concavidade e vértice da parábola
Graficamente, uma função do 2º grau tem o mesmo comportamento de uma 
equação do 2º grau, já estudada nas seções anteriores. Assim, se f(x) = ax2 + bx + c, 
precisaremos analisar uma parábola com concavidade para cima ou para baixo, 
dependendo do valor de a.
Quando analisamos as funções venda, custo e lucro do problema referente à 
vacina para a Covid-19, temos que:
Equações e funções do 1º e 2º graus 105
Figura 15
Funções L(x), V(x) e C(x)
I
x
y
H
5.000.000
–5.000.000
1.000–1.000 0–2.000–3.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000 11.000
10.000.000
15.000.000
20.000.000
25.000.000 J = (5.075, 24.255.625)
L(x) = 10.000x – x2 – 150(10.000 – x)
v(x) = 10.000x – x2
c(x) = 150(10.000 – x)
Fonte: Elaborada pela autora.
 • Função custo: é uma função afim decrescente.
C(x) = 150(10.000 – x)
 • Função venda: é uma função quadrática com concavidade voltada para bai-
xo, pois a = – 1 < 0.
V(x) = 10.000x – x2 = (10.000 – x)x
 • Função lucro: é uma parábola com concavidade para baixo, pois a = –1 < 0
L(x) = –x2 + 10.150x – 1.500.000
4.4.3.1 Valor máximo ou mínimo da função quadrática 
(vértices xv e yv)
O vértice ou extremo da parábola (DANTE, 2011) também é conhecidocomo 
extremo da função do 2º grau. 
Esse ponto assume seu valor máximo quando a parábola tem concavidade vol-
tada para baixo e seu valor mínimo quando a parábola tem concavidade voltada 
para cima.
Na função L(x) = –x2 + 10.150x – 1.500.000, o vértice está no ponto extremo 
J = (5.075, 24.255.625), que nesse caso é chamado de ponto de máximo da função.
Uma parábola (função do 2º grau) com concavidade voltada para cima terá um 
ponto de mínimo localizado no extremo dessa função.
4.4.4 Estudo do sinal de uma função do 2º grau
O estudo do sinal para uma função quadrática se faz pela necessidade de se 
analisarem trechos da função com características crescentes e decrescentes.
106 Matemática
O coeficiente a já foi analisado e vimos sua relação direta com a concavidade da 
parábola. Relacionando o sinal de a e do discriminante (Δ), é possível extrair outros 
resultados. Assim:
Figura 16
Estudo do sinal da função f(x) = ax2 + bx + c
∆ > 0 +
+
+ +
++
+
– – –
–
–
–
–
a > 0 a < 0
∆ < 0
∆ = 0
Fonte: Elaborada pela autora.
Outra análise importante vinculada diretamente ao sinal do coeficiente a e que 
nos dá uma resposta sobre a função diz respeito aos trechos de crescimento e de-
crescimento da função quadrática.
A figura a seguir apresenta, de maneira geométrica, o conceito de intervalo 
crescente e decrescente em uma função do 2º grau com concavidade para cima.
Figura 17
Intervalo crescente e decrescente, geometricamente, para a > 0
x1 x2
yv
V = (xv, yv)
CrescenteDecrescente
y3
y1
y4
y2
x3 x4xv
y
x
Fonte: Elaborada pela autora.
Para enriquecer esse tema, 
sugerimos dois vídeos pu-
blicados pelo canal Portal 
da Matemática OBMEP, 
com aulas ministradas pelo 
professor Gustavo Adolfo 
Soares. Neles, o professor 
Gustavo nos apresenta no-
vas formas de pensar so-
bre as funções do 2º grau e 
maneiras de interpretar as 
aplicações.
Aula 41 – Função Quadrá-
tica: Definição, Máximos e 
Mínimos:
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=NbFFMlXlm3o&-
feature=emb_logo. Acesso em: 12 
jan. 2021.
Aula 45 – Gráfico de uma 
Função Quadrática – Parte 
1:
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=ZcaFrxmEc_k&fea-
ture=emb_logo. Acesso em: 12 
jan. 2021.
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=NbFFMlXlm3o&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=NbFFMlXlm3o&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=NbFFMlXlm3o&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=ZcaFrxmEc_k&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=ZcaFrxmEc_k&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=ZcaFrxmEc_k&feature=emb_logo
Equações e funções do 1º e 2º graus 107
Se a > 0, temos:
Função decrescente ]– ∞,xV [, pois nesse intervalo temos valores x1 < x2 ⇒ y1 > y2.
Função crescente ]xV,+∞[, pois nesse intervalo temos valores x3 < x4 ⇒ y3 < y4.
A figura a seguir apresenta, de maneira geométrica, o conceito de intervalo cres-
cente e decrescente em uma função do 2º grau com concavidade para baixo.
Figura 18
Intervalo crescente e decrescente, geometricamente, para a < 0
Crescente
V
Decrescente
y3
x3 x4 x1 x2xv
y2
y4
y1
yv
x
y
Fonte: Elaborada pela autora.
Se a < 0, temos:
 • Função crescente ]–∞,xV [, pois nesse intervalo temos valores x3 < x4 ⇒ y3 < y4.
 • Função decrescente ]xV,+∞[, pois nesse intervalo temos valores x1 < x2 ⇒ y1 > y2.
Com o estudo dos sinais – não só do discriminante e dos coeficientes, mas tam-
bém dos sinais que representam o comportamento da função, ou seja, entenden-
do em quais trechos a função é crescente ou decrescente, onde está localizado o 
ponto extremo, se esse ponto é de mínimo ou de máximo, entre outras análises –, 
podemos representar (modelar) problemas reais e analisá-los segundo a ótica da 
teoria de funções.
Explique a relação da concavidade 
da parábola com o sinal do coe-
ficiente a.
Atividade 3
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A importância do estudo da teoria e do comportamento das funções se dá tan-
to pela necessidade de um aprofundamento matemático desses conceitos quanto 
pela possibilidade de representar problemas do nosso cotidiano por meio de mo-
delos matemáticos.
Esse tipo de modelagem, muitas vezes utilizada para validar resultados de eventos 
já ocorridos, pode ser usada como previsão de acontecimentos.
É importante notar que não precisamos entrar em uma matemática muito avan-
çada para que já possamos observar resultados importantes quando o assunto são 
aplicações. Isso também faz com que o estudo de funções torne-se algo mais praze-
roso e acessível.
108 Matemática
REFERÊNCIAS
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. São Paulo: Ática, 2011. v. 1. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 2013. v. 1-3. 
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v. 1.
GABARITO
1. Se para uma salada de batatas conta-se uma batata por pessoa e queremos um modelo para n pes-
soas, podemos escrever que a quantidade total depende da quantidade de pessoas. Assim, teremos 
f(n) = n.
5
4
3
2
1
10–1
–1
–2 2 3 4 5 6 7 8 9
x
y
f (n) = n
2. Se Δ = 0, temos duas raízes reais e iguais. Para que isso aconteça, ou seja, para que x1 = x2, o gráfico 
deve interceptar o eixo x em um único ponto, que também será a raiz (as raízes iguais) dessa função.
3. Se imaginarmos retas que tangenciam a parábola em todos os seus pontos, teremos que só é possível 
ter uma parábola com concavidade para baixo se no intervalo entre ]–∞,yV [ tivermos retas crescentes 
e no intervalo ]yV,+∞[ tivermos retas decrescentes. O padrão inverso é percebido para parábolas com 
concavidade para cima. Isso determina o sinal do coeficiente a.
Proporcionalidade entre variáveis 109
5
Proporcionalidade 
entre variáveis
Os conceitos que veremos neste capítulo também são considerados 
uma prévia para a matemática financeira. De certa forma, já estamos tra-
balhando com matemática financeira básica e totalmente aplicável a situa-
ções do nosso dia a dia.
Como você perceberá, muitos dos cálculos que faremos serão resol-
vidos de maneira bastante intuitiva e rápida. Contudo, devemos tomar 
cuidado, pois alguns processos intuitivos podem estar errados. É aí que 
entram as definições presentes neste material, e os exemplos são apre-
sentados para que as dúvidas possam ser sanadas.
5.1 Razão e proporção
Vídeo Quando usamos matematicamente o termo razão, de modo automático preci-
samos completá-lo e usar razão entre e, com isso, teremos uma comparação entre 
dois objetos matemáticos.
Por definição, vamos comparar duas grandezas usando, para isso, uma fração. 
Assim, a grandeza que está no numerador está sendo comparada com a grandeza 
que está no denominador.
Dadas duas grandezas a, b ∈ ℝ, a razão entre elas é escrita na forma (DANTE, 2010):
a
b
antecedente
consequente
�
�
, onde b ≠ 0
Também podemos denotar como a
antecedente�
�: b
consequente
Exemplo 1
Sabendo que a = 34 e b = 72, qual é a razão entre a e b?
Basta escrever: 
a
b
= =
34
72
17
36
110 Matemática
Exemplo 2
Seja a = 34 e b = 72. Qual é a razão entre b e a?
Agora queremos a razão b
a
, portanto: �b
a
= =
72
34
36
17
Exemplo 3
Qual é a razão entre os números pares e os números ímpares?
Os números pares podem ser escritos na forma 2x, para x ∈ , e os números 
ímpares podem ser escritos na forma 2x - 1, para x ∈ . Então, a razão entre os 
números pares e ímpares pode ser escrita como:
2
2 1
2 1 0x
x
com x
�
�� � �, � � e x∈
Algumas razões são muito utilizadas no nosso dia a dia, muitas vezes sem que 
tenhamos percepção da matemática envolvida. Um exemplo prático disso é a defi-
nição de velocidade. A velocidade de uma pessoa ou de um automóvel é calculada 
por meio de uma razão entre duas grandezas: a distância percorrida pelo tempo 
gasto (GIOVANNI; GIOVANNI JR.; CASTRUCCI, 2019).
velocidade média distância�percorrida
tempo�gasto
 
 
� =
Outro exemplo prático está no trabalho com escalas. Uma escala é uma compa-
ração entre grandezas, na qual o numeradorcarrega o valor do comprimento do 
desenho e o denominador carrega o valor do comprimento real.
escala comprimento�do�desenho
comprimento�real
=
Como último exemplo, temos uma razão conhecida como razão áurea ou nú-
mero de ouro, muito presente nas artes e em fenômenos da natureza. Observe a 
imagem a seguir para analisar as grandezas que compõem o número a
b
� �1 618,
Para tirar dúvidas e saber 
um pouco mais sobre os 
números pares e ímpares, 
sugerimos a leitura de Nú-
meros pares e ímpares, do 
site iMática - A Matemática 
Interativa na Internet.
Disponível em: http://www.
matematica.br/historia/parimpar.
html#:~:text=Atualmente%2C%20
definimos%20n%C3%BAmeros%20
pares%20como,t%C3%AAm%20
resto%20diferente%20de%20zero. 
Acesso em: 12 jan. 2021.
Saiba mais
Que outras relações entre 
grandezas são exemplos de razão 
e são comumente encontradas no 
nosso dia a dia?
Atividade 1
http://www.matematica.br/historia/parimpar.html#:~:text=Atualmente%2C%20definimos%20n%C3%BAmeros%20pares%20como,t%C3%AAm%20resto%20diferente%20de%20zero
http://www.matematica.br/historia/parimpar.html#:~:text=Atualmente%2C%20definimos%20n%C3%BAmeros%20pares%20como,t%C3%AAm%20resto%20diferente%20de%20zero
http://www.matematica.br/historia/parimpar.html#:~:text=Atualmente%2C%20definimos%20n%C3%BAmeros%20pares%20como,t%C3%AAm%20resto%20diferente%20de%20zero
http://www.matematica.br/historia/parimpar.html#:~:text=Atualmente%2C%20definimos%20n%C3%BAmeros%20pares%20como,t%C3%AAm%20resto%20diferente%20de%20zero
http://www.matematica.br/historia/parimpar.html#:~:text=Atualmente%2C%20definimos%20n%C3%BAmeros%20pares%20como,t%C3%AAm%20resto%20diferente%20de%20zero
http://www.matematica.br/historia/parimpar.html#:~:text=Atualmente%2C%20definimos%20n%C3%BAmeros%20pares%20como,t%C3%AAm%20resto%20diferente%20de%20zero
Proporcionalidade entre variáveis 111
ro
bi
n.
ph
/S
hu
tte
rs
to
ck
Figura 1
Razão áurea
5.1.1 Proporção
Uma proporção só é possível quando comparamos pelo menos duas razões, 
ou seja, quando temos uma igualdade entre razões equivalentes. Lembrando que, 
para que tenhamos uma igualdade entre razões, precisaremos que as frações se-
jam equivalentes.
Sejam a, b, c e d ∈ ℝ, teremos uma proporção se:
a
b
c
d
k= =
Onde b, d ≠ 0 e k é chamado de constante de proporcionalidade.
Uma propriedade fundamental da proporção é dada a seguir e será usada 
nos próximos exemplos.
Sejam a, b, c, d grandezas escritas na forma a
b
c
d
= � ou na forma ad = bc. 
Chamamos de extremos as grandezas (variáveis) a e d e de meios as grandezas 
b e c. Dessa forma, podemos escrever o seguinte: o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos.
Exemplo 4
Vamos calcular o valor de a ∈ ℝ, sabendo que a proporção é válida.
a
4
7
8
=
Densidade de um corpo, 
densidade demográfica, 
dentre outras, são também 
“razões” que encontramos 
no nosso cotidiano. Para 
saber mais sobre a densi-
dade demográfica, leia o 
texto Densidade demográfi-
ca, do site Brasil Escola.
Disponível em: https://brasilescola.
uol.com.br/geografia/densidade-
-demografica.htm. Acesso em: 12 
jan. 2021.
Saiba mais
A constante de propor-
cionalidade nos traz uma 
importante informação 
sobre as razões que estão 
sendo comparadas. Para 
que esse conceito possa 
ser reforçado, assista ao 
vídeo Como identificar 
graficamente a constante de 
proporcionalidade, da pla-
taforma da Khan Academy. 
Nele, Salman Khan traz 
uma relação bem interes-
sante entre a constante 
de proporcionalidade e as 
funções do primeiro grau.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-ratios-rates/pre-alge-
bra-constant-of-proportionality/v/
identifying-constant-of-proportio-
nality-graphically. Acesso em: 12 
jan. 2021.
Vídeo
https://brasilescola.uol.com.br/geografia/densidade-demografica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/geografia/densidade-demografica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/geografia/densidade-demografica.htm
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-constant-of-proportionality/v/identifying-constant-of-proportionality-graphically
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-constant-of-proportionality/v/identifying-constant-of-proportionality-graphically
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-constant-of-proportionality/v/identifying-constant-of-proportionality-graphically
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-constant-of-proportionality/v/identifying-constant-of-proportionality-graphically
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-constant-of-proportionality/v/identifying-constant-of-proportionality-graphically
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-constant-of-proportionality/v/identifying-constant-of-proportionality-graphically
112 Matemática
Sabendo que temos uma proporção, podemos escrever:
8a = 4 . 7
8a = 28
a = = =28
8
7
2
3 5,
Portanto:
3 5
4
7
8
3 5 2
4 2
7
8
, , �
����
� �
� �
� � �
Exemplo 5
Uma empresa que produz pães de queijo de diversos tipos costuma variar em 
suas receitas o tipo de queijo usado e a quantidade (em gramas), para que haja va-
riedade. Além disso, a produção pode ser dividida em pães nos formatos pequeno, 
médio e grande.
Analisando a versão tamanho médio (lanche), as possibilidades são:
 • Tipo 1: 4 g de queijo azul a cada 90 g 
de pão.
 • Tipo 2: 10 g de queijo parmesão a cada 
100 g de pão.
 • Tipo 3: 5 g de queijo Gouda a cada 100 
g de pão.
 • Tipo 4: 5 g de queijo Emmental a cada 
90 g de pão.
Qual desses pães de queijo para lanche 
possui a maior proporção de queijo?
Queremos saber a razão entre a quanti-
dade de queijo (em gramas) e a quantidade 
de massa de pão (em gramas). Para analisar qual é o maior valor proporcional, 
precisamos comparar os resultados. Desse modo, fazemos:
 • Tipo 1
4
90
. Esse valor pode ser simplificado para 
2
45 .
Calculando o valor decimal, ou seja, dividindo 2 por 45, obtemos uma dízima 
(0,0444...).
 • Tipo 2
10
100
. Esse valor pode ser simplificado para 
1
10
.
Ji
ri 
He
ra
/S
hu
tte
rs
to
ck
Proporcionalidade entre variáveis 113
Calculando o valor decimal, ou seja, dividindo 1 por 10, obtemos 0,1.
 • Tipo 3
5
100
. Esse valor pode ser simplificado para 
1
20 .
Calculando o valor decimal, ou seja, dividindo 1 por 20, obtemos 0,05.
 • Tipo 4
5
90
. Esse valor pode ser simplificado para 
1
18 .
Calculando o valor decimal, ou seja, dividindo 1 por 18, obtemos uma dízima 
(0,0555...).
Comparando esses valores (podemos usar uma reta numérica, como na 
Figura 2), percebemos que a maior razão entre queijo e pão está em 10 g de queijo 
para 100 g de pão.
Figura 2
Reta numérica
2
45
1
20
1
18
1
10
����� ���� ����2
45
1
20
1
18
1
10
����� ���� ����2
45
1
20
1
18
1
10
����� ���� ���� 2
45
1
20
1
18
1
10
����� ���� ����
Fonte: Elaborada pela autora
Portanto, o pão de queijo Tipo 2, com parmesão, é o que apresenta a maior 
proporção de queijo em relação à massa do pão.
Exemplo 6
Vamos calcular o valor de x para 8 15
7x
= e a constante de proporcionalidade 
para esse exemplo.
Sabendo que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, podemos 
escrever:
15x = 56
x = 56
15
Como essa fração não pode ser simplificada, temos que x vale 56
15
3 733� �,
A constante de proporcionalidade pode ser verificada por meio da divisão entre 
as grandezas 15 e 7 ou 8 e 56/15. Assim:
k � � � �15
7
8
56
15
2 142857,
Uma relação entre grandezas pode ser diretamente proporcional ou inversa-
mente proporcional. Esse conceito é fundamental para entendermos as regras de 
três simples e composta, que veremos a seguir.
henrique ferrera/Shutterstock
114 Matemática
Para que o conceito de grandeza também seja bem compreendido, sugerimos um material 
que complementa nossa obra. Uma grandeza é tudo o que pode ser medido. Dessa forma, 
para que as dúvidas possam ser minimizadasquanto a esse assunto, leia o artigo Comparan-
do grandezas – parte I, de Cydara Ripoll, Letícia Rangel, Victor Giraldo e Tatiana Roque.
Acesso em: 12 jan. 2021. 
https://anpmat.org.br/simposio-nacional-2/wp-content/uploads/sites/3/2016/01/ripoll_rangel_comp_grandezas.pdf
Artigo
5.1.2 Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas ditas diretamente proporcionais são aquelas em que, quando compa-
radas, verificamos um crescimento ou decrescimento em ambas. Por exemplo, quan-
to mais pessoas estiverem presentes para almoçar, mais comida será necessária.
É comum que precisemos manipular (transformar) algumas razões e propor-
ções de maneira que tenhamos equações equivalentes, a fim de que possamos 
encontrar a solução de alguns problemas ou o valor das variáveis envolvidas.
Sejam as proporções a
b
=
c
d
, onde a, b, c e d ∈ ℝ e b, d ≠ 0. Então:
1. 
a c
b d
a
b
c
d
 
 
 �
�
� �
2. a c
b d
a
b
c
d
 
 
 �
�
� �
3. 
a b
a
c d
c
 � � �
4. a b
b
c d
d
 �
�
�
5. a b
a
c d
c
 �
�
�
6. a b
b
c d
d
 �
�
�
Exemplo 7
Vamos encontrar os valores de a e b, sendo a
2
=
b
3
 e sabendo que a + b = 50.
Solução:
Se a
2
=
b
3
=
a + b
5
 , podemos escrever:
a
2
= a + b
5
 
E a + b = 50, então:
a
2
50
5
=
a
2
10=
a = 20
Assim, se a = 20, podemos escrever:
20
2 3
=
b
No vídeo Relações propor-
cionais: espaguete, da pla-
taforma da Khan Academy, 
é possível verificar um 
exemplo dessa relação 
direta entre as grandezas 
diretamente proporcionais. 
Ele foi apresentado em 
formato de tabela para 
auxiliar na comparação.
Disponível em https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-ratios-rates/
pre-algebra-proportional-rel/v/
analyzing-and-identifying-propor-
tional-relationships-ex3. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Vídeo
https://anpmat.org.br/simposio-nacional-2/wp-content/uploads/sites/3/2016/01/ripoll_rangel_comp_grandezas.pdf
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/analyzing-and-identifying-proportional-relationships-ex3
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/analyzing-and-identifying-proportional-relationships-ex3
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/analyzing-and-identifying-proportional-relationships-ex3
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/analyzing-and-identifying-proportional-relationships-ex3
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/analyzing-and-identifying-proportional-relationships-ex3
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/analyzing-and-identifying-proportional-relationships-ex3
Proporcionalidade entre variáveis 115
Portanto:
2 60b =
b = 30
A constante de proporcionalidade k = 10, pois:
20
2
30
3
50
5
10= = = = k
Essas propriedades podem ser aplicadas para proporções formadas por duas 
ou mais razões. Podemos escrever, por exemplo:
a
b
= c
d
= e
f
= a + c + e
b + d + f
 
 
Esse tipo de proporção é chamado de proporção composta, pois é formado 
por mais de duas razões.
Seja uma sequência numérica definida por A = (a1, a2, a3,…), B = (b1, b2, b3,…) e 
C = (c1, c2, c3,…). Teremos proporcionalidades que podem ser comparadas com a 
constante de proporcionalidade da seguinte forma:
1. a
b
a
b
a
b
k1
1
2
2
3
3
� � ���
2. a
b c
a
b c
a
b c
k1
1 1
2
2 2
3
3 3
� � ���
3. a b
a
a b
a
a b
a
k1 1
1
2 2
2
3 3
3
�
�
�
�
�
���
Outras propriedades podem ser construídas usando como base as proprieda-
des mostradas anteriormente.
Exemplo 8
Três sócios obtiveram um lucro em sua empresa de R$ 180.000,00 no ano. Eles 
precisam dividir esse valor em partes diretamente proporcionais a seus investimen-
tos na empresa. Essas partes são de 2, 3 e 5, respectivamente aos sócios A, B e C.
Quanto cada um dos sócios receberá nessa divisão dos lucros?
Vamos assumir que a soma do que cada um dos sócios deverá receber é igual a 
180.000. Assim, podemos escrever que A + B + C = 180.000.
Sabendo que eles deverão receber de modo proporcional às partes 2, 3 e 5, 
podemos escrever:
A B C
2 3 5
= =
116 Matemática
Usando as propriedades, temos:
A B C
2 3 5
180 000
10
18 000= = = =. .
Dessa forma, sabemos que a constante de proporcionalidade k = 18.000.
Assim:
A
2
18 000= . , B
3
18 000= . e C
5
18 000= .
Portanto, A = 36.000; B = 54.000 e C = 90.000.
Como temos grandezas diretamente proporcionais, era de se esperar que o só-
cio com a maior parte na empresa recebesse a maior parte dos lucros.
Nesse último exemplo, é possível não só usar as propriedades, mas também 
trabalhar com problemas contextualizados sobre as regras e propriedades que en-
volvem razões e proporções diretas (diretamente proporcionais).
5.1.3 Grandeza inversamente proporcional
Assim como definimos as grandezas diretamente proporcionais, temos que as 
grandezas inversamente proporcionais são aquelas em que, quando comparadas, 
há um crescimento inverso entre elas, ou seja, uma delas aumenta enquanto a 
outra diminui.
Um exemplo clássico desse tipo de proporção é a comparação entre as gran-
dezas velocidade e tempo. Quanto mais velozes estivermos, em menos tempo 
percorreremos uma determinada distância.
As grandezas inversamente proporcionais seguem propriedades similares às 
propriedades referentes às grandezas diretamente proporcionais.
Seja uma sequência numérica definida por A = (a1, a2, a3,…), B = (b1, b2, b3,…) 
e C = (c1, c2, c3,…). Teremos proporcionalidades inversas e que podem ser compara-
das com a constante de proporcionalidade da seguinte forma:
1. A sequência numérica A = (a1, a2, a3,…) é inversamente proporcional à 
sequência B = (b1, b2, b3,…) se:
a a a
k a b a b a b k1
1
2
2
3
3
1 1 2 2 3 31 1 1
b b b
� � ��� � � � ���
2. A sequência numérica A = (a1, a2, a3,…) é inversamente proporcional às sequências 
B = (b1, b2, b3,…) e C = (c1, c2, c3,…) se:
a a
k a b c a b c k
b c b c
1 2
1 1 1 2 2
1 1 2 2
21 1
��
� � � � ���
Outras propriedades podem ser desenvolvidas com base nesse princípio.
Proporcionalidade entre variáveis 117
Exemplo 9
Vamos dividir o número 1.800 em partes inversamente proporcionais a 2, 5, 8.
Vamos assumir que temos a + b + c = 1.800. Assim, se queremos dividir esse 
valor em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8, fazemos:
a b c k
1
2
1
5
1
8
= = =
Usando as propriedades, temos:
a b c a b c
1
2
1
5
1
8
1
2
1
5
1
8
1 800
33
40
24 000
11
� � �
� �
� �
� �
 
 
. .
Portanto, a constante de proporcionalidade k = 
24 000
11
.
.
Assim:
a a a
1
2
24 000
11
11 12 000 12 000
11
� � � � �
. . .
b b b
1
5
24 000
11
11 4 800 4 800
11
� � � � �
. . .
c c c
1
8
24 000
11
11 3 000 3 000
11
� � � � �
. . .
Exemplo 10
Vamos dividir o número 45 em três partes, sendo duas delas diretamente pro-
porcionais a 2 e 3 e a última inversamente proporcional a 4.
Dividindo o número 45 em três partes, podemos escrever:
x + y + z = 45
Vamos assumir que as grandezas diretas serão x e y, e a grandeza inversa será z. 
Assim, podemos escrever:
x y z k
2 3 1
4
= = =
 
Onde k é a constante de proporcionalidade.
Pensando em fixar o 
conteúdo e trazer mais 
exemplos e aplicações 
sobre o tema, sugerimos 
alguns vídeos da platafor-
ma da Khan Academy, que 
ajudarão nesse processo. 
São eles:
• Exemplo prático: Resolução 
de proporções
https://pt.khanacademy.org/
math/pre-algebra/pre-algebra-
-ratios-rates/pre-algebra-wri-
te-and-solve-proportions/v/
find-an-unknown-in-a-propor-
tion. Acesso em: 12 jan. 2021.
• Problema de proporção: 
cachorros-quentes
https://pt.khanacademy.org/
math/pre-algebra/pre-algebra-
-ratios-rates/pre-algebra-wri-
te-and-solve-proportions/v/
using-proportion-to-solve-for-va-
riable. Acesso em: 12 jan. 2021.
• Problema de proporção: 
cookies
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-
-ratios-rates/pre-algebra-wri-
te-and-solve-proportions/v/
find-an-unknown-in-a-propor-
tion-2. Acesso em: 12 jan. 2021.
• Problema com várias 
unidades: viagem de carro
https://pt.khanacademy.org/
math/pre-algebra/pre-algebra-
-ratios-rates/pre-algebra-wri-
te-and-solve-proportions/v/
unit-conversion-exercise-exam-
ple-1. Acesso em: 12 jan. 2021.
Saiba mais
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/using-proportion-to-solve-for-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/using-proportion-to-solve-for-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/using-proportion-to-solve-for-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/using-proportion-to-solve-for-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/using-proportion-to-solve-for-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/using-proportion-to-solve-for-variable
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion-2
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion-2
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion-2
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion-2
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion-2
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/find-an-unknown-in-a-proportion-2
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/unit-conversion-exercise-example-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/unit-conversion-exercise-example-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/unit-conversion-exercise-example-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/unit-conversion-exercise-example-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/unit-conversion-exercise-example-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/unit-conversion-exercise-example-1
118 Matemática
Dessa forma, temos:
x y z k 
 
� �
� �
�
�
�
2 3 1
4
45
5 1
4
45
21
4
= k
Logo:
k = 60
7
Com o valor de k definido, podemos escrever:
x x x
2
60
7
7 120 120
7
17 14� � � � � � ,
y y y
3
60
7
7 180 180
7
25 71� � � � � � ,
z z z
1
4
4 60
7
60
28
2 14� � � � � ,
Note que fizemos uma aproximação para 
os valores de x, y e z, mas poderíamos 
ter deixado a resposta em formato de 
fração (valor exato).
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Podemos, então, analisar grandezas inversas e diretas aplicando as proprieda-
des e adaptando as propriedades de acordo com a necessidade da aplicação.
5.2 Regra de três simples
Vídeo Quando falamos em uma regra de três (simples ou composta), o que temos é 
uma ferramenta que nos auxilia a resolver problemas que envolvem grandezas 
diretamente ou inversamente proporcionais.
Proporcionalidade entre variáveis 119
Vamos trabalhar inicialmente com as regras de três simples, ou seja, as que 
envolvem duas variáveis. Vejamos alguns exemplos para que possamos entender 
esse conceito.
Exemplo 11
Dois pedreiros estão trabalhando na construção de casas. Juntos, eles cons-
troem uma casa a cada 3 meses. Se aumentarmos o número de pedreiros para 
oito, quantas casas eles construirão em 3 meses?
OS
A 
FO
OD
/S
hu
tte
rs
to
ck
Vamos montar uma tabela com as variáveis e os valores informados no enun-
ciado. Assim:
Tabela 1
Grandezas do Exemplo 11
Pedreiros Casas
2 1
8 x
Fonte: Elaborada pela autora.
Não precisamos colocar em nossa tabela a quantidade de meses que eles tra-
balharão, pois esse valor não se altera com a variação do número de pedreiros. 
Precisamos analisar se essa relação é diretamente proporcional ou inversamen-
te proporcional.
Fazemos a seguinte pergunta: aumentando o número de pedreiros, construire-
mos mais casas no mesmo tempo de trabalho?
Como a resposta é sim, entendemos que se uma das grandezas (pedreiros) 
cresce, a outra (número de casas) cresce também. Portanto, esse é um problema 
que pode ser resolvido por meio das grandezas diretamente proporcionais.
Quando as grandezas são diretamente proporcionais, podemos sinalizar por 
flechas, como na tabela a seguir, para identificar que existe um crescimento (ou 
decrescimento) no mesmo sentido.
120 Matemática
Tabela 2
Grandezas com flechas de proporcionalidade
Pedreiros Casas
2 1
8 x
Fonte: Elaborada pela autora.
Dessa forma, como a relação é direta, escrevemos:
2
8
1
=
x
2 8x =
x = =8
2
4
Portanto, se aumentarmos para oito pedreiros, o número de casas que serão 
construídas em 3 meses será quatro.
Exemplo 12
Dois pedreiros estão trabalhando na construção de casas. Juntos, eles cons-
troem uma casa a cada 3 meses. Se aumentarmos o número de pedreiros para 
oito, em quanto tempo eles construirão a mesma casa?
Observe que adaptamos o exemplo anterior para podermos alterar a pergunta. 
Agora aumentamos o número de pedreiros, pois queremos que a casa seja cons-
truída de maneira mais rápida. Anteriormente, queríamos uma quantidade maior 
de casas. Assim, as variáveis desse problema agora são: número de pedreiros tra-
balhando e tempo (em meses).
Se aumentarmos o número de pedreiros, aumentaremos o número de me-
ses? A resposta, nesse caso, é não. Vamos aumentar o número de pedreiros e 
diminuir o número de meses, porque mais pedreiros construirão mais em menos 
tempo. Portanto, temos o número de pedreiros e o tempo de construção inversa-
mente proporcionais.
Nesse exemplo, nós deixamos as flechas, representadas na Tabela 3, invertidas, 
pois estamos trabalhando com grandezas inversamente proporcionais.
Proporcionalidade entre variáveis 121
Tabela 3
Grandezas do Exemplo 12 com flechas de proporcionalidade
Pedreiros Tempo (meses)
2 3
8 x
Fonte: Elaborada pela autora.
Aplicando as regras de proporcionalidade inversa, podemos escrever:
3 1
2
8
x
=
Ou ainda:
3 8
2x
=
A forma de resolução a partir desse ponto é a mesma usada para qualquer pro-
blema que envolva igualdade entre frações. Assim:
8 6x =
x = 6
8
Dessa forma, teremos que oito pedreiros constroem a mesma casa em 6
8
�� de 
um mês(aproximadamente 23 dias).
Em geral, resolvemos muitos problemas de regra de três simples diretamen-
te proporcional no nosso dia a dia e nem percebemos essa dinâmica. Observe o 
exemplo a seguir.
Exemplo 13
O litro de gasolina custa aproximadamente R$ 4,50. Se o tanque do meu carro 
pode ser abastecido com 50 litros, quanto pagarei para encher o tanque?
Em geral, esse tipo de problema é rapidamente resolvido por uma multiplicação 
de 50 vezes 4,50; com ela, obtemos o valor final. Todavia, esse também é um pro-
blema de regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais.
Note que, na tabela a seguir, as flechas estão no mesmo sentido, pois corres-
pondem a grandezas diretamente proporcionais.
Uma regra de três simples é tam-
bém uma proporção? Justifique.
Atividade 2
122 Matemática
Tabela 4
Grandezas do exemplo 13
Quantidade em litros Valor do litro (R$)
1 4,50
50 x
Fonte: Elaborada pela autora.
Se para um litro gastarei R$ 4,50, ao aumentar a quantidade de litros, gastarei 
mais? Sim. Note que temos duas grandezas que crescem proporcionalmente.
Assim, fazemos:
4 50 1
50
,
x
=
x � � �4 50 50,
x = 225
Portanto, para completar o tanque do meu carro, gastarei R$ 225,00.
A principal característica que deve ser encontrada para a correta resolução de 
um problema de regra de três simples, ou seja, uma aplicação que possa ser resol-
vida por meio dos conceitos de proporcionalidade direta ou inversa, é justamente 
a análise entre as variáveis envolvidas.
5.3 Regra de três composta
Vídeo As regras de três compostas envolvem três ou mais variáveis. São utilizadas para 
resolver um problema que envolve mais do que duas grandezas relacionadas, ou 
seja, razões. Determinamos o valor de uma delas conhecendo o valor das demais.
Nesta seção, trabalharemos com dois exemplos, para que possamos compreen-
der como identificar as grandezas diretamente e inversamente proporcionais den-
tro da contextualização do problema e como montar a expressão (método) que 
auxiliará na resolução do problema.
Exemplo 14
Para esse primeiro exemplo, vamos adaptar o problema da construção de ca-
sas. Dois pedreiros constroem uma casa a cada 3 meses trabalhando 6 horas por 
dia durante 6 dias por semana.
a. Se aumentarmos em 5 o número de pedreiros e em 2 as horas de trabalho 
diário, em quantos meses eles construirão a mesma casa?
b. Quantas casas essa equipe aumentada construirá em 3 meses, se continuar 
trabalhando 8 horas por dia, mas, agora, passar a trabalhar 5 dias por semana?
Proporcionalidade entre variáveis 123
Para responder à primeira pergunta, montaremos a seguinte tabela de 
grandezas:
Tabela 5
Grandezas do Exemplo 14 (a)
Meses Número de pedreiros Horas de trabalho por dia
3 2 6
x 7 8
Fonte: Elaborada pela autora.
Precisamos identificar a relação entre as razões. Para isso, vamos comparar a 
coluna meses, que comporta a variável x procurada, com cada uma das demais co-
lunas (comparação dois a dois).
Ao aumentarmos o número de pedreiros, construiremos uma casa em mais 
tempo? Resposta: não. Portanto, essas duas colunas (grandezas) são inversamen-
te proporcionais.
A tabela a seguir apresenta a comparação entre as duas grandezas.
Tabela 6
Comparação com flechas das grandezas meses e número de pedreiros
Meses Número de pedreiros Horas de trabalho por dia
3 2 6
x 7 8
Fonte: Elaborada pela autora.
Ao aumentarmos as horas de trabalho diárias, construiremos uma casa em 
mais tempo? Resposta: não. Portanto, essas duas grandezas também são inversa-
mente proporcionais.
A tabela a seguir apresenta a comparação entre essas duas grandezas.
Tabela 7
Comparação com flechas das grandezas meses e horas de trabalho
Meses Número de pedreiros Horas de trabalho por dia
3 2 6
x 7 8
Fonte: Elaborada pela autora.
A tabela a seguir apresenta a comparação entre todas as grandezas apresenta-
das no enunciado do problema.
Tabela 8
Comparação com flechas de todas as grandezas
Meses Número de pedreiros Horas de trabalho por dia
3 2 6
x 7 8
Fonte: Elaborada pela autora.
124 Matemática
A análise final e a montagem da equação devem ser feitas usando:
3 1
2
7
1
6
8
x
= .
3 7
2
8
6x
= .
3 56
12x
=
56 36x =
x � � �36
56
9
14
0 64,
Assim, com cino pedreiros a mais e 2 horas a mais de trabalho diário, os sete pe-
dreiros construirão a mesma casa em 9
14
 meses, ou seja, aproximadamente 20 dias.
Para responder à segunda pergunta, faremos a comparação em relação ao 
enunciado, mas também poderíamos fazer a comparação em relação aos resulta-
dos encontrados na letra (a).
Tabela 9
Grandezas do Exemplo 14 (b)
Quantidade de casas Número de pedreiros Dias de trabalho
1 2 6
y 7 5
Fonte: Elaborada pela autora.
Vamos comparar a coluna quantidade de casas, que comporta a variável y procu-
rada, com cada uma das demais colunas (comparação dois a dois).
Ao aumentarmos o número de pedreiros, construiremos mais casas? Resposta: 
sim. Portanto, essas duas colunas (grandezas) são diretamente proporcionais.
A Tabela 10 apresenta a comparação entre as duas grandezas.
Tabela 10
Comparação com flechas das grandezas casas e número de pedreiros
Quantidade de casas Número de pedreiros Dias de trabalho
1 2 6
y 7 5
Fonte: Elaborada pela autora.
Ao diminuirmos os dias de trabalho, construiremos menos casas? Resposta: 
sim. Portanto, essas duas grandezas também são diretamente proporcionais.
A Tabela 11 apresenta a comparação entre essas duas grandezas.
Proporcionalidade entre variáveis 125
Tabela 11
Comparação com flechas das grandezas casas e dias de trabalho
Quantidade de casas Número de pedreiros Dias de trabalho
1 2 6
y 7 5
Fonte: Elaborada pela autora.
A tabela a seguir apresenta a comparação de todas as grandezas apresentadas 
no enunciado do exemplo.
Tabela 12
Comparação com flechas de todas as grandezas
Quantidade de casas Número de pedreiros Dias de trabalho
1 2 6
y 7 5
Fonte: Elaborada pela autora.
A análise final e a montagem da equação devem ser feitas usando:
1 2
7
6
5y
= .
1 12
35y
=
12 35y =
y � � �35
12
2 91666,
Assim, aumentando o número de pedreiros de 2 para 7, mas diminuindo os 
dias por semana em um dia, o número de casas construídas em 3 meses será de 
2,9166..., quase 3 casas completas.
Exemplo 15
Um ciclista sai de Curitiba e deseja ir ao litoral paranaense pedalando 6 horas 
diárias. Com uma velocidade de 40km/h, ele planeja chegar ao litoral no mesmo 
dia. Se essa velocidade for reduzida para 35km/h, quantas horas ele precisará pe-
dalar para que faça o percurso de ida e volta?
126 Matemática
A Tabela 13 apresenta as grandezas do enunciado do exemplo.
Tabela 13
Grandezas do Exemplo 15
Horas por dia Velocidade média Percurso
6 40 1
x 35 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que temos uma regra de três composta em que uma das grandezas é o 
percurso. O ciclista tinha um planejamento inicial de ir ao litoral (1) e, ao final, pre-
cisou calcular o percurso de ida e volta (2).
Ao diminuir a velocidade, o ciclista também diminui as horas que deve peda-
lar? Resposta: não. Portanto, essas duas colunas (grandezas) são inversamente 
proporcionais.
A tabela a seguir apresenta a comparação entre as duas grandezas.
Tabela 14
Comparação com flechas das grandezas horas por dia e velocidade média
Horas por dia Velocidade média Percurso
6 40 1
x 35 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Ao aumentar o percurso, o ciclista também aumenta as horas que deve pe-
dalar? Resposta: sim. Portanto, essas duas colunas (grandezas) são diretamente 
proporcionais.
A tabela a seguir apresenta a comparação entre essas duas grandezas.
Tabela 15
Comparação com flechas das grandezas horas por dia e percurso
Horas por dia Velocidade média Percurso
6 40 1
x 35 2
Fonte: Elaborada pela autora.
A tabela a seguir apresenta todas as grandezas do enunciado do exemplo já 
comparadas, duas a duas.
Tabela 16
Comparação com flechas de todas as grandezas
Horas por dia Velocidade média Percurso
6 40 1
x 35 2
Fonte: Elaborada pela autora.
Proporcionalidade entrevariáveis 127
Para resolvê-la, escrevemos:
6 35
40
1
2x
= .
6 35
80x
=
35 480x =
x � � �480
35
96
7
13 71,
Assim, se o ciclista reduzir a velocidade e mudar seu percurso, fazendo agora ida 
e volta, precisará pedalar 13,71 horas (aproximadamente 13 horas e 43 minutos).
Uma regra de três composta nada mais é do que uma extensão dos conceitos 
de razão e proporção com grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 
A prática auxiliará na resolução dos exercícios e aplicações, por isso sugerimos que 
os exemplos sejam refeitos sem olhar a solução, para que você possa ir perceben-
do as sutilezas quando fazemos a análise das grandezas.
5.4 Porcentagem
Vídeo Uma porcentagem nada mais é do que uma razão (fração), em que o denomi-
nador é composto de 100 unidades, ou seja, teremos como referência principal 
partições de 100 unidades, sendo que o valor utilizado dessas 100 partes estará 
representado no numerador. Esse valor é o percentual desejado.
Assim, se temos X%, podemos escrever em formato de fração como X
100
.
Exemplo 16
 • 1 1
100
% =
 • 30 30
100
% =
 • 75 75
100
% =
Observe a figura a seguir, que representa geometricamente esse conceito.
128 Matemática
Figura 3
Representação geométrica para 10
100
Fonte: Elaborada pela autora.
Como vemos na figura, para representar o equivalente a 10%, temos uma fração 
10
100
, ou seja, 10 partes de 100.
Esse conceito pode ser estendido por meio de frações equivalentes.
Assim, sabendo que:
10
100
25
250
1
10
10= = = %
Percebemos que existem outras frações que representam os mesmos 10%. Isso 
é muito útil não só no ambiente financeiro, em que o uso de taxas percentuais é 
comum, mas também no nosso dia a dia.
O gráfico de setor, ou gráfico de pizza (que carrega esse nome justamente por 
ser representado por um círculo fracionado, assim como uma pizza), traz em suas 
partições os percentuais que representam conceitos previamente calculados. Por 
exemplo, podemos representar, por meio de um gráfico de setor, resultados de 
pesquisas eleitorais, pesquisas de gênero, dentre muitos outros. Esse tipo de gráfi-
co é muito usado em representações estatísticas nas mais diversas áreas, pois nos 
mostra as informações de maneira bastante simples e visual.
Figura 4
Gráfico com o resultado da eleição presidencial no Brasil (2018)
Jair Bolsonaro 
55,13%
Fernando 
Haddad 44,87%
Brancos e nulos 
9,57%
Abstenções 
21,30%
Fonte: Elaborada pela autora.
Para reforçar o conceito 
de porcentagem, assista 
ao vídeo da plataforma da 
Khan Academy intitulado 
O significado de porcenta-
gem. Nele, Salman Khan 
traz a interpretação desse 
conceito com as mesmas 
características que 
apresentamos nesta obra. 
Dessa forma, caso você 
ainda tenha dúvida, o vídeo 
poderá auxiliá-lo.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-ratios-rates/pre-alge-
bra-intro-percents/v/describing-the-
-meaning-of-percent. Acesso em: 12 
jan. 2021.
Vídeo
Para saber mais sobre esse 
tipo de gráfico, assista ao 
vídeo Leitura de gráficos de 
pizza (gráficos circulares), 
disponível da plataforma 
da Khan Academy.
Disponível em: https://pt.kha-
nacademy.org/math/pt-7-ano/
probabilidade-e-estatistica-7ano/
graficos-de-imagem-graficos-de-
-barras-e-histogramas/v/reading-
-pie-graphs-circle-graphs. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Na plataforma, também 
é possível praticar esse 
conceito, analisando gráfi-
cos de setores. Para isso, 
acesse o link a seguir.
Disponível em: https://
pt.khanacademy.org/math/
pt-7-ano/probabilidade-e-estatisti-
ca-7ano/graficos-de-imagem-gra-
ficos-de-barras-e-histogramas/e/
analisar-dados-apresentados-em-
-grafico-de-setores. Acesso em: 12 
jan. 2021.
Saiba mais
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-intro-percents/v/describing-the-meaning-of-percent
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-intro-percents/v/describing-the-meaning-of-percent
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-intro-percents/v/describing-the-meaning-of-percent
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-intro-percents/v/describing-the-meaning-of-percent
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-intro-percents/v/describing-the-meaning-of-percent
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/v/reading-pie-graphs-circle-graphs
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/v/reading-pie-graphs-circle-graphs
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/v/reading-pie-graphs-circle-graphs
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/v/reading-pie-graphs-circle-graphs
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/v/reading-pie-graphs-circle-graphs
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/v/reading-pie-graphs-circle-graphs
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/e/analisar-dados-apresentados-em-grafico-de-setores
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/e/analisar-dados-apresentados-em-grafico-de-setores
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/e/analisar-dados-apresentados-em-grafico-de-setores
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/e/analisar-dados-apresentados-em-grafico-de-setores
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/e/analisar-dados-apresentados-em-grafico-de-setores
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/e/analisar-dados-apresentados-em-grafico-de-setores
https://pt.khanacademy.org/math/pt-7-ano/probabilidade-e-estatistica-7ano/graficos-de-imagem-graficos-de-barras-e-histogramas/e/analisar-dados-apresentados-em-grafico-de-setores
Proporcionalidade entre variáveis 129
Exemplo 17
Sabendo que comemos ¼ de 
uma pizza, quanto da pizza come-
mos percentualmente?
Aqui, podemos tomar muitas 
abordagens diferentes para chegar-
mos à mesma resposta. Possivel-
mente, a mais rápida é encontrar 
o representante decimal para ¼, ou seja, dividir 1 por 4. Obteremos, com isso, 
o valor 0,25.
Sabendo que 0 25 25
100
, = e usando o conceito de porcentagem visto anterior-
mente, chegamos ao resultado ¼ = 25%.
Também poderíamos resolver o problema do exemplo 17 pesquisando a fração 
equivalente (DANTE, 2011). Para isso, usamos uma regra de três simples e direta-
mente proporcional:
1
4 100
=
X
Logo, 4X = 100. Portanto, X = 25.
Note, nas figuras a seguir, que alteramos o valor do denominador e, dessa for-
ma, a subdivisão do quadrado maior. Entretanto, como também alteramos o nu-
merador, ficamos com a mesma parcela (pintada de cinza), ou seja, a mesma razão 
que nos origina a mesma porcentagem pintada de cinza.
Na Figura 5, vemos uma subdivisão do quadrado maior em 100 quadrados me-
nores de igual tamanho, onde apenas 25 deles estão destacados; já na Figura 6, o 
mesmo quadrado está subdividido em 4 partes iguais, sendo que apenas 1 delas 
está destacada. Perceba que o tamanho destacado nos dois casos é o mesmo, o 
que nos remete à equivalência entre essas comparações.
m
ax
st
oc
kp
ho
to
/S
hu
tte
rs
to
ck
Além do gráfico de setores, que 
pode serusado para representar 
porcentagens de maneira clara e 
simples, qual outro tipo de gráfico 
poderia ser usado? Exemplifique 
sua escolha.
Atividade 3
130 Matemática
Figura 5
Fração 25/100
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Figura 6
Fração 1/4
Fonte: Elaborada pela autora.
Exemplo 18
Calcule:
 • 15% de 225 = 15
100
225
1
3 375
100
33 75. . ,= =
Também poderíamos ter feito:
0 15 225 33 75, ,� �
 • 23% de 230 = 
23
100
230
1
23 230
100
52 9� � � � ,
Também poderíamos ter feito:
0 23 230 52 9, ,� �
 • 10% de 5.000 = 0,10 · 5.000 = 500
 • 25% de 100 = 0,25 · 100 = 25
Também poderíamos ter pensado o seguinte: “como 25% de alguma coisa é 
igual a ¼ dessa coisa, então basta dividir por 4”, isto é, 100
4
25=
Exemplo 19
Para calcularmos quanto é 10% de 15% de 300, fazemos:
10
100
15
100
300
1
45 000
10 000
4 5� � �. .
.
,
Portanto, 10% de 15% de 300 é igual a 4,5.
Proporcionalidade entre variáveis 131
Exemplo 20
11,5 é igual a quantos por cento de 230?
Para resolvermos esse exemplo, fazemos:
X% de 230 = 11,5
x
100
230 11 5 . ,=
230 11 5 100x � �,
230 1 150x = .
x = 1 150
230
.
x = 5
Portanto, 11,5 é igual a 5% de 230.
Exemplo 21
Se uma loja dá 8% de desconto em suas vendas para compras acima de R$ 350 
e eu gastei R$ 400,00, quanto devo pagar no final (com desconto)?
Vamos chamar de C o valor gasto ⇒ C = 400
Vamos chamar de i o percentual de desconto ⇒ i = 8% = 0,08 = 
8
100
Vamos chamar de M o valor final (que devo pagar) ⇒ M = C – C · i = C(1 – i)
Assim:
Desconto: C · i = 400 · 0,08 = 32.
Valor final (M) = Valor real (C) – Desconto = 400 – 32 = 368.
Mas como vimos, poderíamos ter escrito:
M = C – C · i = C(1 – i) = 400(1 – 0,08) = 400 (0,92) = 368
132 Matemática
Exemplo 22
Fiz um empréstimo financeiro no Banco S.A. de R$ 700.000,00 e devo pagar 35% 
ao ano de juros. Como quitei minha dívida exatamente 1 ano após o empréstimo, 
quanto paguei ao todo para o banco (empréstimo + juros)?
Vamos chamar de C o valor do empréstimo ⇒ C = 700.000
Vamos chamar de i a taxa de juros ao ano ⇒ i = 35% = 0,35 = 
35
100
Vamos chamar de M o montante final (que devo pagar) ⇒ M = C + C · i = C(1 + i)
Assim:
Juros = C · i = 700.000 · 0,35 = 245.000.
Valor final (M) = Valor do empréstimo (C) + Juros = 700.000 + 245.000 = 945.000.
Note que poderíamos ter escrito:
M = C + C · i = C(1 + i) = 700.000(1 + 0,35) = 700.000(1,35) = 945.000
Observe que, nos exemplos apresentados, três 
situações ficaram bem evidentes e podem ser 
usadas de maneira prática. São elas:
 • Tomar X% de uma quantia C: 
x C
100
 ⋅
 • Aumentar uma quantia C de X%: 1 100 �
�
�
�
�
�
� �
x C
 • Diminuir uma quantia C de X%: 1 100
 ��
�
�
�
�
� �
x C
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Vimos diversos exemplos do conceito de porcentagem e de cálculos necessá-
rios para encontrar esses valores. Se o conceito de porcentagem estiver bem claro 
em sua mente, as “regras” apresentadas se tornam apenas uma ferramenta para 
agilizar processos; mesmo que não as lembre, você conseguirá encontrar os resul-
tados desejados.
Para reforçar o conceito 
de conversão de uma 
porcentagem apresentada 
em formato de fração 
para o formato de número 
decimal, assista ao vídeo 
Conversão de números 
decimais em porcenta-
gens: 0,601, da plataforma 
da Khan Academy.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/pre-algebra/
pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-
-percent-decimal-conversions/v/con-
verting-decimals-to-percents-ex-1. 
Acesso em: 12 jan. 2021.
Vídeo
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-percent-decimal-conversions/v/converting-decimals-to-percents-ex-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-percent-decimal-conversions/v/converting-decimals-to-percents-ex-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-percent-decimal-conversions/v/converting-decimals-to-percents-ex-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-percent-decimal-conversions/v/converting-decimals-to-percents-ex-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-percent-decimal-conversions/v/converting-decimals-to-percents-ex-1
Proporcionalidade entre variáveis 133
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A teoria vista neste capítulo remete a vários conceitos aplicados ao nosso dia a dia 
e que, muitas vezes, passam despercebidos, pois sabemos interpretar e aplicar essas 
regras mesmo sem termos a noção da matemática envolvida, ou nos colocam em si-
tuações “complicadas” por não conseguirmos manipular essa matemática.
Além disso, juntamente com outros conceitos matemáticos, as razões, proporções, 
porcentagens, e com elas a ferramenta da regra de três (simples e composta), são 
passo inicial para compreendermos a matemática financeira que nos rodeia. Por esses 
motivos, este é um capítulo fundamental, pois pode auxiliar tanto na vida acadêmica 
quanto na vida diária.
REFERÊNCIAS
DANTE, L. R. Matemática: Contextos & Aplicações. v. 1-3 . São Paulo: Ática, 2011.
DANTE, L. R. Tudo é matemática: 6º ano. São Paulo: Ática, 2010.
GIOVANNI, J. R.; GIOVANNI JR., J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da matemática: 7º ano. São Paulo: FTD, 2019.
GABARITO
1. Temos como exemplo de razão aplicada a situações do nosso dia a dia a velocidade 
média (distância/tempo), a aceleração (velocidade/tempo), a escala entre estruturas 
geométricas (medidas do desenho/medidas reais), a densidade demográfica 
(número de habitantes/área), a densidade de líquidos (massa/volume), percentuais 
(parte/todo), dentre outros.
2. Partindo do conceito de proporção (comparação entre razões), podemos dizer 
que, sim, uma regra de três simples (e também uma regra de três composta) é uma 
proporção que pode ser formada com grandezas diretamente proporcionais ou 
inversamente proporcionais.
3. Um outro gráfico comumente usado para apresentar resultados com porcentagens 
é o gráfico de barras. Esse tipo de abordagem pode ser observado nas imagens 
a seguir:
Ph
ill
ip
es
/S
hu
tte
rs
to
ck
134 Matemática
6
Matemática financeira
A matemática financeira básica permeia as situações rotineiras de 
nossa vida. Com a expansão de bancos digitais, a facilidade de créditos e o 
uso de cartões, torna-se necessário que façamos cálculos para não entrar-
mos em situações danosas ao nosso patrimônio, ao de nossos familiares 
ou de nossas empresas.
A facilidade de realizar investimentos, cada vez mais rapidamente e de 
dentro da nossa própria casa, tem trazido a necessidade e, por vezes, até 
a obrigação de aprendermos mais sobre esse mundo de taxas, juros e 
crescimentos ou decrescimentos lineares e exponenciais.
Neste capítulo, trataremos desses assuntos, trazendo aplicações e 
exemplos resolvidos. Vamos percorrer a matemática financeira básica que 
faz parte do nosso dia a dia.
6.1 Equação exponencial
Vídeo Uma equação é também uma igualdade em que, entre as parcelas que a com-
põem, é necessário que se tenha, ao menos, uma incógnita. Em geral, é o valor 
dessa incógnita que precisa ser descoberto.
As equações podem ser classificadas em categorias de acordo com as operações 
que as compõem. Dentre essas categorias encontram-se as equações exponenciais, 
as quais são peças-chave para o bom entendimento do conceito de juro composto 
e outros conceitos da matemática financeira.
Para um bom entendimento das equações exponenciais, assim como das logarítmicas, é importante que 
as regras de potenciação e radiciação, o conceito de logaritmo e as suas propriedades estejam bem claros. 
Para auxiliar nisso, sugerimos alguns vídeos e atividades.
Material com leitura e exercícios da plataforma da Khan Academy: Revisão das propriedades da potenciação.
Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-proper-
ties-review. Acesso em: 12 jan. 2021.
Vídeo do canal Ferretto Matemática, intitulado Radiciação: definiçãoe propriedades.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=QmIjZgKhAEo. Acesso em: 12 jan. 2021.
Vídeo do canal Professora Angela Matemática, denominado Logaritmo - definição e exemplos.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=yEgMcl-lP1c. Acesso em: 12 jan. 2021. 
Cada um desses materiais auxilia na recapitulação de conceitos importantes para uma melhor compreensão 
deste capítulo.
Saiba mais
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-exponents-radicals/pre-algebra-exponent-properties/a/exponent-properties-review
https://www.youtube.com/watch?v=QmIjZgKhAEo
https://www.youtube.com/watch?v=yEgMcl-lP1c
Matemática financeira 135
6.1.1 Equação exponencial simples
Vamos apresentar agora equações exponenciais que podem ser transformadas 
em igualdades de mesma base. Para isso, em primeiro lugar, iremos rapidamente 
definir uma função exponencial.
Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de 
base a a função f de ℝ → +
* , definida por f(x) = ax ou y = ax (DANTE, 2011).
O gráfico de uma função exponencial pode ser observado na figura a seguir.
Figura 1
Gráfico de uma função exponencial
y = ax, a > 0
y 
x0
1
0 < a < 1 a > 1
a = 1
Como é possível observar na Figura 1, quando a base a é um valor maior do que 
1 (a > 1), temos uma função crescente; já quando a base assume valores entre 
0 e 1 (0 < a < 1), temos uma função decrescente.
Vamos supor, em analogia a uma função exponencial f(x) = ax, que temos situa-
ções escritas da seguinte forma:
 • 4 = 2x
 • 9 = 32x
É possível encontrar os valores de x para essas expressões?
Se tivermos 2x = 42x, podemos encontrar o valor de x para que essa expressão 
seja verdadeira?
A resposta é sim. Vamos encontrar todos esses valores.
Os exemplos citados são o que chamamos de equações exponenciais. Ou 
seja, temos uma igualdade que apresenta, ao menos em uma de suas partes, uma 
expressão exponencial (quando a variável aparece no expoente).
m
at
m
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Para um maior aprofunda-
mento sobre as funções 
exponenciais, assista ao 
vídeo Introdução a funções 
exponenciais, da plataforma 
Khan Academy.
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/algebra/intro-
duction-to-exponential-functions/
exponential-vs-linear-growth/v/
exponential-growth-functions. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Vídeo
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-linear-growth/v/exponential-growth-functions
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-linear-growth/v/exponential-growth-functions
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-linear-growth/v/exponential-growth-functions
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-linear-growth/v/exponential-growth-functions
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-linear-growth/v/exponential-growth-functions
136 Matemática
Exemplo 1
No primeiro caso, em que 4 = 2x, podemos transformar a equação em uma 
igualdade de potências. Assim:
4 = 2x
22 = 2x
Podemos comparar uma equação a uma balança e, dessa forma, se tudo o que 
fazemos de um lado da igualdade também fizermos do outro, não alteraremos o 
equilíbrio da balança. Podemos escrever:
22 = 2x
2 = x
Logo, para que a igualdade 4 = 2x seja válida, x = 2.
Esse é o princípio para a resolução das equações exponenciais, no qual é possí-
vel aplicar a igualdade entre bases.
Exemplo 2
No segundo caso, encontraremos a solução para 9 = 32x.
32 = 32x
Assim, podemos escrever:
2 = 2x
Logo:
x = 2
2
 = 1
A solução para essa equação é escrita na forma: S = {x ∈ ℝ | x = 1}.
Exemplo 3
No terceiro caso, encontraremos a solução para 2x = 42x.
2x = 42x
Matemática financeira 137
Aplicando as propriedades de potências, escrevemos:
2x = (22)2x
2x = 24x
x = 4x
x – 4x = 0
x = 0
Exemplo 4
ℝesolva as equações exponenciais a seguir:
a. 0 5 43,� � �x �
b. 2 1
2 5 6x x� � � 
c. 3 · 8x + 1 = 192
d. 22x – 9 · 2x + 8 = 0
Resposta:
a. 0 5 43,� � �x
Como precisamos igualar as bases, usamos as propriedades de potenciação e 
radiciação. Assim:
1
2
4
1
3
�
�
�
�
�
� � � �
x
2 22
1
3� � � � ��x
2 2
2
3� � � �x
Com as bases igualadas, podemos escrever:
−x = 2
3
x = 2
3
−
Portanto, S x x� � � �
�
�
�
�
�
�
| 2
3 .
b. 2 1
2 5 6x x� � � 
Nesse caso, temos:
2 1
2 5 6x x� � � 20
Note que 1 = 20
x2 – 5x + 6 = 0
(x – 3)(x – 2) = 0
x1 = 2 e x2 = 3
138 Matemática
Portanto, S = {x ∈ ℝ | x = 2 ou x = 3}.
c. 3 · 8x + 1 = 192
O processo aqui ainda é a tentativa de igualar as bases das potências. Assim, 
fatorando 192, obtemos 192 = 26 · 3.
3 · (23)x + 1 = 3 · 26
3 · (2)3x + 3 = 3 · 26
23x + 3 = 26
3x + 3 = 6
3x = 3
x = 1
Portanto, S = {x ∈ ℝ| x = 1}.
d. 22x – 9 · 2x + 8 = 0
Nesse exemplo, vamos adotar uma abordagem diferente, mas com o mesmo 
intuito de igualar as potências.
22x – 9 · 2x + 8 = 0
(2x)2 – 9 · 2x + 8 = 0
Assumindo 2x = y e substituindo na equação acima, temos:
y2 – 9y + 8 = 0
(y – 1)(y – 8) = 0
Portanto, y = 1 ou y = 8. Mas não queremos o valor de y, e sim o valor de x. Logo:
2x = 1
2x = 20
x = 0
2x = 8
2x = 23
x = 3
O conjunto solução para essa equação será S = {x ∈ ℝ | x = 0 ou x = 3}.
Quando retratamos as equações e funções exponenciais, é comum cogitarmos 
os crescimentos exponenciais.
De acordo com Ortega e Zanghetin (2007),
uma população que obtém todo o alimento de que precisa aumentará cada 
vez mais rápido, pois quanto mais indivíduos, mais bocas e portanto, mais ali-
mento consumido acarretando maior crescimento de toda a população. Este 
tipo de crescimento é chamado de crescimento exponencial. O crescimento 
exponencial se caracteriza por um constante aumento percentual por perío-
do de tempo. Uma pequena população de ratos de laboratório que tem os 
recipientes de alimentos sempre mantidos cheios, não importando quanto os 
ratos comam, pode ser um exemplo. Quanto maior o consumo, mais alimen-
to é fornecido e mais rápido a população cresce. A cada semana o número de 
ratos aumenta. Enquanto a necessidade por alimento for suprida, o número 
de ratos crescerá exponencialmente.
Além desses exemplos práticos, podemos encontrar equações exponenciais 
em diversos tipos de aplicações. Um exemplo clássico nessa área é o cresci-
mento exponencial que pode ser visto em problemas envolvendo crescimento 
Matemática financeira 139
de bactérias, contaminações por exposição a vírus, crescimento populacional, 
entre outros.
Exemplo 5
Em experimentos realizados com bactérias, observa-se um crescimento expo-
nencial comum para esse tipo de cultura. Vamos assumir que um determinado 
experimento nesse formato apresentou uma expressão geral que modela o expe-
rimento na forma:
N(t) = 2.400 · 20,1t
Em que N(t) é o número de bactérias após um determinado tempo t (em horas).
Pergunta-se: após quanto tempo do início do experimento a cultura terá 
38.400 bactérias?
Queremos encontrar o valor de t de modo que 2.400 · 20,1t = 38.400.
Dessa forma, a ideia para resolver essa aplicação é a mesma vista nos exemplos 
anteriores; isto é, tentamos igualar as potências da equação para que consigamos 
encontrar o valor de t.
2.400 · 20,1t = 38.400
20,1t = 
38 400
2 400
.
.
20,1t = 16
20,1t = 24
Assim:
0,1t = 4
t = 4
0 1,
t = 40
Com isso, obtemos que, após 40 horas, o número de bactérias passa de 2.400 
para 38.400.
Portanto, uma equação exponencial, quando é possível igualar as potências, 
torna-se um problema matematicamente resolvível pelas próprias propriedades 
de potências.
Mas e quando essa opção não pode ser usada? Veremos esse conceito na 
seção a seguir.
Assim como o crescimento 
de bactérias, o crescimento 
populacional pode ser modelado 
por equações exponenciais. Qualé a principal condição para que se 
mantenha o crescimento?
Atividade 1
140 Matemática
6.2 Equação logarítmica
Vídeo Vamos iniciar esta seção com o seguinte problema:
Deseja-se encontrar o valor de x para a 
equação 2x = 5.Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Note que não podemos escrever essa equação de modo que as bases nas duas 
partes da equação sejam iguais. É nesse momento que vamos incluir o conceito 
de logaritmo.
Para relembrar alguns conceitos de logaritmos, a figura a seguir traz a definição 
e algumas das propriedades que usaremos nesta seção.
Figura 2
Propriedades dos logaritmos
Definição de logaritmo
Propriedades dos logaritmos ima
ge
st
oc
kd
es
ig
n/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Uma função logarítmica é inversa a uma função exponencial. Assim, sua defini-
ção pode ser escrita como: função f que associa a cada número real x > 0 o número 
real logax, com a > 0, sendo chamada de função logarítmica de base a e indicada 
por f(x) = y = logax, em que D(f) = ℝ+, a imagem Im(f) = ℝ e f-1(x) = ax (DANTE, 2011).
O gráfico de uma função exponencial pode ser observado na figura a seguir.
*
Matemática financeira 141
Figura 3
Crescimento e decrescimento dependente da base
m
at
m
a/
Sh
ut
te
rs
to
cky 
0 1
y = logax, a > 1
y = logax, 0 < a < 1
x
Observe que a relação para os valores da base e o crescimento (ou decresci-
mento) da função é a mesma apresentada para a função exponencial.
Essa relação inversa entre as duas funções pode ser observada na figura a seguir.
Figura 4
Função logarítmica inversa de uma função exponencial
m
at
m
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
y 
1
1
y =
 x
y = logax, a > 1
y = ax, a > 1
x
Voltando ao nosso problema inicial, não podemos igualar as bases, mas, sendo 
uma equação, é possível usar outras ferramentas, desde que não desequilibremos 
nossa balança (os dois lados da equação).
142 Matemática
Portanto, podemos escrever:
log2 2
x = log2 5
Assim, aplicando um logaritmo na base 2 nas duas partes da equação, consegui-
mos usar as propriedades logarítmicas para terminar a resolução:
log2 2
x = log2 5
xlog22 = log25
x = log25
Portanto, já temos o valor de x e, caso necessário, ainda podemos encontrar o 
valor de logaritmo de 5 na base 2.
Exemplo 6
Dados os valores log2 = 0,30, log3 = 0,48 e log7 = 0,84, resolva as equações:
a. 3x = 10
b. 5 · 3x = 21
c. 52x – 7 · 5x + 12 = 0
Resposta:
a. 3x = 10
Como não conseguimos igualar a base das potências, acrescentamos o loga-
ritmo na base 3 nos dois lados da equação para facilitar a simplificação.
log33
x = log310
xlog log
log3
3 10
3
=
x = 1
0 48,
x = 25
12
b. 5 · 3x = 21
3 21
5
x =
Como não é possível igualar as bases das potências, vamos aplicar o logaritmo 
na base 3.
log log3 33
21
5
x =
x � �log log
log
21 5
3
 
x � � �log log log
log
7 3 5
3
 
Matemática financeira 143
x � � � �0 84 0 48 10 2
0 48
, , (log log )
,
 
x � � � �0 84 0 48 1 0 3
0 48
, , ( , )
,
 
x = 1,29
c. 52x – 7 · 5x + 12 = 0
Fazendo 5x = y, podemos escrever:
(5x)2 – 7 · 5x + 12 = 0
y2 – 7y + 12 = 0
(y – 4)(y – 3) = 0
Assim, y = 3 ou y = 4. No entanto, queremos saber os valores para x, logo:
5x = 3 5x = 4
Como não conseguimos igualar as potências, podemos escrever:
log55
x = log53
x = log53
log55
x = log54
x = log54
Uma vez que possuímos os valores para log2 = 0,3 e log3 = 0,48, podemos me-
lhorar a resposta encontrada usando as propriedades logarítmicas. Assim:
x = log53
x = log
log
3
5
x �
�
log
log log
3
10 2 
x �
�
0 48
1 0 3
,
, 
x = 0,68
x = log54
x = log
log
4
5
x �
�
2 2
10 2
log
log log 
x �
� �
�
2 0 3
1 0 3
,
, 
 x = 0,86
Exemplo 7
Uma pessoa aplicou R$ 500,00 em um investimento que rende 3% ao mês. Após 
quantos meses essa pessoa terá o dobro do dinheiro que aplicou inicialmente?
Esse problema envolve o conceito de porcentagem sobre um valor. Assim, se 
essa pessoa aplicou inicialmente 500 reais e esse valor rendeu 3% ao mês, após 
esse mês ela passou a ter:
mês 1 ⇒ 500 · (1 + 0,03) = 515
144 Matemática
No mês seguinte, o dinheiro rendeu novamente 3%, mas, agora, esse valor ren-
deu sobre 515. Assim:
mês 2 500 1 0 03 1 0 03 530 45
515
� �� � �� � �, , ,� ��� ���
No terceiro mês, o rendimento será de 3% sobre 530,45.
mês � , , ,
,
3 500 1 0 03 1 0 03 1 0 0
530 45
� �� � �� � �� ������ ������ 33 546 3635� � � ,
Podemos generalizar essa expressão, escrevendo:
1.000 = 500(1 + 0,03)n
Encontrando o valor de n, saberemos quantos meses serão necessários para 
dobrar o valor aplicado.
1 000
500
1 03. ,� � �n
2 = 1,03n
Como não conseguimos igualar as potências, fazemos:
log1,03n = log2
nlog1,03 = log2
n = log
log ,
2
1 03
n ≈ 23,45
Portanto, é após 24 meses que o dinheiro aplicado terá dobrado de valor.
O logaritmo, dentre outras funções, é usado como uma ferramenta para encontrar 
a solução de equações exponenciais, transformando essas em equações logarítmicas.
6.3 Juros simples e aplicações
Vídeo Antes de diferenciarmos juro simples de juro composto, precisamos entender 
o conceito de juros.
Os juros nada mais são do que pagar uma taxa sobre um determinado valor ou, 
ainda, pagar um aluguel sobre um certo valor que lhe foi emprestado.
A ideia de um percentual sobre um determinado valor é usada no mundo finan-
ceiro com bastante regularidade, mas pode também ser aplicada em outras áreas.
Juro simples é uma taxa aplicada sempre sobre determinado valor fixo. Vamos 
entender esse processo colocando nome para as variáveis e desenvolvendo o pro-
cesso de cálculo.
Matemática financeira 145
Dessa forma, chamaremos de valor presente e denotaremos por PV (present 
value) o valor que desejamos aplicar. Além disso, chamaremos de valor futuro e de-
notaremos por FV (future value) o resultado obtido com a aplicação. A taxa de juros 
será denotada por i e o tempo de aplicação será denotado por n.
 • PV = valor presente
 • FV = valor futuro
 • i = taxa
 • n = tempo
Se queremos aplicar uma taxa mensal sobre um determinado valor em um mês, 
fazemos:
mês 1: PV + PV(i) = PV(1 + i)
Se continuarmos aplicando essa taxa na modalidade de juro simples, faremos:
mês 2: PV + PV(i) + PV(i) = PV(1 + 2i)
mês 3: PV + PV(i) + PV(i) + PV(i) = PV(1 + 3i)
Portanto, se continuarmos nesse processo, podemos generalizar essa 
expressão, escrevendo:
mês n: PV(1 + ni)
Portanto, o valor futuro será:
FV = PV(1 + ni) = PV + PV · n · i
Observação:
O valor futuro também pode ser 
chamado de montante.
Pa
ke
t/
Sh
ut
te
rs
to
ck
Exemplo 8
Vamos usar valores sobre o desenvolvimento que acabamos de analisar.
Uma aplicação de R$ 500,00 foi realizada a uma taxa de 3% na modalidade 
de juro simples. Após quantos meses essa aplicação será sete vezes maior do 
que a aplicação inicial?
Os valores que podemos extrair do enunciado são:
 • PV (capital) = 500
 • i (taxa) = 0,03
 • FV (montante) = 7(500) = 3.500
 • n (período) = ?
O crescimento de um capital 
aplicado no regime de juros 
simples pode ser modelado por 
uma função linear? Explique.
Atividade 2
146 Matemática
Portanto:
mês 1: PV + PV(i) = 500 + 500(0,03) = 500 + 15 = 515
mês 2: PV + PV i 
mês 1
� � � � � � � � � � �� ��� ��� PV i 515 500 0 03 515 1, 55 530 �
mês 3: PV + PV i + PV i 
mês 2
� � � � � � � � � �� ����� ����� PV i 530 15 5455
E assim sucessivamente. Desse modo:
mês n: PV PV i PV i 
n vezes
� � � � � � � � � � � �� ����� ����� PV + PV i n 5000 500 0 03 � � �, n
Queremos encontrar o valor de n para que FV = 3.500, logo:
3.500 = 500 + 500 · 0,03 · n
3.500 = 500 + 15n
3.000 = 15n
n = 3 000
15
.
n = 200
Então, serão necessários 200 meses para que o valor seja sete vezes maior do 
que o valor originalmente aplicado.
Exemplo 9
Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado por 20 meses e gerou um montante de 
ℝ$ 2.500,00. A que taxa mensal em regime de juros simples foi aplicado esse capital?
Vamos extrair os valores possíveis do enunciado.
 • PV = 1.500
 • FV = 2.500
 • n = 20 meses• i = ?
Portanto, usando FV = PV(1 + ni), temos:
2.500 = 1.500(1 + 20i)
2.500 = 1.500 + 30.000i
2.500 – 1.500 = 30.000i
1.000 = 30.000i
i = 0,033...
O capital foi aplicado a uma taxa de aproximadamente 3,3% ao mês. Para ter-
mos esse resultado de maneira exata, podemos deixar em formato de fração. 
Assim, i � � �0 0333 3
90
, . Taxa de 10
3
%.
Para complementar os 
conceitos desta seção, 
sugerimos dois vídeos do 
canal do Portal da Matemá-
tica OBMEP.
 
O primeiro, Regime de 
juros simples, revisita o 
conceito que acabamos de 
enunciar.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=0ThYwTBqVVA&-
feature=emb_logo. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Já o segundo vídeo, 
Exercício de fixação, como 
o próprio título diz, traz 
um exemplo resolvido 
para auxiliar na fixação do 
conteúdo.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=QjENX_mnJUA&-
feature=emb_logo. Acesso em: 
12 jan. 2021.
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=0ThYwTBqVVA&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=0ThYwTBqVVA&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=0ThYwTBqVVA&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=QjENX_mnJUA&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=QjENX_mnJUA&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=QjENX_mnJUA&feature=emb_logo
Matemática financeira 147
O juro simples, apesar de ser utilizado em muitas aplicações, não é o formato 
predominante no meio financeiro. O mais usado é o chamado juro composto, que 
veremos a seguir. 
6.4 Juros compostos e aplicações
Vídeo O juro composto é a modalidade mais utilizada por bancos, finan-
ceiras e outras categorias de negócios financeiros. É também cha-
mado de juro sobre juros e pode ser encontrado nos financiamentos 
imobiliários e de carros, nos cartões de crédito e em outros tipos de 
movimentações financeiras.
Para o juro composto, utilizamos as mesmas notações usadas 
para o juro simples:
 • PV = valor presente
 • FV = valor futuro
 • i = taxa
 • n = tempo
Mas, nesse caso, vamos desenvolver uma abordagem de juros so-
bre juros. Portanto, se queremos aplicar uma taxa mensal sobre um 
determinado valor em um mês, fazemos:
mês 1: PV(1 + i)
Se continuarmos aplicando essa taxa na modalidade de juro com-
posto, teremos:
mês 2: PV 1 + i 
mês 1
� � �� �� �� �� 1 i
mês 3: PV 1 + i 1 + i 
mês 2
� �� � �� �� ���� ���� 1 i
Caso continuarmos nesse processo, podemos generalizar essa 
expressão, escrevendo:
mês n: PV (1 + i)n
Portanto, o valor futuro será:
FV = PV(1 + i)n
Exemplo 10
Vamos usar um exemplo semelhante ao apresentado para o juro 
simples, a fim de que possamos realizar comparações.
Uma aplicação de R$ 500,00 foi realizada a uma taxa de 3% ao 
mês na modalidade de juro composto. Após quantos meses essa 
aplicação será sete vezes maior que a aplicação inicial?
O crescimento de um capital 
aplicado no regime de juros 
compostos pode ser modelado 
por uma função exponencial? 
Explique.
Atividade 3
148 Matemática
Os valores que podemos extrair do enunciado são:
 • PV (capital) = 500
 • i (taxa) = 0,03
 • FV (montante) = 7(500) = 3.500
 • n (período) = ?
Portanto:
mês 1: 500(1 + 0,03) = 515
Se continuarmos aplicando essa taxa na modalidade de juro composto, faremos:
mês 2: 515 1 0 03 530 45
mês 1
 

�� � �, ,
mês 3: 530 45 1 0 03 546 3635, , ,
mês 2
 ��� �� �� � �
Se prosseguirmos nesse processo, será possível que generalizemos essa 
expressão, escrevendo:
mês n: 500(1 + 0,03)n
Como queremos saber o valor de n para um FV conhecido, podemos escrever:
3.500 = 500(1,03)n
7 = 1,03n
log7 = log1,03n
n = log
log ,
7
1 03
n ≈ 65,83
Portanto, serão necessários 66 meses para o valor de 500 reais passar a ser sete 
vezes maior do que o original.
Note que, se aplicarmos juro simples ao mesmo problema, esse tempo seria 
de 200 meses. Essa diferença se dá pela característica dessas expressões. O juro 
simples nos traz uma função linear, enquanto o juro composto nos remete a uma 
função exponencial. Essas curvas podem ser observadas na figura a seguir.
Figura 5
Curva exponencial x curva linear
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
16.000
–50 50 100 200 300 400150 250 350 450
x
y
(65,882; 3.500) (200, 3.500)
g(n) = 500
f(n) = 500
1 3
100
 ��
�
�
�
�
�
n
1 3
100
 ��
�
�
�
�
�n
Fonte: Elaborada pela autora.
Para entender um pouco 
mais as diferenças entre 
um crescimento expo-
nencial e um crescimento 
linear, assista ao vídeo 
Crescimento exponencial 
versus crescimento linear, da 
plataforma Khan Academy. 
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/algebra/intro-
duction-to-exponential-functions/
exponential-vs-linear-growth/v/
exponential-vs-linear-growth. Acesso 
em: 12 jan. 2021.
Vídeo
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-linear-growth/v/exponential-vs-linear-growth
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-linear-growth/v/exponential-vs-linear-growth
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-linear-growth/v/exponential-vs-linear-growth
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-linear-growth/v/exponential-vs-linear-growth
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential-vs-linear-growth/v/exponential-vs-linear-growth
Matemática financeira 149
Exemplo 11
Uma pessoa investiu um capital de R$ 8.000,00 a uma taxa de 3,5% ao ano no 
regime de juros compostos por 5 anos. Qual é o montante que essa pessoa rece-
berá ao final desse prazo?
 • PV = 8.000
 • FV = ?
 • i = 0,035
 • n = 5 anos
Assim:
FV = PV(1 + i)n
FV = 8.000(1 + 0,035)5
FV = 8.000(1,035)5
FV = 9.501,49
Desse modo, essa pessoa receberá R$ 9.501,49 por essa aplicação.
Dessa forma, temos uma base para trabalhar com a chamada matemática finan-
ceira básica, já que o cálculo de juros compostos permeia a maior parte dos cálculos 
necessários dentro da matemática financeira.
Pensando na oportunidade 
de resolver problemas que 
auxiliarão na fixação do 
conteúdo, sugerimos dois 
vídeos do canal Portal da 
Matemática OBMEP, em que 
o professor Sandro Vinícius 
resolve exercícios sobre 
juros simples e compostos. 
• Exercícios sobre juros sim-
ples e compostos – aula 18.
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=P8pxekQQWYI&featu-
re=emb_logo. Acesso em: 12 jan. 2021.
• Exercícios sobre juros 
simples e compostos 3 – 
aula 20. 
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=OV0NO8rJLkc&featu-
re=emb_logo. Acesso em: 12 jan. 2021.
E, como fechamento, o 
vídeo Usando a calculadora 
- aula 21 mostra o uso da 
calculadora financeira, que 
não está no escopo deste 
capítulo, mas pode auxiliar 
na resolução de exercícios. 
Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=9LnXf3k6TYg&featu-
re=emb_logo. Acesso em: 12 jan. 2021.
Vídeo
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo, pudemos perceber a relação entre as equações exponenciais e lo-
garítmicas, bem como a relação dessas com os conceitos da matemática financeira 
básica, como os juros.
Além disso, outras relações puderam ser feitas. Um exemplo disso foi a comparação 
dos conceitos de juro simples e juro composto com as funções lineares e exponenciais.
Desse modo, os conceitos matemáticos são ferramentas que vão se completando 
e, quanto mais ferramentas tivermos, mais serão as maneiras possíveis de resolver o 
mesmo problema.
Caberá a nós escolhermos aquela que mais dominamos, a mais ágil ou a que pode 
ser computacionalmente resolvida, dentre outras possibilidades.
REFERÊNCIAS
DANTE, L. ℝ. Matemática: contextos & aplicações. v. 1. São Paulo: Ática, 2011.
ORTEGA, E.; ZANGHETIN, M. F. de L. Crescimento Exponencial (EXPO). São Paulo: Laboratório de 
Engenharia Ecológica e Informática Aplicada (LEIA), Unicamp, 2007. Disponível em: https://www.unicamp.
br/fea/ortega/ModSim/expo/expo-pt.html. Acesso em: 12 jan. 2021.
https://www.youtube.com/watch?v=P8pxekQQWYI&feature=emb_logohttps://www.youtube.com/watch?v=P8pxekQQWYI&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=P8pxekQQWYI&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=OV0NO8rJLkc&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=OV0NO8rJLkc&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=OV0NO8rJLkc&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=9LnXf3k6TYg&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=9LnXf3k6TYg&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=9LnXf3k6TYg&feature=emb_logo
https://www.unicamp.br/fea/ortega/ModSim/expo/expo-pt.html
https://www.unicamp.br/fea/ortega/ModSim/expo/expo-pt.html
150 Matemática
GABARITO
1. De acordo com muitos autores, existe a necessidade de que o alimento seja mantido constante para 
que o crescimento se mantenha constante. Isso nos faz pensar que o abastecimento desses alimen-
tos também precisa ser exponencial.
2. Uma função linear é aquela que apresenta grau 1 (expoente igual a 1) como o maior expoente de suas 
variáveis. Portanto, a expressão FV = PV(1 + ni) é uma função linear que pode estar escrita em função 
de um período, na forma f(n) = PV(1 + ni).
3. Uma função exponencial é aquela que possui uma base numérica elevada a um expoente (incógnita). 
Portanto, a expressão FV = PV(1 + i)n é uma função exponencial que pode estar escrita em função de 
um período, na forma g(n) = PV(1 + i)n.
Código Logístico
59792
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-65-582-1004-7
9 7 8 6 5 5 8 2 1 0 0 4 7
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