Matemática Básica19

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TEOREMA DE PITÁGORAS 
A 
B C 
CATETO 
CATETO 
HIPOTENUSA 
2 2 
CATETO ) CATETO ( ) ( 
2 
( HIPOTENUSA ) 
3 
4 5 5 
12 
13 
20 
21 29 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE 
ÂNGULOS AGUDOS 
CATETO 
HIPOTENUSA
 OPO
STO a 
 
 
CATETO ADJACENTE a 
SENO COSSENO 
CatetoOpostoa CatetoAdjacentea sen
 cos 
 Hipotenusa Hipotenusa 
TANGENTE COTANGENTE 
CatetoOpostoa CatetoAdjacentea tg cotg 
 Cateto Adjacentea CatetoOpostoa 
SECANTE COSSECANTE 
Hipotenusa Hipotenusa sec cosec 
 Cateto Adjacentea CatetoOpostoa 
 
12 
35 
H 
2 2 2 
H1235 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
H1369 37 
sen 
 
cos 
 
tan 
 
12 
37 
35 
37 
12 
35 
cot 
 
sec 
 
csc 
 
35 
12 
37 
35 
37 
12 
EXEMPLO: 
EXEMPLO : 
Sabendo que é um ângulo 
agudo tal que sen = 2 / 3 ..... 
2 3 
 
 
 
Exemplo de aplicação: 
 
 
 
 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS 
PROPRIEDADES DAS RAZÕES 
TRIGOMOMÉTRICAS DE 
ÂNGULOS AGUDOS 
1 
sen 
csc 
 
 
1 
cos 
sec 
 
 
1 
tan 
cot 
 
 
EXEMPLOS 
o 
1 
A) 
sen36 
o 
csc36 o 
1 
B) 
cos17 
o 
sec17 
sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1 
D)sen2csc2 1 
o o 
C)tan49cot49 1 
o 
E)cos63sec 1 
o 
63 
F)tan2cot 1 2 
PROPRIEDADES DAS RAZÕES 
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS COMPLEMENTARES 
PROPRIEDADE: 
“AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÂNGULO AGUDO 
SÃO RESPECTIVAMENTE IGUAIS ÀS CO-RAZÕES 
TRIGONOMÉTRICAS DE SEU ÂNGULO COMPLEMENTAR” 
ÀS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO 
TANGENTE E COTANGENTE; SECANTE E COSSECANTE 
DENOMINAMOS :CO-RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 sen cos cot tan b c 
cos sen sec csc 
 tan cot csc sec a 
EXEMPLOS 
A)sen25o cos65o ............... 25 65 90o o O 
B)tan43o cot47o ............... 43 47 90o o O 
C)sec60o csc30o ............... 60 30 90o o O 
D)sen cos20o 
 20 90o O 70o 
E)tan5 cot 
5 90o 15o 
 
F)sen 5 cos 
 3 
 rad 
 5 2 2 5 10 
 
60 o 45 
o 30 o 15 o 75 o 
Triângulos retângulos com ângulos notáveis 
( “triângulos das horas” ) 
1 
Vamos calcular a relação entre os lados desses triângulos? 
 
 
7 h 
12 h 
6 h 
11 h 
10 h 
9 h 
8 h 
Cada ângulo notável pode ser associado a 
uma hora do dia 
 
15 o 
90 o 
0 o 
75 o 
60 o 
45 o 
30 o 
As divisões em 15 o assinalam os valores 
notáveis de ângulos 
 
15 o 
15 o 
15 o 
15 o 
15 o 
15 o 
Dividido em 24 partes, cada uma com 15 o , 
pode representar as horas do dia 
 
30 o 
30 o 
30 o 
Os 360 o possuem diversas divisões 
interessantes 
 
60 o 
60 o 60 o 
60 o 60 o 
60 o 
O círculo trigonométricos foi dividido em 
360 partes (graus) seguindo a notação 
sexagesimal babilônia 
 
60 
60 
60 
60 
60 
60 
60 
60 
Círculo trigonométrico grego, com raio constante 
(60 , base das frações sexagesimais ) 
 
VALORES NOTAVEIS DE SENO E COSSENO 
 
Exemplo : Um escada de 12 m de comprimento 
esta apoiada em um prédio fazendo com este 
um ângulo de 60º. A altura do prédio é: 
h 
Sen( 30 º ) = 
30 º 
HIP 
CO 
CA 
C.O 
HIP 
h 1 
12 2 
 
12 m 60 º 
 
12 2 h = 
 
h = 6m 
ÂNGULOS SENO COSSENO TANGENTE 
1 
2 
2 
2 
3 
2 
1 
2 
3 
3 
1 
3 
2 
2 
3 
2 
º 30 
º 45 
60 º 
 
Logo: 
Exemplo : No triângulo retângulo abaixo o 
valor do ângulo é igual a: 
2 cm 
cm 4 
 
 60º = cos( 
 
) = 
 
HIP 
CO 
CA 
C.A 
HIP 
 
2 
4 
 
1 
2 
ÂNGULOS SENO COSSENO TANGENTE 
1 
2 
2 
2 
3 
2 
1 
2 
3 
3 
1 
3 
2 
2 
3 
2 
º 30 
º 45 
º 60 
 
01 . O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo 
de uma encosta é de 60 ° . Sabendo - se que a árvore está 
distante 100m da base da encosta, que medida deve 
ter um cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo 
da encosta? 
Cos 60º = CA/HIP 
x = 200 m 
x 
100 
2 
1 
 
S OH C AH T OA 
CATETO 
ADJACENTE 
 
02 . ( Fuvest – SP → adaptada ) A uma distância de 100 m, uma 
torre é vista sob um ângulo 
 
, como mostra a figura. Determine a 
altura da torre supondo que o ângulo 
 
seja 35º. 
DADOS: sen 35º = 0,57 cos 35º = 0,82 tg 35º = 0,70 
 m 100 
S OH C AH T OA 
CATETO 
OPOSTO 
CATETO 
ADJACENTE 
cateto oposto 
_____________ 
cateto adjacente 
➔ t g = 
H 
___ 
100 
➔ 0 , 70 = 
➔ H = 0,70 x 100 
H = 70 m 
 
HIP 
CAT 
CAT 
triângulo retângulo 
PITÁGORAS 
( relação entre os lados ) 
HIP² = CAT² + CAT² 
 
PELO TEOREMA DE PITÁGORAS: 
X 
 2 + x 
 2 10 
 
= 
 2 
➔ x 2 2 100 = ➔ x 2 = 
 
50 
2 5 2 . 25 50 
 
x x x 
 
o 
30 
o 
37 
o 
45 
 
43 
4 
33 
33 
CALCULAR: cot 
 
8 33 
cot 
4 
 
 
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS 
 
 
H 
Hsen 
Hcos 
Lsec 
Ltan 
L 
5 
o 
62 
o 
62 sen 5 
o 
5 cos 62 
8 
 
8 tan 
8 sec 
CASO 1 – DADOS: HIPOTENUSA E ÂNGULO AGUDO 
 
CASO 2 – DADOS: CATETO ADJACENTE E ÂNGULO AGUDO 
 
 
L 
 
Lcot 
 
Lcsc 
 
k 
o 
24 
o 
kcsc24 
o 
kcot24 
EXEMPLO 
 
 ) 
m 
Calcular L e M termos de 
m 
 
y 
 
; 
L 
CASO 3 – DADOS: CATETO OPOSTO E ÂNGULO AGUDO 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
m 
mtan L 
Lmtan 
m 
 
 cot Lmtan mcot 
mtan Lmcot L m tan) ( cot 
NOTA: DESCOMPOSIÇÃO DE UM VETOR 
 
F 
y F 
x F 
X 
Y 
x FFcos 
y FFsen 
 
ÁREA DO TRIÂNGULO 
A B 
C 
a 
b 
c 
ab 
S senC 
2 
 
bc 
S senA 
2 
 
ac 
S senB 
2 
 
EXEMPLO 
m 5 
m 8 
O 
60 
o (5)(8) 
S sen60 
2 
 
(5)(8) 3 
S ) ( 
2 2 
 
2 
103 m 
 
ÂNGULOS VERTICAIS 
Os ângulos verticais são ângulos 
agudos contidos em um plano vertical 
e formados por duas linhas imaginárias 
chamadas horizontal e visual 
 
 
 
ÂNGULO DE ELEVAÇÃO 
ÂNGULO DE DEPRESSÃO 
HORIZONTAL ) 
) 
 
Uma pessoa observa em um mesmo plano 
vertical dois ovnis voando a uma mesma 
altura com ângulos de elevação de 53 0 e 
37 0 se a distância entre os ovnis é de 
70 m . A que altura estão os ovnis? 
EXEMPLO: 
SOLUÇÃO 
O 
53 
70 
 k 12 12 k 
O 
53 
9 k 
o 
37 
16 k 
+ 
k +70 = 16k 9 k = 10 H = 120 
 H = 
 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Os ângulos horizontais são ângulos 
agudos contidos em um plano horizontal, 
se determinam tomando como referência 
os pontos cardinais norte N), ( sul ( S), 
leste ( L ) e oeste ( O ) . 
DIREÇÃO 
A direção de B em relação a A é 
E 30 N 
o 
N 60 E 
o 
A direção de C em relação a A é 
o 
S56O S 34 O 
o 
o 
o 
CURSO 
O curso de Q em relação a P 
o 
47 
O curso de M em relação a P 
o 
27 ao leste do sul 
al oeste del norte 
N 
S 
E O 
O 
30 
O 
56 
A 
B 
C 
E O 
S 
N 
P 
Q 
o 
47 
o 
27 
M 
 
ROSA NÁUTICA 
Gráfico que contém 32 direções 
notáveis, cada direção forma entre 
elas um ângulo cuja medida é 
' o 
15 11 
No gráfico adjunto só se 
mostran 16 direções 
notáveis, cada uma forma 
entre elas um ângulo cuja 
medida é 
' o 
30 22 
N 
S 
E O 
NNE 
ENE 
NNO 
ONO 
OSO 
SSO 
ESE 
SSE 
NE NO 
SO SE 
 
As outras 16 direções obtemos traçando as 
bissetrizes dos 16 ângulos que se mostram no 
gráfico anterior . 
E 
NE 
N 
NNE 
ENE 
NE 4 1 E 
E 4 1 NE 
NE 4 1 N 
N 4 1 NE 
NNO 
NO 4 1 N 
N 4 1 NO 
NO 
O 4 1 NO 
ONO 
NO 4 1 O 
O 
Quanto mede o ângulo entre as direções 
NE1/4N y NO1/4O ? 
Rpta. 
o 
90 
 
Um inseto parte de um ponto F e percorre 
40 km na direção N 53 0 O logo percorre 
40  2 km na direção SO, finalmente 
percorre 60 km para o leste . A que 
distância se encontra o inseto de F? 
EXEMPLO: 
SOLUÇÃO 
N 
S 
E O 
o 
53 
o 
45 
o 
45 
40 
402 
60 
x 
o 
37 
24 
32 
16 
40 20 12 
16 
OBSERVE QUE O 
TRIÂNGULO DE COR 
VERMELHA É NOTÁVEL 
X = 20 
F 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DA METADE 
DE UM ÂNGULO AGUDO (método gráfico) 
 
2 
 
2 
 
a 
b c 
c 
) 2 
tan 
2 
 
 
 
b 
c a 
 
 
c a 
b 
 
+ 
 
EXEMPLO : 
Sabendo que: tan 8 =24/7 , 
calcule tan2 
SOLUÇÃO 
8 
24 
7 
25 
4 
25 
24 
tan4257 
 
 
24 
tan4 
32 
 
3 
tan4 
4 
 
4 2 
3 
4 
5 
5 
3 
tan2 
9 
 
1 
tan2 
3