Livro de Estática e Mecânica dos Sólidos II

Prévia do material em texto

ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
Missão da Faculdade Católica Paulista
 Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo.
 www.uca.edu.br
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
SUMÁRIO
AULA 01
AULA 02
AULA 03
AULA 04
AULA 05
AULA 06
AULA 07
AULA 08
AULA 09
AULA 10
AULA 11
AULA 12
AULA 13
AULA 14
AULA 15
AULA 16
PROPRIEDADES DA SEÇÃO I 
PROPRIEDADES DA SEÇÃO II 
PROPRIEDADES DA SEÇÃO III 
ESFORÇOS EM VIGAS 
FLEXÃO NORMAL SIMPLES 
FLEXÃO NORMAL COMPOSTA 
FLEXÃO OBLÍQUA 
ESTADO PLANO DE TENSÕES
 
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA II
LINHA ELÁSTICA I
LINHA ELÁSTICA II
VIGAS HIPERESTÁTICAS E A LINHA ELÁSTICA
TORÇÃO
FLAMBAGEM
05
13
20
27
35
41
47
52
59
65
72
76
80
86
91
95
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 4
INTRODUÇÃO
Neste livro vamos dar continuidade aos nossos estudos de estática e mecânica dos 
sólidos. No primeiro livro foi abordado questões básicas a respeito do assunto e agora 
vamos aprofundar um pouco mais.
Neste livro usaremos mais o cálculo diferencial e integral para algumas demonstrações e 
por esta razão é bom você relembrar alguns conceitos de equações diferenciais, derivadas 
e antiderivadas.
O objetivo aqui, como sempre, é lhe dar capacidade para leituras aprofundadas quando 
isto for necessário em sua vida acadêmica e profissional. Não se esqueça de no final de 
cada capítulo ler o mesmo tema em outras fontes.
Use as fontes que a sua instituição de ensino possui por meio da biblioteca virtual. É 
fundamental esta leitura a mais.
Não me estenderei muito aqui, vamos direto aos estudos.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 5
AULA 1
PROPRIEDADES DA SEÇÃO I
1.1 Plano de estudo
É necessário ler? Comecei aqui com esta pergunta porque ela é chave para seu aprendizado. 
Siga o que indicarei aqui e aprenderá de fato o conteúdo da disciplina. Não existe curso 
superior sem muita leitura, dedicação e prática (resolução de problemas).
Neste curso vamos nos aprofundar, ou seja, tudo o que foi passado no curso anterior será 
utilizado aqui. Eu já fui aluno e, portanto, indicarei a vocês aonde procurar os conteúdos em 
algumas fontes. Aqui tentarei ser o mais didático e simples possível, sem perder formalidades 
necessárias.
Vamos ao que interessa de fato. O que você deve fazer em tópicos.
• ler este material;
• assistir ao vídeo;
• refazer os problemas apresentados;
• fazer a leitura de uma ou mais fontes apresentadas; 
• resolver alguns exercícios dessas fontes (pegue os que possuem soluções).
Só assim conseguirá desenvolver todo o seu potencial nesta disciplina! 
1.2 Centro de gravidade
O primeiro passo para aplicar todos os nossos conhecimentos para as mais diversas seções 
geométricas é dominar o conceito de centro de gravidade. O primeiro passo é reconhecer 
que existem as mais diversas seções geométricas nas estruturas com os mais diversos 
materiais (madeira, aço, concreto armado, concreto protendido...).
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 6
Isto está na rede
Para ficar bem claro o porquê de nos aprofundarmos nas seções vou apresentar aqui 
para vocês algumas buscas obrigatórias que você deve fazer no google. Busque pelos 
tópicos abaixo em imagens.
• vigas I longarinas (com esta busca verá vigas em formato de I)
• vigas U (aqui encontrará principalmente perfis metálicos)
• vigas U enrijecido (outro tipo de perfil metálico)
• balanço sucessivos pontes (seções vazadas)
• https://www.youtube.com/watch?v=o4M9cuDDkpI (link para o vídeo de uma ponte 
sendo construída com uma seção vazada)
Na Figura 1 temos a representação de seções que podemos encontrar nas mais diversas 
áreas das engenharias.
 
Figura 1 - Exemplo de seções utilizadas nas mais diversas áreas. Fonte: do próprio autor
1.2.1 Teoria
 
De forma simples, o centro de gravidade é o ponto de equilíbrio de um determinado corpo. 
No caso estamos pensando em seções de estruturas, portanto, o centro de gravidade seria 
o local onde poderíamos apoiar a seção de forma a ela ficar em equilíbrio estático.
https://www.youtube.com/watch?v=o4M9cuDDkpI
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 7
Na Figura 2 temos uma seção em formato de “I”. Imaginemos ela constituída do mesmo 
material, ou seja, toda ela de madeira ou aço ou concreto ou qualquer outro. Sendo assim, 
sabemos intuitivamente que ela ficará em equilíbrio se apoiarmos ela em sua região central. 
Imagine algo com o formato mostrado na Figura 2 sendo equilibrado na ponta de seu dedo. 
Figura 2 - Seção em formato de I com a representação de seu centro de gravidade. Fonte: do próprio autor
Vamos formalizar o conceito agora. O que é o equilíbrio estático? É quando a somatória de 
esforços e momentos são iguais a zero. No caso em questão não temos forças horizontais, 
a única força atuante é a da gravidade vertical para baixo. A força da gravidade atua em toda 
extensão do corpo e para cada ponto vai existir um pequeno diferencial da força peso. Como 
existe um diferencial de força peso para cada ponto, vai existir um momento relativo a cada 
um desses diferenciais em relação a um eixo coordenado. Na Figura 3 temos a representação 
da força peso referente a um determinado ponto em uma seção geométrica qualquer.
Figura 3 - Força peso referente a um determinado ponto de uma forma geométrica qualquer. Fonte: do próprio autor
Independentemente onde colocamos o eixo coordenado sempre haverá um momento 
equivalente à somatória de todos os infinitos momentos pontuais para cada uma das direções.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 8
∑ momentos em y =momento equivalente em y =∑ dos infinitos momentos em y
∑ My= xx((Peso totalPeso total) ) =∑ xi (peso referente ao ponto i)
∑ My= x P = ∑ xi Pi
A fórmula acima está dizendo que existe um momento calculado com um braço de alavanca 
x e o peso total do objeto da Figura 3 e ele equivale à somatória dos momentos de todos 
os infinitos pontos e seus respectivos pesos. A mesma relação vale para momentos em x.
∑ Mx = yP=∑ yi Pi
Usando o Cálculo Diferencial e Integral podemos adaptar a fórmula para as seguintes 
sentenças.
∑ Mx= yP =∫ y ΔP
∑ My= xP =∫ x ΔP 
Portanto, o centro de gravidade pode ser dado pela resolução da seguinte expressão.
 
O único problema é que não é fácil resolver essa equação para x e y toda hora. Portanto, 
vamos modificar a variável peso para quando o objeto inteiro for constituído do mesmo 
material.
Em física podemos escrever o peso com a seguinte expressão.
Peso=peso específico.espessura.área
P=γ.t.A
No nosso caso vamos considerar a espessura constante e o peso específico constante 
e substituir nas equações anteriores.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 9
Portanto, se você deseja encontrar as coordenadas do centro de gravidade de uma seção 
qualquer basta resolver as duas expressões acima. Encontrará a cota do centro de gravidade 
em x e em y.
Você deve estar se perguntando:“Preciso sempre resolver as integrais?” 
A resposta é não. Vamos resolver a mesma conta de maneira prática no próximo item.
1.3 Exercício 1
No nosso primeiro exercício vamos encontrar o centro de gravidade da seção apresentada 
na Figura 4. Perceba que o eixo já foi colocado no canto inferior esquerdo da seção. Você 
poderia mudar o eixo para qualquer lugar que no final o ponto encontrado seria o mesmo.
Figura 4 - Exercício 1 (Desenho fora de escala). Fonte: do próprio autor
As fórmulas para resolvermos o problema em questão são as seguintes.
Vamos resolver as sentenças acima de forma prática dividindo a seção em três áreas 
conforme a Figura 4 e ao invés de desenvolver as integrais vamos usar a somatória. Lembre-
se que o conceito de integral definida vem de somatória.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 10
Resolvendo por meio de somatória as expressões se transformarão conforme as equações 
abaixo.
Talvez você tenha ficado em dúvida da onde vem os valores 30,310 e 590. Eles são 
respectivamente as cotas dos centros de gravidade da Área 1, Área 2 e Área 3 em y.
A Área 1 tem uma altura de 60mm, portanto, seu centro de gravidade em y está na cota 
30mm em relação ao eixo coordenado.
A Área 2 tem uma cota de 500mm em y, seu centro de gravidade é no meio em 250mm. 
Porém, 250mm deve ser somado com 60mm, visto que 310mm é a distancia em y do eixo 
até o centro de gravidade da Área 2.
A Área 3 tem uma cota de 60mm em y, seu centro de gravidade é no meio em 30mm. 
Porém, 30mm deve ser somado com 60mm da Área 1 mais 500mm da Área 2, visto que 
590mm é a distância em y do eixo até o centro de gravidade da Área 3. 
Usando o mesmo raciocínio para x teremos a expressão abaixo.
A resposta final será dada da seguinte forma.
x=300mm
y=310mm
A resposta já era esperada, pois os valores apontam para o centro da seção. Isto acontece 
em seções simétricas. Independentemente de onde você colocará o eixo a resposta neste 
caso sempre apontará para o meio da seção.
1.4 Exercício 2
Vamos resolver o problema apresentado na Figura 5.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 11
Figura 5 - Exercício 2 ( Desenho fora de escala). Fonte: do Próprio autor
Vale aqui duas observações.
• Não é preciso escolher a mesma posição do eixo coordenado que o apresentado na 
Figura 5.
• Não é preciso dividir a seção da mesma forma que o apresentado na Figura 5. Você 
pode dividir em mais áreas em diferentes lugares. Fique à vontade.
Aplicando as fórmulas ficamos com as seguintes respostas.
Na Figura 6 temos uma representação em escala do ponto encontrado.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 12
Figura 6 - Seção desenhada em escala com a resposta indicada. Fonte: do Próprio autor
Aqui vale uma observação importante.
• O centro de gravidade pode estar fora da seção. 
No livro “Mecânica Vetorial para Engenheiros” (BEER; JOHNSTON JR.; CORNWELL, 2012) 
encontrará mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 13
AULA 2
PROPRIEDADES DA SEÇÃO II
2.1 Revisão de Momento Estático
Este tópico começará com uma breve revisão visto que a propriedade mencionada aqui 
já foi introduzida em Estática e Mecânica dos Sólidos I. O primeiro ponto da revisão será o 
Momento Estático ou Momento de Primeira Ordem.
Vamos as duas fórmulas para lembrarmos do que se trata.
Qx=∫ ydA= y1.Área 1 +...+ynÁrea N
Qy=∫ xdA= x1.Área 1 +...+ xnÁrea N
Perceba que as integrais acima são parte da teoria para encontrarmos o centro de gravidade 
(Olhe a aula anterior !). Essa relação possui o nome de momento, pois a fórmula acima 
vem da força peso e nela está embutido um braço de alavanca e uma força. Nós usamos 
a relação acima na disciplina anterior para encontrarmos os esforços cortantes que podem 
acontecer em um elemento estrutural. 
Outra aplicação interessante para o momento estático é a respeito da simetria do objeto 
estudado, no nosso caso seções estruturais. Se o centro de gravidade da seção estiver 
no mesmo ponto que o eixo coordenado o momento estático será zero. Para testar esta 
afirmação, faça o exercício 1 da aula anterior com o eixo coordenado no centro da seção. 
2.2 Revisão Momento de Inércia
Para entendermos mais uma vez o que é o momento de inércia ou momento de segunda 
ordem temos que falar um pouco sobre flexão. Na Figura 7 existe um exemplo de flexão, 
uma viga com uma carga concentrada normal ao eixo da própria viga.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 14
Figura 7 - Exemplo de flexão. Fonte: do próprio autor
Na flexão de uma viga existe uma tendência de uma parte ser tracionada e a outra 
comprimida. A própria deformação da viga evidencia este fenômeno. A compressão e a 
tração tendem a aumentar linearmente em relação ao centro de gravidade da viga, ou seja, 
quanto mais longe do centro de gravidade maior será o esforço de tração e compressão. 
Na Figura 8 podemos ver este aumento de esforços em relação a uma seção retangular 
flexionada em relação a seus dois eixos de simetria.
Figura 8 - Efeito da flexão em uma peça de seção retangular. Fonte: do Próprio autor
Aplicando os conceitos matemáticos em cima do que foi dito chegaremos às seguintes 
relações. 
Um diferencial de força é proporcional a um diferencial de área vezes a distância da 
mesma até o centro de gravidade. Veja a Figura 8 e 9.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 15
Figura 9 - Exemplo dos diferenciais de força e área em uma seção I. Fonte: Beer, Johnston Jr e Cornwell (2012)
dF=kydA
F=k∫ ydA
Se quisermos encontrar o momento fletor devemos multiplicar por “y” dos dois lados da 
equação.
M=k ∫ y²dA
A integral encontrada é o que chamamos de momento de inércia e a ela damos a seguinte 
nomenclatura.
Ix=∫ y²dA
Quanto maior o valor do momento de inércia, maior é a capacidade da seção gerar reações 
naquele sentido e, portanto, maior será a dificuldade da peça se flexionar perante ao eixo 
escolhido. 
2.3 Exercício 1
Vamos agora demonstrar a fórmula que utilizamos no curso anterior. Momento de Inércia 
para seções retangulares. Compreenda o raciocínio apresentado na Figura 10.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 16
Figura 10 - Seção retangular com suas cotas, eixo coordenado e um diferencial de área. Fonte: do Próprio autor
Aplicando a fórmula ficaremos com as seguintes expressões.
Ix=∫ y²dA
dA=b.dy
Aplicando o mesmo raciocínio para o eixo y ficaremos com a expressão abaixo.
2.4 Teorema dos eixos paralelos
Resolver a integral apresentada no item anterior nem sempre é fácil, por esta razão podemos 
utilizar o teorema dos eixos paralelos para seções mais complexas.
A demonstração deste teorema vem da própria aplicação da integral e sua fórmula final 
está logo abaixo.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 17
I = I + Ad²
A nova inércia é dada por I, I é a inércia em relação ao centro de gravidade de um pedaço 
considerado, A é a área do pedaço considerado e d é a distância que o eixo paralelo deve 
percorrer. Tudo ficará mais claro no próximo tópico.
2.5 Exercício 2
Encontre o momento de inércia em relação ao eixo coordenado x e y do centro de gravidade 
da seção da Figura 11.
Figura 11 - Seção do exercício 2. Fonte: do Próprio autor
O primeiro passo é dividir a seção em áreas nas quais conseguimos aplicar a fórmula 
conhecida da inércia do item 2.3 conforme a Figura 12. Cada área terá seu eixo ao centro.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 18
Figura 12 - Seção do exercício dividida em áreas na qual cada uma delas possui seu eixo coordenado coincidindocom seu respectivo centro de gravidade. Fonte: do próprio 
autor
Vamos começar com a área 2 que é a mais fácil. O eixo coordenado da área 2 é o mesmo 
da seção completa. Isto significa que devemos apenas calcular a inércia da área dois e 
depois somá-la aos outros procedimentos. Vamos fazer em centímetros para que o número 
não fique muito grande.
Para a área 1 e 3 o procedimento é o mesmo, sendo que nos dois casos utilizamos o 
teorema dos eixos paralelos.
I = I + Ad²
A inércia total da seção em relação ao eixo x será dada pela seguinte conta.
Ix=52083,33+2.283320,00=618723,33cm
4
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 19
Em y as contas serão mais fáceis visto que o eixo y de cada uma das áreas coincide 
com o eixo y da seção como um todo. Basta calcular todas as inércias separadamente e 
depois somá-las.
Iy=520,83+2.108000,00=216520,83cm
4
Encontramos, portanto, o momento de inércia em x e em y de uma seção mais complexa.
No livro “Mecânica Vetorial para Engenheiros” (BEER; JOHNSTON JR.; CORNWELL, 2012) 
encontrará mais sobre o assunto.
Isto está na rede
No link abaixo encontrará explicações complementares a respeito do tema.
https://propg.ufabc.edu.br/mnpef-sites/leis-de-conservacao/momento-de-inercia/
https://propg.ufabc.edu.br/mnpef-sites/leis-de-conservacao/momento-de-inercia/
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 20
AULA 3
PROPRIEDADES DA SEÇÃO III
3.1 Produto de inércia
Nesta aula vamos iniciar um estudo um pouco mais aprofundado sobre as propriedades 
das seções. Começaremos aqui com o conceito de produto de inércia que é fundamental 
para compreendermos o próximo tópico. Por definição o produto de inércia é dado pela 
seguinte expressão.
Ixy=∫ xydA
Ixy=Produto de Inércia
x=coordenada x de um diferencial de área
y=coordenada y de um diferencial de área
dA=diferencial de área
Graficamente ficamos com a Figura 13. A primeira percepção nossa deve ser que o produto 
de inércia poderá apresentar valores negativos. A segunda percepção nossa é quando o 
eixo coordenado coincide com um ou mais eixos de simetria resultando em um produto de 
inércia igual a zero, pois tudo que é positivo se anula com tudo que é negativo.
Aqui devemos lembrar que o teorema dos eixos paralelos ainda se aplicam e a fórmula 
é análoga a da aula anterior.
Ixy= Ixy + x . y . A
Fisicamente o produto de inércia indica a distribuição da seção em relação ao eixo adotado, 
além de indicar simetria quando o próprio produto de inércia for igual a zero.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 21
Figura 13 - Representação gráfica do produto de inércia. Fonte: do Próprio autor
3.2 Manipulando as propriedades das seções
 
Vamos agora usar tudo o que sabemos e estender nosso raciocínio para conseguirmos 
calcular as propriedades apresentadas em qualquer eixo escolhido. Isto significa que vamos 
poder trabalhar com a seção de uma viga em qualquer posição.
Na Figura 14 encontramos um exemplo de uma seção rotacionada. A ideia aqui é apresentar 
para vocês como calcular as novas inércias I_u,I_v e I_uv.
Em termos físicos seriam as dificuldades da peça rotacionar sobre o eixo u e v, além de 
calcular a sua distribuição espacial com o produto de inércia.
Na prática agora será possível fazer um projeto de uma estrutura em qualquer posição 
espacial.
Para encontrar as novas propriedades da seção vamos utilizar a Figura 15 com as relações 
geométricas entre o eixo coordenado antigo e o novo eixo coordenado.
A partir da Figura 15 é possível encontrarmos as relações matemáticas entre os eixos 
antigos (x,y) e novos (u,v) para a posição do diferencial de área.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 22
Figura 14 - Seção rotacionada com seus novos eixos u e v. Fonte: do Próprio autor
Figura 15 - Mudança de coordenadas. Fonte: do Próprio autor
U = x.cos(θ) + y.sen(θ)
V = y.cos(θ) - x.sen(θ)
Utilizando os conceitos de momento de inércia e produto de inércia chegaremos às 
seguintes expressões.
Iu = ∫ v².dA = ∫ (y.cos(θ) - x.sen(θ))².dA
Iu = Ix.cos²(θ) - 2.Ixy.sen(θ).cos(θ) + Iy.sen²(θ)
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 23
As outras expressões vêm do mesmo raciocínio.
Iv = Ix.sen²(θ) + 2.Ixy.sen(θ).cos(θ) + Iy.cos²(θ)
Iuv = Ix.sen(θ).cos(θ) + Ixy.(cos²(θ) - sen²(θ)) - Iy.sen(θ).cos(θ)
As expressões acima apesar de úteis não são muito intuitivas para usar, por esta razão 
podemos usar as relações trigonométricas para ajustá-las da seguinte forma.
Ainda é possível ajustar mais as equações acima para buscarmos valores interessantes de 
uma seção. As equações Iu e Iv são equações paramétricas de uma circunferência. Sabendo 
disso, podemos adaptar as equações para encontrarmos todas as inércias com a rotação 
dos eixos possíveis de forma gráfica.
A equação para encontrar a maior e a menor inércia e o ângulo de inclinação estão abaixo. 
A representação gráfica está na Figura 16.
 (ângulo que devemos rotacionar para obter as inércias máximas e 
mínimas)
Figura 16 - Círculo de Mohr para momentos de inércia e produto de inércia. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 24
Por meio gráfico representado pela Figura 16 é possível encontrar todos os momentos 
de inércia de um dos eixos e o produto de inércia. Cada ponto da circunferência é um par 
ordenado (Iu, Iuv). Chamamos de eixos principais de inércia aqueles em que temos a inércia 
máxima e mínima.
3.3 Exercício
Encontre o maior e o menor momento de inércia da seção representada na Figura 17. 
Alguns dados eu já vou apresentar a resposta para a seção da viga apresentada na Figura 
17. Fique à vontade para calcular.
Na Figura 18 eu deixei a mesma seção dividida em três áreas para fazer os cálculos básicos.
Área 1 = Área 3 = 32,5.5 = 162,5cm²
Área 2 = 50.5 = 250cm²
Figura 17 - Seção de viga para o exercício. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 25
Figura 18 - Divisão proposta para a resolução do exercício. Fonte: do Próprio autor
Ixtotal = Ix2 + 2(Ix1+Área1.d²)
Ixtotal = 52083,33 + 2(338,54 +162,5.27,5²)
Ixtotal = 298541,66cm
4
Iytotal = Iy2 + 2(Iy1+Área1.d²)
Iytotal = 520,83 + 2(14303,38 + 162,5.13,75²)
Iytotal = 90572,90cm
4
Agora que calculamos o básico da seção, vamos ao produto de inércia.
Ixy = Ixy +x . y . A
Área Área (cm²) X(cm) Y(cm) X . Y . A
(cm4)
1 162,50 -13,75 27,50 -61445,31
2 250,00 0 0 0
3 162,50 13,75 -27,50 -61445,31
- - - - ∑=-122890,62
Tabela 1 - Resumo para o cálculo do produto de inércia. Fonte: do Próprio autor
Ixy = Ixy + x . y . A = -122890,62cm
4
O próximo passo é encontrar qual o ângulo que devemos rotacionar nosso elemento para 
encontrar os eixos principais de inércia.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 26
É sobre os novos eixos que estão a maior e a menor inércia. A Figura 19 representa os 
eixos encontrados.
Figura 19 - Eixos onde se encontram a maior e menor inércia. Fonte: do Próprio autor
Para encontrarmos os valores da maior inércia e da menor inércia utilizaremos o roteiro 
abaixo.
Imáx = 355537,72cm
4
Imín = 33576,84cm
4
No livro “Mecânica Vetorial para Engenheiros” (BEER; JOHNSTON JR.; CORNWELL, 2012) 
encontrará mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 27
AULA 4
ESFORÇOS EM VIGAS
4.1 Breve revisão
No curso anterior já abordamos as vigas. Elas podem ser simplificadas para elementos de 
barra cuja ação pode incidir tanto normal ao eixo da viga como na própria direção do eixo. 
Na Figura 20 temos a representação de uma viga com os doistipos de carregamento. O 
carregamento distribuído ao longo da viga está no eixo do centro de gravidade de seção e 
o carregamento concentrado está sobre o centro de gravidade da seção.
Figura 20 - Representação de uma viga e seus possíveis carregamentos. Fonte: do Próprio autor
É claro que não vamos trabalhar toda hora com um desenho dessa maneira e é por esta 
razão que fazemos um esquema estático com as simbologias que vimos no curso anterior. 
A Figura 21 apresenta a nossa representação simplificada do problema.
Você deve ter percebido que apareceram alguns elementos na nossa representação. 
Apareceu as vinculações nas extremidades da viga. Do lado esquerdo o símbolo de apoio fixo 
e do lado direito o símbolo de apoio móvel. Apareceu, também, os valores do carregamento 
distribuído e do concentrado.
No nome da Figura 21 está escrito isostática, aqui temos que lembrar que as estruturas 
podem ser hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas. A estrutura isostática é aquela que 
podemos resolver com as equações básicas da estática fazendo somatório de forças e 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 28
momentos e igualando a zero. A estrutura hipostática é aquela que apresenta instabilidades 
e movimentos por não estarem adequadamente fixadas. E por fim as hiperestáticas são 
aquelas que não conseguimos calcular apenas com as equações básicas da estática.
Figura 21 - Viga isostática biapoiada. Fonte: do Próprio autor
Se a viga acima está sujeita a ações podemos representar os esforços atuantes em suas 
seções. Para isto precisamos relembrar os principais esforços e suas convenções de sinais. 
Na Figura 22 temos a representação da tração, compressão e do esforço cortante.
Figura 22 - Esforços de tração compressão e sua convenção de sinais. Fonte: do Próprio autor
Na Figura 23 você verá o efeito da flexão e a sua convenção de sinais.
Figura 23 - Flexão e sua convenção de sinais. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 29
4.2 Cálculo das reações de apoio
Começaremos neste tópico com o cálculo das reações da viga da Figura 21. Vamos 
supor que ela possua 3m de comprimento. Para realizar os cálculos vamos adotar algumas 
regras de sinais.
• Força vertical para cima positivo
• Força vertical para baixo negativo
• Força horizontal para direita positivo
• Força horizontal para a esquerda negativo
• Momento fletor sentido horário positivo
• Momento fletor sentido antihorário negativo
Substituindo o esquema da Figura 21 por reações equivalentes às vinculações na Figura 24.
Figura 24- Reações equivalentes às vinculações. Fonte: do Próprio autor
Usando as equações básicas da estática ficaremos com a seguinte resposta.
O somatório das forças horizontais é igual a zero.
∑ FH = 0
-Ha - 5kN = 0
Ha = -5kN
Como o sinal é negativo devemos inverter o sentido de Ha no esquema.
O somatório dos momentos é igual a zero.
∑ M = 0
-Vb.3m + 10kN/m.3m.1,5m = 0
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 30
-Vb.3m = -10kN/m.3m.1,5m
E por fim o somatório de forças verticais é igual a zero.
∑ FV = 0
Va + Vb - 10kn/m.3m = 0
Va + 15kN - 30kN = 0
Va = 15kN
A resposta está dada na Figura 25.
Figura 25 - Reações de apoio da viga biapoiada. Fonte: do Próprio autor
4.3 Método prático para o cálculo dos diagramas
O método prático para fazer os diagramas nas estruturas consiste em quebrar a estrutura 
em partes e ir analisando trecho a trecho. 
Vamos começar analisando os esforços normais de tração e compressão. Olhando a 
Figura 26 percebemos que não importa onde cortamos a viga, sempre ela estará sendo 
comprimida com 5kN. Isto quer dizer que o diagrama de esforços normais será constante 
e apresentará valor igual a -5kN.
Para o esforço cortante devemos calcular nos pontos de corte da seção, conforme as 
expressões abaixo. 
10kN/m.1,5m -15kN = 0 (conta referente ao corte na metade)
10kN/m.0,75m -15kN = -7,5kN (conta referente ao corte a um quarto da extremidade direita)
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 31
Percebam que os valores variaram, ou seja, confirmamos que quando há um carregamento 
distribuído os esforços cortantes variam com o comprimento do carregamento. Se cortarmos 
a estrutura a 0,0000001m da extremidade direita ficaremos apenas com o esforço de 15kN 
para cima, ou seja, o esforço cortante será de -15kN. O gráfico sairá do 0kN na metade até 
ficar com -15kN na extremidade direita. Se você fizer o mesmo raciocínio à esquerda os 
valores serão os mesmos, porém com sinal positivo. Quando o carregamento for constante 
o diagrama do esforço cortante será linear (uma reta inclinada).
Figura 26 - Viga seccionada no meio e a um quarto da extremidade à direita. Fonte: do Próprio autor
Faltou os cálculos referentes aos esforços de momento fletor. Vamos seguir o mesmo 
raciocínio. Fazer o cálculo para as seções que foram cortadas. Convém aqui adotar negativo 
para baixo.
-10kN/m.1,5m.0,75m + 15kN.1,5 = 11,25kN.m (conta referente ao corte na metade)
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 32
-10kN/m.0,75m.0,75m/2 + 15kN.0,75 = 8,43kN.m (conta referente ao corte a um quarto 
da extremidade direita)
Percebam que agora o gráfico não poderá ser uma linha inclinada visto que 8,43 não é a 
metade de 11,25. Neste caso, se você fizer mais cortes na viga vai perceber que o gráfico 
será uma função do segundo grau.
Podemos aqui escrever uma regra, quando o carregamento for constante, a cortante será 
do primeiro grau e o momento fletor será do segundo grau.
Na Figura 27 temos os diagramas de esforços normais e cortantes.
Figura 27 - Resposta gráfica para os diagramas de esforço normal e esforço cortante. Fonte: do Próprio autor
Na Figura 28 temos a resposta gráfica para o diagrama de momento fletor.
Figura 28 - Resposta gráfica para o diagrama do momento fletor. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 33
4.4 Cálculo diferencial e integral para carregamento, cortante e 
momento fletor
Como vimos nos tópicos anteriores, o carregamento, o esforço cortante e o momento 
fletor se relacionam matematicamente. Podemos usar as Figuras 29 e 30 para gerar as 
equações diferenciais.
Figura 29 - Relação entre carregamento e esforço cortante. Fonte: Beer, Johnston Jr e Cornwell (2012)
Figura 30 - Relação entre cortante e momento fletor. Fonte: Beer, Johnston Jr e Cornwell (2012)
Para o esforço cortante e o carregamento teremos.
V - (V + ΔV) - wΔx = 0 
ΔV= -wΔx 
Para o momento fletor e a cortante teremos.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 34
(M + ΔM) - M - V.Δx + w.Δx.Δx/2 = 0 
 
4.5 Resolução do exercício as relações do item anterior
Vamos, então, usar a primeira relação.
 
dV= -wdx 
∫ dV = ∫ -wdx
V= -wx + c 
15 = -w.0 + c 
15 = c
V = -10x + 15 
Se você testar a equação da cortante de x igual a zero até x igual a três metros verá que 
os resultados batem com o diagrama da cortante encontrado anteriormente.
Usando a segunda relação
 
Se você testar a equação do momento de x igual a zero até x igual a três metros verá 
que os resultados batem com o diagrama do momento fletor encontrado anteriormente.
No livro "Resistência dos materiais” (HIBBELER, 2009) encontrará mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 35
AULA 5
FLEXÃO NORMAL SIMPLES
5.1 Revisão de tensões
Antes de começarmos os nossos aprofundamentos iremos lembrar um pouco das tensões. 
O que nós vimos na aula anterior são os tipos de esforços aos quais uma viga ou algum 
outro elemento estrutural podem estar submetidos. Esforços de tração, compressão, esforço 
cortante e momentofletor. 
Estes esforços causam tensões. Tensões são por definição esforços por unidade de 
área. Não confundir com pressão, a tensão aqui em mecânica dos sólidos é algo interno as 
nossas estruturas.
Em resumo, os esforços da aula anterior geram tensões internas nas nossas estruturas. 
A fórmula básica para a tensão é a força sobre a área. Dito isso, podemos separar em dois 
tipos de tensões, as tensões normais e as tensões de cisalhamento.
A tensão normal é aquela que está com direção normal, a área e a tensão de cisalhamento 
é aquela que está com direção paralela à área. Na Figura 31 temos a representação das 
direções.
Figura 31 - Representação da direção das tensões. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 36
Na Figura 32 temos a representação completa com as ações externas de esforço normal 
e esforço cortante que geram as tensões.
Figura 32 - Resumo das tensões devido a esforços normais e a esforços cortantes. Fonte: do Próprio autor
Faltou falar agora das tensões que surgem devido ao momento fletor. Quando a seção 
estrutural está sob o efeito de momento fletor podem surgir tensões de compressão e tração 
ao mesmo tempo. Isto significa que existe uma tendência de uma região estar tracionada 
e a outra comprimida.
Na Figura 33 temos o exemplo das tensões geradas na flexão.
Figura 33 - Tensões na flexão. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 37
Agora que já relembramos a teoria vamos relembrar as relações matemáticas básicas 
para as tensões.
• Tensão normal
 σ= tensão normal; F=força normal aplicada; A= área
• Tensão normal devido à flexão
σ= ± 
M = Momento fletor;
I = momento de inércia relativo ao eixo da flexão
y = cota do ponto onde as tensões são nulas até o ponto estudado
 
• Tensão de cisalhamento
 
Ƭ = tensão de cisalhamento
V = esforço cortante 
Q = momento estático ou de primeira ordem
t = espessura da seção
Anote isso
As demonstrações das fórmulas acima estão na bibliografia indicada. É claro que você 
pode buscar a demonstração das fórmulas acima em qualquer livro de mecânica dos 
sólidos ou resistência dos materiais, porém vou indicar um que particularmente gosto. 
"Mecânica dos Materiais” (GERE; GOODNO, 2017)
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 38
5.2 Exercício
Nós iremos encontrar as tensões máximas de tração, compressão e de cisalhamento na 
viga isostática biapoiada indicada na Figura 34.
Figura 34 - Exercício. Fonte: do Próprio autor
Vamos começar com as reações de apoio. Não haverá esforço horizontal, pois não existe 
nenhuma solicitação horizontal. A Viga do exercício é totalmente simétrica, ou seja, metade 
do esforço vertical total reagirá em cada um dos apoios com sentido para cima. As reações 
estão dadas na Figura 35. Utilize as fórmulas para treinar.
Figura 35 - Reações de apoio para a viga do exercício. Fonte: do Próprio autor
Em relação aos diagramas podemos afirmar que não haverá diagrama referente à 
compressão e nem à tração. Os dois únicos diagramas existentes são o de esforço cortante 
e o de momento fletor.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 39
Use o método prático que consiste em ir “quebrando” a estrutura e verificando os esforços 
trecho a trecho. Na Figura 36 temos os diagramas de esforço cortante e de momento fletor 
do exercício.
Figura 36 - Diagramas. Fonte: do Próprio autor
Neste caso acontece algo muito interessante, vejam que no trecho central da viga o 
esforço cortante é zero e o momento fletor é constante. Esta situação é muito utilizada em 
laboratórios quando desejamos estudar o comportamento de uma viga submetida apenas 
ao momento fletor.
Calcularemos agora o momento de inércia da viga relativa ao eixo da flexão. Neste exercício 
imaginemos a situação convencional para uma viga. Maior dimensão na vertical.
 
A maior tensão de tração devido à flexão encontrasse na região central da viga e na 
extremidade inferior da seção.
Figura 37 - Representação das tensões máximas de compressão e tração nas extremidades da seção. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 40
Agora vamos calcular as tensões devido ao momento fletor máximo de 40kN.m.
σ = + = 0,22kN/cm² = 2,2mPa de tração na extremidade inferior da seção 
σ = - = - 0,22kN/cm² = -2,2mPa de compressão na extremidade superior da 
seção 
Calcularemos agora a tensão de cisalhamento máxima devido ao esforço cortante de 
20kN e para isso precisaremos primeiramente do valor do momento estático.
Qx = ∫ ydA = y1.Área 1 +...+ ynÁrea N
Qx = 15cm.(30cm.30cm) = 13500cm³
 Ƭ= = 0,0167kN/cm² = ±0,167mPa 
No livro "Resistência dos materiais” (HIBBELER, 2009) encontrará mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 41
AULA 6
FLEXÃO NORMAL COMPOSTA
6.1 Exercício
Sim, esta aula já começa com um exercício e nela vamos utilizar tudo o que vimos até 
agora. Percebam que o nome da aula possui a palavra composta. Esta palavra acrescenta 
alguma coisa aos nossos problemas.
A diferença da flexão normal composta é o acréscimo de forças concentradas na seção 
do nosso problema. A força normal na seção influencia principalmente na distribuição das 
tensões normais do nosso problema.
O exercício está representado na Figura 38 e nele nós vamos encontrar as seções mais 
tracionadas e mais comprimidas.
Figura 38 - Exercício. Fonte: do Próprio autor
Começaremos com as reações de apoio apresentadas na Figura 39. As reações de apoio 
foram encontradas com o somatório de esforços igualando-os a zero.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 42
Figura 39 - Reações de apoio. Fonte: do Próprio autor
A próxima etapa é fazer os diagramas de esforço normal, cortante e momento fletor. Como 
temos um carregamento constante, o diagrama de esforço cortante será do primeiro grau 
e o de momento fletor será do segundo grau.
• Equação do esforço cortante
 = -w 
V = -wx + c 
12 = -w.0 + c 
12 = c
V = -3x + 12 
• Equação do momento fletor
 = -3x + 12 
M= - + 12.x + C 
-24 = - + 12.0 + C
M= - + 12.x - 24
Na Figura 40 temos a representação dos diagramas.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 43
Figura 40 - Diagramas de esforço normal, cortante e momento fletor. Fonte: do Próprio autor
Agora partiremos para o estudo das seções, começando com o centro geométrico. Para 
isso, vamos adotar o eixo conforme a Figura 41.
Figura 41 - Eixo coordenado para o cálculo do centro geométrico. Fonte: do Próprio autor
Na Figura 42 está representada a posição do centro de gravidade da seção.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 44
Figura 42 - Centro de gravidade da seção. Fonte: do Próprio autor
O próximo passo é calcular a inércia em torno de x da seção. O roteiro de cálculo segue 
abaixo.
I = I + Ad²
Itotal = 33750 + (15.30)(27,12 - 15)² + 9843,75 + (15.35)(37,5 - 27,12)²
Itotal = 99852,48 + 66409,56 = 166262,04cm
4
 
Finalmente temos todas as informações da seção e dos esforços atuantes. Vamos agora 
trabalhar com as tensões e descobrir qual é a diferença da flexão normal simples para a 
flexão normal composta.
O primeiro passo consiste em encontrar as tensões máximas de tração e compressão 
utilizando o centro geométrico como referência.
 
Observem a primeira diferença no equacionamento, agora é necessário embutir na 
expressão a relação força (N) sobre A(área). A máxima tensão de tração esta localizada na 
região superior da vigae, portanto, ficaremos com a seguinte fórmula.
σ= +0,253kN/cm² = 2,53mPa 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 45
A máxima tensão de compressão é dada da seguinte maneira.
σ = -0,397kN/cm² = 3,97mPa 
As tensões de tração e compressão não são mais iguais, por causa do formato da seção e 
também por causa do esforço normal. O nome deste fenômeno é flexão composta justamente 
por causa da interferência do esforço normal.
A região onde a tensão é igual a zero não coincide com o centro geométrico da seção. 
Neste caso, devido à intensidade dos esforços o centro geométrico ficou bem próximo da 
região onde as tensões valem zero.
A região onde as tensões normais valem zero é formada por uma linha. Esta linha recebe 
o nome de linha neutra. Para calcular sua posição basta fazer a equação das tensões igual 
a zero.
0= + 
y = 0,35cm
Figura 43 - Diagrama da distribuição das tensões na seção da viga. Fonte: do Próprio autor
O ponto do diagrama onde a tensão é igual a zero está localizado a 0,35 cm do centro 
geométrico da seção.
Supondo a mesma situação, porém com um esforço normal de 500kN ficaríamos com 
os seguintes valores.
σ = + 
σ = -0,255kN/cm² = -2,55mPa 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 46
σ = - 
σ = -0,904kN/cm² = -9,04mPa 
0= + 
y = 35,52cm
Na Figura 44 temos a representação gráfica do que aconteceria se a força normal fosse 
de 500 kN. A linha neutra ficaria localizada fora da seção da viga a 35,52cm de distância 
do centro de gravidade.
Figura 44 - Situação da seção para uma força normal de 500kN. Fonte: do Próprio autor
No livro "Resistência dos materiais” (HIBBELER, 2009) encontrará mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 47
AULA 7
FLEXÃO OBLÍQUA
7.1 Exercício
Assim como fizemos na aula anterior, iremos começar pela resolução de um exercício. 
Vamos utilizar a mesma seção da aula anterior. A diferença aqui será os esforços atuantes.
A flexão oblíqua acontece quando o ou os momentos fletores não coincidem com os 
eixos principais de inércia. Vamos olhar a Figura 45.
Figura 45 - Seção do exercício. Fonte: do Próprio autor
Olhando a Figura 42 percebemos que o vetor momento fletor não coincide com o eixo 
x e nem com o eixo y, sendo os dois os eixos principais de inércia. O momento de inércia 
relativo ao eixo x é o maior momento de inércia da seção e o relativo ao eixo y é o menor 
momento de inércia. Portanto, é sobre eles que vamos decompor o momento fletor.
Se a sessão fosse assimétrica o primeiro passo seria encontrar os eixos principais de 
inércia de acordo com as primeiras aulas do curso e o segundo passo seria decompor o 
momento fletor sobre os eixos encontrados.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 48
Vamos começar a resolução do problema decompondo os momentos fletores.
cos(30º)= 
Mx = 20kNm.cos(30º) = 17,32kNm 
sen(30º)= 
My = 20kNm.sen(30º) = 10kNm 
A representação gráfica das respostas fica conforme a Figura 46
Figura 46 - Representação dos momentos fletores. Fonte: do Próprio autor
Agora podemos aplicar a fórmula das tensões normais devido à flexão. A fórmula mais 
geral possível adaptada para o caso acima está logo abaixo.
Como na nossa situação não existe esforço normal ficaremos com a seguinte equação.
O momento de inércia em torno do eixo x para esta seção já foi calculado nas aulas 
anteriores.
Ix = 166262,04cm
4
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 49
Falta apenas o momento de inércia relativo ao eixo y. Dividindo a Seção T em dois retângulos 
ficamos com as seguintes fórmulas.
 
Neste caso não é necessário transportar eixos, pois eles já estão alinhados com o centro 
de gravidade.
Iy = 62031,25cm
4
Agora que possuímos os valores dos momentos de inércia, vamos para o cálculo das 
tensões normais causadas pelos momentos fletores.
Vamos procurar primeiro a máxima tensão de compressão. Para isto vamos usar o auxílio 
da Figura 47 e a regra da mão direita.
Figura 47 - Região comprimida devido a Mx. Fonte: do Próprio autor
A regra da mão direita consiste em apontar o polegar no sentido do vetor momento e 
verificar com a rotação dos outros dedos se eles tendem a entrar na seção ou sair. Quando 
eles tendem a entrar temos a compressão, caso contrário, tração.
Para Mx a região mais comprimida está na extremidade superior, como mostra a Figura 44.
Vamos buscar a região mais comprimida devido a My com o auxílio da Figura 48. A região 
mais comprimida de acordo com a Figura 48 está na extremidade direita da seção.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 50
Sabendo que a tensão cresce em direção às extremidades da peça e somando os efeitos 
dos dois momentos podemos montar a seguinte equação.
σ = ± 
σ= - 
σ = -0,47kN/cm² = 4,7mPa 
Figura 48 - Região comprimida devido a My. Fonte: do Próprio autor
Usando do mesmo raciocínio para a região mais tracionada ficaremos com a seguinte 
sentença.
σ = ± 
σ = + 
σ = +0,40kN/cm² = 4mPa
Por fim, vamos buscar a posição da linha neutra, pois agora ela não está alinhada com 
os eixos principais de inércia. A linha neutra consiste na reunião de pontos onde a tensão 
vale zero. Uma maneira fácil de encontrá-la é por substituição.
σ = ± 
0 = ± 
y = 0 (quando x =0, y=0) 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 51
σ = ± 
0= + 
y = -15,47cm (quando x =0, y=0) 
Na Figura 49 temos a representação de todas as regiões comprimidas e todas as tracionadas 
da seção do exercício e a posição da linha neutra.
Figura 49 - Regiões tracionadas e comprimidas divididas pela linha neutra. Fonte: do próprio autor
No livro "Resistência dos materiais” (ASSAN, 2010) encontrará mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 52
AULA 8
ESTADO PLANO DE TENSÕES
8.1 Estados de Tensões
Nesta aula iremos desenvolver melhor nossas habilidades de lidar com as tensões em um 
determinado elemento estrutural. Para isso vamos utilizar o elemento qualquer da Figura 50.
Na Figura 50 você deve imaginar um elemento tridimensional qualquer, pode ser uma 
viga, pilar, um elemento de máquina. Neste elemento podemos pegar um pequeno pedaço 
representado pelas dimensões dx, dy e dz. Percebam que o pedaço recortado do desenho 
poderá possuir uma, duas ou três dimensões.
Figura 50 - Representação de um pedaço qualquer de estrutura. Fonte: do Próprio autor
Para começarmos o nosso estudo vamos pensar sobre o elemento mais representativo 
possível, o de três dimensões. Na Figura 51 temos um elemento em três dimensões com 
todas as possíveis tensões atuantes. Aqui vale lembrar que as tensões ocorrem devido aos 
esforços normais, cortantes, momentos fletores e momentos torçores já estudados neste 
livro e no anterior.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 53
Figura 51 - Estado genérico de tensões para três dimensões. Fonte: do Próprio autor
Percebam que de forma genérica temos três tensões por fase, uma normal e duas de 
cisalhamento. Para se localizar nas tensões de cisalhamento você deve primeiro pensar em 
qual face ela está e depois qual a sua direção.
• Ƭxy está em um plano normal ao eixo x e na direção y, conforme Figura 48.
Trabalhar com este estado de tensões nos proporciona informações muito importantes 
sobre as nossas estruturas, porém não é algo muito simples. Por esta razão, em muitos 
dos problemas estruturais é possível trabalhar no estado plano de tensões. Isto significa 
simplificar o problema para uma vista ortogonal, conforme a Figura 49.
Por mais que o estado plano de tensões seja uma abordagem simplificadaem relação 
ao estado triplo de tensões, ainda é muito útil para a resolução de inúmeros problemas.
Na Figura 52 temos dois infinitesimais de um elemento estrutural, os dois são equivalentes 
porque Ƭxy = Ƭyx. Eles são iguais em decorrência da condição de estaticidade do elemento, 
ou seja, somatório de forças e momentos devem ser zero para o elemento não apresentar 
movimentos.
Figura 52 - Representação do estado plano de tensões. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 54
8.2 Trabalhando com o estado plano de tensões
O que vamos desenvolver aqui neste item é análogo ao que fizemos na Aula 2 com os 
momentos de inércia. Estudaremos as tensões para qualquer posição e encontraremos as 
tensões máximas e mínimas normais e de cisalhamento. Para isto utilizaremos o auxílio da 
Figura 53.
Na Figura 50 você encontrará as tensões normais, de cisalhamento e os eixos (x,y) e os 
eixos (x’,y’). A ideia aqui é rotacionar os eixos (x,y) para os eixos (x’,y’) de forma a encontrarmos 
as tensões normais e de cisalhamento na face inclinada de área igual a ΔA.
Este procedimento é importante porque conseguimos através dele encontrar as tensões 
normais e de cisalhamento em qualquer inclinação do nosso diferencial. Consequentemente 
encontraremos também as tensões máximas e mínimas e em qual direção elas estão.
O procedimento de cálculo apesar de trabalhoso é bem simples. Ele consiste em aplicar 
as equações básicas da estática, nas novas direções x’ e y’.
∑ forças x' = 0 
∑ forças y' = 0
Figura 53 - Demonstração da fórmula para mudança de coordenadas das tensões. Fonte: Beer e Johnston (1995)
O trabalho aqui é apenas na decomposição das forças. Lembrando que tensão pode ser 
escrita como uma relação de força sobre a área. Para o cálculo da somatória das forças 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 55
devemos decompor cada uma das forças σx ΔAcos(θ),σy ΔAsen(θ),Ƭxy ΔAcos(θ) e Ƭxy ΔAsen(θ) 
nas duas direções x’ e y’ usando os nossos conhecimentos de trigonometria. Fazendo isso 
chegará nas seguintes equações.
∑ forças x' = 0 
σx' ΔA - σx ΔAcos(θ)cos(θ) - σy ΔAsen(θ)sen(θ) - Ƭxy ΔAcos(θ)sen(θ) - Ƭxy ΔAsen(θ)cos(θ) = 0 
∑ forças y' = 0 
Ƭx'y' ΔA - σx ΔAcos(θ)sen(θ) - σy ΔAsen(θ)cos(θ) - Ƭxy ΔAcos(θ)cos(θ) + Ƭxy ΔAsen(θ)sen(θ) = 0
Dividindo tudo por ΔA, isolando σx' e Ƭx'y' e usando as relações básicas de trigonometria 
podemos simplificar todo o nosso problema para as fórmulas finais.
As equações acima são paramétricas de uma circunferência e por consequência disso 
podemos representar todos os estados de tensões pelo círculo de Mohr que nada mais é 
que uma representação gráfica de todas as tensões em qualquer direção.
Figura 54 - Círculo de Mohr para as tensões. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 56
As tensões máximas e mínimas normais são chamadas de tensões principais e elas 
irão ocorrer quando as tensões de cisalhamento forem iguais a zero. Se aplicarmos essas 
condições conseguiremos deduzir as fórmulas das tensões principais máxima e mínima e 
também qual o ângulo que devemos rotacionar para encontrá-las dado um estado de tensão 
qualquer.
O cálculo das tensões principais pode ser dado pela seguinte equação.
σmáx,mín = 
A inclinação para encontrar as tensões principais é dada pela seguinte equação.
tg(2θ) = (ângulo que devemos rotacionar para obter as tensões máximas e mínimas 
normais).
Vou deixar alguns detalhes para o próximo item que é o do exercício.
8.3 Exercício
Vamos encontrar todas as informações ensinadas nos itens anteriores do estado de 
tensões da Figura 55.
Figura 55 - Estado plano de tensões do exercício. Fonte: Próprio autor
Começaremos utilizando as fórmulas dadas. Os sinais continuam o mesmo para a tração(+) 
e para a compressão(-). Para o cisalhamento vamos levar em consideração a face direita da 
Figura 52, como o sentido do cisalhamento nesta face está para cima consideramos positivo.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 57
Primeiro vamos encontrar a inclinação onde temos as tensões principais.
tg(2θ) = = 1,32258
2θ = 52,91º
θ = 26,45º
As tensões máximas e mínimas serão
σmáx,mín = 
σmáx,mín = 
σmáx = 71,4mPa
σmin = -31,4mPa
Podemos aplicar a seguinte fórmula também.
A pequena diferença é encontrada devido ao arredondamento do ângulo.
A resposta gráfica está dada na Figura 56.
Figura 56 - Resposta. Fonte: do Próprio autor
Para desenhar o círculo de Mohr para o exercício precisamos saber uma regra de sinal 
básica. Tensões de cisalhamento que tendem a girar nosso elemento no sentido horário 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 58
ficaram acima do eixo das tensões normais. Tensões de cisalhamento que tendem a girar 
nosso elemento no sentido anti-horário ficaram abaixo do eixo das tensões normais. 
Na Figura 57 podemos ver a resposta pelo círculo de Mohr. Para desenhá-la basta usar 
seus conhecimentos de circunferência.
Figura 57 - Resposta pelo círculo de Mohr. Fonte: do Próprio autor
No livro "Resistência dos materiais” (ASSAN, 2010) encontrará mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 59
AULA 9
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES
9.1 Introdução às deformações
Vimos até aqui muito sobre tensões e agora chegou a hora de revisar um pouco sobre as 
deformações. A deformação acontece quando um corpo está submetido a algum esforço 
diretamente ou indiretamente que causa uma modificação nas posições relativas das 
partículas que compõem o próprio corpo.
Se pegarmos um elemento de máquina que está submetido a carregamentos dos mais 
diversos tipos ele apresentará deslocamento relativo entre suas partículas, mesmo que 
imperceptíveis a olho nu. Outro exemplo interessante é quando um dos pilares de uma 
edificação afunda no solo em fenômeno que chamamos de recalque. Este movimento em 
apenas um dos pilares gera deformações ao longo da estrutura.
Uma das relações mais importantes para a mecânica dos sólidos é a relação entre tensão 
e deformação que pode ser medida em laboratório por meio de ensaios mecânicos. Dois 
ensaios muito comuns são o de compressão e o de tração.
Quando submetemos um corpo a um esforço de tração ele tende a ter deformações 
longitudinais no sentido de aumentar o próprio corpo. Quando submetemos um corpo a um 
esforço de compressão ele tende a ter deformações longitudinais no sentido de diminuir o 
próprio tamanho. Na Figura 58 temos boas representações desses fenômenos.
Figura 58 - Deformações devido a tração e a compressão. Fonte: do Próprio autor
 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 60
É claro que é importante também relacionar as tensões com as deformações em um 
determinado objeto de estudo e para isto existem as relações entre tensões e deformações. 
Na Figura 59 existem dois gráficos que servem de exemplo para entendermos as relações 
entre tensões e deformações longitudinais apresentadas na Figura 58.
Figura 59 - Relação entre tensões e deformações. Fonte: do Próprio autor
As relações acima dão origem à seguinte fórmula.
σ = E.ε
A tensão normal de tração ou compressão é igual ao produto do módulo de elasticidade 
(E) pela deformação (ε). O módulo de elasticidade no gráfico é igual à inclinação do gráfico, 
podendo ser constante ou variável de acordo com o material em estudo.
Antes de prosseguirmos vale lembrar que até um determinado limite de tensão e deformação 
o material consegue voltar a sua configuração normal depois de cessada a ação sobre ele. 
A esta deformação damos o nome de deformação elástica. Quando o objeto deforma acima 
deste limite ele não consegue voltara sua configuração normal, a este fenômeno damos o 
nome de deformação plástica.
E quando o corpo está submetido a tensões de cisalhamento?
Acontece algo similar.
Ƭxy = Gγxy
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 61
A tensão de cisalhamento (Ƭxy) é igual ao módulo de elasticidade transversal (G)vezes a 
distorção ou deformação de cisalhamento (γxy). Esta relação também pode ser encontrada 
por meio de ensaios mecânicos. Na Figura 60 temos um exemplo desta distorção em um 
elemento plano.
Figura 60 - Elemento plano que apresenta distorção (γxy). Fonte: do Próprio autor
9.2 Coeficiente de Poisson, módulo de elasticidade longitudinal e 
módulo de elasticidade transversal (ν,E,G)
A deformação longitudinal ao longo do eixo x é dada pela seguinte fórmula.
εx = 
O (ΔL) é a variação de comprimento que o elemento tem e (L0)é o comprimento inicial. 
Isto quer dizer que a deformação é uma taxa de acréscimo ou decréscimo em relação ao 
comprimento inicial. Neste caso específico estamos falando da direção (x). 
Pela Figura 55 podemos ver que quando um corpo aumenta em uma direção ele tende 
a diminuir nas outras direções. Quando o material é homogêneo e isotrópico podemos 
estabelecer uma relação bem simples entre as deformações longitudinais nas diferentes 
direções. A esta relação chamamos de coeficiente de Poisson e ela é dada da seguinte 
maneira.
ν = - 
Esta relação é muito útil, pois relaciona deformações longitudinais em uma direção com 
deformações longitudinais em outra direção. Dado isto podemos escrever uma relação entre 
tudo o que vimos aqui pela seguinte fórmula.
 
G = 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 62
9.3 Estado plano de deformações
Agora que já revisamos as deformações e que acrescentamos alguns conceitos a mais, 
vamos repetir o raciocínio da aula anterior e gerar as equações paramétricas de uma 
circunferência para as deformações longitudinais e deformações de cisalhamento.
As deformações, assim como as tensões, podem existir nas três dimensões, mas aqui 
vamos trabalhar com as deformações em apenas um plano. A simplificação para um plano 
de deformação já é útil para resolver problemas clássicos.
O cálculo aqui seguirá exatamente o mesmo raciocínio da aula passada que se baseia 
na rotação dos eixos em um elemento que apresenta deformações quaisquer. As relações 
aqui encontradas baseiam-se nas Figuras 61 e 62 e do auxílio da geometria básica.
Figura 61- Relações básicas 1. Fonte: Beer (1995)
Figura 62 - Relações básicas 2. Fonte: do próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 63
γx'y' = -(εx - εy)[sen(2θ)] + Ƭxy.cos(2θ)
tg(2θ) = 
Percebam que as fórmulas são bem parecidas com as da aula anterior, inclusive a última 
relativa ao ângulo onde acontecem as deformações específicas normais máximas e mínimas.
9.4 Exercício
Vamos encontrar os eixos principais e as deformações principais do estado plano de 
deformações indicado na Figura 63
Figura 63 - Exercício. Fonte: do Próprio autor
Neste exercício vamos admitir que εy = 0
εx = = 0,0004 ou 400u 
 = 200u
Se optarmos fazer pelo círculo de Mohr temos que encontrar o centro da circunferência 
e pelas coordenadas.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 64
Centro = (ε_x+ε_y)/2=(400+0)/2 = 200 
Raio = √266,6²+200² = 283
εa = 200 + √266,6²+200² = 483 
εb = 200 - √266,6²+200² = -83
As relações acima são análogas às da aula anterior para encontrarmos as tensões máximas 
e mínimas. Aqui ainda vale a mesma convenção de sinal giro horário fica acima no círculo 
de Mohr e giro anti-horário fica abaixo no círculo de Mohr.
Figura 64 - Resposta pelo Círculo de Mohr. Fonte: do Próprio autor
Ainda é possível aplicar as fórmulas dadas do item 9.3.
No livro "Resistência dos materiais” (ASSAN, 2010) encontrará mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 65
AULA 10
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
10.1 Introdução
Antes de começarmos a entender alguns critérios de ruptura é importante termos em 
mente o que sabemos.
• Sabemos representar uma determinada estrutura constituída de barras, seja ela uma 
viga, uma treliça ou um pórtico.
• Sabemos encontrar as reações de apoio quando a estrutura é isostática.
• Sabemos montar os gráficos representativos dos esforços atuantes nas estruturas 
isostáticas. Esforços normais (tração e compressão), esforços cortantes e momentos 
fletores.
• Sabemos estudar a seção de um elemento estrutural encontrando suas propriedades. 
Centro de gravidade, momento estático e momento de inércia.
• Sabemos encontrar as tensões atuantes devido aos esforços normais, esforços 
cortantes e momentos fletores.
• Sabemos estudar um pequeno ponto da estrutura sujeita a essas tensões e possíveis 
deformações.
• De estática e mecânica dos sólidos I já sabemos flambagem e torção.
Percebam que, de modo geral, entendemos bem tudo que acontece em uma determinada 
estrutura, porém falta melhorar nossos conhecimentos sobre os possíveis mecanismos de 
ruptura das mesmas. De forma bem simples podemos resumir em uma pergunta apenas. 
Quanto à estrutura aguenta receber de esforço e de deformação?
Aqui vale lembrar que cada material vai ter seus limites, verificados em laboratório por 
meio de ensaios mecânicos. Um dos dados importantes para se verificar em termos de 
ensaio mecânico é a curva de tensão x deformação.
Cada material terá um comportamento diferente, porém todos eles terão um limite máximo 
de esforço que conseguimos aplicar. A ideia do projetista, independentemente da área é 
projetar uma estrutura que não chegue a estes limites. Isto pode ser feito com coeficientes 
de segurança. Normalmente em projetos, aumentamos os esforços e diminuímos a resistência 
para que a estrutura seja segura e nunca atinja nenhum de seus limites.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 66
Para ficar claro o que eu quis dizer vou dar um exemplo simbólico. Se uma estrutura 
estiver sujeita a um esforço de 200 kN de carregamento real atuante, projetamos ela como 
se estivesse recebendo na verdade 280 kN. Se a mesma estrutura possui tensões críticas 
no valor de 500 Mpa real (testada em laboratório), projetamos ela como se seu limite crítico 
fosse de 370 Mpa. Os números aqui são apenas exemplos hipotéticos.
Percebam que damos margem de segurança, isto é proposital, pois se a estrutura aguenta 
500mPa e projetamos ela no limite, qualquer interferência no sistema levará nosso projeto 
ao colapso.
É claro que vocês terão um contato maior com este tema em disciplinas específicas de 
projeto. Aqui nesta aula nós vamos lidar com alguns mecanismos de ruptura teóricos. Em 
específico materiais dúcteis e frágeis em aço. O aço foi escolhido aqui propositalmente por 
ser homogêneo e isotrópico. Ou seja, apresenta as mesmas propriedades mecânicas em 
todas as direções.
10.2 Critérios de ruptura para materiais dúcteis em estado plano de 
tensões
O primeiro passo aqui é compreender o que é um material dúctil. O material dúctil possui 
um patamar de escoamento. A tensão sobre em um determinado limite não aumenta, porém 
sua deformação continua aumentando. Na Figura 65 podemos ver pelo gráfico de tensão x 
deformação de um ensaio de tração este patamar de escoamento.
Figura 65 - Gráfico de tensão x deformação com suas regiões. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 67
Vejam na Figura acima que em um determinado momento não há acréscimo de tensão 
enquanto a deformação continua aumentando. Imagine um chiclete sendo puxado em cada 
um de seus lados por duas pessoas. Tanto faz as pessoas serem fortes ou fracas, não 
utilizaremos a capacidademáxima delas em nenhuma das situações, pois a força de tração 
aplicada não será diferente. Este fenômeno acontece em muitas ligas metálicas.
Acredito que você já deve estar imaginando qual é o critério aqui. Exatamente, não podemos 
deixar o material chegar à condição de escoamento.
Tensãoatuante < Tensãoescoamento
O primeiro critério apresentado será o da máxima tensão de cisalhamento. Aqui a ideia 
básica é que os materiais dúcteis apresentam o seu estado de escoamento devido às tensões 
cisalhantes. Isto ocorre, por este critério, pois intuitivamente o cisalhamento se relaciona 
com o deslizamento de partículas em contato.
Ƭmáximo < Tensãoescoamento
Você deve lembrar que o cisalhamento máximo acontece no ponto referente ao centro 
da circunferência no eixo das tensões normais, ou seja, nas extremidades superior e inferior 
do círculo de Mohr. Se olhar no círculo de Mohr da aula anterior vamos ter duas situações 
possíveis, as duas tensões principais com o mesmo sinal e as duas tensões principais com 
sinais diferentes gerando as respectivas fórmulas. 
Podemos representar graficamente a região segura para o material utilizando o gráfico 
desenvolvido por Tresca na Figura 66.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 68
Figura 66 - Hexágono de Tresca. Fonte: do Próprio autor
Outro critério importante aqui é a máxima energia de distorção desenvolvido por Richard 
von Mises. Este método não será demonstrado aqui. Ele diz basicamente que o material 
entrará em escoamento se a máxima energia de distorção for maior que a energia de distorção 
necessária para o escoamento por unidade de volume do material. Na prática podemos 
representar pela expressão abaixo.
Energia máxima de distorção < Energia necessária para entrar em regime plástico
Graficamente a relação acima é representada pela Figura 67. Este critério é dado por uma 
elipse. Ele é menos conservador que o critério da máxima tensão de escoamento porque ele 
permite tensões maiores. Podemos fazer esta comparação pela Figura 68.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 69
Figura 67 - Critério da máxima energia de distorção. Fonte: do Próprio autor
Figura 68 - Comparação entre os dois métodos. Fonte: do Próprio autor
10.3 Critérios de ruptura para materiais frágeis em estado plano de 
tensões
Os materiais frágeis são aqueles que apresentam a ruptura de maneira mais brusca, ou 
seja, não há grandes deformações se comparado a materiais dúcteis.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 70
O primeiro critério que vamos abordar aqui é o da máxima tensão normal ou critério de 
Coulomb. Este critério é bem simples de entender. O material possui uma tensão última, ou 
seja, ele rompe quando a tensão chega a um determinado valor no ensaio de tração. Neste 
caso basta não deixarmos chegar a esta tensão. 
 
σmáxima < σruptura na tração
O gráfico representativo da região segura está indicado na Figura 69.
Figura 69 - Critério da máxima tensão normal. Fonte: do Próprio autor
 O último critério que vamos comentar aqui é o critério de Mohr. Este critério utiliza o 
máximo de ensaios que conseguimos para atingir a precisão adequada ao objeto de estudo.
Ele consiste em fazer o círculo de Mohr para cada um dos estados de tensão onde ocorreu 
a ruptura do material. Se no seu projeto, o estado de tensão no qual o material está exposto 
for representado por um círculo de Mohr interno aos obtidos no ensaio, o material estará 
seguro. Na Figura 70 temos a representação de uma situação possível.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 71
Figura 70 - Critério de Mohr. Fonte: do Próprio autor
No livro "Mecânica técnica e resistência dos materiais” (MELCONIAN, S, 2018) encontrará 
mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 72
AULA 11
CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA II
11.1 Exercício
Nesta aula vamos focar em apenas um exercício que funcionará como revisão e aplicação 
do que foi explicado nas aulas anteriores. A grande questão abordada aqui será como aplicar 
os critérios de ruptura para materiais dúcteis. Pretendo nesta aula ir comentando passo a 
passo a linha de raciocínio. 
O primeiro passo aqui é imaginar que em um elemento estrutural existe um estado plano 
de tensões que possa ser representado conforme a Figura 71
Figura 71 - Estado plano de tensões. Fonte: do Próprio autor
O segundo passo é ter informações a respeito da tensão de escoamento. Neste caso, 
vamos supor que estamos falando de certo tipo de aço cuja tensão de escoamento é de 300 
mPa. O objetivo aqui é descobrir se nessas condições o nosso elemento estrutural entrará 
em situação de escoamento.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 73
11.1.1 Círculo de Mohr
Para encontrarmos todas as respostas que necessitamos, temos que fazer primeiramente 
o círculo de Mohr. Nele encontraremos as tensões máximas e mínimas normais e também 
a máxima tensão de cisalhamento.
As fórmulas que podemos utilizar aqui estão resumidas abaixo.
σmáx,mín = 
tg(2θ) = 
Em termos do círculo de Mohr a expressão representa o centro da circunferência 
e a expressão representa o raio da circunferência. A expressão tg(2θ) = 
 serve para encontrarmos o ângulo onde as tensões principais ocorrerão.
Aplicando as fórmulas encontraremos as seguintes respostas.
σmáx = 
σmáx = = 132,46 mPa
σmín = - = -42,46 mPa
O centro da circunferência será dado pelo seguinte valor.
σcentro da circunferência = = 45 mPa
O raio da circunferência será dado pelo seguinte valor.
tensãoraio = = 87,46mPa
O ângulo correspondente às tensões principais é dado abaixo. 
tg(2θ) = = 27 rad
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 74
2θ = 30,96º
Com as informações acima se torna possível traçar o círculo de Mohr. Vamos lembrar uma 
regra básica para as tensões cisalhantes. Se ela tende a girar o ponto no sentido anti-horário 
será representada na metade de baixo, se tende a girar no sentido horário será representada 
na metade de cima do círculo. Na Figura 72 estão todas as informações do círculo de Mohr.
Figura 72 - Círculo de Mohr completo com as informações. Fonte: do Próprio autor
11.1.2 Critérios de ruptura
Agora que já possuímos todos os dados necessários vamos aplicar este critério. O primeiro 
e único passo é compararmos a máxima tensão de cisalhamento com metade da tensão 
de escoamento.
 
 = tensão de cisalhamento máxima
87,46 mPa < 
87,46 mPa < 150mPa
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 75
Por este critério o aço não entrará em escoamento devido à máxima tensão de cisalhamento. 
Podemos ainda medir o coeficiente de segurança fazendo a seguinte relação.
coeficiente de segurança = = 1,71
Vamos agora aplicar a relação da máxima energia de distorção
132,462 - 132,46.(-42,46) + (-42,46)2 < 1502
24972,75 < 90000 (ok, não haverá escoamento)
Neste caso o coeficiente de segurança é medido da seguinte maneira.
coeficiente de segurança =1,89
No livro "Mecânica técnica e resistência dos materiais” (MELCONIAN, S., 2018) encontrará 
mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 76
AULA 12
LINHA ELÁSTICA I
12.1 Demonstração das fórmulas
Nesta aula iremos entrar mais a fundo em questões já apresentadas e prosseguiremos para 
a análise das flechas. Já vimos critérios de resistênciabaseados em tensões máximas, porém 
para o projeto devemos nos preocupar também com as deformações máximas admissíveis.
É possível projetar uma viga que apresenta deformações relativamente grandes, porém 
muitas vezes isso gera inconvenientes. Na construção civil, por exemplo, não queremos 
uma casa que apresenta grandes deformações quando as pessoas estão em cima da laje. 
Isto também é válido para muitos elementos de máquina. Você deve estar se perguntando, 
existe alguma situação que é admissível grandes deformações? Sim, em muitas situações. 
Um exemplo simples é uma varinha de pescar profissional.
Para começarmos o nosso raciocínio vamos imaginar uma barra sujeita apenas ao 
momento fletor conforme a Figura 73.
Figura 73 - Situação antes da aplicação do momento fletor e situação depois da aplicação do momento fletor. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 77
Olhando a Figura 70 fica nítido que na flexão a linha AB diminui e a linha A’B’ aumenta. 
Isto já sabíamos, mas agora vamos escrever de forma mais formal. Aqui só temos o estado 
uniaxial de tensões, pois como estamos falando de uma flexão pura, só existirá a tensão em 
(σx) No caso acima devemos lembrar que estamos falando de tração abaixo da linha neutra 
e compressão acima da linha neutra.
Agora vamos formalizar com cálculos a partir da Figura 74.
Figura 74 - Dados importantes para as formulações. Fonte: do Próprio autor
 
Vamos dar o nome de L para o comprimento da viga antes da deformação. Na região 
da linha neutra a viga possui o mesmo tamanho L que pode ser escrito da seguinte forma.
L = P.θ
 
O comprimento do arco AB é dado da seguinte forma.
Lab = (P - y).θ
A variação de comprimento e a deformação podem ser escritas conforme segue abaixo.
ΔL = (P - y)θ - P.θ = -yθ
εx = 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 78
A maior deformação possível pode ser escrita da seguinte maneira.
εmáx = 
Isolando P e substituindo da equação de ε_xchegamos a seguinte relação
εx = .εmáx
Agora vamos utilizar nossos conhecimentos anteriores para ajustar o que descobrimos 
em função das tensões.
σx = E.εx
E.εx = E. .εmáx
σx = .E.εmáx
σx = .σmáx
∫ σx dA = ∫ .σmáx = - ∫ ydA = 0
∫ ydA = 0(momento estático em relação à linha neutra vale 0)
A linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção quando submetida apenas ao 
momento fletor. Isto já demonstra muito do que aplicamos anteriormente. Usando a equação 
integral do momento ficaremos com a seguinte solução.
∫ -yσx dA = Momento
∫ -yσx dA = ∫ -y .σmáx = ∫ y²dA = M
∫ y²dA = momento de inércia
σmáx = 
Está demonstrada a nossa fórmula da flexão que já usamos anteriormente. Vamos 
continuar o raciocínio.
εmáx = 
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 79
 = curvatura
εmáx = 
Ficaremos com uma das relações mais importantes. A curvatura é dada pelo momento 
fletor dividido pelo módulo de elasticidade vezes o momento de inércia.
A grande questão é que não vamos trabalhar com , pois não faz sentido. Queremos 
trabalhar com deformação em y por comprimento x, conforme a Figura 71 já mostrada 
anteriormente. Na matemática a equação geométrica da curvatura pode ser dada da seguinte 
maneira.
Nos problemas convencionais de engenharia a relação abaixo vale zero porque estamos 
pensando em pequenas deformações (Não é o caso da varinha de pescar profissional).
 ²=0 equivale ao ângulo e estamos falando de ângulos pequenos
Finalmente encontramos a nossa última equação que vamos aplicar na próxima aula.
No livro "Mecânica técnica e resistência dos materiais” (MELCONIAN, S, 2018) encontrará 
mais sobre o assunto.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 80
AULA 13
LINHA ELÁSTICA II
13.1 Resolução da Linha Elástica
Já sabemos qual é a equação diferencial que resolve os nossos problemas. O problema 
maior agora é resolvê-la, por causa disso irei abordar um exercício para fazer o passo a 
passo comentado.
Na Figura 72 temos a representação do nosso primeiro problema. Uma viga em balanço 
isostática, ou seja, resolvemos ela completamente pelas equações básicas da estática. 
Percebam pela Figura 75 que é importante marcar os eixos do problema, não precisa ser 
necessariamente igual ao meu. A viga representada possui uma deformação e desejamos 
encontrar qual é a fórmula da deformação na ponta da viga. Na ponta irá ocorrer a flecha 
máxima.
Figura 75 - Primeiro exercício. Fonte: do Próprio autor
A equação diferencial para resolver o problema é a seguinte.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 81
O módulo de elasticidade (E) é obtido em laboratório e o momento de inércia (I) é calculado 
pelos procedimentos que já foram explicados nas primeiras aulas. Nos resta saber manipular 
a equação diferencial e montar a função do momento fletor variando com x.
M(x) = ?
Começamos lembrando qual é o diagrama de momento fletor para o caso apresentado. A 
primeira informação aqui é que ele é uma reta e não do segundo grau. A segunda informação 
básica é que o momento do fletor no engaste vale F.L. O diagrama está representado na 
Figura 76.
Figura 76 - Diagrama de momento fletor. Fonte: do Próprio autor
A parte mais importante aqui é o procedimento.
• Devemos “cortar” a estrutura em um ponto qualquer e escrever as distâncias em 
função de x e L.
• Depois da estrutura cortada, escolher o lado direito ou esquerdo para montar o esquema 
estático com as informações (tanto faz qual é o lado escolhido).
• Montar a equação do momento fletor com as informações obtidas.
• Resolver a equação diferencial de segunda ordem.
O passo a passo está representado na Figura 77 e com ele podemos chegar na seguinte 
equação do momento fletor em função de x.
M(x) = F(L - x)
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 82
Figura 77 - Passo a passo olhando à direita. Fonte: do Próprio autor
Vamos olhar para a esquerda também, pois apesar da solução ser a mesma encontraremos 
outras dificuldades pelo caminho. Na Figura 78 temos representado o procedimento à 
esquerda.
Figura 78 - Passo a passo olhando à esquerda. Fonte: do Próprio autor
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 83
O problema de olhar à esquerda, neste caso, é que devemos acrescentar um passo a 
mais na resolução do nosso problema. Este passo serve para simplificar o último esquema 
estático de forma a conseguirmos montar a equação do momento fletor. Aqui vale uma 
observação importante a respeito das reações colocadas em evidência na Figura 75, elas 
estão na direção, sentido e giro correto.
 Na Figura 79 está o procedimento para montar a equação do momento fletor. A equação 
ficará da seguinte forma.
M(x) = +FL - Fx
M(x) = F(L-x)
Figura 79 - Procedimento para montagem da equação dos momentos. Fonte: do Próprio autor
Independentemente de olhar à esquerda ou à direita chegamos a mesma equação e agora 
estamos preparados para resolver o problema.
ESTÁTICA E MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS II 
ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 84
A equação encontrada acima é a equação do giro, pois dy dividido por dx equivale ao 
ângulo entre a deformação vertical e o eixo x. Se aplicarmos a antiderivada mais uma vez 
encontramos a equação da flecha ( y(x)).
 
Agora devemos encontrar C1e C2 com a aplicação das condições de contorno. Usaremos 
primeiro a equação do giro, pois sabemos que o giro é igual a zero quando x vale zero. Isto 
ocorre porque o engaste trava o giro no ponto x = 0. Olhe na Figura 72 para lembrar.
0=1/EI FL.0 -1/2EI F.0² + C_1
0 = C1
Por fim utilizaremos mais uma condição de contorno,